ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ POINCARE-BENDIXSON. Κώστα Γεωργία. Επιβλέπων καθηγητής: Ανούσης Μιχαήλ. Εξεταστική επιτροπή: Φελουζής Ευάγγελος. Καραχάλιος Νικόλαος

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ POINCARE-BENDIXSON Κώστα Γεωργία Επιβλέπων καθηγητής: Ανούσης Μιχαήλ Εξεταστική επιτροπή: Φελουζής Ευάγγελος Καραχάλιος Νικόλαος ΣΑΜΟΣ

2 Στους γονείς μου, Στέλλα και Κυριάκο στην αδελφή μου Μαρία.. 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία μελετούμε το Θεώρημα Poincaré-Bendixson. Αρχικά σε ένα εισαγωγικό κεφάλαιο υπενθυμίζουμε βασικές έννοιες και παρουσιάζουμε ορισμένα σημαντικά θεωρήματα τα οποία αφορούν Γραμμικούς τελεστές. Εισάγουμε κάποιες έννοιες στα Γραμμικά συστήματα και τους τελεστές καθώς επίσης παρουσιάζουμε και την πρωταρχική ανάλυση τελεστών δίνοντας το αντίστοιχο Θεώρημα. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την ανάλυση S + N. Στο επόμενο κεφάλαιο, μελετούμε διάφορα είδη γραμμικών ροών της μορφής e tα και ιδιαίτερα τις συστολές. Επίσης παρουσιάζουμε τις συστολές και τα αναπτύγματα καθώς επίσης σε επόμενο στάδιο μελετούμε και υπερβολικές ροές της μορφής e tα οι οποίες χαρακτηρίζονται από την προϋπόθεση ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος. Παραδείγματα τέτοιων ροών είναι οι συστολές και οι expansions. Έτσι η ποιοτική περιγραφή της συμπεριφοράς της είναι πολύ απλή. Επιπλέον εισάγουμε την έννοια του τελεστή στον R n. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε το θεώρημα Poincare-Bendixson ένα πολύ βασικό εργαλείο κατανόησης επίπεδων δυναμικών συστημάτων. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ 7 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 1.1 Γραμμικά συστήματα και κανονικές μορφές τελεστών Απλή ανάλυση Η ανάλυση S + N Μηδενοδύναμη κανονική μορφή πινάκων Πίνακες Jordan και Real Canonical forms Κανονικές μορφές και Διαφορίσιμες εξισώσεις Υψηλής τάξης γραμμικές εξισώσεις Τελεστές σε διανυσματικούς χώρους 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΣΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 2.1 Δίνη Πηγή Ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Υπερβολική Ροή Γενικές ιδιότητες τελεστών Η σημασία της Generecity 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ POINCARE-BENDIXSON 3.1 Oριακά Σύνολα Τοπικά τμήματα Μονότονες Ακολουθίες σε επίπεδα Δυναμικά Συστήματα Το θεώρημα Poincaré-Bendixson Εφαρμογές θεωρήματος Poincaré-Bendixson 55 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 60 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ 4

5 Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Στο σημείο αυτό νιώθω την ανάγκη να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στους ανθρώπους που συνετέλεσαν στην πραγματοποίησή της. Θέλω να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στον επιβλέποντα καθηγητή μου, κύριο Ανούση Μιχαήλ, Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου, ο οποίος στάθηκε δίπλα μου σε όλα τα στάδια αυτής της εργασίας, από την πρόταση του θέματός της μέχρι την παρουσίασή της. Χωρίς τις χρήσιμες συμβουλές του, τις υποδείξεις του και τη συνεχή συμπαράστασή και βοήθεια του, θα ήταν αδύνατον να ολοκληρωθεί αυτή η εργασία. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τα μέλη της επιτροπής κρίσης της εργασίας μου, τον κύριο Φελουζή Ευάγγελο, Επίκουρο καθηγητή του Πανεπιστημίου Αιγαίου καθώς επίσης και τον κύριο Καραχάλιο Νικόλαο, καθηγητή του Πανεπιστημίου Αιγαίου, που δέχτηκαν να αφιερώσουν κάποιο από τον πολύτιμο χρόνο τους για την αξιολόγηση της εργασίας. Θέλω να ευχαριστήσω το διδακτικό και διοικητικό προσωπικό του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου για τη βοήθεια και την υποστήριξη που μου προσέφεραν σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω με όλη μου την καρδιά, τους γονείς μου, Στέλλα και Κυριάκο, την αδελφή μου, Μαρία, για την αγάπη, την δύναμη, το θάρρος και τη συμπαράστασή που μου έδιναν καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Το λιγότερο που μπορώ να κάνω είναι να τους αφιερώσω αυτή την εργασία. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 6

7 1.1 Εισαγωγικές έννοιες Σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο θα ορίσουμε βασικές έννοιες οι οποίες θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια. Ακολούθως παρουσιάζουμε ορισμένες βασικές έννοιες στα Γραμμικά συστήματα και τους τελεστές καθώς επίσης παρουσιάζουμε και την πρωταρχική ανάλυση τελεστών δίνοντας το αντίστοιχο Θεώρημα. Στη συνέχεια εισάγουμε την ανάλυση S + N. Αναλύουμε την μηδενοδύναμη κανονική μορφή η οποία καθορίζεται μοναδικά από τον πίνακα T. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τους πίνακες Jordan και πραγματικές κανονικές μορφές. Επίσης σε επόμενο εδάφιο αναφέρουμε κανονικές μορφές και διαφορικές εξισώσεις όπου έχοντας την διαφορική εξίσωση x = Αx, Α L(R n ) μπορούμε να βρούμε την εκθετική μορφή της λύσης της. Σε επόμενο εδάφιο θα παρουσιάσουμε Υψηλής τάξης γραμμικές εξισώσεις της μορφής: s (n) + a 1 s (n 1) + + a n s = 0 καθώς επίσης παρουσιάζουμε τελεστές σε διανυσματικούς χώρους. Ορίζουμε αρχικά την έννοια του εσωτερικού γινομένου και αναφέρουμε και τις ιδιότητες του, επίσης δίνουμε τον ορισμό της νόρμας και ακολούθως ορίζουμε και άλλες σημαντικές έννοιες τις οποίες θα χρειαστούμε σε επόμενα κεφάλαια. Ορισμός. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα F(R ή C). Μια συνάρτηση, : V V F ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο αν για κάθε x, y, z V έχουμε: x, y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Η Ευκλείδεια νόρμα του x είναι: x = x, x 12 = (x x n 2 ) 12. Ιδιότητες Εσωτερικού γινομένου: a) x, x 0, x, x = 0 x = 0 b) x + y, z = x, z + y, z, ax, y = a x, y, a R c) x, y = y, x Μια σημαντική ανισότητα είναι η Ανισότητα Cauchy-Schwarz: x, y x y. Ορισμός: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα F(R ή C). Μια συνάρτηση ονομάζεται νόρμα διανυσμάτων αν για κάθε x, y V ικανοποιεί τα ακόλουθα: 7 : V R

8 (a) x 0, x = 0 x = 0, (b) x + y x + y, (c) ax = a x, a R. Όπου a η απόλυτη τιμή του a. Ακολούθως αποδεικνύουμε την σχέση (b) χρησιμοποιώντας την Cauchy- Schwarz και την σχέση (b) από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου προκύπτει: x + y 2 x 2 + y x y x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + y x, y το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Cauchy. Γεωμετρικά x είναι το μήκος του διανύσματος x και έχουμε: x, y = x y cosθ, όπου θ η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα x, y. Η απόσταση ανάμεσα σε δυο σημεία x, y R n ορίζεται να είναι: x y = d(x, y). Τότε είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι: x y 0 και x y = 0 x = y x z x y + y z. Η τελευταία ανισότητα προκύπτει σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα αν εφαρμόσουμε: x z = (x y) + (y z). Εάν ε > 0, ε γειτονιά για ένα σημείο x R n ορίζεται να είναι: B ε (x) = {y R n y x < ε}. Δίνουμε τώρα τους ορισμούς για τις ακόλουθες έννοιες. Ορισμός 1. Ένα σύνολο X είναι ανοικτό αν και μόνο αν για κάθε x X υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B ε (x) X. Ορισμός 2. Μια ακολουθία {x k } = x 1, x 2, στον R n συγκλίνει(έχει όριο) στο y R n εάν: lim k x k y = 0. Ισοδύναμα, κάθε γειτονιά του y περιέχει άπειρο αριθμό σημείων της ακολουθίας. Ορίζουμε y = lim k x k ή x k y. Εάν x k = (x k1,, x kn ) και y = (y 1,, y n ) τότε {x k } συγκλίνει στο y αν και μόνο αν: y j = lim k x kj, j = 1,, n. Μια ακολουθία που έχει όριο λέγεται συγκλίνουσα ακολουθία. Μια ακολουθία {x k } στο R n λέγεται ακολουθία Cauchy εάν: 8

9 ε > 0, k 0 : x j x k < ε εάν k k 0, j k 0. Μια βασική ιδιότητα στον R n είναι η πληρότητα. Ένας χώρος λέγεται πλήρης αν και μόνο αν κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει. Ορισμός 3. Ένα υποσύνολο Y R n είναι κλειστό αν κάθε ακολουθία σημείων του Y συγκλίνει τότε θα συγκλίνει και στο Y. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι Y κλειστό αν το συμπλήρωμα του είναι ανοιχτό. Έστω X R n και μια απεικόνιση f: X R m είναι συνεχής εάν για κάθε ακολουθία {x k } στον X τέτοια ώστε: lim x = y X το οποίο ισχύει εάν lim f(x ) = f(y). k k k k Ορισμός 4. Ένα σύνολο D λέγεται πυκνό στον X αν x X, ε > 0, y D: d(x, y) < ε. Ορισμός 5. Ένα υποσύνολο X R n είναι φραγμένο εάν υπάρχει a > 0 τέτοιο ώστε X B a (0). Ορισμός 6. Ένα υποσύνολο X είναι συμπαγές εάν κάθε ακολουθία στον X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία η οποία συγκλίνει σε σημείο στον X. Τότε το βασικό Θεώρημα Bolzano-Weierstrass μας λέει ότι ένα υποσύνολο στον R n είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Έστω K R n συμπαγές και f: K R m είναι μια συνεχής απεικόνιση. Τότε f(k) συμπαγές. Επίσης κάθε συνεχής απεικόνιση f: K Rπου ορίζεται σε ένα συμπαγές σύνολο K έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 1.1 Γραμμικά συστήματα και κανονικές μορφές τελεστών Θα εισάγουμε κάποιες αρχικές έννοιες όσον αφορά τα γραμμικά συστήματα και τις κανονικές μορφές τελεστών τις οποίες θα μελετήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο. Θα μελετήσουμε λύσεις της διαφορικής εξίσωσης x = Αx, Α L(Ε), Ε = R n (1) με την ανάλυση του τελεστή Α, με τελεστές σε συγκεκριμένη απλή μορφή. Αρχικά θα αναλύσουμε τον διανυσματικό χώρο Ε σε ευθύ άθροισμα: Ε = Ε 1 Ε 2 Ε r και τον Α σε ευθύ άθροισμα ως: Α = Α 1 Α 2 Α r, Α k L(Ε k ). Κάθε Α k μπορεί να γραφεί ως άθροισμα: Α k = S k + N k, S k, N k L(E k ), όπου S k ένας διαγωνοποιήσιμος και N k ένας μηδενοδύναμος πίνακας (τέτοιος ώστε (N k ) m = 0 για κάποιο m). Επίσης S k και N k αντιμετατίθενται, αυτό ανάγει την σειρά e tα σε ένα άπειρο άθροισμα το οποίο είναι εύκολο να υπολογιστεί. Οι λύσεις για το σύστημα στην σχέση (1) μπορούν να υπολογιστούν για οποιοδήποτε πίνακα Α. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το μηδενοδύναμο μέρος για 9

10 οποιονδήποτε τελεστή T μπορούμε να πάρουμε τους πίνακες Jordan σε ένα πραγματικό διανυσματικό χώρο. Επίσης θα μελετήσουμε τις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης x = Αx για τις οποίες θα μελετηθεί η κανονική μορφή του πίνακα Α και θα παρατηρήσουμε ότι όλες οι λύσεις είναι γραμμικοί συνδυασμοί απλών συναρτήσεων. Ορισμός. Θεωρούμε ένα ανοικτό διάστημα I του R και x: I R, t x(t) μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επίσης θεωρούμε f: R R, x f(x) μια πραγματική συνάρτηση. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό x για το σύμβολο της παραγώγου dx. Επίσης θεωρούμε f: R R, x f(x) μια πραγματική dt συνάρτηση. Έτσι έχουμε την διαφορική x = f(x) όπου x είναι η άγνωστη συνάρτηση του t και f είναι η δοθείσα συνάρτηση του x. Τότε μπορούμε να θεωρήσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών: Η διαφορική εξίσωση λέγεται αυτόνομη διότι η συνάρτηση f δεν εξαρτάται από το t. x = f(x) x(t 0 ) = x 0. Θεώρημα. Ύπαρξη και Μοναδικότητα λύσεων. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με διαφορικές εξισώσεις της παρακάτω μορφής: x: I R n.mια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι λύση της εξίσωσης (1) στο διάστημα I εάνx (t) = f(x(t)), t I. Πολλές φορές ενδιαφερόμαστε για μια μερική λύση της (1) η οποία σε κάποια χρονική στιγμή t 0 I παίρνει την τιμή x 0, δηλαδή θέλουμε: x = f(x) με x(t 0 ) = x 0 (2) Η εξίσωση (2) αναφέρεται σαν πρόβλημα αρχικής τιμής και κάθε λύση της ονομάζεται λύση που διέρχεται από το σημείο x 0 την χρονική στιγμή t 0. Επειδή η διαφορική εξίσωση είναι αυτόνομη, μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι t 0 = 0. Ροή διαφορικής εξίσωσης. Για διάφορες αρχικές συνθήκες x 0 R n, αν η συνάρτηση f C 1 (R, R), υπάρχει μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για κάθε x 0. Η οικογένεια των μοναδικών λύσεων της εξίσωσης x = f(x) που αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες x 0 συμβολίζεται με φ(t, x 0 ) στο [0, ) δηλαδή η λύση υπάρχει ολικά ως προς τον χρόνο. Παρατήρηση. C 0 (R, R): το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων f: R R. C n (R, R):το σύνολο όλων των διαφορίσιμων συναρτήσεων με συνεχείς παραγώγους μέχρι και τάξης n. 10

11 Ορισμός. Για κάθε t [0, ) η απεικόνιση: φ: R n R n x 0 φ(t, x 0 ) = x(t), λέγεται C1 δυναμικό σύστημα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω υποθέσεις: (i)φ(0, x 0 ) = x 0 (ii)φ(t + s, x 0 ) = φ(t, φ(s, x 0 )) (iii)φ(t, x 0 )είναιc 1, t [0, )(iii)φ(t, x 0 )είναιc 1, t [0, ) και φ( t, x 0 )είναιc 1, t [0, ) η αντίστροφη απεικόνιση της. 1.2 Πρωταρχική ανάλυση Στο παρόν εδάφιο θα παρουσιάσουμε την πρωταρχική ανάλυση τελεστών μέσα από τα ακόλουθα θεωρήματα τα οποία θα χρησιμοποιούμε σε διάφορα προβλήματα. Θεώρημα 1. Έστω ένας τελεστής T σε ένα μιγαδικό διανυσματικό χώρο Ε ή διαφορετικά Ε πραγματικός διανυσματικός χώρος και T τελεστής με πραγματικές ιδιοτιμές. Τότε το Ε μπορεί να γραφεί ως ευθύ άθροισμα γενικευμένων ιδιόχωρων του T. Η διάσταση κάθε γενικευμένου ιδιόχωρου ισούται με την αντίστοιχη πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. Μπορούμε να δούμε την σημασία της ανάλυσης. Υποθέτουμε αρχικά ότι έχουμε μια ιδιοτιμή πολλαπλότητας n = dime. Το θεώρημα λέει ότι ο διανυσματικός χώρος Ε γράφεται ως E = E(T, λ). Αν πάρουμε N = T λi, S = λi. Τότε προφανώς T = N + S και ισχύει NS = SN. Επιπλέον S ένας διαγώνιος πίνακας και N μηδενοδύναμος για τον E = E(T, λ) = kern n. Έτσι μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το εξής: e T = e S e N = e λ n 1 N k k=0. k! Παράδειγμα. Έστω T = [ 1 1 ], τότε μπορούμε να δούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: p(t) = 1 3 t 2 4t + 4 = (t 2) 2. 11

12 Άρα η ιδιοτιμή είναι ίση με 2 και έχει πολλαπλότητα 2. Τότε S = [ ] και N = [ 1 ]. Μπορούμε να δούμε ότι ο πίνακας N προκύπτει χρησιμοποιώντας τον S και είναι μηδενοδύναμος τάξης 2 τέτοιος ώστε N 2 = 0. Γι αυτό τον λόγο: e T = e S e N = e 2 (I + N) = e 2 [ ] = [ 0 e2 e 2 2e 2 ]. Γενικότερα, e tt = e ts e tn = e 2t (I + tn) = e 2t [ 1 2t t t 1 + t ]. Έτσι χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο μπορούμε να λύσουμε το σύστημα x = Tx. Στην γενική περίπτωση T k = T E(λ k, T). Τότε παίρνουμε T = T 1 T 2 T r, όπου για κάθε T k έχουμε μόνο μια ιδιοτιμή λ k και έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα. Τότε, T k = S k + N k, S k, N k L(E(λ k, T)), όπου S k = λ k I και N k = T k S k μηδενοδύναμος τάξης n k. Τότε T = S + N, όπου S = S 1 S r N = N 1 N r. Eίναι προφανές ότι SN = NS και επιπλέον ο πίνακας N είναι μηδενοδύναμος και ο S διαγωνοποιήσιμος. Αν πάρουμε m = max(n 1,, n r ) τότε N m = (N 1 ) m (N r ) m = 0 και ο πίνακας S διαγωνοποιείται από μια βάση του E η οποία αποτελείται από τις κάθετες βάσεις για τους γενικευμένους ιδιόχωρους. Θεώρημα 2. Έστω T L(E) όπου E μιγαδικός, αν ο T έχει μη πραγματική ιδιοτιμή. Τότε T = S + N όπου SN = NS με S διαγωνοποιήσιμος και N μηδενοδύναμος. Μια εφαρμογή του παραπάνω θεωρήματος παρουσιάζουμε στο ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω T L(R 3 ) ένας τελεστής για τον οποίο έχουμε τον αντίστοιχο πίνακα T 0 = [ ]. Θα αναλύσουμε τον T 0 για να λύσουμε την διαφορική εξίσωση x = T 0 x. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τον πίνακα T 0 το οποίο μπορεί να προκύψει από την κύρια διαγώνιο εφόσον ο πίνακας μας δίνεται σε άνω τριγωνική μορφή, p(t) = (t + 1) 2 (t 1) έτσι οι ιδιοτιμές είναι 1 με πολλαπλότητα 2 και η ιδιοτιμή 1 με πολλαπλότητα 1. Τότε ο δισδιάστατος γενικευμένος ιδιόχωρος για την ιδιοτιμή 1 παράγεται από τα διανύσματα: a 1 = (1,0,0) και a 2 = (0,1,0) αυτό μπορούμε να το δούμε άμεσα από τις πρώτες δυο στήλες του πίνακα T 0. Ο μονοδιάστατος γενικευμένος ιδιόχωρος για +1 είναι η λύση του χώρου για το σύστημα εξισώσεων: (T 0 1)x = 0 ή ισοδύναμα έχουμε τον πίνακα: 12

13 x [ ] [ x 2 ] = 0 όπου μπορούμε να πάρουμε το διάνυσμα a 3 = (0,2,1) x 3 Έστω Β την βάση {a 1, a 2, a 3 } στον R 3. Έστω T = S + N σύμφωνα με το Θεώρημα 2. Ο πίνακας του S ως προς την βάση B είναι: S 1 = [ 0 1 0] όπου ακολουθεί τις ιδιοτιμές του πίνακα T ως 1, 1,1. Έστω S 0 ο πίνακας του Sως προς την βάση S 1. Τότε S 1 = PS 0 P 1 όπου P ο αντίστροφος πίνακας με στήλες a 1, a 2, a 3. Τότε (P 1 ) t = [ 0 1 0], P 1 = [ 0 1 2], P = [ 0 1 2] Γι αυτό τον λόγο S 0 = P 1 S 1 P. Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δίνει: S 0 = [ 0 1 4]. Μπορούμε να βρούμε τον πίνακα N 0 του N N 0 = T 0 S 0 = [ ] [ 0 1 4] = [ ] Έτσι έχουμε υπολογίσει τους πίνακες S, N και είναι εύκολο να δειχθεί ότι N 2 = 0 και SN = NS. Θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του πίνακα e S χωρίς να υπολογίσουμε τον πίνακα e S 0 κατευθείαν από τον ορισμό, χρησιμοποιώντας πεπερασμένες σειρές ως ακολούθως: e exp(s 0 ) = exp(p 1 S 1 P) = P 1 exp(s 1 )P = [ 0 1 2] [ 0 e 1 2] [ 0 1 2] e e Όπου αποδεικνύεται ότι είναι: exp(s 0 ) = [ 0 e 1 2e 1 + 2e]. 0 0 e Είναι εύκολο να υπολογίσουμε το exp(n 0 ) τέτοιο ώστε: exp(n 0 ) = I + N 0 = [ ] Και τελικά προκύπτει: exp(t 0 ) = exp(s 0 + N 0 ) = exp(s 0 )exp(n 0 ) το οποίο μας δίνει: e 1 e 1 2e 1 exp(t 0 ) = [ 0 e 1 2e 1 + 2e]. 0 0 e Επίσης δεν είναι δύσκολο τώρα να υπολογίσουμε e tt 0, t R. Αντικαθιστούμε το T 0, S 0, N 0 με tt 0, ts 0, tn 0 αντίστοιχα, τότε παίρνουμε: 13

14 e t t 2t e t te t 2te t exp(tt 0 ) = exp(ts 0 )exp(tn 0 ) = [ 0 e t 2e t + 2e t ] [ ] = [ 0 e t 2e t + 2e t ]. Και έτσι 0 0 e t e t η λύση του συστήματος x = T 0 x δίνεται από τον εκθετικό όρο exp(tt 0 ). Θεώρημα 3. Έστω Α ένας τελεστής σε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο. Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο p(t) = n k=0 a k t k,τότε p(α) = 0 και έχουμε n a k Α k (x) = 0, x Ε. Απόδειξη. Από το βιβλίο Differential equations, Dynamical systems and Linear Algebra, Morris W. Hirsch/Stephen Smale. Chapter 6. Linear systems and Canonical forms of operators. Par.1, Theorem 3. k=0 1.3 Η ανάλυση S + N Έστω T ένας τελεστής στο R n και T C : C n C n η μιγαδικοποίηση του. Εάν T C διαγωνοποιήσιμος τότε λέμε ότι ο Τ είναι διαγωνοποιήσιμος. Θεώρημα 1. Για οποιονδήποτε τελεστή Τ L(R n ) υπάρχουν μοναδικοί τελεστές S, Nστο R n τέτοιοι ώστε T = S + N,SN = NS όπου S διαγωνοποιήσιμος και N μηδενοδύναμος. Απόδειξη. Έστω σ: C n C n ένας τελεστής και ο συζυγής του αν z = x + iy C n όπου x, y R n τότε σz = x iy. Ένας τελεστής Q στο C n είναι η μιγαδικοποιησή του σε ένα τελεστή στο R n αν και μόνο αν Qσ = σq. Δοθέντος T L(R n ) τότε T C L(C n ) είναι η μιγαδικοποίηση του. Από το Θεώρημα 2 στο Εδάφιο 1.1 οι τελεστές S 0, N 0 στο C n είναι μοναδικοί τέτοιοι ώστε: T C = S 0 + N 0, S 0 N 0 = N 0 S 0, S 0 διαγωνοποιήσιμος και N 0 μηδενοδύναμος. Λέμε ότι S 0, N 0 οι μιγαδικοί τελεστές στο R n, αυτό αποδεικνύεται αν χρησιμοποιήσουμε το τελεστή σ ως ακολούθως. Παίρνουμε S 1 = σs 0 σ 1, N 1 = σn 0 σ 1. Τότε, T C = σt C σ 1 = S 1 + N 1. Μπορούμε να δούμε ότι S 1 διαγωνοποιήσιμος και N 1 μηδενοδύναμος, τότε S 1 N 1 = N 1 S 1. Γι αυτό τον λόγο S 0 = S 1 και N 0 = N 1. Αυτό σημαίνει ότι S 0 και N 0 μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας το τελεστή σ. Υπάρχουν μοναδικοί τελεστές S, N στο L(R n ) τέτοιοι ώστε: S 0 = S C, N 0 = N C. Τότε παίρνοντας την απεικόνιση Α Α C, προκύπτει το ακόλουθο:sn = NS για (SN NS) C = S 0 N 0 N 0 S 0 = 0. Με ανάλογο επιχείρημα προκύπτει ότι N μηδενοδύναμος και επίσης T = S + N. Η μοναδικότητα των S, N είναι σύμφωνα με την μοναδικότητα των S 0, N 0. 14

15 Ορισμός. Ο τελεστής S λέγεται διαγωνοποίησιμο μέρος του τελεστή T και ο τελεστής N μηδενοδύναμο μέρος. Έστω T = S + N από το παραπάνω Θεώρημα 1. Τότε S C είναι διαγωνοποιήσιμος σε μια βάση Β του R n η οποία περιγράφεται παρακάτω και S έχει ένα πίνακα της μορφής: λ 1 L = [ λ r [ a 1 b 1 b 1 a 1 ] [ a s b s b s a s ] ], όπου λ 1, λ r πραγματικές ιδιοτιμές του πίνακα T και οι μιγαδικοί αριθμοί a k + ib k, k = 1,, s οι μιγαδικές ιδιοτιμές με θετικό φανταστικό μέρος. Να σημειώσουμε επίσης ότι T, T C, S C, S έχουν ίδιες ιδιοτιμές. Ο εκθετικός πίνακας tl, t R είναι εύκολος να υπολογιστεί ως: exp [ ta tb tb ta ] = costb sintb eta [ sintb costb ]. Απόδειξη. Θεωρούμε τον πίνακα [ a b 0 b ] ο οποίος μπορεί να γραφεί και ως [a ] + [0 b a 0 a b 0 ] παίρνουμε τώρα τον εκθετικό πίνακα: expt [ a b b a ] = et[ a 0 0 a ] e t[0 b b 0 ] = e t[a 0 0 a ] e ([1 0 b ]+[0 0 1 b 0 ]+ 1 2! [ b2 0 0 b 2]+ 1 3! [ 0 b3 b 3 0 ])t+ +tbkt k! [ ], k = 0,1,. x j (t) y j (t) righ e at tk k! L j kcosbt M j k sinbt e at tk k! M j kcosbt + L j k sinbt righ ( ) 15

16 Η βάση Β δίνει στον S τον πίνακα L ο οποίος δίνεται ως εξής: τα πρώτα r διανύσματα στην βάση Β προέρχονται από τους γενικευμένους ιδιόχωρους του πίνακα T με πραγματικές ιδιοτιμές. Ακολούθως τα 2s διανύσματα με φανταστικό και πραγματικό μέρος των βάσεων για τους γενικευμένους ιδιόχωρους του T C είναι ανάμεσα στις ιδιοτιμές a + ib, b > 0. Με αυτό τον τρόπο ο εκθετικός όρος e tt μπορεί να υπολογιστεί για οποιονδήποτε τελεστή T όπου οι ιδιοτιμές για τον πίνακα T είναι γνωστές. Παράδειγμα. Έστω T L(R 4 ) ένας τελεστής για τον οποίον ο πίνακας: T 0 = [ ] Στο C 4 ο γενικευμένος i ιδιόχωρος είναι λύση του χώρου: (T 0 i) 2 z = 0, διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε: 2z 1 2iz 2 = 0 2iz 1 2z 2 = 0 2z 1 2z 3 + 2iz 4 = 0 4iz 1 2z 2 2iz 3 2z 4 = 0 Ισοδύναμα έχουμε: z 1 = iz 2 z 3 + iz 4 = iz 2 Μπορούμε να πάρουμε τα διανύσματα: u = (i, 1,0,1), v = (i, 1, i, 0). Έτσι παίρνουμε το φανταστικό και πραγματικό μέρος ως: Iu = (1,0,0,0) = e 1 Ru = (0,1,0,1) = e 2 Iv = (1,0, 1,0) = e 3 Rv = (0,1,0,0) = e 4. Αυτά διανύσματα μπορούν να διαταχθούν σε μια βάση Β του R 4. Αυτή η βάση δίνει για τον S τον πίνακα [ 0 1 S 1 = [ 1 0 ] [ 0 1 ]. 1 0 ] Τότε: S 0 = P 1 S 1 P όπου P 1 είναι ο αντίστροφος πίνακας των στοιχείων της βάσης Β τέτοιος ώστε: P = [ ] και P = [ ]. Τότε S = [ ] Ο πίνακας: N 0 = T 0 S 0 = [ ] [ ] = [ ], είναι μηδενοδύναμος τάξης 2. 16

17 Έτσι exp(tt 0 ) = exp(tn 0 + ts 0 ) = exp(tn 0 )exp(ts 0 ) = (I + tn 0 )Pexp(tS 1 )P 1. cost Όπου έχουμε exp(ts 1 ) = [ sint sint cost cost sint ]. sint cost Τότε κάνοντας πράξεις προκύπτει ότι: cost sint cost sint 0 0 sint cost exp(tt 0 ) = [ ] 0 0 cost tsint sint tcost tcost + sint tsint + cost tcost sint tsint cost 1.4 Μηδενοδύναμη κανονική μορφή πινάκων Στο προηγούμενο Εδάφιο είδαμε ότι ο τελεστής T μπορεί να γραφεί ως: T = S + N όπου ο πίνακας S είναι διαγωνοποιήσιμος και ο πίνακας N μηδενοδύναμος καθώς επίσης ισχύει: SN = NS. Στο παρόν εδάφιο θα δούμε ότι μπορούμε να βρούμε την κανονική μορφή για τον πίνακα S όπου καθορίζεται μοναδικά από τον πίνακα T εκτός από την τάξη των διαγώνιων blocks. Στην μιγαδική περίπτωση για παράδειγμα S = diag{λ 1, λ 2,, λ n } όπου λ 1,, λ n ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για τον πίνακα T μαζί με τις πολλαπλότητες για κάθε ιδιοτιμή, θα δείξουμε πως μπορούμε να βρούμε την μορφή του πίνακα N. Επίσης θα δείξουμε ότι για οποιονδήποτε μηδενοδύναμο τελεστή ο πίνακας ορίζεται μοναδικά από τον τελεστή (εκτός από την τάξη των διαγώνιων blocks). Τότε για οποιονδήποτε τελεστή θα μπορούμε να βρούμε τα Jordan blocks. Ένα στοιχειώδης μηδενοδύναμο block είναι ένας πίνακας της μορφής: 0 [ 1 ] (1) 1 0 Εάν N: E E ένας τελεστής αντικαθίσταται από ένα πίνακα με βάσεις e 1,, e n τότε ο πίνακας N με στοιχεία της βάσης συμπεριφέρεται ως ακολούθως: N(e 1 ) = e 2 N(e 2 ) = e 3 N(e n 1 ) = e n N(e n ) = 0. Τότε είναι προφανές ότι: N n (e k ) = 0, k = 1,, n τότε N n = 0. Έτσι ο πίνακας N είναι μηδενοδύναμος τάξης n. Επιπλέον N k 0 εάν 0 k < n τότε N k e 1 = e k+1 0. Παρουσιάζουμε τώρα ένα σχετικό θεώρημα το οποίο παρατίθεται χωρίς απόδειξη. 17

18 Θεώρημα 1. Έστω N ένας μηδενοδύναμος τελεστής σε ένα πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο E. Τότε ο διανυσματικός χώρος E έχει μια βάση δοθέντος του πίνακα N της μορφής: Α = diag{α 1,, Α r } όπου Α j ένα στοιχειώδης μηδενοδύναμο block και το μήκος του block Α k είναι μη αύξουσα συνάρτηση του k. Οι πίνακες Α 1,, Α r ορίζονται μοναδικά από τον τελεστή N. Θα λέμε ότι αυτός ο πίνακας είναι η κανονική μορφή του πίνακα N. Έστω Α ένα στοιχειώδης μηδενοδύναμος πίνακας. Τότε είναι προφανές ότι η τάξη του πίνακα Α είναι n 1 και έτσι dimkerα = Πίνακες Jordan και Πραγματικές κανονικές Μορφές Πινάκων Θεωρούμε έναν τελεστή T στον διανυσματικό χώρο Ε έχοντας μόνο μια ιδιοτιμή λ, εάν λ μη πραγματική ιδιοτιμή τότε υποθέτουμε ότι Ε μιγαδικός διανυσματικός χώρος. Στην παράγραφο 1.2 είδαμε ότι T = λi + N όπου N ένας μηδενοδύναμος πίνακας. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα που παρουσιάσαμε στο Εδάφιο 1.4 και παίρνουμε στον E μια βάση Β = {e 1,, e n } όπου ο πίνακας N δίνει ένα πίνακα Α σε μηδενοδύναμη κανονική μορφή. Τότε ο πίνακας Α είναι το ευθύ άθροισμα διαγώνιων blocks όπου κάθε ένα αποτελεί ένα μηδενοδύναμο πίνακα λi + Α και έχει την μορφή: [ λ [ 1 ] 1 λ λ [ 1 ] 1 λ λ 1 [ ] 1 λ ] Έτσι τα blocks που σχηματίζονται λέγονται στοιχειώδης Jordan πίνακες ή στοιχειώδης λ blocks. Πρόταση. Στην πραγματική κανονική μορφή ενός τελεστή T σε ένα πραγματικό διανυσματικό χώρο ο λ αριθμός των blocks της μορφής:( 1 λ )είναι διάστασης, dimker(t λ). 1 λ 1.6 Κανονικές μορφές και Διαφορίσιμες εξισώσεις Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: 18

19 x = Αx, Α L(R n ). (1) Υποθέτουμε ότι ο πίνακας Α είναι ένας Jordan πίνακας λ block όπου λ R τέτοιος ώστε: λ [ 1 1 λ 0 ], ο πίνακας Α μπορεί να γραφεί και ως εξής: Α = λ + Ν όπου Ν = [ 1 ], τότε 1 0 μπορούμε να βρούμε την εκθετική μορφή της λύσης για την σχέση (1) με αρχική τιμή x(0) = C R n η οποία είναι: n 1 x(t) = e tα C = e λt e tn C = [e tλ tk N k ] C = e tλ k! k=0 j 1 t k k! 1 t 1 t 2 2! t 2 2! t n 1 [(n 1)! C 1 [ C t 1 n ] ] Σε συντεταγμένες έχουμε: x j (t) = e λt k=0 C j k. (2) Να σημειώσουμε επίσης ότι, τα παραγοντικά μπορούν να απορροφηθούν στις σταθερές. Αντιθέτως υποθέτουμε ότι, λ = a + ib, b 0 και ο πίνακας Α είναι το πραγματικό λ block τέτοιο ώστε:. [ D I I a b 0 ], όπου D = [ ], I = [1 b a 0 1 ]. D Έστω m ο αριθμός των blocks του πίνακα D τέτοιο ώστε: n = 2m. Η λύση της σχέσης (1) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας εκθετικά. Θεωρούμε την εξίσωση: z = Bzz: R C m (3) είναι μια άγνωστη απεικόνιση και B ένας μιγαδικός m m πίνακας τέτοιος ώστε: μ 1 [ ], μ = a + ib. 1 μ Εμείς θα ορίσουμε το C m ως R 2m με την αντιστοιχία: (x 1 + iy 1,, x m + iy m ) = (x 1, y 1,, x m, y m ). Η λύση για την διαφορική εξίσωση στην σχέση (3) τυπικά είναι ίδια με την σχέση (2) με μια αλλαγή στον j 1 t k συμβολισμό: z j (t) = e μt k=0 C k! j k, j = 1,, m. (4) 19

20 Θέτουμε C k = L k + im k, k = 1,, m και παίρνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της σχέσης (4) έχουμε την ταυτότητα: e t(a+ib) = e at (cosbt + isinbt) και παίρνουμε: x j (t) = e at y j (t) = e at j 1 t k k=0 j 1 k=0 [L k! j kcosbt M j k sinbt] t k [M. (5) k! j kcosbt + L j k sinbt] j = 1,, m Και έτσι παίρνουμε την λύση για την σχέση (1) με αρχικές συνθήκες: x j (0) = L j, y j (0) = M j. Να σημειώσουμε επίσης ότι οι παραστάσεις στην σχέση (5) είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης στην σχέση (1). Σε αυτό το σημείο δεν μας ενδιαφέρουν τόσο οι τύποι στις σχέσεις (2) και (5) όσο η ακόλουθη παρατήρηση: Εάν λ είναι πραγματικός αριθμός τότε κάθε συντεταγμένη x j (t) για οποιανδήποτε λύση της σχέσης (1) είναι γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων: e λt t k,. k = 0,, n. (6) Εάν λ = α + ib, b 0, n = 2m τότε η συντεταγμένη x j (t) για οποιαδήποτε λύση της σχέσης (1) είναι γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων: e at t k cosbt,. e at t k sinbt0 k m. Θεώρημα 1. Έστω Α L(R n ) και έστω x(t) η λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx. Τότε κάθε συντεταγμένη x j (t) είναι γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων t k e ta cosbt, t l e ta sinbt όπου a + bi τρέχει ανάμεσα σε όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα Α με b 0 και k, l μικρότερα από το μήκος του μεγαλύτερου λ block στην κανονική μορφή του πίνακα Α. Να σημειώσουμε επίσης ότι εάν ο πίνακας A έχει πραγματικές ιδιοτιμές τότε οι συναρτήσεις εμφανίζονται όπως αυτές στο Θεώρημα περιλαμβάνοντας και την μορφή t k e ta. Αυτό το αποτέλεσμα δεν λέει ποιες είναι οι λύσεις της σχέσης (1) αλλά μας λέει την μορφή που έχουν. Παρουσιάζουμε τώρα το ακόλουθο θεώρημα το οποίο αποτελεί μια τυπική και πολύ σημαντική εφαρμογή του Θεωρήματος 1. Θεώρημα 2. Εάν κάθε ιδιοτιμή του πίνακα Α L(R n ) έχει αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε lim t x(t) = 0 για κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx. Απόδειξη. Αυτό είναι άμεσο του Θεωρήματος 1, όπου έχουμε τις ανισότητες: 20

21 cosbt 1, sinbt 1 και ισχύει lim t t k e ta = 0 k εάν a < 0. Το αντίστροφο του θεωρήματος 2 δίνεται στο επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 3. Εάν κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx τείνει στο 0 καθώς το t τότε κάθε ιδιοτιμή του πίνακα Α έχει αρνητικό πραγματικό μέρος. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι μ = a + ib είναι μια ιδιοτιμή με a 0. Τότε από την σχέση (5) παίρνουμε μια λύση (με κατάλληλες συντεταγμένες): x 1 (t) = e at cosbt y 1 (t) = e at sinbt, το οποίο δεν τείνει στο 0 καθώς το t. x j (t) = y j (t) = 0, j 1 Ένα ανάλογο επιχείρημα με την απόδειξη του Θεωρήματος 2 παρουσιάζεται στο ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 4. Εάν κάθε ιδιοτιμή του πίνακα Α L(R n ) έχει θετικό πραγματικό μέρος τότε lim t x(t) = για κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx. Θεώρημα 5. Εάν Α L(R n ) τότε οι συντεταγμένες για κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx είναι απείρως διαφορίσιμες συναρτήσεις. Αυτό το θεώρημα αποτελεί πόρισμα του Θεωρήματος Υψηλής τάξης γραμμικές εξισώσεις Θεωρούμε την μονοδιάστατη n τάξης ομογενή γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές: s (n) + a 1 s (n 1) + + a n s = 0. (1) Να σημειώσουμε επίσης ότι s: R R είναι μια άγνωστη συνάρτηση όπου a 1,, a n σταθερές και s (k) η k οστή παράγωγος του s. Πρόταση 1. (α) Ο γραμμικός συνδυασμός λύσεων της σχέσης (1) είναι πάλι λύση. (β) Η λύση που αντιστοιχεί στην παράγωγο της σχέσης (1) αποτελεί και αυτή λύση. 21

22 Απόδειξη. Ο γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων f 1,, f m με κοινό πεδίο ορισμού και με τιμές σε ένα κοινό διανυσματικό χώρο μας βοηθούν να ορίσουμε την συνάρτηση f(x) = c 1 f 1 (x) + + c m f m (x) όπου c 1,, c m είναι σταθερές. Έτσι για το (α) έχουμε ότι εάν s 1 (t),, s m (t) λύσεις της σχέσης (1) και c 1,, c n σταθερές, τότε c 1 s 1 (t),, c m s m (t) είναι επίσης λύση σύμφωνα με την γραμμικότητα των παραγώγων. Τώρα το (β) είναι άμεσο από την παραγώγιση και στα δυο μέλη της σχέσης (1) εφόσον ξέρουμε ότι είναι n + 1 φορές παραγωγίσιμη. Για να το αποδείξουμε αυτό, θεωρούμε το ισοδύναμο γραμμικό σύστημα: x 1 = x 2 x n 1 = x n (2) x n = a n x 1 a n 1 x 2 a 1 x n Εάν s λύση για την σχέση (1) τότε, x = (s, s',, s (n 1) ) είναι μια λύση για την σχέση (1). Κάθε λύση του συστήματος (2) έχει παραγώγους όλων των τάξεων. Ο πίνακας συντελεστών του γραμμικού συστήματος στη σχέση (2) είναι ένας n n πίνακας της μορφής: 0 1 [ ]. (3) 0 1 a n a 2 a 1 Ένας πίνακας αυτής της μορφής λέγεται companion matrix για το πολυώνυμο: p(λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n. (4) Πρόταση 2. Έστω λ C μια πραγματική ή μιγαδική ιδιοτιμή του companion matrix Α. Τότε η πραγματική κανονική μορφή του πίνακα Α έχει μόνο ένα λ block. Απόδειξη. Θεωρούμε τον Α ως ένα τελεστή στο C n. Ο αριθμός των λ blocks είναι ίσος με: dimker(α λ), θεωρώντας ker(α λ) μιγαδικός διανυσματικός χώρος. Τότε οι πρώτες n στήλες του πίνακα (Α λ) για έναν (n 1) n πίνακα: [ λ 1 λ, όπου έχει τάξη (n 1). λ 1 λ 1 ] Τότε (Α λ) έχει τάξη n ή n 1, όμως η ιδιοτιμή λ έχει τάξη n. Έτσι (Α λ) έχει τάξη n και έτσι ker(α λ) έχει διάσταση 1. 22

23 Ορισμός. Μια βάση των λύσεων για την γραμμική εξίσωση στην σχέση (1) είναι ένα σύνολο λύσεων s 1,, s m τέτοια ώστε κάθε λύση να εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των s 1,, s m με μοναδικό τρόπο. Θεώρημα. Οι ακόλουθες n συναρτήσεις αποτελούν βάση για την γραμμική εξίσωση στην σχέση (1): (α) η συνάρτηση t k e tλ όπου λ τρέχει ανάμεσα σε πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου στην σχέση (4) και k ένας μη αρνητικός ακέραιος με τον περιορισμό 0 k < από την πολλαπλότητα του λ και, (β) συναρτήσεις της μορφής: t k e at cosbt και t k e at sinbt όπου a + bi τρέχει ανάμεσα σε μιγαδικές ρίζες στην σχέση (4) όπου b > 0 και k ένας μη αρνητικός ακέραιος με τον περιορισμό 0 k < από την πολλαπλότητα του a + bi. Απόδειξη. Θα καλούμε τις συναρτήσεις της παραπάνω πρότασης βασικές συναρτήσεις. Αυτό προκύπτει από το Θεώρημα 1 στο Εδάφιο 1.6 για κάθε λύση του γραμμικού συνδυασμού βασικών συναρτήσεων. Η απόδειξη για κάθε βασική συνάρτηση θα δοθεί σε επόμενο Εδάφιο. Από την Πρόταση 1 που παρουσιάσαμε παραπάνω η λύση για την γραμμική εξίσωση στην σχέση (1) είναι ακριβώς γραμμικοί συνδυασμοί βασικών συναρτήσεων. Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε λύση είναι μοναδικός γραμμικός συνδυασμός βασικών συναρτήσεων. Να σημειώσουμε επίσης ότι υπάρχουν ακριβώς n συναρτήσεις για το (α) και (β): όπου ο αριθμός των συναρτήσεων είναι ίσος με το άθροισμα της πολλαπλότητας για τις πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p(λ), προσθέτοντας δυο φορές το άθροισμα για τις πολλαπλότητες μιγαδικών ριζών με θετικά και φανταστικά μιγαδικά μέρη. Για τις μη πραγματικές ρίζες παίρνουμε τα συζυγή μέρη και τότε το ολικό άθροισμα για τις πολλαπλότητες όλων των ριζών είναι n. Ορίζουμε την γραμμική απεικόνιση φ: R n R n ως ακολούθως. Έστω f 1,, f n διατεταγμένες βασικές συναρτήσεις. Για κάθε a = (a 1, a 2,, a n ) R n, έστω s a (t) μια λύση τέτοια ώστε:s a = n j=1 a j f j. Ορίζουμε, φ(a) = (s a (0), s a (0),, s a (n 1)(0)) R n. Είναι εύκολο να δούμε ότι η φ είναι μια γραμμική απεικόνιση. Επιπλέον η φ είναι επί αφού για κάθε (a 0,, a n 1 ) R n υπάρχει μια λύση s τέτοια ώστε: s(0) = a 0,, s (n 1) (0) = a n 1, s = s a για κάποιο a. (5) Ακολούθως εφόσον η φ είναι επί, τότε κάθε λύση s είναι μοναδικός γραμμικός συνδυασμός βασικών συναρτήσεων, εάν s a = s b τότε φ(a) = φ(b) και έτσι a = b. Έτσι ολοκληρώνουμε την απόδειξη. Παράδειγμα. Θεωρούμε την εξίσωση: s 4 + 4s 3 + 5s 2 + 4s + 4s = 0. (6) 23

24 Τότε οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 4 + 4λ 3 + 5λ 2 + 4λ + 4 είναι 2, 2, i, i. Γι αυτό τον λόγο η γενική λύση είναι της μορφής: s(t) = Ae 2t + Bte 2t + Ccost + Dsint όπου A, B, C, D αυθαίρετες σταθερές. (7) Για να βρούμε την λύση δίνουμε τις αρχικές συνθήκες, έστω: s(0) = 0 s (0) = 1 s 2 (0) = 4 s 3 (0) = 14. (8) Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι: s(0) = A + C = 0 s (0) = 2A + B + D = 1 s 2 (0) = 4A 4B C = 4 s 3 (0) = 8A + 12B D = 14. Η μοναδική λύση του παραπάνω συστήματος είναι: A = C = 0, B = 1, D = 2. Γι αυτό τον λόγο από τις σχέσεις (6) και (8) και αντικαθιστώντας στην σχέση (7) παίρνουμε: s(t) = te 2t 2sint. 1.8 Τελεστές σε Διανυσματικούς χώρους Θα αναφερθούμε σε μια διαφορετική προσέγγιση της εξίσωσης: s (n) + a 1 s (n 1) + + a n s = 0, s: R R (1) Έστω F το σύνολο όλων των απειρα παραγωγίσιμων συναρτήσεων: R R(μπορούμε να πάρουμε και την απεικόνιση R C) το σύνολο F όμως δεν είναι πεπερασμένης διάστασης. Έστω D: F F ορίζει έναν διαφορικό τελεστή τέτοιο ώστε: Df = f όπου D ένας γραμμικός τελεστής. Να σημειώσουμε επίσης ότι κάποιοι τελεστές στο σύνολο F : (α) Είτε πολλαπλασιάζουν την συνάρτηση f με μια σταθερά λ η οποία δηλώνεται απλά με λ, για παράδειγμα: 1f = f, 0f = 0. (β) Είτε πολλαπλασιάζουν την συνάρτηση με μια συνάρτηση i(t) = t. 24

25 Έτσι είναι προφανές ότι μπορούν να προκύψουν και άλλοι τελεστές με την σύνθεση(πολλαπλασιασμός, διαφορά, άθροισμα, διαίρεση) σταθερών. Για παράδειγμα, D 2 : F F αντιστοιχεί την συνάρτηση f ως εξής: D(Df) = D(f ) = f'' ανάλογα και D n : F F όπου αντιστοιχεί στην n οστή παράγωγο. Ο τελεστής D λ αντιστοιχεί στην συνάρτηση f λf. Γενικότερα έστω το πολυώνυμο p(t) = t n + a 1 t n a n 1 t + a n το οποίο μπορεί να οριστεί και ως τελεστής: p(d) = D n + a 1 D n a n 1 D + a n το οποίο αντιστοιχεί στην συνάρτηση: f n + a 1 f (n 1) + + a n 1 f + a n. Επίσης το παραπάνω μπορεί να διατυπωθεί και ως ακολούθως: βρείτε τον πυρήνα για τον τελεστή p(d) και έτσι αυτός ο τρόπος θεώρησης των πραγμάτων προτείνει νέους τρόπους χειρισμού υψηλής τάξης διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε p(λ) = q(λ)r(λ). Τότε είναι προφανές ότι: kerr(d) kerp(d), επιπλέον kerq(d) kerp(d) και rq = qr. Επιπρόσθετα εάν f kerq(d), g kerr(d) τότε f + g kerp(d). Τώρα θα δώσουμε την ακόλουθη απόδειξη: εάν (t λ) m διαιρεί το p(t) και τότε t k e tλ kerp(d), 0 k m 1. Αρκεί να δείξουμε ότι: (D λ) k+1 t k e tλ = 0, k = 0,1,. (2) Να σημειώσουμε επίσης ότι: D(e tλ ) = λe tλ ή ισοδύναμα, (D λ)(e tλ ) = 0. Επομένως μπορούμε να πάρουμε την ακόλουθη εξίσωση ανάμεσα στους τελεστές: Dt td = 1 (αυτό σημαίνει ότιd(tf) tdf = f σύμφωνα με τον τύπο Leibniz). Επίσης, (D λ)t t(d λ) = 1. Τότε μπορούμε να πάρουμε το ακόλουθο (D λ)t k t k (D λ) = kt k 1, k = 1,2,. Γι αυτό τον λόγο (D λ)t k+1 (t k e tλ ) = (D λ) k (D λ)(t k e tλ ) = (D λ) k ((t k (D λ) + kt k 1 )e tλ ) k(d λ) k (t k 1 e tλ ). Τότε η σχέση (2) αποδείχθηκε από την υπόθεση στο k. Εάν λ ένας μιγαδικός αριθμός και p(d) με μιγαδικούς συντελεστές τότε η απόδειξη είναι ίδια με την παραπάνω χωρίς καμία αλλαγή. Εάν τώρα το p(d) έχει πραγματικούς συντελεστές αλλά λ = a + ib μη πραγματική ρίζα τότε και το πραγματικό αλλά και το φανταστικό μέρος στον όρο t k e tλ εκμηδενίζεται(annihilated) από το p(d). Αυτό μας δείχνει ότι, t k e at costb, t k e at sintb είναι στοkerp(d). 25

26 Παρατήρηση (τύπος Leibniz). Με την σημειογραφία Leibniz μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f στο a ως εξής: dy dx x=a = dy (a). Στον συμβολισμό του Leibniz γίνεται σαφές ως προς ποιά dx μεταβλητή γίνεται η παραγώγιση (στον παρονομαστή). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 2.0 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διάφορα είδη γραμμικών ροών της μορφής e tα και ιδιαίτερα τις συστολές. Χαρακτηριστική ιδιότητα για μια γραμμική ροή είναι πως κάθε τροχιά συγκλίνει στο μηδέν καθώς το t. Ισοδύναμα, μπορούμε να πούμε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Στο παρόν εδάφιο θα παρουσιάσουμε τις συστολές και expansions καθώς επίσης σε επόμενο στάδιο θα μελετήσουμε και υπερβολικές ροές της μορφής e tα οι οποίες χαρακτηρίζονται από την προϋπόθεση ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος. Παραδείγματα τέτοιων ροών είναι οι συστολές και οι expansions. Έτσι η ποιοτική περιγραφή της συμπεριφοράς της είναι πολύ απλή. Επιπλέον σε 26

27 ένα τρίτο μέρος θα εισάγουμε την έννοια του τελεστή στον R n. Αυτό δείχνει ότι η ημιαπλότητα (semisimple) είναι μια γενική ιδιότητα καθώς επίσης και η δημιουργία υπερβολικών ροών είναι και αυτό μια γενική ιδιότητα των τελεστών. 2.1 Δίνη Πηγή(Sink-Source) Υποθέτουμε ότι η κατάσταση ορισμένων «φυσικών» (ή μηχανικών, βιολογικών, οικονομικών κλπ) συστημάτων ορίζεται από τις τιμές n παραμέτρων όπου ο χώρος καταστάσεων είναι ένα ανοιχτό σύνολο U με U R n. Υποθέτουμε ότι η συμπεριφορά του δυναμικού συστήματος περιγράφεται από ένα μαθηματικό μοντέλο όπου η λύση του δίνεται από την διαφορική εξίσωση: x = f(x), f: U R n. (1) Εμάς μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των τροχιών στα σημεία ισορροπίας. Θεωρούμε x ~ U ένα σημείο ισορροπίας το οποίο δεν αλλάζει με το πέρασμα του χρόνου, αυτό σημαίνει ότι καθώς το t x ~ δίνει μια λύση για την διαφορική εξίσωση στην σχέση (1) ή ισοδύναμα μπορούμε να γράψουμεf(x ~ ) = 0. Τότε λέμε ότι x ~ U είναι ένα σημείο ισορροπίας για την διαφορική εξίσωση στη σχέση (1) τέτοιο ώστε f(x ~ ) = 0. Από φυσική άποψη μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε μόνο τα σημεία ισορροπίας. Για παράδειγμα στο μαθηματικό εκκρεμές το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία έχουμε ότι η παραμικρή διαταραχή θα αλλάξει εντελώς τη συμπεριφορά του. Μια τέτοια ισορροπία είναι ασταθής. Από την άλλη αν η πτωτική κατάσταση(downward rest position) ισορροπίας του εκκρεμούς είναι σταθερή τότε το εκκρεμές θα ταλαντεύεται γύρω από το σημείο ισορροπίας του και θα το προσεγγίζει πάλι. Εμείς θα δώσουμε έμφαση στα Γραμμικά συστήματα και θα επικεντρωθούμε στο απλούστερο και πιο σημαντικό είδος σταθερής ισορροπίας. Θεωρούμε τη γραμμική διαφορική εξίσωση: x = Αx, Α L(R n ). (2) Tο σημείο 0 είναι δίνη(sink) εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος διαφορετικά εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν θετικό πραγματικό μέρος τότε έχουμε πηγή(source). Επίσης λέμε ότι η γραμμική ροή e tα είναι μια συστολή(contraction) και expansion αντίστοιχα. Ακολούθως δίνουμε το σχετικό θεώρημα. Θεώρημα 1. Έστω Α ένας τελεστής σε ένα διανυσματικό χώρο Ε. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η αρχή των αξόνων αποτελεί δίνη(sink) για το δυναμικό σύστημα x = Αx. (β) Για οποιαδήποτε νόρμα στο Ε υπάρχουν σταθερές k > 0, b > 0 τέτοιες ώστε: e tα x ke tb x, t 0, x Ε. (γ) Υπάρχει b > 0 και μια βάση Β του Ε όπου η αντίστοιχη νόρμα της ικανοποιεί την σχέση: 27

28 e tα x Β ke tb x Β, t 0, x Ε. Απόδειξη. Έχουμε: (γ) (β) από την ισοδυναμία της νόρμας, (α) (β) σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, και (β) (α) σύμφωνα με το Θεώρημα 3 στο Εδάφιο 1.6. Μένει να δείξουμε ότι (α) (γ) το οποίο προκύπτει από το ακόλουθο Λήμμα. Έτσι σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα παρουσιάζουμε και το ακόλουθο λήμμα. Λήμμα. Έστω Α ένας τελεστής σε ένα πραγματικό διανυσματικό χώρο Ε και υποθέτουμε ότι: α < Reλ < β (3) για κάθε ιδιοτιμή λτου πίνακα Α. Να σημειώσουμε επίσης ότι με Rλ συμβολίζουμε το πραγματικό μέρος της ιδιοτιμής λ. Τότε έχουμε ότι ο διανυσματικός χώρος Ε έχει μια βάση ώστε για το αντίστοιχο εσωτερικό γινόμενο και την αντίστοιχη νόρμα να ισχύει: α x 2 Αx, x β x 2, x Ε. (4) Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα, μπορούμε να κάνουμε μια εκτίμηση για τις λύσεις του γραμμικού συστήματος x = Αx. Έστω (x 1,, x n ) συντεταγμένες στον διανυσματικό χώρο Ε οι οποίες αντιστοιχούν στην βάση Β σύμφωνα με την σχέση (4) και προκύπτει: x(t) = (x 1 (t),, x n (t)) να αναπαριστά μια λύση της διαφορικής εξίσωσης x = Αx. Έτσι για τη νόρμα και το εσωτερικό γινόμενο που ορίζονται από την βάση Β έχουμε ότι: d dt x = d dt [ (x j) 2 ] 12 = x jx j [ (x j ) 2 ] 12. Τότε: d x,x x = dt x = x,αx. x Γι αυτό τον λόγο χρησιμοποιώντας την ανίσωση στην σχέση (4) προκύπτουν οι ακόλουθες ανισώσεις: α ddt x x β, ή ισοδύναμα μπορεί να γραφεί ως: α d log x β. dt Ολοκληρώνοντας την παραπάνω ανίσωση ως προς t προκύπτει: αt log x(t) log x(0) βt, και τότε παίρνουμε: αt log x(t) log x(0) βt, ή ισοδύναμα, eat x(0) x(t) e βt x(0). 28

29 Αν πάρουμε για β = b < 0 τότε οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν πραγματικό μέρος μικρότερο από b. Τώρα θα αποδείξουμε την δεύτερη ανισότητα της σχέσης (4). Έστω c R τέτοιο ώστε: Reλ < c < β για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα Α. Αρχικά υποθέτουμε ότι ο πίνακας Α είναι ημιαπλός. Τότε το R n μπορεί να γραφεί σαν ευθύ άθροισμα ως ακολούθως: R n = Ε 1 Ε 2 Ε r F 1 F 2 F s, όπου Ε j ένα μονοδιάστατο υποσύνολο που παράγεται από ένα ιδιοδιάνυσμα e j του πίνακα Α σύμφωνα με την πραγματική ιδιοτιμή λ j, και κάθε F k είναι ένα δισδιάστατο αναλλοίωτο υποσύνολο του Α, με βάσεις {f j, g j } δεδομένου Α F k του πίνακα: [ a k b k b k ], όπου a a k + ib k είναι k μια ιδιοτιμή του πίνακα Α. Έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις: λ j < c, a k < c. Επειδή βρισκόμαστε στον R n το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως: e j, e j = f k, f k = g k, g k = 1 και όλα τα υπόλοιπα εσωτερικά γινόμενα e j, f k, g k είναι ίσα με 0. Τότε παίρνοντας το γινόμενο προκύπτει: Αe j, e j = λ j < c και Αf k, f k = a k < c, έτσι μπορούμε εύκολα να δούμε ότι: Αx, x c x 2, x R n. Έστω Α ένας τελεστής και παίρνουμε μια βάση στον R n τέτοια ώστε ο πίνακας Α να είναι στην κανονική του μορφή ως: Α = diag{α 1,, Α p } όπου Α j έχει την ακόλουθη μορφή: Α j = a j 1 [ 1 a j] (5) ή ισοδύναμα: Α j = [ D j I I, D j = [ a k β k ], I = [ 1 0 ]. (6) β k a k 0 1 D j] Αν πάρουμε ένα υποσύνολο Ε j του Ε, τότε ο αντίστοιχος πίνακας Α j της βάσης ικανοποιεί τον πίνακα Α j του λήμματος και έτσι όλες οι βάσεις μαζί πληρούν τις υποθέσεις του λήμματος για τον πίνακα Α, γι αυτό τον λόγο θεωρούμε ότι ο πίνακας Α είναι ένας απλός πίνακας. Επίσης τον πίνακα στην σχέση (5) μπορούμε να τον γράψουμε και ως το άθροισμα Α = S + N όπου S είναι ο πίνακας a j I και N ο ακόλουθος πίνακας: N = ] [ Τότε τα διανύσματα της βάσης {e 1, e 2,, e n } είναι ιδιοδιανύσματα του S, ενώ έχουμε ότι: 29

30 Νe 1 = e 2. Νe n 1 = e n, Νe n = 0 Έστω ε > 0 ένας πολύ μικρός αριθμός και θεωρούμε μια νέα βάση τέτοια ώστε: 1 Β ε = {e 1, 1 e ε 2,, e ~ ~ ε n} = {e n 1 1,, en }. Τώρα η σύνθεση των ιδιοδιανυσμάτων του S με την καινούργια βάση Β ε είναι η εξής: Νe ~ ~ 1 = εe 2 Νe ~ ~. n 1 = εe n, Νe ~ n = 0 Έτσι ο πίνακας Α που προκύπτει σύμφωνα με την βάση Β ε είναι ο ακόλουθος: [ a j ε..... ε a j]. (7) Έστω x, y ε ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο σύμφωνα με την βάση Β ε. Είναι προφανές από την σχέση (7) ότι: Αx,x ε x,x ε Sx,x x 2 καθώς το ε 0. Γι αυτό τον λόγο εάν το ε είναι αρκετά μικρό τότε η βάση Β ε ικανοποιεί τον πίνακα στην σχέση (5) του Λήμματος. Τώρα θα αποδείξουμε το λήμμα χρησιμοποιώντας το αριστερό μέλος της ανισότητας (4). Έστω c R τέτοιο ώστε: a < c < Reλ για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα Α. Αρχικά υποθέτουμε ότι ο πίνακας Α είναι ημιαπλός. Τότε το R n μπορεί να γραφεί σαν ευθύ άθροισμα ως ακολούθως: R n = Ε 1 Ε 2 Ε r F 1 F 2 F s, όπου Ε j ένα μονοδιάστατο υποσύνολο που παράγεται από ένα ιδιοδιάνυσμα e j του πίνακα Α σύμφωνα με την πραγματική ιδιοτιμή λ j, και κάθε F k είναι ένα δισδιάστατο αναλλοίωτο υποσύνολο του Α, με βάσεις {f j, g j } δεδομένου Α F k του πίνακα: [ a k 30 b k b k ], όπου a a k + ib k είναι k μια ιδιοτιμή του πίνακα Α. Έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις: λ j > c, b k > c. Επειδή βρισκόμαστε στον R n το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως: e j, e j = f k, f k = g k, g k = 1 και όλα τα υπόλοιπα εσωτερικά γινόμενα e j, f k, g k είναι ίσα με 0. Τότε παίρνοντας το γινόμενο προκύπτει: Αe j, e j = λ j > c και Αf k, f k = b k > c, έτσι μπορούμε εύκολα να δούμε ότι: Αx, x c x 2, x R n. Έστω Α ένας τελεστής και παίρνουμε μια βάση στον R n τέτοια ώστε ο πίνακας Α να είναι στην κανονική του μορφή ως: Α = diag{α 1,, Α p } όπου Α j έχει την ακόλουθη μορφή:

31 Α j = a j 1 [ 1 a j] (5 ) ή ισοδύναμα: Α j = [ D j I I, D j = [ a k β k ], I = [ 1 0 ]. (6 ) β k a k 0 1 D j] Αν πάρουμε ένα υποσύνολο Ε j του Ε, τότε ο αντίστοιχος πίνακας Α j της βάσης ικανοποιεί τον πίνακα Α j του λήμματος και έτσι όλες οι βάσεις μαζί πληρούν τις υποθέσεις του λήμματος για τον πίνακα Α, γι αυτό τον λόγο θεωρούμε ότι ο πίνακας Α είναι ένας απλός πίνακας. Επίσης τον πίνακα στην σχέση (5) μπορούμε να τον γράψουμε και ως το άθροισμα Α = S + N όπου S είναι ο πίνακας a j I και N ο ακόλουθος πίνακας: N = ] [ Τότε τα διανύσματα της βάσης {e 1, e 2,, e n } είναι ιδιοδιανύσματα του S, ενώ έχουμε ότι: Νe 1 = e 2. Νe n 1 = e n, Νe n = 0 Έστω ε > 0 ένας πολύ μικρός αριθμός και θεωρούμε μια νέα βάση τέτοια ώστε: 1 Β ε = {e 1, 1 e ε 2,, e ~ ~ ε n} = {e n 1 1,, en }. Τώρα η σύνθεση των ιδιοδιανυσμάτων του S με την καινούργια βάση Β ε είναι η εξής: Νe ~ ~ 1 = εe 2 Νe ~ ~ n 1 = εe n Νe ~ n = 0. Έτσι ο πίνακας Α που προκύπτει σύμφωνα με την βάση Β ε είναι ο ακόλουθος: [ a j ε..... ε a j]. (7 ) 31

32 Έστω x, y ε ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο σύμφωνα με την βάση Β ε. Είναι προφανές από την σχέση (7 ) ότι: Αx,x ε x,x ε Sx,x x 2 καθώς το ε 0. Γι αυτό τον λόγο εάν το ε είναι αρκετά μικρό τότε η βάση Β ε ικανοποιεί τον πίνακα στην σχέση (5) του Λήμματος. Έτσι σε αυτό το σημείο ολοκληρώνεται η απόδειξη. Η ποιοτική συμπεριφορά μιας ροής κοντά σε μια δίνη έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Υποθέτουμε ότι 0 R n αποτελεί δίνη για το γραμμικό σύστημα της διαφορικής εξίσωσης: x = f(x). Θεωρούμε την σφαίρα: S a = {x R n x = a}, a > 0, όπου x είναι η νόρμα η οποία προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο σύμφωνα με το Θεώρημα που παρουσιάσαμε παραπάνω. Τότε εφόσον x(t) έχει αρνητικές παραγώγους, οι τροχιές όλων των σημείων είναι όπως το ακόλουθο σχήμα: Να σημειώσουμε επίσης ότι το παραπάνω ισχύει για σφαίρες με την συγκεκριμένη νόρμα, υπάρχουν όμως περιπτώσεις με διαφορετική νόρμα στις οποίες δεν ισχύει. Η γραμμική ροή e tα σε μια συστολή είναι ένα expansion όπου η αρχή λέγεται πηγή για κάθε ιδιοτιμή του πίνακα Α με θετικό πραγματικό μέρος. Το ακόλουθο θεώρημα είναι ανάλογο του Θεωρήματος 1 που είχαμε παρουσιάσει παραπάνω. Θεώρημα 2. Εάν Α L(Ε), τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Η αρχή των αξόνων αποτελεί πηγή (source) για το δυναμικό σύστημα x = Α(x). (β) Για οποιαδήποτε νόρμα στον διανυσματικό χώρο Ε, υπάρχουν σταθερές L > 0, a > 0 τέτοια ώστε: e tα x Le ta x, t 0, x Ε. 32

33 (γ) Υπάρχει a > 0 και μια βάση Β του Ε όπου οι αντίστοιχες νόρμες ικανοποιούν την σχέση: e tα x Β e ta x, t 0, x Ε. Η απόδειξη του θεωρήματος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1 και το Λήμμα που είχαμε παρουσιάσει παραπάνω. 2.2 Ροή μιας Διαφορικής εξίσωσης Στο παρόν εδάφιο θα θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: x = f(x) (1) όπου f μια C 1 συνάρτηση τέτοια ώστε f: W E, W E ανοιχτό σύνολο. Τότε y W υπάρχει μοναδική λύση φ(t) με φ(0) = y ορίζεται σε ένα μέγιστο ανοιχτό διάστημα J(y) R. Για να δείξουμε την εξάρτηση του φ(t) στο y μπορούμε να γράψουμε ότι φ(t) = φ(t, y). Έτσι φ(0, y) = y Έστω Ω R W και το ακόλουθο σύνολο: Ω = {(t, y) R W t J(y)}. Η απεικόνιση (t, y) φ(t, y) είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε φ: Ω W. Έτσι ονομάζουμε ροή την εξίσωση στην σχέση (1). Παράδειγμα. Έστω f(x) = Ax, A L(E). Τότε φ t (x) = e ta x. Δίνουμε τώρα τα ακόλουθα Θεωρήματα. Θεώρημα 1. Έστω f(x) μια C 1 συνάρτηση. Έστω y(t) μια λύση της διαφορικής εξίσωσης x = f(x) η οποία ορίζεται στο διάστημα [t 0, t 1 ] με y(t 0 ) = y 0. Τότε υπάρχει μια γειτονιά U E του y 0 και μια σταθερά K τέτοια ώστε εάν z 0 U υπάρχει μοναδική λύση z(t) η οποία επίσης ορίζεται στο διάστημα [t 0, t 1 ] με z(t 0 ) = z 0 και ικανοποιεί την σχέση y(t) z(t) y 0 z 0 exp(k(t t 0 )), t [t 0, t 1 ]. Θεώρημα 2. Ω είναι ένα ανοιχτό σύνολο στο R W και φ: Ω W μια συνεχής απεικόνιση. Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι Ω ένα ανοιχτό σύνολο, έστω (t 0, x 0 ) Ω. Υποθέτουμε ότι t0 0(για t 0 < 0 γίνεται με ανάλογο τρόπο). Τότε η λύση της καμπύλης t φ(t, x 0 ) ορίζεται στο [0, t 0 ] και τότε έχουμε το διάστημα [ ε, t 0 + ε], ε > 0. Από το παραπάνω Θεώρημα που παρουσιάσαμε θα υπάρχει μια γειτονιά U W του x 0 τέτοια ώστε η λύση t φ(t, x) να ορίζεται στο διάστημα [ ε, t 0 + ε], x στο U. Έτσι 33

34 ( ε, t 0 + ε) U Ω, το οποίο αποδεικνύει ότι το Ω είναι ανοιχτό σύνολο. Για να δείξουμε τώρα ότι φ: Ω W είναι μια συνεχής συνάρτηση στο (t 0, x 0 ) παίρνουμε το σύνολο U και την σταθερά ε όπως παραπάνω. Θα πρέπει να υποθέσουμε επίσης ότι U είναι ένα συμπαγές σύνολο ως προς την κλειστότητα τέτοιο ώστε U W. Επιπλέον η συνάρτηση f είναι τοπικά Lipschitz και το σύνολο A = φ([ ε, t 0 + ε] U) είναι συμπαγές τότε θα υπάρχει μια σταθερά Lipschitz K για την f A. Έστω M = max{ f(x) : x A}. Έστω δ > 0 το οποίο ικανοποιεί την σχέση δ < ε και εάν x 1 x 0 < δ τότε x 1 U. Υποθέτουμε t 1 t 0 < δ, t 1 t 0 < δ. Τότε φ(t 1, x 1 ) φ(t 0, x 0 ) φ(t 1, x 1 ) φ(t 1, x 0 ) + φ(t 1, x 0 ) φ(t 0, x 0 ). Το δεύτερο μέρος της παραπάνω ανισότητας στα δεξιά τείνει στο 0με το δ εφόσον η λύση μέσω του x τείνει στο t. Το πρώτο μέρος στα δεξιά της ανισότητας είναι φραγμένο από δe Kδ το οποίο επίσης τείνει στο 0 με το δ. Ορισμός. Θα λέμε ότι μια συνάρτηση f: Ω R ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz ως προς y, όταν υπάρχει σταθερά K > 0 έτσι ώστε για κάθε (x, y 1 ) Ω, (x, y 2 ) Ω,, να ισχύει: f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) < K y 1 y 2. (1) Παρατήρηση. Η κλάση των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη συνθήκη (1) εισήχθη το 1876 από το Γερμανό μαθηματικό Rudolf Lipschitz ( ) και η σταθερά Kονομάζεται σταθερά του Lipschitz. 2.3 Υπερβολική Ροή Εκτός από τις συστολές και τα expansions μιας γραμμικής ροής e tα έχουμε και την υπερβολική ροή, όπου όλες οι ιδιοτιμές έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος. Οι υπερβολικές ροές έχουν τα πιο απλά πορτραίτα φάσεων. Η σημασία τους πηγάζει από το γεγονός ότι σχεδόν όλες οι γραμμικές ροές είναι υπερβολικές. Στη συνέχεια δίνουμε και το σχετικό Θεώρημα. Θεώρημα. Έστω e tα μια υπερβολική γραμμική ροή και Α L(Ε). Τότε ο διανυσματικός χώρος Ε είναι το ευθύ άθροισμα, Ε s, Ε u είναι αναλλοίωτοι από τον Α, Ε = Ε s Ε u αναλλοίωτο στον Α, τέτοιο ώστε η επαγόμενη ροή στον Ε s είναι μια συστολή και η επαγόμενη ροή στον Ε u είναι ένα expansion. Αυτή η ανάλυση είναι μοναδική. 34

35 Απόδειξη. Παίρνουμε στον Ε μια βάση του γράφοντας τον πίνακα Α στην κανονική του μορφή. Παίρνουμε τις διατεταγμένες βάσεις τέτοιες ώστε η κανονική μορφή του πίνακα να αποτελείται από ένα block όπου θα αντιστοιχεί στις ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος και ένα block το οποίο θα αντιστοιχεί στις ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος. Έτσι το πρώτο block ιδιοτιμών αναπαριστά τον πρώτο περιορισμό του πίνακα Α όπου έχουμε ότι Ε s Ε και το δεύτερο block αναπαριστά τον δεύτερο περιορισμό του πίνακα Α όπου Ε u Ε. Το Ε s παραμένει αναλλοίωτο στον πίνακα Α και στη γραμμική ροή e tα. Παίρνουμε Α Ε s = Α s και Α Ε u = Α u, τότε έχουμε e tα Ε s = e tα s. Από το Θεώρημα 1 στο Εδάφιο 2.1 έχουμε ότι e tα Ε u είναι μια συστολή και ανάλογα με το Θεώρημα 2 στο Εδάφιο 2.1 έχουμε ότι e tα Ε s αποτελεί expansion. Τότε Α = Α s Α u είναι η επιθυμητή ανάλυση. Για να ελέγξουμε την μοναδικότητα υποθέτουμε ότι F s F u μια άλλη ανάλυση του διανυσματικού χώρου Ε τέτοια ώστε η ροή e tα Ε s να είναι συστολή και e tα Ε u να είναι expansion. Έστω x F s, τότε μπορούμε να γράψουμε: x = y + z, y Ε s, z Ε u. Έχουμε τα ακόλουθα: e tα x 0, t και ανάλογα e tα y 0, e tα z 0. Όμως, e tα z e tα z, a > 0, t 0. Τότε αν πάρουμε z = 0. Από αυτό εδώ βλέπουμε ότι F s Ε s. Με το ίδιο επιχείρημα μπορούμε να πάρουμε ότι Ε s F s και έτσι προκύπτει: Ε s = F s. Ανάλογα για την γραμμική ροή e tα παίρνουμε ότι Ε u = F u.έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Μια υπερβολική ροή μπορεί να είναι μια συστολή (Ε u = 0) ή ένα expansion (Ε s = 0). Αν κάποιο από τα Ε u, Ε s δεν είναι 0 τότε το πορτραίτο φάσεων θα είναι όπως το Σχήμα A σε δισδιάστατο χώρο ή όπως στο Σχήμα B για την περίπτωση όπου βρισκόμαστε σε τρισδιάστατο χώρο. Επιπρόσθετα να σημειώσουμε ακόμα ότι αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α Ε s έχουν μη μηδενικό φανταστικό μέρος τότε όλες οι τροχιές θα έχουν σπειροειδής μορφή στο Ε u όπως στο Σχήμα C. Σχήμα A Σχήμα B 35

36 Σχήμα Γ Παρατήρηση. Τα s και u είναι ευσταθής και ασταθής αντίστοιχα και έτσι τα υποσύνολα του διανυσματικού χώρου Ε, Ε s και Ε u λέγονται ευσταθή και ασταθή υποσύνολα αντίστοιχα. 2.4 Γενικές ιδιότητες τελεστών Έστω F ένας διανυσματικός χώρος και παίρνουμε το ανοικτό σύνολο X τέτοιο ώστε X F και x X τότε θα υπάρχει μια μπάλα η οποία θα περιέχει το σημείο x στον X τέτοιο ώστε για κάποιο a > 0 η ανοιχτή μπάλα περιέχει το x με ακτίνα a, τέτοιο ώστε το σύνολο {y F y x < a}, περιέχεται στον X. Ισοδύναμα αυτός ο ορισμός ισχύει και για οποιαδήποτε νόρμα (το μόνο που ίσως αλλάζει θα είναι η ακτίνα a). Γεωμετρικά μπορούμε να πούμε ότι το x βρίσκεται σε ένα ανοιχτό σύνολο X όπου οποιοδήποτε σημείο και να πάρω κοντά στο x τότε θα περιέχεται και στο σύνολο X. Επίσης μπορούμε να ορίσουμε και την έννοια πυκνού συνόλου. Αν πάρουμε X F να είναι πυκνό σε κάθε σημείο του διανυσματικού χώρου F και κλειστό σε σημεία του συνόλου X. Συγκεκριμένα, αν x F τότε: ε > 0, y X: x y < ε. Ισοδύναμα έχουμε: U X, U F, U, U ανοιχτό σύνολο. 36

37 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ένα υποσύνολο X του F, X F όπου είναι ένα πυκνό και ανοιχτό σύνολο. Αυτό χαρακτηρίζεται από την ακόλουθη ιδιότητα. Ιδιότητα. Κάθε σημείο στο συμπλήρωμα του διανυσματικού χώρου F μπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα από σημεία του συνόλου X(επειδή το σύνολο X είναι πυκνό) αλλά κανένα σημείο στο σύνολο X δεν μπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα από σημεία από το συμπλήρωμα του (επειδή το σύνολο X είναι ανοικτό). Παράδειγμα. Παίρνουμε το σύνολο X = {(x, y) R 2 xy 1}. Αυτό είναι το συμπλήρωμα της υπερβολής xy = 1. Εάν x 0 y 0 1 και x x 0, y y 0 αρκετά μικρά τότε xy 1, αυτό αποδεικνύει ότι το X είναι ανοιχτό σύνολο. Δεδομένου (x 0, y 0 ) οποιοδήποτε σημείο στο R 2 τότε μπορούμε να βρούμε (x, y) όσο κοντά θέλουμε στο (x 0, y 0 ) με xy 1 και έτσι αποδεικνύουμε ότι το σύνολο X είναι πυκνό. Γενικότερα το συμπλήρωμα οποιασδήποτε αλγεβρικής καμπύλης στο R 2 είναι πυκνό και ανοιχτό. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε μια πρόταση για ένα ανοιχτό και πυκνό σύνολο. Πρόταση. Έστω X 1, X 2,, X m ανοιχτά και πυκνά σύνολα στον διανυσματικό χώρο F. Τότε: X = X 1 X 2 X m είναι επίσης πυκνό και ανοιχτό. Απόδειξη. Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η τομή πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι επίσης ανοιχτό σύνολο, τότε το X θα είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Θα δείξουμε ότι το X είναι πυκνό σύνολο. Έστω U F μη κενό ανοιχτό σύνολο. Τότε U X 1 μη κενό και X 1 πυκνό. Επειδή U και X 1 είναι ανοιχτά τότε και η τομή U X 1 είναι ανοιχτό σύνολο. Έχουμε ότι X 1 είναι ανοιχτό σύνολο τότε (U X 1 ) X 2 είναι μη κενό επειδή X 2 είναι πυκνό. Τότε εφόσον X 1 είναι ανοιχτό σύνολο τότε και U X 1 X 2 είναι ανοιχτό. Έτσι (U X 1 X 2 ) X 3 είναι μη κενό σύνολο και συνεχίζοντας θα πάρουμε όλα τα X m ανοικτά και πυκνά σύνολα κάνοντας το ίδιο επιχείρημα με παραπάνω. Τότε U X είναι μη κενό όπου αποδεικνύει ότι το σύνολο X είναι πυκνό στον F. Θεώρημα 1. Έστω S 1 ένα σύνολο τελεστών στο R n που έχουν n διακεκριμένες ιδιοτιμές. Το σύνολο αυτό είναι ανοικτό και πυκνό σύνολο του L(R n ). Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι το σύνολο S 1 είναι πυκνό. Έστω Τ ένας τελεστής στο R n. Τότε σταθεροποιούμε μια βάση Β παίρνοντας τον τελεστή Τστην κανονική του μορφή. Η πραγματική κανονική μορφή του πίνακα Τ μπορεί να γραφεί ως άθροισμα: Τ = S + N, όπου: 37

38 S = [ λ 1 λ r D 1 D s ], D k = [ a k b k ], b b k a k > 0, i = 1,, s. k Και, Ν = [ I 2 O 2 I 2 O ],I 2 = [ ], O 2 = [ ]. Οι ιδιοτιμές του πίνακα Τ(μαζί με τις πολλαπλότητες) λ 1,, λ r και a 1 ± ib 1,, a s ± ib s. Έστω ε > 0 και λ 1 ',, λ r ',a 1., a r διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: λ j λ j < εκαι α κ α κ < ε. λ 1 Τότε παίρνουμε: D k = [ a k b k ], S = b k a k [ λ r D 1 D s ], Τ = S + N. Τότε η νόρμα για τους πίνακες Τ Τ είναι λιγότερη από ε και οι n διακεκριμένες ιδιοτιμές του πίνακα Τ είναι οι αντίστοιχοι αριθμοί: λ 1 ',, λ 1, a 1 ± ib 1,, a s ± ib s. Έτσι αποδεικνύουμε ότι το σύνολο S 1 είναι πυκνό. Για να δείξουμε ότι το σύνολο S 1 είναι ανοιχτό θα χρησιμοποιήσουμε το expansion. Αν υποθέσουμε ότι το σύνολο S 1 δεν είναι ανοιχτό τότε θα υπάρχει ακολουθία Α 1, Α 2, τελεστές στο R n που δεν ανήκουν στο S 1 αλλά συγκλίνουν σε ένα τελεστή Α στην S 1. Υπάρχει ένα άνω φράγμα για τις νόρμες των ακολουθιών Α k και τις ιδιοτιμές τους. Υποθέτουμε ότι κάθε ακολουθία Α k έχει μια ιδιοτιμή λ k με πολλαπλότητα τουλάχιστον δυο. Υποθέτουμε ότι οι πρώτες λ k ιδιοτιμές είναι πραγματικές. Παίρνοντας μια υπακολουθία μπορούμε να πούμε ότι: λ k λ S 1. Για κάθε k υπάρχουν δυο ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα x k, y k για την ιδιοτιμή λ k και θα υποθέσουμε ότι x k = y k = 1. Επιπλέον μπορούμε να υποθέσουμε ότι x k, y k είναι κάθετα μεταξύ τους, διαφορετικά αντικαθιστούμε το y k με: y k y k,x k x k y k y k,x k x k. Παίρνοντας ξανά υπακολουθίες x k x, y k y και x, y ανεξάρτητα διανύσματα. Τότε από τις σχέσεις Αx k = λx k, Αy k = λy k μπορούμε να βρούμε το όριο έτσι ώστε να έχουμε: Αx = λx, Αy = λy. Αυτό το αποτέλεσμα όμως αντιφάσκει με το γεγονός ότι: Α S 1 (έχουμε άτοπο). Αν μερικές ιδιοτιμές λ k είναι μη πραγματικές τότε και πάλι έχουμε άτοπο εφόσον θα θεωρούμε Α k να είναι μιγαδικής μορφής και τότε x k, y k θα είναι διανύσματα στο C n. Επίσης στην θέση του Ευκλείδειου εσωτερικού γινομένου θα πάρουμε το Ερμητιανό εσωτερικό 38

39 γινόμενο στο C n το οποίο ορίζεται από την σχέση: z, w = z j w ~ j και η νόρμα z = z, z 12. Έτσι χρησιμοποιώντας ανάλογα επιχειρήματα με παραπάνω ολοκληρώνουμε την απόδειξη. Θεώρημα 2. Η ημιαπλότητα (semisimple) είναι μια γενική ιδιότητα του L(R n ). Το σύνολο των ημιαπλών τελεστών δεν είναι ανοιχτό. Για παράδειγμα κάθε γειτονιά ημιαπλών τελεστών I L(R 2 ) περιέχει και μη απλούς τελεστές όπως [ 1 0 ε 1 ]. Τ L(R n ) e tτ Θεώρημα 3. Το σύνολο S 2 = είναι υπερβολική ροή είναι ανοικτό και πυκνό στον L(R n ). Απόδειξη. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την απόδειξη για την πυκνότητα του συνόλου S 1 που παρουσιάσαμε στο Θεώρημα 1, επίσης μπορούμε να πάρουμε και τους αριθμούς λ 1 ',, λ r ',a 1., a r (το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών του πίνακα Τ ) οι οποίοι είναι μη μηδενικοί και θα αποδείξουμε την πυκνότητα του συνόλου. Για να δείξουμε ότι είναι ανοιχτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ανάλογο επιχείρημα που είχαμε κάνει κα στο Θεώρημα Η σημασία της Generecity Εάν ένας τελεστής Α L(R n ) είναι ημιαπλός (διαγωνoποιήσημος), η διαφορική εξίσωση x = Αx διασπάται σε έναν αριθμό εξισώσεων σε δυο ή τρεις διαστάσεις. Αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος τότε η διαφορική εξίσωση έχει μια περίπλοκη ανάλυση αλλά γεωμετρικά η υπερβολική ροή e tα είναι πολύ απλή εφόσον αποτελείται από το άθροισμα της συστολής και του expansion. Στο Εδάφιο 2.3 παρουσιάσαμε ότι τέτοιοι τελεστές ήταν κατά κάποιο τρόπο τυπικοί. Η σημασία για τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι η ακόλουθη. Εάν υπάρχει αβεβαιότητα για τα στοιχεία του πίνακα Α μπορούμε να υποθέτουμε ότι η ροή e tα είναι υπερβολική. Για παράδειγμα αν ο πίνακας Α μπορεί να προκύψει από φυσική παρατήρηση όπου θα υπάρχει ένα όριο στην ακρίβεια των οργάνων μέτρησης. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωση x = Αx μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ένα αυθαίρετο μοντέλο από ένα φυσικό (ή βιολογικό, χημικό, κλπ) φαινόμενο, πράγματι οι διαφορικές εξισώσεις είναι πολύ δημοφιλής σαν μοντέλα. Σε αυτή την περίπτωση γίνεται αναγκαία η ακριβής εισαγωγή στοιχείων στον πίνακα Α. Συχνά αυτό είναι χρήσιμο σε περιπτώσεις όπου υποθέτουμε ότι ο πίνακας Α είναι τόσο απλός έως ότου χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε την λογική, την θεωρία ή να κάνουμε κάποια παρατήρηση για να αλλάξουμε την υπόθεση μας. Αυτός είναι και ο λόγος όπου ο χρειάζεται να 39

40 χρησιμοποιήσουμε στο πίνακα Α κάποια γενική ιδιότητα. Έτσι είναι πιο εύκολο να υποθέσουμε ότι ο πίνακας Αείναι ημιαπλός (διαγωνοποιήσιμος) και έτσι οι τελεστές του πίνακα Α (και η ροή e tα ) είναι ευθύ άθροισμα το οποίο αναλύεται σε μονοδιάστατες ή δισδιάστατες εξισώσεις. Επίσης μπορούμε να μην υποθέτουμε κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα εφόσον η διαφορική εξίσωση x = Αx θα έχει ορισμένες φυσικές ιδιότητες, για παράδειγμα, η ροή θα πρέπει να διατηρεί κάποια ποσότητα (όπως ενέργεια) και έτσι η υπόθεση μιας γενικής ιδιότητας μπορεί να αποδειχθεί λάθος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson 3.0 Εισαγωγή Είναι γνωστό το γεγονός ότι οι περιοδικές λύσεις ενός επίπεδου δυναμικού συστήματος στην θεωρία ηλεκτρικών κυκλωμάτων(electrical circuit theory) είναι πολύ σημαντικές. Είναι γεγονός ότι η περιοδική λύση της εξίσωσης Van der Pol s προέρχεται από ένα απλό circuit equation και έχει χαρακτηριστικά τα οποία ξεπερνούν κατά πολύ την θεωρία κυκλωμάτων. H περιοδική λύση που προκύπτει είναι ένας «οριακός κύκλος», μια έννοια την οποία θα μελετήσουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Το Θεώρημα Poincare-Bendixson μας δίνει ένα κριτήριο για την ανίχνευση οριακών κύκλων στο επίπεδο, αυτό το κριτήριο μπορούμε να το χρησιμοποιούμε για να βρούμε τον ταλαντωτή Van der Pol s. Από την άλλη όμως με αυτή τη προσέγγιση χάνουμε την μοναδικότητα. Το Θεώρημα Poincare-Bendixson είναι ένα πολύ βασικό εργαλείο κατανόησης επίπεδων δυναμικών συστημάτων αλλά και για τις διαφορικές εξισώσεις υψηλής τάξης δεν έχει καμία γενίκευση. Έτσι μετά από δυο βασικές ενότητες εμείς θα περιοριστούμε σε επίπεδα δυναμικά συστήματα. Στη πρώτη ενότητα δίνουμε κάποιες ιδιότητες της συμπεριφοράς των ορίων σε τροχιές απο πλευράς τοπολογικής δυναμικής ενώ σε μια δεύτερη ενότητα αναλύουμε την ροή κοντά στα σημεία εκτός ισορροπίας του δυναμικού συστήματος. Να σημειώσουμε επίσης ότι σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε ένα δυναμικό σύστημα σε ένα ανοιχτό σύνολο W σε ένα διανυσματικό χώρο E όπου η ροή φ t ορίζεται να είναι C 1 διανυσματικό πεδίο τέτοιο ώστε: f: W E. 40

41 Παρατήρηση. Η βασική μορφή εξίσωσης Van der Pol δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: d 2 x + dt 2 μ(x2 1) dx + x = E(t), όπου x είναι η συντεταγμένη συνάρτηση και μ μια βαθμωτή παράμετρος η dt οποία υποδεικνύει την μη γραμμικότητα και αντοχή της απόσβεσης. Διακρίνεται η αυτόνομη μορφή της εξίσωσης (E(t) = 0) στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή που συνήθως εκφράζει τον χρόνο, δεν εμφανίζεται άμεσα στην εξίσωση και η μη αυτόνομη (E(t) 0) που περιλαμβάνει έναν ή περισσότερους όρους άμεσα εξαρτώμενους από την ανεξάρτητη μεταβλητή. Ειδικότερα η εξίσωση Van der Pol θεωρείται κλασσικό παράδειγμα μη γραμμικού αυτοσυντηρούμενου ταλαντωτή με ανάδραση. 3.1 Οριακά σύνολα (Limit sets) Έστω y W ένα ω οριακό σημείο τέτοιο ώστε x W αν υπάρχει μια ακολουθία t n τέτοια ώστε lim φ t n n (x) = y. Το σύνολο όλων των ω οριακών σημείων του y είναι ένα ω οριακό σύνολο L ω (y). Αντίστοιχα θα ορίζουμε a οριακό σημείο και a οριακό σύνολο L a (y) αντικαθιστώντας το t n με t n για τον παραπάνω ορισμό. Λέγοντας οριακό σύνολο θα εννοούμε ένα σύνολο της μορφής L ω (y) ή L a (y). Ακολούθως δίνουμε ορισμένα παραδείγματα οριακών συνόλων. Εάν x ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας(asymptotically stable equilibrium), τότε αυτό θα είναι ένα ω οριακό σύνολο για κάθε σημείο in its basin. Οποιοδήποτε σημείο ισορροπίας είναι από μόνο του και a οριακό σύνολο και ω οριακό σύνολο. Μια κλειστή τροχιά είναι a οριακό και ω οριακό σύνολο σε κάθε σημείο της. Στο ταλαντωτή Van der Pol υπάρχει μοναδική κλειστή τροχιά γ η οποία είναι ω οριακή για κάθε σημείο εκτός από την αρχή των αξόνων (Σχήμα Α). Η αρχή των αξόνων είναι a οριακό σύνολο για κάθε σημείο στην τροχιά γ. Εάν y εκτός της τροχιάς γ τότε L a (y) είναι κενή. Σχήμα Α 41

42 Υπάρχουν παραδείγματα οριακών συνόλων όπου δεν είναι ούτε κλειστές τροχιές ούτε σημεία ισορροπίας, για αυτά τα παραδείγματα αντιστοιχεί η φιγούρα με το οχταράκι στο Σχήμα Β. Υπάρχουν 3 σημεία ισορροπίας, 2 πηγές(sources) και 1 σαγματικό σημείο (sandle). Στο σχήμα Β έχουμε ένα ω οριακό σύνολο με σημεία εκτός αυτού. Το δεξί μέρος της φιγούρας από το οχταράκι είναι ένα ω οριακό σύνολο όπου όλα τα σημεία είναι εντός εκτός από τα σημεία ισορροπίας και ανάλογα έχουμε και στο αριστερό μέλος. Στις τρεις διαστάσεις υπάρχουν αρκετά περίπλοκα παραδείγματα οριακών συνόλων τα οποία δεν είναι εύκολο να περιγραφούν. Στο επίπεδο όμως τα οριακά σύνολα μπορούν να περιγραφούν με απλό τρόπο. Είναι γεγονός ότι το Σχήμα Β είναι τυπικό υπό την έννοια ότι μπορεί κανείς να δείξει ότι ένα οριακό σύνολο εκτός μιας κλειστής τροχιάς ή ενός σημείου ισορροπίας αποτελείται από σημεία ισορροπίας και τροχιές ενωμένα μεταξύ τους. Εμείς θα καλούμε ένα οριακό σύνολο W κλειστό και αναλλοίωτο σύμφωνα με τον ορισμό της ροής. Επίσης θα χρειαστούμε και την ακόλουθη πρόταση. Σχήμα Β 42

43 Πρόταση. (α) Εάν x, z στην ίδια τροχιά τότε, L ω (x) = L ω (z) ομοίως και a οριακά. (β) Εάν D κλειστό θετικά αναλλοίωτο σύνολο και z D τότε L ω (z) D ανάλογα για αναλλοίωτο, a οριακό και αρνητικά ορισμένο σύνολο. (γ) Ένα κλειστό αναλλοίωτο σύνολο και κυρίως οριακό σύνολο, περιέχει a οριακό και ω οριακό σύνολο για κάθε σημείο σε αυτό. Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε y L ω (x) και φ s (x) = z. Εάν φ tn (x) y τότε φ tn s(z) y. Τότε y L ω (z). (β) Εάν t n και φ tn (z) y L ω (z) τότε t n 0 για μεγάλα n τέτοια ώστε φ tn (z) D. Έτσι y D = D. (γ) Προκύπτει από το (β). 3.2 Τοπικά τμήματα(local sections) και Τετράγωνο ροής Μπορούμε να θεωρήσουμε την ροή φ t σε ένα C 1 διανυσματικό πεδίο και f: W E. Υποθέτουμε ότι η αρχή των αξόνων 0 E βρίσκεται ανάμεσα στο W. Ένα τοπικό τμήμα στο 0 της f είναι ένα ανοιχτό σύνολο S όπου περιέχει το 0 σε ένα υπερεπίπεδο H E εγκάρσια στην f. Λέγοντας υπερεπίπεδο εννοούμε έναν γραμμικό υπόχωρο μιάς διάστασης λιγότερο από την διάσταση του διανυσματικού χώρου E, dime. Λέμε ότι S H είναι εγκάρσιο (transverse) στην f σημαίνει ότι f(x) H, x S. Συγκεκριμένα f(x) 0, x S. Η πρώτη χρήση ενός τοπικού τμήματος στο 0 θα κατασκευάσει ένα τετράγωνο ροής, σε μια γειτονιά του 0. Ένα τετράγωνο ροής δίνει μια ολοκληρωμένη περιγραφή ροής σε μια γειτονιά για οποιοδήποτε σημείο το οποίο δεν είναι σημείο ισορροπίας για οποιαδήποτε ροή με την έννοια διαφορετικών (μη γραμμικών) συντεταγμένων. Η περιγραφή είναι απλή: τα σημεία κινούνται σε παράλληλες ευθείες γραμμές με σταθερή ταχύτητα. Επίσης μπορούμε να κάνουμε και την ακόλουθη πρόβλεψη. Η αμφιδιαφόριση ψ: U V είναι μια διαφορική απεικόνιση από ένα ανοιχτό σύνολο διανυσματικού χώρου σε ένα άλλο με αντίστροφη παραγωγισιμότητα (differentiable inverse). Ένα τετράγωνο ροής είναι μια αμφιδιαφορίσιμη απεικόνιση R H N ψ W σε μια γειτονιά N του σημείου (0,0) επί της γειτονιάς του 0 στο W, με τον μετασχηματισμό του διανυσματικού πεδίου f: W E σε ένα σταθερό διανυσματικό πεδίο (1,0) στο R H. Η ροή της f είναι ως εκ τούτου μετατροπέας για μια απλή ροή στον R H ως εξής: ψ s (t, y) = (t + s, y). Η απεικόνιση ψ ορίζεται ως: φ(t, y) = φ t (y), για (t, y) μια αρκούντως μικρή γειτονιά του σημείου ισορροπίας (0,0) στον R H. Η παράγωγος της ψ στο (0,0) είναι εύκολο να υπολογιστεί σε μια γραμμική απεικόνιση η οποία είναι 43

44 η ταυτοτική απεικόνιση 0 H και R = R 0 στέλλει το 1 στο f(0). Τότε f(0) είναι transverse στο H, από το οποίο έπεται ότι Dψ(0,0) είναι ένας ισομορφισμός. Σχήμα Α Τότε από την αντίστροφη συνάρτηση η απεικόνιση ψ σε μια ανοικτή γειτονιά N του σημείου (0,0) είναι αμφιδιαφορίσιμη σε μια γειτονιά V του 0 στο E. Τώρα παίρνουμε τη γειτονιά N να είναι της μορφής S ( σ, σ) όπου S H ένα τμήμα στο 0 και σ > 0. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε μερικές φορές να γράφουμε V σ = ψ(n) και ονομάζουμε V σ τετράγωνο ροής στο 0 στον διανυσματικό χώρο E (Σχήμα Α). Μια σημαντική ιδιότητα για το τετράγωνο ροής είναι η εξής: εάν x V τότε φ t (x) S για μοναδικό t ( σ, σ). Από τον ορισμό της ψ έπεται ότι εάν ψ 1 (p) = (s, y) τότε ψ 1 (φ t (p)) = (s + t, y) για αρκετά μικρά s, t. Να σημειώσουμε επίσης ότι ένα τετράγωνο ροής μπορεί να οριστεί από οποιονδήποτε σημείο εκτός του σημείου ισορροπίας x 0. Η υπόθεση ότι x 0 = 0 δεν είναι πραγματικά περιορισμός εφόσον εάν x 0 οποιονδήποτε σημείο τότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε την f(x) με f(x x 0 ) και έτσι το σημείο μας μετατρέπεται στο 0. Εάν S ένα τοπικό τμήμα η τροχιά διαμέσου ενός σημείου z 0 ίσως να φθάνει στο 0 S σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα t 0. Εμείς θα δείξουμε ότι σε μια certain local sense, t 0 είναι συνεχής συνάρτηση στο z 0. Συγκεκριμένα μπορούμε να δούμε το ακόλουθο σχήμα: 44

45 Πρόταση. Έστω S ένα τοπικό τμήμα στο 0 όπως παραπάνω και υποθέτουμε ότι: φ t0 (z 0 ) = 0. Υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο U W το οποίο περιέχει το z 0 και υπάρχει μοναδική απεικόνιση τέτοια ώστε τ(z 0 ) = t 0 και φ τ(x) (x) S, x U. Απόδειξη. Έστω h: E R μια γραμμική απεικόνιση όπου ο πυρήνας της H είναι ένα υπερεπίπεδο που περιέχει το S. Τότε h(f(0)) 0. Η συνάρτηση G(x, t) = hφ t (x) είναι και θg θt (z 0, t 0 ) = h(f(0)) 0. Η πεπλεγμένη συνάρτηση είναι απεικόνιση x τ(x) R ορίζεται σε μια γειτονιά U 1 του z 0 στο W τέτοια ώστε τ(z 0 ) = t 0 και G(x, τ(x)) 0. Τότε φ τ(x) (x) H, εάν U U 1 είναι αρκούντος μικρή γειτονιά του z 0 και έτσι φ τ(x) (x) S. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Να σημειώσουμε επίσης ότι D τ (z 0 ) = [ θg θt (z 0, t 0 )] 1 θg θx (z 0, t 0 ) = [ θg θt (z 0, t 0 )] 1 h Dφ t0 (z 0 ). 3.3 Μονότονες ακολουθίες σε επίπεδα δυναμικά συστήματα Στο παρόν εδάφιο θα περιοριστούμε σε επίπεδα δυναμικά συστήματα. Έστω x 0, x 1, μια πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία διακεκριμένων σημείων τα οποία αποτελούν λύση της καμπύλης C = {φ t (x 0 ) 0 t a}. Εμείς θα λέμε ότι η ακολουθία είναι μονότονη κατά μήκος της τροχιάς αν φ tn (x 0 ) = x n με 0 t 1 < a. Έστω y 0, y 1, μια πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία σημείων σε ένα ευθύγραμμο τμήμα I στον R 2. Θα λέμε ότι η ακολουθία είναι μονότονη κατά μήκος του I εάν το διάνυσμα y n y 0 είναι ένα βαθμωτό πολλαπλάσιο τέτοιο ώστε λ n (y 1 y 0 ) όπου 1 < λ 2 < λ 3 <, n = 2,3,. Ένας άλλος τρόπος να πούμε το παραπάνω είναι το y n βρίσκεται ανάμεσα στο y n 1 και y n+1 με φυσική διάταξη στο I για n = 1,2,. Να σημειώσουμε επίσης ότι μια ακολουθία σημείων μπορεί να είναι η τομή των λύσεων της καμπύλης και το ευθύγραμμο τμήμα I και ίσως να είναι μονότονη λύση κατά μήκος της καμπύλης αλλά όχι του ευθύγραμμου 45