Deli in vladaj. J.Kozak: PSA II, / 75
|
|
- Ὑμέναιος Γεννάδιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Deli in vladaj J.Kozak: PSA II, / 75 Metoda deli in vladaj je ena od pomembnih splošnih metod načrtovanja algoritmov. Če je problem, ki ga rešujemo, preveč zapleten, si lahko pomagamo tako, da ga razcepimo na podprobleme, jih rešimo in rešitve združimo v rešitev prvotnega problema. Če so tudi podproblemi prezahtevni, jih delimo naprej toliko časa, da znamo njihovo rešitev preprosto poiskati. Pri tej metodi je ključno to, da so tudi podproblemi enake narave kot prvotni. Metoda pogosto pripelje do rekurzivnih rešitev, s čimer si poenostavimo sestavljanje algoritmov.
2 J.Kozak: PSA II, / 75 Opišimo metodo v splošnem. Poenostavimo si zapis s tem, da privzamemo delitev prvotnega problema v dva manjša. V splošnem je podproblemov seveda lahko več. Predpostavimo, da nam vektor a kaže na podatke, za katere želimo rešiti dani problem. Deliti problem na manjša tako pomeni deliti vektor kazalcev na dva dela. Ključni deli strategije kdaj je problem dovolj preprost, da ga rešimo kako rešimo preprost problem kako delimo problem kako združujemo rešitvi
3 Strategija Metoda deli in vladaj procedure deliinvladaj(a, dno, vrh, rešitev); { Procedura poišče rešitev problema po metodi vladaj in vladaj. Podatke določajo kazalci a[dno], a[dno + 1],..., a[vrh]. } begin if problemmajhen(dno, vrh) then reši(a, dno, vrh, rešitev) else begin { Problem ni majhen: dno vrh! } s := deli(dno, vrh); { Reši prvi podproblem. } deliinvladaj(a, dno, s, rešitev) { Reši drugi podproblem. } deliinvladaj(a, s + 1, vrh, rešitev) { Združi obe dobljeni rešitvi. } združi(a, dno, s, vrh, rešitev) end J.Kozak: PSA end. II, / 75
4 Deli in vladaj brez združevanja rešitev procedure deliinvladaj(a, dno, vrh, rešitev); { Deli in vladaj poišče rešitev problema za podatke a[dno], a[dno + 1],..., a[vrh]. Rešitev podproblema je hkrati tudi rešitev osnovnega problema.} begin if problemmajhen(dno, vrh) then reši(a, dno, vrh, rešitev) else begin { Problem ni majhen: dno vrh! } s := deli(dno, vrh); { Na tem mestu moramo vedeti, rešitev katerega od obeh podproblemov je tudi rešitev prvotnega problema. } if rešitevvlevemsinu then deliinvladaj(a, dno, s, rešitev) else deliinvladaj(a, s + 1, vrh, rešitev) end J.Kozak: PSA end. II, / 75
5 Časovna zahtevnost deli in vladaj J.Kozak: PSA II, / 75 Elementi časovne zahtevnosti n... velikost problema, b... časovna zahtevnost reševanja majhnega problema, n = 1, a... na koliko enako velikih podproblemov delimo problem, c... razmerje med velikostjo problema in podproblema b... vodilna konstanta zahtevnosti operacij deli in združi r... eksponent vodilnega člena časovne zahtevnosti operacij deli in združi
6 J.Kozak: PSA II, / 75 Izrek Naj bodo a IN, b IR +, c IN in r IN dane konstante. Rešitev rekurzije { b, n = 1, T (n) = a T ( ) n c + bn r, n > 1, je dana z O (n r ), a < c r, T (n) = O (n ( r log n), a = c r, O n log a) c, a > c r.
7 Dokaz osnovnega izreka o časovni zahtevnosti J.Kozak: PSA II, / 75 Dokaz. Naj bo n potenca števila c, n = c k, k IN. Z večkratno uporabo rekurzivne formule dobimo ( ) n T (n) = at + bn r c ( ( ) ( ) n n r ) = a at c 2 + b + bn r c ( ) n = a k T c k + bn (1 r + a ( ) ) a k 1 c r + + c r = a k T (1) + bn r qk 1 q 1, q := a c r 1, = a k b + bn r qk 1 q 1 ( ) = bn r q k + qk 1 = bn r qk+1 1 q 1 q 1
8 J.Kozak: PSA II, / 75 Torej za q = a c r dobimo ocene q < 1 : q k+1 1, T (n) = O (n r ) q = 1 : q > 1 : q k+1 1 q 1 k + 1, T (n) = O (n r log n) ( a k = a log c n ln a ln n = e ln c = n log c a T (n) = O a k) = O (n log a) c Pogosti primeri a = 1, c = 2, r = 0, q = 1, T (n) = O (log n) a = 2, c = 2, r = 1, q = 1, T (n) = O (n log n) a = 3, c = 2, r = 1, q = 3 2, T (n) = O ( n log 2 3) a = 7, c = 2, r = 2, q = 7 4, T (n) = O ( n log 2 7)
9 Bisekcija J.Kozak: PSA II, / 75 Bisekcija je prvi od algoritmov, ki ga bomo razvili po metodi deli in vladaj. V računalniku jo pogosto srečamo v tej ali oni obliki. Njena posebna odlika je zanesljivost, saj nas tako v celih kot tudi realnih številih zanesljivo privede do cilja. Naštejmo nekaj zgledov. Iskanje elementa v urejenem zaporedju Naj bo zaporedje a = (a i ) n i=1 urejeno z a 1 a 2 a n, n IN, in e dana vrednost. Ali obstaja i, da je a i = e?
10 J.Kozak: PSA II, / 75 Ničla zvezne funkcije V numerični matematiki se pogosto srečamo z uporabo bisekcije pri iskanju ničel funkcije. Naj bo f C (a) b dana zvezna funkcija, ki je v krajiščih intervala nasprotno predznačena, f (a)f (b) < 0. Poišči ničlo te funkcije na [a, b] (vsekakor je vsaj ena!). Minimum konveksne funkcije Naj bo f C (a) b dana konveksna zvezna funkcija, f (x) > 0, x [a, b]. Poišči njen minimum. Metoda deli in vladaj pravi: Razcepi problem na podproblema. V prvem primeru to razumemo kot iskanje odgovora na vprašanje, ali je element v prvem ali drugem delu podzaporedja, v drugem in tretjem primeru pa kot iskanje ničle ali ekstrema v levem ali desnem podintervalu.
11 Iskanje elementa v urejenem zaporedju z bisekcijo J.Kozak: PSA II, / 75 procedure bisekcija(n, a, e, i); { Bisekcija poišče v nepadajoče urejenem zaporedju a, a 1 a 2 a n indeks i, za katerega je e = a i. Če takšnega elementa v zaporedju ni, vrne vrednost i = 0. } begin dno := 1; vrh := n; while dno vrh do begin { Deli na dva čimbolj enaka dela. } vrh + dno s := ; 2
12 J.Kozak: PSA II, / 75 if e = a s then begin i := s; exit(bisekcija) end else if e < a s then vrh := s 1 else dno := s + 1 end ; i := 0 end.
13 Izrek Bisekcija vrne pravilni odgovor. Dokaz. Trdimo: Element e je v celotnem zaporedju natanko tedaj, ko je v podzaporedju a dno, a dno+1,..., a vrh. Res, na začetku je dno = 1 in vrh = n ter trditev drži. Naj velja na tekočem koraku. V stavku if dobi vrh novo vrednost natanko tedaj, ko je e < a s. Toda zaporedje je nepadajoče urejeno in v tem primeru velja e < a j, j = s, s + 1,..., vrh. Trditev torej ohranimo, če vstavimo vrh := s. Podobno velja tudi za novo vrednost dno in induktivni sklep je potrjen. Zanka while se očitno konča, torej se konča bodisi s stavkom exit in imamo pozitivni odgovor, bodisi z dno > vrh. V tem primeru preostalega zaporedja, kjer bi element še lahko bil, ni več. Torej je v tem primeru pravilen zaključek i := 0. J.Kozak: PSA II, / 75
14 Časovna zahtevnost bisekcije Iskanje z bisekcijo je iskanje v dvojiškem drevesu, uravnoteženem po globini. Primer, ko elementa e ni v zaporedju: T B (n) = T W (n) = T (n) = O (log n). Primer, ko element e je v zaporedju T B (n) = O (1), T W (n) = O (log n), T E (n): predpostavimo, da je e enako verjetno katerikoli element v zaporedju, torej je verjetnost P(I = i) = 1 n za vse i. V dvojiškem drevesu to pomeni, da iskanje zaključimo enako verjetno v katerem koli vozlišču, a povprečje vseh možnih zaključkov je kar povprečni nivo vozlišča v drevesu. Za polno drevo n = 2 k 1 globine k je to T E (n) = 1 k i2 i 1 = k + O (1) = O (log n). n i=1 J.Kozak: PSA II, / 75
15 Iskanje mejnih elementov zaporedja procedure mejipreprosto(n, a, amax, amin); { Procedura poišče največji element amax in najmanjši element amin v zaporedju a i, i = 1, 2,..., n. } begin amax := a 1 ; amin := a 1 ; for i := 2 to n do if a i > amax then amax := a i else if a i < amin then amin := a i end. J.Kozak: PSA II, / 75 Vzemimo n podatkov a i, i = 1, 2,..., n, med seboj primerljivih z relacijo. Poiščimo mejna elementa Preprosta rešitev: amax := max 1 i n a i, amin := min 1 i n a i.
16 Časovna zahtevnost preproste rešitve J.Kozak: PSA II, / 75 Dogovorimo se, da upoštejemo le primerjave med elementi zaporedja in predpostavimo, da je amax enako verjetno katerikoli element v zaporedju. To da T B (n) = n 1, T W (n) = 2(n 1), T E (n) = n (n 1) = 3 (n 1). 2 Poiščimo rešitev še z deli in vladaj.
17 Določi največji in najmanjši element z deli in vladaj procedure meji(a, dno, vrh, amax, amin); { Procedura poišče največji element amax in najmanjši element amin v podzaporedju a k, k = dno, dno + 1,..., vrh.} begin if (vrh dno) {0, 1} then begin {Problem je majhen } if dno = vrh then begin amax := amin := a dno end else if a dno < a vrh then begin amax := a vrh ; amin := a dno end else begin amax := a dno ; amin := a vrh end end J.Kozak: PSA II, / 75
18 else begin { Problem ni majhen. } dno + vrh s := ; { Deli. } 2 { Reši podproblema. } meji(a, dno, s, amaxl, aminl); meji(a, s + 1, vrh, amaxd, amind); { Združi rešitvi podproblemov. } if amaxl < amaxd then amax := amaxd else amax := amaxl; if aminl < amimd then amin := aminl else amin := amind; end end. J.Kozak: PSA II, / 75
19 Časovna zahtevnost rešitve z deli in vladaj J.Kozak: PSA II, / 75 Izračunajmo še časovno zahtevnost algoritma. Ker štejemo le primerjave med elementi zaporedja, zanjo ugotovimo 0, n = 1, T (n) = 1, n = 2, T ( n 2 ) + T ( n 2 ), n > 2. Odtod, za n = 2 k, ( ) n T (n) = 2T ( ( ) ) n = 2 2T k 1 = 2 k 1 T (2) + 2 i = 2 k k 2 = 3 2 (n 1) 1 2 i=1
20 Urejanje (z deli in vladaj) J.Kozak: PSA II, / 75 Urejanje je eden od praktično pomembnih praktičnih problemov, zato poznamo vrsto različnih rešitev. A vse lahko razumemo uporabo metode deli in vladaj pri reševanju tega problema. Praktične programske rešitve pogosto uporabljajo to metodo v več korakih, odvisno od velikosti problema. Osnovna delitev algoritmov Urejanje s primerjavami. Algoritmi te vrste urejajo podatke A U z uporabo primerjav a b, a, b A. Urejanje po distribuciji. Algoritmi te vrste urejajo podatke A U s pomočjo preslikav f : U IN, ki jih uporabimo za določanje vrstnega reda v A. Pri izbiri konkretnih algoritmov kot običajno tehtamo velikost in naravo množice A zahtevnost ključnih korakov v urejanju in v dostopu do podatkov v A
21 Splošno o časovni zahtevnosti urejanja Naj bo A, n := A, množica podatkov, ki jo urejamo. O časovni zahtevnosti urejanja A povejmo: T B (n) = Θ (n) neodvisno od metode urejanja, T W (n) = Ω (n log n) za urejanje s primerjavami, kar določa spodnjo mejo tega razreda postopkov, nekateri algoritmi urejanja s primerjavami so optimalnega reda, T (n) = Θ (n log n) (urejanje z zlivanjem, urejanje s kopico), nekateri algoritmi urejanja s primerjavami so kvadratično zahtevni, T (n) = Θ ( n 2) (urejanje z izbiranjem), nekateri algoritmi urejanja s primerjavami so v najslabšem primeru kvadratično zahtevni, T W (n) = Θ ( n 2) (hitro urejanje), a v povprečju T E (n) = Θ (n log n), za urejanja po distribuciji je velja T E (n) = Θ (n) ali celo T (n) = Θ (n). Seveda pri tem ta urejanja postavijo določen zahteve podatkom, ki jih urejajo. Dokažimo drugo alineo. J.Kozak: PSA II, / 75
22 J.Kozak: PSA II, / 75 Izrek Vsak algoritem, ki uredi podatke A U, A = n s primerjavami, zahteva vsaj T W (n) = Ω (n log n) primerjav. Dokaz. Predpostavimo lahko, da so podatki v A različni. Primerjava a b, a, b A ima dva izzida, resnično in neresnično. Odločanja katerega koli algoritma lahko interpretiramo kot pot v dvojiškem odločitvenem drevesu. Notranje vozlišče v tem drevesu vsebuje primerjavo a b, levi in desni sin, če nista lista, pripadata obema izzidoma. V listih mora biti vrstni red podatkov kot rezultat primerjav na poti od korena natanko določen. Listov je n! e (n+ 1 2) ln n n+ln 2π = Ω (n log n) po Stirlingovem obrazcu. Izrek je dokazan.
23 Urejanje s primerjavami J.Kozak: PSA II, / 75 Urejamo zaporedje a 1, a 2,..., a n. Poenostavimo razlago z zahtevo, da deli deli na dva dela. Pomembni koraki: kdaj je problem tako majhen, da ga rešimo in kako ga rešimo, kako delimo, kako zapleten je deli, kako združujemo, kako zapleten je združi. Preprosta algoritma urejanje z izbiranjem: delimo v urejeni in neurejeni del zaporedja, združi ni potreben, T (n) = Θ ( n 2). urejanje z vrivanjem: delimo v urejeni in neurejeni del zaporedja, T B (n) = Θ (n), T W (n) = Θ ( n 2). Zelo primeren algoritem za urejanje majhnih zaporedij (npr. n {0, 1,..., 12}) in zaporedij, ki so v glavnem že urejena, a imajo majhna podzaporedja velikosti n 12 še lokalno neurejena.
24 Urejanje z izbiranjem procedure urejanjezizbiranjem(a, n); { Uredi zaporedje a i, i = 1, 2,..., n na mestu z izbiranjem v nepadajočem vrstnem redu. } begin for i := 1 to n 1 do begin { V zaporedju a j, j = 1, 2,..., i 1 je že urejenih i 1 najmanjših elementov zaporedja. Na i-to mesto pride i-ti najmanjši. } element := a i ; ind := i; for j := i + 1 to n do if a j < a ind then ind := j; a i := a ind ; a ind := element; end end. J.Kozak: PSA II, / 75
25 Urejanje z vrivanjem procedure urejanjezvrivanjem(a, n); { Procedura uredi zaporedje a i, i = 1, 2,..., n na mestu z vstavljanjem. } begin a 0 := ; { Stražar.} for i := 2 to n do begin { Del zaporedja a k, k = 1, 2,..., i 1 je že urejen. } j := i 1; element := a j+1 ; { Izpraznimo (j + 1)-vo mesto. } while element < a j do begin { Element sodi levo od j-tega mesta } a j+1 := a j ; j := j 1; end ; a j+1 := element end end. J.Kozak: PSA II, / 75
26 J.Kozak: PSA II, / 75 Najpomembnejši algoritmi urejanje s kopico: delimo v neurejeni del, organiziran v kopico in urejeni del zaporedja. Združi ni potreben. Algoritem je optimalnega reda, T W (n) = Θ (n log n). urejanje z zlivanjem: delimo preprosto, glavni del je operacija združi. Je optimalni algoritem urejanja, T (n) = Θ (n log n). hitro urejanje: delimo tako, da operacija združi ni potrebna. Ni optimalni algoritem urejanja, T W (n) = Θ ( n 2), T E (n) = Θ (n log n), a se smatra za najučinkovitejši postopek urejanja zmerno velikih zaporedij.
27 Urejanje z zlivanjem procedure uredizzlivanjem(a, dno, vrh); { Procedura uredi z zlivanjem elemente a i, i = dno, dno + 1,..., vrh v nepadajočem vrstnem redu. Rezultat prekrije podatke a na mestu. } begin if dno < vrh then begin { Predpostavimo, da problem ni majhen, če je urejati potrebno. } ; { Deli. } s := dno+vrh 2 uredizzlivanjem(a, dno, s); uredizzlivanjem(a, s + 1, vrh); zlij(a, dno, s, vrh); { Združi rešitvi podproblemov. } end end. J.Kozak: PSA II, / 75
28 procedure zlij(a, dno, s, vrh); { Združi urejeni podzaporedji a i, i = dno, dno + 1,..., s in a i, i = s + 1, s + 2,..., vrh v urejeno zaporedje a i, i = dno, dno + 1,..., vrh. } begin { Preložimo urejeni podzaporedji iz a v b in c. } n 1 := s dno + 1; n 2 := vrh s; for i := 1 to n 1 do b i := a dno+i 1 ; for i := 1 to n 2 do c i := a s+i ; b n1 +1 := ; c n2 +1 := ; { Stražarja. } { Zlijemo urejeni četi v skupno zaporedje na mestu. } i := 1; j := 1; for k := dno to vrh do if b i c j then begin a k := b i ; i := i + 1 end else begin a k := c j ; j := j + 1 end; end. J.Kozak: PSA II, / 75
29 Nekaj ugotovitev o urejanju z zlivanjem J.Kozak: PSA II, / 75 Časovno zahtevnost urejanja z zlivanjem, kot smo ga predstavili, da osnovni izrek: rešiti je potrebno a = 2 podproblema polovične velikosti (c = 2), deli je konstantne in združi linearne časovne zahtevnosti (b 0, r = 1). Torej T (n) = Θ (n log n). Algoritem zlij zahteva dodatni prostor. V splošnem torej potrebujemo Θ (n) dodatnega delovnega prostora. Pri zlivanju podatke potrebujemo po vrsti, ne pa naključno v odvisnosti od danega indeksa. Pri nekaterih vrstah zunanjega pomnilnika je to pomembna lastnost in hkrati prednost urejanja z zlivanjem. Preprosto razširimo delitev iz dveh na več delov, pet, sedem, devet. Takšne delitve so bile običajne npr. pri urejanjih, ki so kot zunanji pomnilnik uporabljala magnetni trak.
30 Hitro urejanje procedure hitrouredi(a, dno, vrh); { Procedura uredi zaporedje a i, i = dno, dno + 1,..., vrh, v nepadajočem vrstnem redu s hitrim urejanjem. Razmeščanje opravi procedura deli. Za vrednost (ali stražarja) a vrh+1 mora ob klicu veljati a vrh+1 a i, i = dno, dno + 1,..., vrh. } begin if dno < vrh then begin { Problem ni majhen, če je treba urejati. } deli(a, dno, vrh, s); { Reši podproblema, združi ni potreben. } hitrouredi(a, dno, s 1); hitrouredi(a, s + 1, vrh) end end. J.Kozak: PSA II, / 75
31 J.Kozak: PSA II, / 75 procedure deli(a, dno, vrh, s); { Procedura na mestu preuredi zaporedje a i, i = dno, dno + 1,..., vrh, dno < vrh, v odvisnosti od delilnega elementa ω := a dno v a i ω, i = dno, dno + 1,..., s 1, a i ω, i = s, s + 1,..., vrh. Za stražarja a vrh+1 mora ob klicu veljati a vrh+1 ω. } begin { Element, okoli katerega razmeščamo zaporedje a. } ω := a dno ; { Z indeksoma i in s pregledujemo zaporedje z leve in desne. } i := dno; s := vrh + 1;
32 repeat { Pregledujemo zaporedje z leve v desno, dokler ne najdemo elementa, ki sodi desno od ω. } repeat i := i + 1 until a i ω; { Pregledujemo zaporedje z desne v levo, dokler ne najdemo elementa, ki sodi levo od ω. } repeat s := s 1 until a s ω; if i < s then begin { Elementa zamenjamo, ker se i in s še nista prekrižala. } b := a i ; a i := a s ; a s := b; end; until i s; { Indeksa sta prekrižana. Vstavimo delilni element. } a dno := a s ; a s := ω; end. J.Kozak: PSA II, / 75
33 Nekaj ugotovitev o hitrem urejanju Časovno zahtevnost hitrega urejanja v najboljšem primeru, da osnovni izrek. V najboljšem primeru deli deli vseskozi na pol. Torej je potrebno rešiti a = 2 podproblema polovične velikosti (c = 2), deli je linearne časovne zahtevnosti (b 0, r = 1) in zato T B (n) = Θ (n log n). Časovna zahtevnost v najslabšem primeru je T W (n) = Θ ( n 2). Ne glede na to, kako izbiramo delilni podatek, obstaja primer podatkov, ki zahteva kvadratično število primerjav. Časovna zahtevnost v pričakovanem primeru je T E (n) = Θ (n log n), če so vsi vrstni redi enako verjetni. Algoritem potrebuje le O (log n) dodatnega prostora za sklad rekurzije, a se ga da sprogramirati tudi brez tega. Urejanje majhnih podzaporedij, npr. velikosti n {1,..., 12} pri hitrem urejanju preskočimo in kasneje uredimo s preprostejšim postopkom, npr. z urejanjem z vrivanjem. Delilni podatek izbiramo tudi na druge načine, npr. kot srednjega med prvim, drugim in zadnjim podatkom ipd. J.Kozak: PSA II, / 75
34 Časovna zahtevnost hitrega urejanja Naj bo zaporedje, ki ga urejamo, veliko n in v časovno zahtevnost štejmo le primerjave med podatki, ki jih urejamo. Ključni deli urejanja opravi procedura deli, ki vrne s kot indeks elementa, ki deli zaporedji. Klic deli zahteva n + 1 primerjav. Indeks delilnega elementa je odvisen od podatkov, torej slučajna spremenljivka S, z možnimi izzidi (S = s), s = 1, 2,..., n. V najslabšem primeru se zgodi dogodek (S = s) pri tistem s, ki časovno zahtevnost maksimizira. Torej velja T W (n) = n max 1 s n (T W (s 1) + T W (n s)). Uganemo, da velja T W (n) konst n 2, konst > 0, za neko konstanto. Za n = 2 to velja, če izberemo konst = T W (2). J.Kozak: PSA II, / 75
35 J.Kozak: PSA II, / 75 Naj velja za zaporedja, velika r < n. Pokažimo, da velja tudi za zaporedja dolžine n: T W (n) = n max (T W (s 1) + T W (n s)) 1 s n ( n konst max (s 1) 2 + (n s) 2) = 1 s n = n konst(n 1) 2 = n konst n 2 2konstn + konst. ( ) Torej, če izberemo na začetku konst max T W (2), 1 2, trditev velja: T W (n) = O ( n 2). Da velja v resnici T W (n) = Θ ( n 2), sledi, če vodimo izbiro z dogodki (S = 1). Za pričakovan primer predpostavimo, da so vsi izzidi enako verjetni, torej P(S = s) = 1, s = 1, 2,..., n. n
36 Torej je n T E (n) = P(S = s)e (T (n)/s = s)) = s=1 = 1 n E (T (n)/s = s). n s=1 Da uredimo zaporedje n podatkov pri pogoju (S = s) v pričakovanem času, potrebujemo E (T (n)/s = s) = n T E (s 1) + T E (n s) primerjav. To skupno da T E (n) = n n (T E (s 1) + T E (n s)) n s=1 = n n T E (s 1), n s=1 kjer velja na začetku T E (0) = T E (1) = 0. J.Kozak: PSA II, / 75
37 Enačbo n 2 T n(n + 1) n E (n) = + T E (s 1) 2 s=1 zapišimo še za n := n 1 in ju odštejmo. Dobimo in Iz ocene n 2 T n(n + 1) (n 1)n E (n) = + n T E (n 1) 1 n + 1 T E (n) = 2 n n T E (n 1) = n+1 s=3 = 2 n n T E (1) 2 1 j n dx = ln(n + 1) ln 2 x končno dobimo ( ) n + 1 T E (n) 2(n + 1) ln = Θ (n log n). 2 n+1 1 = 2 s. s=3 J.Kozak: PSA II, / 75
38 urejanje po distribuciji J.Kozak: PSA II, / 75 Urejanje po distribuciji uporabi vrednost podatka, ki ga razvrščamo, za določanje vrstnega reda. Nekaj primerov Urejanje celih števil iz danega intervala s preštevanjem Urejanje realnih števil, za katera poznamo porazdelitev Urejanje po osnovi Urejanje s košarami
39 J.Kozak: PSA II, / 75 procedure Urejanjespreštevanjem(a, n, k, b); { Procedura uredi zaporedje celih števil a[i] [0, k], i = 1, 2,..., n, s preštevanjem. Rezultat vrne v tabeli b[i] [0, k], i = 1, 2,..., n. } begin { Pripravimo pomožno tabelo c[0 : k] za preštevanje. } for i := 0 to k do c[i] := 0; { Preštejemo, kolikokrat 0 j k nastopa v a. } for i := 1 to n do c[a[i]] := c[a[i]] + 1;
40 J.Kozak: PSA II, / 75 { Določimo c[i] = {j; 0 j i}. } for i := 1 to k do c[i] := c[i] + c[i 1]; { Prepišemo a v b v pravem vrstnem redu. } for i := n downto 1 do begin b[c[a[i]]] := a[i]; c[a[i]] := c[a[i]] 1; end end.
41 procedure Urejanjepoosnovi(a, n, d); { Procedura uredi zaporedje d-mestnih celih števil a[i], i = 1, 2,..., n. } begin for i := d downto 1 do Stabilnouredi(a, n, i); end. J.Kozak: PSA II, / 75 Lastnosti urejanja s preštevanjem T (n) = Θ (k + n), torej za k = O (n) je T (n) = Θ (n) je stabilno, podatke z enako vrednostjo ohrani v prvotnem vrstnem redu Urejanje po osnovi. Urejanje po osnovi so uporabljale sortirke za razvrščanje papirnatih kartic. Stolpce (80-kolonskih) kartic lahko interpretiramo kot zaporedje števk v b-tiškem zapisu števil. Urejamo (z obvezno stabilnim algoritmom) najprej po najmanj pomembni števki, nato po naslednji najmanj pomembni ipd.
42 Urejanje s košarami procedure Urejanjeskošarami(a, n); { Procedura uredi zaporedje pozitivnih realnih števil 0 a i < 1, i = 1, 2,..., n, s košarami. } begin for j := 0 to n 1 do q[j] := Pripravi; { Razmečemo podatke po košarah. } for i := 1 to n do vstavi(q[ n a i ], a i ); { Zberemo košare. } i := 1; for j := 0 to n 1 do while not prazna(q[j]) do begin briši(q[j], a i ); i := i + 1; end; Uredizvrivanjem(a, n); end. J.Kozak: PSA II, / 75
43 Časovna zahtevnost urejanja s košarami J.Kozak: PSA II, / 75 Izrek Če so števila a i, i = 1, 2,..., n, enakomerno porazdeljena na [0, 1), je pričakovana časovna zahtevnost urejanja s košarami linearna.
44 Iskanje k-tega najmanjšega elementa procedure izberi(n, a, k); { Procedura poišče po velikosti k-ti element v zaporedju a i, i = 1, 2,..., n tako, da na mestu preuredi a v novo zaporedje a, a i a k, i = 1, 2,..., k 1, a k a i, i = k + 1, k + 2,... n. } begin dno := 1; vrh := n; r := k; a n+1 := ; { Stražar! } loop deli(a, dno, vrh, s); case s = r : exit(loop); s > r : vrh := s 1; s < r : begin dno := s + 1; r := r s end; end; forever end. J.Kozak: PSA II, / 75
45 Časovna zahtevnost iskanja k-tega najmanjšega elementa J.Kozak: PSA II, / 75 Izrek Za časovno zahtevnost izberi velja T W (k; n) = Θ ( n 2) Pri predpostavki, da deli enako verjetno vrne katerikoli delilni indeks s, je max 1 k n T E (k; n) = Θ (n). Dokaz. Dokažimo le drugo alineo. Podobno kot v analizi hitrega urejanja predpostavimo P(S = s) = 1, s = 1, 2,..., n. n Torej je T E (k; n) = Θ (n) + 1 k 1 T E (k s; n s) + n s=1 n s=k+1 T E (k; s 1).
46 J.Kozak: PSA II, / 75 Vpeljimo T E (n) := max 1 k n T E (k; n), c : Θ (n) cn, in dobimo T E (k; n) cn + 1 n max torej cn + 1 n max T E (n) cn + 1 n max k 1 1 k n s=1 k 1 1 k n s=1 k 1 1 k n s=1 T E (k s; n s) + T E (n s) + T E (n s) + n s=k+1 s=k+1 n T E (k; s 1) s=k+1 T E (s 1), n T E (s 1). Trdimo T E (n) dn, d := max{t E (1), 4c}.
47 J.Kozak: PSA II, / 75 Za n = 1 to drži. Naj velja za vse r < n. Pokažimo, da velja tudi za r = n, T E (n) cn + d k 1 n max n (n s) + (s 1) 1 k n s=1 s=k+1 cn + d ( 1 n max 1 k n 2 (k 1)(2n k) + 1 ) 2 (n k)(n + k 1) = cn + d ((k n max 1)(n k) + 1 ) 1 k n 2 (n 1)n cn + d 1 (n 1)(3n 1) ( n 4 n d ) 4n (n 1)(3n 1) dn.
48 Strassenovo množenje matrik J.Kozak: PSA II, / 75 Zmnoži 2617 in 5476! Običajna metoda je izpeljana po strategiji deli in vladaj, a je očitno T (n) = Θ ( n 2), 2617 * Deli deli na preveč različno velike probleme: enomestno števko in preostali del števila. Poizkusimo z metodo deli in vladaj, a to pot z deljenjem na pol, Ker ne gre z velikimi števili, jih razpolovimo: = ( ) + ( ) + (17 56) = (26 54) ( ) (17 56).
49 J.Kozak: PSA II, / 75 Če vsakega od produktov računamo zase, ne bomo ničesar pridobili. Toda (a + b) (c + d) = a c + (a d + b c) + b d in dovolj nam je izračunati le tri produkte in od tod 26 54, 17 76, , ( ) = Razen zadnjega produkta, kjer lahko seštevanje dveh dvomestnih števil da tromestno, imajo faktorji v novih iskanih produktih polovično število decimalk. Pravzaprav velja tako razumeti tudi zadnji produkt. Ker je vodilna, presežna decimalka, kvečjemu 1, množenje z njo opravimo posebej. V gornjem primeru bo to takole =
50 J.Kozak: PSA II, / 75 Za časovno zahtevnost ugotovimo deli je preprost, rešiti je treba tri podprobleme polovične velikosti, združi zahteva konstatno mnogo seštevanj n 2 velikih podproblemov, { b, n = 1, T (n) = 3T ( ) n 2 + bn, n > 1. Torej Karatsuba algoritem (po avtorju) zahteva ( T (n) = Θ n log 3) ( 2 Θ n 1.59) operacij.
51 Množenje celih števil po metodi deli in vladaj J.Kozak: PSA II, / 75 procedure zmnoži(x, y, n, b, p); { Zmnoži dve n mestni števili x in y v bazi b v 2n mestno število p v isti bazi. Po privzetku je število števk potenca števila 2, torej n = 2 k, k IN } begin if n = 1 then p := x y { Tu množimo enomestna števila. } else begin { Deli : vodilnih pol števk posebej, drugih pol posebej. } pol := b n 2 ; xv := x div pol; xp := x mod pol; yv := y div pol; yp := y mod pol; vv := (xv + yv) div pol; vp := (xv + yv) mod pol; pv := (xp + yp) div pol; pp := (xp + yp) mod pol;
52 { Reši podprobleme. } zmnoži(xv, yv, n 2, b, xyv); zmnoži(xp, yp, n 2, b, xyp); zmnoži(vp, pp, n 2, b, vpp); { Dodaj produktu v p sumande, ki jih prinese množenje s premikom. } if (vv 0) and (pv 0) then vpp := vpp + b; if vv 0 then vpp := vpp + pp pol; if pv 0 then vpp := vpp + vp pol; { Določi pravo vrednost mešanega člena. } vpp := vpp xyv xyp; { Združi. } p := xyv pol 2 + vpp pol + xyp end end. J.Kozak: PSA II, / 75
53 Strassenovo množenje matrik Vzemimo matriki B := (b ij ) n i,j=1, C := (c ij) n i,j=1 IRn,n. Običajno množenje ( n A = BC = k=1 b ik c kj)n i,j=1 zahteva Θ ( n 3) operacij. Poizkusimo bločno. ( ) ( ) ( ) A11 A A = 12 B11 B, B = 12 C11 C, C = 12. A 21 A 22 B 21 B 22 C 21 C 22 Zapišimo enačbe za bloke produkta A 11 = B 11 C 11 + B 12 C 21 A 12 = B 11 C 12 + B 12 C 22 A 21 = B 21 C 11 + B 22 C 21 A 22 = B 21 C 12 + B 22 C 22 Pri združevanju rešitev podproblemov potrebujemo matrična seštevanja, za A = B + C zahtevnosti Θ ( n 2). J.Kozak: PSA II, / 75
54 J.Kozak: PSA II, / 75 Če bloke množimo, kot je zapisano, izračun A zahteva osem množenj matrik reda n 2 n 2 in Θ ( n 2) operacij za seštevanje matrik v zduževanju rešitev podproblemov. Torej v konstantah splošnega izreka o zahtevnosti a = 8, c = 2, b > 0, r = 2, q = a c r, ( T (n) = O n log a) ( c = O n log 8) ( 2 = O n 3). Z deli in vladaj nismo uspeli ničesar pridobiti. Očitno moramo prihraniti vsaj eno matrično množenje. Zmnožimo (Strassen) P = (B 11 + B 22 )(C 11 + C 22 ), Q = (B 21 + B 22 )C 11, R = B 11 (C 12 C 22 ), S = B 22 (C 21 C 11 ), T = (B 11 + B 12 )C 22, U = (B 21 B 11 )(C 11 + C 12 ), V = (B 12 B 22 )(C 21 + C 22 ).
55 J.Kozak: PSA II, / 75 Od tod A 11 = P + S T + V A 12 = R + T A 21 = Q + S A 22 = P + R Q + U. Izračun sedaj zahteva sedem matričnih množenj polovičnega reda, zato pa osemnajst seštevanj. O časovni zahtevnosti odločajo konstante a = 7, c = 2, b > 0, r = 2. To da ( T (n) = Θ n log 7) ( 2 Θ n 2.81).
56 Nekaj dopolnil Strassenovo matrično ni asimptotično najhitrejše. Poznamo algoritme, ki z zapletenejšim deljenjem še znižajo red zahtevnosti, a so praktično prezapleteni. Pri Strassenovem množenju lahko zaokrožitvene napake odigrajo večjo vlogo kot pri običajnem. Ključna pri praktični izvedbi algoritma je odločitev, pri kateri velikosti matrik preidemo na običajno množenje. Skrbna praktična izvedba tudi ne zahteva toliko dodatnega prostora kot v formalnem opisu algoritma. Algoritem lahko uporabimo tudi v drugih problemih numerične linearne algebre, npr. v iskanju razcepa A = LUP, kjer je P permutacijska matrika (transponirana k matriki zamenjav stolpcev), L spodnja trikotna in U zgornja trikotna. Red časovne zahtevnosti je enak kot pri množenju dveh matrik. Algoritem, ki danes velja za najučikovitejšega pri računanju lastnih vrednosti tridiagonalnih simetričnih matrik, prav tako temelji na deli in vladaj in bločni delitvi. J.Kozak: PSA II, / 75
57 Hitra diskretna Fourierova transformacija (HFT) Prva motivacija: množenje celih števil. Celo n-mestno število v bazi x ni nič drugega, kot v tej bazi predstavljena vrednost n 1 j=0 a j x j, vrednost polinoma stopnje < n. Produkt dveh števil torej zahteva določitev koeficientov produktnega polinoma, če le zanemarimo prenos, n 1 j=0 n 1 a j x j b k x k = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x +... k=0 2n 2 l = x l a j b l j. l=0 j=0 kjer smo zaporedji a in b dopolnili z ničlami, ( ) ( a = a 0, a 1,..., a n 1, 0, 0,..., 0, b = }{{} n 1 b 0, b 1,..., b n 1, 0, 0,..., 0 }{{} n 1 J.Kozak: PSA II, / 75 ).
58 J.Kozak: PSA II, / 75 Zaporedje koeficientov produkta polinomov c := (c l ) 2n 2 l=0, c l := l a j b l j, l = 0, 1,..., 2n 2, j=0 imenujemo konvolucijo zaporedij a in b, v znakih c = a b. Direktni pristop izračuna c zahteva očitno Θ ( n 2) operacij. Se da konvolucijo zaporedij izračunati hitreje?
59 J.Kozak: PSA II, / 75 Druga motivacija: računanje s krožnimi matrikami. Krožna matrika je matrika, katere elementi se krožno zamikajo v desno, vrstico po vrstico, na primer α 0 α 1 α 2 α 2 α 0 α 1. α 1 α 2 α 0 V splošnem jo določa le n elementov α 0, α 1,..., α n 1. Dogovorimo se, da elemente takšnih matrik štejemo po modulu števila elementov v prvi vrstici. Tako jo lahko zapišemo kot C = C(α) = (α j l ) n 1 l,j=0. Ali lahko matrične operacije s takšnimi posebne vrste matrike opravimo hitreje kot v splošnem primeru?
60 Primitivni koren enote J.Kozak: PSA II, / 75 Privzemimo, da koeficienti, ki v obeh zgledih nastopajo, pripadajo komutativnem kolobarju K z enoto 1. Elementu ω := ω n K, za katerega velja ω r 1, r = 1, 2,..., n 1, ω n = 1, n IN, pravimo primitivni n-ti koren enote. Najbolj znan nam je seveda primer, ko je Koreni enote n 1 j=0 ω jk n = K = C, ω = ω n = e 2π i n, i := 1. 1, ω, ω 2,..., ω n 1 tvorijo ciklično grupo reda n za množenje, z generatorjem ω. Naj n ne deli k Z. Tedaj je ( ) n ωn k 1 ω k n 1 = (ωn n) k 1 ω k n 1 = 0, ker je ω k n 1.
61 J.Kozak: PSA II, / 75 Če je k večkratnik n, je n 1 j=0 ω jk n = n 1 j=0 ( ω k n ) n 1 j = 1 = n. j=0 Naj bo n sod, n = 2r, r IN. Tedaj je ω 2 r r-ti primitivni koren enote. Naj bo n = 2r. Izpeljimo ključno lastnost, ki jo pri HFT uporabimo. Iz ( ) 2 ( ωn j = ω 2j n = ωn 2j+n = ωn 2j+2r = ω j+r n ) 2 sledi ( 0 = ω j+r n ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ωn j = ωn j+r ωn j ωn j+r + ωn j. Prvi faktor ne more biti enak 0, saj ω r n 1. Torej mora biti drugi, ker v K ni deliteljev niča. To pomeni ω j+r 2r = ω j 2r.
62 Diskretna Fourierova transformacija J.Kozak: PSA II, / 75 Naj bo K komutativni kolobar z enoto 1, n IN in ω n K primitivni n-ti koren enote. Vpeljimo diskretno Fourierovo transformacijo F n z F n : K n K n : a = (a k ) n 1 k=0 F n(a) := ( n 1 k=0 a k ω jk n DFT očitno generira množenje vektorja a K n z matriko hkrati pa je tudi ( A n := ω jk n ) n 1 j,k=0, F n(a) = A n a, ) n 1 ( ( )) n 1 n 1 F n (a) = A n a = p ωn j, p(x) := a k x k. j=0 k=0 j=0.
63 J.Kozak: PSA II, / 75 Matrika A n je Vandermondova matrika, generirana s točkami 1, ω n,..., ω n 1 n, zato lahko najdemo njen inverz v zaključeni obliki, Res, 1 ( n ω kl n ) n 1 A 1 n k,l=0 A n = 1 n = 1 n = 1 n ( n 1 k=0 ( n 1 k=0 ( ω kl n ωn jk ωn kl ω k(j l) n ) n 1. k,l=0 ) n 1 j,l=0 ) n 1 j,l=0 = 1 n (nδ j,l) n 1 j,l=0 = I n.
64 Uporaba DFT v izračunu konvolucije zaporedij J.Kozak: PSA II, / 75 Pokažimo, da vprašanje učinkovitega računanja konvolucije zaporedij prenesemo na učinkovitost izračuna DFT. Izrek Naj bosta dana vektorja a = (a 0, a 1,..., a n 1 ) K n in b = (b 0, b 1,..., b n 1 ) K n. Tedaj je a b = F 1 m (F m (a) F m (b)), kjer je m 2n 1 in sta vektorja a in b dopolnjena s potrebnim številom ničel. Operator označuje Hadamardovo množenje po istoležnih komponentah. Dokaz. Najprej ugotovimo n 1 n 1 (F m (a) F m (b)) l = j=0 k=0 a j b k ω (j+k)l m, l = 0, 1,..., m 1.
65 Podobno je (F m (a b) l ) = = m 1 r=0 m 1 j=0 n 1 = j=0 ω rl m m 1 a j r=j m 1 j a j k=0 r a j b r j = j=0 n 1 b r j ωm rl = b k ω (j+k)l m, j=0 m 1 a j r=j b r j ω rl m kjer smo v zadnji vrstici vpeljali sumacijski indeks k := r j. Toda m 1 j 2n 2 j 2n 2 (n 1) = n 1. Ker je b k = 0, k n, lahko zadnjo vsoto zapišemo tudi kot kar smo hoteli pokazati. n 1 n 1 j=0 k=0 a j b k ω (j+k)l m J.Kozak: PSA II, / 75
66 Uporaba DFT v delu s krožnimi matrikami J.Kozak: PSA II, / 75 Pokažimo, da vprašanje učinkovitega računanja s krožnimi matrikami prenesemo na učinkovitost izračuna DFT. Izrek Naj bo C(α) krožna matrika, določena s prvo vrstico α = (α 0, α 1,..., α n 1 ), α i K. Matriko C(α) se da diagonalizirati in velja C(α) = A n Λ(α)A 1 n, kjer je ( A n = ω jk n ) n 1 j,k=0, Λ(α) = diag n 1 j=0 α j ω jk n n 1 k=0.
67 J.Kozak: PSA II, / 75 Dokaz. Produkt l-te vrstice C(α) s k-tim stolpcem A n da n 1 n 1 (C(α)) l (A n ) k = α j l ω jk = ω lk α j l ω (j l)k = j=0 l 1 = ω lk = ω lk = ω lk = ω lk torej C(α)A n = A n Λ(α). j=0 l 1 j=0 n 1 j=n l n 1 j=0 j=0 n 1 α j l ω (j l)k + j=l n 1 l α n+j l ω (n+j l)k + n 1 l α j ω jk + α j ω jk, j=0 α j l ω (j l)k = j=0 α j ω jk = α j ω jk =
68 J.Kozak: PSA II, / 75 S cirkularnimi matrikami znamo učinkovito računati, če vemo, kako učinkovito množiti z matriko A n, ali drugače povedano, če znamo učinkovito izračunati vrednost polinoma p(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 pri n argumentih, korenih enote ωn, j j = 0, 1,..., n 1. Naj bo n = 2r sod. Izkoristimo ω j+r 2r = ω j 2r in delimo polinom na sode in lihe potence, p 1 (x) = a 1 + a 3 x + + a n 1 x r 1, p 2 (x) = a 0 + a 2 x + + a n 2 x r 1, kar da p(x) = xp 1 ( x 2) + p 2 (x 2).
69 J.Kozak: PSA II, / 75 Odtod ( p ( p ωn k ) ω k+r n ) = ω k np 1 ( ω 2k n = ω k+r n p 1 ( = ω k np 1 ( ) ( ) + p 2 ωn 2k, k = 0, 1,..., r 1, ) ( ) n + p 2 ωn 2k+2r = ) ( ) + p 2, k = 0, 1,..., r 1. ω 2k+2r ωn 2k ω 2k n
70 Rekurzivna verzija HFT J.Kozak: PSA II, / 75 procedure hft(n, a, ω n, v); { Procedura izračuna vrednosti v := (v j ) n 1 j=0 polinoma p(x) = a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 s koeficienti a = (a i ) n 1 ( ) i=0 v točkah ωj n, v j := p ωn j, j = 0, 1,..., n 1, kjer je ω n = e 2π i n n-ti primitivni koren enote in n potenca števila 2, n = 2 k, k IN 0. } begin if n = 1 then v 0 := a 0 { Problem je majhen. } else begin { Deli na podproblema. } n r := ; 2
71 for i := n 2 downto 0 step 2 do begin b i 2 := a i; c i 2 := a i+1; end ; { Reši podproblema. } hft(r, b, ωn, 2 vb); hft(r, c, ωn, 2 vc); { Združi rešitvi. } w := 1; for j := 0 to r 1 do begin wvcj := w vc j ; v j := vb j + wvcj; v j+r := vb j wvcj; w := w ω n ; end end end. J.Kozak: PSA II, / 75
72 Iterativna verzija HFT procedure hftiterativno(n, a, v); { Procedura izračuna vrednosti v := (v j ) n 1 j=0 polinoma p(x) = a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 s koeficienti a = (a i ) n 1 ( ) i=0 v točkah ωj n, v j := p ωn j, j = 0, 1,..., n 1, kjer je ω n = e 2π i n n-ti primitivni koren enote in n potenca števila 2, n = 2 k, k IN 0. } begin PrepišiVSodoLihiRedPoBitih(a, v); h := n + 1; m := 1; for nivo := h 1 downto 1 do begin m := 2m; ω m := e 2π i m ; J.Kozak: PSA II, / 75
73 J.Kozak: PSA II, / 75 for k := 0 to n 1 step m do begin w := 1; for j := 0 to m 2 1 do begin wb := v k+j ; wc := w v k+j+ m 2 ; v k+j := wb + wc; v k+j+ m 2 w := w ω m ; end end end end. := wb wc;
74 J.Kozak: PSA II, / 75 procedure PrepišiVSodoLihiRedPoBitih(n, a, v); { Procedura prepiše zaporedje a := (a j ) n 1 j=0 v v zaporedje v := (v j ) n 1 j=0, ki je permutacija prvotnega, razvrščena po sodo-lihem vrstnem redu po bitih v izražavi indeksa, štetih od najmanj pomembnega k najpomembnejšemu (bit-reversal permutation). } begin for k := 0 to n 1 do begin j := ObrniBite(k); v j := a k end end.
75 Časovna zahtevnost HFT J.Kozak: PSA II, / 75 Izrek Časovna zahtevnost algoritmov hft in hftiterativno je T (n) = Θ (n log n). Dokaz. Za hft so konstante v osnovnem izreku a = 2, c = 2, b > 0, r = 1 in trditev je za hft potrjena. Za iterativno verzijo je zahtevnost klica PrepišiVSodoLihiRedPoBitih očitno O (n log n). Jedro najglobje zanke hftiterativno se opravi 1 nivo=h 1 ( n2 nivo h) 2 (h nivo) 1 = n (h 1) = Θ (n log n). 2
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραEnočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραKunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα