IEEE Standard 754 [IEEE 85]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "IEEE Standard 754 [IEEE 85]"

Transcript

1 IEEE Standard 754 [IEEE 85] ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Αρχές Με ένα σύστημα αριθμών κινητής υποδιαστολής είναι δυνατό να παραστήσουμε ένα διάστημα θετικών και αρνητικών ακεραίων με κέντρο το μηδέν. Ένας αριθμός σταθερής υποδιαστολής με βάση το 2 ή οποιαδήποτε άλλη, μπορεί με αυτό τον τρόπο να έχει επίσης και κλασματικό μέρος. Αυτή η προσέγγιση έχει περιορισμούς, δηλαδή πολύ μεγάλοι αριθμοί και πολύ μικρά κλασματικά μέρη δεν μπορούν να παρασταθούν. Επίσης το κλασματικό μέρος του πηλίκου σε μια διαίρεση δυο μεγάλων αριθμών μπορεί να χαθεί.για τον λόγο αυτό, αριθμοί όπως ο και ο 0, μπορούν να παρασταθούν ως 9, και 9, αντίστοιχα. Αυτό που πετύχαμε, είναι ότι η υποδιαστολή μπορεί να κινηθεί δυναμικά,σε κατάλληλη θέση,χρησιμοποιώντας τον εκθέτη της βάσης 10, για να εντοπίσουμε τη θέση της. Το παραπάνω, επιτρέπει να παρασταθεί στον υπολογιστή ένα εύρος πολύ μεγάλων και πολύ μικρών αριθμών, με πολύ λίγα ψηφία. Η γενική μορφή παράστασης των αριθμών με τον παραπάνω τρόπο είναι : ± S B ± E πρόσημο : συν ή μείον S : significand (σημαντικό μέρος) ή mantissa E : εκθέτης Η βάση Β είναι η ίδια για όλους τους αριθμούς και δεν χρειάζεται να αποθηκευθεί. Στο σχήμα 1(a) παριστάνεται ένα 32-bit κινητής υποδιαστολής format, με βάση το 2.Στο αριστερότερο bit,αποθηκεύεται το πρόσημο του αριθμού ( 0 για θετικό, 1 για αρνητικό ). Η τιμή του εκθέτη αποθηκεύεται στα bit 1 έως 8. Η παράσταση που χρησιμοποιείται για τον εκθέτη, είναι γνωστή και ως biased αναπαράσταση : μια σταθερή τιμή, ορισμένη ως bias σταθερά, αφαιρείται από το πεδίο τιμών του εκθέτη, για να πάρει ο εκθέτης την πραγματική του τιμή. Σ αυτήν την περίπτωση, το πεδίο των 8 bits αποδίδει τους αριθμούς μεταξύ 0 και 255. Με bias σταθερά ίση με 128, οι τιμές του εκθέτη βρίσκονται στο διάστημα από 128 έως Το τελευταίο τμήμα της λέξης, είναι το significand, το οποίο συνήθως καλείται mantissa. Οποιοσδήποτε αριθμός κινητής υποδιαστολής μπορεί να εκφρασθεί με πολλούς τρόπους. Έτσι, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : 0, , Για να απλοποιήσουμε τις πράξεις με αριθμούς κινητής υποδιαστολής,τυπικά απαιτείται να κανονικοποιηθούν (normalize). Για παράδειγμα ένας κανονικοποιημένος αριθμός είναι της μορφής :

2 ± 0,1bbbb b 2 ±E όπου b είναι δυαδικά ψηφία ( 0 ή 1 ). Αυτό συνεπάγεται πως το πιο αριστερό ψηφίο του significand θα πρέπει να είναι το 1.Επομένως δεν χρειάζεται να το αποθηκεύσουμε στον υπολογιστή. Γι αυτό τον λόγο το πεδίο των 23 bit αποθηκεύει ένα 24-bit significand με μια τιμή μεταξύ του 0,5 και του 1,0. Το σχήμα 1(b) δίνει μερικά παραδείγματα αριθμών μετασχηματισμένων σ αυτή την μορφή. Παρατηρούμε τα παρακάτω στοιχεία : Το πρόσημο αποθηκεύεται στο πρώτο ψηφίο της λέξης. Το πρώτο ψηφίο του πραγματικού significand είναι πάντα 1 και δεν χρειάζεται να αποθηκεύεται στο πεδίο του significand. Η bias σταθερά προστίθεται στον πραγματικό εκθέτη για να αποθηκευθεί στο πεδίο του. Η βάση είναι το 2. Το σχήμα 2 δείχνει το εύρος των αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν σε μια 32 bit λέξη. Χρησιμοποιώντας αναπαράσταση ακεραίου συμπληρώματος ως προς 2,όλοι οι ακέραιοι από το έως το μπορούν να αναπαρασταθούν, σε ένα σύνολο 2 32 διαφορετικών αριθμών. Με το παράδειγμα συστήματος κινητής υποδιαστολής του σχήματος 1, τα ακόλουθα διαστήματα αριθμών, είναι δυνατόν να προκύψουν : Αρνητικοί μεταξύ ( Θετικοί μεταξύ 0,5 ) και -0, και ( ) Πέντε περιοχές στον άξονα των αριθμών δεν συμπεριλαμβάνονται με τα παραπάνω διαστήματα : Αρνητικοί μικρότεροι από ( Αρνητικοί μεγαλύτεροι από -0,5 ) (αρνητική υπερχείλιση:negative overflow) (αρνητική υποχείλιση:negative underflow)

3 Μηδέν Θετικοί μικρότεροι από 0,5 Θετικοί μεγαλύτεροι από ( ) (θετική υποχείλιση:positive underflow) (θετική υπερχείλιση:positive overflow) Η αναπαράσταση αυτή,όπως παρουσιάζεται,δεν θα ορίζει ποτέ τιμή για το μηδέν. Ωστόσο, όπως θα δούμε,οι πραγματικές αναπαραστάσεις κινητής υποδιαστολής περιλαμβάνουν μια ειδική παράσταση από bit για να παρασταθεί το μηδέν. Υπερχείλιση συμβαίνει όταν ένα αριθμητικό αποτέλεσμα κάποιας πράξης, έχει μέγεθος μεγαλύτερο από αυτό που μπορεί να εκφρασθεί με εκθέτη το 127 ( π.χ = ). Υποχείλιση συμβαίνει όταν το κλασματικό μέρος είναι πάρα πολύ μικρό ( π.χ =2 220 ). Η υποχείλιση είναι ένα λιγότερο σημαντικό πρό- 120 βλημα, επειδή το αποτέλεσμα μπορεί γενικά να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από το μηδέν. Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι δεν αναπαριστούμε περισσότερες το πλήθος τιμές, με το σύστημα κινητής υποδιαστολής.ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να παρασταθεί με 32 bits είναι ακόμα ο 2 32.Αυτό που καταφέραμε είναι να κατανείμουμε αυτούς τους αριθμούς σε δυο διαστήματα, ένα θετικό και ένα αρνητικό. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι αριθμοί που παριστάνονται με σύστημα κινητής υποδιαστολής δεν είναι τοποθετημένοι τακτικά κατά μήκος του άξονα των αριθμών, όπως οι αριθμοί σταθερής υποδιαστολής. Οι δυνατές τιμές πλησιάζουν μεταξύ τους, όσο βρισκόμαστε κοντά στο μηδέν και σταδιακά απομακρύνονται μεταξύ τους, όσο πηγαίνουμε προς μεγαλύτερες τιμές όπως φαίνεται στο σχήμα 3.

4 Αυτό είναι ένα από τα μειονεκτήματα των υπολογισμών κινητής υποδιαστολής : πολλοί υπολογισμοί παράγουν αποτελέσματα που δεν είναι ακριβή και πρέπει να στρογγυλοποιηθούν στην κοντινότερη δυνατή τιμή που μπορεί να παρασταθεί. Σε format όπως του σχήματος 1,το εύρος μεγαλώνει σε βάρος της ακρίβειας και αντίθετα.το παράδειγμα δείχνει 8 bit παραχωρημένα στον εκθέτη και 23 στο significand.αν αυξήσουμε τον αριθμό των ψηφίων του εκθέτη, αυξάνουμε το εύρος των παραστάσιμων αριθμών.όμως, παρόλο που μόνο ένας σταθερός αριθμός διαφορετικής τιμής μπορεί να εκφρασθεί, έχουμε μειώσει την πυκνότητα αυτών των αριθμών και ακόμα περισσότερο την ακρίβεια. Ο μόνος τρόπος να αυξήσουμε ταυτόχρονα εύρος και ακρίβεια, είναι να χρησιμοποιήσουμε περισσότερα bit. Γι αυτό τον λόγο,οι περισσότεροι υπολογιστές προσφέρουν τουλάχιστον απλής και διπλής α- κρίβειας αριθμούς.για παράδειγμα, μια απλής ακρίβειας μορφή μπορεί να έχει 32 bit και μια διπλής ακρίβειας, 64 bit. Έτσι,υπάρχει αντιστρόφως ανάλογη σχέση,μεταξύ του αριθμού των ψηφίων του εκθέτη και του αριθμού των ψηφίων του significand.όμως, είναι ακόμα πιο πολύπλοκο. Η ισχύουσα βάση του εκθέτη δεν χρειάζεται να είναι το 2. Η IBM S/370 δομή, για παράδειγμα,χρησιμοποιεί για βάση το 16. Η μορφή αυτή αποτελείται από ένα 7 bit εκθέτη και ένα 24 bit significand. Έτσι για παράδειγμα : , = 0, και ο εκθέτης αποθηκεύεται ώστε να παριστάνει 5 αντί 20. Το πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης, ενός μεγαλύτερου εκθέτη είναι ότι ένα μεγαλύτερο εύρος μπορεί να επιτευχθεί, για τον ίδιο αριθμό ψηφίων του εκθέτη. Όμως, ας θυμηθούμε, ότι δεν αυξήσαμε τον αριθμό των διαφορετικών τιμών που μπορούν να παρασταθούν. Γι αυτό τον λόγο, για μια σταθερή μορφή, μια μεγαλύτερη βάση εκθέτη δίνει ένα μεγαλύτερο εύρος εις βάρος της ακρίβειας. IEEE Standard για δυαδικούς αριθμούς κινητής υποδιαστολής Η σημαντικότερη αναπαράσταση αριθμητικής κινητής υποδιαστολής ορίζεται στην IEEE Standard 754 (IEEE 85).Αυτό το standard αναπτύχθηκε για να διευκολύνει τη μεταφερσιμότητα των προγραμμάτων από τον ένα επεξεργαστή στον άλλο και να ενθαρρύνει την ανάπτυξη πιο εκλεπτυσμένων αριθμητικά προσανατολισμένων προγραμμάτων.το standard αυτό,έχει ευρέως υιοθετηθεί και χρησιμοποιείται εικονικά σε όλους τους σύγχρονους επεξεργαστές και μαθηματικούς συνεπεξεργαστές.

5 Το IEEE Standard ορίζει ταυτόχρονα ένα 32 bit απλό και ένα 64 bit διπλό format,με 8 bit και 11 bit εκθέτες αντίστοιχα (Σχημα 4). Η βάση του συστήματος είναι 2. Επιπροσθέτως, το standard ορίζει δυο διευρυμένα format,απλό και διπλό, των οποίων το ακριβές format εξαρτάται από την εφαρμογή. Τα διευρυμένα format χρησιμοποιούνται σε ενδιάμεσους υπολογισμούς.με την μεγαλύτερη ακρίβεια τους, τα διευρυμένα format μειώνουν την πιθανότητα ενός τελικού αποτελέσματος που έχει επηρεαστεί από μεγάλα σφάλματα στρογγύλευσης. Με το μεγαλύτερο εύρος τους ελαττώνουν επίσης την πιθανότητα μιας ενδιάμεσης υπερχείλισης, τερματίζοντας ένα υπολογισμό του οποίου το αποτέλεσμα θα μπορούσε να παρασταθεί ικανοποιητικά με την χρήση ενός μη διευρυμένου format. Ένα επιπλέον κίνητρο για την χρήση απλού format, είναι ότι έχει τα πλεονεκτήματα του διπλού format, χωρίς να υστερεί χρονικά όπως συμβαίνει σε υπολογισμούς υψηλής ακρίβειας.το πίνακας 1 συγκεντρώνει όλα τα χαρακτηριστικά των τεσσάρων format. Στα ΙΕΕΕ format, όλες οι παραστάσεις bit δεν μεταφράζονται με τον συνήθη τρόπο. Αντιθέτως ορισμένες παραστάσεις bit χρησιμοποιούνται για την παράσταση ειδικών τιμών. Ο πίνακας 2 παρουσιάζει τις τιμές που αντιστοιχούν σε διάφορες παραστάσεις bit.

6 Οι ακραίες περιπτώσεις έκθετων που περιέχουν μόνο μηδενικά ή μόνο μονάδες ( 255 στο απλό format, 2047 στο διπλό format ) ορίζουν ειδικές τιμές. Οι παρακάτω κλάσεις αριθμών μπορούν να παρασταθούν : Κανονικοποιημένοι μη μηδενικοί αριθμοί κινητής υποδιαστολής, με τιμές εκθετών στο διά-στημα 1 έως 254, για single format,και στο διάστημα 1 έως 2046,για double format. Στον εκθέτη προστίθεται μια bias σταθερά ούτως ώστε το εύρος των τιμών του εκθέτη να κυμαί-νεται μεταξύ των τιμών 126 και +127,για το single format, και έως +1023, για το double format. Για έναν κανονικοποιημένο αριθμό απαιτείται το πρώτο ψηφίο του signifι-cand εί-ναι 1, επομένως αυτό μπορεί να μην αποθηκεύεται, με συνέπεια να έχουμε ένα significand 24 bit ή 53 bit (το significand καλείται και fraction στο standard). Ένας έκθετης από μηδενικά μαζί με ένα fraction από μηδενικά, αναπαριστά το θετικό ή το αρνητικό μηδέν,ανάλογα με το πρόσημο. Όπως αναφέρθηκε είναι χρήσιμο να αναπαρί-σταται μια ακριβώς τιμή για το μηδέν. Ένας έκθετης αποτελούμενος από μονάδες με ένα fraction από μηδενικά, αναπαριστά το θετικό ή το αρνητικό άπειρο,ανάλογα με το πρόσημο. Είναι επίσης χρήσιμο να έχουμε μια αναπαράσταση του άπειρου. Αφήνεται στον χρηστή να αποφασίσει εάν την υπερχείλιση την αντιμετωπίσει ως λάθος ή να συνεχίσει την εκτέλεση του προγράμματος με την τιμή άπειρο. Ένας έκθετης από μηδενικά με ένα μη μηδενικό fraction, αναπαριστά ένα μη κανονικο-ποιημένο αριθμό σ αυτή την περίπτωση το πρώτο bit αριστερά της υποδιαστολής είναι μη-δέν και η πραγματική τιμή του έκθετη είναι 126 ή Ο αριθμός είναι θετικός ή αρνη-τικός ανάλογα με το πρόσημο. Ένας έκθετης που αποτελείται μόνο από μονάδες μαζί με ένα μη αρνητικό fraction δίνει την τιμή NaN που σημαίνει Not a Number (όχι αριθμός) και χρησιμοποιείται να επισημαίνει μερικές ειδικές περιπτώσεις. Η σημασία των μη κανονικοποιημένων αριθμών και των NaN, αναλύεται παρακάτω.

7 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Ο πίνακας 3 συγκεντρώνει τις βασικές πράξεις για την αριθμητική κινητής υποδιαστολής.για την πρόσθεση και την αφαίρεση είναι αναγκαίο να διασφαλίσουμε ότι και οι δυο όροι της πράξης θα έχουν τον ίδιο έκθετη. Αυτό μπορεί να απαιτεί την μετατόπιση της υποδιαστολής σε ένα από τους δυο όρους για να πετύχουμε ευθυγράμμιση.ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πιο ακριβείς. Προβλήματα μπορούν να εμφανιστούν στα αποτελέσματα αυτών των πράξεων. Αυτά είναι : Υπερχείλιση έκθετη : ένας θετικός έκθετης να υπερβαίνει την μέγιστη δυνατή τιμή έκθετη. Σε μερικά συστήματα αυτό μπορεί να ορίζεται σαν ±. Υποχείλιση έκθετη : ένας αρνητικός έκθετης να υπολείπεται της ελάχιστης δυνατής τιμής έκθετη. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός είναι πολύ μικρός για να παρασταθεί και μπορεί να αναφέρεται σαν μηδέν. Υποχείλιση significant : στην διαδικασία ευθυγράμμισης των significant, ψηφία μπορεί να κυλήσουν εκτός του δεξιού άκρου του significant. Όπως θα δούμε,απαιτούνται μερικές μορφές στρογγύλευσης. Υπερχείλιση significant : η πρόσθεση δυο significant του ίδιου πρόσημου μπορεί να oδηγήσει σε απώλεια του MSB ( Most Significant Bit ). Αυτό μπορεί να διορθωθεί με επανευθυγράμμιση όπως θα εξηγήσουμε. Πρόσθεση και αφαίρεση Σ την αριθμητική κινητής υποδιαστολής, η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πιο πολύπλοκες από ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.αυτό οφείλεται στη αναγκαία ευθυγράμμιση εκθετών.υπάρχουν τέσσερις βασικές φάσεις στον αλγόριθμο πρόσθεσης και αφαίρεσης : Έλεγχος για μηδενικά Ευθυγράμμιση των significand Πρόσθεση και αφαίρεση των significand

8 Κανονικοποίηση του αποτελέσματος Ένα τυπικό διάγραμμα ροής φαίνεται στο σχήμα 5. Ένας βήμα προς βήμα έλεγχος μας επισημαίνει τις κύριες διαδικασίες,οι οποίες απαιτούνται για την πρόσθεση και την αφαίρεση κινητής υποδιαστολής.θεωρούμε ένα format παρόμοιο με αυτό του σχήματος 4. Για τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, οι δύο όροι πρέπει να μεταφερθούν σε καταχωρητές ( μνήμης ), οι οποίοι θα χρησιμοποιηθούν από την ALU (Arithmetical Logical Unit).Αν το format κινητής υποδιαστολής περιλαμβάνει και το δεδομένο ψηφίο του significand που δεν έχει καταχωρηθεί,αυτό το ψηφίο θα πρέπει να εισαχθεί στο significand,για να εκτελεστεί η πράξη.τυπικά ο εκθέτης και το significand θα αποθηκευθούν σε διαφορετικούς καταχωρητές (μνήμης) και ε- πανενώνονται όταν παράγεται το αποτέλεσμα. Επειδή η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι παρόμοιες, εκτός του πρόσημου που αλλάζει, η διαδικασία ξεκινάει αλλάζοντας το πρόσημο του αφαιρετέου αν έχουμε πράξη αφαίρεσης. Εν συνεχεία, αν κάποιος από τους δύο όρους είναι μηδέν, ο άλλος αναφέρεται ως αποτέλεσμα. Η επόμενη φάση, είναι να τροποποιήσουμε τους αριθμούς έτσι ώστε οι εκθέτες να είναι ίσοι. Για να φανεί η ανάγκη γι αυτό, θεωρούμε την παρακάτω δεκαδική πρόσθεση : Όπως είναι φανερό,δεν μπορούμε απλά να προσθέσουμε τα significand. Τα ψηφία πρέπει πρώτα να έρθουν σε κατάλληλες θέσεις :Το 4 του δεύτερου αριθμού θα πρέπει να ευθυγραμμιστεί με το 3 του πρώτου. Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις οι δύο εκθέτες θα είναι ίσοι, το οποίο αποτελεί αναγκαία συνθήκη, ώστε οι δύο αριθμοί σ αυτή την μορφή να μπορούν να προστεθούν. Έτσι : = = H ευθυγράμμιση επιτυγχάνεται μεταφέροντας είτε τον μικρότερο αριθμό προς τα δεξιά ( μεγαλώνοντας έτσι τον εκθέτη του) είτε τον μεγαλύτερο προς τα αριστερά. Αφού το αποτέλεσμα κάθε μίας από τις πράξεις μπορεί να χάσει ψηφία μετά την ολοκλήρωσή της, είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς που πρέπει να μεταφερθεί. Επομένως κάθε ψηφίο που χάνεται είναι μικρότερης σημασίας. Η ευθυγράμμιση επιτυγχάνεται με διαδοχικές μεταφορές του τμήματος του αριθμού,το οποίο μας δείχνει την τιμή του, κατά 1 ψηφίο προς τα δεξιά και αυξάνοντας κατά 1 τον έκθετη έως ότου οι δύο εκθέτες γίνουν ίσοι. (Παρατηρήστε ότι αν η βάση μας είναι το 16 μετακίνηση ενός ψηφίου είναι μετακίνηση 4 ψηφίων). Εάν αυτή η διαδικασία έχει ως αποτέλεσμα το significand να πάρει την τιμή μηδέν, τότε ο άλλος αριθμός αναφέρεται σαν αποτέλεσμα. Γι αυτό τον λόγο, αν δύο αριθμοί έχουν εκθέτες που διαφέρουν σημαντικά, τότε ο μικρότερος αριθμός χάνεται. Στη συνέχεια οι δύο significand προστίθενται, λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημά τους. Σε περίπτωση που τα πρόσημα διαφέρουν το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μηδέν. Υπάρχει επίσης πιθανότητα υπερχείλισης του significand για ένα ψηφίο. Σ αυτή την περίπτωση το significand του αποτελέσματος μετακινείται δεξιά και ο έκθετης μεγαλώνει. Μπορεί να επέλθει σαν αποτέλεσμα υπερχείλιση για τον εκθέτη. Αν συμβεί αυτό θα αναφερθεί και η πράξη θα σταματήσει. Η επόμενη φάση είναι η κανονικοποίηση του αποτελέσματος. Η κανονικοποίηση πραγματοποιείται με μεταφορά των ψηφίων του significand προς τα αριστερά, έως ότου το MSB (Most Valuable Bit, 1 bit ή 4 bit για δεκαεξαδικό σύστημα) είναι μη μηδενικό. Κάθε μεταφορά επιφέρει μείωση στον έκθετη και γι αυτό τον λόγο μπορεί να προκληθεί υποχείλιση του έκθετη. Τέλος το αποτέλεσμα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί και έπειτα να αναφερθεί. 10 0

9

10 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση κινητής υποδιαστολής είναι πιο απλές πράξεις σε σχέση με την πρόσθεση και την αφαίρεση όπως θα δούμε παρακάτω. Για τον πολλαπλασιασμό (σχήμα 6) έχουμε :

11 Αρχικά αν ένας από τους δυο όρους είναι μηδέν, τότε το μηδέν αναφέρεται σαν αποτέλεσμα. Το επόμενο βήμα είναι να προσθέσουμε τους έκθετες. Εάν οι έκθετες είναι αποθηκευμένοι σε biased μορφή η πρόσθεση των έκθετων έχει ως αποτέλεσμα τον διπλασιασμό της bias σταθεράς.γι αυτό τον λόγο, η τιμή της bias σταθεράς αφαιρείται από το άθροισμα. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε υποχείλιση είτε υπερχείλιση του έκθετη, γεγονός που αναφέρεται τερματίζοντας τον αλγόριθμο. Εάν ο έκθετης του αποτελέσματος βρίσκεται στο επιτρεπόμενο εύρος, το επόμενο βήμα είναι να πολλαπλασιάσουμε τα significand, λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα τους. Ο πολλαπλασιασμός εκτελείται κατά τον ίδιο τρόπο όπως και στους ακέραιους. Το αποτέλεσμα έχει το διπλάσιο του μήκους των δυο όρων που πολλαπλασιάζονται. Τα επιπλέον bit θα χάνονται κατά την στογγύλευση. Αφού το αποτέλεσμα έχει υπολογιστεί,θα κανονικοποιείται και στρογγυλοποιείται όπως ακριβώς γίνεται στην πρόσθεση και την αφαίρεση. Σημειώνουμε ότι η κανονικοποίηση μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα την υποχειλιση του έκθετη. Για την διαίρεση ( σχήμα 7 ) έχουμε τα εξής : ξανά στο πρώτο βήμα κάνουμε έλεγχο για το μηδέν. Αν ο διαιρετής είναι μηδέν το γεγονός αναφέρεται ως λάθος ή το αποτέλεσμα είναι το άπειρο, ανάλογα με το πρόγραμμα. Ένας μηδενικός διαιρετέος επιστρέφει αποτέλεσμα μηδέν. Εν συνεχεία, ο έκθετης του διαιρέτη αφαιρείται από τον έκθετη του διαιρετέου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οτι η bias σταθερά έχει αφαιρεθεί από τον εκθέτη απότέλεσμα και πρέπει να προστεθεί ξανά. Εξετάζουμε αν έχουμε υπερχείλιση ή υποχείλιση του εκθέτη. Το επόμενο βήμα είναι να διαιρέσουμε τα significand. Αυτό ακολουθείται από κανονικοποίηση και στρογγυλοποίηση του αποτελέσματος.

12

13 ΜΕΛΕΤΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ GUARD BITS Αναφέραμε ότι πριν εκτελεστεί μια πράξη κινητής υποδιαστολής ο έκθετης και το significand του κάθε όρου της πράξης αποθηκεύονται σε καταχωρητές (μνήμης) της ALU. Στην περίπτωση τoυ significand το μήκος του καταχωρητή είναι σχεδόν πάντα μεγαλύτερο από το μήκος του significand συν ένα επιπλέον ψηφίο το οποίο εννοείται όπως έχουμε δει στους κανονικοποιημένους αριθμούς. Ο καταχωρητής περιέχει επιπλέον ψηφία τα οποία ονομάζονται guard bits τα οποία χρησιμοποιούνται για να καλύψουν το δεξιό τμήμα του significand με μηδενικά. Η αιτία της χρησιμοποίησης των guard bits φαίνεται στο σχήμα 8 :

14 Θεωρούμε αριθμούς, σ ένα IEEE format, το οποίο έχει ένα 24 bit significand,συμπεριλαμβανομένου ενός 1 δεδομένου bit, στα αριστερά της υποδιαστολής. Έστω δύο αριθμοί που μοιάζουν πολύ, ο Χ=1, και 0 ο Υ=1, Αν ο μικρότερος είναι να αφαιρεθεί από τον μεγαλύτερο, πρέπει να μεταφερθεί δεξιά κατά 1 bit,για να ευθυγραμμιστούν οι εκθέτες.αυτό φαίνεται στο σχήμα 8,24( a ). Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, ο Υ χάνει 1 bit του significand.to αποτέλεσμα είναι 2. Η ίδια πράξη επαναλαμβάνεται στο σχή- 23 μα 8,24( b ) με τη πρόσθεση κάποιων guard bits. Τώρα, το λιγότερο σημαντικό bit δεν χάνεται εξαιτίας της 24 ευθυγράμμισης και το αποτέλεσμα είναι 2, έχοντας μια διαφορά κατά 2 στο factor από ότι στη προηγούμενη απάντηση. Όταν η βάση είναι 16,η απώλεια ακρίβειας μπορεί να είναι μεγαλύτερη. Στα σχήματα 8,24 ( c ) και (d) φαίνεται η διαφορά που μπορεί να υπάρξει σε ένα δεκαεξαδικό

15 ROUNDING Άλλη μια λεπτομέρεια η οποία επηρεάζει την ακρίβεια του αποτελέσματος είναι η στρογγύλευση. Το αποτέλεσμα κάθε πράξης μεταξύ των significand γενικά αποθηκεύεται σε ένα μεγαλύτερου μήκους καταχωρητή (μνήμης). Όταν το αποτέλεσμα επιστρέφει σε format κινητής υποδιαστολής θα πρέπει να απαλαγούμε από τα επιπλέον ψηφία. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός τεχνικών στρογγύλευσης. Όμως το standard της ΙΕΕΕ περιγράφει τέσσερις διαφορετικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα : Round to Nearest : Το αποτέλεσμα σρογγυλοποιείται στο κοντινότερο παραστάσιμο αριθμο. Round Toward : Το αποτέλεσμα σρογγυλοποιείται προς το θετικό άπειρο. Round Toward + : Το αποτέλεσμα σρογγυλοποιείται προς το αρνητικό άπειρο. Round Toward 0 : Το αποτέλεσμα σρογγυλοποιείται προς το μηδέν. Ας τις εξετάσουμε μια προς μια : Round to Nearest : είναι η default μέθοδος στρογγύλευσης από τις τέσσερις παραπάνω και περιγράφεται από το standard ως εξής : Σαν αποτέλεσμα θα παρουσιάζεται η παραστάσιμη τιμή που βρίσκεται εγγύτερα στην πραγματική τιμή του αποτελέσματος θα παρουσιάζεται. Εάν οι δυο εγγύτερες παραστάσιμες τιμές είναι το ίδιο κοντά στην πραγματική τιμή του αποτελέσματος της οποίας το LSB είναι μηδέν. Για παράδειγμα εάν τα επιπλέον ψηφία πέρα από τα 23 που μπορούν να αποθηκευτούν είναι τότε σε αυτήν την περίπτωση το σωστό αποτέλεσμα θα προκύψει,εάν προσθέσουμε το δυαδικό 1 στο τελευταίο παραστάσιμο ψηφίο,στρογγυλοποιώντας προς τα πάνω, στον επόμενο αναπαραστάσιμο αριθμό. Εάν τώρα τα επιπλέον ψηφία είναι τότε η σωστή απάντηση είναι απλά να τα διαγράψουμε (αποκοπή) έχοντας σαν αποτέλεσμα να στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω στον επόμενο παραστάσιμο αριθμό. Το standard χειρίζεται και ειδικές περιπτώσεις επιπλέον ψηφίων της μορφής Εδώ το αποτέλεσμα είναι ακριβώς στην μέση ανάμεσα στις δυο πιθανές αναπαραστάσιμες τιμές. Μια πιθανή τεχνική σε αυτή την περίπτωση είναι απλά να εκτελέσουμε αποκοπή μιας και είναι η απλούστερη πράξη.παρόλα αυτά η δυσκολία με αυτή την προσέγγιση είναι ότι εισάγεται ένα μικρό,αλλά με συσσωρευτική ιδιότητα σφάλμα όταν εκτελείται μια σειρά από πράξεις. Αυτό που χρειάζεται είναι μια μέθοδος στρογγυλοποίησης χωρίς να υπεισέρχεται κάποιο σφάλμα. Μια πιθανή προσέγγιση του προβλήματος είναι να στρογγυλοποιούμε πάνω ή κάτω με βάση έ- να τυχαίο αριθμό έτσι ώστε κατά μέσο όρο το αποτέλεσμα να είναι χωρίς σφάλμα. Το επιχείρημα κατά αυτής της προσέγγισης είναι ότι δεν παράγει προβλέψιμα ή αιτιοκρατικά αποτελέσματα. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται από το standard της IEEE είναι να απαιτούμε το αποτέλεσμα να είναι ίσο. Δηλαδή εάν το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού ισαπέχει από δυο αναπαριστάσιμες τιμές, η τιμή να στρογγυλοποιείται πάνω εάν το τελευταίο παραστάσιμο ψηφίο είναι ένα και να μην αλλάζει εάν είναι μηδέν. Round Toward και Round Toward + : Οι επόμενες δυο επιλογές είναι η στρογγυλοποίηση προς το ±. Είναι ιδιαιτέρως χρήσιμες για την κατανόηση μιας τεχνικής γνωστής και ως interval arithmetic. Η ιδέα πίσω από την interval arithmetic είναι η εξής : Στο τέλος κάθε ακολουθίας πράξεων κινητής υποδιαστολής δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την ακριβή απάντηση λόγω των περιορισμών του hardware οι οποίοι επιβάλουν και την στρογγύλευση. Εάν εκτελέσουμε κάθε υπολογισμό της διαδικασίας δυο φορές στρογγυλοποιώντας την μια άνω και την άλλη κάτω τότε το αποτέλεσμα είναι να διατηρούμε ένα άνω και ένα κάτω φράγμα της σωστής απάντησης. Εάν το εύρος μεταξύ του άνω και του κάτω ορίου είναι ικανοποιητικά μικρό τότε έχουμε επιτύχει μια απάντηση αρκετά ακριβής. Εάν όχι τουλάχιστον γνωρίζουμε ότι το πρόβλημα απαιτεί περαιτέρω ανάλυση.

16 Round Toward 0: Η τελευταία τεχνική στρογγύλευσης που ορίζει το standard είναι η στρογγυλοποίηση προς το μηδέν. Ουσιαστικά είναι απλή αποκοπή και τα τελευταία ψηφία αγνοουνται. Είναι σίγουρα η πιο απλή τεχνική. Παρ ' όλα αυτά το αποτέλεσμα είναι ότι η μεγέθυνση της αποκομμένης τιμής είναι πάντα μικρότερη ή ίση με την ακριβή τιμή εισάγοντας ένα σφάλμα,το ποιο είναι σύμφωνο με τα προηγούμενα, σε κάθε πράξη. Αυτό είναι πολύ πιο σημαντικό σφάλμα από τα προηγούμενα μιας και το σφάλμα επηρεάζει κάθε πράξη στην οποία υπάρχουν επιπλέον μη μηδενικά ψηφία. IEEE Standard για δυαδική αριθμητική κινητής υποδιαστολής H IEEE 754 εκτείνονται περισσότερο από τον απλό ορισμό ενός format για να στηρίξουμε απλές πρακτικές και διαδικασίες ώστε η αριθμητική κινητής υποδιαστολής να παράγει ομοιόμορφα και προβλέψιμα αποτελέσματα ανεξάρτητα από την hardware πλατφόρμα (υπολογιστή) που χρησιμοποιούμε. Μια πλευρά του παραπάνω η στρογγύλευση εξετάστηκε ήδη. Αυτή η παράγραφος εξετάζει άλλα τρία θέματα : το άπειρο, τους NaN αλλά και τους denormalized αριθμούς. Άπειρο Το άπειρο χρησιμοποιείται ως η οριακή τιμή όλων των αριθμών με τον ακόλουθο τρόπο : < (Κάθε πεπερασμένος αριθμός)< + Τις ειδικές περιπτώσεις που αφορούν το άπειρο τις εξετάζουμε παρακάτω. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις που αφορούν το άπειρο επιστρέφουν το φανερό αποτέλεσμα : 5+(+ ) =+ 5-(+ ) =- 5+(- ) =- 5-(- ) =+ (+ )+ (+ ) =+ (- )+(- )=- (- )-(+ )=- (+ )-(- )=+ Quiet and Signaling NaNs Ο NaN είναι ένας συμβολισμός που χρησιμοποιείται στο format κινητής υποδιαστολής και υπάρχουν δυο ειδών : quiet και signaling. Ένας signaling NaN μας προειδοποιεί για μια λάθος πράξη η οποία οφείλεται σε έ- να από τους δυο όρους. Οι signaling Nan.Ένας quiet NaN διαδίδεται διαμέσου σχεδόν κάθε αριθμητικής πράξης χωρίς να προειδοποιεί για κάποιο ενδεχομενο λαθος.ο πίνακας 4 παριστά πράξεις οι οποίες παράγουν

17 ένα quiet NaN. Σημειώνουμε ότι και οι δύο τύποι των NaN έχουν το ίδιο γενικό format : ένας εκθέτης αποτελούμενος από μονάδες και ένα fraction μη μηδενικό. Η πραγματική παράσταση bit του μη μηδενικού fraction εξαρτάται α- πό το πρόγραμμα. Οι τιμές του fraction μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διαχωρίζουμε το quiet από το signaling NaN και για να προσδιορίσουμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Denormalized Αριθμοί Οι denormalized αριθμοί συμπεριλαμβάνονται στην IEEE 754 για να χειριζόμαστε περιπτώσεις υποχείλισης εκθέτη.όταν ο εκθέτης του αποτελέσματος είναι πολύ μικρός (ένας αρνητικός εκθέτης με πολύ μεγάλο μεγεθος),το αποτέλεσμα είναι denormalised. Mε δεξιά μετακίνηση του fraction και αύξηση του εκθέτη για κάθε μετακίνηση, μέχρι ο εκθέτης να βρεθεί εντός ενός παραστάσιμου εύρους. Το σχήμα 9 απεικονίζει τις συνέπειες της πρόσθεσης μη κανονικοποιημένων αριθμών.οι παραστάσιμοι αριθμοί μπορούν να ομαδοποιηθούν σε διαστήματα της μορφής [ 2 n,2 + ]. Εντός κάθε τέτοιου διαστήματος,ο ε- n 1 κθέτης του αριθμού παραμένει σταθερός, ενώ το fraction ποικίλει, παράγοντας ένα ομοιογενές υποδιάστημα παραστάσιμων αριθμών εντός του διαστήματος.όσο πλησιάζουμε προς το μηδέν,κάθε ικανοποιητικό διάστημα έχει το μισό μήκος του προηγούμενου διαστήματος,αλλά περιέχοντας το ίδιο πλήθος παραστάσιμων αριθμών.

18 Γι αυτό το λόγο, η πυκνότητα των παραστάσιμων αριθμών αυξάνεται καθώς πλησιάζουμε το μηδέν. Παρόλα αυτά εάν χρησιμοποιούμε μονάχα κανονικοποιημένους αριθμούς υπάρχει ένα κενό ανάμεσα στο μικρότερο κανονικοποιημένο αριθμό και το μηδέν.στην περίπτωση του 32 bit IEEE 754 format υπάρχουν 2 παραστάσιμοι αριθμοί σε κάθε διάστημα και ο μικρότερος παραστάσιμος θετικός αριθμός είναι το 2.Με την προσθήκη των 23 denormalized αριθμών ένα επιπρόσθετο πλήθος 2 αριθμών προστίθενται ομοιόμορφα στο διάστημα 0 έως Χωρίς denormalized αριθμούς το κενό μεταξύ του μικρότερου παραστάσιμου μη μηδενικού αριθμού και του μηδενός είναι πολύ μεγαλύτερο από το κενό μεταξύ του μικρότερου πατραστάσιμου μη μηδενικού αριθμού και του ακριβώς επόμενου παραστάσιμου αριθμού. Η σταδιακή υποχείλιση συμπληρώνει αυτό το κενό και μειώνει τις συνέπειες της υποχείλισης του εκθέτη σε ένα επίπεδο συγκρίσιμο με την στρογγυλοποίηση των κανονικοποιημένων αριθμών.

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 11 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση θετικών και αρνητικών ακεραίων σε έναν

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια)

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια) Chapter 3 Αριθμητική Υπολογιστών (συνέχεια) Διαφάνειες διδασκαλίας από το πρωτότυπο αγγλικό βιβλίο (4 η έκδοση), μετάφραση: Καθ. Εφαρμογών Νικόλαος Πετράκης, Τμήματος Ηλεκτρονικών Μηχανικών του Τ.Ε.Ι.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ.

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. VLSI REAL ARITHMETIC Floating- Point Numbers ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση δεδομένων Κατάλληλη συμβολική αναπαράσταση δεδομένων, για απλοποίηση βασικών πράξεων, όπως πρόσθεση Πόσο εύκολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ.   url: στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Συστήματα αρίθμησης Δυαδικό αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών

Προγραμματισμός Υπολογιστών Προγραμματισμός Υπολογιστών Αναπαράσταση Πληροφορίας Κ. Βασιλάκης, ΣΤΕΦ, ΤΕΙ Κρήτης Δεδομένα και πληροφορία Δεδομένα είναι ένα σύνολο διακριτών στοιχείων σχετικά με ένα συμβάν ή μια διαδικασία χωρίς κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Αριθμητική του Υπολογιστή, Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

3.1 εκαδικό και υαδικό

3.1 εκαδικό και υαδικό Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Lab 6: Signed Add/Subtract, FF (U.Crete, CS-120) 14-10-28 17:28 διαίρεσης, δηλαδή αριστερά 28-24 = 4 bits της διεύθυνσης) μετατρέποντας στο δεκαδικό, βλέπουμε ότι όντως πρόκειται γιά τη θέση 256+128+16

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας

Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα Επεξεργασίας Δεδομένων Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης ΤΛ2002 Ψηφιακά Κυκλώματα Ι Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες Λευτέρης Καπετανάκης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011 ΤΛ-2002: L1 Slide 1 Ψηφιακά Συστήματα ΤΛ-2002:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική υπολογιστών

Αριθµητική υπολογιστών Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 22/1/2010 10:11 καθ. Τεχνολογίας 22/1/2010 10:12 Παραδείγματα Τι ονομάζουμε αριθμητικό σύστημα? Το σύνολο από ψηφία (αριθμοί & χαρακτήρες). Που χρησιμεύουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές Κεφάλαιο 3 Αριθμητική για υπολογιστές Αριθμητική για υπολογιστές Λειτουργίες (πράξεις) σε ακεραίους Πρόσθεση και αφαίρεση Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Χειρισμός της υπερχείλισης Πραγματικοί αριθμοί κινητής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές και Πληροφορία 1

Υπολογιστές και Πληροφορία 1 ΗΜΥ-20: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σκοπός του μαθήματος Λογικός Σχεδιασμός και Σχεδιασμός Η/Υ Εισαγωγή, Υπολογιστές και Πληροφορία Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Βασικές έννοιες & εργαλεία που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 11 ο και 12 ο

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 11 ο και 12 ο Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 11 ο και 12 ο Μονάδες ράξεων Αριθμητική/Λογική Μονάδα (ΑΛΜ - ALU): Βασικές αριθμητικές πράξεις ρόσθεση/αφαίρεση Λογικές πράξεις Μονάδες πολύπλοκων αριθμητικών πράξεων σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές

Κεφάλαιο 3. Αριθμητική για υπολογιστές Κεφάλαιο 3 Αριθμητική για υπολογιστές Αριθμητική για υπολογιστές Λειτουργίες (πράξεις) σε ακεραίους Πρόσθεση και αφαίρεση Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Χειρισμός της υπερχείλισης Πραγματικοί αριθμοί κινητής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: 1 ο /2015-16 ΤΜΗΜΑ: ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Καθηγητής: Θ. Τσιλιγκιρίδης Άσκηση 1η Περιεχόμενα μνήμης Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ

3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός 4. Πρόσθεση στο πρότυπο ΙΕΕΕ Πολλαπλασιασμός στο πρότυπο ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕ Ο ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ - ΙΙ Γ. Τσιατούχας 3 ο Κεφάλαιο 1. Γενική δομή CPU ιάρθρωση 2. Αριθμητική και λογική μονάδα 3. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 4 : Πράξεις με bits. Δρ. Γκόγκος Χρήστος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 4 : Πράξεις με bits. Δρ. Γκόγκος Χρήστος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 4 : Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις Αναπαράσταση Πληροφορίας Η/Υ Αριθμητικά δεδομένα Σταθερής υποδιαστολής Κινητής υποδιαστολής Μη αριθμητικά δεδομένα Χαρακτήρες Ειδικοί κώδικες Εντολές Γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική «Λογικές» πράξεις, μάσκες Πώς βρίσκουμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το 4; διαίρεση με 4 = δεξιά ολίσθηση 2 bits Το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιάμεση Β205. Κεφ. 1-2, Παράρτημα Α Εργαστήρια Εργασίες Ενδιάμεση του 2014 Όχι διάλεξη την Τρίτη (Προετοιμασία)

Ενδιάμεση Β205. Κεφ. 1-2, Παράρτημα Α Εργαστήρια Εργασίες Ενδιάμεση του 2014 Όχι διάλεξη την Τρίτη (Προετοιμασία) Ενδιάμεση 19.10 Β205 Κεφ. 1-2, Παράρτημα Α Εργαστήρια Εργασίες Ενδιάμεση του 2014 Όχι διάλεξη την Τρίτη (Προετοιμασία) 1 Παράρτημα Β και Κεφάλαιο 3 Αριθμητική Υπολογιστών Review signed numbers, 2 s complement,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3)

Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3) ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 9 Αριθμητική Υπολογιστών (Κεφάλαιο 3) Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων 1 Αριθμητική για υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη µορφή συµπληρώµατος ως προς δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση υπολογιστή «ΑΒΑΚΑ»

Γενική οργάνωση υπολογιστή «ΑΒΑΚΑ» Περιεχόμενα Γενική οργάνωση υπολογιστή «ΑΒΑΚΑ»... 2 Καταχωρητές... 3 Αριθμητική-λογική μονάδα... 3 Μονάδα μνήμης... 4 Μονάδα Εισόδου - Εξόδου... 5 Μονάδα ελέγχου... 5 Ρεπερτόριο Εντολών «ΑΒΑΚΑ»... 6 Φάση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Αριθμητικά Συστήματα. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Αριθμητικά Συστήματα. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Αριθμητικά Συστήματα Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Μπακάλης Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Αριθμητικά Συστήματα Δεκαδικό Σύστημα: Βάση το 10, ψηφία 10 και συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας

Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας 2.1 Παράσταση δεδομένων Κάθε υπολογιστική μηχανή αποτελείται από ηλεκτρονικά κυκλώματα που η λειτουργία τους βασίζεται στην αρχή ανοιχτό-κλειστό. Η συμπεριφορά τους

Διαβάστε περισσότερα