MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Transcript

1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c] = [] = 1 [ α ] = α α 1 [sin] = cos [cos] = sin 1 [tan] = cos -1 [cot] = sin [ln] = 1 [log a ] = [af()] = a.f () [f() + g()] = f () + g () [f().g()] = f ().g() + f().g () ' f() g() = [f(g())] = g ().f (g). Vi phân f'().g() - g'().f() [g()] Từ đạo hàm của hàm số y = f() í hiệu là dy = f'() ta suy ra dy = f (). dy ta gọi là i phân của hàm số ta gọi là i phân của đối số (biến) Như ậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo hàm của hàm số đó ới i phân của biến. 3. Tích phân S = f(). = g() + C Trong dấu tích phân là một hàm số à một i phân. Vi phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất cả các đại lượng hác biến đều được em là hằng số. Từ các đạo hàm cơ bản, hãy iết các tích phân cơ bản: = + c α = 1 α α c VD Trong iệc tính tích phân S = 1-3 ta nghĩ đến công thức = ln + C. Tuy nhiên công thức này phải hiểu là: thương số giữa i phân của biến ới biến. Còn ới tích phân cần tìm thì, thương số giữa i phân của biến ới một hàm của biến 1 3. Ta có thể hắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X = 1 3, hi đó trong tích phân cũng phải có i phân của ẩn phụ X, đó là dx = X (). Hay dx = -3 Suy ra = -dx 3 Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công thức: S = -1 3 dx X Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được S = -1 3 (ln X + C) = -1 3 (ln C) Bây giờ hãy thử tự mình tính một số tích phân sau : a) S = 1 π b) S = cos(t + π) DẠNG 1: TỪ CÁC PHƢƠNG TÌNH CƠ BẢN, THIẾT LẬP PHƢƠNG TÌNH VI PHÂN 1. Các phƣơng trình cơ bản Cơ học: + Định luật II Niu-tơn: F 1 + F + = ma + Định luật bảo toàn động lượng: m m = m m + Định lí động năng: 1 m - 1 m 1 = A Điện học: + Định luật Ôm cho đoạn mạch + I( + r) = U Nhiệt học: + Nguyên lí I: Xét một quá trình rất nhỏ của sự biến đổi một hối hí Nhiệt lượng được truyền dq Nội năng biến đổi một lượng du Khí thực hiện công da dq = du + da. Các i phân cơ bản

2 a = d = I = dq =- dφ C = dq dt (C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ tuyệt đối) 3. Áp dụng + Lập phương trình cơ bản + Đưa ề dạng i phân: Mỗi ế có một i phân, biến của i phân nào thì nằm cùng ế ới i phân đó + Tích phân hai ế theo các cận ác định Bài 1 Một ật hối lượng m = 1 g, ận tốc ban đầu = 1 m/s, chịu lực cản có độ lớn F c =, là ận tốc của ật, hằng số = 1 g/s). 1. Viết biểu thức ận tốc của ật tại thời điểm t. Chứng minh rằng ận tốc của ật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đường đi. 3. Tính quãng đường ật đi được cho tới lúc dừng. 1. Vận tốc theo thời gian t Bài toán đang ét ật chuyển động dưới tác dụng của một lực, đó là F c + Chọn chiều dương là chiều chuyển động + Định luật II Niu-tơn -F c = ma - = m d Bây giờ ta đưa i phân à d ề hai ế, đồng thời biến ề cùng ế ới i phân d = - m.d Do ta ét chuyển động của ật từ thời điểm ban đầu t = đến thời điểm t nào đó, thì ận tốc cũng từ đến giá trị nào đó, tích phân hai ế theo các cận này: t = - md t = - m (ln - ln ) = m ln - m t = e. Vận tốc theo quãng đường s Ta chỉ ét chuyển động cho đến hi dừng lại, tức là chuyển động theo một chiều, nên quãng đường có thể em như tọa độ của ật s = Từ công hệ thức đã có ở ý 1: - = m d Với = ds ta suy ra -ds = md Tích phân hai ế d = - s m ds = - m s + 3. Quãng đường đi đến hi dừng Cho đến hi ật dừng lại thì =, suy ra s = m = = 1 m Bài Một thanh trượt bằng im loại có hối lượng m, có thể trượt hông ma sát dọc theo hai đường ray bằng im loại đặt song, nghiêng một góc α à cách nhau một đoạn b. Các đường ray được nối ín ở phía dưới bằng một tụ điện có điện dung C. Hệ được đặt trong một từ trường đều cảm ứng từ B, các đường sức thẳng đứng hướng uống. Ban đầu thanh trượt được giữ ở hoảng cách l so ới đáy. Hỏi sau bao lâu ể từ lúc thả nhẹ, thanh trượt tới đáy? Tính ận tốc của nó hi đó. Bỏ qua điện trở dây dẫn. Thực chất đây là bài toán ề chuyển động của thanh, phương trình cơ bản của bài toán là phương trình định luật II Niu-tơn + Chọn gốc tọa độ tại ị trí thả thanh, gốc thời gian lúc thả thanh. mg.sinα F t cosα = ma Trong đó F t = BIb Ở đây cường độ dòng điện hông tính bằng định luật Ôm, bởi ì thực chất mạch hở (có tụ điện). Vậy nên I được tính bằng đạo hàm điện tích trên tụ điện I = dq Với q = C. = C.B.cosα Khi đó I = C.B.b.cosα. d = C.B.b.cosα.a F t = C.B b.cosα.a Thay trở lại phương trình cơ bản ta được mg.sinα = (m + C.B b cos α)a mg.sinα a = m + C.B b cos α

3 Ta thấy rằng gia tốc a hông đổi theo thời gian, thanh trượt uống nhanh dần đều ới ận tốc ban đầu bằng hông, ta có l = 1 l at t = a l(m + C.B b cos α) t = mg.sinα Vận tốc hi đó = at = l mg.sinα m + C.B b cos α * Ghi chú: Chắc bạn thắc mắc 1. Vì sao trong công thức I = C.B.b.cosα.a lại có cosα? Công thức tính suất điện động trên thanh dẫn dài b, chuyển động ới ận tốc trong từ trường đều B là = B..l.sin, trong đó là góc hợp bởi ới B Hãy ẽ góc à sẽ thấy sin = cosα. Vì sao lực F t nằm ngang, hướng sang phải? Hãy ẽ đường sức từ, áp dụng quy tắc bàn tay trái, à chú ý rằng, F t uông góc đồng thời ới thanh à các đường sức. Bài 3 Tại thời điểm t =, một lực F = t tác dụng lên một ật nhỏ hối lượng m đang đứng yên trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang ( là một hằng số). Hướng của lực này luôn luôn hợp ới phương ngang một góc α như hình ẽ. Tính: 1. ận tốc của ật hi nó bắt đầu rời hỏi mặt phẳng ngang.. quãng đường ật đi được cho đến thời điểm này. + Chọn O nằm ngang hướng theo chuyển động ban đầu của ật, Oy thẳng đứng hướng lên. + Phương trình định luật II Niu-tơn trên các trục O cosα.t = ma = m d m.cosα.t. = d t d = m.cosα.t. = m cosα.t Trên trục Oy.sinα.t + N = mg 1. Khi ật rời mặt phẳng ngang mg N = t =.sinα Lúc đó y = = mg.cosα.sin α. Quãng đường ật đi được đến lúc đó Từ công thức = Lúc t = = = m cosα.t = t m cosα. t =.cosα.t3 6m mg.sinα thì quãng đường là = m g 3.cosα 6..sin α Bài 4 Một ật nhỏ trượt uống một mặt phẳng nghiêng góc α ới mặt phẳng ngang. Ban đầu ật ở gốc tọa độ của trục O dọc theo hướng trượt của ật. Hệ số ma sát trượt giữa mặt phẳng nghiêng ới ật tại tọa độ là µ =, ới là hằng số. Tìm ị trí ật dừng lại à tốc độ cực đại trong quá trình ật trượt. Trên Oy ta có N = mgcosα Trên O phương trình định luật II Niu-tơn mg.sinα µn = ma hay g.sinα.g.cosα = d *Nhận ét: Đến đây, nếu ta chuyển sang ế trái, hi đó ế phải có i phân d nhưng ế trái chứa biến à i phân, hông thể tính tích phân được. Vậy ta phải chuyển thành biểu thức có t (hông làm được) hoặc chuyển ề : Từ = = Vậy ta có: g.sinα.g.cosα = d g(sinα.cosa.) = d g(sinα.cosa.) = d g(sinα. - 1.cosα. ) = 1 1. Vật dừng lại hi =, suy ra = tanα. Tốc độ cực đại hi 1 cực đại Đạo hàm ế trái bằng hông: sinα.cosα. = = tanα Thay trở lại ta tính được

4 ma = gsinα.tanα Bài 5 Cho n mol hí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C phụ thuộc ào nhiệt độ tuyệt đối T theo hệ thức eq C = α + βt, trong đó α à β là các hằng số. 1. Tính nhiệt lượng cần truyền cho hí để nó tăng từ nhiệt độ T 1 đến nhiệt độ T.. Viết biểu thức thể tích của hí theo nhiệt độ T. 1. Nhiệt lượng Nói đến nhiệt lượng à nhiệt dung, ta phải nghĩ đến công thức C = dq dt Hay dq = CdT = (α + βt)dt Q dq = T 1 T (α + βt)dt Q = (T T 1 )(α + β (T 1 + T )). Thể tích Phương trình cơ bản chính là nguyên lí I dq = du + da Trong đó du = 3 ndt Quá trình rất nhỏ nên áp suất coi như hông đổi p, công được tính da = pdv Bây giờ ta được (α + βt)dt = 3 ndt + pdv * Ghi chú: đến đây thường ta nghĩ, α, β, n,, p đều là hằng số, nên có thể chuyển T à dt sang một ế, dv sang một ế để thực hiện tích phân. Tuy nhiên, hãy chú ý, nếu trong một quá trình rất nhỏ thì áp suất hông đổi, nhưng nếu tích phân, tức là ét cả quá trình dài, áp suất hông phải hằng số, nó thay đổi theo T. Vậy ta phải đưa p ề dạng có T à V (trong phương trình chỉ có hai i phân dt à av), ta sử dụng phương trình trạng thái p = nt V, thay ào phương trình cơ bản ta được (α + βt)dt = 3 nt ndt + V dv Bây giờ thì đã rõ ràng, phương trình chỉ có các hằng số à hai biến V à T, ta đưa ề hai ế cùng ới hai i phân dv à dt α - 3 n T + β dt = n dv V α - 3 n T dt + βdt = n dv V (α - 3 n)lnt + βt = nlnv + C Bài 6 Một mạch ín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian = 1cos(1πt) (V) à điện trở trong hông đáng ể, nối ới mạch ngoài có một điện trở = 5 Ω. 1. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm t.. Tính điện lượng chuyển qua điện trở à nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở trong thời gian từ 1 t = đến t = 6 s. 1. Cường độ dòng điện Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch I = = 1cos(1πt) =,cos(1πt) A 5. Điện lượng qua Ta thường tính điện lượng Δq qua công thức I = Δq Δt, tuy nhiên công thức đó chỉ đúng hi I hông đổi. Với trường hợp I thay đổi theo t thì phải sử dụng công thức i phân, sau đó tích phân theo cả quá trình. I = dq dq = I =,cos(1πt). q t dq =, cos(1πt) t 1 q =, t 1π cos(1πt)d(1πt) t 1 = -, 1π [sin(1πt ) sin(1πt 1 )] -3, C Bài 7 Hai bản im loại phẳngđặt song song, cách nhau d = cm trong chân hông, từ trường đều cảm ứng từ B =,1 T, các đường sức song song ới hai bản (hình ẽ). Nối hai bản ới một nguồn cao thế. Một electron rời catot ới ận tốc ban đầu bằng hông. Hiệu điện thế giữa hai bản là bao nhiêu để electron có thể bay được tới anot? Trước hết ta phân tích chuyển động của electron sau hi rời catot:

5 Ban đầu nó chỉ chịu tác dụng của lực điện trường, e tăng tốc hướng uông góc ới hai bản. Tuy nhiên ngay hi nó có ận tốc thì chịu thêm tác dụng của lực từ, quỹ đạo của e bị bẻ cong (hình ẽ). Trên mặt bàn nhẵn nằm ngang có một hung dây ín bằng im loại hình chữ nhật ích thước hai cạnh là Z à X, có điện trở là. Khung đặt trong từ trường có cảm ứng từ dọc theo trục Oz à phụ thuộc ào toạ độ theo quy luật B z B (1. ). Trong đó B à là các hằng số. Tại thời điểm t =, truyền cho hung ận tốc ban đầu dọc theo trục O. Xác định quãng đường dịch chuyển a nhất của hung. Xét electron tại một điểm nào đó có tọa độ (,y) - Lực điện luôn cùng hướng Oy F đ = e U d - Lực từ ta phân tích thành thành phần Thành phần F tác dụng lên thành phần y (Lưu ý rằng lực từ luôn uông góc ới ecto ận tốc) F = B y e Thành phần F y tác dụng lên thành phần F y = B y e - Định luật II Niu-tơn trên O (trên O chỉ có lực từ nên ta ét trước): F = ma B y e = m d hay B e dy = md Bỏ à tích phân hai ế từ y = đến y, = đến ta được = B e m y - Định luật II Niu-tơn trên Oy F đ F y = ma y (Hãy ẽ ecto lực từ thì sẽ thấy thành phần F y luôn ngược chiều dương) Hay e U d - B e = m d y Ta thay thế = B e dy m y à = ào thì được y e U d - B e m y = m d y y dy ( e U d - B e m y)dy = m yd y Tích phân hai ế từ y = đến y à từ y = đến y e U d y - B e m y = m y Electron đến bản dương hi y = d, hi đó e U d d - B e m d = m y Để e đến được bản dương thì y, suy ra U B e d m = 3,5.15 V Bài 8 z B O Đây cũng là bài toán ề sự chuyển động của hung dây, phương trình cơ bản là định luật II Niu-tơn + Xét hung dây ở tọa độ (cạnh bên trái của hung có tọa độ ) + Các lực tác dụng lên hung theo phương ngang chính là lực từ tác dụng lên các cạnh của hung. + Cảm ứng từ dọc theo Oz là đều, nên các lực từ tác dụng lên hai cạnh dọc theo O cùng độ lớn, nhưng ngược chiều nhau, chúng triệt tiêu lẫn nhau. + Các lực tác dụng lên hai cạnh dọc theo Oz lần lượt là F 1 = B 1 Z I = B (1 - α)z I ( ngược hướng O) F = B Z I = B [1 - α( + X )]Z I (cùng hướng O) (* Ghi chú: Hãy ác định từ thông tăng hay giảm, suy ra cảm ứng từ do dòng điện cảm ứng trong hung gây ra, suy ra chiều dòng điện cảm ứng à cuối cùng suy ra được chiều các lực từ - Quy tắc Lenơ) + Định luật II Niu-tơn F F 1 = ma -B αx Z I = ma Trong đó, ta tính I bắt đầu từ iệc tính từ thông qua hung dây tại ị trí này. Xét diện tích ds cạnh Z, dx tại ị trí cách cạnh bên trái một đoạn X. Vì dx rất nhỏ nên cảm ứng từ trên diện tích này là đều B = B [1 α( + X)] dφ = B.dS = B [1 α( + X)]Z dx X Φ = B [1 α( + X)]Z dx =B Z [(1 α)x - 1 αx ] Suất điện động cảm ứng trong hung có độ lớn = -dφ =B Z X α. = I = = B Z X α. d Thay ào biểu thức định luật II Niu-tơn ta được - B X Z α. = md - B X Z α. = md

6 Tích phân hai ế từ = đến à từ = đến = ta được - B X Z α. = -m = m B X Z α BÀI TẬP Bài 1 Một ật nhỏ hối lượng m đang đứng yên trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang thì bắt đầu chuyển động do một lực F = mg/3 tác dụng. Trong quá trình chuyển động của ật, góc hợp bởi hướng của lực ới phương ngang là α =.s, trong đó là hằng số, s là quãng đường ật đi được. Tìm ận tốc của ật dưới dạng hàm số của α. Bài Một chất điểm chuyển động dọc theo chiều dương của trục O, ận tốc phụ thuộc tọa độ theo biểu thức =, trong đó là hằng số dương. Hãy ác định 1. ận tốc à gia tốc của ật theo thời gian.. ận tốc trung bình trong hoảng thời gian từ hi = đến tọa độ bất ì. ĐS: 1) a = ; = t; ) tb = Bài 3 Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường thẳng ới gia tốc có độ lớn phụ thuộc ào tốc độ bằng biểu thức a =, ới là hằng số dương. Tại thời điểm ban đầu ận tốc của chất điểm là. Tính quãng đường ật đi được cho đến hi dừng lại à thời gian đi quãng đường đó. ĐS: s = 3.3/ ; t = Bài 4 Một chất điểm chuyển động chậm dần trên quỹ đạo tròn bán ính sao cho tại mỗi điểm gia tốc tiếp tuyến à gia tốc hướng tâm luôn có độ lớn bằng nhau. Khi t = thì tốc độ dài là. Hãy ác định 1. tốc độ dài theo thời gian à quãng đường đi được.. gia tốc toàn phần theo ận tốc à quãng đường. e -s ĐS: 1) = e -s/ ; ) a = à Bài 5 Một thanh im loại AB có thể trượt hông ma sát dọc theo một đường ray trên mặt phẳng ngang (hình ẽ). Thanh có chiều dài l, hối lượng m à điện trở. Hệ thống được đặt trong một từ trường đều thẳng đứng, cảm ứng từ B. Tại thời điểm t =, một lực hông đổi F nằm ngang, song song ới đường ray, tác dụng lên thanh à thanh bắt đầu chuyển động sang phải. Hãy lập biểu thức ận tốc của thanh theo thời gian t. Bỏ qua điện trở của ray. ĐS: = (1 - e -B l m t ) F B l Bài 6 Một dây dẫn thẳng dài ô hạn mang dòng điện I, hoảng cách từ nó đến hai dây dẫn hác là a à b, là điện trở nối hai dây đó. Thanh im loại có thể trượt hông ma sát ới ận tốc hông đổi. Bỏ qua điện trở của dây nối à của thanh. 1. Xác định cường độ à chiều dòng điện cảm ứng uất hiện trong mạch.. Tính lực để giữ cho thanh im loại chuyển động ới ận tốc hông đổi. e 7 I b ĐS: 1) i.1 ln a -14 I b ) F 4.1 ln a Bài 7 Proton có ận tốc = 1 7 m/s bay ào một môi trường có từ trường đều B =, T, các đường sức uông góc ới mặt phẳng quỹ đạo của proton. Ngoài ra, proton còn chịu tác dụng của lực cản tỉ lệ ới ận tốc F = α, ới α = Ns/m. Hỏi ở hoảng cách nào ể từ hi bay ào môi trường, proton dừng lại? ĐS: l = m q B + α = 1,7 cm N.Đ.T-CQB