- Toán học Việt Nam

Transcript

1 - Toán học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌ KHÔNG GIN ẰNG VETOR I. Á VÍ DỤ INH HỌ Vấn đề 1: ho hình chóp S. có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng () là điểm H thuộc cạnh sao cho H = H. Góc giữa đường thẳng S và mặt phẳng () bằng 60 o. Tính thể tích khối chóp S. và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S và theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối, 1 năm 01.) Lời giải: ách 1 ( Phương pháp phổ biến ): Sử dụng định lý cosin trong H ta tính được đoạn H: H = H + H..cos60 o = 4a 9 + a. a.1 = 7a 9 Từ đó ta có: H = a 7. ặt khác H là hình chiếu của S lên mặt phẳng () nên [S, ()] = ŜH = 60 o SH = H.tan60 o = a 7. = a 1. Suy ra V S. = 1.SH.S = 1.a 1. a = a ách (Phương pháp vector): Đặt = a, = b, SH = c. Hiển nhiên: = = a = b = a và SH = c. S φ F H N Lập luận như cách trên ta có: ( S; H) = 60 o. Ta sẽ biểu diễn lần lượt các S và H theo các a, b, c. S = 1 SH + H = S + H = a b + c. òn H = 1 H = a b. 1

2 - Toán học Việt Nam Ta có: cos( S; S. H H) = S. = 1 ( a 1 H b + c)( a 1 b) a 1 b + c. a 1 = 1 ( a 1 b b) a 1 b + c. a 1 = 1 b a 1 b a 1 = 1 b + c 4( a 1 b) = ( a 1 b + c) 4( a 1 b) = ( a 1 b) + c + ( a 1 b) c ( a 1 b) = c (a b a b) = c (a a 1. a.a) = c 7a = c c = a 7. Từ đó tính được V S. = 1. c.s = 1.a 7. a = a Nhận xét: ình không khuyến khích các bạn dùng cách này để tính một câu thể tích rất dễ như thế kia có thể giải bằng cách rất thông dụng. ình giải như thế chỉ để làm rõ phương pháp của chủ đề này cho các bạn hiểu. Nhưng đến câu hỏi tính khoảng cách thì phương pháp này lại rất khả thi trong việc xác định đoạn vuông góc chung và độ dài khoảng cách giữa đường thẳng. Ta dễ dàng biểu diễn được các vector: S = b + c và = a Gọi,N lần lượt là các điểm nằm trên S và thỏa: S = x S = x b + x c và N = y = y a. N = S + S + N = x b x c + c 1 b + y a = y a 1 (x + 1) b + (1 x) c (1) N S N. S = 0 Để N là đoạn vuông góc chung của S và thì: N N. = 0 y a b 9 (x + 1)b + (1 x)c = 0 ya 1 (x + 1) a b = 0 y.a 9 (x + 1)a + (1 x). 7a = 0 7 ya 1 (1 x) 9 (x + 1) + y = 0 7x (x + 1) + y = 7 (x + 1).a = 0 1 (x + 1) + y = 0 x + 6y = x + y = 19 x = 1 16 x + 6y = 1 y = 7 16 Thay x, y vào phương trình (1) ta thu được: N = 7 16 a 7 8 b + 16 c. Ta có: N = N = ( 7 16 ).a + ( 7 8 ).b + ( 16 ).c a b = ( 7 16 ).a + ( 7 8 ).a + ( 16 ). 7.a a = a 4. 8 ác bạn có thể giải câu khoảng cách bằng cách sử dụng ti số đường cao hoặc công thức h = V bằng cách qua S dựng một đường thẳng song song với. Nhận xét: ách này cho ta thấy đươc chính xác vị trí của các điểm, N nằm trên cạnh S và. Nên đường vuông góc chung hoàn toàn được xác định. ột lợi thế nữa của phương pháp này so với phương pháp tọa độ là ta không cần phải sử dụng trục vuông góc từng đôi một và xuất phát từ một điểm như hệ trục Decartes mà chỉ cần biết rõ góc giữa các vector. Ta cần phải chọn bộ các vector a, b, c vừa có thể biểu diễn được hoành độ và tung độ của mặt phẳng đáy và cao độ của chiều cao từ đỉnh. Ưu tiên chọn các vector a, b, c có các góc đẹp giữa các vector như 0 o, 45 o, 60 o và đặc biệt là 90 o. Lưu ý: Không chọn vector cùng nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc có ít nhất vector nằm cùng phương với nhau. Vấn đề : ho hình chóp S. có đáy là tam giác vuông cân tại, = = a. Hai mặt phẳng (S) và (S) cùng vuông góc với mặt phẳng (). Gọi là trung điểm của, mặt phẳng qua S và song song với, cắt tại N. iết góc giữa hai mặt phẳng (S) và () bằng 60 o. Tính thể tích khối chóp S.N và khoảng cách giữa hai đường thẳng và SN theo a.(trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 011.) Lời giải: (S) () Theo giả thiết : S () (S) ()

3 Đối với bài này ta chọn hệ vector như sau: Đặt = a, = b, S = c. Hiển nhiên ta có: = = a = b = a Lưu ý: ác vector a, b, c đôi một vuông góc nhau nên tích vô hướng giữa chúng hiển nhiên bằng 0 việc chọn như thế sẽ dễ dàng cho việc tính toán. Để xác định góc giữa mặt phẳng (S) và () ta làm như sau: (S) () =. ặt khác: (), (gt) S( (S) - Toán học Việt Nam [(S); ()] = (; S) = Ŝ = 60 o. Từ đó tính được S =.tan60 o = a c = a = b (với c = a) Dễ thấy tứ giác N là hình thang vuông nên ta có S N = 1..(N + ) = 1 a.a.(a + a) = V SN = 1.S.S N = 1. a. a = a Để tính khoảng cách giữa và SN ta sẽ biểu diễn các vector, SN theo a, b, c. S K N φ H = a, 1 SN = S + + N = ( a b) + c Gọi các điểm H và K SN sao cho: H = x y = x a. SK = ysn = ( a b) + y c HK = H + S + y SN = x a c ( a b) + y c = (x + y ) a + y b + (y 1) c HK Để HK là đoạn vuông góc chung của và SN thì: HK SN HK. = 0 HK. SN = 0 x + y = 0 x + y 1 (x + y )a + y = 0 x + y 4 b + (y 1)c = 0 1 (x + y ) + y = (y 1) = 0 1 x + 7y = x = 6 1 y = 1 1 HK = 6 1 b 1 1 c

4 - Toán học Việt Nam HK = HK = ( 6 1 b 1 1 c) = ( 6 1 ) + ( 1 1 ) 9a b =. 1 Vấn đề : ho hình chóp S.D có đáy D là hình vuông cạnh a. Gọi và N lần lượt là trung điểm của các cạnh và D, H là giao điểm của N và D. iết SH vuông góc với mặt phẳng (D) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.DN và khoảng cách giữa hai đường thẳng D và S theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 010.) Lời giải: Dễ thấy: S DN = S D S N S = a 1..N 1.. = a a 8 a 4 = 5a 8 Từ đó tinh được: V S.DN = 1.SH.S DN = 1.a. 5a 8 = 5 a 4 S N H K T D Đặt = a, DN = b, SH = c. Hiển nhiên ta có: = DN = a = a b =, S = c = a c = 1a = 1b. Ta có: D = a + b, N = a + b. Đến đây ta sẽ biểu diễn lần lượt D, S theo a, b, c. Nhưng để làm được điều đó ta phải xác định được vị trí điểm H mới có thể biểu diễn được DH, H từ đó biểu diễn D, S. ách xác định điểm H như sau:đặt DH = u( a + b), H = v( a + b) HH = HD + D + H = u( a + b) + a + v( a + b) = (u + v ) a + ( u + v) b à u + v = 0 HH = 0 (Do a, b không cùng phương ngược hướng) u + v = 0 u = 5, v = 4 5 DH = D và H = 4 N 5 5 Từ đó D = a + b, S = 4 SH + H = c 5 ( a + b) = 4 5 ( a b) + c Gọi các điểm K D và T S sao cho: DK = x D = x( a + b), ST = y S = 4y 5 ( a b) + y c KT = KD + DS + ST = KD + DH + HS + ST = x( a + b) + 5 ( a + b) c + 4y 5 ( a b) + y c = ( x + 8y ) a + ( x 4y ) b + (y 1) c (1) 4

5 - Toán học Việt Nam KT D KT. D = 0 Để KT là đoạn vuông góc chung của D và S thì: KT S KT. S = 0 x + 8y ( x 4y ) = 0 5x + = ( x + 8y 5 ) + 4y 5 ( x 4y ) + 1(y 1) = 0 76y 5 1 = 0 x = 5 y = 15 KT = 4 1 a b 4 c (Thay x,y vào (1) ) Suy ra KT = KT = ( 4 1 a b 4 19 c) = ( 4 19 ) + ( 1 19 ) + 1.( 4 19 ). a = a = 57a 19 Nhận xét: Từ x = ta có thể thấy được điểm K mà ta giả định trùng với điểm H. Từ đó thấy được 5 đoạn vuông góc chung cũng chính là đoạn HT. ác bạn nên hiểu rõ rằng phương pháp tính độ dài vector trong các vấn đề trên hoàn toàn xuất phát từ định lý cosin trong tam giác chứ không có gì mới lạ cả. Ngoài ra phương pháp vector cũng rất hiệu quả trong các trường hợp tính góc. Ta hãy xét các vấn đề tiếp theo để hiểu rõ phương pháp. Vấn đề 4: ho lăng trụ. có độ dài cạnh bên bằng a, đấy là tam giác vuông có = a, = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng () là trung điểm của cạnh. Tính theo a đường cao khối chóp. và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ",. (Trích đề thi đại học môn toán khối năm 008) Lời giải: Gọi là trung điểm của theo giả thiết (). Ta chọn các vector như sau: = a, = b, = c (Đây là bộ ba vector đôi một vuông góc nhau nên tích vô hướng giữa chúng sẽ bằng 0 ) Từ đó có được = a = a, = b = a, = c. ' ' ' 5

6 - Toán học Việt Nam Ta có: = = 1 ( 1 + ) = ( a + b) + c. ặt khác = a nên = 4a [ 1 ( a + b) + c] = 4a 1 4 ( a + b) + c = 4a 1 4 (a + b ) + c = 4a 1 4 (a + a ) + c = 4a c = a hay = c = a Để tính cosin góc giữa, ta sẽ sử dụng công thức: cos( ; ) = cos( ; ) =... Ta sẽ biểu diễn, theo các a, b, c. Ta có: = 1 ( a + b) + c, = b a. = 1 a 1 b = 1 a b = a = = a. = = ( b a) = a + b = a cos( ; ) = cos( ; ) = a 4a = 1 4. Lưu ý: Đối với 1 số bài toán có hình vẽ phức tạp yêu cầu chứng minh quan hệ vuông góc thì phương pháp này cũng tỏ ra rất hiệu quả. Vấn đề 5: ho hình chóp tứ giác đều S.D có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của S, là trung điểm của E, N là trung điểm của. hứng minh N vuông góc với D va tính theo (a) khoảng cách giữa hai đường thẳng N và. (Trích đề thi đại học môn toán khối năm 007) Lời giải: Gọi O là tâm hình vuông, K là trung điểm S theo giả thiết ta có: SO (D). Do K vừa là trung điểm S vừa là trung điểm DE nên tứ giác DSE là hình bình hành. = 1 SD = 1 ( SO + OD). Và N = O + ON = O + 1 ( O + O). Ta sẽ chọn hệ vector như sau: O = a, OD = b, SO = c. Ta sẽ lần lượt biểu diễn N, D theo các vector a, b, c E S K D O K N Ta có: N = + N = 1 ( b + c) + 1 ( a b) = 1 ( a + c). Và D = b N. D = b( a + c) = 0 (Do các vector 6

7 - Toán học Việt Nam a, b, c vuông góc từng đôi một nên tích vô hướng giữa chúng sẽ bằng 0) Để tìm và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng N và ta làm như sau: Gọi các điểm H N và K sao cho: H = x N = x ( a + c), K = y = y a HK = H + + K = x ( a + c) + 1 ( b + c) + y a = 1 ( x + 4y) a + 1 b 1 (x 1) c (1) HK N HK. N = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của N và thì: HK HK. = 0 4 ( x + 4y)a 1 4 (x 1)c = 0 x 1 = 0 HK = 1 x + 4y = 0 x + 4y = 0 b (Thay vào (1) ) HK = HK = 1 b = a 4 Nhận xét: Từ hê phương trình trên ta có thể giải ra và thấy x = 1 nghĩa là điểm H N, y = nên điểm K là trung 4 điểm của đoạn O. Dễ dàng thấy được đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng N và là NK. Lưu ý: Ngoài ra nếu gặp câu hỏi về khoảng cách từ điểm tới mặt ta có thể dựng một mặt phẳng song song rồi chuyển về tìm đoạn vuông góc chung giữa hai đoạn thẳng bằng phương pháp trên. ột cách làm nghe có vẻ "ngược đời" nhưng hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương pháp trên. Ta xét tiếp các vấn đề kế tiếp sẽ thấy rõ hiệu quả. Vấn đề 6: ho hình hộp đứng D. D có đáy là hình vuông, tam giác vuông cân, =a. Tính thể tích của khối tứ diện và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (D ) theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối D năm 01.) Lời giải: Do vuông cân tại nên ta tính được: = = a và cạnh của hình vuông = a Theo đề bài và nên dễ dàng suy ra được: ( ). Suy ra: V = 1..S = 1.a.1.a.a = a 48. D K ' ' D' ' Để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (D ) ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường đường D và D (vì 7

8 (D (D )). Ta chọn hệ vector như sau: = a, D = b, = c với a = Ta có: D = + D = a + c. Gọi các điểm H D và K D sao cho: - Toán học Việt Nam b = a, c = a. Hay c = a. H = x D = x b, K = yd = y( a + c) HK = H + + K = H + + K = x b + b a + y( a + c) = (y 1) a + (1 x) b + y c (1) HK HK. = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của D và D thì: HK D HK. D = 0 1 x = 0 x = 1 y 1 + y = 0 y = 1 HK = 1 ( a + c) (thế x, y vào từ (1) ) HK = HK = 1 ( a + c) = 1. a. 4 + = a 6 6. Vậy d[; (D )] = HK = a 6 6. Nhận xét: Từ hệ trên ta thấy ngay điểm H D nên đoạn vuông góc chung của D và D là đoạn DK cũng chính là đường cao kẻ từ đỉnh D trong DD. Vấn đề 7: ho hình lăng trụ D D 1 có đáy D là hình chữ nhật. = a, D = a. Hình chiếu vuông góc của điểm 1 trên mặt phẳng (D) trùng với giao điểm của và D. Góc giữa hai mặt phẳng (DD 1 1 ) và (D) bằng 60 o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm 1 đến mặt phẳng ( 1 D) theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 011.) Lời giải: Gọi O là tâm hình chữ nhật D và là trung điểm D ta dễ dàng chứng minh được: 1 O (D), O D và 1 D nên góc giữa hai mặt phẳng (DD 1 1 ) và (D) là (1 ; O) = Â 1 O = 60 o. 1 O = O.tan60 o =. = a. Suy ra V D D 1 = 1 O.S D = a.a.a = a. Để tính khoảng cách từ điểm 1 đến mặt phẳng ( 1 D) ta có thể chuyển về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 1 D1 O1 H 1 φ D O 8

9 - Toán học Việt Nam 1 D1 và 1 (vì 1 D 1 ( 1 D) ). Ta chọn hệ vector như sau: OD = a, 1 1 = b, 1 O = c với a = b = a, c = a. Hay c = 4 a. Dễ thấy 1 1 D 1 = 60 o nên suy ra ( a; b) = 60 o từ đó lưu ý rằng a. b = 1.a Ta có: 1 D 1 = a và 1 = 1 O + O = a + c Gọi các điểm H 1 D 1 và K 1 sao cho: 1 H = x 1 D 1 = x a, 1 K = y 1 = y( a + c) HK = H K = x a + b + y( a + c) = (x + y) a + b + y c (1) HK 1 D 1 HK. 1 D 1 = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của 1 D 1 và 1 thì: HK 1 HK. 1 = 0 (x + y)a + a. b = 0 (x + y) + 1 = 0 4x + y = 1 x = 1 (x + y)a a. b + yc = 0 x + y 1 + y 4 = 0 x + 7y = 1 4 y = 0 Thay x, y vào (1) ta được: HK = 1 a + b HK = HK = ( 1 1 a + b) = 4 a + a 1 a = a d[ 1 ; ( 1 D)] = HK = a. Nhận xét: Từ hệ trên ta có thể thấy được điểm H là trung điểm của đoạn O 1 1 (với O 1 là tâm của hình chữ nhật D 1 và K 1 nên đoạn vuông góc chung tìm được ở đây là đoạn 1 H. Để tổng kết phương pháp ta sẽ đi đến vấn đề cuối cùng và sau đó là một vài bài tập tự luyện để các bạn có thể hiểu và nắm chắc phương pháp này. Vấn đề 8: ho hình lăng trụ tam giác đều..ạnh đáy có độ dài là a, biết góc giữa đường thẳng và là 60 o. Tính thể tính của khối lăng trụ. và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo a. Lời giải: Để xử lí dữ kiện góc giữa hai đường thẳng và ta sẽ sử dụng công thức: cos( ; ) = cos( ; ) = K ' H ' ' 9

10 .. = 1. Ta chọn hệ vector như sau: = a, = b, = c và = = a = b = a Để ý rằng a. b = a. b.cos( a; b) = a.a.cos60 o = a. Do c vuông với vector a, b nên tích vô hướng của c đối với hai vector này đều bằng 0. Ta biểu diễn, theo các vector a, b, c. Dễ thấy = a + c và = a + b + c. = a + a. b + c = a + c. = a + c. = a + b + c a. b = a + c. cos( ; ) = cos( ; ) = c a a + c = 1 c = 0 (loại) hoặc c = a c = a Từ đó ta có: V. =.S = a. a = a Để tìm và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng và ta làm như sau: Gọi các điểm H và K sao cho: H = x = x( a + c), K = y = y( a + b + c) HK = H + + K = x( a + c), + a + y( a + b + c) = (x + y 1) a + y b + (y x) c (1) HK HK. = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của và thì: HK HK. = 0 (x + y 1)a + a. b.y + (y x)c = 0 (x + y 1) + 1 y + (y x) = 0 (x + y 1)a + yb + (y x)c (x + y 1) ab = 0 (x + y 1) + y + (y x) 1 (x + y 1) = 0 x + y = 1 x = 5 x + y = 1 9 y = 4 9 Thay x, y vào (1) ta có: HK = 1 9 (4 b c) HK = HK = 1 (4 9 b c) = b + c = 1 9 b = a. TỔNG KẾT: Qua các ví dụ trên mình muốn cho các bạn thấy rằng một bài toán hình học không gian có thể được giải bằng nhiều cách từ đó các bạn có thể chọn được phương pháp giải phù hợp đề bài trong mỗi trường hợp cụ thể. húc các bạn ôn thi có kết quả cao và nắm chắc được 1 điểm phần hình học không gian trong đề thi Đại Học sắp tới năm 01. Sau cùng là một vài bài tập cho các bạn tự luyện để đánh giá mức độ nhận biết. II. Á ÀI TẬP TỰ LUYỆN - Toán học Việt Nam Tự luyện 1: ho hình lăng trụ đứng. có đáy là tam giác vuông, = = a, cạnh bên = a. Gọi là trung điểm của cạnh. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ. và khoảng cách giữa hai đường thẳng,. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối D năm 008). Đáp số: V. = a, d(; ) = a 7 7. Tự luyện : ho hình chóp S.D có đáy D là hình vuông cạnh bằng a, S=a, S=a và mặt phẳng (S) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi, N lần lượt là trung điểm của,. Tính thể tích khối chóp S.DN và tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng S, DN.(Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 008). Đáp số: V S.DN = a, cos( ; 5 ) = 5. Tự luyện : ho hình lập phương D. D. Tìm số đo của góc tạp bởi hai mặt phẳng ( ) và (D).(Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 00). Đáp số: [( ); (D )] = 60 o Tự luyện 4: ho khối chóp S.D có đáy là hình thoi cạnh bằng a 5, = 4a và chiều cao của hình chóp là SO = a, ở đây O là giao điểm của và D. Gọi H là trung điểm của S. Tìm góc và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S và theo a.(trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 004). Đáp số: ( S; ) = 0 o, d(s; ) = 6a Tự luyện 5: ho hình lập phương D D 1 có cạnh bằng a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 1 D (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 00). 10

11 Đáp số: d( 1 ; 1 D) = a 6 6 Tự luyện 6: ho hình lập phương D. D cạnh bằng a. Gọi, N lần lượt là trung điểm của và D. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng và N (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối năm 006). Đáp số: d( ; N) = a 4 Tự luyện 7: ho hình chóp S. có đáy là tam giác vuông tại, = a, =a, cạnh S vuông góc với đáy và S= a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và S. Đáp số: d(; S) = a. Tự luyện 8: ho hình lăng trụ. các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh,. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và. Đáp số: d( ; ) = a 1. 7 Tự luyện 9: ho hình chóp S. có đáy là tam giác đều cạnh a. hân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng () là một điểm thuộc. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và S rheo a. iết S= a và tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 o. Đáp số: d(; S) = a 4. Tự luyện 10: ho hình chóp S. có đáy là tam giác đều cạnh bằng 4 a, cạnh bên S vuông góc với đáy và S =a. Gọi,N lần lượt là trung điểm của,. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng S và N. Đáp số: ( S; N) = 45 o, d(s; N) = a. Tự luyện 11: ho hình chóp tam giác đều S. có S=4a. Điểm D nằm trên cạnh S, D=a. Khoảnh cách từ đến D bằng a. Tính thể tích khối chóp S. theo a. Đáp số: V S. = 174 a 16 Tự luyện 1: ho hình chóp S.D có đáy là hình chữ nhật tâm O. iết = a, = a, tam giác SO cân tại S, mặt phẳng (SD) vuông góc với đáy. Góc giữa SD và đáy bằng 60 o. Tính thể tính khối chóp S.D và khoảng cách giữa S, theo a. Đáp số: d(s; ) = a 4 Tự luyện 1: ho hình lăng trụ đứng. có đáy là tam giác cân tại với = = a và góc = 10 o, cạnh bên = a. Gọi I là trung điểm của. hứng minh rằng tam giác I vuông tại. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng () và ( I). Đáp số: cos[(); 0 ( I)] = 10. Tài liệu tham khảo: - Toán học Việt Nam Đề tuyển sinh Đại Học môn Toán các năm của Ộ GD và ĐT. Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề hình học (Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Tất Thu - Nguyễn Tấn Siêng) Tài liệu tham khảo trên internet. Người viết: iceage Hết HÚ Á ẠN THÀNH ÔNG 11