یا هلحرم یاه نومزآ لامتحا و تایبیکرت 1

Transcript

1 آزمونهای مرحلهای ترکیبیات و احتمال

2 اول فصل آزمونهای تشریحی پاسخ آزمون تشریحی پاسخ برای جا دانشآموز چهار این طرف دو و بین بایس تند. هم کنار اس ت ممکن حالت! در چهارم کالس دانشآموز اول: راهحل - یهنیزگ!! 8 با: است برابر حاالت تعداد پس دارد. وجود سوم کالس دانشآموزان 6!! 7 8 کم حاالت کل از را هستند هم کنار سوم کالس دانشآموز دو که حاالتی تعداد دوم: راهحل برگشت و C به A از رفت راههای تعداد ( )( ) A C A B C C A C B A - یهنیزگ مود عضو برای است یکبهیک نظر مورد تابع اینکه به توجه با ولی داریم انتخاب B اعضای تعداد به A مجموعهی از اول عضو برای - یهنیزگ :اب است برابر یکبهیک تابع تعداد پس داریم انتخاب چهارم عضو برای و انتخاب سوم عضو برای ترتیب همین به و تا( ) میشود کم انتخابها از یکی! تا( ) حاالت از نیمی در باقیمانده حالت از هس تند. مس اوی تاس دو اعداد حالت 6 در تاس دو پرتاب در ممکن حالت 6 از - یهنیزگ 6 با: است برابر شده خواسته تعداد پس بیشتر دوم عدد تا( ) دیگر نیم در و بیشتر اول عدد سیاه تاس عدد مضرب سفید تاس عدد زیر حالتهای در - یهنیزگ سیاه تاس عدد سفید تاس عدد 6 تا با: است برابر حاالت تعداد بنابراین 6 nho U#»kM :! # A»j nho U#IM :!! 6 6 میشماریم: جداگانه خیر یا باشد )A( تکراری حرف که کلی حالت دو در حاالت تعداد 6 - یهنیزگ 6 دهیم: قرار هم کنار در سپس کنیم انتخاب را تا باید S( و L M )T باقیمانده حرف از پس است A نظر مورد کلمهی حرف دو 7 - یهنیزگ 7! 6 7! کم حالتها کل از دارند قرار هم کنار S دو که را حالتهایی 8 - یهنیزگ 8 6!!! 6 هستند. شیء دیگر حرف با همراه که میگیریم نظر در شیء یک را دو آن هستند هم کنار Sها که حالتهایی شمارش برای کنید توجه باشد: رفته بهکار هم یک است ممکن ارقام بقیهی در 9 یا 7 ارقام از یکی چپ سمت رقم 9 - یهنیزگ کشور از خارج سراسری سراسری! NnHo U#IM :! 6 7 #nho U#»kM :! 6 خیر: یا هست )N( تکراری حروف شامل یا نظر مورد رمز - یهنیزگ

3 n nn ( ) 6 6 nn ( ) 7 n n 7 n 7 7 n پس: است k n 8 n 8 n n n 6 6!!!! برابر عضوی n مجموعهی یک عضوی k زیرمجموعههای تعداد - یهنیزگ با: است برابر عضوی 9 مجموعهی این عضوی زیرمجموعههای تعداد پس بنابراین 7 7 میدانیم - یهنیزگ n n n پاسکال قانون از استفاده با k k k تکرار با جایگشت فرمول از استفاده با - یهنیزگ میرسد: سوم بچهی به تا و دوم بچهی به تا اول بچهی به اسباببازی - یهنیزگ حالت 6 این بین از باشد. میتواند حالت! 6 به صف در d و b a افراد ترتیب بایستند صف در میتوانند حالت! به افراد این - یهنیزگ! 6 d و b بین a ممکن حالت! از 6 در پس است b و d بین a d a b و b a d حالت در :اب است برابر حاالت تعداد پس باشند. سبز یا سفید سیاه مهره دو هر است ممکن باشند همرنگ مهرهها آنکه برای -6 6 یهنیزگ 6 9 Â IÄn# ÂMo\U : ÂMo\U : 6 است: مطلوب زیر حالتهای -7 7 یهنیزگ انتخاب را نفر یک مدرسه هر از سپس میکنیم. انتخاب را E تا A مدرسهی از مدرسه سه ابتدا -8 8 یهنیزگ 9 - کشور از خارج سراسری سراسری! 6 7! 6 میسازیم: رقمی عدد یک آنها با سپس کرده انتخاب را فرد رقم از رقم و زوج رقم از رقم ابتدا -9 9 یهنیزگ کم حاالت کل از و شمرده را نیست یکی فرزندی دو هیچ تولد فصل که حاالتی تعداد - یهنیزگ

4 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا آزمون تشریحی پاسخ با: است برابر E دو بودن تکراری به توجه با دیگر حرف 6 جایگشت مشخص وسط حرف عنوان به N حرف جای موجود حرف هفت از - یهنیزگ 6!! 7 6 ##oÿ 8 8 oÿ oãš IÄ میشماریم: خیر یا باشد راست رقم صفر عدد که کلی حالت دو در را حاالت تعداد - یهنیزگ :دشاب ( و ) بیتکرار اعداد یا یا صفر میتواند عدد این نمیشود استفاده رقمی عدد در شده داده رقم شش از یکی اول: راهحل - یهنیزگ k{ IM#oŸ #½kzº#½jIŸTwH#jk #o H:! 8! k{ IM##½kzº#½jIŸTwH#jk #o H:! ! k{ IM #IÄ##½kzº#½jIŸTwH#jk # o H:! 6!!!!!! است: رقمی 6 اعداد تعداد برابر رقم 6 این با شده ساخته رقمی اعداد تعداد دوم: راهحل با: است برابر حاالت تعداد مسافر برای پس دارد. انتخاب حق 6 مسافر هر پس شود پیاده ایستگاه 6 از یک هر در میتواند مسافر هر - یهنیزگ nim ریز حاالت دهیم نمایش Z با را زیستشناسی کتابهای و A با را ادبیات کتابهای اگر هستند جایگشت! دارای ادبیات کتابهای - یهنیزگ ZAZAZAAA, AZAZAZAA, AAZAZAZA, AAAZAZAZ بیفتد: اتفاق است ممکن زیستشناسی کتابهای بودن میان در یک برای!!!! با: است برابر حاالت تعداد بنابراین n n IÄ n! !! 6 8 n n IÄ n 7! 7 6!! بیفتد: اتفاق است ممکن زیر حالتهای 6 - یهنیزگ 6! به 6 و 8 و اعداد حالت از هریک در مییابد خاتمه با یا میش ود ش روع با نظر مورد عدد یا دارد وجود کلی حالت دو 7 - یهنیزگ 7! میگیرند: قرار عدد در حالت عمودی خط دو و افقی خط دو اگر دارد. وجود افقی خط و عمودی خط 6 روبهرو مس تطیل در 8 - یهنیزگ با: است برابر مستطیلها تعداد پس میشود ساخته مستطیل یک فقط و یک کنیم انتخاب که ساخت عددی میتوان صورت یک به تنها ش ده انتخاب عدد س ه با کنیم. انتخاب را ش ده داده رقم از متمایز رقم اس ت کافی 9 - یهنیزگ 9 باشد: صعودی ارقامش ترتیب n n n ( ) پاسکال قاعدهی به توجه با حال 7 7 n n k k k k nk فرمول مطابق - یهنیزگ

5 کنیم: محاسبه را آنها جایگشت تعداد سپس کرده انتخاب را تا باید E( N I U )B باقیمانده حرف از پس هستند. S تا حرف پنج از - یهنیزگ!!! 96 میشود: داده پاسخ اول پرسش هر یا میشود انتخاب اول از پرسش یا مسأله شرایط با - یهنیزگ میسازیم: رقمی چهار عدد یک آنها با سپس کرده انتخاب را فرد رقم از رقم و زوج رقم از رقم یک ابتدا - یهنیزگ قرار برای خالی جای زرد توپ این طرف دو و مابین است انجام قابل! به کار این میدهیم قرار هم کنار را زرد توپهای ابتدا - یهنیزگ میآید: بهوجود قرمز توپهای گرفتن زرد زرد زرد زرد :!!! حاالت تعداد!!!!! قرمز توپهای جایگشت زرد توپهای جایگشت مکان انتخاب قرمز توپهای ندهند جفت تش کیل اینکه به توجه با را لنگه دو باقیمانده کفش لنگه 6 از س پس میکنیم انتخاب را کفش جفت یک اول: راهحل - یهنیزگ 6 6 8! 8 انتخاب انتخاب را لنگه یک هرکدام دیگر تای دو از لنگه دو هر یکی از میکنیم انتخاب را کفش جفت سه دوم: راهحل انتخاب تیم در عضویت برای را نفر یک منطقه هر از و میکنیم انتخاب را منطقه 6 از منطقه ابتدا اول: راهحل -6 6 یهنیزگ هب و میکنیم انتخاب نفر یک نفر( )7 نبودند همگروه اول نفر با که باقیمانده افراد همهی از س پس میکنیم انتخاب را نفر 9 از نفر یک ابتدا دوم: راهحل !! حذف را تکراری حالتهای! بر تقسیم با میدهیم ادامه ترتیب همین ای نیمدایره روی نقطه یک و خط روی نقطه یا خط روی نقطه یک و نیمدایره روی نقطه انتخاب با میتوان را مثلثه ا اول: ل راهح -7 7 یهنیزگ 6 ساخت: نیمدایره روی نقطه باشند: گرفته قرار خط روی نقطه هر که حاالتی جز به ساخت مثلث میتوان نقطه 8 از انتخابی نقطهی هر با دوم: راهحل n پس: است برابر عضوی n مجموعهی یک عضوی k زیرمجموعههای تعداد -8 8 یهنیزگ k n nn ( )( n) n n n ( n )( n ) n 6 n Á¼ ##ÁIÀ¾ ¼µ\ oäp#jhk U 7 6 6

6 6 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا ره در برعکس. یا مینشینند دوم ردیف صندلی 7 روی سوم س ال دانشآموز و اول ردیف صندلی 7 روی اول س ال دانشآموز یا -9 9 یهنیزگ بنشینند: باقیمانده صندلی از هرکدام روی آزادند دوم سال دانشآموز صورت دو 7 7!!!!!! 7 7 ( 7!)!!! دانشآموز یک و دانشجو دو یا هستند گروه در دانشجو یک و دانشآموز دو یا باشند گروه در دانشآموز هم و دانشجو هم آنکه برای - یهنیزگ 6 7 آزمون تشریحی پاسخ ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ) 6),(, 6),(, ),(, ),(, ),(, ),(, 6),(, 6 ) na ( ) PA ( ) ns () 6 و 7 اول اعداد از یکی تاس شدهی رو اعداد جمع زیر حالتهای در - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین فرزند با خانواده یک در دختر فرزند داشتن یا پسر فرزند داشتن برای پیشامد دو بودن ناسازگار به توجه با - یهنیزگ PA ( B) PA ( ) PB ( ) سراسری یلوا آنکه احتمال موش دو بین از نمیگیریم. نظر در را آنها اصال پس ندارد تأثیری س ؤال در س وم و اول موش وجود اول: راهحل - یهنیزگ PA ( ) 6 PA ( ) na ( ) PA ( ) ns () 9 با: است برابر باشد سفید دومی و سیاه با: است برابر احتمال موشها همهی گرفتن نظر در با دوم: راهحل هستند سیاه مهره دو هر یا سفید مهره دو هر - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال - یهنیزگ PA ( ) هستند. متوالی اعداد باشند یا صورت به اگر کارت دو از حاصل اعداد 6 - یهنیزگ 6 na ( ) PA ( ) 8 / ns () PA ( ) سراسری با: است برابر باشند سفیدرنگ کارت دو هر یا سبزرنگ کارت دو هر که آن احتمال 7 - یهنیزگ 7

7 7,,,,,,,, هستند: مضرب زیر اعداد فقط تا ارقام توسط شده ساخته رقمی دو اعداد بین از 8 - یهنیزگ 8 na ( ) PA ( ) / 6 ns () PA ( ) 9 9 با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین :اب است برابر گیرند قرار همنام شمارههای روی عقربه دو آنکه احتمال میکنیم استفاده متمم پیشامد از 9 - یهنیزگ 9 PA ( ) PA ( ) 8 با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین 9 9 PA ( ) با: است برابر شده خواسته احتمال - یهنیزگ خون RH اولین آنکه برای اس ت. / 6 یعنی ( / ) برابر باش د منفی فرزند هر خون RH آنکه احتمال ژنتیک قوانین به توجه با - یهنیزگ هم از فرزند دو خون RH بودن مستقل به توجه با باشد منفی دومی و مثبت RH دارای اول فرزند باشد میبایست دوم فرزند در منفی PA ( ) ( / 6) / 6 / 8 / 6 / با: است برابر نباشد هم مثل نفری دو هیچ تولد ماه اینکه یعنی شده خواسته پیشامد متمم احتمال - یهنیزگ PA ( ) 9 PA ( ) PA ( ) محاسبه را پیشامد دو اشتراک احتمال ابتدا - یهنیزگ 9 - کشور از خارج سراسری PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 8 / / PA ( B) 9 / PA ( B) / ندارند اشتراکی هم با B A و مجموعهیAB دو اینکه به توجه با P(( AB) ( B A)) PA ( B) PB ( A) PA ( ) PA ( B) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 8 / / / 6 / 8 با: است برابر و توسط شده ساخته چهاررقمی اعداد تعداد پس نمیگیرد قرار عدد ابتدای در صفر رقم - یهنیزگ است کافی باشد 6 مضرب آنکه برای پس است مضرب صورت هر در شده ساخته عدد پس است از مضربی و ارقام جمع اینکه به توجه با 6 oÿ PA ( ) باشد. صفر یا عدد یکان رقم یعنی باشد زوج با: است برابر شده خواسته احتمال پس 89 - کشور از خارج سراسری PA ( B ) / PA ( B) / PA ( ) PA ( B) / PA ( B) 6 / / / PB ( A ) PB ( A) PB ( ) PA ( B) 7 / / / پیدا را PA ( (B ابتدا - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین :اب است برابر باشند سفید( دو هر یا سبز دو )هر همرنگ مهره دو هر اینکه احتمال میکنیم استفاده متمم پیشامد از -6 6 یهنیزگ PA ( ) 6 6 PA ( ) PA ( ) 7 8 8

8 8 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا :اب است برابر نباشند سفید موشها از هیچکدام آنکه احتمال یعنی شده خواسته پیشامد متمم احتمال -7 7 یهنیزگ 6 6 PA ( ) 9 6 PA ( ) PA ( ) 9 با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین 9 - کشور از خارج سراسری {, },{, },{, },{, 6},{, } مضرب اعداد مجموع زیر حاالت در -8 8 یهنیزگ PA ( ) با: است برابر موردنظر احتمال پس 6 میدهیم: نمایش B با را قالیبافی مهارت و A با را ابتدایی تحصیالت -9 9 یهنیزگ PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PAPB ( ) ( ) / 6 / / 6 / / 8 / / سراسری شده نوشته ابتدایی تحصیالت داشتن با قالیبافی مهارت داشتن بودن مستقل به توجه با PA ( (B PAPB ( )( ) رابطهی که کنید توجه و عدد دو هر مضرب عدد که است آن پیشامد A B میدهیم. نش ان B با را بودن 6 مضرب و A با را بودن مضرب پیش امد - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال باشد. مضرب یعنی 6 [ 6 ] [ ] ([ 6 ] [ ]) ( ) PA ( B) PA ( ) PA ( B) 7 8 / 66 6 آزمون تشریحی پاسخ (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),( 6, ),( 6, ) na ( ) PA ( ) 8 8 ns () برابر تاس در شده ظاهر عدد دو اختالف زیر حالتهای در - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین اتفاق است ممکن حالت 6 اول تاس برای نیز بیاید 6 یا دوم تاس اگر است متصور حالت 6 دوم تاس برای بیاید 6 یا اول تاس اگر - یهنیزگ PA ( ) با: است برابر موردنظر احتمال )) 66, ),( 6, ),( 6, ),(, (( حالت این از شدهاند( شمرده بار دو )که تکراری حالت حذف با بیفتد برابر توابع تع داد پس داریم انتخ اب حق B اعضای تع داد به A اعضای از ک دام هر برای باش د تابع ش ده نوش ته رابطهی اگ ر - یهنیزگ nim 6 پس با: است برابر یک به یک توابع تعداد یعنی میشود کم انتخابها حق از یکی مرحله هر در باشد یک به یک نظر مورد تابع اگر jk 6 na ( ) PA ( ) ! 8! 8! ns () pa ( ) 6 6 / با: است برابر باشند سیاه تا هر یا سفید مهره هر که این احتمال - یهنیزگ

9 9 ولی هست و شامل موردنظر مجموعهی طرفی از اب است برابر عضوی ده مجموعهی یک عضوی 6 مجموعههای زیر تعداد - یهنیزگ 6 دهند. عضوی 6 مجموعهی یک تشکیل و با که کرد انتخاب عضو A باقیماندهی عضو 7 از باید پس نیست شامل na ( ) PA ( ) 7 ns () پس A B A آنگاه باش د B زیرمجموعهی A اگر میدانیم همچنین PB ( A) PB ( ) PA ( B) میدانیم کلی حالت در 6 - یهنیزگ 6 میشود. تبدیل PB ( A) PB ( ) PA ( ) به فوق فرمول A B حالت در M و N D P حرف با که میگیریم درنظر ش یء یک هم با را آن هس تند هم کنار A حرف که حاالتی تعداد محاس بهی برای 7 - یهنیزگ 7 na ( ) PA ( )!!! 6 ns () 7! 7! 7 6 7! با: است برابر مطلوب احتمال صورت این در میدهند. شیء تشکیل آنها از یکی شمارهی الاقل که آن احتمال باشد آبی گوی شمارهی بودن B پیشامد و قرمز گوی شمارهی بودن A پیشامد اگر 8 - یهنیزگ 8 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 8 / با: است برابر باشد PA ( B) PAPB ( )( ) پس: هستند مستقل B پیشامد و A پیشامد که کنید توجه با: است برابر درمیان یکی حالتهای تعداد باشد زوج شده خارج اول عدد اگر 9 - یهنیزگ 9 na ( ) PA ( )!! 6 6 / ns () 6! 6 { 9, },{ 8, },{ 7, },{ 6, } na ( ) PA ( ) ns () 9 9 PA ( ) با: است برابر شده خواسته احتمال پس میآید بهدست تعداد همین نیز باشد فرد شده خارج اول عدد اگر است: برابر کارت دو اعداد مجموع زیر حالتهای در - یهنیزگ با: است برابر باشد برابر کارت دو اعداد مجموع که این احتمال بنابراین با: است برابر نباشد یکسان رقمی دو هیچ رقمی سه عدد این در که آن احتمال میکنیم استفاده متمم پیشامد از - یهنیزگ PA ( ) pa ( ) / PA ( ) PA ( ) PA ( B) PAPB ( )( ) 6 با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین با: است برابر بیاید رو یکی حداقل سکه پرتاب در که این احتمال متمم پیشامد از استفاده با - یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال تاس و سکهها پرتاب بودن مستقل به توجه با 9 - کشور از خارج سراسری

10 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا هس هر رنگ یا هستند رنگ یک از س ه هر یا نباش د رنگ دو از فقط مهرهها رنگ اگر میکنیم. اس تفاده متمم پیش امد از اول: راهحل - یهنیزگ متفاوت PA ( ) PA ( ) زا مهره که این حاالت تعداد حالت هر در که ترتیب این به میکنیم. محاسبه مستقیم صورت به را هستند رنگ دو از مهرهها که حاالتی تعداد دوم: راهحل میشماریم. را باشد داشته متفاوت رنگی سوم مهرهی و باشند رنگ یک PA ( ) یهنیزگ برابر بگیرد قرار فرد ش مارهی روی B عقربهی که آن احتمال و برابر بگیرد قرار فرد ش مارهی روی A عقربهی که آن احتمال با: است برابر گیرد قرار فرد شمارهی روی آنها از یکی الاقل که آن احتمال PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PAPB ( ) ( ) 6 8 / PB ( ) PB ( ) PB ( ) PB ( ) PB ( ) ( 6, ),( 6, ),(, ),(, ) na ( ) PA ( ) ns () 6 B {( 6, ),( 6, )} است: 6 nb ( ) PB ( ) ns () 6 شده نوشته B و A عقربهی دو چرخش بودن مستقل به توجه با PA ( (B PAPB ( )( ) رابطهی که کنید توجه پس: است آن دادن رخ احتمال برابر سه B ندادن رخ احتمال - یهنیزگ ( A B) B A B داریم و هستند ناسازگار پیش امد دو B و A B پیش امد دو میدانیم روبهرو ون نمودار به توجه با PA ( B) P(( A B) B) PA ( B) P(B) 6 پس: 9 برابر شده ظاهر اعداد مجموع زیر حالتهای در اول: راهحل -6 6 یهنیزگ. PB ( ) 6 با: است برابر A پیشامد احتمال بنابراین میشود نتیجه PA ( ) PB ( ) رابطهی از برابر باشد برابر شده ظاهر اعداد مجموع که آن احتمال فقط گزینهها در شده داده اعداد بین از n میباشد. P ( n) 6 7 برابر باشد n برابر تاس دو شمارهی مجموع که آن احتمال تاس دو پرتاب در دوم: راهحل n PA ( ) PB ( ) n 7 n 7 n± n IÄ n PA ( ) PA ( ) PA ( ) 8 8 بنابراین با: است برابر باشد متفاوت تاسها تمام در شده رو عدد که این احتمال میکنیم استفاده متمم پیشامد از -7 7 یهنیزگ با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین

11 گرفتن قرار برای جا 8 زی ر ش کل مطابق آنها طرفین و بین میگیرند قرار صفر یک در حالت 7! تع داد به تجرب ی دانشآم وزان -8 8 یهنیزگ PA ( B) / PA ( ) PA ( B) / PA ( ) PB ( ) / PB ( A) / PB ( ) PA ( B) / گرفت. نخواهند قرار هم کنار ریاضی دانشآموزان صورت این در دارد قرار ریاضی دانشآموزان 8 7!! 7! 8!! na ( ) PA ( )!! ns ()!! میدهیم. نشان B با را )ب( آقای موفقیت پیشامد و A با را )الف( آقای موفقیت پیشامد -9 9 یهنیزگ PA ( ) / PB ( ) / PB ( ) PB ( ) / / PB ( ) / PB ( ) / PA ( ) / PA ( ) PB ( ) / PA ( B) / / PA ( B) / PA ( B) / PA ( B ) P(( A B)) PA ( B) ( PA ( ) PB ( ) PA ( B)) ( / / / ) / پس: است PB ( ) از بیشتر درصد پنجاه PA ( ) ضمنا PA ( B ) برابر نشوند مجلس وارد کدام هیچ که آن احتمال مضرب موردنظر عدد که آن پیشامد دهیم نشان B با را بودن مضرب پیشامد و A با را موردنظر عدد بودن مضرب پیشامد اگر - یهنیزگ است: A B نباشد مضرب و PA ( B ) P(( A B) ) ( PA ( B)) ( PA ( ) PB ( ) PA ( B)) با: است برابر ترتیب به باشد ( )مضرب آنها هردوی و مضرب موردنظر عدد که این احتمال میدانیم ضمنا PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( B ) ( ) 6 / با: است برابر نظر مورد احتمال بنابراین آزمون تشریحی پاسخ PB ( A) PBA ( ) 6 PA ( ) 6 میدهیم: نمایش B با را 6 یا شدن ظاهر و A با را آمده بهدست عدد بودن زوج اول: راهحل - یهنیزگ. اب است برابر باشد 6 یا عدد این اینکه احتمال 6. یا یا یعنی آمده بهدست زوج عدد میدانیم دوم: راهحل با: است برابر آنان از یکی بودن مهندس احتمال دارد وجود دختر دانشجوی 8 مجموعا - یهنیزگ PA ( ) با: است برابر نباشد مهندسی دانشجوی وی آنکه احتمال پس PA ( ) PA ( ) 9

12 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا فضای از باشند دختر فرزند سه هر که حالت این است پس ر فرزندی س ه خانوادهی این فرزندان از یکی اینکه به توجه با اول: راهحل - یهنیزگ 7 نمونهای فضای پس میشود حذف نمونهای با: است برابر باشد خانواده این در دختر فرزند دو اینکه احتمال دارد. عضو PAB ( ) شده خواسته احتمال باشد فرزندان از یکی الاقل بودن پسر پیشامد B و باشند دختر خانواده فرزند دو که باشد این پیشامد A اگر دوم: راهحل PA ( B) PAB ( ) 8 PB ( ) 7 8 میکنیم. محاسبه اولی بودن سیاه یا سفید حالت دو در را دومی بودن سفید احتمال اول: راهحل - یهنیزگ 89 - کشور از خارج سراسری P ( 9 ) ²»H# j¼m#kãÿw »j# j¼m#kãÿw ²»H# j¼m#½iãw #»j# j¼m#kãÿw یا 6 یعنی مهره یک بودن سفید احتمال برابر مهره دومین بودن سفید احتمال نداریم اطالعی هیچ شده خارج اول مهرهی به راجع که آنجا از دوم: راهحل 9 - سراسری PB ( A ) PB ( A) PB ( ) PA ( B) PBA ( ) PA ( ) PA ( ) PA ( ) PB ( ) PA ( ) PBA ( ) PA ( ) 8 شرطی احتمال فرمول از استفاده با - یهنیزگ پس A B A پس A B میدانیم اینکه به توجه با P ( / 6) ( / 6) ( / 6) / / 6 / 6 / 6 با: است برابر نفر از نفر بودن بومی احتمال 6 - یهنیزگ 6 با: است برابر شده خواسته احتمال پس باشد یک یا صفر دخترها تعداد که است این فرزندان از نفر دو الاقل بودن دختر متمم 7 - یهنیزگ P ( ) احتمال از استفاده با پس نباشد یک یا صفر زده جوانه دانههای تعداد یعنی بزند جوانه شده کاشته دانهی عدد از عدد حداقل اینکه 8 - یهنیزگ 8 دوجملهای P ( (/ )(/) (/ )(/)) (( ) ( )) 8 8 / / سراسری PAB ( ) PA ( ) / پس: میباشد احتمال A برابر B شرط به A احتمال پس هستند مستقل پیشامد دو 9 - یهنیزگ 9, PBA ( ) PB ( ) / PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PAPB ( ) ( ) / / / / 7 / / 8 / بنابراین (,),(, ),(, ),(, ), (,),(,),(, ), (, ),(, ), (,) :تسا 6 از کمتر شمارهها جمع زیر حالتهای در - یهنیزگ برابر شده خواسته احتمال پس آمده تاسها از یکی باال حالتهای از حالت در

13 یهنیزگ - احتمال پاسخ صحیح تصادفی به یک سؤال گزینهای برابر است پس احتمال جواب صحیح به پرسش از تا برابر است با: P ( ) ( ) / 9 سراسری است پس و احتمال آنکه از جعبهی دوم بوده باشد برابر یهنیزگ - احتمال آن که المپ انتخابی نهایی از جعبهی اول بوده باشد برابر احتمال معیوب بودن المپ انتخابی از جعبهی جدید برابر است با: یهنیزگ - برای آنکه برای اولین بار در بار X ام موفقیت حاصل شود میبایست در X بار قبلی شکست خورده باشیم احتمال هر بار شکست ( P) X P پیروزی در X بار قبلی متمم احتمال موفقیت یعنی P است پس تابع احتمال خواسته شده برابر است با: پیروزی در بار آخر یهنیزگ - با توجه به نمودار درختی زیر احتمال اینکه یک فرد دفترچهی سالمت داشته باشد برابر است با: P / / 6 / 6 / 7 / / / 669 دارای دفترچهی سالمت مرد زن افراد روستا / / /6 /6 /7 فاقد دفترچهی سالمت دارای دفترچهی سالمت / فاقد دفترچهی سالمت سراسری خارج از کشور - 9 یهنیزگ - با استفاده از قانون جمع احتماالت (B PA ( را پیدا PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( B) 7 PA ( B) 7 PA ( B) PA ( B) PB ( A) PAB ( ) PBA ( ) PB ( ) PA ( ) a a a 7 a a a 8 a 7 PX ( ) PX ( ) PX ( ) 7 بنابراین با استفاده از فرمول احتمال شرطی 6 یهنیزگ -6 طبق نمودار درختی روبهرو احتمال اینکه یک دانش جوی سال اول تمام واحدهای درسی خود را گذرانده باشد برابر است با: P / / 6 / / 6 / / 88 / 68 6/ 8% 7 یهنیزگ -7 برای آنکه جمع کل احتماالت برابر یک باشد بنابراین دختر پسر دانشجویان / / /6 /6 / /6 قبول رد قبول رد

14 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا محصول / / / A B C / /99 / /98 / /96 معیوب سالم معیوب سالم معیوب سالم است برابر محصول یک بودن سالم احتمال روبهرو درختی نمودار مطابق -8 8 یهنیزگ با: ( ) ( ) ( ) P / / 99 / / 98 / / 96 9 / / 978 آن بودن س فید احتمال پس اس ت دوم ظرف از احتمال به و اول ظرف از یهنیزگ احتمال به میش ود خارج دوم ظرف از که مهرهای با: است برابر P با: است برابر مهره دو هر بودن سفید احتمال پس است P جعبهها از هرکدام انتخاب احتمال - یهنیزگ 6 آزمون تشریحی پاسخ است: افتاده اتفاق زیر حالتهای از یکی پس است 6 تا از یعنی 7 از کمتر شده ظاهر اعداد مجموع میدانیم - یهنیزگ (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ) (, ),(, ),(, ) PA ( ) / p 6 6 ( ) سراسری زوج عدد دو هر باال مرتبهای زوج از زیر حالتهای در با: است برابر شده خواسته احتمال بنابراین با: است برابر شده رو عدد دو هر بودن زوج احتمال هم با سالم تاس دو پرتاب یکبار در - یهنیزگ با: است برابر بیاید زوج عدد دو هر بار اولین برای تاس دو پرتاب بار سه یا دو یا یک در اینکه احتمال بنابراین.تسا 6 برابر مهرهها مجموع زیر حالتهای در میدهیم نمایش B با را سیاه مهرههای و W با را سفید مهرههای - یهنیزگ ( B, B),(W, W),( B, W),( W, B ), ( B, B ),( W, W ),( B, W ),( W, B ),( B, W ) 9 برابر شده خواسته احتمال پس هستند همرنگ مهرهها حالت چهار در حالت 9 این در با: است برابر نفر از نفر کردن خرید احتمال پس است 6 / / او توسط خرید عدم احتمال و /6 فروشگاه از نفر هر خرید احتمال - یهنیزگ (/6) (/) /6 / /6 /6 /6 9 - کشور از خارج سراسری

15 P( B A) P( B A) P( B A) / 7 P( A B) / P( A) / یهنیزگ - با توجه به فرمول اتحاد شرطی ( ) ( P(A) P(B) P(A B) ) برای یافتن احتمال خواسته شده با استفاده از فرمولهای احتمال P(B A ) P (A B) P(A B) ( //-/) P(B A ) /7 /9 P(A ) P(A ) P(A) P(A) / /8 6 یهنیزگ - 6 تعداد داوطلبان کالس A دو برابر تعداد داوطلبان کالس B اس ت پس احتمال آنکه داوطلبی از کالس A باشد برابر و احتمال آنکه از کالس B باشد اگر پیشامد قبول شدن را C و پیشامد از کالس A بودن را A بنامیم احتمال خواسته شده برابر است با: p( A C) / 8 p( AC ) 8 p( C) / 6 / / است که تقریبا برابر /7 7 برابر 78 مقدار دقیق عدد 7 یهنیزگ - 7 کوچکترین عدد روشده برابر باشد برابر حاالتی است که الاقل یکی از اعداد روشده باشد و تاس دیگر عددی بزرگتر یا مساوی P( X ) ( یا )6 باشد. توجه کنید که حالت ), ( را دوبار شمرده بودیم که یکبار از تعداد حاالت کم کردیم. 8 یهنیزگ - 8 برای آنکه حداکثر بعد از پرتاب سوم سکه مجاز به پرتاب تاس باشیم یعنی دوبار اول یا دوم یا سوم اولین بار سکه رو آمده است که () 7 8 8»n#Ï»H#nIM»#SzQ#Ï»H#nIM»#SzQ#Ï»H#nIM»j»n#³»j#nIM#»n#³¼w#nIM احتمال آن برابر است با: از آنجا که احتمال آنکه در پرتاب یک تاس عدد روشده مضرب باشد برابر 6 است پس احتمال خواسته شده برابر ضرب این دو احتمال است: 9 یهنیزگ - 9 اگر پیشامد A قرمز بودن رنگ مهرهی اول و پیشامد B قرمز بودن رنگ مهرهی دوم باشد احتمال خواسته شده ) AB )P است: P( A B) P( AB ) P (B) ( ) برای پیدا کردن (B )P دو حالت در نظر گرفتیم اولی قرمز و دومی قرمز یا اولی آبی و دومی قرمز. توجه: برای پیدا کردن (B )P با توجه به اینکه اطالعی از رنگ مهرهی اول خارج شده نداریم میتوانیم احتمال قرمز بودن مهرهی اول را در نظر بگیریم: P( B) 9 P( A B) P( A B) P( A) P( A ) یهنیزگ - میدانیم اگر A و B دو پیشامد مستقل باشند A و B نیز مستقل هستند پس:

16 6 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا کی بودن سفید احتمال برابر س وم مهرهی بودن س فید احتمال نداریم اطالعی اول مهرهی دو به نس بت اینکه به توجه با اول: راهحل - یهنیزگ 7 یعنی کردن. خارج اول بار در مهره.تسا متصور زیر حالتهای بودهاند رنگ چه از دوم و اول مهرههای اینکه به بسته دوم: راهحل P kãÿw#»j ½IÃw#»j ½IÃw# Ä#,kßw# Ä با: است برابر نفر 6 از نفر به بیماری انتقال احتمال - یهنیزگ (/) ( /) ()() 6 9 / احتماالت جمع قاعدهی از استفاده با ضمنا )P A (B )P (A P(B) پس هستند مستقل پیشامد دو B و A - یهنیزگ PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PAPB ( ) ( ) 8 / PA ( ) / / PA ( ) 7 / PA ( ) / PA ( ) 7. P(A B) 7 پس P( A B) )P (A باشند مستقل پیشامد دو B و A اگر میدانیم طرفی از با: است برابر نظر مورد کارگر به بیماری انتقال احتمال روبهرو نمودار به توجه با - یهنیزگ P / 89 - سراسری X در موفقیت ا مین n اگر p برابر شکست احتمال و p برابر آزمایش هر در موفقیت احتمال - یهنیزگ با: است برابر احتمال تابع بیفتد اتفاق آزمایش ا مین X X n n X X n n X ( p) ( ) p( ) p ( p) p ( p) Xnpn n n n ±L #nim# Xnj#Áp»oÃQ náh¾±µ ]»j#ïiµteh oia#nim#nj#áp»oãq :اب است برابر آنها از کدام هر احتمال باشد دو یا یک صفر میتواند ( (X شده خارج سفید موشهای تعداد -6 6 یهنیزگ 6 6 P( X ) 9 6 P( X ) سراسری 6 P( X ) برابر سفید موش یک شدن خارج احتمال به مربوط مقدار بیشترین

17 7 PX ( ) PX ( ) PX ( ) PX ( ) ( ) یهنیزگ kãÿw#â²»h kãÿw#â»j#»#½iãw#â²»h kãÿw#â ¼w#»#½IÃw#Ï»H#ÁIU»j هس بیاید پشت اول سکهی اگر میباشد. ما مطلوب و شده ظاهر رو سکه یک دقیقا پس میریزیم تاس بیاید رو پرتابی اول سکهی اگر -8 8 یهنیزگ. P با است برابر کل احتمال بنابراین و 8 6 با است برابر سکه سه پرتاب در سکه یک دقیقا آمدن رو احتمال میریزیم دیگر سکهی با: است برابر محصول یک بودن معیوب احتمال روبهرو درختی نمودار به توجه با بگیریم درنظر محصول بودن معیوب پیشامد را C اگر -9 9 یهنیزگ P( C) / / / / / 9 6 P( A C) P( AC ) / / / 6 P( C) / 9 / با: است برابر باشد A دستگاه از آنکه احتمال است معیوب محصول بدانیم اگر بنابراین یا روشده تاس دو مجموع پس نباشد مس اوی یا کمتر عددی تاس عدد دو مجموع اگر میکنیم اس تفاده متمم پیش امد از - یهنیزگ (, 6) (, 6) (, 66 ) میشود: شامل را زیر حالتهای که است P(A ) P( X ) P( X ) P(A) P(A ) 6 6 n P( X n) است: زیر صورت به تاس دو مجموع احتمال توزیع تابع نکته: 7 آزمون تشریحی پاسخ میشماریم: زیر بخش دو در را حاالت تعداد 6 یا یا یا اعداد از یکی زوج عدد یک راست سمت رقم اول: راهحل - یهنیزگ #oÿ #SwHn#Sµw# n#: 6 6IÄ IÄ # SwHn#Sµw# n#: با: است برابر حاالت کل تعداد بنابراین ( 6 6 ) ( ) 7 کم آن از را فرد اعداد تعداد و آورده بهدست را اعداد کل تعداد دوم: راهحل A#nHo UIM! 6 7! 7 9 nho UÂM#! خیر. یا هست A تکراری حرف شامل یا نظر مورد رمز - یهنیزگ

18 8 لصف :لوا تایبیکرت و لامتحا ترکیب و ترتیب فرمولهای به توجه با - یهنیزگ n! Pn (, ) ( n)! 6 6 n 6 n n n n Cn (, ) ( n)! n n!( n )! اب است برابر مثلثها این تعداد کرد رسم منحصربهفرد مثلث یک میتوان خط هر با نباشند همرس یا موازی نظر مورد خطوط اگر - یهنیزگ خط: بین از خط انتخاب حاالت تعداد 6 حروف این طرفین در و بین انجام قابل حالت! به کار این میدهیم. قرار هم کنار را c و m p t r بیصدای حرف ابتدا - یهنیزگ با: است برابر حاالت تعداد پس میآید بهوجود u و o e صدادار حروف برای مکان 6!! 6 6 انتخاب عدد {,,..., } اعداد بین از میبایست باش د و اعداد فاقد و عدد ش امل عضوی زیرمجموعهی آنکه برای 6 - یهنیزگ 6 با: است برابر حاالت تعداد دهند عضوی مجموعهی یک تشکیل یک عدد با تا کنیم میشماریم: جداگانه را هرکدام تعداد و میکنیم حالتبندی هستند»الف«تکراری حرف تعداد چه شامل آنکه حسب بر را کلمات 7 - یهنیزگ 7 (œ²h)# oe##oà: (œ²h)# oe## I{#:! 9! œ±th # oe## I{#:! 9 برابر حاالت کل تعداد بنابراین دختری فرزند هیچ خانواده در که است پیشامدی متمم باشد موجود دختر فرزند یک حداقل فرزند n با خانواده یک در آنکه پیشامد 8 - یهنیزگ 8 باشند: پسر فرزندان همهی و نباشد موجود n PA ( ) > / 99 PA ( ) PA ( ) () () n > / 99 () n < n > n 7 با: است برابر شده خواسته احتمال میگیریم. نظر در زدن هدف به را B پیشامد و X تفنگ از استفاده را A پیشامد 9 - یهنیزگ 9 PA ( B) PAB ( ) / / / PB ( ) ( ) ( ) ( 7 ) 7 سات پرتاب در و اعداد اگر مثال باشند. متمایز تاس سه اعداد اس ت کافی ش وند مرتب صعودی بهصورت اعداد آنکه برای - یهنیزگ پس: گیرند قرار صعودی بهصورت میتوانند حالت یک به فقط شود ظاهر 6 6 na ( ) PA ( ) 6 ns () :سپ PA ( (B PAPB ( )( ) داریم هستند مستقل B و A اینکه به توجه با اول: راهحل - یهنیزگ PA ( B) PA ( ) PA ( B) PA ( ) PAPB ( ) ( ) PA ( )( PB ( )) PB ( ) PA ( ) PA ( ) PA ( ) PA ( ) پس: هستند مستقل نیز B و A پیشامد دو هستند مستقل B و A پیشامد دو جاییکه از دوم: راهحل PA ( B) PA ( B ) PAPB ( ) ( ) PB ( ) PB ( ) PA ( ) PA ( ) PA ( )

19 9 یهنیزگ - اگر مجموع اعداد تاس اعداد 7 یا باش ند مجموع آنها عددی اول اس ت که تعداد حاالت هرکدام به ترتیب برابر P PA ( B) PB ( A) PAB ( ) PBA ( ) PB ( ) PA ( ) PA ( ) PB ( ) PB ( ) PA ( ) اس ت با 6 پس احتمال خواس ته ش ده برابر اس ت با: یهنیزگ - اگر فرض سؤال را با عالئم ریاضی بنویسیم با توجه به اینکه دو پیشامد A و B ناسازگار نیستند پس (B PA ( و میتوان آن را از دو طرف تساوی ساده کرد: یهنیزگ - برای آنکه وی بیش از 9 امتیاز کسب کند باید یا پرتاب وی گل شود. احتمال این کار برابر است با: ( ) (/ )(/) (/ ) / 778 یهنیزگ - با استفاده از قوانین احتماالت میدانیم: PA ( B) PAB ( ) / PB ( ) PA ( B) PB ( ) PB ( A) PBA ( ) / PA ( ) PA ( B) PA ( B) PA ( B) PA ( B) / 8 PA ( ) PA ( B) 8 / PA ( ) PB ( ) PA ( B) 8 / 8PA ( B) / 8 PA ( B) / PA ( B) PA ( ) PA ( B) PA ( B) PA ( B) PA ( B) / / حال برای محاسبهی (B PA ( 9 9 اس ت. برای آنکه این عدد مضرب باش د باید رقم آخر صفر یا باش د 6 یهنیزگ -6 تعداد کل اعداد دو رقمی با ارقام متمایز برابر 8 8 8, 9 9 oia# n #oia# n k{ I M k{ IM#oŸ پس دو حالت P 76 بنابراین 7 عدد دو رقمی با ارقام متمایز مضرب وجود دارد از این تعداد اعداد 6 7 و 9 مضرب هستند پس: 8 8 P یهنیزگ -7 احتمال را در دو حالت اینکه مهرهی انتقالی و مهرهی آخر هر دو سبز یا هر دو قرمز باشند بهدست میآوریم: 8 یهنیزگ -8 احتمال آنکه پنالتی به A برسد برابر 6 و احتمال آنکه به B برسد برابر 6 بنابراین احتمال گل شدن هر پنالتی برابر است با: P / 6 6 (/ ) (/ ) / 66 بنابراین احتمال گل شدن پنالتی از پنالتی برابر است با: 6. ضمنا در حالتهای زیر مجموع تاس میدانیم اعداد تاس با هم متمایز هس تند پس تعداد کل حاالت برابر اس ت با! 9 یهنیزگ -9 (,, ),(,, ),(,, ),( 6,, ),(,, ),( 6,, ) برابر دیگری است: P 6! 6 6 / 6 6! 6 توجه کنید جایگشت هر یک از حالتهای باال برابر! است پس احتمال خواسته شده برابر است با: یهنیزگ - از 6 حالت ممکن در پرتاب تاس در حالت زیر اختالف دو عدد بزرگتر یا مساوی است: (, ),(, ),(, ),(, ),(, 6),( 6, ),(, ),(, ),(, 6),( 6, ),(, 6),( 6, ) PX ( ) 6 بنابراین احتمال خواسته شده برابر است با:

20

21 آزمونهای مرحلهای تعیین عالمت معادله و نامعادله

22 دوم فصل های آزمون تشریحی پاسخ 8 آزمون تشریحی پاسخ میباشد. a ( ) بهصورت p ( ) پس است مضاعف ریشهی دارای p ( ) عالمت تعیین جدول به توجه با - یهنیزگ p( ) a( ) a( 6 9) a 6a 9a 6a a b8 a b 9a b پس: p( ) a b اینکه به توجه با حل را نامعادله عالمت تعیین جدول کمک با - یهنیزگ > > > > ab ab b a b b b عالمت تعیین جدول از استفاده با - یهنیزگ حل را نظر مورد نامعادلهی عالمت تعیین جدول کمک به - یهنیزگ ( ) ( ) 9 7 p ( ) 6 8 ( )( ) I: < II: IÄ > حل را نظر مورد نامعادلهی عالمت تعیین روش به - یهنیزگ 7 ( 7) ( )( ) p() (, ) {} 7 هستند. جواب مجموعهی در 7 و صحیح اعداد میگیریم: اشتراک را جوابها سپس کرده حل جداگانه را نامعادله دو اول: راهحل 6 - یهنیزگ 6 > ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). a b و است [,] بازهی برابر II و I جوابهای اشتراک میگیریم: کمک قدرمطلق از دوم: راهحل

23 gof( ) f ( ) gof( ) > > > 9 سراسری ( ) [, ) f ( ) f() با: است برابر gof تابع ضابطهی 7 - یهنیزگ 7 میباشد. gof( <( نامعادلهی جواب مجموعهی دارند قرار ها محور باالی که تابع این از نقاطی طول باشیم: داشته باید نباشد y ) ) خط از باالتر f ( ) آنکه برای 8 - یهنیزگ 8 و است بنابراین کنیم: حل را زیر نامعادلهی باید باشد g ( ) تابع از پایینتر f ( ) تابع آنکه برای 9 - یهنیزگ 9 f( ) < g( ) < 8< < ( ) < < < (, ) y< ( m) m<. b a بنابراین باشد: برقرار مقادیر تمام ازای به >y نابرابری باید باشد داشته قرار ها محور زیر همواره تابع آنکه برای - یهنیزگ < ( ) mm ( ) < m m< m< IÄ m> m < a < m < m < p( ) ( m ) m m عبارت در جایگذاری با - یهنیزگ p( ) ( m ) m m m ( m ) p( ) ( m ) ( m ) < میباشد ( m ) نیز دوم درجه معادلهی در ضریب اینکه به توجه با معادله ریشهی دو بین یعنی میکند مخالفت ضریب با همواره )p ) عالمت پس است منفی همواره )p ( ( m ) عبارت اینکه به توجه با باشد: ضریب عالمت مخالف عالمت تعیین جدول در ازای به عبارت مقدار باید باشد معادله این ریشههای بین عدد آنکه برای - یهنیزگ p() > m> m> m> (m ) (, ) f( ) a b a b a (, ) y b b b :سپ میکند صدق تابع دو هر در که است ( (, نقطهی ها محور روی طول به نقطهای - یهنیزگ y ( )( ),, y 89 سراسری ( ) 6 7 p c a میدهیم. قرار مساوی را منحنی و خط معادلهی تقاطع دیگر نقاط یافتن برای ضرب ( ) عبارت در را معادله طرف دو - یهنیزگ با: است برابر آنها حاصلضرب پس نیستند. (, ) قبول غیرقابل مقادیر جزء که است ریشه دارای معادله این میکند. صدق آن در پس است شده داده معادلهی ریشهی - یهنیزگ a a9 ( a7)( a ) ( a a ) a a a a a a ( a )( a ) a a a 7 a a a a

24 لصف :مود نییعت فصلدوم:تعیینعالمتمالع داریم پس است نامنفی عددی رادیکال حاصل و رادیکال زیر اینکه به توجه با میکنیم. بازنویسی بهصورت را معادله -6 6 یهنیزگ ( 6)( ) IÄ 6 میپردازیم: معادله حل به حال میکند. صدق معادله در فقط و است قبول غیرقابل 6 محدودهی به توجه با a a a a ( a )( a ) a, کنیم: استفاده a متغیر تغییر از اگر 7-7 یهنیزگ c a a برای قبول غیرقابل a پس باشد نامنفی باید a اینکه به توجه با پس: هستند. نامنفی اعدادی آن حاصل و رادیکال زیر میدانیم معادلهی در -8 8 یهنیزگ, a 6 a a ندارد. جواب معادله پس ندارند اشتراک هم با آمده بهدست محدودههای اینکه به توجه با 9 ( )( ) IÄ پس: میکند صدق شده داده معادلهی در -9 9 یهنیزگ میپردازیم: معادله این حل به اکنون است بهصورت معادله پس ندارد. دیگری ریشهی معادله پس قبول غیرقابل و نمیکند صدق معادلهی در [, ] پس: هستند نامنفی اعدادی رادیکال حاصل و رادیکال زیر چون توجه: نیست. قبول مورد محدودهی در بنابراین - یهنیزگ ( 9). 6 با است برابر آنها مجموع که دارند قرار محدوده این در و منفی صحیح اعداد 9 آزمون تشریحی پاسخ است: زیر بهصورت y عالمت تعیین جدول p ( ) عالمت تعیین جدول به توجه با - یهنیزگ با: است برابر شده داده عبارت عالمت تعیین جدول - یهنیزگ میکنند. صدق آن در و 6 صحیح اعداد و است ( [, { {6 برابر p ( ( نامعادلهی جواب مجموعهی بنابراین

25 ( )( ) ( ) ( ) - یهنیزگ ندارند. قرار آن در و صفر صحیح اعداد که است ( (,,) ( بهصورت نامعادله جواب بنابراین < < < ( )( ) (, ) (, ) - یهنیزگ حل را شده داده نامعادلهی عالمت تعیین از استفاده با - یهنیزگ ( )( ) > [, ] {} > < < > IÄ < () I قبول غیرقابل و مخرج ریشهی صفر کنید توجه ± صحیح عدد دو شامل فقط جواب مجموعهی حل جداگانه را نامعادله دو اول: راهحل 6 - یهنیزگ 6 > 6 > < < (II). b a و است ( 6 (, بازهی II و I جواب دو اشتراک ( )( ) ( )( ) 6 < 6 < < < < 6 کرد: حل را روبهرو نامعادلهی میتوان نامعادله دو بهجای دوم: راهحل 6 9 ( ) پس: باشد برقرار f ( >( نامساوی باید باشد y خط از پایینتر )f ( تابع آنکه برای 7 - یهنیزگ 7 > < < 8 8< ( )( ) < < <. b a ( ) 6 و است y خط زیر (, ) بازهی در f ( ) بنابراین fog( ) ( g ) ( ) ( ) معین را y fog( ) ضابطهی ابتدا 8 - یهنیزگ 8 y ± 9 6, y 8 پیدا را تقاطع نقطهی مختصات زیر مجهول دو و معادله دو دستگاه حل با 9 سراسری موجود گزینهها در فقط باشد: برقرار تمامی ازای به f ( ) > g ( ) نامساوی باید باشد g ( ) تابع نمودار از باالتر همواره f ( ) تابع آنکه برای 9 - یهنیزگ 9 f( ) > g( ) k > ( k ) > a > > برقرار همواره باشیم: داشته باید باشد برقرار همواره فوق نامعادلهی آنکه برای < ( k) < k k < < k< مقابل بهصورت y f ( ) عبارت عالمت تعیین جدول f نمودار به توجه با - یهنیزگ است: مثبت,) ) محدودهی در فقط y عبارت a< m< m< m 6 ( m ) ( m ) 6 m, m m, m باشیم: داشته باید باشد نامثبت همواره دومی درجه عبارت آنکه برای - یهنیزگ

26 a< m< 6 لصف :مود نییعت فصلدوم:تعیینعالمتمالع باشد. منفی a باید باشد پایین به رو آنکه برای و میبایست باشد مماس طولها محور بر سهمی نمودار آنکه برای - یهنیزگ ( m ) m m m m m m m ± m, مقدار فقط >m شرط به توجه با قبول مورد m برای ضریب عالمت مخالف ازای به p( ) m m عبارت عالمت پس دارد قرار معادله ریشهی دو بین عدد - یهنیزگ p( ) m< ( m m ) m< ( m ) m< < m< میباشد: m یعنی a a ( a) a a a a a a a پس: میکند صدق شده داده معادلهی در - یهنیزگ دیگر ریشهی یافتن برای درمیآید بهصورت معادله بنابراین,, # # معادله قبول قابل ریشهی تنها هست نیز مخرج ریشهی اینکه به توجه با ( )( ), حل و کرده خارج کسری حالت از را معادله - یهنیزگ ( ) برابر آنها تفاضل که هستند معادله ریشههای و عدد دو ضمنا داریم باشد شده تعریف معادلهی آنکه برای -6 6 یهنیزگ # # ( ) دارد. ( ) مثبت ریشهی یک تنها معادله این باشند: صفر دو هر باید باشد صفر عبارت دو این حاصلجمع آنکه برای پس هستند نامنفی دو هر ) 6 ) و عبارات 7-7 یهنیزگ ( )( ) IÄ ( 6) ( )( ) IÄ, 9, مثبت ریشهی یک دارای معادله این پس پس: است مثبت رادیکال دو حاصلجمع و رادیکالها زیر -8 8 یهنیزگ باشد. داشته جواب نمیتواند معادله پس ندارند اشتراک هم با محدوده این توجه با است بزرگتر از ضمنا باشیم: داشته باید که است واضح مینویسیم. > بهصورت را نامعادله -9 9 یهنیزگ > < < بودن نامنفی به < < ( ) > ( 9)( 6) > > 6IÄ < 9 میپردازیم: نامعادله حل به اکنون با: است برابر بازه این صحیح اعداد مجموع که است,] 9 ) بازهی جواب محدودهی ( > ) شرط با آمده بهدست محدودهی اشتراک از میپردازیم: نامعادله حل به اکنون داریم باشند شده تعریف رادیکالها آنکه برای - یهنیزگ 7 > 9( 7) > 6 9 6> 6 7< 6 < 9 میکند. صدق آن در صحیح عدد 9 و است > 9 نامعادله جواب مجموعهی پس

27 آزمونهای مرحلهای معادلهی درجه دوم و تابع درجه دوم

28 سوم فصل آزمونهای تشریحی پاسخ ± 68 آزمون تشریحی پاسخ کنیم فرض را عدد اگر - یهنیزگ دارد. وجود گزینهها در عدد که پس باش د. ریش ه دو دارای ( (m m معادلهی باید کند قطع نقطه دو در را طولها محور تابع نمودار اینکه برای - یهنیزگ > 6( m)( m ) > ( m m ) > m m< m( m ) < < m< m m m m m ( m ) m ( m ) 8m m m میدهیم: قرار هم مساوی را تابع دو ضابطهی - یهنیزگ بررسی را اخیر معادلهی برای ریشه وجود باشد. داشته ریشه دو یا یک صفر میتواند معادله پس باشد منفی یا مثبت صفر میتواند m مختلف مقادیر ازای به عبارت y m ( ) m ( m ) m, m> ( m) m( m ) 9m 6m8m m m m ساده را تابع ضابطهی - یهنیزگ باشیم: داشته باید باشد آن بر مماس و ها محور باالی نمودار اینکه برای نوشت: میتوان پس.تسا برابر آنها مجموع و هستند قبول قابل مقدار دو هر پس است.( مثبت آنها حاصلضرب و مجموع )زیرا هستند مثبت دو هر معادله ریشههای نوشت: میتوان پس Pαβ و Sαβ معادلهی در - یهنیزگ αα ββ ( α β) ( α β ) ( αβ) αβ( αβ) (( αβ) αβ) S PS( S P) 7( ) 9 ( ) b αβ a αβ c a β α α β ( αβ) ( αβ) α αβ β αβ ( αβ) β α αβ α β αβ ( αβ ) αβ ( αβ ) محاسبه را ریشهها حاصلضرب و مجموع 6 - یهنیزگ 6 بنابراین

29 b 8 8 a c a 9 محاسبه را ریشهها حاصلضرب و مجموع 7 - یهنیزگ 7 ( ) 8 بنابراین ( α ) α ( α ) α ( ) ( β ) β ( β ) β A ( α ) ( β ) αβ پس میکنند. صدق آن در معادله هر ریشههای میدانیم 8 - یهنیزگ 8 بنابراین αβ A 7 ساده را معادله α αβ β β α پس αβ و αβ7 7 معادلهی به توجه با 9 - یهنیزگ 9 ( α ) ( β ) ( αα ) ( ββ ) ( α β ) (( αβ) αβ ) ( 7 ) 7 β α α α α α میکنند: صدق آن در معادله هر ریشههای - یهنیزگ αβ ( α ) β ( α ) β ( α β ) (( αβ) αβ) ( ( )) 8 αβ بنابراین یکدیگر معکوس β و α و باش ند معادله این ریش ههای β و α اگر مینویس یم. m ( m ) بهصورت را معادله - یهنیزگ m m αβ m m m m ( m )( m ) m m باشند پس بود. نخواهد حقیقی ریش هی دارای معادله و ش د خواهد 9 >6 اینصورت در که بود خواهد بهصورت معادله m ازای به 9 - کشور از خارج سراسری صحیح m و نیست قبول قابل m نوشت: میتوان پس k و k معادلهی به توجه با - یهنیزگ k k k 9 بنابراین نوشت: میتوان پس و k k معادلهی در - یهنیزگ ( ) ( k) ( ) k 8 k k± 8 m 6 نوشت: میتوان پس 8 و m m 8 معادلهی در - یهنیزگ پس میآید. بهدست رابطهی از دوم درجه معادلهی ریشههای اختالف میدانیم - یهنیزگ a m m 6 c m 6 طرفی از a

30 لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود استفاده c رابطهی از 6-6 یهنیزگ a m m tan α.cot αm m m آمده بهدست معادله در دادن قرار از رابطه این که است واضح مینویس یم. a b c بهصورت را ش ده داده رابطهی -7 7 یهنیزگ است c ریشهها ضرب که آنجا از و است معادله ریشههای از یکی پس است a c c c a a a. αβ و αβ باشند معادلهی ریشههای β و α اگر اول: راهحل -8 8 یهنیزگ باشند جدید معادلهی ریشههای و اگر αβ α α β αβ αβ ( )( ) β α β αβ αβ بود. خواهد بهصورت معادله بنابراین کنیم فرض y برابر را جدید معادلهی ریشههای و برابر را معادلهی ریشههای اگر دوم: راهحل y y ( ) ( y) ( y ) y y y y y y y آن ریش ههای که معادلهای در و αβ و αβ داری م: باش ند معادلهی ریش ههای β و α اگ ر -9 9 یهنیزگ ( ) ( )( ) β α β ( αβ) αβ( αβ) S α β α αβ αβ β P α αβ β α S P β باشند و α α β است: زیر بهصورت معادله بنابراین یعنی: باشد. منفی معادله ریشههای ضرب است کافی کند قطع عرضها محور طرفین در را طولها محور تابع نمودار اینکه برای - یهنیزگ c < m < < m< a m برقرار < شرط c > وقتی که کنید توجه a آزمون تشریحی پاسخ پس y6 میدانیم: طرفی از و y بنامیم y و ترتیب به را مستطیل عرض و طول اگر - یهنیزگ y( y ) 6 y y 6 y y ϼL # MI #oãš y ( y )( y ) y باشد: نداشته ریشه تابع باید باشد ها محور زیر نمودار اینکه برای - یهنیزگ 6m < m > m >

31 نوشت: زیر بهصورت میتوان را فوق معادلهی - یهنیزگ ( )( ), بنابراین α, β α β ( ) ( ) 7 داشت: خواهیم کنیم فرض اگر - یهنیزگ ( ) ( ) a, b ab8 پس: میکند صدق معادله دو هر در بنابراین باشد مشترک ریشهی کنیم فرض - یهنیزگ a a a a a a a a a میدهیم: قرار معادالت از یکی در را a نوشت: میتوان پس c و a b معادلهی در میدانیم 6 - یهنیزگ 6 a ( ) ( ) ( )( ) 9 c برابر دیگری و برابر ریشهها از یکی پس صفر برابر a ) معادلهی ضرایب مجموع 7 - یهنیزگ 7 پس معادله به توجه با 8 - یهنیزگ 8 αβ ( m ) m m αβ m m بنابراین αβ m m( αβ ) m( αβ ) m( ) m α β αβ m m m m m m m m m m m m m m m دارند قرار,) ) ب ازهی در معادله ریش ههای بنابراین 7 و معادلهی ب ه توجه ب ا 9 - یهنیزگ 9 بنابراین ( < < < < ) < < < میکنند: صدق معادله در معادله ریشههای - یهنیزگ ( ) نوشت: میتوان بنابراین طرفی از αβ و αβ m m معادلهی به توجه با - یهنیزگ α αβ α( αβ ) α α β β αβ m m m

32 b b a لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود باشیم: داشته باید باشند یکدیگر قرینهی ریشهها اینکه برای - یهنیزگ aa ( 9) a, ± نوشت: میتوان بنابراین a.jnhkº#â Ã e#á¾zän a.jnhkº#â Ã e#á¾zän a ± قرینه و حقیقی ریشهی دو دارای معادله a ازای به فقط بنابراین نوشت: میتوان پس c و - یهنیزگ a آنگاه a b c اگر میدانیم a b c معادلهی در sin αcos α sin αcos α, cos α cos α sin α نوشت: میتوان پس. 8 و k k 8 معادلهی در - یهنیزگ ( ) ( 7 ) 7 k 8( ) 7 k 8 7 k 9 k± جدید معادلهی در و αβ و αβ باشند ریشه β و α اگر معادلهی در اول: راهحل - یهنیزگ 6α 6( αβ ) 6 6β 6αβ8 بود. خواهد 6 8 بهصورت معادله این بنابراین y y y y y y 6 ( ) y 6y کنیم فرض y را جدید معادلهی ریشهی و برابر را معادلهی ریشهی اگر دوم: راهحل معادلهی ریشههای و اگر و αβ m باشند m 9 معادلهی ریشههای β و α اگر -6 6 یهنیزگ نوشت: میتوان پس و باشند α αβ αβ ( ) m ( ) ( ) m β α α α α α α α α α α ββ ββ ββ β ββ β پس میکنند. صدق آن در معادله هر ریشههای -7 7 یهنیزگ S α β αβ باشند: β و α آن ریشههای که بنویسیم معادلهای باید بنابراین P ( α)( β ) αβ( αβ ) S P است: مقابل بهصورت معادله بنابراین > m> m<, باشد: داشته وجود زیر شرایط باید باشد مثبت متمایز ریشهی دو دارای معادله اینکه برای -8 8 یهنیزگ c > m > m> a, b > > m a باشد. < m< باید بنابراین داشت: خواهیم t t < ( ) ( ) t t ( t )( t ) t ± کنیم فرض اگر -9 9 یهنیزگ ریشه دارای معادله بنابراین

33 m m t mt m داشت: خواهیم t کنیم فرض اگر - یهنیزگ پس گردد. ریشه دارای اولیه معادلهی تا باشد مثبت ریشهی دو دارای اخیر معادلهی است کافی > m m > ( m ) > m c > m > m> a b > m > m> a آزمون تشریحی پاسخ ضمنا. >b نتیجه در و b < یعنی است مثبت سهمی رأس طول طرفی از. a < پس است مینیمم دارای سهمی نمودار به توجه با - یهنیزگ a دار را خصوصیات ) (این گزینهي فقط. <c یعنی است مثبت عرضها محور با سهمی تالقی محل نقطهي عرض پس <c چ ون و اس ت مینیمم دارای س همی پس a < که این به توجه ب ا - یهنیزگ است: منفی b a یعنی سهمی رأس طول و <b طرفی از مثبت yها محور با برخورد f ( ) a ( )( 6 ) صورت به را تابع ضابطهي میتوان پس میکند. قط ع را ها محور و 6 نقاط در تابع نم ودار - یهنیزگ 6 a( )( 6) a f ( ) ( )( 6) با: است برابر سهمی رأس طول پس است تابع تقارن محور b خط چون نوشت. a و است سهمی رأس ( (, نقطهي بنابراین b, c بنابراین c6 پس میکند قطع 6 عرض با نقطهای در را عرضها محور سهمی - یهنیزگ 9a b 6 پس: است سهمی روی ( (, نقطهي طرفی از 9a b 6 a b b a ( a) a a a a a a b a( ) a b a a b a a b a ± a ± 6 a ± 6 6 b a a b 9 b a > > b> b< a a b : 8 یعنی است 8 برابر سهمی رأس عرض ضمنا a است مثبت مقداری سهمی رأس طول و باالست به رو سهمی که آنجا از است: a و b بنابراین

34 ( ) a a ( ) لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود است برابر سهمی دو رأس طول که جایی از - یهنیزگ. a b پس b یعنی g() لذا میگذرد مختصات مبدأ از g ( ) تابع ضمنا یعنی: میآید بهدست y f ( ) تابع دهیم انتقال پایین به واحد و چپ به واحد را y f ( ) تابع اگر 6 - یهنیزگ 6 g ( ) ( ( )) ( ) 7 میآید: بهدست f ( ) g ( ) معادلهی حل از تابع دو تالقی نقطهي طول f ( ) g ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) با: است برابر شده داده سهمی رأس پس است ( b, f( b )) نقطهي y a b c 7 - یهنیزگ 7 a a سهمی رأس b b f( b) b b b b b b b b, است مساوی عرض و طول دارای سوم و اول ربع نیمساز روی نقطه هر که جایی از برابر b مقادیر مجموع بنابراین نقطهي طول یافتن برای اس ت. y f ( ) تابع رأس A(, ) نقطهي بنابراین اس ت y f ( ) تابع رأس A(, ) نقطهي 8 - یهنیزگ 8 y f( ) f( ) 6 نوشت: میتوان y )f ( تابع در A متناظر y f( ) سهمی رأس A (, 6 ) نقطهي یعنی هستند: b معادلهي ریشههای یک و صفر یعنی هستند متقاطع و صفر طولهای با نقطه دو در شده داده سهمی و خط نمودار 9 - یهنیزگ 9 b ( b ) b b میباشد. (, ) نقطهي y سهمی رأس برابر A نقطهي مختصات پس است b خط سهمی تقارن محور - یهنیزگ a معادلهی در و است تقارن محور روی زیرا است سهمی رأس همان A بنابراین میباش د (, ( میکند. صدق نیز سهمی میباشد. y افقی خط نقطه این از سهمی بر مماس خط پس و میباشد برابر شده داده سهمی رأس عرض بنابراین باشد مماس آن بر میتواند سهمی رأس در فقط افقی خط - یهنیزگ ( m m8) mm 8 m m ( m ) m a ( m) m 6m6 m 6 m ( m) پس: میباشد b قائم خط y a b c سهمی تقارن محور - یهنیزگ a طولهای با نقطه دو و است ش ده داده س همی تقارن محور چون - یهنیزگ هس تند س همی تقارن محور طرف دو در یکس ان فاصلهي با س همی روی و هستند. مساوی عرض دارای بنابراین

35 پس است (, 6 ) نقطهي سهمی رأس گفت میتوان مقابل شکل به توجه با - یهنیزگ f( ) 6 k 6 k 7 ( 9 ) 8 a ( ) نمودار باید کند عبور دیگر ناحیهي سه از و نکند عبور دوم ناحیهي از نمودار که این برای - یهنیزگ پس باشد. نامنفی متمایز ریشهي دو دارای تابع ثانیا و باشد a > اوال یعنی باشد. مقابل شکل به تابع > ( a ) > a c a b a a < > > a < a < a a است: آن رأس عرض برابر f ( ( سهمی مقدار بیشترین -6 6 یهنیزگ برابر y f ( ) رأس عرض با آن رأس عرض و است راست سمت به واحد یک اندازهي به y f ( ) تابع یافتهي انتقال y f ( ) تابع y L y L S y ( L) S L مینامیم: y را آن طول و را زمین عرض L را طناب طول -7 7 یهنیزگ پس: است فوق سهمی رأس عرض برابر S ma S L ma L L L 9 L 7 a 8 ( y) y y y P y P ( ) P 6 P ma ( ) 6 z y ( ) z min () مقابل شکل به توجه با -8 8 یهنیزگ با: است برابر که میآید بهدست 6 ازای به z مقدار کمترین میباشد. 7 6 برابر قطر مقدار کمترین پس میدهیم: نمایش P با را عدد دو حاصلضرب اول: راهحل -9 9 یهنیزگ با: است برابر که میآید بهدست 6 ازای به P مقدار بیشترین دوم: راهحل باشند. برابر هم با عدد دو آن که است بیشترین هنگامی آنها ضرب باشد ثابت عدد دو جمع اگر نکته: مقدار بیشترین پس. و y یعنی y باشیم داشته که است ماکزیمم هنگامی P( )( y) بنابراین y که جایی از برابر آنها ضرب

36 6 لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود کرد: بازنویسی زیر صورت به را شده داده تابع میتوان است مثبت که این به توجه با اول: راهحل - یهنیزگ f ( ) 9 ( 9 ) 9 f ( ) ( ) f min ( ) برابر f ( ) مقدار حداقل بنابراین ( ) داریم که جایی از دوم: راهحل باشند. برابر عدد دو آن که است کمترین وقتی آنها جمع باشد ثابت مثبت عدد دو ضرب اگر نکته: پس:. یعنی 9 که است مینیمم وقتی آنها جمع بنابراین 9 6 که جایی از c c b b a a آزمون تشریحی پاسخ پس ( b, ) a a پس است کرده عبور (, ) نقطهي از تابع نمودار - یهنیزگ a a b ac a ( a) a a a a a( a ) a a b a b a b c نقطهي سهمی رأس میدانیم سهمی رأس ( (, نقطهی بنابراین و است منفی عددی m مقدار هر ازای به سهمی رأس طول سهمی نمودار به توجه با - یهنیزگ )(: گزینهي b m a باشد منفی یا مثبت میتواند )(: گزینهي b m a باشد منفی یا مثبت میتواند )(: گزینهي b m a است مثبت همواره )(: گزینهي b m a است منفی همواره بنابراین میگذرد نقاط همین از نیز y a b تابع نمودار میگذرد ( 6,) و (,) نقطهي دو از y ( 6 ) تابع نمودار - یهنیزگ y ( )( 6) ( 6) است: زیر صورت به آن ضابطهي واحد 9 ( 8) 7 برابر B و A نقطهي دو فاصلهي میباشد. )B, 8 ) و )A 9 (, نقاط شده داده سهمی دو رأس

37 7 باشند: عرض دارای که است نظر مورد نقاطی پس نقطه عرض مطلق قدر همان طولها محور از نقطه هر فاصلهي اول: راهحل - یهنیزگ < y 8 ( )( ), میکند. صدق مسأله شرایط در )B, ) و )A, ) نقطهي دو بنابراین y خط روی اس ت واحد برابر ها محور از آنها فاصلهي که نقاطی میکنیم. رس م را تابع نمودار دوم: راهحل دو که است واضح y خط رسم با است مشترک تابع نمودار با نقطه چند در خط این بدانیم اس ت کافی پس هس تند. دارد. وجود نقطه با ( (, رأس دارای سهمی این و اس ت f ( ( تابع به مربوط پایین سهمی که اس ت مش خص نمودارها روی از - یهنیزگ میگذرد: ( 6, ) نقطهي از و است (,) رأس دارای نیز g( ) a b c تابع شکل به توجه g() 6 c 6 g() a b c b a b a 8a 6 a a b b a a a b بنابراین :تسا ریشهی دارای فقط f ( ( معادلهي پس میکند قطع را طولها محور طول به نقطهای در تنها y f ( ) تابع نمودار 6 - یهنیزگ 6 f( ) a b a b a b ( ) a b f ( ) f() یعنی: است مضاعف ریشهي دارای فوق معادلهي با: است برابر تابع ضابطهي پس طولهای با نقطه دو در که است پایین به رو س همی یک y m m تابع نمودار 7 - یهنیزگ 7 طول با نقطهای روبهرو شکل مطابق است کافی >α β> باش یم داش ته که آن برای میکند. قطع را ها محور β و α گیرد: قرار ریشه دو بین تا باشد مثبت عرض دارای سهمی روی f()> m m > 8 6m m > m<6 m< بازنویسی حسب بر y از رابطهای صورت به را تابع شده داده رابطهي به توجه با اول: راهحل 8 - یهنیزگ 8 m m y mm y ( ) ( ) y میافتد: اتفاق تابع رأس در فوق تابع مقدار حداقل b ymin f( ) 9 a

38 8 لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود ymin 9 9 a :دروآ بهدست y m m رابطهي همان از را y مقدار میتوان است خطی رابطهای m و رابطهي که جایی از دوم: راهحل ناحیهي در اگر که اس ت ( b, ) نقطهي تابع ماکزیمم همچنین باش د. منفی m باید باش د ماکزیمم دارای تابع که این برای 9 - یهنیزگ 9 a a b > > m< a m m< ( m m) m m m < 8 < < < m m > m> IÄ m< a m m ا حتم اس ت (, ) نقطهي که خط به نس بت (, ) نقطهي قرینهي پس اس ت باشیم: داشته باید گیرد قرار چهارم a خط تابع تقارن محور - یهنیزگ a دارد. قرار تابع نمودار روی پس b آن تقارن محور و است برابر y a b c دوم درجه تابع مقدار بیشترین - یهنیزگ a a 98m 8m 9 m m 9 m, ni U#n¼d : m m ( ) نقاط بنابراین هستند. متقارن سهمی رأس به نسبت طولها محور با برخورد نقاط پس است سهمی تقارن محور b که آنجا از - یهنیزگ a نقطهی و است f ( ) a ( )( ) صورت به تابع ضابطهي پس باشد. واحد برابر AB طول تا باشند )B (, و )A (, باید طولها محور با برخورد میکند: صدق آن معادلهي در و دارد قرار تابع نمودار روی ( (, a( )( ) a f ( ) ( )( ) y ( )( ) عرضها محور با برخورد نقطهي در کند عبور دوم ناحیهي از سهمی نمودار که آن برای میگذرد. مختصات مبدأ از سهمی - یهنیزگ ریشهها جمع یعنی باشد منفی m دوم درجه معادلهي دیگر ریش هي شکل مطابق میبایس ت b < m < m< m< a باشد: منفی برابر س همی تقارن محور بنابراین میگذرد ( a (, و (,) نقط هي دو از س همی - یهنیزگ مختصات است مماس س همی بر y a افقی خط که جایی از طرفی از اس ت. a یعنی a :سپ میکند صدق سهمی معادلهي در ( a, (a نقطهي میباشد. ( a, (a سهمی رأس a ( ( a ))( a a) a ( a)( a) a a a a a a IÄ a تقارن محور معادلهي : a 6 است: a قبول قابل جواب تنها a < شرط به توجه با

39 9 یهنیزگ - نمودار تابع در سه حالت زیر از ناحیهي چهارم عبور نخواهد کرد: بنابراین را محاسبه a ( a ) a 6 6 a : حالت اول و دوم a () I > a 6> a> IÄ a < : حالت سوم c j¼] ¼ #ÁIÀ½pIM#pH#Áoà HoT{ H a a < a a b < a< a> a () I ( II) a ( II) حال میتوان نوشت: 6 y P ( 6) P 6 P y 6 یهنیزگ -6 راهحل اول: دو عدد مورد نظر را و y و حاصلضرب آنها را P مینامیم: مینیمم تابع درجه دوم در نقطهي رأس سهمی اتفاق میافتد: b y 6 6 y 6 y a راهحل دوم: نکته: اگر مجموع دو عدد ثابت باشد حاصلضرب آنها وقتی بیشترین است که آن دو عدد برابر باشند.. پس مینیمم P به یعنی y و y y) ( بنابراین ) y P ( )( هنگامی ماکزیمم است که داشته باشیم از جایی که 6 ازای و y بهدست میآید. 7 یهنیزگ -7 راهحل اول: عرض مستطیل را طول آن را y و مساحت آن را S مینامیم. y S ( ) S S S y ma a ( ) راهحل دوم: نکته: اگر مجموع دو عدد ثابت باشد حاصلضرب آنها هنگامی بیشترین است که آن دو عدد برابر باشند. y یعنی و 6S هنگامی ماکزیمم اس ت که داشته باشیم y بنابراین y از جایی که S ma 6 y6 پس:

40 لصف :موس هلداعم ی هجرد مود و عبات هجرد مود تالس قضیهي به توجه با مینامیم. y و را مستطیل عرض و طول -8 8 یهنیزگ y y y S y ( ) S b y a ( ) AB ( ( )) ( ) AB ( AB) است: ماکزیمم دارای رأس طول ازای به دوم درجه تابع با: است برابر عرض و طول اختالف بنابراین میگیریم: نظر در تابع روی را (, ( مختصات به B دلخواه نقطهي -9 9 یهنیزگ ازای به ( AB ( مقدار کمترین با: است برابر که میآید بهدست ( AB) 9 9 min ABmin 7 کرد: بازنویسی چنین میتوان را نظر مورد تابع است منفی عددی که این به توجه با اول: راهحل - یهنیزگ y 9 ( 9 ) ( ) 6 6 برابر تابع مقدار بیشترین بنابراین است صفر برابر ( ) مقدار کمترین دوم: راهحل عدد دو این جمع بنابراین 9 9 که جایی از باش ند. برابر عدد دو آن که اس ت ماکزیمم هنگامی آنها جمع باش د ثابت منفی عدد دو ضرب اگر نکته: y ma 9 6 پس: یعنی 9 که است ماکزیمم وقتی منفی آزمون تشریحی پاسخ (,) نقطهی از تابع جاییکه از اس ت. y a ( ) 6 بهصورت تابع معادلهی پس اس ت تابع رأس ( 6 (, نقطهی اول: راهحل - یهنیزگ یگذرد م a( ) 6 a 6 a y ( ) 6 y 6 y 9 ab c 9 :اب است برابر تابع دیگر ریشهی پس است یک طول با نقطهای تابع رأس و است تابع ریشههای از یکی دوم: راهحل :سپ میگذرد ( 6 (, نقطهی از تابع این است y a ( )( ) بهصورت تابع این معادلهی بنابراین 6 a( )( ) a 6 a y ( )( ) y 9 ab c

41 پس: است ریشه دو میانگین برابر تابع رأس طول - یهنیزگ. با است برابر آنها مجموع و هستند f ( ( معادلهی ریشههای و پس هستند. f ( ( معادلهی ریشهی دو و باشد: داشته منفی ریشهی دو باید زیر معادلهی سؤال صورت به توج ه با - یهنیزگ P c m > > m < ( )( ) m m m a S b < < a > 9( m) > 96 8m> 8m> 7 m> < m< باشیم داشته باید بنابراین 8 پس: است سهمی رأس عرض برابر درجه تابع یک مقدار بیشترین - یهنیزگ ( 6m( m)) 6 8m m m 8m 8m 6 a m m m ( m )( m ) m IÄ. m و است قبول غیرقابل m پس است منفی دوم درجه جملهی ضریب حتما پس دارد ماکزیمم درجه تابع اینکه به توجه با باشد: نداشته ریشه زیر معادلهی میبایست نکند قطع را خط سهمی آنکه برای - یهنیزگ < m ( )( 8) 7 8 m ( 7 m) 8 ( 7m) 8< ( 7m) 6< ( 7m8)( 7 m 8) < ( m9)( m ) < < 9 m< باشد.,,..., صحیح عدد از یکی میتواند m بنابراین یور M نقطهی اینکه به توجه با S y برابر ONMP مس تطیل مس احت کنیم فرض,) y) را M نقطهی مختصات اگر 6 - یهنیزگ 6 S ( ) S ma 9 9 a 8 8 پس: دارد قرار y خط نوشت: زیر بهصورت میتوان را تابع ضابطهی بودن منفی به توجه با اول: راهحل 7 - یهنیزگ 7 f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) باشد. صفر برابر کامل مربع عبارت که است وقتی f تابع مقدار بیشترین که است مشخص b و a جایگذاری با پس a b ab میدانیم b و a منفی عدد دو برای دوم: راهحل عامل تجزیه با یک برابر ریشهها از یکی پس میکند. صدق ( m ) ( m ) معادلهی در عدد 8 - یهنیزگ 8 میگیریم: فاکتور معادله از را ( m ) ( m ) ( )( ) ( m ) ( ) ( )( m ) ( )( m ) m m > m > m> m > پس: باشد داشته مخالف و مختلف ریشهی دو m معادلهی باید باشد داشته متمایز ریشهی معادله آنکه برای