Năm Chứng minh Y N

Transcript

1 Về bài toán số 5 trong kì thi chọn đội tuyển toán uốc tế của Việt Nam năm 2015 Nguyễn Văn Linh Năm Mở đầu Trong ngày thi thứ hai của kì thi Việt Nam TST 2015 có một bài toán khá thú vị. ài toán. ho tam giác nhọn có một điểm nằm trong tam giác sao cho = = α và α > 180. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt ở, đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt ở. Gọi là điểm nằm trong tam giác sao cho = = α. Gọi là điểm đối xứng với qua, phân giác góc cắt tại T. a) hứng minh rằng T =, T =. b) Đường thẳng cắt các đường thẳng, lần lượt tại M, N. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác M, N và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ. Đường thẳng T cắt () tại H. hứng minh rằng H đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MN. Trong bài viết này chúng ta sẽ chứng minh bài toán trên và khai thác một số vấn đề xung quanh. 2 hứng minh M Y N X T J I H 1

2 a) Ta có = 180 = 180 = nên tứ giác nội tiếp. Suy ra hai tam giác và đồng dạng. Lại có = = = = α nên và đẳng giác trong góc. Gọi T là điểm liên hợp đẳng giác của trong tam giác. Hiển nhiên T T. Gọi X là điểm đối xứng với T qua. Ta có X = T =, X = T =, suy ra và X liên hợp đẳng giác trong tam giác. Mà là phân giác nên X,, thẳng hàng. o đối xứng của T qua nằm trên nên T nằm trên đối xứng của qua. Mà đối xứng với qua, T là phân giác nên T đối xứng với qua. Từ đó T T. Suy ra T = X = =. Tương tự T =. b) Ta có = + + = + + = + + = 2. Theo câu a, T = nên T là phân giác. Tương tự T là phân giác, suy ra tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm T. ua kẻ tiếp tuyến thứ hai tới (I), cắt T tại L. Tứ giác L, ngoại tiếp nên = = L L, suy ra tứ giác L ngoại tiếp, hay L là tiếp tuyến chung của (I) và (J). Từ đó IJ = 1 2. Mặt khác, gọi Y là tâm nội tiếp tam giác MN, ta có IY J = 180 MIN = MN = 1 2. Suy ra IJ = IY J, ta thu được, Y, I, J cùng thuộc một đường tròn. o Y và H là phân giác của hai góc bù nhau nên Y H = 90, suy ra Y H là đường kính của (IJ). Vậy Y H đi qua. 3 hai thác Đầu tiên chúng ta xem xét câu a của bài toán. hông khó để nhận ra trường hợp tổng quát nếu hai điểm, bất kì thỏa mãn đối song với, kết luận của bài toán vẫn giữ nguyên. Tiếp theo chú ý vào dữ kiện = = α, ta liên tưởng tới một điểm đặc biệt có tính chất như vậy, đó là điểm ermat. Thực tế đã có một kết quả khá quen thuộc về sự đồng quy liên quan đến điểm ermat được phát biểu như sau. ài 1. ho tam giác có là điểm ermat. hi đó các đường thẳng đối xứng của,, qua,, đồng quy tại điểm liên hợp đẳng giác của trong tam giác - điểm isodynamic. ách chứng minh bài toán 1 hoàn toàn tương tự câu a của bài toán ban đầu. hú ý rằng điểm isodynamic là giao của 3 đường tròn pollonius trong tam giác. Trong trường hợp tổng quát cũng có tính chất tương tự, ta có bài toán sau. ài 2. ho tam giác và một điểm bất kì. Gọi là điểm đối xứng với qua. hi đó, đẳng giác trong khi và chỉ khi nằm trên đường tròn -pollonius. 2

3 hứng minh. Gọi, là chân phân giác trong góc. Ta có và đối xứng nhau qua nên =. và đẳng giác trong khi và chỉ khi là phân giác. Mà = và nên điều này tương đương nằm trên ( ). Tâm ngoại tiếp tam giác nằm trên trung trực tức là nằm trên. Gọi là giao của ( ) với suy ra là đường kính của ( ), mà là chân phân giác trong nên nằm trên ( ) tương đương là chân phân giác ngoài hay ( ) là đường tròn pollonius ứng với đỉnh của tam giác. Ta có đpcm. Như vậy trong câu a, điểm T nằm trên đường tròn -pollonius của tam giác. Tiếp theo ta có thể chứng minh tứ giác ngoại tiếp theo một cách khác như sau: dễ thấy phân giác các góc,, giao nhau tại nên tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm. Từ đó suy ra =, mà và đối xứng qua nên =, ta thu được = hay tứ giác ngoại tiếp. Từ cách chứng minh này, nếu lấy R là điểm đối xứng với qua ta cũng thu được R R = =, từ đó tứ giác R ngoại tiếp. Ta thu được bài toán tương tự câu a như sau. ài 3. Với giả thiết giống bài toán ban đầu. Gọi R là điểm đối xứng với qua, phân giác góc R cắt tại S. hi đó RS =, R S =. R S hứng minh. Ta đã chứng minh được tứ giác R ngoại tiếp. o là phân giác nên S là tâm nội tiếp tứ giác R. Suy ra RS = 1 2 R = 1 ( R + = + ) = 2 =. hứng minh tương tự, R S =. 3

4 Theo cách chứng minh bài 3, ta có thể tổng quát câu a của bài toán như sau. ài 4. ho tam giác. Một đường tròn ω có tâm thỏa mãn và nằm ngoài ω. Từ và kẻ hai tiếp tuyến tới ω, chúng cắt nhau tại hai điểm và sao cho tứ giác có cạnh không tự cắt nhau. Gọi là điểm đối xứng với qua. hân giác cắt tại T. hi đó T =, T =. T Tiếp theo chúng ta sẽ khai thác câu b. ó thể thấy với đường thẳng bất kì đi qua cắt tại M và tại N, kết luận của bài toán được giữ nguyên. Mấu chốt của câu b là chứng minh nằm trên đường tròn đi qua tâm nội tiếp các tam giác MN, M, N. Đây là một kết quả quen thuộc đã xuất hiện trong bài toán G8, IMO Shortlist 2009, được phát biểu như sau. ài 5. ho tứ giác ngoại tiếp. Một đường thẳng qua cắt đoạn thẳng tại M và đường thẳng tại N. Gọi I 1, I 2, I 3 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác M, MN, N. hứng minh rằng trực tâm tam giác I 1 I 2 I 3 nằm trên MN. I 1 I 3 I M I 2 N hứng minh. Ta có I1I2I3 = 1 2 ( MN + MN) = 1 2. Gọi là giao điểm thứ hai của tiếp tuyến kẻ từ tới (I3) với M. o tứ giác ngoại tiếp nên + = + hay = =. Suy ra + = + hay tứ giác ngoại tiếp. Vậy I1I3 = I1 + I3 = 1 2 ( + ) = 1 2. Ta thu được I1I2I3 = I1I3 hay I1, I2, I3, nằm trên một đường tròn. ễ thấy điểm đối xứng với qua I1I2, I3I2 nằm trên MN nên MN là đường thẳng Steiner của ứng với tam giác I1I2I3. Điều đó nghĩa là trực tâm tam giác I1I2I3 nằm trên MN. Ta lại có kết quả tổng quát hơn về sự đồng viên của, I1, I2, I3 như sau. 4

5 ài 6. ho tứ giác ngoại tiếp., là hai điểm bất kì nằm trên. giao tại G. Gọi I 1, I 2, I 3, I 4 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác G, G,,. hứng minh rằng I 1, I 2, I 3, I 4 cùng thuộc một đường tròn. hứng minh. ách 1. M I 1 R I 3 L T N U I 2 G I 4 S ẻ tiếp tuyến chung MN của (I 3 ) và (I 4 ). MN giao, lần lượt tại L,. Gọi, R, T lần lượt là tiếp điểm của (I 3 ) với,, ;, S, U lần lượt là tiếp điểm của (I 4 ) với,,. o tứ giác ngoại tiếp nên theo định lý ythot, + = +. Suy ra = R + R + S + S, từ đó + = R + S = T + U. Mặt khác = MN nên +MN = T +U hay +ML+L+N = L+LT ++G. Suy ra + L = L +, nghĩa là tứ giác L ngoại tiếp. Vậy (I 1 ), (I 3 ), (I 4 ) có chung một tiếp tuyến L. Ta thu được I 3 I 2 I 4 = I 2 = G, I 3I 1 I 4 = LG. Suy ra I 3 I 1 I 4 + I 3 I 2 I 4 = 180. Vậy I 1, I 2, I 3, I 4 cùng thuộc một đường tròn. ách 2. (Vũ Thanh Tùng, HS lớp 11 THT chuyên Sư hạm) I 1 I I 3 G I 2 I 4 5

6 Ta có I 3 I 1 = 1 2 = I nên I 3I = I 1. Trên lấy điểm sao cho I 3 I I 1. Suy ra 180 I 1 = I 1 = II 3 = 180 I. Từ đó I 1 = I. Tương tự ta cũng có I 1 = II 4 nên I 1 II 4. Ta thu được I 3 I 1 I, I 1 I 4 I, suy ra I 1 I 3 + I 1 I 4 = I + I = 180. Suy ra I 3 I 1 I 4 = 180 I 1 = G = 180 I 2 = 180 I 3 I 2 I 4. Vậy I 1, I 2, I 3, I 4 cùng thuộc một đường tròn. Rõ ràng khi ta thu được bài toán 3. Đồng thời không khó nhận ra trong bài toán 4, đường thẳng Steiner của I 2 ứng với tam giác I 1 I 3 I 4 song song với tiếp tuyến chung của (I 1 ), (I 3 ), (I 4 ). Ta cũng thấy trong cách giải thứ nhất, tam giác G thu được bằng cách lấy giao điểm của các đường thẳng đối xứng với MN qua 3 cạnh của tam giác I 1 I 3 I 4. Đây là một bổ đề khá quen thuộc và nhiều ứng dụng. ổ đề. ho tam giác và một đường thẳng d bất kì. Gọi XY Z là tam giác tạo bởi giao điểm của các đường thẳng đối xứng với d qua,,. hi đó tâm đường tròn nội tiếp tam giác XY Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Để kết thúc bài viết, mời bạn đọc chứng minh một số bài toán có cách phát biểu tương tự bài 5. ài 7. ho tứ giác ngoại tiếp. là điểm bất kì trên. Gọi (I 1 ), (I 2 ), (I 3 ) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác,,. hứng minh rằng trực tâm tam giác I 1 I 2 I 3 nằm trên tiếp tuyến chung ngoài khác của (I 1 ) và (I 3 ). ài 8. ho hình bình hành có góc nhọn. Trên cạnh lấy điểm T sao cho tam giác T nhọn. Gọi O 1, O 2, O 3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác T, T, T. hứng minh rằng trực tâm của tam giác O 1 O 2 O 3 nằm trên. ài 9. ho tam giác. Một đường thẳng d cắt,, lần lượt tại X, Y, Z. Gọi O 1, O 2, O 3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác Y Z, XZ, XY. hứng minh rằng trực tâm tam giác O 1 O 2 O 3 nằm trên d. 6

7 Tài liệu [1] Việt Nam TST Đề thi, lời giải và danh sách đội tuyển. [2] lementaryyy, Torixeli, os orum. [3] pril, IMO Shortlist roblem G8, os orum. 7