TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC

Transcript

1 TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: Á ÀI TOÁN HỌN LỌ VỀ HÓP TM GIÁ Ví dụ 1: ho tứ diện D có D (, D 4cm, cm, 5cm. Tính khoảng cách từ đến ( D. Giải: vuông tại họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, ( ;4;, D( ;;4 Phương trình mặt phẳng ( Β D : Khoảng cách từ đến ( D. 1 1 d, ( D D Ví dụ : ho hình chóp tm giác đều S cạnh đá là. Gọi M, N là trung điểm S, S. Tính theo diện tích MN biết ( ( MN S. Giải: Gọi O là hình chiếu củ S trên ( Ο là trọng tâm Gọi I là trung điểm T có I O, OI 6 O: O ;;, ;;, S ;;h h, > họn hệ trục tọ độ ( ( ( 5

2 I ;;, ; ;, ; h 5 n( MN M,N ;; 4 4 n( S S, S h; ; 6 MN S n.n ( ( ( MN ( S 5 h 1 1 S MN M, N 16 Ví dụ : ho hình chóp S có đá là b, S h.gọi D là trung điểm. 1. Tính cosin góc ϕ giữ và SD.. Tính d(,sd, d(,sd., S,, vuông tại ( Giải: Trong ( vẽ ti. họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, S( ;;h b Β( b;;, D ; ; 6

3 1. Tính cosin góc ϕ giữ và SD. ( ;; T có: b SD ; ; h.sd cosϕ.sd + b + 4h d,sd, d,sd.,sd S h d(,sd,sd + 4h. Tính ( (,SD S hb d(,sd, SD b + 4h Ví dụ 4: ho đều cạnh. Trên đường thẳng d ( trên ( M. Gọi I là hình chiếu củ trọng tâm G củ tại lấ điểm M. 1. hứng minh I là trực tâm M.. GI cắt d tại N. hứng minh tứ diện MN - có các cặp cạnh đối vuông góc.. hứng minh M.N không đổi khi M di động trên d. Giải: Trong mặt phẳng ( vẽ. họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, M( ;;m, ; ; G ; ; 6 7

4 1. hứng minh I là trực tâm M. M GI GI T có: ( I Tương tự M I I là trực tâm M M. hứng minh tứ diện MN có các cặp cạnh đối vuông góc. T có: ( 1; ; ( MI : 1 M ( ; ; m ( m GI : + d G N I ( ( GI GI MI + m N d N( ;;n và.mn, M.N, N.M N GI n N ;; m m ā Vậ MN, M N, N M. Ví dụ 5: ho tứ diện O có O, O, O đôi một vuông góc. O, O. Vẽ OM tại M, ON tại N. 1. hứng minh MN O.. Tính cosmon.. D là trung điểm. hứng minh Giải: O + O T có: O + O 4 tn OD MN 1. 4 tn O + 4O O 4O O O O Đặt O O Ο họn trục hệ tọ độ O so cho: O( ;;, ( ;;, ( ;;, ( ;; 8

5 1. hứng minh MN O. 1;; ( Phương trình thm số củ : + t ( t t OM OM. t 4 M ;; ;1; 4 4 Phương trình thm số củ + : t ( t R R Μ ( + t; ; t t ( ; t; t Ν +, ( ON ON. t N ; ; MN.O MN O Tính cosmon: OM.ON 1 cosmon OM.ON 4 4 tn OD MN. D là trung điểm. hứng minh 1. 4 tn O + Đặt β OD, α O, O ( O O OD OD tnβ OD, tnα tn α O O' tn β OD 1 O 4 O 4 4 MN 4 tn β MN tn α Ví dụ 6: ho hình chóp S có cạnh đá là đường co SH h. Mặt phẳng ( α qu và ( α S. 1. Tìm điều kiện củ h để ( α cắt cạnh S tại K. Tính diện tích K.. Tính h theo để ( α chi hình chóp thành hi phần có thể tích bằng nhu. 9

6 hứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhu. Giải: Trong mặt phẳng ( vẽ H H. ;; họn hệ trục tọ độ H so cho: H ( ;;,, S ( ;;h ; ;, ; ; Tìm điều kiện củ h để ( α cắt S cạnh S tại K. Tính diện tích K. 1 T có: S ( ;;6h 6 ( + + 6h α : Phương trình thm số củ t S: t ( t R. h+ 6ht Ò 6h + S ( α t 1 + 6h 6 h 18h 18 h K ; ; 1 + 6h 1 + 6h 1 + 6h 18 h K S < K < S < < h h> 1 + 6h 6 ách 1: 1 h S K, K 4 + h ách : Gọi I là trung điểm I ; ; IK S, IK 1 4 S,SI h 1 h IK S K IK. S + h 4 + h. Tính h K H I 1

7 ( α chi hình chóp thành hi phần có thể tích bằng nhu khi K là trung điểm củ S. + 1h I IS h 4 1 Khi đó: S S S S SH + H + S hóp S đều. Vậ, tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp củ S trùng nhu. Ví dụ 7: ho hi mặt phẳng ( P và ( Q vuông góc với nhu, có gio tuến là đường Trong ( P lấ điểm, trong thẳng. Trên lấ hi điểm và với. ( Q lấ điểm D so cho, D cùng vuông góc với và D. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp D và d, ( D theo. Giải: họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, ( ;;, D( ;; Phương trình mặt cầu ( S : + β,, D S γ α+ β α β R γ n( D,D ( ;1;1 ( D :+ ( d, D + α β γ Δ ā D ÀI TẬP TỰ LUYỆN. 11

8 ài tập 1: ho vuông tại có,. Trên đường thẳng vuông góc ( tại lấ điểm S so cho S. D là đường co tm giác. E, F là trung điểm củ S, S. H là hình chiếu củ trên EF. 1. hứng minh H là trung điểm củ SD.. Tính cosin góc P giữ hi mặt phẳng (,( F.. Tính thể tích hình chóp.fe. ài tập : ho tứ diện S. vuông tại có,, S, S (. Qu vẽ H S, K S ( H S, K S. 1. hứng minh S ( HK.. Tính diện tích HK.. Tính góc giữ ( S và ( S ài tập : ho tứ diện O có các cạnh O, O, O đôi một vuông góc với nhu. H là hình chiếu củ O trên (. 1. hứng minh có b góc nhọn.. hứng minh H là trực tâm.. hứng minh OH O O O 4. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữ các mặt phẳng ( O, ( O, ( O với mặt ā cos α+ cos β+ cos γ 1. phẳng (. hứng minh rằng ài tập 4: ho tứ diện O có O O O và đôi một vuông góc. OH ( tại H. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là hình chiếu củ H lên các mặt ( O,( O,( O. 1. Tính thể tích tứ diện H Gọi S là điểm đối ứng H qu O. hứng minh tứ diện S đều.. hứng minh OH không vuông góc ( ài tập 5: ho tứ diện O và O, O, O đôi một vuông góc và O, O, O c (,c. OD, M là trung điểm mặt phẳng ( α qu và M cắt ( > Gọi D là đỉnh đối diện O củ hình chữ nhật thẳng vuông góc M. 1. Gọi E là gio điểm ( α với O. Tính OE.. Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng ( α.. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α và chóp.od. OD theo đường 1

9 ài tập 6: ho tứ diện O có O, O, O đôi một vuông góc. O, O b, O c. 1. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp ( S củ O. Tính bán kính r củ ( S.. Gọi M, N, P là trung điểm,,. hứng minh rằng góc giữ ( NOM củ ( OMP là vuông khi và chỉ khi b c ài tập 7: Trên ti O, O, O vuông góc từng đôi một lấ các điểm,, so cho O, O b, O c. Gọi H, G là trực tâm, trọng tâm. 1. Tính OH, OG và S theo, b, c.. hứng minh có b góc nhọn và tn b tn c tn. ài tập 8: ho d tại lấ điểm S,S h. 1. Tính d, ( S đều cạnh. Trên đường thẳng ( theo và h.. Đường thẳng ( S tại trực tâm H củ S, chứng tỏ luôn đi qu điểm cố định khi S di động trên d.. cắt d tại S'. Tính h theo để SS' nhỏ nhất. ài tập 11: ho tứ diện S có S. Gọi D là trung điểm củ. vuông cân tại,, S ( và 1. hứng minh khoảng cách từ đến ( S gấp đôi khoảng cách từ D đến (. Mặt phẳng ( α qu và vuông góc S, ( α cắt S và S tại M và N. - hứng minh MN là thiết diện giữ ( α và tứ diện S. - Tính thể tích hình chóp SMN.. Tính cosin góc ϕ giữ mặt phẳng ( S và ( S ài tập 15: ho đều có đường co H. Gọi O là trung điểm củ H. Trên đường thẳng vuông góc với ( tại O lấ điểm S so cho OS. 1. Tính góc cosin ϕ góc giữ ( S và ( S. Trên đoạn OH lấ điểm I. Đặt OI m ( m. < < Mặt phẳng ( góc với H cắt các cạnh,, S, S tại M, N, P, Q. - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo và. - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. ài tập : ho tứ diện S có S. H S tại H, K S tại K. 1. hứng minh rằng HK S. S. α qu I vuông vuông cân tại,, S ( và 1

10 . Gọi I HK. hứng minh rằng là trung điểm củ I.. Tính sin góc ϕ giữ S và ( HK. 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S. ài tập 1: Trong mặt phẳng ( α có góc vuông O. M, N lần lượt di động trên cạnh O, O so cho OM+ ON. Trên đường thẳng vuông góc với ( điểm S so cho OS. 1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn nhất.. Khi thể tích SOMN lớn nhất, hã tính: - ( d O, SMN. - án kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN.. Khi M, N dị động so cho OM+ ON chứng minh α tại O lấ OSM + OSN + MSN 9. VẤN ĐỀ I: Á ÀI TOÁN HỌN LỌ VỀ HÓP TM GIÁ ài tập 1: họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, ( ;;, S( ;;, E ;;, F ;; 1. hứng minh H là trung điểm củ SD. T có: FE ; ; ( 1; ; Phương trình thm số củ t FE: t ( t R. H FE H t; t; FE H t H ; ;, SH. SH ( SD D, S Mà SH đường trung bình trong S H SD 4 D ; ;. 5 5 E S H H là trung điểm củ SD do EF là D F 14

11 . Tính cosin góc P giữ hi mặt phẳng (,( F. T có ( SD FE ( SD do FE song song với ( ( ( 4;;15( ;1; SD D ϕ cosϕ SD EF H Tính thể tích hình chóp.fe. 1 1 T cóv SEF S, E.F, V S S cos cos ( ( ( D,H Vậ V.EF VS VSEF hú ý: S SEF S S VSEF VS ài tập : Trong (, vẽ. T có: vuông cân tại H là trung điểm củ S. họn hệ trục tọ độ ( ( ( ( ; S : ;;, ; ;, S ;;, ;, H ; ; 1. hứng minh ( S HK. T có: S ( 1; ; Phương trình thm số củ t S: t ( t R t ( t; K t; t K S K.S t 5 K ; ; H.S ΒΗ S S ( HK. Tính diện tích HK : 1 1 S H K H, K 1 S K H 15

12 S HK. T có S ( HK KH ( K, KH S K ( K.KH cos K,KH KKH. 5 6 ài tập : họn hệ trục O so cho: O( ;;, ( ;;,( ;b;, ( ;;c. 1. hứng minh có b góc nhọn. T có. > là góc nhọn Tương tự, là góc nhọn Vậ có b góc nhọn.. hứng minh H là trực tâm. T có phương trình mặt phẳng ( là bc+ c+ b bc b c OH u n bc; c; b ( OH ( ( Phương trình thm số củ bct OH: ct ( t R. bt Th,, vào phương trình ( t được: ( bc b c + c + b t bc t b c + c + b b c bc b c H ; ; b + c + b c b + c + b c b + c + b c H ( b c ;bc ;b c b + c + b c b H ( c ; b bc ; c b + c + b c H. H H là trực tâm. H. H O H D. hứng minh OH O O O bc 1 b + b c + c OH d O, ( b + b c + c OH b c 16

13 b c + c + b Mà O O O b c b c OH O O O 4. hứng minh rằng cos α+ cos β+ cos γ 1. Nhận ét: ( cosα cos O,( cos n ( O,n ( Gọi Gọi n n( ( bc;c;b,n1 n( O k ( ;;1, n n( O i ( 1;;,n n( O j ( ;1; cos α+ cos β+ cos γ cos n,n + cos n,n + cos n,n ( ( 1 ( b b c c b c + c + b b c + c + b b c + c + b Vậ cos α+ cos β+ cos γ 1. ài tập 4: họn hệ trục tọ độ O: O( ;;, ( ;;, ( ;;, ( ;; 1. Tính thể tích tứ diện H11 1. Do O O O nên O là hình chóp tm giác đều đỉnh O. OH ( tại H H là trọng tâm H ; ; H1 ( O 1 ; ; 1 ; ;, 1 ;; H 1 ;;, H1 ; ;, H1 ;; VH hứng minh tứ diện S đều. T có S O 1 H 17

14 4 O là trung điểm SH S ; ; S + + Tương tự S S S S S Vậ tứ diện S đều.. hứng minh OH không vuông góc ( ; ;, 1 1 ;; 1 1,1 1 ; ; 9 9 Mà OH ; ; 1 1,1 1 // OH Vậ OH ( 11 1 ài tập 5: họn hệ trục tọ độ O so cho: c O( ;;, ( ;;, ( ; ;, ( ;;c M ; ; 1. Tính OE. Gọi I là tâm OD, G I M G là trọng tâm c G ; ; E O E ( ;;e T có: ( ( α OD EG EG.M c c e Ε ;; c ΟΕ E O G I M K. Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng ( α. n( α M,EG ( c ; c; ( α :c c+ c 6 ( d, α c 18 + c. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α và chóp.od. Trong ( OD gọi K EG D Thiết diện là tứ giác KME D 18

15 Do E G nên: EG//OD EK//OD G là trung điểm EK O I SKME S EM EG.M. ài tập 6: b c c b T có: M ; ;, N ;;, P ; ; bc c b n( OMN OM,ON ; ;, bc c b n( OMP OM,OP ; ; c Trọn hệ trục tọ độ O so cho: O( ;;, ( ;;, ( ;b;, ( ;;c 1. Tính bán kính r củ ( S. VIO + VIO + VIO + VI VO r bc ( S O + S O + S O + S 6 1 S b + b c + c r bc b bc c b b c c bc r b+ bc+ c+ b + b c + c. b c c b Giả thiết, su r n ( OMN.n( OMP N O P M b c ài tập 7: họn hệ trục tọ độ O so cho: O( ;;, ( ;;, ( ;b;, ( ;;c 19

16 1. Tính OH, OG và S theo, b, c. b c 1 G ; ; OG + b + c 1 S b + b c +c H T có: O ( OH ΑΒ ΟΗ Tương tự: OH ( OH d O, ( ( :bc+ c+ b bc OH O H OH bc b + b c + c. hứng minh có b góc nhọn và tn b tn c tn.. T có:. ( ;b;( ;;c > cos > nhọn.. Tương tự, nhọn. T có: Tương tự cho S sin. S tn tn S.. cos. b tn c tn. ài tập 8: Gọi I là trung điểm. Trong ( vẽ T có: I ;;, ;;, S ;;h ; ; họn hệ trục tọ độ so cho: ( ( (

17 S 1. Tính d, ( S I H theo và h. Gọi D D( ; ; ( S ( SD D h ( S :h + h+ h d, ( S + 4h. hứng tỏ luôn đi qu điểm cố định khi S di động trên d. Gọi ( α ( S,,( β (, T có: ( α, ( β S ( SH,, H S, S 1 ( 1; ;, S ( ; ; h ( α :, ( β :( + h ( : ( + h qu điểm cố định khi h th đổi. qu G ; ; cố định. Tính h theo để SS' nhỏ nhất. d S' ;;s',s' hs' s' h T có: S' ( 1

18 S' ;; SS' h+ h h h h SS' min h h h ài tập 11: Trong mặt phẳng (, vẽ. họn hệ trục tọ độ so cho ( ;;, ( ;;, ( ;;, S( ;; D ; ; 1. hứng minh khoảng cách từ đến ( S gấp đôi khoảng cách từ D đến ( S ( 1;; T có: n ( S ( ;; 1 ( ;1; 6 d, ( S, d D, ( S ( S : Vậ, khoảng cách từ đến ( S gấp đôi khoảng cách từ D đến (. S 1;1; nα 1;1; α :+ T có: ( ( ( Phương trình thm số củ S: ( t S. S. + t R qu và u S. t + t+ t t N ;; M là trung điểm S M ; ; - hứng minh MN là thiết diện giữ ( α và tứ diện S. T có NS.N ;; ;; < Ν thuộc cạnh S và M trung điểm cạnh S Vậ MN là thiết diện giữ ( α và tứ diện S. - Tính thể tích hình chóp SMN. 1 1 VSMN S,M.N ( ;;, ; ; ;;

19 . Tính cosin góc ϕ giữ mặt phẳng ( S và ( S M.MN MN S ϕ M,MN cosϕ MN S M.MN M S T có ( ( ài tập 15: Gọi D là trung điểm OD OH 4 1 H Ο D 4 họn hệ trục tọ độ O so cho: O( ;;, D ;;, H( ;;, S( ;; ( ; ;, ;;, ;; 1. Tính góc cosin ϕ góc giữ ( S và ( S Vẽ E S tại E E S ϕ E S ;; ;1; ( ( Phương trình thm số củ S: + t ( t R. t Phương trình mặt phẳng ( E : + + t+ 4t t 5 E φ 8 4 E ; ; E ; ; cosϕ cos( E,E E ; ; Tính diện tích thiết diện MNPQ theo và. T có I( ;m;, OH ( ;1; ( MNPQ : m 1;, ; 1; ;, S ; ;, S ; ; D ( ( ( ( S O Q M I P N H

20 t + m : + t t M ;m; Phương trình thm số củ ( R t m : t t N ;m; Phương trình thm số củ ( R t m S: t t Q ;m; m t Phương trình thm số củ ( R t m Phương trình thm số củ S: t ( t R P ;m; m + t 1 SMNPQ ( MQ, MP + ( MQ, MN ( m + m+ - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. ách 1: ảng ét dấu: S MNPQ 8 Vậ ( S m m + m+ 8 MNPQ m khi ách : Áp dụng bất đẳng thức uch: S MNPQ ( MNPQ m m 4 m m ( m m + 8 S m m+ m (

21 ài tập : họn hệ trục tọ độ so cho: ( ;;, ( ;;, ( S( ;; 1. hứng minh rằng HK S. S ( ;; ( 1;; 1 S ; ; 1;1; 1 ( ( Phương trình thm số củ + t S: ( t R. t ( ; t H S H + t; H S H.S t H ;; Phương trình thm số củ t I S: t ( t R. t 뿠 K( t;t; t và H.S K ; ; HK ; ; ( 1; ; 1 HK.S hú ý: S vuông cân tại H là trung điểm củ H S R ;;, S H ;;. hứng minh rằng là trung điểm củ I. + t HK: t t. t + I HK t t I ; ; Phương trình thm số củ ( R T có: ( ( 1 5

22 Vậ là trung điểm củ I.. Tính sin góc ϕ giữ S và ( HK. S K ( gt T có: S ( HK S HK ( cmt n HK 1;1; 1 sinϕ cos S,S cos n S,n ( HK ( ( ( 썠 ( 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S. S có dạng: Gọi ( J ; ; su r phương trình mặt cầu ( d d,,, S ( S R + + J ; ; Vậ J là trung điểm củ S và R ài tập 1: họn hệ trục tọ độ O: O( ;;, M( m;;, N( ;n;, S( ;;, ( m, n> ; m+ n 1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn nhất VSOMN mn m n 6 ( VSOMN m n m 4. Khi thể tích SOMN lớn nhất thì M ;;, N ; ; - d O, ( SMN. ( SMN :+ + d O, ( SMN án kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN. Phương trình mặt cầu ( S : + + α β γ M O S 6 N 6

23 α α M, N, S ( S β β R α +β +γ γ γ. hứng minh OSM + OSN + MSN 9. Đặt α OSM, β OSN, γ MSN SM,SN S SMN m + n + m n sinγ SM.SN SM.SN m + n + ( ( OM m OS sin α, cosα SM m + SM m + ON n OS sin β, cosβ SN SN n + n + ( cos α+β cosαcosβ sinαsinβ ( m + ( n + Mặt khác: ( m + n + m n m + n + m n 菠 τ 4 m+ n mn + m n mn+ m n mn mn ( ( ( mn sinγ cos α+β γ+α+β 9 ( m + ( n + 7