DINAMIČKI MODEL (SIMETRIČNOG) TROFAZNOG ASINHRONOG MOTORA. Paul C. Krause Purdue University School of Electrical and Computer Engineering

Transcript

1 DINAMIČKI MODEL (SIMETRIČNOG) TROFAZNOG ASINHRONOG MOTORA Paul C. Krause Purdue University School of Electrical and Computer Engineering

2 Naponska jednačina: u u = i + t = R i + ϕ t ( ϕ ) abcs s abcs abcs ( ) abcr r abcr abcr L L ϕ abcs s sri ( ) T abcs ϕ = abcr Lsr Lr iabcr U prethodnim jednačinama koristi se: f = f f f [ ] T abc? a? b? c?

3 Matrice induktivnosti: λ + M,5M,5M L =,5M λ + M,5M,5M,5M λ + M Ako uvedemo smenu: L s s s s s s s s s s s s s λ + M,5 M,5 M =,5M λ + M,5M 5,5 M 5,5 M λ + M r r r r r r r r r r r r r π α = 3 Matrica međusobne induktivnosti statora i rotora: L sr cosθ cos θ + α cos θ α = Lsr cos( θ α) cosθ cos( θ + α) cos( θ + α) cos( θ α) cosθ ( ) ( )

4 Svođenje rotorskih veličina na stator i = N N i u = N N u ϕ = ϕ ( / ) ( / ) ( N / N ) abcr r s abcr abcr s r abcr abcr s r abcr Na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima ( / ) M = N N L s s r sr Može se napisati: θ ( θ + α ) ( θ α ) ( θ α) θ ( θ α) ( θ + α) ( θ α) θ cos cos cos Ns L sr = Lsr = M s cos cos cos + N r cos cos cos

5 Ponovo na osnovu analogije sa magnetno spregnutim kolima, može se napisati: M ( N N ) = M r r s s Ako se uzme: dobija se: gde je: ( N N ) L = L r s r r λr + M s,5ms,5ms L =,5Ms λr + Ms,5M r s,5m s,5ms λr + Ms ( N N ) λ = λ r s r r

6 Posle svođenja "rotora na stator" jednačine za fluks i naponske jednačina su: ϕ L L i abcs s sr abcs = ϕ abcr ( sr ) T L L r iabcr u s s L abcs R + pl p sr i ( ) T abcs u = abcr p sr r + p riabcr L R L Pri čemu važi relacija: ( N N ) R = R r s r r p = - operator diferenciranja t

7 JEDNAČINA MOMENTA Na osnovu relacija koje važe za elektro-mehaničku konverziju energije može se napisati izraz za električnu energiju koja se pretvara u mehaničku: T T T W = ( i ) ( L λ I) i + ( i ) L i + ( i ) ( L λ I) i e abcs s s abcs abcs sr abcr abcr r r abcr Mehanička snaga motora može se izraziti preko elektromagnetnog momenta i brzine obrtanja: W t θ m - stvarni mehanički položaj rotora. θ - položaj rotora izražen u el.rad/s. = m t θ e e m θ = P θ m W e = m e P θ t t

8 Elektromagnetni moment motora je: m P P i i θ θ W T P e P ( i ) e = = abcs [ L sr ] iabcr m e ( ) ( ) ( ) i as iar i br i sin cr + ibs i ar + ibr i cr + ics i ar i br + i cr θ + = P Ms 3 + ias ( ibr icr) + ibs ( icr iar) + ics ( iar ibr ) cosθ Dobijeni izraz je veoma komplikovan i praktično neupotrebljiv.

9 TRASFORMACIJA KOORDINATA U cilju uprošćenja analize uvodi se novi REFERENTNI q-d- -sistem koji može imati proizvoljnu brzinu. Prelazak iz realnog abc - sistema u qd - sistem vrši se pomoću matrice transformacije K. Izborom brzine referentnog sistema postižu se jednostavnije j analize prelaznih procesa.

10 Izbor referentnog sistema Stacionarni referentni sistem ω obezbeđuje rasprezanje namotaja rs = mašine, čime se pojednostavljuje matrica induktivnosti. Sinhrono rotirajući referentni sistem ωrs = pored rasprezanja koordinata, oslobađa matricu induktivnosti zavisnosti od ugla rotora, odnosno vremena Referentni sistem vezan za rotor pruža pogodnosti analize mašina sa dvostranim napajanjem. ωrs U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula, u svim referentnim sistemima. = ω s ω

11 Transformacije statorskih veličina rs fqds = Ks fabcs fabcs = fas fbs fcs fqds = fqs fds fs [ ] T T

12 K Matrice transformacije ( ) ( + ) ( ) ( ) cosθrs cos θrs α cos θrs α = sin θ sin θ α sin θ + α 3,5,5,5 s rs rs rs K cosθ sinθ cos( θ α) sin ( θ α) cos( θrs + α) sin ( θrs + α) rs rs s = rs rs t ( ) θ () t = ω ξ dξ + θ () rs rs rs

13 Transformacije rotorskih veličina Trenutni položaj rotora u odnosu na referentni sistem. rsr rs θ = θ θ rsr rs fqd r = K r fabcr fabcr = far fbr fcr fqd r = fqr fdr f r [ ] T T

14 K Matrice transformacije ( ) ( + ) ( ) ( ) cosθrsr cos θrsr α cos θrsr α = sinθ sin θ α sin θ + α 3,5,5,5 r rsr rsr rsr K t cosθ sinθ = cos( θ α) sin ( θ α) cos( θrsr + α) sin ( θrsr + α) rsr rsr r rsr rsr ( ) ( ) θ () t ω ξ dξ θ () θ() t ω ξ dξ θ() = + = + rs rs rs t

15 Korišćene oznake α = π 3 θ rs - trenutni položaj referentnog sistema, θ - trenutni položaj rotora motora, ω rs - brzina referentnog sistema, ω - brzina motora, ω s - sinhrona brzina.

16 Stacionarni koordinatni sistem Kada je ω rs =, θ rs () = i K s t ( ) ππ α =, 3 θrs = dξ + θrs =, π π cos cos cos π π = sin sin sin ,5,5,5 Edith Clarke

17 Stacionarni koordinatni sistem Matrice transformacije statorskih veličina K s,5,5 3 3 = 3 5,5,5 5,5 5 K =,5 3,5 3 s

18 Stacionarni koordinatni sistem Matrice transformacije rotorskih veličina ( θ) ( θ α) ( θ + α) ( ) ( ) ( ) cos cos cos r sin sin sin 3 θ θ α θ α K = +,5,5,5 ( θ) ( θ) ( ) ( ) ( θ + α) ( θ + α) cos sin Kr = cos θ α sin θ α cos sin

19 Šta se postiže ovom transformacijom? Statorske veličine Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost: posle transformacije se dobija: ( ) ( ω θ ) fas = fmax s cos s t+ s ( ) ( ) ( ω α θ ) f = f cos t + bs max s s s ( ω α θ ) f = f cos t + + cs max s s s ( ) ( ω θ ) f = f cos t+ qs max s s s ( ) ( ω θ ) f ds = f max s sin s t + s f = f + f f = = const. s max s qs ds Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem.

20 Statorske veličine ω rs = rs f as () t Na graficima ω s = f bs () t f cs () t 5 t..5 f s () t.5. 5 t f qs () t f ds () t 5 t

21 Šta se postiže ovom transformacijom? Rotorske veličine Kada je ω rs =, θ rs () = i θ rsr = θ = θ za simetričan rotorski sistem: posle transformacije dobija se: ( ω ω) θ ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) far = fmax r cos s t+ r fbr = fmax r cos ωs ω t+ θr α fcr = fmax r cos ωs ω t+ θr + α ( ) ( ω θ ) f qr = f max r cos s t + r ( ) ( ω θ ) fdr = fmax r sin s t+ r f = r

22 Rotorske veličine ω rs = rs f ar () t f br () t f cr () t 5..5 f r () t.5. 5 f qr () t f dr () t 5 t t t

23 Sinhrono rotirajući koordinatni sistem π Kada je ω rs = ω s, θ rs () =, θ s () = i α =, 3 t rs s s s ( ) θ = θ = ω ( ξ) dξ + θ K π π cosθs cosθs cosθs sin sin π π = θ θ sin θ ,5,5,5 s s s s Robert H. Park 9-994

24 Sinhrono rotirajući koordinatni sistem Matrice transformacije statorskih veličina K ( ) ( + ) ( ) ( ) cosθs cos θs α cos θs α = sin θ sin θ α sin θ + α 3,5,5,5 s s s s cosθs sinθs Ks = cos( θs α) sin ( θs α) cos( θs + α) sin ( θs + α)

25 K Sinhrono rotirajući koordinatni sistem Matrice transformacije rotorskih veličina ( θs θ ) ( θs θ α ) ( θs θ + α ) ( θ θ) ( θ θ α) ( θ θ α) cos cos cos = sin sin sin 3 + 5,5,5 5,5 5 r s s s ( θ s θ) ( θ s θ) ( θ θ α) ( θ θ α) ( θ θ + α ) ( θ θ + α ) cos sin Kr = cos s sin s cos s sin s

26 Šta se postiže ovom transformacijom? Statorske veličine Primer simetričnog trofaznog sistema koji ima konstantnu učestanost: posle transformacije se dobija: ( ) ( ω θ ) fas = fmax s cos s t+ s ( ) ( ) ( ) f = f cos ω t α + θ bs max s s s ( ω α θ ) f = f cos t+ + cs max s s s ( ) f = f cos θ ( ) f qs max s s ds max s s ( ) ( θ ) = f sin f = f + f f s = = const. Umesto trofaznog naizmeničnog sistema dobijamo dvofazni sistem. Transformisane veličine se ne menjaju u vremenu. max s qs ds

27 Statorske veličine ω rs = ω s f as () t Na graficima ω s = f bs () t f cs () t 5..5 f s () t.5. 5 t t.5 f qs () t f ds () t t

28 Šta se postiže ovom transformacijom? Rotorske veličine Kada je ω rs =ω s =const, θ s () = i θ rsr = θ r = θ s θ, za simetričan rotorski sistem: ( ω ω) θ ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) far = fmax r cos s t+ r fbr = fmax r cos ωs ω t+ θr α fcr = fmax r cos ωs ω t+ θr + α posle transformacije dobija se: ( ) ( ) f = f max cosθ qr r r fdr = fmax r sinθr f = r

29 Rotorske veličine ω rs = ω s f ar () t f br () t f cr () t 5..5 f r () t.5. 5 t t.5 f qr () t f dr () t t

30 TRANSFORMACIJE NAPONSKIH JEDNAČINA ASINHRONOG MOTORA Prvi karakterističan slučaj: u abc = R i abc Množeći ovu jednačinu sa desne strane sa K dobija se: u = K u = K R i = K R K i ( ) qd abc abc qd Kod simetričnih sistema je: ( ) R ( ) K R K = K I K = R I = R Prema tome dobija se: qd qd u = R i

31 Drugi karakterističan slučaj: d dt ϕ u abc = abc Posle množenja sa K dobija se: u ako je θ rs = ω rs. t, sledi: d u ( ) = K = K K ϕ = dt d d = K ( K ) ϕqd + K ( K) ϕ dt dt qd abc qd qd d dt sinθrs cosθrs ( K) = ω sin ( θ α) cos( θ α) rs rs rs sin ( θrs + α) cos( θrs + α)

32 d K ( K) = ωrs ωrs dt = W Konačno je: u ϕd ω ϕ d = + ϕ dt qd rs q qd Da bi bilo jasnije, j prethodna jednačina se može razbiti na: d uq = ωrs ϕ d + ϕq dt d u d = ω rs ϕ q + ϕ d dt d u = ϕ dt

33 Izvedene relacije primenjene na naponske jednačine asinhronog motora: u qd s R i qd s s = u + qd r Rr iqd r W ωrs ϕqds d ϕqd s + + W ( ωrs ω) ϕqd r dt ϕqd r - kvadratna (3 3) 3) nula matrica.

34 TRANSFORMACIJE JEDNAČINA FLUKSA ASINHRONOG MOTORA ϕ qd s Ks Ls ( Ks) Ks L sr ( Kr) iqd s = ϕqd r ( ) ( ) ( ) r sr s r r r i K L K K L K qd r λ ( ) s + M Ks Ls Κs = λs + M λs + M 3 M = M s

35 λ λ ( ) r + M Kr L r K r = λr + M λ r + M M ( ) Ks L sr Kr = Kr L sr ( Ks) = M U slučaju simetričnog sistema, nulta komponenta je nula u svim referentnim sistemima.

36 U tom slučaju naponska jednačina asinhronog motora je: Veza između flukseva i struja je: uqs Rs iqs u ds R s i ds = + uqr Rr i qr u R dr r idr p ω ϕ rs qs ωrs p ϕds + p ( ωrs ω ) ϕ qr ( ωrs ω) p ϕdr ϕqs λ M M i s + qs ϕ ds λs M M i + ds = ϕ M λ + M i qr r qr ϕ M λ dr r M + i dr

37 U nekim slučajevima je pogodno uvesti sledeće smene: ψ = ω b ϕ X? = ω b L? X m = ω b M - " fluks po sekundi " [ Wbs - = V]; - reaktansa [Ω]; - reaktansa magnećenja [Ω]; p' = p/ω b = d()/d(ω b t) - ovaj novi operator nema dimenziju.

38 Sada je naponska jednačina: ω p rs ω b uqs Rs iqs ωrs ψ qs p u R i ω ds ψ s ds b ds = + uqr Rr iqr ω p rs ωψ qr u R i ω dr r dr b ψ dr ω rs ω p ωb a izrazi za flukseve: ψ qs Xs Xm iqs ψ ds Xs X m ids = ψ qr Xm Xr i qr ψ Xm X dr r i dr X = X + X X = X + X Gde je: s λs m r λr m

39 Ekvivalentna šema asinhronog motora po q osi Rs ω rs ϕ ds λs ( ωrs ω) ϕ dr λ R r r iqs i qr uqs u qr

40 Ekvivalentna šema asinhronog motora po d osi Rs ω rs ϕ qs λs ( ωrs ω) ϕ qr λ R r r ids i dr uds u dr Ob titi ž j Obratiti pažnju na smerove u generatorima elektromotorne sile.

41 JEDNAČINE MOMENTA Ako se pođe od jednačine za moment (strana 8): m P i i θ T e = ( K s ) qds [ L sr ] ( K r ) qd r 3P P me = M iqs idr ids iqr 3 P m ( ) e = ϕqr idr ϕdr iqr 3 P m ( ) e = iqs ϕds ids ϕqs 3 P M m = i ϕ i ϕ L mogu se dobiti sledeći izrazi: ( ) 3P P me is ϕs = ( ) ( ) e qs dr ds qr r 3 P m ( ) e ψqr idr ψdr iqr = itd. ω b

42 NORMALIZACIJA Potrebno je na već poznate bazne vrednosti dodati: b U = U = U qdb s max fazno b I I I qdb = s max fazno = b ( 3/) P = U I Uqdb ψ = b qdb qdb jer imaju istu dimenziju. Važno je napomenuti da je sada i vreme normalizovano τ = ω b t odnosno p = ω = τ Sve ostalo je kao što je već pokazano. ( ) b t

43 Posle normalizacije naponska jednačina se može napisati u obliku pogodnom za modelovanje Ukoliko se izabere ω pogodnom za modelovanje. Ukoliko se izabere ω rs = ω s, dobijamo: N: ψ qs u qs R ψ s iqs ωs qs ψds u ds Rs i ds ωs ψds p = + ψ u R i ω ψ qr qr r qr r qr R ψ r r dr u dr i ω dr ψdr Jednačina za flukseve može se napisati i u obliku: i qs X r X m ψ qs i ds Xr X m ψ ds = iqr D Xm Xs ψ qr i Xm X dr s ψ dr gde je: s r m D = X X X

44 Elektromagnetni moment motora: ( ) m = X i i i i e m qs dr ds qr Na sličan način se normalizuju i ostali izrazi za moment. Normalizovana Njutnova jednačina je: gde je: T ω p ω = m m m b e m T m J ω = P M = b [ s ] b Mora se zapaziti da je u jednačini brzina obrtanja ω [rad.el./s], a ne mehanička ugaona brzina ω m [rad.meh./s].

45 Stacionarno a o stanje Posmatrajmo prethodni sistem jednačina u stacionarnom stanju p' =. Definišimo fazore promenljivih u abc sistemu preko odgovarajućih promenljivih po iz qd sistema. sste + F d Im d U skladu sa gornjom slikom može se napisati: F = F j F U skladu sa gornjom slikom može se napisati: a q d F q F a q Re +

46 Naponske jednačine u stacionarnom stanju su: U = R I + ω X I + ω X I N: qs s qs s s ds s m dr Napon u a fazi statora: U = R I ω X I ω X I ds s ds s s qs s m qr ( ω ω) ( ω ω) ( ω ω) ( ω ω) U = R I + X I + X I qr r qr s m ds s r dr U = R I X I X I dr r dr s m qs s r qr U = U j U = R + j Xλ I + j X I + I ( ) ( ω ) ω ( ) as qs ds s s s as s m as ar Napon u a fazi rotora: U ( ) ar = Uqr judr = = R + j X I + j X I + I ( ω ω) ( ω ω) ( ) r s λr ar s m as ar

47 s ω ω ω ω = = s klizanje Uvedimo smenu: s s r, Ekvivalentna šema je: N: Uar Rr = + j ω X I + j ω X I + I s s s ( ) s λ r ar s m as ar I = I j I ( ) s qs ds R jωsx λ s j sx λ r ω Rr s U as I as j ω X s m I ar U ar

48 Prelazni procesi Start motora u praznom hodu, promene opterećenja Vremenski dijagrami momenta i brzine Vremenski dijagrami promene faznih struja statora i rotora Mehanička karakteristika (m e (ω)) Vremenski dijagram promene qd-komponenti statorskih i rotorskih struja i flukseva Dijagrami prostornih vektora statorske i rotorske struje, statorskog i rotorskog fluksa

49 . Vremenski dijagram brzine i momenta [r.j.] Brzina r.j.] Moment [ m e m m Vreme [s]

50 Statička karakteristika i dijagram m e (ω) 4 3 Mom ment [r.j.] Brzina [r.j.]

51 Statička karakteristika i dijagram m e (ω) t [r.j.] Momen Brzina [r.j.]

52 i as [r.j.] Vremenski dijagrami statorskih struja i bs i cs [r.j.] j] [r.j.] Vreme [s]

53 Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje u as [r.j.] i as [r.j.] Vreme [s]

54 Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje... u as [r.j.] i as [r.j.] Vreme [s]

55 Vremenski dijagrami statorskog faznog napona i struje Napon Struja u as [r.j.] i as [r.j.] Vreme [s]

56 Vremenski dijagrami q i d komponente statorske struje 5 i qs [r.j.] 4 3 i ds [r.j.] Vreme [s]

57 Vremenski dijagrami q i d komponente statorskog fluksa.5.5 ψ ds [r.j.].75 ψ qs [r.j.] Vreme [s]

58 i ar [r.j.] Vremenski dijagrami rotorskih struja i br [r.j.] j] i i cr [r.j.] Vreme [s]

59 Vremenski dijagrami q i d komponente rotorske struje i qr [r.j.] i dr [r.j.] Vreme [s]

60 Vremenski dijagrami q i d komponente rotorskog fluksa.8.6 ψ dr [r.j.].4. ψ qr [r.j.] j] Vreme [s]

61 Vremenski dijagram statorske i rotorske struje i as i ar [r.j.] j] [r.j.] Vreme [s]

62 Dijagrami prostornih vektora statorske i rotorske struje q 5 4 i s [r.j.] j] 3 i r [r.j.] d 3 4 5

63 Dijagrami prostornih vektora statorskog i rotorskog fluksa.8 q.6.4 ψ s [r.j.]. ψ r [r.j.] d.4.6.8