7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế

Transcript

1 TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG ÀI TẬP TÁN 9 PHẦN I: ĐẠI SỐ. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Điều kiện để căn thức có nghĩ. có nghĩ khi 0. Các công thức biến đổi căn thức.. b.. ( 0; 0) c. ( 0; > 0) d. e. f. h. ( 0; 0) e. ( 0) ( < 0; 0) ( 0; 0) g. ( 0) > C C( ) ( 0; ) ± C C( ) i. ( 0; 0; ) ± 3. Hàm số y x + b ( 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi < 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đường thẳng đi qu điểm (0;b); (-b/;0). 4. Hàm số y x ( 0) - Tính chất: + Nếu > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đường cong Prbol đi qu gốc toạ độ (0;0). + Nếu > 0 thì đồ thị nằm phí trên trục hoành. + Nếu < 0 thì đồ thị nằm phí dưới trục hoành. 5. Vị trí tương đối củ hi đường thẳng Xét đường thẳng y x + b (d) và y 'x + b' (d') (d) và (d') cắt nhu ' (d) // (d') ' và b b' (d) (d') ' và b b' 6. Vị trí tương đối củ đường thẳng và đường cong. Xét đường thẳng y x + b (d) và y x (P) (d) và (P) cắt nhu tại hi điểm (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung

2 7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nếu 0 : Phương trình có nghiệm kép : b x x Nếu < 0 : Phương trình vô nghiệm Công thức nghiệm thu gọn ' b' - c với b b' - Nếu ' > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: ' ' ' ' b + b x ; x - Nếu ' 0 : Phương trình có nghiệm kép: ' b x x - Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm 8. Hệ thức Viet và ứng dụng. - Hệ thức Viet: Nếu x, x là nghiệm củ phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) thì: b S x + x c P x. x - Một số ứng dụng: + Tìm hi số u và v biết u + v S; u.v P t giải phương trình: x - Sx + P 0 (Điều kiện S - 4P 0) + Nhẩm nghiệm củ phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Nếu + b + c 0 thì phương trình có hi nghiệm: x ; x c Nếu - b + c 0 thì phương trình có hi nghiệm: c x - ; x 9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ước : Lập phương trình hoặc hệ phương trình ước : Giải phương trình hoặc hệ phương trình ước 3: Kiểm tr các nghiệm củ phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận Website: Trng

3 . CÁC DẠNG ÀI TẬP Dạng : Rút gọn biểu thức ài toán: Rút gọn biểu thức Để rút gọn biểu thức t thực hiện các bước su: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đư bớt thừ số r ngoài căn thức (nếu có) - Trục căn thức ở mẫu (nếu có) - Thực hiện các phép tính: luỹ thừ, khi căn, nhân chi... - Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Dạng : ài toán tính toán ài toán : Tính giá trị củ biểu thức. Tính mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩ với bài toán Rút gọn biểu thức ài toán : Tính giá trị củ biểu thức (x) biết x Cách giải: - Rút gọn biểu thức (x). - Thy x vào biểu thức rút gọn. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức ài toán: Chứng minh đẳng thức Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp : Dự vào định nghĩ Phương pháp : iến đổi trực tiếp Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.... C... C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương. ' ' " "... (*) (*) đúng do đó - Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết. - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp. - Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức ài toán: Chứng minh bất đẳng thức > Một số bất đẳng thức qun trọng: - ất đẳng thức Cosi: n n n (với n 0 ) n Dấu xảy r khi và chỉ khi: 3... n - ất đẳng thức unhicôpxki: Với mọi số ; ; 3 ; ; n; b ; b ; b 3 ; bn b + b + b b ( )( b + b + b b ( ) ) 3 3 n n 3 n 3 n Dấu xảy r khi và chỉ khi: b 3... b b b Website: Trng 3 3 n n

4 Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp : Dự vào định nghĩ > - > 0 - Phương pháp : iến đổi trực tiếp... + M > nếu M 0 - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương > ' > ' " > "... (*) (*) đúng do đó > - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu > C và C > > - Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng Để chứng minh > t giả sử > và dùng các phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vô lí khi đó t kết luận >. - Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết. - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp. - Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 5: ài toán liên qun tới phương trình bậc hi ài toán : Giải phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Các phương pháp giải: - Phương pháp : Phân tích đư về phương trình tích. - Phương pháp : Dùng kiến thức về căn bậc hi x x ± - Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm T có b - 4c + Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x + Nếu 0 : Phương trình có nghiệm kép b x x + Nếu < 0 : Phương trình vô nghiệm - Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn T có ' b' - c với b b' + Nếu ' > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: ' ' ' ' b + b x ; x + Nếu ' 0 : Phương trình có nghiệm kép ' b x x + Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu x, x là nghiệm củ phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) thì: b x + x c x x. Chú ý: Nếu, c trái dấu tức là.c < 0 thì phương trình luôn có hi nghiệm phân biệt. Website: Trng 4

5 ài toán : iện luận theo m sự có nghiệm củ phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ). Xét hệ số : Có thể có khả năng. Trường hợp 0 với vài giá trị nào đó củ m. Giả sử 0 m m 0 t có: (*) trở thành phương trình bậc nhất x + c 0 (**) + Nếu b 0 với m m 0 : (**) có một nghiệm x -c/b + Nếu b 0 và c 0 với m m 0 : (**) vô định (*) vô định + Nếu b 0 và c 0 với m m 0 : (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b. Trường hợp 0: Tính hoặc ' + Tính b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ x ; x b Nếu 0 : Phương trình có nghiệm kép : x x b Nếu < 0 : Phương trình vô nghiệm + Tính ' b' - c với b b' Nếu ' > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: ' ' b + x ; x ' b ' Nếu ' 0 : Phương trình có nghiệm kép: Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận trên. ài toán 3: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm. Có hi khả năng để phương trình bậc hi x + bx + c 0 có nghiệm:. Hoặc 0, b 0. Hoặc 0, 0 hoặc ' 0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện hoặc điều kiện. ài toán 4: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm phân biệt. 0 0 Điều kiện có hi nghiệm phân biệt hoặc ' > 0 > 0 ài toán 5: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: hoặc hoặc ' b x x b ' Website: Trng 5

6 ài toán 6: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm kép. 0 0 Điều kiện có nghiệm kép: hoặc ' 0 0 ài toán 7: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) vô nghiệm. 0 0 Điều kiện có một nghiệm: hoặc ' < 0 < 0 ài toán 8: Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm Điều kiện có một nghiệm: hoặc hoặc ' b ài toán 9 : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (, b, c phụ thuộc thm số m ) có hi nghiệm cùng dấu. ' 0 0 Điều kiện có hi nghiệm cùng dấu: c hoặc c P > 0 P > 0 ài toán 0 : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (, b, c phụ thuộc thm số m) có nghiệm dương. ' 0 0 c c Điều kiện có hi nghiệm dương: P > 0 hoặc P > 0 b b S > 0 S > 0 ài toán : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( trong đó, b, c phụ thuộc thm số m ) có nghiệm âm. Điều kiện có hi nghiệm âm: ' 0 0 c c P > 0 hoặc P > 0 b b S < 0 S < 0 ài toán : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (, b, c phụ thuộc thm số m) có nghiệm trái dấu. Điều kiện có hi nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc và c trái dấu. ài toán 3 : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (*) (, b, c phụ thuộc thm số m) có một nghiệm x x. Cách giải: - Thy x x vào phương trình (*) t có: x + bx + c 0 m - Thy giá trị củ m vào (*) x, x P - Hoặc tính x S - x hoặc x x Website: Trng 6

7 ài toán 4 : Tìm điều kiện củ thm số m để phương trình bậc hi x + bx + c 0 (, b, c phụ thuộc thm số m) có nghiệm x, x thoả mãn các điều kiện:. α x + βx γ b. x + x k c. + n d. x + x 3 h e. x + x 3 t x x Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*) Theo định lí Viet t có: b x + x S () c x. () x P. Trường hợp: α x β γ + x b x + x Giải hệ x, x αx + βx γ Thy x, x vào () m Chọn các giá trị củ m thoả mãn (*) b. Trường hợp: x + x k ( x + x) x x k b c Thy x + x S và x.x P vào t có: S - P k Tìm được giá trị củ m thoả mãn (*) c. Trường hợp: + n x + x nx. x b nc x x Giải phương trình - b nc tìm được m thoả mãn (*) d. Trường hợp: x + x h S P h 0 Giải bất phương trình S - P - h 0 chọn m thoả mãn (*) e. Trường hợp: x + x t S 3PS t 3 Giải phương trình S 3PS t chọn m thoả mãn (*) ài toán 5: Tìm hi số u và v biết tổng u + v S và tích u.v P củ chúng T có u và v là nghiệm củ phương trình: x - Sx + P 0 (*) (Điều kiện S - 4P 0) Giải phương trình (*) t tìm được hi số u và v cần tìm. Website: Trng 7

8 Nội dung 6: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ ài toán: Giải phương trình trùng phương x 4 + bx + c 0 Đặt t x (t 0) t có phương trình t + bt + c 0 Giải phương trình bậc hi ẩn t su đó thy vào tìm ẩn x ảng tóm tắt t + bt + c 0 x 4 + bx + c 0 vô nghiệm vô nghiệm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dương nghiệm đối nhu nghiệm dương 4 nghiệm cặp nghiệm đối nhu ài toán : Giải phương trình ( x + ) + ( x + ) + C 0 x x Đặt x + t x - tx + 0 x Suy r t ( x + ) x + + x + t x x x Thy vào phương trình t có: (t - ) + t + C 0 t + t + C - 0 Giải phương trình ẩn t su đó thế vào x + t giải tìm x. x ài toán 3: Giải phương trình ( x + ) + ( x ) + C 0 x x Đặt x t x - tx - 0 x Suy r t ( x ) x + x + t + x x x Thy vào phương trình t có: (t + ) + t + C 0 t + t + C + 0 Giải phương trình ẩn t su đó thế vào x t giải tìm x. x ài toán 4: Giải phương trình bậc co Dùng các phép biến đổi đư phương trình bậc co về dạng: + Phương trình tích + Phương trình bậc hi. Website: Trng 8

9 Nội dung 7: Giải hệ phương trình x+ by c ài toán: Giải hệ phương trình ' x+ b' y c' Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp thế + Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: Giải phương trình vô tỉ ài toán : Giải phương trình dạng f ( x) g( x) () g( x) 0 () T có f( x) g( x) f( x) g( x) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện () chọn nghiệm thích hợp nghiệm củ () ài toán : Giải phương trình dạng f ( x) + h( x) g( x) Điều kiện có nghĩ củ phương trình f ( x) 0 h( x) 0 g( x) 0 Với điều kiện trên thoả mãn t bình phương hi vế để giải tìm x. Nội dung 8: Giải phương trình chứ giá trị tuyệt đối ài toán: Giải phương trình dạng f ( x ) g ( x ) g( x) 0 Phương pháp : f ( x ) g ( x ) Phương pháp : [ f ( x) ] [ g( x) ] Xét f(x) 0 f(x) g(x) Xét f(x) < 0 - f(x) g(x) Phương pháp 3: Với g(x) 0 t có f(x) ± g(x) Nội dung 9: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củ biểu thức ài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củ hàm số y f(x) Phương pháp : Dự vào luỹ thừ bậc chẵn. - iến đổi hàm số y f(x) so cho: y M - [g(x)] n, n Z y M Do đó ymx M khi g(x) 0 - iến đổi hàm số y f(x) so cho: y m + [h(x)] k k Z y m Do đó ymin m khi h(x) 0 Phương pháp : Dự vào tập giá trị hàm. Phương pháp 3: Dự vào đẳng thức. Website: Trng 9

10 Nội dung 0: Các bài toán liên qun đến hàm số * Điểm thuộc đường - đường đi qu một điểm ài toán: Cho (C) là đồ thị củ hàm số y f(x) và một điểm (x ;y ). Hỏi (C) có đi qu không? Đồ thị (C) đi qu (x ;y ) khi và chỉ khi toạ độ củ nghiệm đúng phương trình củ (C) (C) y f(x ) Dó đó tính f(x ) Nếu f(x ) y thì (C) đi qu. Nếu f(x ) y thì (C) không đi qu. * Sự tương gio củ hi đồ thị ài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y f(x) và y g(x) Hãy khảo sát sự tương gio củ hi đồ thị Toạ độ điểm chung củ (C) và (L) là nghiệm củ phương trình hoành độ gio điểm: f(x) g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung. - Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhu. - Nếu (*) có nghiệm thì (C) và (L) có điểm chung. - Nếu (*) có nghiệm thì (C) và (L) có điểm chung. * Lập phương trình đường thẳng ài toán : Lập phương trình củ đường thẳng (D) đi qu điểm (x ;y ) và có hệ số góc bằng k. Phương trình tổng quát củ đường thẳng (D) là : y x + b (*) - Xác định : t có k - Xác định b: (D) đi qu (x;y) nên t có y kx + b b y - kx - Thy k; b y - kx vào (*) t có phương trình củ (D) ài toán : Lập phương trình củ đường thẳng (D) đi qu hi điểm (x ;y ); (x ;y ) Phương trình tổng quát củ đường thẳng (D) là : y x + b y x + b (D) đi qu và nên t có: y x + b Giải hệ t tìm được và b suy r phương trình củ (D) ài toán 3: Lập phương trình củ đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (C): y f(x) Phương trình tổng quát củ đường thẳng (D) là : y kx + b Phương trình hoành độ điểm chung củ (D) và (P) là: f(x) kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này t tìm được b và suy r phương trình củ (D) ài toán 3: Lập phương trình củ đường thẳng (D) đi qu điểm (x ;y ) và tiếp xúc với đường cong (C): y f(x) Phương trình tổng quát củ đường thẳng (D) là : y kx + b Phương trình hoành độ gio điểm củ (D) và (P) là: f(x) kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này t tìm được hệ thức liên hệ giữ và b (**) Mặt khác: (D) qu (x ;y ) do đó t có y x + b (***) Từ (**) và (***) và b Phương trình đường thẳng (D). Website: Trng 0

11 PHẦN II: HÌNH HỌC. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Hệ thức lượng trong tm giác vuông. b b' c c' h b'c' h bc b + c + h b c c c' H h b' b C. Tỉ số lượng giác củ góc nhọn. 0 < sinα < 0 < cossα < sinα cosα tg α cot g α sin α + cos α cos α sinα tgα.cotgα + tg α + cot g α cos α sin α 3. Hệ thức về cạnh và góc trong tm giác vuông. b sin cosc b ctg ccotgc c c sinc cos c btgc bcotg b C 4. Đường tròn. - Cách xác định: Qu b điểm không thẳng hàng t vẽ được một và chỉ một đường tròn. - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng. - Qun hệ vuông góc giữ đường kính và dây. Trong một đường tròn + Đường kính vuông góc với một dây thì đi qu trung điểm củ dây ấy + Đường kính đi qu trung điểm củ một dây không đi qu tâm thì vuông góc với dây ấy. Website: Trng

12 - Liên hệ giữ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong một đường tròn: + Hi dây bằng nhu thì cách đều tâm + Hi dây cách đều tâm thì bằng nhu + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn - Liên hệ giữ cung và dây: Trong một đường tròn hy trong hi đường tròn bằng nhu: + Hi cung bằng nhu căng hi dây bằng nhu + Hi dây bằng nhu căng hi cung bằng nhu + Cung lớn hơn căng dây lớn hơn + Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. - Vị trí tương đối củ đường thẳng và đường tròn: Vị trí tương đối - Đường thẳng và đường tròn cắt nhu Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữ d và R d < R - Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhu d R - Đường thẳng và đường tròn không gio nhu 0 d > R Website: Trng

13 - Vị trí tương đối củ đường thẳng và đường tròn: Vị trí tương đối - Hi đường tròn cắt nhu Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữ d và R R - r < ' < R + r - Hi đường tròn tiếp xúc nhu + Tiếp xúc ngoài + Tiếp xúc trong - Hi đường tròn không gio nhu + () và (') ở ngoài nhu ' R + r ' R - r ' > R + r + () đựng (') 0 ' < R - r + () và (') đồng tâm ' 0 5. Tiếp tuyến củ đường tròn - Tính chất củ tiếp tuyến:tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qu tiếp điểm. - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm củ đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính + Đường thẳng đi qu một điểm củ đường tròn và vuông góc với bán kính đi qu điểm đó. - Tính chất củ tiếp tuyến cắt nhu M, M là hi tiếp tuyến cắt nhu thì: + M M + M là phân giác củ góc M + M là phân giác củ góc M Website: Trng 3

14 - Tiếp tuyến chung củ hi đường tròn: là đường thẳng tiếp xúc với cả hi đường tròn đó: Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong d d d' ' ' d' 6. Góc với đường tròn Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo. Góc ở tâm sd. Góc nội tiếp M sd M x 3. Góc tạo bởi ti tiếp tuyến và dây cung. x sd 4. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn C M M ( sd + sdcd ) D M C D 5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn M ( sd sdcd ) Website: Trng 4

15 Chú ý: Trong một đường tròn - Các góc nội tiếp bằng nhu chắn các cung bằng nhu - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhu - Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhu thì bằng nhu - Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 có số đo bằng nử số đo củ góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nử đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nử đường tròn. - Góc tạo bởi ti tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhu. 7. Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn. - Độ dài đường tròn bán kính R: C πr πd - Độ dài cung tròn n 0 π Rn bán kính R : l Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S πr - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0 : π R n lr S Các loại đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tm giác Tâm đường tròn là gio củ b đường trung trực củ tm giác C Đường tròn nội tiếp tm giác Tâm đường tròn là gio củ b đường phân giác trong củ tm giác C Đường tròn bàng tiếp tm giác Tâm củ đường tròn bàng tiếp trong góc là gio điểm củ hi đường phân giác các góc ngoài tại hoặc C hoặc là gio điểm củ đường phân giác góc và đường phân giác ngoài tại (hoặc C) 0. Các loại hình không gin.. Hình trụ. - Diện tích xung qunh: Sxq πrh - Diện tích toàn phần: Stp πrh + πr - Thể tích hình trụ: V Sh πr h Trong đó r: bán kính h: chiều co b. Hình nón: - Diện tích xung qunh: Sxq πrl - Diện tích toàn phần: Stp πrl + πr r: bán kính Trong đó l: đường sinh - Thể tích hình trụ: V π r h 3 h: chiều co Website: Trng 5

16 c. Hình nón cụt: - Diện tích xung qunh: Sxq π(r + r )l r : bán kính dáy lớn - Thể tích: V ( ) 3 π h r + r + r r Trong đó: r : bán kính đáy nhỏ l: đường sinh d. Hình cầu. h: chiều co - Diện tích mặt cầu: S 4πR πd R: bán kính Thể tích hình cầu: V 3 π R Trong đó: d: đường kính. Tứ giác nội tiếp: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hi góc đối bằng Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong củ đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hi đỉnh kề nhu cùng nhìn cạnh chứ hi đỉnh còn lại dưới một góc α. Website: Trng 6

17 . CÁC DẠNG ÀI TẬP Dạng : Chứng minh hi góc bằng nhu. - Chứng minh hi góc cùng bằng góc thứ b - Chứng minh hi góc bằng với hi góc bằng nhu khác - Hi góc bằng tổng hoặc hiệu củ hi góc theo thứ tự đôi một bằng nhu - Hi góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ b - Hi góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc v.góc - Hi góc ó le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hi góc ở vị trí đối đỉnh - Hi góc củ cùng mộ tm giác cân hoặc đều - Hi góc tương ứng củ hi tm giác bằng nhu hoặc đồng dạng - Hi góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hi cung bằng nhu. Dạng : Chứng minh hi đoạn thẳng bằng nhu - Chứng minh hi đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ b - Hi cạnh củ mmột tm giác cân hoặc tm giác đều - Hi cạnh tương ứng củ hi tm giác bằng nhu - Hi cạnh đối củ hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hi cạnh bên củ hình thng cân - Hi dây trương hi cung bằng nhu trong một đường tròn hoặc hi đường bằng nhu. Dạng 3: Chứng minh hi đường thẳng song song - Chứng minh hi đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ b - Chứng minh hi đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ b - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hi góc bằng nhu: + ở vị trí so le trong + ở vị trí so le ngoài + ở vị trí đồng vị. - Là hi dây chắn giữ chúng hi cung bằng nhu trong một đường tròn - Chúng là hi cạnh đối củ một hình bình hành Dạng 4: Chứng minh hi đường thẳng vuông góc - Chúng song song song song với hi đường thẳng vuông góc khác. - Chứng minh chúng là chân đường co trong một tm giác. - Đường kính đi qu trung điểm dây và dây. - Chúng là phân giác củ hi góc kề bù nhu. Website: Trng 7

18 Dạng 5: Chứng minh b đường thẳng đồng quy. - Chứng minh chúng là b đường co, b trung tuyến, b trung trực, b phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài củ hi góc ki) - Vận dụng định lí đảo củ định lí Tlet. Dạng 6: Chứng minh hi tm giác bằng nhu * Hi tm giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hi tm giác vuông: - Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhu - Có cạnh huyền bằng nhu và một cạnh góc vuông bằng nhu - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhu Dạng 7: Chứng minh hi tm giác đồng dạng * Hi tm giác thường: - Có hi góc bằng nhu đôi một - Có một góc bằng nhu xen giữ hi cạnh tương ứng tỷ lệ - Có b cạnh tương ứng tỷ lệ * Hi tm giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhu - Có hi cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học Giả sử phải chứng minh đẳng thức: M.M MC.MD (*) - Chứng minh: MC MD hoặc MD MC - Nếu 5 điểm M,,, C, D cúng nằm trên một đường thẳng thì phải chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ b: M.M ME.MF MC.MD ME.MF Tức là t chứng minh: ME MF MCE MFD M.M MC.MD * Trường hợp đặc biệt: MT M.M t chứng minh MT MT Website: Trng 8

19 Dạng 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hi góc đối bằng Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong củ đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hi đỉnh kề nhu cùng nhìn cạnh chứ hi đỉnh còn lại dưới một góc α. Dạng 0: Chứng minh MT là tiếp tuyến củ đường tròn (;R) - Chứng minh T MT tại T (;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng MT bằng bán kính - Dùng góc nội tiếp. Dạng 0: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dự vào hệ thức lượng trong tm giác vuông. - Dự vào tỷ số lượng giác - Dự vào hệ thức giữ cạnh và góc trong tm giác vuông - Dự vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích... Ñây chæ lø moät soá kieán thöùc cô bûn cuû chöông trình Toùn 9 Ñeå giuùp cùc em oân täp toát hôn Càn ñoïc kyõ tøi lieäu vø Xem theâm Sùch giùo kho Toùn 9 Chúc các em học tập thành công! Website: Trng 9