Bài giảng PHƯƠNG PHÁP TRẢI HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG Người soạn :Trần Thị Hiền Tổ toán trường THPT Chuyên Hạ Long

Transcript

1 Bài giảng PHƯƠNG PHÁP TRẢI HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG Người soạn :Trần Thị Hiền Tổ toán trường THPT Chuyên Hạ Long Khi giải một bài toán về tứ diện mà các dữ kiện của nó liên quan đến tổng các góc phẳng, hoặc tổng các cạnh thì việc phẳng hoá tứ diện (tức là trải phẳng tứ diện đó lên một mặt phẳng) sao cho phù hợp sẽ cho ta một lời giải gọn gàng và dễ hiểu Trong bài viết nhỏ này tôi xin trình bày một số bài toán áp dụng phương pháp này Các ví dụ VD CMR nếu tổng các góc phẳng tại đỉnh của một hình chóp lớn hơn 80 thì mỗi cạnh bên của nó nhỏ hơn nửa chu vi đáy Giả sử hình chóp đã cho là S n Ta cắt hình chóp theo các cạnh S i rồi trải các mặt bên như sau lên cùng một mặt phẳng chứa mặt S Như vậy, ta sẽ được đa giác n ( S = S ) Do tổng các góc ở đỉnh lớn hơn 80 nên đỉnh S nằm trong đa giác, và S kéo dài cắt một cạnh nào đó của đa giác ở B Gọi a là độ dài đường gấp khúc B b là độ dài đường gấp khúc Bk + Chu vi đáy chính bằng a + b Mặt khác: S + SB < a S < b + SB S + S < a + b S < a + b

2 a + b S < Một cách tương tự ta suy ra mỗi cạnh bên của hình chóp đều nhỏ hơn một nửa chu vi đáy (đpcm) VD Cho tứ diện gần đều BCD có B = CD = a C = BD D = BC Xác định vị trí của điểm M trên cạnh B sao cho chu vi tam giác MCD nhỏ nhất Xác định giá trị nhỏ nhất của chu vi đó Trải tam giác DB xuống mặt phẳng BC thành tam giác D B và giữ nguyên cạnh B Khi đó ta có: D B = DB D = D D M = DM Chu vi tam giác MDC là nhỏ nhất MD + MC + DC là nhỏ nhất nhưng do DC không đổi MD + MC là nhỏ nhất MD + MC là nhỏ nhất Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác D, M, C thẳng hàng M là giao điểm của D C với B VD3: Cho tứ diện BCD có: C = D = BC = BD = B = a CD = b M, N lần lượt là trung điểm của B và CD Tìm trên cạnh D một điểm P sao cho PM + PN đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

3 Trải tam giác CD theo trục D lên mặt phẳng BD : C C DC = DC = b N N PN = PN Yêu cầu bài toán sẽ tương đương với: Tìm P D sao cho PM + PN nhỏ nhất P là giao điểm của MN và D Khi đó ( PM + PN ) nn = MN + Tính MN : Dễ thấy: Tam giác BD cân ở D và M là trung điểm của B DM B Tam giác C D cân ở D và N là trung điểm của B N DC a b Tứ giác MDN nội tiếp có M = DN = b a N = MD = Áp dụng định lý Ptoleme ta có: DN M + DM N MN = b b a a MN = + b b + a a MN = Vậy điểm P cần tìm trên cạnh D là giao điểm của MN và D Khi đó tổng b b + a a ( PM + PN) nn = ( PM + PN ) nn = VD:

4 π Cho hình chóp S BC có các góc phẳng ở đỉnh S đều bằng α (0 < α < ), còn cạnh 3 bên S bằng Chứng minh: B + BC + C ( cos3 α) Gợi ý: Trải các mặt SB & SC lên mặt phẳng SBC, sau đó dùng định lý hàm số cosin VD5: Cho góc tam diện vuông Oxyz Ox, B Oy C Oz sao cho O = OB + OC = () a, Chứng minh rằng diện tích toàn phần của tứ diện OBC không đổi khi B &C thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn () b, Tính OB + OC + BC =? c, Tính OB + BC + OCB =? a, Trải tứ diện OBC xuống mặt phẳng OBC như sau: OB FDC OC EDB Tứ giác OEDF là hình vuông Vì BC = DCB (ccc) dt tp của tứ diện OBC = dt tp của hình vuông OEDF = không đổi (đpcm) b, OB + OC + BC = 90 c, OB + BC + OCB = 90 VD6: Cho tứ diện BCD thỏa mãn: a, CD + BCD = 80 b, Tổng các góc phẳng ở đỉnh bằng tổng các góc phẳng ở đỉnh B và bằng 80 Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo C + CB = k & CB = α

5 Trải tứ diện BCD xuống mặt phẳng BD như sau: CB C B CD C B DCB DC3B C + C3 = 80 Do tổng các góc ở đỉnh = tổng các góc ở đỉnh B = 80 C,, C thẳng hàng và C, B, C 3 thẳng hàng Sau khi trải các mặt của tứ diện xuống mặt phẳng BD, ta được tứ giác nội tiếp CC DC 3, và dt tp của tứ diện BCD = dt CC DC 3 Ta có: dt CC DC 3 = dt CCC 3 + dt DCC3 = x ysin α + CC3 DH = xysin α + CC3 tg α xysin (x y 8 xy cos ) tg α = α + + α = ( x + y) tg α = k tg α Các bài tập tương tự: Bài Cho tứ diện đều BCD cạnh bằng a Một mặt phẳng cắt cạnh tứ diện tại M, N, P, Q Chứng minh rằng chu vi p của thiết diện MNPQ không nhỏ hơn a và không lớn hơn 3a

6 *Chứng minh p a Không mất tính tổng quát, giả sử M B N D P CD Q BC Trải tứ diện BCD xuống mặt phẳng BCD như sau: BC BC CD CD BD BD Do BCD là tứ diện đều nên các tam giác trên đều là tam giác đều DBC = CB = BD = 60 DBD = DBC + CB + BD = 360 = 80 D, B, D thẳng hàng Tương tự:, C, thẳng hàng DD = BD + BD = a = C + C = a Theo như cách trải thì: D = D = a Xét tứ giác D D có = D D = a D = D = a D D là hình bình hành Theo cách trải hình như trên: M M MQ = MQ PN = PN MN = MN DN = D N N N N N NN D D NN = a Ta có: p = MN + NP + PQ + QM = NP + PQ + QM + MN NN = a (đpcm) MN BD PQ Dấu = xảy ra MQ C NP *Chứng minh p 3a

7 + Nếu MN BD S S MN S ( MNPQ) S BD S ( CBD) Mà ( MNPQ) ( CBD) S nằm trên giao tuyến của ( MNPQ ) và ( CBD ) Mà PQ là giao tuyến của ( MNPQ ) và ( CBD ) S PQ Do NM là góc ngoài của tam giác SND NM > NDS Mà NDS = 60 = DB NM > NM MN < M + Nếu MQ cắt tia C tại S : Chứng minh tương tự ta có MQ MN + MQ < M + MB = B = a Lại có: PQ BD = a NP C = a MN + NP + PQ + QM 3 a < MB Nếu MQ cắt tia C tại S : Chứng minh tương tự ta có :

8 MQ BQ PQ QC MQ + PQ BC = a MN BD = a NP C = a p 3a Nếu MN BD PQ BD MN là tam giác đều MN = M Tương tự: PQ = QC Chứng minh như trên ta suy ra p 3a (đpcm) Dấu = xảy ra MNPQ trùng với một mặt bên của tứ diện Bài Trên bề mặt của một tứ diện đều mà độ dài cạnh bằng, ta chọn một tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng sao cho có thể nối hai đỉnh bất kì của tứ diện bằng một đường gấp khúc thuộc tập hợp các đoạn thẳng đó Có thể chọn được hay không một tập hợp như vậy mà tổng độ dài tất cả các đoạn nhỏ hơn + 3? Trải mặt DBC xuống mặt phẳng BC : DBC DBC Do tứ diện BCD là tứ diện đều cạnh a nên BDC là hình thoi cạnh a = 60 Ta sẽ chỉ ra một tập hợp thỏa mãn điều kiện đề bài Thật vậy, gọi P là trung điểm của BC 3 BP vuông ở P và PB = B = P = Q : BQ = PQB = PQ = 0 (Thực ra Q chính là điểm Torixenri trong tam giác đều, do đó luôn tồn tại Q) Đặt PQ = x BQ = y Q = z Áp dụng định lý cosin :

9 x + y + xy = PB = 3 x + z + xz = P = z + y + zy = B = ( x + y + z ) + xy + yz + xz = () Lại có: 3 3 dt PB = = = xysin0 + yzsin0 + xzsin = ( xy + yz + xz) xy + yz + xz = () 8 Cộng vế với vế của () và () ta có: x + y + z + xy + yz + xz = (3) 7 7 Cộng vế với vế vủa () và (3) ta được: ( x + y + z) = x + y + z = Gọi Q là điểm đối xứng của Q qua P (Trong ( BDC ) ) CQ = BQ = y DQ = Q = z PQ = PQ = x Tập hợp các đường gấp khúc thỏa mãn đề bài ở đây ta chọn là: {QBQPQ PQ Q C DQ } (hay DQ ) Rõ ràng Q + BQ + PQ + PQ + Q C + DQ = 7 < + 3 Và hai đỉnh bất kì của tứ diện đều được nối bởi một đường gấp khúc thuộc tập hợp các đoạn thẳng đó Như vậy ta có thể chọn được một tập hợp các đoạn thẳng thỏa mãn đề bài với cách chọn như trên 3 Bài 3 Giả sử S SB S C là tổng các góc phẳng tại các đỉnh B C D của tứ diện BCD Chứng minh rằng: Nếu S = SB Sc = SD thì BC = BD và CD = BDC

10 Ta có: S + SB + Sc + SD = 80 S + SC = 360 ( S = SB Sc = SD ) Trải tứ diện lên mặt phẳng BC như sau: BD BD BD = BD CD CD CD = CD BCD BCD BCD = BCD + Nếu S = SC = 80 Tứ diện BCD là tứ diện gần đều BC = BD CD = BDC + Nếu S SC Không mất tính tổng quát giả sử S < 80 Ta có: S = D D = 360 BCB (lớn) = BCB (nhỏ) = SB Kéo dài BC cắt BD tại E Ta có: BCB (nhỏ) = CBE + CEB = S B = CBD + CBE CEB = CB D BD BD Mà BD = BD BBD D là hình bình hành BB DD BB = DD Xét hai tam giác D D và BCB : D D cân tại BCB cân tại C D D = BCB BB = DD D D = BCB D = BC D = BC Kéo dài BC cắt DD tại F Ta có: Do D D = BCB CBB = DD = D F BB DD CFD = CBB CFD = CBB = D F D BC Mà D = BC D BC là hình bình hành BD = C BD = C Xét hai tam giác BC và BD, ta có: B chung BD = C D = BC BC = BD (ccc) Chứng minh tương tự: CD = BDC (đpcm) Bài Cho hình chóp đều S BC có SB = 30 B = a Lấy B, C lần lượt thuộc cạnh SB, SC Xác định vị trí của B, C sao cho chu vi B C là nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

11 Trải tứ diện xuống mặt phẳng SBC như sau: BS BS CS CS Khi đó, với các điểm: B SB C SC Thì: PB C = B + B C + C = B + B C + C Dấu = xảy ra B, C Do, cố định cố định SB, SC cố định Ta luôn xác định được B, C thỏa mãn chu vi B C là nhỏ nhất Khi đó, ta có: S = SB + BSC + CS = 330 = 90 = S = S = S Xét SB có B = a SB = 30 SB = 75 (Vì SB cân tại S ) S = B sin 75 = a cos5 = a sin 30 sin 30 sin5 3 cos30 3 Vì sin 5 = = = 3 Do 0 < 5 < 90 sin5 > 0 sin5 = a a a a S = = = = a Vậy, giá trị nhỏ nhất của chu vi B C là 3 tại B, C là giao điểm của SB, SC với

12 Bài 5 Cho tứ diện BCD có các góc ở đỉnh bằng 90 và B = C + D Tính tổng các góc phẳng ở đỉnh B Dựng KLMN là hình vuông cạnh B LMN = 90 Trên LM lấy P sao cho: MP = D LP = ML MP = B D = C Trên MN lấy Q sao cho: MQ = C NQ = MN MQ = B C = D Xét hai tam giác CD và MQP : PMQ = LMN = CD = 90 MP = D MQ = C CD = MQP (cgc) DC = PQ Chứng minh tương tự: KLP = BC KNQ = BD KP = BC KQ = BD BC = LKP BD = NKQ Xét hai tam giác BCD và KPQ: DC = PQ KP = BC KQ = BD BCD = KPQ (ccc) DBC = QKP Như vậy, ta có: S 90 B = BD + BC + CBD = NKQ + QKP + LKP = LKN = Tổng các góc phẳng ở đỉnh B là v Bài 6 Cho tư diện SBC có các mặt SB, SBC, SC tương đương và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 80 Chứng minh rằng SBC là tứ diện gần đều

13 Trải tứ diện lên mặt phẳng SBC như sau: SBC SBC SB S B SC SC Do tổng các góc phẳng tại đỉnh S bằng 80 nên SB + BSC + CS = S = 80, S, thẳng hàng Hạ SI, BH, CK lần lượt vuông góc với BC, S, S Do, S, thẳng hàng nên BH, CK đều vuông góc với BH CK () Theo đề bài: dtsb = dtsc = dtsbc dts B = dts C = dtsbc BH S CK S BC SI = = BH S = CK S = BC SI(*) Mà S = S = S BH = CK () Xét tứ giác BHCK : Từ () và () BHCK là hình chữ nhật BC HK hay BC S, BC S Ta có BC S, mà SI BC, CK S SI = CK BC = S = S (Kết hợp với *) Xét tứ giác SCB : BC S, BC = S SCB là hình bình hành SB = C = C Chứng minh tương tự: SC = B = B Xét tứ diện SBC : S = BC, SC = B, SB = C SBC là tứ diện gần đều (đpcm) Bài7 Cho tứ diện BCD có các cạnh D = BC = a C = BD = b B = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a,b,c

14 Trải tứ diện lên mặt phẳng DC như sau: BD RD BCD QCD BC PC Dễ thấy RDQ = QCP = RP = 80 Và VBCD = VBPQR Xét tứ diện BPQR có: PBQ : BC = CP = CQ PBQ = 90 RBQ : Tương tự: RBQ = 90 RBP : Tương tự: RBP = 90 Tứ diện BPQR có góc B là góc tam diện vuông VBPQR = BR BQ BP 6 Đặt: BR = x, BP = y, BQ = z

15 x + z = ( b) = b Ta có: x + y = ( c) = c y + z = ( a) = a x = ( b + c a ) y = ( c + a b ) z = ( b + a c ) Vậy thể tích tứ diện là: VBCD = VBPQR = xyz 6 ( b + c a )( c + a b )( b + a c ) = 3 Bài 8 Cho tứ diện BCD, biết rằng tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh đều bằng nhau Chứng minh rằng bán kính đường tròn nội tiếp của các mặt của tứ diện đều bằng nhau Gọi: S là tổng các góc phẳng tại đỉnh S B là tổng các góc phẳng tại đỉnh B S C là tổng các góc phẳng tại đỉnh C S D là tổng các góc phẳng tại đỉnh D Ta có: S + SB + SC + SD = 80 Mà S = SB = SC = SD S = SB = SC = SD = 80 BCD là tứ diện gần đều BC = DCB = CD = BD Bán kính đường tròn nội tiếp của các mặt tứ diện đều bằng nhau (đpcm) Bài 9

16 Cho tứ diện BCD có tất cả các mặt đều là các tam giác nhọn Lấy các điểm tùy ý X, Y, Z, T tương ứng nằm bên trong các đoạn B, BC, CD, D a, Giả sử DB + BCD CD + BC Chứng minh rằng không thể có một đường gấp khúc XYZTX nào có chiều dài cực tiểu b, Giả sử DB + BCD = CD + BC Khi đó hãy chứng minh rằng có vô số đường gấp khúc khép kín XYZTX có chiều dài bé nhất là C sin k, trong đó k = BC + CD + DB Trải tứ diện lên mặt phẳng ( α ) như sau: BC BC BCD BCD CD CD DB D B B = B và BX = B X Khi đó đường gấp khúc khép kín XYZTX trở thành đường gấp khúc XYZTX nằm trong lục giác BDB C Rõ ràng XYZTX ngắn nhất khi các điểm X, Y, Z, T, X thẳng hàng Trường hợp : B B BB Không mất tính tổng quát ta giả sử < BB Nếu C nằm trong lục giác lớn hơn 80 (hình vẽ )

17 Độ dài đường gấp khúc XYZTX nhỏ nhất Y Z C - Trái giả thuyết các điểm X, Y, Z, T tương ứng nằm bên trong các đoạn B, BC, CD, D Không có gtnn Nếu C nằm trong lục giác nhỏ hơn 80 (hình vẽ ) Độ dài đường gấp khúc XYZTX nhỏ nhất X & X - Trái giả thiết Không có min BB Không có min có nghĩa là muốn có min của đường gấp khúc B B B + B = 80 B C + C + CB = 80 B D + ( D C + CD) + DCB + ( BC + CB ) = 80 B D + 80 DC + DCB + 80 CB = 80 B D + DCB = DC + CB BD + DCB = CB + DC Khi đó độ dài đường gấp khúc đạt min là XX = (Do XX BB XX = BB = ) Áp dụng định lý hàm số cosin vào tam giác cân C ta có: = XX = C Csin C = Csin k trong đó k = BC + CD + DB (đpcm) Bài 0 Cho tứ diện có mặt tương đương Chứng minh rằng :Tứ diện này là tứ diện gần đều Lời giải bài toán quen thuộc này xin dành cho bạn đọc