MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Transcript

1 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ThS. Võ Xuân Mi Kho Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Emil: Tóm tắt. Các bài toán về tính góc giữ hi mặt phẳng thường ít được đề cập đến trong các tài liệu thm khảo về bài tập hình học không gin, một số tài liệu có trình bày đến phương pháp giải dạng toán này nhưng chư đầy đủ, chư có hệ thống hoặc các ví dụ minh họ chư đủ sức thuyết phục. Hơn nữ, đây là dạng toán khó đối với học sinh, đòi hỏi người học phải có khả năng tư duy, có trí tưởng tượng trong không gin và vận dụng linh hoạt qun hệ vuông góc để tìm r cách dựng xác định được góc trong từng trường hợp cụ thể. Trong bài viết này, chúng tôi cố gắng hệ thống phương pháp giải bài toán tính góc giữ hi mặt phẳng cùng với các ví dụ minh họ nhằm trng bị cho học sinh một số công cụ giải quyết khi đối mặt với bài toán này cũng như góp phần phát triển tư duy cho học sinh. I. Nội dung. Một số khái niệm góc trong không gin Góc giữ hi đường thẳng và b là góc giữ hi đường thẳng và b cùng đi qu một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với và b. Góc giữ đường thẳng và mặt phẳng () là góc giữ đường thẳng đó và hình chiếu củ nó lên mặt phẳng (). Góc giữ hi mặt phẳng () và () là góc giữ hi đường thẳng và b lần lượt vuông góc với hi mặt phẳng đó. T có thể tóm tắt qu bảng và minh họ như hình Góc giữ đường thẳng và Góc giữ hi đường thẳng Góc giữ hi mặt phẳng mặt phẳng Góc (, b) = góc (, b ) với //, b // b O ' b' b Góc (, ) = góc (, ) với hình chiếu củ lên mặt phẳng () α M H ' γ Góc (, ) = góc (, b) với (), b () p Δ b q ) b) c) Hình 49 α β

2 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 Góc nhị diện: Cho hi mặt phẳng ( ), ( ) cắt nhu theo gio tuyến. Đường thẳng chi mỗi mặt phẳng ( ), ( ) thành hi nử mặt phẳng. Gọi (P) và (Q) là hi nử mặt phẳng tương ứng thuộc( ), ( ). Hình tạo bởi hi nử mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là góc nhị diện, các nử mặt phẳng được gọi là các mặt củ góc nhị diện, đường thẳng gọi là cạnh củ góc nhị diện. Một mặt phẳng (R) vuông góc với đường thẳng cắt (P), (Q) theo gio tuyến p, q. Góc tạo bởi hi nử đường thẳng p, q được gọi là góc phẳng củ góc nhị diện (Hình ). Tất cả góc phẳng củ góc nhị diện đều bằng nhu, số đo củ góc phẳng nhị diện gọi là số đo củ góc nhị diện. Vậy.. Phương pháp giải và ví dụ minh họ.. Sử dụng công cụ hình học thuần túy Cách xác định góc giữ hi mặt phẳng () và (): quy về xác định góc phẳng củ góc nhị diện tương ứng, với chú ý rằng góc giữ hi mặt phẳng là góc nhọn. Khi hi mặt phẳng () và () cắt nhu theo gio tuyến, xét một mặt phẳng (), lần lượt cắt () và () theo gio tuyến p và q. Khi đó góc giữ hi mặt phẳng () và () bằng góc giữ hi đường thẳng p và q (Hình c). Vậy góc (, ) = góc (, b) = góc (p, q) với (), b () ; với = () (), (), () () = p, () () = q. Ngoài r, t có thể xác định theo cách dựng: (Bạn đọc tự vẽ hình minh họ) - Tìm gio tuyến ( ) ( ). - Dựng đoạn AB, A ( ), B ( ), AB ( ). R q Q p Hình P - Kẻ AH AHB là góc giữ hi mặt phẳng cần tìm. Ví dụ. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tm giác đều cạnh, SA ( ABC ), SA 3. Tính số đo góc giữ hi mặt phẳng ( SAB),( SBC ). Giải: Gọi HK, lần lượt là trực tâm củ ABC, SBC. T chứng minh được HK SB SB ( CIN ). Vậy góc giữ ( SAB),( SBC ) là góc CIN (Hình 3). T có 5

3 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 NI SABN. 3, SB 4 BI BM. BC, SB CN CI BC BI 4,. Áp dụng định lí côsin trong tm giác CIN t có: CI NI CN. CI. NI 5 coscin 63 6' Ví dụ. ([], tr.9) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 6 3 tâm O SO ( ABCD), SO, OB. Tính số đo góc tạo bởi hi mặt 3 3 phẳng ( ABC ),( SBC ). Giải: Kẻ OH BC SH BC nên SHO là góc phẳng củ góc nhị diện ( ABC ),( SBC )(Hình 4). T có 6 OA OC BC OB, 3 OH. OH OB OC 3 Trong tm giác vuông SHO t có SO tnsho 3 6 OH SHO. 5

4 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5.. Sử dụng định lí Côsin, định lí Sin trong góc tm diện Trước hết đề cập đến khái niệm góc tm diện, theo ([3], tr.8): Giả sử,, b c là b nử đường thẳng không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng xuất phát từ một điểm S. Các nử đường thẳng tạo thành b góc (, b);( b, c);( c, ). Hình tạo bởi b góc (, b);( b, c);( c, ) được gọi là góc tm diện (Hình 5). Điểm S được gọi là đỉnh củ góc tm diện, b nử đường thẳng,, b c gọi là các cạnh củ góc tm diện, các góc (, b);( b, c);( c, ) được gọi là góc phẳng củ góc tm diện. Các nử mặt phẳng củ hi mặt phẳng tạo bởi (, b);( c, ) thành một góc nhị diện. Góc nhị diện này được gọi là góc nhị diện củ góc tm diện, có cạnh, đối diện với góc phẳng ( bc, ). Định lí Côsin: Nếu,, là các góc phẳng củ một góc tm diện và C là góc nhị diện đối diện với góc phẳng thì cos cos cos +sin sin cosc. Định lí Sin: Nếu,, là các góc phẳng củ một góc tm diện và A, B, C là góc nhị diện đối diện với góc phẳng củ chúng thì sin sin sin. sina sinb sinc Xem chứng minh hi định lí ([3], tr.83 85). Trở lại ví dụ và ví dụ, vận dụng định lí côsin và định lí sin trong góc tm diện, t có thể giải bài toán như su: Ví dụ. (Hình 3) SAB có 3 cos ASB cos ASC ;sin ASB. A Hình 5 S b B C c SBC có cos CSB SB SC BC 7 5 ;sincsb. SB. SC 8 8 Định lý côsin trong góc tm diện S. ABC t có cos ASC cos ASB cos BSC sin ASB sin BSC cos, với là góc giữ hi mặt phẳng ( SAB),( SBC ). Suy r cos 63 6'. 5 5

5 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 Ví dụ. (Hình 4) T chứng minh được ( SBC ) ( SCD) nên góc (( SBC ),( SAC )) 45. SBO có Định lý sin trong góc tm diện C. SAB t có giữ hi mặt phẳng ( ABC ),( SBC ). Suy r.3. Sử dụng công cụ tọ độ OB 3 sin BCA sin BCO. BC 3 sin sin 45 sin ACS sin BCA với là góc 3 sin 6. Chọn hệ trục tọ độ không gin thích hợp. Cần xác định góc giữ hi mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến (VTPT) n ( ; b ; c ) và () có VTPT n ( ; b ; c ). Khi đó góc (, ) ( n, n ) nếu ( n, n ) hoặc góc (, ) ( n, n ) nếu ( n, n ). n. n b b c c Với cos( n, n ) n. n b c b c. Hy cos(, ) nn. b b c c n. n b c b c. Lại lấy ví dụ ở trên, t chọn hệ trục tọ độ không gin Oxyz như hình 6. T có 3 A(;;), B ; ;, C(; ;),S(;; 3) Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương AS, AB nên có VTPT n ( ; 3;). Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương CS, CB nên có VTPT n (; 3;). 53

6 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 nn. cos( n, n ) (( SAB),( SBC )) 63 6'. n. n 5 Ví dụ. Chọn hệ trục tọ độ không gin Oxyz như su O(;;), B ;;, C ; ;, S ;; Mặt phẳng (ABC) có phương trình z, VTPT n (;;). x y z Mặt phẳng (SBC) có phương trình x y z, VTPT n ( ;;). Từ đó t có.4. Sử dụng công cụ vectơ nn. n. n cos( n, n ) (( ABC ),( SBC )) 6. Khi đó Cần xác định góc giữ hi mặt phẳng () có VTPT n và () có VTPT n. nn. cos(, ), t biến đổi trên tích vô hướng củ hi vectơ n và n. n. n Ví dụ. (Hình 3) T có HK ( SBC ), CH ( SAB) nên HK. CH cos((sab),(sbc)). HK. CH T có BI 7, SI, 4 4 SB SC BC 5 SM SM, SK SI. SB 7 5. SM 5 Đặt AB, AC b, SA c, với. b AB. AC cos 6,. c b. c. 54

7 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 CH CN AN AC b T có SK SK CK SK SC SM ( SA AC) ( SA AM) ( SA AC ) SM SM. 7 8 b c HK. CH CK CH. CH CK. CH CH, 5 Từ đó t có HK. 5 3 SA HM, CH. Thy vào công thức (*) t được SM 3. 5 cos((sab),(sbc)) (( SAB),( SBC )) 63 6' Nhận xét: Đối với phương pháp hình học thuần túy, t cần phải xác định góc giữ hi mặt phẳng su đó qu tho tác tính toán tìm r được số đo củ chúng, trong khi đó, đối với cách giải sử dụng định lí côsin và định lí sin t chỉ cần vận dụng vào góc tm diện thích hợp chứ hi mặt phẳng cần tìm số đo góc giữ chúng mà không cần xác định góc; điều này tương tự đối với phương pháp tọ độ khi chọn hệ trục tọ độ không gin thích hợp. Hi phương pháp này thường cho t lời giải ngắn gọn và tối ưu hơn; còn đối với phương pháp vectơ, dù vẫn không cần xác định góc giữ hi mặt phẳng tuy nhiên việc biến đổi trên vectơ không phải là việc dễ dàng cho học sinh. II. Một số bài tập đề nghị BT. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tm giác vuông cân với BA = BC =, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =. Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ các cạnh AB và AC. ) Tính số đo củ nhị diện (SAC) và (SBC). b) Tính góc giữ hi mặt phẳng (SEF) và (SBC). BT. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = x. Xác định x để hi mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhu một góc 6. 55

8 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 BT3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nử lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB =, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA 3. ) Tính góc giữ hi mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính góc giữ hi mặt phẳng (SCD) và (SBC). BT4. Cho tứ diện ABCD có ABC là tm giác vuông cân với AB = AC = ; DBC là tm giác đều, góc nhị diện cạnh BC có số đo bằng mặt phẳng (ABD) và (CBD), (ABD) và (ACD) Tính số đo củ góc giữ hi BT5. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA, đáy ABCD là hình thng vuông tại A và D với AB =, AD = DC =. ) Tính góc giữ hi mặt phẳng (ABC) và (SBC). b) Tính góc giữ hi mặt phẳng (SCD) và (SBC). BT6. Cho hình vuông ABCD cạnh. Từ trung điểm H củ cạnh AB dựng SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) so cho nhị diện cạnh AD củ hình chóp S.ABCD có số đo bằng 6. Tính góc giữ hi mặt phẳng (SAD) và (SCD). BT7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh, SA vuông góc mặt phẳng đáy. Hi điểm M và N lần lượt thy đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM = x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữ x và y để : ) Hi mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhu góc 45. b) Hi mặt phẳng (SAM) và (SAN) vuông góc với nhu. III. Kết luận Bài viết đã hệ thống một số phương pháp giải bài toán về tính góc giữ hi mặt phẳng, cũng như làm sáng rõ ví dụ minh họ cho mỗi phương pháp. Hi vọng với các phương pháp giải này, học sinh có thể khắc phục được những khó khăn đã nêu trên đối với bài toán tính góc giữ hi mặt phẳng trong hình học không gin bằng cách sử dụng công cụ vectơ, tọ độ hy định lí côsin, sin trong góc tm diện một cách hiệu quả và ngắn gọn hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO. Đ. Quỳnh, V. N. Cương (9), Hình học, NXB Giáo dục.. T. T. Minh (), Giải toán Hình học, NXB Giáo dục.

9 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 5/5 3. Đ. Tm (4), Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm. 4. N. M. Hy (), Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp tọ độ, NXB Giáo dục. 57