REŠAVANJE INŽENJERSKIH ZADATAKA U FEM

Transcript

1 ANALIZA NOSECIH SRUKURA Predaanje 5-6. Generacija 006/007 REŠAVANJE INŽENJERSKIH ZADAAKA U FEM Rešaanje zadataka FEA metodom ima proceduru sa sledećim etapama:. Diskretizoanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima,. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), 3. Sračunaanje karakteristika konačnih elemenata, 4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije, 5. Rešaanje algebarskog sistema jednačina, 6. Proračun potrebnih unutrašnjih eličina. Pre tri etape su kreatini deo zadatka. Četrta, peta i šesta etapa su rutinski deo posla i obično su prepušteni računaru i pouzdanom softeru. Forma konstrukcije i cilj proračuna odredjuju broj, tip i raspored konačnih elemenata. Izbor tipa konačnog elementa integriše izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), kojima su poezana čorna pomeranja elementa sa unutrašnjim pomeranjima u konačnom elementu. Adekatnost interpolacionih funkcija odredjuje tačnost rešenja zadatka. Zato se u cilju dokaza tačnosti, dobijeno rešenje podrgaa sledećim proerama:. Istim tipom i eličinom konačnog elementa reši se neki poznati analitički problem, na osnou čega se ocenjuje kalitet primenjenog konačnog elementa i kalitet modeliranja. Na osnou oe proere, komparatino se ocenjuje tačnost osnonog problema.. Utrdjianjem položaja asimptote dobijene iz uzastopnih monotono konergirajućih rešenja mreža različitih gustina, ocenjuje se položaj tačnog rešenja. U praksi se oa metoda češće koristi. INERPOLACIONE FUNKCIJE Interpolacione funkcije opisuju polje deformacija, napona i drugih uticaja u konačnom elementu. Njima se uspostalja neposredna eza izmedju pomeranja u bilo kojoj tački polja elementa i pomeranja u čornim tačkama. Koriste se tri familije interpolacionih funkcija: Lagrange polinomi imaju oblik: P x y x y (x,y) a + a x + a3 y + a 4 x y + a5 x + a6 y + a7 + a = (3.09) Njihoo rešenje konergira tačnom rešenju kada polinom ima beskonačan red. Kalitetna interpolaciona funkcija zahtea onaj stepen polinoma koliki je broj nezaisno promenljiih u elementu. Sa druge strane, isok stepen polinoma je nepodesan, zbog poteškoća eliminacija unutrašnjih članoa, pa se primenjuju samo za odredjene tipoe konačnih elemenata. Serendipity funkcije su funkcije čornih tačaka konture. Njihoe rednosti su.0 u čoroima i 0.0 izan čoroa. Hermitoi polinomi su polinomi išeg stepena sa osobinama dobrog kontinuiteta na granicama izmedju elemenata. Koeficijenti oih funkcija se odredjuju iz usloa kompatibilnosti i usloa statičke ranoteže. Serendipity funkcije su tako oblikoane da direktno poezuju pomeranja u elementu sa pomeranjima u čoroima što eliminiše potrebu izračunaanja njihoih inerznih matrica i značajno ubrzaa postupak.

2 ANALIZA NOSECIH SRUKURA. Za izoparametarske elemente je karakteristično da se i pomeranja čoroa i pomeranja u polju elementa, izražaa istim funkcijama oblika (3.0). U oim jednačinama x,z,y su koordinate u polju konačnog elementa a x i, y i, z i koordinate i-tog čora elementa. h i su funkcije oblika u lokalnom normalizoanom koordinatnom sistemu r, s, t. q q q x = hi xi, y = hi yi, z = hi zi (3.0) i= i= i= Kod izoparametarskih konačnih elemenata, gde se za opis pomeranja čoroa i tačaka u polju konačnog elementa koriste iste matematičke formulacije funkcija oblika, postoje i odstupanja. Ukoliko je stepen funkcije oblika iši od stepena funkcija koje opisuju pomeranja čoroa, taki konačni elementi se naziaju superparametarski elementi. U suprotnom slučaju, radi se o subparametarskim elementima.

3 ANALIZA NOSECIH SRUKURA 3 VERIFIKACIONI PRIMER : Statička analiza konzole sa 3D osmočornim elementom Primer erifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočornog elementa. Nazi: PB statička analiza konzole četrtastog poprečnog preseka Datum realizacje: Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: ranserzalna sila Element tip: IP-5 (3D, osmočorni element) Napomena: Prikaz: Primer erifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočornog elementa. Generacija je izedena sa 40 elemenata. Sila je uneta kao koncentrisana. Oslonci su u čora sa potpunim uklještenjem. Broj stepeni slobode kretanja 880. Vreme realizacije 90 s. Definicija zadatka: D.Raškoić, ABLICE IZ OPORNOSI MAERIJALA, Gradjeinska knjiga, Beograd 968. Output Set: Algor Case, Deformed (3.484E-): otal ranslation, Contour: otal ranslation Z Y X 0.5 Slika 3.07 Verifikacioni primer : Konzola ugib (inch) 3.484E- 3.66E E-.83E-.63E-.395E-.77E-.960E-.74E-.54E-.306E-.089E E E E-3.77E-3 0. F l Rešenje zadatka: Klasično rešenje: y =, Podaci: 3 E I x Presek b x h = 50.8 x 76. mm, moment in. saijanja I x = cm 4, Materijal: konstrukcioni čelik, modula e. E = N/cm, Sila: F = 98 N = 0.5 lbf, raspon konzole 06 mm. 3 abela PB 050: Poredjenje rezultata Ugib ispod rha konzole y (cm) eorija Algor Odstupanje (%)

4 4 ANALIZA NOSECIH SRUKURA. VERIFIKACIONI PRIMER : Statička analiza debelozide cei 3D osmočornim elementom Primer erifikacije modela debelozide cei statičkom analizom automatskom generacijom 3D osmočornog elementa. Nazi: PB statička analiza debelozide cei Datum realizacje: Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Spoljašnji pritisak Element tip: IP-5 (3D, osmočorni element) Napomena: Prikaz: Primer erifikacije modela cei debelog zida, statičkom analizom sa automatskom generacijom 3D osmočornog elementa. Generacija je izedena sa 900 elemenata. Spoljašnji pritisak je unet kao poršinsko opterećenje. Posmatrana je simetrična poloina cei. Broj stepeni slobode kretanja 533. Broj čoroa modela 364. Vreme kompletne realizacije 5 s na PC P5/50 MHz. Vreme: scp. Definicija zadatka: D.Raškoić, EORIJA ELASIČNOSI, Naučna knjiga, Beograd 985. V L C Y Z X Slika 3.08 Diskretni geometrijski model primera Rešenje zadatka: Napon u cirkularnom pracu na unutrašnjem zidu cei, spoljašnjeg i unutrašnjeg poluprečnika b/a i pritiska p S : b σ C = p S b a, Podaci: dimenzije b x a x l = 5.4 x 7.6 x 76. (cm) debljina zida cei: δ= 7.6 (cm) materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = (N/cm ) spoljašnji pritisak: p S = (kn/cm ) Poasson-o koeficijent ν=0.3 abela PB 050: Poredjenje rezultata Napon unutrašnjeg zida u cirkularnom pracu σ C Radijalna deformacija unutrašnjeg zida cei (kn/cm ) y (cm) eorija Algor Odstupanje napona Algor (%)

5

6 V L C Y Z X ANALIZA NOSECIH SRUKURA. VERIFIKACIONI PRIMER 3: Statička analiza ploče D konačnim elementom Primer erifikacije modela ploče statičkom analizom sa automatskom generacijom D elementa ploče. Nazi: PB statička analiza ploče četrtastog oblika Datum realizacje: Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: ranserzalna sila Element tip: IP-6 (D element ploče) Napomena: Prikaz: Primer erifikacije modela ugiba ploče statičkom analizom modela sa automatskom generacijom D elementa ploče. Generacija je izedena sa 963 elemenata. Sila je koncentrisana u sredini ploče. Ploča je slobodno poduprta po konturi. Broj stepena slobode kretanja Broj čoroa modela je 07. Vreme kompletne realizacije 30 s na PC P5/50 MHz. Definicija zadatka: D.Raškoić, EORIJA ELASIČNOSI, Naučna knjiga, Beograd 985. Slika 3.09 Diskretni geometrijski model erifikacionog primera3 Rešenje zadatka: Ugib kadratne ploče dimenzije axaxh pod dejstom centralne transerzalne sile i saojna krutost ploče D. P a E h 3 Ugib : w = α, Krutost : D =, D ( ν ) Podaci: dimenzije a x a x h = 80 x 80 x 0.8 (cm) saojna krutost ploče D = (N cm) materijal: konstrukcioni čelik modula el. E= (N/cm ) sila: F =000 (N), Poasson-o koeficijent ν=0.3 abela PB 060: Poredjenje rezultata Ugib sredine ploče w (cm) eorija Algor Odstupanje (%)

7 3.0 FEA - ANALIZA 9 VERIFIKACIONI PRIMER 4: IZVODJENJE DOKAZA O KONVERGENCIJI REŠENJA Izotropna, slobodno oslonjena praougaona ploča, dimenzija a x b, opterećenu poprečnim opterećenjem p (x,y). Poprečno opterećenje je normalna koncentrisana sila P u tački x=ξ i y=η. Diferencijalna jednačina elastične porši tankih ploča, prema teoriji saijanja, definisana je sa 3.: 4 W 4 W 4 W p (x, y) + + = x 4 x y y 4 D (3.) Naier-oo opšte rešenje ugiba W, pri graničnim usloima slobodno oslonjene praougaone ploče, W (x=±a/, y=±b/) =0, definisano je 80. godine [49]. Sodjenjem na oblik koji odgoara maksimalnom ugibu u središtu kadratne ploče, dobija se izraz: P a W a, y = α (3.) max(x = = b) D Koeficijent α = 0.06 za rednost količnika b / a =. D je krutost ploče na saijanje: D = E h 3 / (-ν ), gde je h debljina ploče, E modul elastičnosti, a ν Poisson-o koeficijent. Proizoljna, slobodno oslonjena kadratna ploča dimenzija a=b=800 mm, debljine h=8 mm i E=0600 kn/cm, pri centralnoj koncentrisanoj sili P= kn, ima teorijsko rešenje ugiba (3.), W=W max =.5373 mm. Kako je W max < h << a, to se u posmatranom slučaju može izabrati za analizu konačni element tipa tanke ploče. Osobina izbora oog konačnog elementa je da su dominantni naponi izazani momentima saijanja. Od manjeg uticaja su transerzalne sile, a membranskih napona nema u slučaju slobodno poduprte ploče. U posmatranom slučaju, tanka ploča je dodimenzioni konačni element. Za posmatrani slučaj razijeno je nekoliko probnih mreža. Najprostija mreža zahtea središni čor za uodjenje uticaja koncentrisane sile i kontrolu ugiba. o definiše najprostiju (najgrublju) mrežu konačnih elemenata sa sega 4 elementa tanke ploče, tabela 3., Model-. Dokaz konergencije, shodno teorijskim usloima za D poršinske elemente, zahtea formiranje finije mreže, deobom poršina elemenata grube mreže u da koordinatna praca. om podelom nastaje finija diskretna mreža (tabela 3., Model-) sa 4x4 = 6 konačnih elemenata. Dimenzije nastalih elemenata su 00 x 00 x 8 mm. Dobijena geometrija je u granicama elementa tipa ploče, pa se može izesti i dalja podela finijim elementima dimenzije 00 x 00 x 8 mm. aka mreža se odlikuje sa 8 x 8 = 64 konačna elementa tanke ploče, tabela 3., Model-3.

8 0 ANALIZA NOSECIH SRUKURA. abela 3. Slika modela: Model - Model - Model - 3 Broj konačnih elemenata: Broj čoroa modela: Broj stepeni slobode kretanja: Rešenje: Ugib (mm) Odstupanje od teorijskog ugiba % Ugib ploce y (mm) C Model- Model- y=.3673 C ε =.06 % y=.395 C ε =9.4 % Model-3 acno resenje y=.53 mm C y=.4505 C ε =5.65 % Broj konacnih elemenata Slika 3.0 Dijagram konergencije rešenja slobodno oslonjene ploče Dalje umanjenje eličine elementa pri zadržaanju iste debljine, odilo bi ka zapreminskim konačnim elementima i smanjilo bi adekatnost (ernost) funkcija oblika kojima se odlikuju elementi tanke ploče kada su primenjeni na trodimenzionalnom modelu. Slika 3.0 pokazuje dijagram konergiranja numeričkog rešenja tačnoj rednosti. Shodno zahteu tačnosti, može se odabrati prihatljia mreža za rešaanje zadatka. Poredjenje oa tri modela pokazuje da se ugib centra ploče približaa tačnoj analitičkoj rednosti ugiba. Uodjenje ećeg broja konačnih elemenata u model, umanjuje greške usloa kompatibilnosti na granicama elemenata. Kako pak fine mreže konačnih elemenata zahteaju dužu i skuplju proceduru, to se može prihatiti koncept skupljeg rešenja.

9 3.0 FEA - ANALIZA DINAMIČKE JEDNAČINE U FEM Metoda konačnih elemenata se koristi za dinamičku analizu struktura. Vrednost metode je u činjenici da analitički postupci sadrže ozbiljne prepreke u proceduri matematičke realizacije analize. Osnona jednačina ranoteže, izedena je primenom Hamilton-oog arijacionog principa. Oaj princip polazi od kinetičke energije E K, potencijalne energije unutrašnjih i spoljašnjih sila Π i rada nekonzeratinih sila W (koji uključuje i sile prigušenja). Polazna osnoa je funkcional Lagrange-a L (3.3). Hamilton-o princip pokazuje da mehanički sistem pri kretanju zauzima one položaje u kojima Lagrange-o funkcional ima stacionarnu rednost, (3.4): t δ t L = E K - Π + W (3.3) dt = δ δw dt = t t L ( E K Π) dt + 0 (3.4) t t Uz pretpostaku da egzistira rešenje, oa jednačina se može sesti na Lagrange-ou jednačinu druge rste u obliku (3.5), gde je Q i generalisana sila a t t remenski interal kretanja. d E k E k Π + = Q i dt q (3.5) & i q i q i Pri tome je kinetička energija definisana izrazom (3.6), gde je u& brzina kretanja a ρ gustina materijala. Potencijalna energija sistema je zbir spoljašnjih poršinskih p i zapreminskih sila F, (3.7): Ek = ρ u u d & & (3.6) Π = D d u F d u p ds ε ε (3.7) s Pomeranja i brzine u, u& se mogu izraziti preko interpolacione matrica N, a deformacije ε, preko matrica B. Smenom energije E K i potencijalne energije Π u Lagrange-ou jednačinu kretanja, uz sile prigušenja F p i generalisane sile Q p, dolazi se do osnone dinamičke jednačine konačnog elementa (3.8):

10 ANALIZA NOSECIH SRUKURA. m & qe + c qe & + k qe = Qe (3.8) U ooj jednačini su definisane sledeće matrice: matrica mase elementa matrica prigušenja elementa matrica krutosti elementa ektor generalisanih sila m = N ρ N d (3.8a) c = N c N d (3.8b) k = B D B d (3.8c) Q e = N F d + N p ds (3.8d) s Dinamička jednačina strukture dobija se proširenjem dinamičke jednačine konačnog elementa na celu strukturu kontinuum, (3.9): M && q + C q& + K q = Q U osnonoj dinamičkoj jednačini metode konačnih elemenata, sa M, C i K su označene matrice masa, prigušenja i krutosti sistema - konstrukcije. Q je generalisani ektor spoljašnjih sila u čoroima konačnih elemenata. Oa jednačina je osno analize mehaničkih sistema. Primena metoda direktne integracije sodi se na numeričko integraljenje diferencijalnih jednačina, step-by-step procedurama. ermin "direktan" potiče od činjenice da se procedura ne odija uzastopnim transformacijama eć direktno-integracijom. Numerička integracija se izodi često Newton-Cotes-oim ili Gauss-Legendre-oim postupkom.