Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia."

Transcript

1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012

2 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno.

3 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p.

4 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ).

5 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze.

6 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze. Logički veznici koje ćemo ovde razmatrati su: i, ili, ako...onda, ako i samo ako (binarni veznici), i nije (unarni veznik):

7 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q,

8 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q,

9 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q,

10 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q,

11 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q, negacija iskaza p je iskaz : nije p.

12 Istinitosna vrednost složenog iskaza Istinitosna vrednost složenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeći način: iskaz p i q je tačan ako i samo ako su i p i q tačni, iskaz p ili q je netačan ako i samo ako su i p i q netačni, iskaz ako p onda q je netačan ako i samo ako je p tačan a q netačan, iskaz p ako i samo ako q je tačan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, iskaz nije p je tačan ako i samo ako je iskaz p netačan.

13 Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ).

14 Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ). Skup iskaznih formula je najmanji skup reči nad azbukom L tako da Sva iskazna slova su iskazne formule; Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)

15 Indukcija po složenosti formula Teorema Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Form tako da važe sledeći uslovi S O, Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule A B, A B, A B, A B, A pripadaju skupu O. Tada je O = Form.

16 Iskazna algebra Iskazna algebra je algebra I = {, },,,,,, gde su operacije,,, binarne, a unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na sledeći način: p p

17 Interpretacija iskazne formule Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S {, }. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje v τ : Form {, } tako da ako je p S iskazno slovo, onda v τ (p) = τ(p), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ ( A) = v τ (A). Za v τ (A) kažemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji v τ ). Ukoliko je v τ (A) =, kažemo da je formula A u toj valuaciji (interpretaciji) tačna, a ako je v τ (A) =, da je netačna.

18 Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A.

19 Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A. Definicija Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {, } n {, }, gde n 1. Ako je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula, onda istinitosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija f A : {, } n {, } takva da za sve a 1, a 2,..., a n {, } važi f A (a 1, a 2,..., a n ) = v τ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Primer... Test A...

20 Vrste iskaznih formula Definicija Kažemo da je iskazna formula A zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tačna, oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netačna, tautologija ili valjana formula je tačna za sve valuacije, kontradikcija ako je njena vrednost netačna za sve valuacije. Test A...

21 1. p p Zakon dvojne negacije 2. p p Tertium non datur 3. (p p) Zakon neprotivrečnosti 4. (p (p q)) q Modus Ponens 5. ((p q) q) p Modus Tollens 6. (p q) ( q p) Kontrapozicija 7. (p q) p q De Morganov zakon za 8. (p q) p q De Morganov zakon za 9. ((p q) (q r)) (p r) Zakon silogizma 10. ( p (q q)) p Reductio ad absurdum 11. p (p q) Ex falso quolibet 12. p (q p) Verum ex quolibet 13. ((p r) (q r)) ((p q) r) Zakon nabrajanja 14. (p q) ((q r) (p r)) Tranzitivnost za 15. ((p q) (q r)) (p r) Tranzitivnost za 16. ((p q) p) p Pierceov zakon

22 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}).

23 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija.

24 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija. Definicija Za dve formule A i B kažemo da su logički ekvivalentne ako je formula A B tautologija. U tom slučaju pišemo A B.

25 Najlakše tautologije 1. A A A Idempotentnost konjunkcije 2. A A A Idempotentnost disjunkcije 3. A B B A Komutativnost konjunkcije 4. A B B A Komutativnost disjunkcije 5. A B B A Komutativnost ekvivalencije 6. (A B) C A (B C) Asocijativnost konjunkcije 7. (A B) C A (B C) Asocijativnost disjunkcije 8. (A B) C A (B C) Asocijativnost ekvivalencije 9. A (A B) A Apsorpcija prema 10. A (A B) A Apsorpcija prema 11. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema 12. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema

26 Odnos medju veznicima A B A B A B (A B) A B A B A B (A B) A B ( A B) A B ( A B) A B (A B) (B A) A B ( A B) ( B A)

27 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula...

28 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F.

29 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F. Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formula tako da je C D tada je A A[C D].

30 Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)

31 Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Valuacija τ odnosno odgovarajuća interpretacija v τ iskaznih formula na proširenoj azbuci se definiše na isti način kao na standardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ važi da je v τ ( ) = i v τ ( ) =.

32 Tautologije sa konstantama A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

33 Jedan primer p q r f

34 Disjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.

35 Konjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.

36 Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,.

37 Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,. Definicija Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kažemo da je F baza iskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija može dobiti kompozicijom funkcija iz skupa F.

38 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).

39 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).

40 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Teorema Jedine binarne operacije skupa {, } koje, svaka za sebe, čine jednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije odnosno Lukasiewiczeva operacija.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.

Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

[1] Formalni jezik iskazne logike

[1] Formalni jezik iskazne logike [1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka

Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Uvod u logiku Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Prof. dr Žana Kovijanić Vukićević Prof. dr Slobodan Vujošević UVOD U LOGIKU Drugo izdanje Glavni urednik Prof. dr Ilija Vujošević Recenzenti Prof.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE

LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE Igor Ž. Milovanović Ružica M. Stanković Emina I. Milovanović Branislav M. Randjelović Sadržaj 1 Elementi matematičke logike 5 1.1 Iskaz i predikat.............................

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika. January 8, 2012

Predikatska logika. January 8, 2012 Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Arhitektura računara

Arhitektura računara Arhitektura računara vežbe - čas 1 i 2: Minimizacija logičkih funkcija Mladen Nikolić URL: http://www.matf.bg.ac.yu/~nikolic e-mail: nikolic@matf.bg.ac.yu 1 Bulova algebra Klod Šenon je 1938. uočio da

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika. 1 Semantika iskazne logike

Iskazna logika. 1 Semantika iskazne logike Iskazna logika 1 Semantika iskazne logike Iskazna formula je niz simbola odredjenog alfabeta (skupa simbola). Postoje razni alfabeti u kojima se definišu iskazne formula, a razlikuju ih simboli logički

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA

DISKRETNA MATEMATIKA Univerzitet singidunum Ivana Kovačević DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 013. DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: dr Ivana Kovačević Recezenti:

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika i izračunljivost

Matematička logika i izračunljivost Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Mladen Vuković Matematička logika i izračunljivost predavanja i vježbe Zagreb, rujan, 2016. Sadržaj Predgovor v 1 Prvo predavanje Uvod i logika sudova 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta

MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Mladen Vuković MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta Četvrto, izmijenjeno i dopunjeno izdanje Zagreb, svibanj 2007. doc.dr. sc. Mladen Vuković: Matematička logika 1 Recenzenti:

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA. master teza

REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA. master teza REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA master teza Autor: Dušan Radičanin Mentor: dr Branimir Šešelja Novi Sad, 2013. 2 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 5 1.1 Razvoj problema povezanih

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Primene teorije modela u poljima

Primene teorije modela u poljima Primene teorije modela u poljima Angelina Ilić Stepić mentor dr.žarko Mijajlović Matematički fakultet, Beograd 008 1 Predgovor Magistarski rad je iz oblasti teorije modela sa primenama na algebarska polja.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα