Tautologije i valjane formule kao principi

Transcript

1 UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Nermin Okičić Tautologije i valjane formule kao principi zaključivanja - Radni materijal - Lukavac, 2015.

2 Sadržaj 1 Logički veznici 1 2 Logičke operacije 4 3 Tautologije 5 4 Kvantifikatori 8 5 Predikatska logika 10 6 Odnosi medu predikatskim rečenicama Logički kvadrat Literatura 21 i

3 Predgovor Logika je nauka o logosu, pri čemu se pod logosom podrazumijeva govor, riječ, smisao izražen riječima, pojam duha ili misao. Najuobičajenije shvatanje logike je da je to nauka o mišljenju, o poretku misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ili podrazumijeva da se razum ponaša po nekim pravilima, a ta pravila su upravo logička pravila. Za logiku kažu da je filozofska disciplina koja se bavi oblicima valjane misli (G. Petrović) ili da je to disciplina koja se bavi načelima dosljednog zaključivanja. Pri tome dosljednost u zaključivanju ne treba da zavisi samo o značenju rečenica i riječi, koje mogu čak biti i nepoznate. Logička dosljednost je nešto sasvim apstraktno i treba da se tiče same forme i oblika. Zbog toga je logika formalna nauka. Šta je matematička logika? Da li je matematička logika primjena matematike prilikom logičkih zaključivanja, ili je neka strožija primjena logike prilikom matematičkih dokaza? Da li je matematika dio logike, ili obratno, ne slažu se ni svi logičari u odgovoru. Intuicionisti smatraju da su matematičke konstrukcije osnova, a logičko rasudivanje je sekundarno, dok logicisti smatraju da se matematika zasniva na logici tojest, matematika je grana logike. Jedno je sigurno: matematička logika je jedna od matematičkih teorija. Neki njeni veliki dijelovi su: teorija skupova, teorija modela, teorija dokaza, teorija rekurzije itd. Ono što matematiku izdvaja od drugih disciplina jeste korištenje dokaza kao glavnog alata za odredivanje istine. Pri tome se naravno postavlja pitanje Šta je dokaz?. Praktično govoreći, dokaz je bilo koji rezonski argument koga prihvataju i drugi matematičari. Naravno da je preciznija definicija dokaza neophodna kako bi smo neki matematički rezon htjeli ili nehtjeli prihvatiti. Ovo predstavlja jedan od osnovnih razloga izučavanja matematičke logike. Matematička logika se bavi formalizacijom i analizom vrsta rezonovanja koje koristimo u ostalim dijelovima matematike. Zadatak matematičke logike nije pokušaj bavljenja matematikom per se potpuno formalno, nego izučavanje formalnih logičkih sistema kao matematičkih objekata u njihovoj sopstvenoj zakonitosti, radi dokazivanja činjenica o njima. Jedan dio problema formalizacije matematičkog rezonovanja je nužno vezan za preciznu specifikaciju jezika u kojem radimo. Govorni jezici su i odviše kompleksni i živući, podložni stalnim promjenama, te su kao takvi teško upotrebljivi u matematici. Za razliku od njih, jezici formalne logike su kao i programski jezici, strogo odredeni, jednostavni i fleksibilni, te će jedan od zadataka matematičke logike ii

4 upravo biti utvrdivanje jezika, kao i naše opismenjavanje u okviru istog. Formalni logički sistemi zahtjevaju pažljivu specifikaciju dozvoljenih pravila rezonovanja, kao i neke ideje o interpretaciji tvrdenja iskazanih u datom jeziku i utvrdivanju njihovih istinitosti. Upravo veze izmedu interpretacije tvrdenja, istinitosti i rezonovanja su kvantitativno i kvalitativno stvarna vrijednost ove discipline. iii

5 1 Logički veznici Definicija 1 Negacija je unarni veznik. Negacija iskaza p, je iskaz nije p, koga označavamo sa p. Negacija tačnog iskaza je netačan iskaz i obrnuto, negacija netačnog iskaza je tačan iskaz. Primjer 1. Ako je iskaz p tačan, tada je prema definiciji negacije iskaz p netačan i obrnuto, ako je iskaz p netačan, tada je iskaz p tačan. Negacija iskaza q : 2+2 = 3, je iskaz q : ( 2+2 = 3 ), odnosno u matematičkoj terminologiji iskazano q : Iskaz q je netačan, pa je iskaz q tačan. Definicija 2 Konjukcija je binarni veznik. Konjukcija iskaza p i q je iskaz p i q, u oznaci p q. Iskaz p q je tačan ako i samo ako su istovremeno i p i q tačni iskazi. Primjer 2. Neka su dati iskazi: p : Kiseonik čini vodu., q : Sumpor čini vodu. r : Vodonik čini vodu.. Iskazipirsu tačni, a iskaz q je netačan. Tada je iskaz p q, Kiseonik čini vodu i sumpor čini vodu. ili kraće, Kiseonik i sumpor čine vodu., netačan iskaz jer je iskaz q netačan. Iskaz p r, Kiseonik i vodonik čine vodu., je tačan iskaz jer su oba iskaza koji u njemu učestvuju tačni iskazi. Definicija 3 Disjunkcija je binarni veznik. Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p ili q, u oznaci p q. Iskaz p q je tačan iskaz ako i samo ako je bar jedan od iskaza p i q tačan, odnosno on je netačan ako i samo ako su oba iskaza 1

6 netačna. Primjer 3. Za iskaze iz prethodnog primjera, iskaz p q, Kiseonik ili sumpor čini vodu, je tačan zbog tačnosti iskaza p. Ako uvedemo i iskaz s : Fosfor čini vodu, tada će disjunkcija q s, Sumpor ili fosfor čini vodu, zbog netačnosti oba iskaza, biti netačan iskaz. Definicija 4 Isključna disjunkcija ili ekskluzivna disjunkcija je binarni veznik. Isključna disjunkcija iskaza p i q je iskaz ili p ili q i označavamo je sa p q. Iskaz p q je tačan iskaz ako i samo ako je tačno jedan od iskaza p i q tačan. Primjer 4. Neka su dati iskazi p i q sa: p : π je racionalan broj q : π je broj veći od 1 Iskaz p q, Ili je broj π racionalan broj ili je on veći od 1, je tačan iskaz jer je iskaz p netačan, a iskaz q tačan. Iskaz p dat je sa π nije racionalan broj i on je tačan iskaz (jer je p netačan iskaz). Tada je iskaz p q, ili π nije racionalan ili je on veći od 1, je netačan iskaz jer su oba iskaza tačna. Definicija 5 Implikacija je binarni veznik. Implikacija iskaza p i q je iskaz ako p onda q, koga označavamo sa p q. Iskaz p q je netačan ako i samo ako je iskaz p tačan, a iskaz q netačan. Iskaz p u implikaciji p q nazivamo pretpostavka, premisa ili antecedent, a iskaz q nazivamo zaključak, konkluzija ili konsekvent. Primjer 5. Ako je danas utorak }{{} premisa onda je sutra srijeda. }{{} konkluzija 2

7 Soba je osvijetljena }{{} konsekvent ako upalimo f enjer. }{{} antecedent Iskaz p q čitamo još kao: iz p slijedi q, p povlači q, p samo ako q, q ako p, p je dovoljan za q, q je potreban za p i sl. Primjer 6. Primjeri iskazivanja rečenice oblika p q: Iz uslova da su katete trougla iste slijedi da je trougao jednakokrak. }{{}}{{} p q Rast cijena }{{} p Jedrenjak plovi }{{} p Vjetar duva }{{} q Za odlazak na more } {{ } q Za odlazak na more }{{} p povlači smanjenje standarda. }{{} q samo ako ima vjetra. }{{} q ako jedrenjak plovi. }{{} p, dovoljno je imati } 1000 {{ KM}. p potrebno je imati 1000 KM. }{{} q Primjer 7. Neka osoba svakog jutra kada se probudi izgovori rečenicu: Ako je danas subota, onda je sutra petak. Za koje dane u sedmici je iskaz ove osobe tačan? Ako dotična osoba ovu rečenicu izgovori naprimjer u utorak, jasno je da ima pravo, tj. Ako je danas subota, što nije, onda je sutra petak, što takode nije. Dakle, ako je danas netačno, onda i sutra može biti netačno. Spomenuta osoba je u pravu za svaki dan osim u subotu jer kada izgovara svoju tvrdnju u subotu, ako je danas subota, što je tačno, onda je sutra petak, što je netačno jer sutra mora biti nedjelja, čitava rečenica ima oblik iz tačnog slijedi netačno pa je ona netačna. Definicija 6 Ekvivalencija je binarni veznik. Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz p ako i samo ako q, u oznaci p q. Iskaz p q je tačan ako i samo ako su iskazi p i q iste istinitosti, tj. ako i samo ako su istovremeno oba tačni ili oba netačni. Primjer 8. Rečenice p: Dva trougla su podudarna. 3

8 q: Dva trougla imaju podudarnu stranicu i uglove koji naliježu na tu stranicu. su ekvivalentni iskazi i tu činjenicu nalazimo kao jedan od važnih stavova geometrije, iskazanu kao pravilo podudarnosti USU. 2 Logičke operacije Logičke operacije označavamo isto kao i odgovarajuće logičke veznike jer su njima i motivisane. Medutim, to ipak nisu isti pojmovi; znak u iskaznoj formuli p q je zamjena za veznik i dok znak u donjoj tablici označava operaciju na skupu {, }. Slika 1: Logičke operacije Definicija 7 Dodijeljivanje istinitosnih vrijednosti iskaznim slovima koja učestvuju u formuli A nazivamo interpretacija formule A. ako formula ima samo jedan iskaz (jedno iskazno slovo), moguće vrijednosti tog iskaza su i, te interpretacija te formule ima ukupno dvije. ako formula sadrži dva iskaza, moguće vrijednosti tih iskaza u paru su (, ), (, ), (, ) i (, ), te interpretacija ima ukupno četiri. ako formula sadrži tri iskaza, moguće vrijednosti tih iskaza su sljedeće uredene trojke: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) i (,, ), te interpretacija ima ukupno osam. Generalno, u slučaju da formula sdrži n iskaznih slova, broj odgovarajućih različitih n-torki je 2 n, tojest različitih interpretacija te formule može biti 2 n. Primjer 9. Neka je data iskazna formula A : (p q) p q. Uzmemo li da je τ(p) = i τ(q) =, dobijamo jednu (od mogućih četiri) inerpretaciju formule A, ( ). 4

9 Za drugi izbor istinitosnih vrijednosti iskaznih slova, τ(p) = i τ(q) = dobijamo drugu interpretaciju ( ). 3 Tautologije Medu svim iskaznim formulama iskazne algebre, jedne imaju posebnu važnost. Definicija 8 Formula F je tautologija ako u svakoj svojoj interpretaciji ima tačnu vrijednost. Sada ćemo dati spisak poznatijih tautologija sa njihovim imenima. 1. Zakon isključenja trećeg - Tertium non datur p p. Ovaj zakon je fundamentalan jer na njemu počiva klasična logika, tj. logika u kojoj su jedine moguće istinitosne vrijednosti tačno i netačno. 2. Zakon neprotivuriječnosti (p p). Tautološke implikacije 3. Zakon odvajanja - Modus ponendo ponens ili kraće Modus ponens (koji tvrdi) p (p q) q. Prepričano, on tvrdi da ako važi p i ako iz p slijedi q (p q) onda zaključujemo da važi i q, što je osnovni princip deduktivnog zaključivanja. 4. Modus tollendo tollens (koji negira) q (p q) p. Ovim zakonom se temelji princip opovrgavanja. On u suštini ima sljedeće značenje: ako smo iz neke pretpostavke (ovdje p) zaključili pogrešan zaključak (ovdje q), onda nam je pretpostavka pogrešna. Ovaj metod je izuzetno primjenljiv u raznim empirijsko-deduktivnim naukama. 5

10 5. Modus ponendo tollens (koji tvrdi i negira) (p q) p q. 6. Modus tollendo ponens (koji negira i tvrdi) p (p q) q. 7. Zakon pojednostavljivanja p q p. 8. Zakon dodavanja p p q. 9. Zakon hipotetičkog silogizma (tranzitivnost implikacije) 10. Zakon nabrajanja (p q) (q r) (p r). ((p r) (q r)) ((p q) r) 11. Zakon svodenja na apsurd - Reductio ad absurdum (p (q q)) p. Ovaj zakon često koristimo u matematičkim dokazima. Naime, ako iz neke pretpostavke slijedi kontradiktornost (q q) onda nije dobra pretpostavka, tj. važi suprotno od pretpostavke. 12. Istina iz proizvoljnog - Verum ex quolibet p (q p). 13. Iz lažnog proizvoljno - Ex falso quolibet p (p q). Ovaj zakon pokazuje da ako bi neka teorija bila protivriječna, tj. ako bi u njoj mogli naći kontradikciju, onda ona ne bi bila besmislena samo zbog te činjenice, nego i zbog toga što bi svako tvrdenje u toj teoriji bilo teorema. 14. Pirsov zakon ((p q) p) p. 6

11 15. Zakon zaključivanja iz suprotnog - Ex contrario ( p p) p. I ovaj zakon često koristimo u matematičkim dokazima. Naime, ako pretpostavimo da neki iskaz ne važi i iz toga zaključimo da on ipak mora da važi, onda iz svega toga zaključujemo da taj iskaz mora biti tačan. U suštini on se svodi na Zakon svodenja na apsurd jer iskazi p i p p zajedno daju kontradikciju. Tautološke ekvivalencije 16. Zakon dvojne negacije p p 17. Zakon kontrapozicije (p q) ( q p). 18. De Morganovi zakoni (p q) p q ; (p q) p q. 19. Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjukciju (p q) p q, p q ((p q) q), p q (p q). Prvi navedeni zakon koristimo za zamjenu implikacije negacijom i disjunkcijom, drugi koristimo za eliminaciju disjunkcije njenom zamjenom pomoću implikacije i treći koristimo za zamjenu konjukcije pomoću negacije i implikacije. 20. Zakon negacije implikacije 21. Zakon ekvivalencije 22. Zakon unošenja i iznošenja (p q) p q. (p q) (p q) (q p). (p q r) (p (q r)). 7

12 23. Zakon apsorpcije 24. Zakon idempotentnosti p (p q) p ; p (p q) p. p p p ; p p p. 25. Zakoni komutativnosti konjukcije i disjunkcije p q q p ; p q q p. 26. Zakoni asocijativnosti konjukcije i disjunkcije p (q r) (p q) r ; p (q r) (p q) r. 27. Zakoni distributivnosti p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r). Koristimo li i simbole i, bilo kao logičke konstante, bilo kao zamjenu za iskaze p p (uvijek tačan iskaz) i p p (uvijek netačan iskaz), tada su tautologije i formule (p ) p ; (p ) ; (p ) ; (p ) p, (p ) ; (p ) p ; ( p) p ; ( p), (p ) p ; (p ) p, (p p) ; (p p). 4 Kvantifikatori Izraz x < 3, interpretiran kao formula koja se odnosi na prirodne brojeve, ne može biti ni tačan ni netačan jer njegova tačnost ovisi o tome koju vrijednost iz skupa N uzima promjenljiva x. Ali, ako datu formulu dopunimo prefiksom za svaki prirodan broj x ili postoji prirodan broj x, tada već ima smisla govoriti o tačnosti takve formule. Ove prefikse nazivamo kvantifikatori ili kvantori i obilježavamo ih posebnim simbolima. Ako sa P(x) označimo rečenicu koju čitamo x ima osobinu P, onda rečenicu Za svaki x, x ima osobinu P 8

13 zapisujemo simbolički ( x) P(x). Simbol čitamo za svaki, za svaku, za svako, za sve, bilo koji, ma koji i naziva se univerzalni kvantifikator. Znak predstavlja obrnuto slovo A, kao prvo slovo engleske riječi All (sve). Njime naglašavamo da je neka tvrdnja (P(x)) uvijek tačna, tj. za svako a iz nekog skupa A je τ(p(a)) =. Naprimjer, u rečenici Svaki čovjek ima pet čula. sa kvantifikatorom svaki naglašavamo da je rečenica Čovjek ima pet čula. univerzalno tačna. Rečenicu postoji x tako da x ima osobinu P zapisujemo sa ( x) P(x). Simbol čitamo postoji i naziva se egzistencijalni kvantifikator. Znak predstavlja obrnuto slovo E, prvo slovo engleske riječi Exist (postoji). U običnom govoru riječi neki, za neko, bar jedan ukazuju na korišćenje egzistencijalnog kvantifikatora. Njime naznačavamo da je neka tvrdnja (P(x)) ponekad tačna, tj. postoji a iz nekog skupa A, za koga je τ(p(a)) =. U rečenici Neki ljudi imaju šesto čulo. kvanifikatorom neki naglašavamo da je rečenica Čovjek ima šesto čulo. ponekad tačna. Tako bi sada na početku spomenuta formula izgledala ( x) x < 3 ; ( x) x < 3. Kada želimo da istaknemo skup na koga se odnosi dati kvantifikator, što u gornjem primjeru nismo uradili, a što bi običnim riječima rečeno bilo: svi prirodni brojevi su manji od 3 i postoji prirodan broj manji od 3, to onda možemo učiniti na više načina, kao npr. ili ( x N) x < 3 ; ( x N) x < 3, ( x) (x N x < 3) ; ( x) (x N x < 3). Korištenje kvantifikatora u zapisima, bilo jezičkim bilo formalnologičkim, nazivamo kvantifikacija. Kada iskažemo rečenicu Svaki čovjek je dobar, njenu kvatifikaciju iskazujemo na sljedeći način, ( svaki čovjek ) čovjek je dobar. Ako čovjeka zamjenimo varijablom x, tada ovo iskazujemo sa ( x) x je dobar. Dakle, varijablu x stavljamo tamo gdje je i bila u rečenici, a kvantifikator prefiksiramo otvorenoj rečenici (x je dobar) i dodijelimo mu 9

14 tu varijablu. Time ustvari naglasimo da je kvantificirana varijabla x, tj. da smo varijablu vezali kvantifikatorom. Kvantifikacija može biti i višestruka. Naprimjer rečenicu Za svaki lonac postoji poklopac. kvantificiramo tako što otvorenoj rečenici poklopac od lonca prefiksiramo prvo kvantifikator Postoji, a onda takvoj rečenici prefiksiramo kvantifikator Za svaki. Tako dobijamo rečenicu Za svaki lonac, postoji poklopac, tako da je poklopac od lonca. Ako varijablu lonac zamjenimo sa x, a varijablu poklopac sa y, to onda izgleda ( x)( y) y je poklopac od x. 5 Predikatska logika Od terma (izraz koji nema istinitosnu vrijednost) se do rečenica (formula) dolazi kada terme povežemo relacijskim simbolima i logičkim simbolima. Gramatički gledano, relacije igraju ulogu glagola koji u rečenici odreduju predikat, pa otuda odgovarajuće formule zovemo predikatske, a dio logike koji se takvim rečenicama bavi nazivamo predikatska logika. Kada se termi povežu odgovarajućim relacijskim znakom dobijamo najjednostavnije formule koje nazivamo atomarne formule. Ovaj pojam formalno uvodimo sljedećom definicijom. Definicija 9 Neka je R n i n-arni relacijski znak i t 1,t 2,...,t n termi. Tada se izraz R n i (t 1,t 2,...,t n ) naziva atomarna formula. Primjer 10. Rečenica Jery je miš primjer je atomarne rečenice. U ovoj rečenici Jery je term, a na njega djeluje relacija biti miš. Ako datu relaciju označimo sa M, onda datu rečenicu čitamo M(Jery). Rečenica Zlata je Semirova majka, je takode atomarna rečenica u kojoj su Zlata i Semir termi, a relacija je biti majka. Ako ovu relaciju označimo sa Majka, onda data rečenica se može zapisati sa M ajka(zlata, Semir). Uočavamo da je bitan poredak terma u datoj relaciji jer nije isto reći Majka(Semir, Zlata) ( Semir je Zlatina majka. ) 10

15 Kombinujući atomarne formule sa logičkim operacijama i kvantifikatorima dobijamo složenije formule, koje nazivamo predikatske formule. Primjer 11. Primjer pravljenja složenijih formula od atomarnih u kontekstu skraćenijeg zapisa može biti: Jery je miš. Svaki miš ima rep. Dakle, Jery ima rep. Atomarnu rečenicu Jery je miš. zapišimo sa Miš(Jery) ili kraće M(Jery). Rečenicu Svaki miš ima rep. sa ( miš)rep(miš) ili kraće ( miš)r(miš). Tada rečenica Jery ima rep. glasi Rep(Jery) ili R(Jery). Sada gornja argumentacija izgleda ovako (M(Jery) ( miš)r(miš)) R(Jery). Pri tome, broj argumenata (objekata, individua) u predikatu odreduje njegovu dužinu, a koju ćemo zvati mjesnost predikata. Ako se lista argumenata predikatske rečenice sastoji od samo jednog argumenta, kažemo da je predikat jednomjesan, ako se sastoji od dva argumenta, govorimo o dvomjesnom predikatu. U opštem slučaju, ako se lista argumenata sastoji od n argumenata, govorimo o n- mjesnom predikatu. Bilo koji n-mjesni predikat predstavlja atomarnu rečenicu. Pri tome jednomjesni predikat nazivamo osobina ili svojstvo. Kako ćemo mi najčešće koristiti jednomjesne i dvomjesne predikate, razmotrimo nekoliko situacija u vezi njih. Ako kvantifikatorima djelujemo na jednomjesni predikat P(x), dobijamo iskaze ( x)p(x) i ( x)p(x). Ako kvantifikatorima djelujemo na dvomjesni predikat P(x, y), dobijamo ponovo predikatske rečenice: P 1 (x) := ( y)p(x,y) P 2 (x) := ( y)p(x,y) P 3 (y) := ( x)p(x,y) P 4 (y) := ( x)p(x,y). U predikatima P 1 i P 2 varijabla y je vezana, a varijabla x je slobodna, dok je u predikatima P 3 i P 4 varijabla x je vezana, a varijabla y je slobodna. Vezivanjem slobodnih varijabli u gornjim predikatima dobijamo no- 11

16 vih osam formula koje predstavljaju iskaze: Q 1 := ( x)p 1 (x) := ( x)( y)p(x,y) Q 2 := ( x)p 1 (x) := ( x)( y)p(x,y) Q 3 := ( x)p 2 (x) := ( x)( y)p(x,y) Q 4 := ( x)p 2 (x) := ( x)( y)p(x,y) Q 5 := ( y)p 3 (x) := ( y)( x)p(x,y) Q 6 := ( y)p 3 (x) := ( y)( x)p(x,y) Q 7 := ( y)p 4 (x) := ( y)( x)p(x,y) Q 8 := ( y)p 4 (x) := ( y)( x)p(x,y). Predikatske formule koje su opštevažeće nazivamo valjane formule. Neke od najvažnijih valjanih formula dat ćemo u obliku teorema. Teorem 1: O zamjeni mjesta kvantifikatorima Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljedeće formule su valjane: 1. ( x)( y)f ( y)( x)f. 2. ( x)( y)f ( y)( x)f. 3. ( x)( y)f ( y)( x)f. Teorem 2: De Morganovi zakoni za kvantifikatore Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljedeće formule su valjane: 1. ( x)f ( x) F. 2. ( x)f ( x) F. Teorem 3 Neka su F i G proizvoljne predikatske formule. Sljedeće formule su valjane: 1. ( x)(f G) ( x) F ( x) G 2. ( x)(f G) ( x) F ( x) G 12

17 3. ( x) F ( x) G ( x)(f G) 4. ( x) (F G) ( x) F ( x) G 5. ( x) (F G) (( x) F ( x) G) 6. ( x) (F G) (( x) F ( x) G) 7. ( x) (F G) (( x) F ( x) G) 8. ( x) (F G) (( x) F ( x) G). 6 Odnosi medu predikatskim rečenicama Iskazi koji imaju predikatsku formu (x ima osobinu P) mogu se dijeliti po kvantitetu, po kvalitetu, po modalitetu i po relaciji. U ovom dijelu mi ćemo se bazirati na podjele po kvantitetu i kvalitetu predikatskih rečenica. Po kvantitetu iskaze dijelimo u tri klase: 1. univerzalne, 2. partikularne i 3. singularne. Univerzalni iskazi govore o nekoj osobini koju imaju svi članovi neke skupine. Naprimjer, iskaz Sve ribe dišu na škrge.. Partikularnim iskazom tvrdimo da bar jedan (a možda i svi) član skupine ima neku osobinu. Takav je iskaz, Postoji vodena životinja koja diše plućima.. Singularni iskazi nam govore o osobini pojedinog člana skupine naprimjer, Po kvaliteti iskaze dijelimo na: 1. afirmativne, 2. negativne i 3. limitativne. Som diše na škrge.. 13

18 Afirmativnim iskazom tvrdimo da subjekat (entitet) ima neku osobinu, Djeca su iskrena. Negativni iskaz nam govori da subjekat nema neku osobinu, Postoje ljudi koji nisu iskreni. Limitativnim iskazom govorimo da subjekat ima neku osobinu opisanu negacijom, Političari su neiskreni.. Kombinujući gornje podjele dolazimo do raznih oblika iskaza. Tako jedan univerzalan iskaz može biti afirmativan, negativan ili limitativan i u tom slučaju ga nazivamo univerzalno-afirmativan, univerzalnonegativan ili univerzalno-limitativan iskaz. Takode je moguće praviti partikularno-afirmativne, partikaularno-negativne i partikularnolimitativne iskaze. Primjer 12. Iskaz oblika ( x) P(x) je univerzalno-afirmativan. Konkretan primjer bi bio, Svi ljudi su dobri. Iskaz oblika ( x) P(x) je univerzalno-negativan. Naprimjer, Svi ljudi nisu dobri. Iskaz oblika ( x) P(x) je partikularno-afirmativan. Takav je iskaz, Postoje dobri ljudi. Iskaz oblika ( x) P(x) je partikularno-negativan iskaz. Naprimjer, Postoji osoba koja nije dobra. U ovom dijelu želimo posmatrati predikatske rečenice izražene jednomjesnim predikatom P(x), gdje je varijabla x iz neke skupine (domena) subjekata i njihovim medusobnim odnosima. Pri tome ćemo podrazumijevati da subjekti o kojima pričamo postoje. Naime, u rečenici Svi ljudi su dobri., eksplicitno se ne zahtjeva postojanje niti jednog čovjeka tojest, datu rečenicu shvatamo na način da ako postoji čovjek, onda su svi ljudi dobri. Koristeći kvantifikaciju i negaciju, moguće je napraviti sljedeće iskaze: ( x)p(x), ( x)p(x), ( x) P(x), ( x)p(x), ( x)p(x), ( x) P(x). Nas će zanimati odnosi izmedu ovako konstruisanih iskaza koje nazivamo jednostavni iskazi i to odnos koji izražava opoziciju (suprotnost). To je odnos u kome jednim iskazom negiramo (niječemo) ono što tvrdimo drugim iskazom. To negiranje može biti: kontrarno, potpuno ili suprotno, kontradiktorno ili protuslovno, 14

19 subalternirano ili podredeno i subkontrarno ili podsuprotno. Kod para iskaza koji se nalaze u jednom od gore navedenih odnosa subjekti i predikati su isti, a ono što čini dati odnos je korištenje kvantifikatora (kvantitet) i negacija (kvalitet). Kontrarni iskazi Kontrarni iskazi su jednaki po kvantitetu (univerzalni), a različiti su po kvalitetu (jedan je afirmativan, a drugi je negativan). Kod kontrarnih sudova, prvi sud je univerzalnoafirmativan, a drugi je univerzalno-negativan. Dakle, govorimo o paru iskaza oblika: Primjer 13. Iskazi I 1 : ( x) P(x) i I 2 : ( x) P(x). Svi kičmenjaci su uspravni. Svi kičmenjaci nisu uspravni., su medusobno kontrarni iskazi. Ili, Svi parni brojevi su prirodni brojevi. Svi parni brojevi nisu prirodni brojevi. Dati odnos nazivamo suprotnom opozicijom ili kontrarnost. Kod kontrarnih iskaza ne mogu oba iskaza biti istiniti ili drugačije rečeno bar jedan mora biti neistinit. Naprimjer, iskaz Svi ljudi su smrtni. je tačan iskaz, ali njemu kontraran iskaz Svi ljudi nisu smrtni. je netačan iskaz. Naravno da ovdje može doći do nejasnoće jer kod kontrarnih iskaza oba iskaza mogu biti netačna. Naime, iskazi Svi lavovi su mačke. Svi lavovi nisu mačke. jesu kontrarni, ali ni jedan od njih nije tačan (postoje i morski lavovi). 15

20 Kontradiktorni iskazi Kontradiktorni iskazi su različiti i po kvantitetu i po kvalitetu. Jedan od njih je univerzalno-afirmativan, a drugi je partikularno-negativan. Takvi iskazi predstavljaju par iskaza oblika: I 1 : ( x) P(x) i I 2 : ( x) P(x). Primjer 14. Iskazi Svi studenti vole logiku. Neki studenti ne vole logiku., primjer su kontradiktornih iskaza. Takode, kontradiktorni su i iskazi U svim trouglovima zbir uglova je 180. Postoji trougao u kome zbir uglova nije 180. Ovaj odnos nazivamo protivuriječnost ili kontrdiktorna opozicija, a često i kratkoće radi kontradikcija. Dva kontradiktorna iskaza ne mogu oba istovremeno biti istinita. Iskazu Svi prirodni brojevi su pozitivni., koji je tačan iskaz, kontradiktoran je iskaz Postoji prirodan broj koji nije pozitivan., koji je očigledno netačan iskaz. U kontradikciji se nalaze i sljedeća dva iskaza: ( x R) x+0 = x, ( x R) x+0 x. Prvi od njih je tačan, a drugi netačan iskaz. Medutim, posmatrajmo iskaz Sve što sija je zlato. i naravno da je to netačan iskaz. Njemu kontradiktoran iskaz je Postoji nešto što sija, a nije zlato., a on je tačan iskaz. Ovo nam govori da dva iskaza koja su u kontradikciji ne mogu istovremeno biti ni netačni. Dakle, zaključujemo da kontradiktorni iskazi ne mogu biti istovremeno oba tačni niti istovremeno oba netačni tojest, ako je jedan od njih tačan, drugi je netačan. 16

21 Subalternirani iskazi Za dva iskaza koja su jednaka po kvaliteti, a različiti po kvantiteti kažemo da su subalternirani. Jedan od takvih iskaza je univerzalno-afirmativan, a drugi je onda partikularnoafirmativan ili je jedan univerzalno-negativan, a drugi partikularnonegativan. Ove dvije varijante u opštem slučaju predstavljaju parove iskaza: I 1 : ( x) P(x) i I 2 : ( x) P(x), ili I 1 : ( x) P(x) i I 2 : ( x) P(x). Primjer 15. Iskazi Svi ljudi su pametni. Neki ljudi su pametni., su subalternirani iskazi. Druga varijanta subalterniranih iskaza su iskazi Svi košarkaši nisu visoki. i Neki košarkaši nisu visoki. Za ovaj odnos kažemo da je subalternirajuća opozicija, podredenost ili subalternacija. Ako su dva iskaza u subalternaciji, za onaj od njih koji je univerzalnog tipa kažemo da je subalternirajući ili nadreden, a onaj koji je partikularnog tipa je subalterniran ili podreden. Oba iskaza koji su u subalternaciji mogu biti istiniti. Naprimjer, Sve što postoji je sastavljeno od atoma. i Nešto što postoji je sastavljeno od atoma., su iskazi u subalternaciji i oba su tačni iskazi. Iskazi koji su u alternaciji mogu biti oba i neistiniti. Naprimjer, Sve ptice su sisari. (netačno) i Postoji ptica koja je sisar. (netačno). Kod ove vrste odnosa moguće je da nadredeni iskaz bude neistinit, a podredeni da bude istinit. Iskazi Na svim planetama postoji život. i Postoji planeta na kojoj postoji život., jesu u alternaciji, ali prvi od njih (nadredeni) je netačan (na Merkuru nema života), a drugi (podredeni) je tačan (Na Zemlji postoji život). Kod subalterniranih iskaza nije moguća jedino varijanta da nadredeni 17

22 iskaz bude tačan, a da podredeni bude netačan. Zaista, nadredeni iskaz je univerzalan, govori da neku osobinu imaju svi subjekti, a podredeni je partikularan, govori da tu osobinu imaju neki subjekti. Time će tačnost prvog iskaza (svi imaju osobinu) uzrokovati tačnost i drugog iskaza (neki imaju osobinu), drugačije rečeno, što vrijedi za sve, vrijedi i za neke. Ovo možemo iskoristiti i u kontrapoziciji, što ne vrijei za neke neće vrijediti ni za sve. Naprimjer, ako je tačan iskaz Svi političari su korumpirani., tačan je i njemu subalterniran iskaz Neki političari su korumpirani. Subkontrarni iskazi Subkontrarni iskazi su jednaki po kvantitetu (partikularni), a različiti su po kvalitetu (jedan je afirmativan, a drugi negativan). Dakle, to su iskazi gdje je jedan partikularnoafirmativan, a drugi partikularno-negativan. U formalnom zapisu to je par iskaza oblika: Primjer 16. Iskazi I 1 : ( x) P(x) i I 2 : ( x) P(x). Neki političari su pošteni. i Neki političari nisu pošteni., su subkontrarni iskazi. Subkontrarnost je takode i medu iskazima ( x R) sinx = 0. i ( x R) sinx 0.. Za iskaze u ovom odnosu kažemo da su subkontrarni, podsuprotni, subkontrarno opozicioni, a odnos nazivamo subkontrarnost. Subkontrarni sudovi mogu biti istovremeno istiniti. Naprimjer, iskazi Postoji plava ruža. i Postoji ruža koja nije plava., su istiniti subkontrarni iskazi. Od dva subkontrarna iskaza može biti jedan istinit, a drugi neistinit. Iskaz Neki ljudi su smrtni., je tačan, a njemu subkontraran iskaz 18

23 Neki ljudi nisu smrtni., je netačan iskaz. Za subkontrarne iskaze nije moguće da su oba istovremeno netačni. U suštini, subkontrarni sudovi tvrde da nešto jeste i nešto nije, pa je jasno da se jedno mora dogoditi. Dakle, od dva subkontrarna iskaza bar jedan mora biti tačan iskaz. 6.1 Logički kvadrat Medu iskazima predikatskog oblika, razlikujući ih po kvantitetu i kvalitetu, uočili smo četiri vrste odnosa. Tradicionalno ti se odnosi prikazuju dijagramom na slici 2, koga nazivamo logički kvadrat. ( x)p(x) Kontrarnost ( x) P(x) A Kontrarnost E Subalternacija Kontradikcija Kontradikcija Subalternacija Subalternacija Kontradikcija Kontradikcija Subalternacija ( x)p(x) Subkontrarnost ( x) P(x) I Subkontrarnost O A I Slika 2: Logički kvadrat Uobičajeno se univerzalno-afirmativan iskaz označava samoglasnikom A, univerzalno-negativan sa E, partikularno-afirmativan sa I i partikularno-negativan sa O, radi jednostavnijeg crtanja logičkog kvadrata. Primjer 17. Posmatrajmo iskaz (A) Svi ljudi su smrtni., koji je tačan. Subalternacija Kontrarnost Kontradikcija Kontradikcija Subkontrarnost E Subalternacija O Njemu kontraran iskaz (E) je Svi ljudi nisu smrtni. i on je netačan iskaz. Subalternirajući iskaz (I), Neki ljudi su smrtni. je tačan iskaz, a kontradiktoran iskaz (O), Neki ljudi nisu smrtni. je netačan iskaz. To bi u logičkom kvadratu predstavili slikom sa strane. Znajući istinitosne odnose izmedu iskaza A,E,I i O, treba primjetiti sljedeće: 19

24 Ako znamo da je iskaz A tačan, tada je iskaz E netačan, iskaz I tačan i iskaz O netačan. Ako znamo da je iskaz E tačan, tada je A netačan, I je netačan i O je tačan iskaz. Ako znamo da je iskaz I netačan, tada je A netačan, E je tačan i O je tačan. Ako znamo da je O netačan, tada je E netačan, A tačan i I tačan iskaz. Ovo možemo generalizovati tvrdnjom da ako znamo da su univerzalni iskazi tačni ili ako znamo da su partikularni iskazi netačni, onda znamo istinitost svih ostalih iskaza u logičkom kvadratu. Ako znamo da je iskaz A netačan, tada jedino znamo da je iskaz O tačan, a za iskaze E i I ne možemo utvrditi sa sigurnošću njihovu istinitost. Ako znamo da je iskaz E netačan, tada jedino znamo da je iskaz I tačan, a za iskaze A i O ne možemo utvrditi sa sigurnošću njihovu istinitost. Ako znamo da je iskaz I tačan, tada jedino znamo da je iskaz E netačan, a za iskaze A i O ne možemo utvrditi sa sigurnošću njihovu istinitost. Ako znamo da je iskaz O tačan, tada jedino znamo da je iskaz A netačan, a za iskaze E i I ne možemo utvrditi sa sigurnošću njihovu istinitost. Dakle, ako znamo da su univerzalni iskazi netačni ili partikularni iskazi da su tačni, tada nemamo pouzdanu informaciju o tačnosti svih iskaza logičkog kvadrata. Primjer 18. Posmatrajmo univerzalno-afirmativne iskaze (A), Svi ptice lete. (netačno) i Svi neograničeni nizovi su konvergentni. (netačno). Formirajući za njih logičke kvadrate vidimo da pouzdano znamo jedino istinitost iskaza O (tačan), a da za iskaze E i I su moguće dvije varijante. A Kontrarnost E A Kontrarnost E Subalternacija Kontradikcija Kontradikcija Subalternacija Subalternacija Kontradikcija Kontradikcija Subalternacija I Subkontrarnost O (a) Sve ptice lete. I Subkontrarnost O (b) Svi neograničeni nizovi su konvergentni. 20

25 Literatura [1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State University, [2] S. Bilaniuk: A Problem Course in Mathematical Logic, Trent University, Peterborough Ontario, Canada, [3] Z. Šilić: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd [4] M. Vuković: Matematička logika 1, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb [5] [6] [7] [8] logika/seminar/doku.php 21