PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên

Transcript

1 huyên ñề luyện thi ñại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI Á ÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIN TRONG KỲ THI TSĐH iên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gin luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chư biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập ñể lự chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. ài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc ñó. Phần 1: Những vấn ñề cần nắm chắc khi tính toán - Trong tm giác vuông (vuông tại ) ñường co H thì t luôn có: H b=ctn, c=btn; 1 = 1 = 1 H b + c - Trong tm giác thường t có: = b + c bc cos ;cos =. Tương bc tự t có hệ thức cho cạng b, c và góc, : S = bsin = bc sin = csin - V(khối chóp)= 1. h ( là diện tích ñáy, h là chiều co) - V(khối lăng trụ)=.h - V(chóp S(D)= 1 (S(D).dt(D)) - Tính chất phân giác trong D củ tm giác :. D =. D - Tâm ñường tròn ngoại tiếp là gio ñiểm trung trực. Tâm vòng tròn nội tiếp là gio ñiểm phân giác trong củ tm giác. Phương pháp xác ñịnh ñường co các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với ñáy ñó chính là chiều co. - Loại : Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với ñáy thì ñường co chính là ñường kẻ từ mặt bên ñến gio tuyến. - Loại : Khối chóp có mặt kề nhu cùng vuông góc với ñáy thì ñường co chính là gio tuyến củ mặt kề nhu ñó. 1

2 - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhu hoặc các cạnh bên cùng tạo với ñáy 1 góc bằng nhu thì chân ñường co chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp ñáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên ñều tạo với ñáy 1 góc bằng nhu thì chân ñường co chính là tâm vòng tròn nội tiếp ñáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có mặt bên kề nhu cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường co hạ từ ñỉnh sẽ rơi vào ñường phân giác góc tạo bởi cạnh nằm trên mặt ñáy củ mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SD có mặt phẳng (S) và (S) cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường co hạ từ ñỉnh S thuộc phân giác góc ) - Hình chóp có cạnh bên bằng nhu hoặc hi cạnh bên ñều tạo với ñáy một góc α thì chân ñường co hạ từ ñỉnh rơi vào ñường trung trực củ ñoạn thẳng nối ñỉnh củ cạnh cạnh nằm trên mặt ñáy củ mặt bên mà hi ñỉnh ñó không thuộc gio tuyến củ mặt bên. (Ví dụ: Hình chóp SD có S=S hoặc S và S cùng tạo với ñáy một góc α thì chân ñường co hạ từ S rơi vào ñường trung trực củ ) Việc xác ñịnh ñược chân ñường co cũng là yếu tố qun trọng ñể tìm góc tạo bởi ñường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi mặt phẳng. Ví dụ: ho khối chóp SD có mặt bên SD vuông góc (D), góc tạo bởi S và (D) là 60 0, góc tạo bởi (SD) và (D) là 45 0, ñáy là hình thng cân có cạnh ñáy là, ; cạnh bên bằng. Gọi P,Q lần lượt là trung ñiểm củ SD,.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (D).Tính V khối chóp? Rõ ràng ñây là khối chóp thuộc dạng. Từ ñó t dễ dàng tìm ñược ñường co và xác ñịnh các góc như su: - Kẻ SH vuông góc với D thì SH là ñường co(s,(d))= SH ˆ ;( SM,( D)) = HMS ˆ ), với M là chân ñường co kẻ từ H lên D - Từ P hạ PK vuông góc với D t có ( PQ,( D)) = PQK ˆ S P K H Q M D Phần : ác bài toán về tính thể tích

3 . Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm ñường co: âu 1) (TSĐH 009) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thng vuông tại và D., có =D=; D=. Góc giữ mặt phẳng (S) và (D) bằng Gọi I là trung ñiểm D biết mặt phẳng (SI) và (SI) cùng vuông góc với (D). Tính thể tích khối chóp SD? HD giải: Vì mặt phẳng (S) và (SI) cùng vuông góc với (D) mà (SI) và (SI) có gio tuyến là SI nên SI là ñường co. Kẻ IH vuông góc với t có góc tạo bởi mặt phẳng (S) và (D) là SHI ˆ = Từ ñó t tính ñược: 1 I = ; I = = 5; S( D) = D( + D) = 1 IH. = S( I) = S( D) S( I) S( DI) = = nên S( I) IH = = 5. Từ ñó V(SD)= S I D H âu ) (TSĐH D 009) ho lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông tại, =; =; =. Gọi M là trung ñiểm củ ñoạn, I là trung ñiểm củ M và. Tính V chóp I theo? HD giải: - là lăng trụ ñứng nên các mặt bên ñều vuông góc với ñáy. Vì I ( ) (), từ I t kẻ IH thì IH là ñường co và I chính là trọng tâm tm giác IH I 4 IH = = = ó = = 9 = 4 = 5 = =

4 V(I)= IH. dt( ) =.... = ( ñvtt) 9 M I H. Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chi khối ñ diện thành các khối ñ diện ñơn giản hơn Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì t phải tìm cách phân chi khối ñ diện ñó thành các khối chóp ñơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích củ nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích ñể tìm thể tích khối ñ diện cần tính thông qu 1 khối ñ diện trung gin ñơn giản hơn. ác em học sinh cần nắm vững các công thức su: V ( S ) S. S. S = (1) ông thức này chỉ ñược dung cho khối chóp tm giác V ( S) S. S. S S 4

5 âu 1) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thoi cạnh, D ˆ = 60 0, S vuông góc với ñáy(d), S=. Gọi là trung ñiểm S, mặt phẳng (P) ñi qu song song với D cắt các cạnh S, SD củ hình chóp tại, D. Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O là gio ñường chéo t suy r và SO cắt nhu tại trọng tâm I củ tm giác S. Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SD) kẻ ñường thẳng song song với D cắt S, SD tại, D là gio ñiểm cần tìm. 1 T có: S ; SD S = = = SI = S SD S SO V ( S D ) V ( S ) S. S. S 1 Dễ thấy V( S D ) = V( S ); V( S ) = V ( S ) = = = V ( D) V ( S) S. S. S T có V ˆ ( SD) = S. dt( D) = S. D.. sind =... = 6 V( S D ) = (ñvtt) 18 S D D O âu ) (Dự bị 007) ho hình chóp SD là hình chữ nhật =, D=, cạng S vuông góc với ñáy, cạnh S hợp với ñáy một góc Trên cạnh S lấy M so cho M=. Mặt phẳng M cắt DS tại N. Tính thể tích khối chóp SMN. HD giải: Từ M kẻ ñường thẳng song song với D cắt SD tại N là gio ñiểm cần tìm, góc tạo bởi S và (D) là ˆ 60 0 S =. T có S=Stn60 0 =. 5

6 SM SN Từ ñó suy r SM=S-M= = S = SD = Dễ thấy V( SD) = V( S ) + V( SD) = V ( S ) = V ( SD) V = V + V ( SMN ) ( SM ) ( SMN ) V ( SMN) V ( SM) + V ( SMN ) V ( SMN) V ( SMN) 1. SM. S. S 1. SM. S. SN = = + = + V ( SD) V ( SD) V ( S) V ( SD). S. S. S. S. S. SD 1 5 = + = Mà V( SD) = S. dt( D) =. = V( SMN ) = 7 S M N D Phần 4: ác bài toán về khoảng cách trong không gin. Khoảng cách từ 1 ñiểm ñến 1 mặt phẳng Về bản chất khi tìm khoảng cách từ 1 ñiểm ñến 1 mặt phẳng t tìm hình chiếu vuông góc củ ñiểm ñó lên mặt phẳng. Tuy nhiên 1 số trường hợp tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi ñó việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. T có V(khối chóp)= 1. V h h = âu 1) ho hình chóp S có góc tạo bởi mặt phẳng (S) và () là 60 0,,S là các tm giác ñều cạnh. Tính khoảng cách từ ñỉnh ñến mp(s).(đề dự bị khối 007) HD: ách 1: oi là ñỉnh khối chóp S từ giả thiết t suy r S===. Gọi O là chân ñường co hạ từ xuống mp(s). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tm giác S. Gọi M là 6

7 trung ñiểm t có SM ; M. Nên góc tạo bởi (S) và () là ˆ 0 SM = 60 SM = M = S=. ây giờ t tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tm giác S. Tm giác S cân tại nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực củ S và N (N là trung diểm củ S). Kẻ trung trực củ S cắt trung trực củ S tại O là ñiểm cần tìm S S N 16 1 cos SN = = = = S S 4 S 4 O = = ; O = O = =. cos SNˆ S N O P M 1 0 ách : V( SD) = V ( SM ) = M. dt( SM ) = M. MS.sin 60 = dt( S) V ( S) = N.S=.. = d(,( S) = = 4 16 dt( S) 1 0 âu ) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thng ˆ = D ˆ = 90, ==, D=. ạnh bên S vuông góc với ñáy và S=, gọi H là hình chiếu củ lên S. hứng minh tm giác SD vuông và tính theo khoảng cách từ H ñến mp(sd) (TSĐH D 007) HD giải: T có tính ñược D =. T có ; SD S D 6; S S = = + = = + =. T cũng dễ dàng SD = S + D nên tm giác SD vuông tại. 7

8 1 1 1.S. = + H = = = H S + S + SH SH = S H = = = S 1..( + D) 1 dt( D) = dt( D) dt( D) =. D = ; 1 dt( SD) = S. D = ( ) V SHD SH S SD = = ; V ( SD) = S. dt( D) = = V ( SD) S. S. SD. 6 V ( SHD) 9 =.T có S V ( SHD) 1 d H SD ( /( )) =. dt( SD) = 9 = H D. Khoảng cách giữ ñường thẳng chéo nhu trong không gin Khi tính khoảng cách giữ ñường thẳng chéo nhu và b trong không gin t tìm ñoạn vuông góc chung củ ñường thẳng ñó, Nếu việc tìm ñoạn vuông góc chung gặp khó khăn thì t tiến hành theo phương pháp su: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gin (P) chứ song song với b su ñó tính khoảng cách từ 1 ñiểm bất kỳ trên b ñến mp(p) hoặc ngược lại dựng mp(p) chứ b song song với su ñó tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến (P). - Khi tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến mặt phẳng t có thể vận dụng 1 trong phương pháp ñã trình bày ở mục. 8

9 âu 1) ho lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông ==, cạnh bên =. Gọi M là trung ñiểm củ. Tính theo thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữ ñường thẳng M,.(TSĐH D008) HD giải: V ( ) = S. h =. Gọi N là trung ñiểm củ t có song song với mp(mn). Từ ñó t có: d(, M ) = d(,( MN)) = d(,( MN)) vì N là trung ñiểm củ. Gọi H là hình chiếu vuông góc củ lên (MN), vì tứ diện MN là tứ diện vuông tại nên t có = + + H = chính là khoảng cách giữ M và. H N M 7 N H M K (hú ý:1) Trong bài toán này t ñã dựng mặt phẳng trung gin là mp(mn) ñể tận dụng ñiều kiện song song với (MN). Tại so không tìm mặt phẳng chứ các em học sinh tự suy nghĩ ñiều này hú ý ) Nếu mặt phẳng (P) ñi qu trung ñiểm M củ ñoạn thì khoảng cách từ ñến (P) cũng bằng khoảng cách từ ñến (P)) âu ) ho hình chóp tứ giác ñều SD có ñáy là hình vuông cạnh. Gọi E là ñiểm ñối xứng củ D qu trung ñiểm củ S, M là trung ñiểm củ E, N là trung ñiểm củ. hứng minh MN vuông góc với D và tính khoảng cách giữ ñường thẳng MN và.(tsđh 007) HD giải: Gọi P là trung ñiểm củ S, t có tứ giác MPN là hình bình hành. Nên MN// P. Từ ñó suy r MN//(S). Mặt khác D mp(s) nên D P D MN. T có: d(mn, )=d(n,(s))= 1 d(,( S)) = 1 D = 1 4 9

10 S E M P D N ( Việc chuyển tính khoảng cách từ N ñến (S) sng tính khoảng cách từ ñến (S) giúp t ñơn giản hoá bài toán ñi rất nhiều. ác em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này ñể vận dụng) hú ý ) Nếu mặt phẳng (P) ñi qu trung ñiểm M củ ñoạn thì khoảng cách từ ñến (P) cũng bằng khoảng cách từ ñến (P)) Phần 5: ác bài toán tính góc giữ ñường thẳng chéo nhu trong không gin. Khi cần tính góc giữ ñường thẳng chéo nhu và b trong không gin t phải tìm 1 ñường thẳng trung gin là c song song với và c cắt b. Khi ñó góc tạo bởi và b cũng chính là góc tạo bởi b và c. Hoặc t dựng liên tiếp ñường thẳng c và d cắt nhu lần lượt song song với và b. Su ñó t tính góc giữ c và d theo ñịnh lý hàm số côsin hoặc theo hệ thức lượng trong tm giác vuông. âu 1) ho lăng trụ ñứng có ñộ dài cạnh bên bằng, ñáy là tm giác vuông tại. =, = và hình chiếu vuông góc củ lên mp () là trung ñiểm củ cạnh, Tính theo thể tích khối chóp và tính côsin góc tạo bởi và. (TSĐH 008) HD giải :Gọi H là trung ñiểm củ. Suy r H () và 1 1 H = = + = Do ñó H = ' H =. V( ) = 1 H.dt () = Trong tm giác vuông H t có H = ' + ' H = nên tm giác H cân tại. Đặt α là góc tạo bởi và thì ˆ 1 α = ' H cosα = =. 4 (Trong ài toán này t ñã chuyển tính góc tạo bởi và sng tính góc tạo bởi hi ñường thẳng lần lượt song song với và là và ) Tel

11 H âu :ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh, S =, S = mp (S) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm củ các cạnh,. Tính theo thể tích khối chóp SMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN. Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc thì SH vuông góc với mp (D). SH cũng chính là ñường co khối chóp SMDN. T có S + S = 4 = S vuông tại S SM = = SM là tm giác ñều SH = Dễ thấy dt(mdn)=1/dt(d)= 1. Do ñó V (SMDN) = SH. dt( MDN ) = Kẻ ME song song với DN ( E thuộc D) suy r E = giả sử (SM,DN)= α α = ( SM, ME). T có S vuông góc với D (Định lý ñường vuông góc ) suy r S E SE S E 5 5 ME M ME SM 5 nên cosα = = ME 5 = + =, = + = Tm giác SME cân tại E 11

12 S M H E D N MỘT SỐ ÀI TẬP âu 1) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông tâm O, S vuông góc với hình chóp. ho =, S=. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu củ lên S, SD. hứng minh S (HK) và tính thể tích hình chóp OHK. âu ) ho lăng trụ ñứng có tất cả các cạnh ñều bằng. M là trung ñiểm củ ñoạn 1. hứng minh M 1 và tính d(m, 1 ) âu ) ho lăng trụ ñứng có =, =, 1 = 5 và ˆ = Gọi M là trung ñiểm củ cạnh 1. hứng minh M M 1 và tính khoảng cách từ tới mp( 1 M). âu 4) ho lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông ==, 1 =. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm củ ñoạn 1 và 1. hứng minh MN là ñường vuông góc chung củ các ñường thẳng 1 và 1. Tính V M1. 1 âu 5) ho tứ diện ñều D có cạnh bằng. Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp tm giác D. Gọi M là trung ñiểm củ D. Tính góc giữ và M. âu 6) ho hình chóp S có ñáy là tm giác vuông tại, =, S=S=S=.Tính khoảng cách từ S ñến () Tính góc tạo bởi ñường thẳng S và mp() âu 7) ho khối lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác ñều cạnh, =. Tính góc tạo bởi mp( ) và mp( ) âu 8) ho hình chóp SD có ñáy D là nử lục giác ñều nội tiếp ñường tròn ñường kính =, S= và vuông góc với mp(d) Tính góc tạo bởi mp(sd) và mp(s) Tính góc tạo bởi mp(s) và mp(sd). 1

13 âu 9) ho hình lăng trụ có ñáy là tm giác ñều tâm O. Hình chiếu vuông góc củ trên () trùng với O.iết khoảng cách từ O ñến là.góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và ( ) là hứng minh là hình chữ nhật. Tính thể tích lăng trụ và góc tạo bởi mặt bên ( ) và ñáy (). âu 10) ho tứ diện D, có ñáy là tm giác cân và D vuông góc với () ==, = 6. Gọi M là trung ñiểm củ. Vẽ H vuông góc với MD (H thuộc MD) 5 ) hứng minh rằng H vuông góc với mặt phẳng (D) 4 b) ho D=. Tính góc giữ hi ñường thẳng và DM 5 c) Gọi G1 và G lần lượt là trọng tâm củ tm giác và tm giác D. hứng minh rằng G1G vuông góc với mặt phẳng () âu 11) ho hình chóp S có mặt phẳng (S) và (S) vuông góc với nhu và S vuông góc với mặt phẳng (), = ˆ 0 S ; S = 45,Ŝ = α ) hứng minh rằng vuông góc với S b) Tìm giá trị củ α ñể mặt phẳng (S) và (S) tạo với nhu góc 60 0 âu 1) ho hình vuông D. Gọi S là ñiểm trong không gin so cho S là tm giác ñều và (S) vuông góc với (D) ) hứng minh rằng (S) vuông góc với (SD) và (S) vuông góc với (S) b) Tính góc tạo bới mặt phẳng (SD) và (S) c) Gọi H,I lần lượt là trung ñiểm củ,. hứng minh rằng mặt phẳng (SH) vuông góc với mặt phẳng (SDI) âu 1) ho cho hình lăng trụ ñều ''' có cạnh ñáy bằng, hiều co bằng h. Điểm M M 5 thuộc so cho M' =. 4 ) Tính góc tạo bởi và b) Mặt phẳng (P) ñi qu M song song với các ñường thẳng và cắt ñường thẳng D tại D. Tính tỷ số D' âu 14) ho cho hình lăng trụ tm giác ñều ''' có tất cả các cạnh bằng. Gọi 1 là trung ñiểm củ. Tính góc tạo bởi 1 và và góc tạo bởi mặt phẳng ( 1) và )() âu 15) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh, S vuông góc với (D) và S=. Tính ) Tính khoảng cách từ S ñến (ED) trong ñó E là trung ñiểm củ S b) Tính khoảng cách giữ và SD ˆ = 0 60, tạo với âu 16) ho hình hộp ñứng D D có ñáy là hình thoi cạnh, (D) góc 60 0 ) Tính ñường co hình hộp b) Tìm ñường vuông góc chung củ và.tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung âu 18) ho hình chóp SD có ñáy là hình thoi D có =10 0, D=, cạnh bên S vuông góc với ñáy, Góc tạo bởi (S) và (D) là 60 0.Tính 1

14 ) Đường co kẻ từ S b) Khoảng cách giữ hi ñường thẳng và SD; và SD âu 19) ho hình chóp ñều SD có các cạnh bằng. Gọi M,N là trung ñiểm củ S, S. iết M tạo với ND góc Tính thể tích khối chóp âu 0) ho hình chóp ñều SD có các cạnh bằng ñáy tâm O. Gọi M, N là trung ñiểm củ S,. iết góc tạo bởi MN và (D) là 60 0 ) Tính MN, SO b) Tính góc tạo bởi MN và mặt phẳng (SO) c) Tính thể tích khối chóp SD âu 1) ho hình lập phương D D cạnh. Tính góc tạo bởi ( ) và (D ). âu ) ho lăng trụ tm giác có hình chiếu vuông góc củ ñỉnh lên mặt phẳng () trùng với tâm vòng tròn ngoại tiếp tm giác. iết tm giác là tm giác cân tại và ˆ = 10 0, = ; Góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và () bằng Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ lên mặt phẳng ( ). âu ) ho lăng trụ tm giác có ñáy là tm giác vuông tại, = ; = các cạnh,, ñều hợp với ñáy các góc bằng nhu.góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và ñáy `1() bằng 60 0 ) Tính thể tích khối lăng trụ b) Trên lấy ñiểm M so cho M là trung ñiểm củ ñường thẳng cắt M tại I. Tính thể tích khối chóp I. c) Gọi O là trung ñiểm M tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng ( ) d) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. âu 4) ho hình chóp SD có D là hình vuông cạnh. ạnh S vuông góc với ñáy, góc tạo bởi mặt phẳng (SD) và ñáy là Gọi M là trung ñiểm S,N là trunh ñiểm củ SD. Tính thể tích khối chóp SD và cosin góc tạo bởi M và N. âu 5) ho khối chóp SD có S = x và các cạnh còn lại ñều bằng 1. Tính thể tích V SD củ khối chóp và tìm x ñể V SD lớn nhất. âu 6) ho tứ diện D.iết tm giác vuông tại, =, =.ác mặt (D) và (D) cùng hợp với () góc α,mặt bên (D) vuông góc với () ) Tính thể tích khối tứ diện theo và α. b) Xác ñịnh góc α khi biết V D =. 9 âu 7) ho hình chóp SD có ñáy D là hình bình hành,một mp(α ) qu cắt S, SD tại M,N. Tính SM ñể (α ) chi hình chóp thành hi phần có thể tích bằng nhu. S âu 8) ho hình chóp tứ giác ñều SD có tất cả các cạnh ñều bằng. Gọi M và P lần lượt là trung ñiểm củ S và S, mặt phẳng (DMP) cắt S tại N.Tính thể tích khối chóp SDMNP. SM 1 SN âu 9) Trên các cạnh S,S củ tứ diện S lấy các ñiểm M,N so cho =, =. M N Một mặt phẳng (α )ñi qu MN và song song với S chi tứ diện thành phần. Tính tỉ số thể tích hi phần ñó. âu 0) ho hình chóp S có là tm giác vuông tại và ˆ = iết các mặt bên hình chóp cùng hợp với mặt ñáy góc 0 0 và diện tích xung qunh củ hình chóp bằng. ) Tính thể tích củ khối chóp S theo b) Tính khoảng cách từ ñỉnh ñến mặt bên (S) theo. 14

15 âu 1) ho khối lăng trụ tm giác. có ñáy là tm giác ñều cạnh, cạnh bên hợp với mặt ñáy góc Hình chiếu củ lên mp() trùng với trọng tâm G củ tm giác. Tính thể tích củ khối lăng trụ ñã cho. âu ) ho khối lăng trụ. có ñáy là tm giác ñều. iết = =. Tính thể tích khối lăng trụ biết các mặt bên ( ) và ( ) cùng hợp với mặt ñáy () một góc âu ) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thng vuông tại, hi ñáy là D =, =. iết =, S = và S (D). ) Tính thể tích củ khốichóp SD. b) Tính thể tích củ khối chóp SD và khoảng cách d(; (SD)) âu 4) ho khối chóp S có ñáy là tm giác vuông, =,S = S = S = và ˆ = α. Gọi H là hình chiếu củ S trên. ) Tính thể tích khối chóp S theo và b) Tính khoảng cách từ ñến mặt phẳng (SH). c) ho (P) là mặt phẳng qu, trọng tâm tm giác S và song song với chi khối chóp S thành phần. Tính thể tích mỗi phần âu 5) ho khối chóp D có mặt (D) vuông góc với ñáy, các mặt bên (D) và (D) 0 cùng hợp với ñáy góc α( α < 90 ). Tính thể tích củ khối chóp trong các trường hợp su ) là tm giác vuông tại có =, = ; b) là tm giác ñều có cạnh bằng. MỘT SỐ ÀI TẬP HỌN LỌ VỀ HÌNH KHÔNG GIN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH IÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN âu 1) Khối chóp SD có ñáy là hình bình hành, M là trung ñiểm củ S. Mặt phẳng (P) ñi qu M, song song với D chi khối chóp làm phần. Tính tỉ số thể tích hi phần ñó. âu ) ho hình chóp tứ giác ñều SD có các cạnh bằng. ) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ tâm mặt ñáy ñến các mặt củ hình chóp. âu ) Khối chóp SD có ñáy là hình vuông cạnh. S (D); S=. Gọi E, F là hình chiếu củ trên S và SD. I là gio ñiểm củ S và (EF). Tính thể tích khối chóp SEIF. âu 4) ho lăng trụ ñứng ñáy là tm giác ñều. Mặt phẳng ( 1 ) tạo với ñáy 1 góc 0 0 và tm giác 1 có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. âu 5) Khối lăng trụ có ñáy là tm giác vuông cân, cạnh huyền =. Mặt phẳng ( 1 ) vuông góc với mặt phẳng (), 1 = ; góc 1 nhọn, góc tạo bởi ( 1 ) và mặt phẳng () bằng Tính thể tích khối lăng trụ. âu 6) Khối lăng trụ tứ giác ñều D D 1 có khoảng cách giữ ñường thẳng và 1 D bằng, ñộ dài ñường chéo mặt bên bằng 5. ) Hạ H 1 D (K 1 D). chứng minh rằng K=. b) Tính thể tích khối lăng trụ D D 1. âu 7) ho hình tứ diện D có cạnh D vuông góc với mặt phẳng (), =D=4cm; =cm; =5cm. Tính khoảng cách từ ñiểm tới mặt phẳng (D). 15

16 âu 8) ho hình chóp tm giác ñều S ñỉnh S, ñộ dài cạnh ñáy bằng. GỌi M, N lần lượt là trung ñiểm củ các cạnh S và S. Tính theo diện tích tm giác MN, biết rằng mặt phẳng (MN) vuông góc với mặt phẳng (S). âu 9) ho hình chóp S có S= và S vuông góc với mặt phẳng (). Tm giác có ==, góc =10 0. Tính khoảng cách từ ñỉnh ñến mặt phẳng (S). âu 10) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh, tm giác S ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Tính góc giữ mặt phẳng (S) và (SD). âu 11) ho hình chóp tm giác ñều S có ñáy là tm giác ñều cạnh, S= và S vuông góc với mặt phẳng (). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc củ trên các ñường thẳng S và S ) Tính khoảng cách t ừ ñến mặt phẳng (S) b) Tính thể tích củ khối chóp MN. âu 1) Hình chóp tm giác S có các cạnh bên S=S=S=, góc S=10 0, góc S=60 0, góc S=90 0. hứng minh rằng tm giác vuông và tính thể tích hình chóp S theo. âu 1) ho hình chóp tứ giác ñều SD. Khoảng cách từ ñến mặt phẳng (S) bằng. Góc giữ các mặt bên và mặt ñáy làα. ) Tính thể tích khối chóp theo và α b) Xác ñịnh αñể thể tích khối chóp nhỏ nhất. âu 14) ho hình chóp SD có ñáy D là hình chữ nhật với =, D=, S= và S vuông góc với mặt phẳng (D). Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm củ D và S, I là gio ñiểm củ M và. ) hứng minh rằng mặt phẳng (S) vuông góc với mặt phẳng (SM). b) Tính thể tích củ khối tứ diện NI. âu 15) ho lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông tại, =, =, =. Gọi M là trung ñiểm củ ñoạn thẳng, I là gio ñiểm củ M và ) Tính theo thể tích khối tứ diện I b) Tính khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng (I) âu 16) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thng vuông tại và D, =D=, D=, góc giữ mặt phẳng (S) và (D) bằng Gọi I là trung ñiểm củ cạnh D. iết mặt phẳng (SI) và (SI) cùng vuông góc với mặt phẳng (D), tính thể tích khối chóp SD theo. âu 17) ho hình lăng trụ tm giác có =, góc tạo bởi và mặt phẳng () là 60 0, tm giác vuông tại và góc =60 0. Hình chiếu vuông góc củ ñiểm lên mặt phẳng () trùng với trọng tâm củ tm giác. Tính thể tích khối tứ diện theo. âu 18) Trong không gin cho hình chóp tm giác ñều S có S = 7. Góc tạo bởi () và (S) =60 0. Tính thể tích khối chóp S theo. âu 19) Trong không gin cho hình chóp SD với D là hình thoi cạnh, góc =60 0, SO vuông góc với ñáy ( O là tâm mặt ñáy), SO =. M là trung ñiểm củ D. (P) là mặt phẳng qu M và song song với S, cắt S tại K. Tính thể tích khối chóp KD. âu 0) ho hình chóp S có ñáy là tm giác ñều cạnh, cạnh bên S vuông góc với ñáy (). Tính khoảng cách từ ñến mặt phẳng (S) theo biết 6 S =. 16

17 âu 1) ho hình chóp SD có ñáy là hình chữ nhật, D =, D =. ạnh S vuông góc với ñáy và S =. Gọi K là trung ñiểm. ) hứng minh rằng (S) vuông góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp SDK theo ; tính khoảng cách từ K ñến (SD). âu ) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh. Mặt phẳng (S) vuông góc với ñáy, góc S=90 0, S tạo với ñáy 1 góc Tính thể tích khối chóp. âu ) ho lăng trụ có ñáy là tm giác ñều cạnh, hình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng () trùng với tâm O củ tm giác. Một mặt phẳng (P) chứ và vuông góc với cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích. Tính thể tích khối lăng trụ 8 âu 4) ho hình chóp S có ==; = ; S = ; góc S bằng góc S và bằng 0 0. Tính thể tích củ khối chóp theo. âu 5) ho hình chóp tứ giác ñều SD cạnh ñáy bằng. Gọi G là trọng tâm tm giác S và khoảng cách từ G ñến mặt bên (SD) bằng. 6 ) Tính khoảng cách từ tâm củ mặt ñáy ñến mặt bên (SD) b) Tính thể tích củ khối chopsd. âu 6) ho hình chóp S có ñường co ==; D=. Đáy là tm giác vuông cân tại. Gọi là trung ñiểm củ S, là chân ñường co hạ từ xuống S.Tính thể tích khối chóp S. âu 7) ho lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông, ==, cạnh bên =. Gọi M là trung ñiểm củ cạnh ) Tính theo thể tích củ khối lăng trụ b) Tính khoảng cách giữ ñường thẳng M và. âu 8) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh ; S=; S= và mặt phẳng (S) vuông góc với mặt phẳng ñáy. M và N lần lượt là trung ñiểm củ cạnh và. Tính thể tích khối chóp SMDN và góc giữ (SM;ND). âu 9) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thng, góc D bằng góc và bằng 90 0 ; ==; D=. S vuông góc với ñáy và S=. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm củ S; SD. Tính thể tích khối chóp SD và khối chóp SMN. âu 0) ho lăng trụ có ñộ dài cạnh bên bằng, ñáy là tm giác vuông tại, =; =. và hình chiếu vuông góc củ trên () là trung ñiểm củ cạnh. Tính theo thể tích khối chóp và cosin củ góc giữ ñường thẳng và. âu 1) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh, mặt bên SD là tm giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm củ các cạnh S,, D. hứng minh M vuông góc với P và tính thể tích khối tứ diện MNP. âu ) ho lăng trụ ñứng có =; =; 1 = 5 và góc =10 0. Gọi M là trung ñiểm củ cạnh 1. hứng minh rằng M M 1 và tính khoảng cách d từ ñiểm ñến mặt phẳng ( 1 M) âu ) ho hình chóp S có góc giữ mặt phẳng (S) và () bằng ác tm giác và S là các tm giác ñều cạnh. Tính theo khoảng cách từ ñỉnh ñến mặt phẳng (S). 17

18 âu 4) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông tâm O, S vuông góc với ñáy. ho =; S=. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu củ lên S; S. hứng minh S (HK) và tính thể tích khối chóp OHK. âu 5) Trong mặt phẳng (P) cho nử ñường tròn ñường kính =R và ñiểm thuộc nử vòng (S;S)=60 0. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu củ trên S, S. hứng minh tm giác HK vuông và tính V S âu 6) Lăng trụ ñứng có ñáy là tm giác vuông ==; 1 =. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm củ 1 và 1. hứng minh rằng MN là ñoạn vuông góc chung củ 1 và 1. Tính thể tích khối chóp M 1 1 âu 7) ho lăng trụ ñứng có tất cả các cạnh ñều bằng. M là trung ñiểm củ ñoạn 1. hứng minh M 1 và tính d ( M ; 1 ) âu 8) ho hình chóp tứ giác ñều SD có ñáy là hình vuông cạnh. E là ñiểm ñối xứng củ D qu trung ñiểm S, M là trung ñiểm củ E, N là trung ñiểm củ. hứng minh MN vuông góc với D và tính khoảng cách giữ MN và theo. âu 9) ho hình chóp SD có ñáy là hình thng, góc = góc D= 90 0 ; D=; ==. ạnh bên S vuông góc với ñáy và S=. Gọi H là hình chiếu vuông góc củ trên S. ) hứng minh rằng tm giác SD vuông b) Tính khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SD) âu 40) ho hình chóp S mà mỗi mặt bên là 1 tm giác vuông. S=S=S=. Gọi M, N, E lần lượt là trung ñiểm củ các cạnh,,. D là ñiểm ñối xứng củ S qu E, I là gio ñiểm củ D và (SMN) ) hứng minh rằng D vuông góc với SI b) Tính theo thể tích khối tứ diện MSI âu 41) ho hình hộp ñứng D D có các cạnh =D=; = và góc D=60 0. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm củ D và. hứng minh vuông góc với mặt phẳng (DMN) và tính thể tích khối chóp DMN. âu 4) Hình chóp SD có ñáy D là hình chữ nhật với =, D=, cạnh S vuông góc với ñáy, cạnh S tạo với mặt phẳng ñáy góc Trên cạnh S lấy M so cho M =, mặt phẳng (M) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SNM. âu 4) ho hình chóp SD có ñáy D là hình thoi cạnh. Góc D=60 0. S vuông góc với mặt phẳng (D), S=. Gọi là trung ñiểm củ S, mặt phẳng (P) ñi qu và song song với D, cắt các cạnh S, SD củ hình chóp lần lượt tại, D. Tính thể tích củ khối chóp S D. âu 44) ho lăng trụ có là hình chóp tm giác ñều, cạnh ñáy =, cạnh bên =b. Gọi α là góc giữ mặt phẳng () và ( ). Tính tnα và thể tích khối chóp. âu 45) ho hình chóp tứ giác ñều SD có cạnh ñáy =. Gọi SH là ñường co củ hình chóp. Khoảng cách từ trung ñiểm I củ SH ñến mặt phẳng (S) bằng b. Tính thể tích khối chóp SD. 18

19 âu 46) ho hình lập phương D D có cạnh = và ñiểm K thuộc cạnh so cho: K =. Mặt phẳng αñi qu, K và song song với D chi khối lập phương thành khối ñ diện. Tính thể tích củ khối ñ diện ñó. âu 47) ho 1 hình trụ tròn xoy và hình vuông D cạnh có ñỉnh liên tiếp ; nằm trên ñường tròn ñáy thứ nhất, ñỉnh còn lại nằm trên ñường tròn ñáy thứ cù hình trụ. Mặt phẳng (D)tạo với ñáy hình trụ góc Tính diện tích xung qunh và thể tích củ hình trụ. âu 48) ho hình nón ñỉnh S, ñáy là ñường tròn tâm O, S và S là ñường sinh. iết SO=, khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (S) bẳng, diện tích tm giác S=18. Tính thể tích và diện tích xung qunh. âu 49) ho hình trụ có ñáy là hình tròn tâm O và O. án kính ñáy bằng chiều co và bằng. Trên ñường tròn ñáy tâm O lấy ñiểm, trên ñường tròn ñáy tâm O lấyñiểm so cho =. ) Tính diện tích toàn phần củ hình trụ và thể tích củ khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO. âu 50) ho hình chóp cụt tm giác ñều ngoại tiếp 1 hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích khối chóp cụt biết rằng cạnh ñáy lớn gấp ñôi cạnh nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt củ hình chóp). âu 51) ho hình chóp tm giác ñều S có ñộ dài cạnh bên bằng. ác mặt bên hợp với mặt phẳng ñáy một góc α. Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp. âu 5) ho hình chóp SD. Hi mặt bên (S) và (SD) cùng vuông góc với mặt ñáy. Đáy D là tứ giác nội tiếp trong ñường tròn tâm O, bán kính R. Xác ñịnh tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SD biết S=h. âu 5) Hình cầu ñường kính =R. Lấy H trên so cho H=x ( 0<x<R). Mặt phẳng (P) vuông góc với tại H cắt mặt cầu theo gio tuyến là hình tròn (), MNPQ là hình vuông nội tiếp trong hình tròn gio tuyến (). ) Tính bán kính ñường tròn gio tuyến. Tính ñộ dài MN,. b) Tính thể tích khối ñ diện tạo bởi hình chóp MNPQ và MNPQ. âu 54) ho tứ diện D có ===D=; D=b. Hi mp(d) và (D) vuông góc với nhu. ) hứng minh tm giác D vuông. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện D. âu 55) ho hình chóp tứ giác ñều SD cạnh ñáy bằng, tâm ñáy là O, chiều co SH= ) MR tồn tại mặt cầu O tiếp xúc với tất cả các mặt bên củ hình chóp. Tính bán kính củ mặt cầu b) (P) là mặt phẳng song song với (D) và cách (D) một khoảng x(0<x<r). S td là diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp (bỏ ñi phần diện tích nằm trong mặt cầu) Xác ñịnh x ñể S td = π R âu 56) ho hình chóp tứ giác ñều SD cạnh ñáy và chiều co cùng bằng. Gọi E, K lần lượt là trung ñiểm củ các cạnh D và. ) Tính diện tích xung qunh củ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SEK b) Tính thể tích củ khối cầu ngoại tiếp hình chóp SEK. âu 57) ho hình chóp tứ giác ñều SD, cạnh ñáy có ñộ dài bằng, cạnh bên tạo với cạnh ñáy 1 góc 0 0. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 19

20 âu 1) ĐS: 1 6 âu ) ) ; b ) âu ) S 45 âu 4) 8 âu 5) V = 5 10 âu 6) b) V = 0 5; V = 10 5 âu 7) 60 4 ( cm ) âu 8) S = ( dvdt ) 16 1 âu 10) 7 âu 11) 57 ) ; b ) âu 1) V = 1 âu 1) 4 ;cosα = cos α.sin α âu 14) V = 6 âu 15) 4 5 V = ; d = âu 16) V = 5 9 âu 17) V = 08 ĐÁP SỐ: âu 18) V= b tn α = ; V ' ' ' = âu 19) V = âu 0) âu 1) b 6 6 H = 5 V = ; h = 10 6 âu ) V = 1 âu ) V = 1 âu 4) V = 16 âu 5) ) ; b ) 4 6 âu 6) c ) 6 7 âu 7) ) ; b ) 7 âu 8) 5 V = ;cosϕ = 5 âu 9) ) ; b ) 1 âu 0) V = ;cosα = 4 âu 1) V = 96 5 âu ) d = 1 âu ) d = 1 âu 4) V = 7 R 6 âu 5) V = 1 âu 6) V = 1 10 âu 7) d = 0 âu 8) d = 4 âu 9) h = âu 40) V = 6 âu 41) V = âu 4) V = 7 âu 4) V = 18 âu44 b tn α = ; V ' ' ' = b 6 âu 45) b V =. 16b âu 46) V âu 47) π V = 16 S xq = ; V = 1 π = ( dvtt); 0

21 âu 49) S = 4 π ; V = π ; V TP OO = ( dvtt ) 1 âu 50) V = 7 r Một số bài tập tự luyện 1) ho lăng trụ ñứng ñáy là tm giác cân có ==, góc ˆ = α. Mặt phẳng π ( ) tạo với ñáy lăng trụ một góc β =. 6 Tính thể tích lăng trụ theo, α Tính diện tích và tính khoảng cách từ ñỉnh ñến mặt phẳng ( ). ) ho lăng trụ ñứng ñáy là tm giác ñều cạnh. Mặt phẳng ( ) tạo với mặt bên ( ) một gócα. Gọi I, J là hình chiếu củ lên và. hứng minh IJ ˆ = α Tính theo thể tích khối lăng trụ. ) ho lăng trụ ñứng ñáy là tm giác ñều. Tm giác có diện tích bằng và π tạo với ñáy một gócα thy ñổi 0 < α <. Tìm α ñể thể tích khối lăng trụ lớn nhất. 4) ho khối lăng trụ có ñáy là tm giác vuông cân tại, ==. Mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng (), ' =, ' ˆ nhọn. Góc củ mặt phẳng 0 ( ) và () bằng 60. Tính thể tích khối lăng trụ. 5) ho lăng trụ xiên có ñáy là tm giác ñều cạnh. Hình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng () trùng với O là tâm ñường tròn (). iết ˆ π ' =. Tính thể tích và 4 diện tích xung qunh củ lăng trụ theo. 6) ho lăng trụ xiên có ñáy tm giác vuông tại với =, =. Mặt bên là hình thoi, mặt bên nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy, mặt này tạo nhu 1 gócα. Xác ñịnh gócα Tính theo vàα thể tích hình lăng trụ. 7) ho hình hộp xiên D D có ñáy D là hình thoi cạnh. D ˆ = 60 0, = =D và cạnh bên tạo với ñáy gócα. Xác ñịnh góc α và chân ñường co vẽ từ Tính thể tích V củ hình hộp theo vàα. 8) ho D D hình lập phương cạnh. Lấy M trên cạnh với M=x (0<x<). Gọi (P) là mặt phẳng qu M và. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình lập phương Tìm x ñể mặt phẳng (P) chi hình lập phương thành khối ñ diện mà thể tích khối này bằng lần thể tích khối ñ diện ki. 1

22 SM 1 SN 9) Trên các cạnh S,S củ tứ diện S lấy các ñiểm M,N so cho =, =. Một M N mặt phẳng (α )ñi qu MN và song song với S chi tứ diện thành phần. Tính tỉ số thể tích hi phần ñó. 10) ho khối chóp S có ñáy là tm giác vuông, =,S = S = S = và ˆ = α. Gọi H là hình chiếu củ S trên. Tính thể tích khối chóp S theo và Tính khoảng cách từ ñến mặt phẳng (SH). ho (P) là mặt phẳng qu, trọng tâm tm giác S và song song với chi khối chóp S thành phần. Tính thể tích mỗi phần 11) ho khối chóp D có mặt (D) vuông góc với ñáy, các mặt bên (D) và (D) 0 cùng hợp với ñáy góc α( α < 90 ). Tính thể tích củ khối chóp trong các trường hợp su ) là tm giác vuông tại có =, = ; b) là tm giác ñều có cạnh bằng. 1) ho hình chóp tứ giác ñều SD. Tính khoảng cách từ ñến mặt phẳng (S) bằng. Góc giữ các mặt bên và mặt ñáy làα. Tính thể tích khối chóp theo và α Xác ñịnh αñể thể tích khối chóp nhỏ nhất. 1) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh bằng. Gọi M, N là trung ñiểm củ, D, H là gio ñiểm củ N với DM. iết SH vuông góc với (D) và SH =. Tính thể tích khối chóp SDNM và khoẳng cách giữ DM và S theo ( 010) 14) ho lăng trụ tm giác ñều có = góc tạo bới ( ) và () bằng Gọi G là trọng tâm tm giác. Tính thể tích khối lăng trụ và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G theo. ( 010) 15) ho hình chóp SD có ñáy D là hình vuông cạnh bằng. S=. Hình chiếu vuông góc củ S lên (D) là ñiểm H thuộc so cho H =. Gọi M là ñường co tm giác 4 S. hứng minh M là trung ñiểm củ S và tính thể tích SM theo. (D 010)