Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Ρέζου Ελένη του Παναγιώτη Αριθμός Μητρώου: 6949 Θέμα «Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς μέσω συναρτήσεων συσχέτισης» Επιβλέπων Δημοσθένης Καζάκος Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Οκτώβριος 2014

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς μέσω συναρτήσεων συσχέτισης» Της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ρέζου Ελένη του Παναγιώτη Αριθμός Μητρώου: 6949 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Δημοσθένης Καζάκος Επίκουρος Καθηγητής Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής i

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς μέσω συναρτήσεων συσχέτισης» Φοιτήτρια: Ρέζου Ελένη Επιβλέπων: Καζάκος Δημοσθένης Περίληψη Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση της μεθόδου αναγνώρισης της κρουστικής συνάρτησης και κατ επέκταση ο υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος με χρήση των συναρτήσεων συσχέτισης. Αρχικά, γίνεται μία ανασκόπηση της βασικής θεωρίας σημάτων και αναγνώρισης συστημάτων. Επίσης αναλύονται οι ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) που δημιουργούνται με χρήση καταχωρητή ολίσθησης. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η μέθοδος αναγνώρισης της κρουστικής συνάρτησης με συναρτήσεις συσχέτισης. Τέλος, αφού παρουσιάζεται η εργαστηριακή διάταξη της εταιρίας Feedback Ltd., Chain Correlator Type CCC325 που σχεδιάστηκε για υλοποίηση αυτής της μεθόδου, παρατίθενται τα αποτελέσματα των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν στη συσκευή. ii

4 Πρόλογος Η παρούσα Διπλωματική Εργασία με τίτλο Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς μέσω συναρτήσεων συσχέτισης εκπονήθηκε στα πλαίσια προπτυχιακών σπουδών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του επίκουρου καθηγητή Δημοσθένη Καζάκου. Η εργασία περιλαμβάνει την ανάλυση της μεθόδου προσδιορισμού της κρουστικής απόκρισης με χρήση συναρτήσεων συσχέτισης. Επίσης παρουσιάζεται ο εκπαιδευτικός εξοπλισμός Chain Code Correlator CCC325 σχεδιασμένος να υλοποιεί την μέθοδο αυτή η οποία μελετάται μέσω πειραμάτων. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Δημοσθένη Καζάκο για την δυνατότητα που μου έδωσε να ασχοληθώ με το συγκεκριμένο θέμα, την εμπιστοσύνη και την υπομονή του. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να αποδώσω στον ομότιμο καθηγητή Τριαντάφυλλο Ποιμενίδη για την πολύτιμη βοήθεια του και την σημαντική συμβολή του στην ολοκλήρωση της εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου που μου συμπαραστάθηκε τα χρόνια των σπουδών μου και με βοήθησε με το δικό της ξεχωριστό τρόπο. Ελένη Παν. Ρέζου Οκτώβριος 2014 iii

5 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ.. ii ΠΡΟΛΟΓΟΣ. iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. iv ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Γενικά Κατηγορίες συστημάτων Στατικά και δυναμικά συστήματα Αιτιατά και μη-αιτιατά συστήματα Χρονικά αμετάβλητα και μεταβαλλόμενα συστήματα Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Είδη μαθηματικών μοντέλων Οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Οι εξισώσεις κατάστασης Η συνάρτηση μεταφοράς Η κρουστική απόκριση Μοντέλα αγνώστων συστημάτων Παραμετρικά μοντέλα Grey box Μη παραμετρικά μοντέλα Black box.. 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΨΕΥΔΟΤΥΧΑΙΕΣ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (PRBS) Γενικά Ψευδοτυχαία και πραγματικά τυχαία δυαδική ακολουθία Στατιστικοί έλεγχοι τυχαιότητας Γεννήτριες ψευδοτυχαίων ακολουθιών-καταχωρητές ολίσθησης με ανάδραση 18 iv

6 2.5 Δημιουργία των PRBS σημάτων με καταχωρητή ολίσθησης Θεωρία πινάκων Αριθμητική Modulo-2, Δυαδικά Συστήματα Εφαρμογές Πρόβλεψη μήκους ακολουθίας Δημιουργία καθυστερημένων εκδόσεων PRBS 31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΤΕΡΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Η κρουστική συνάρτηση Κρουστική απόκριση Κρουστική ανάλυση Μέτρηση κρουστικής απόκρισης Συσχέτιση και προσδιορισμός κρουστικής απόκρισης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ FEEDBACK LTD. CHAIN CODE CORRELATOR TYPE CCC Περιγραφή διαδικασίας Προδιαγραφές συσκευής Εφαρμογή της θεωρίας Δημιουργία σήματος ελέγχου Δημιουργία καθυστέρησης Σήμα εισόδου Λειτουργία διαμορφωτή Διαδικασία εύρεσης μέσου όρου Οδηγίες λειτουργίας Ενεργοποίηση συσκευής Συχνότητα ρολογιού Συνδεσμολογία ανάδρασης του καταχωρητή ολίσθησης Γεννήτρια καθυστέρησης Ρυθμίσεις μηδενισμού ενισχυτή και αναστροφέα σήματος Ρυθμίσεις μηδενισμού ενισχυτή και ολοκληρωτή σήματος Ενισχυτής σήματος και ενισχυτής κέρδους Ενδείξεις AVERAGE MODE 62 v

7 4.4.9 Ενδείξεις INTERGRATE MODE Επιλογή συχνότητας ρολογιού Ενδείξεις παλμογράφου Σύνδεση με υπολογιστή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Δημιουργία σήματος Δημιουργία χρονικής καθυστέρησης Αυτοσυσχέτιση η πειραματική διάταξη η πειραματική διάταξη 99 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ vi

8 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Μια θεμελιώδης έννοια στην επιστήμη και την τεχνολογία είναι αυτή του μαθηματικού μοντέλου. Το μαθηματικό μοντέλο είναι ένας πολύ χρήσιμος και συμπαγής τρόπος περιγραφής των γνώσεων μίας διεργασίας ή ενός συστήματος. Είναι εξαιρετικά χρήσιμο για όλους τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, όπως είναι η φυσική, η χημεία, η βιολογία, η μηχανική, η ηλεκτρονική, η οικονομία, η κοινωνιολογία, η ψυχολογία, κ.λ.π. Μία χρησιμότητα του μαθηματικού μοντέλου είναι ότι μας δίνει πληροφορίες για την δομή και τις ιδιότητες του συστήματος. Μία άλλη, ίσως η πιο σημαντική χρησιμότητα, είναι ότι με βάση το μαθηματικό μοντέλο, μπορούμε να προβλέψουμε την συμπεριφορά ενός συστήματος προσομοιώνοντας το μαθηματικό μοντέλο σε αναλογικό ή ψηφιακό υπολογιστή (δηλαδή χωρίς να πειραματιστούμε πάνω στο πραγματικό σύστημα), γεγονός που διευκολύνει σημαντικά την μελέτη και την σχεδίαση των συστημάτων. Ειδικά για τον αυτόματο έλεγχο, το μαθηματικό μοντέλο είναι σχεδόν πάντοτε απαραίτητο για την σχεδίαση ρυθμιστών. Μία διεργασία ή ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί από μία «ιεραρχία» μοντέλων: από τα λεπτομερή και σύνθετα μοντέλα μέχρι τα απλά μοντέλα. Τα απλά μοντέλα δίνουν τα χοντροειδή χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς του συστήματος. Τα πολύπλοκα μοντέλα απαιτούν μεγάλο χρόνο για να προσδιοριστούν και χρησιμοποιούνται για λεπτομερή έλεγχο της λειτουργίας του συστήματος. Ανάμεσα στα δύο ακραία, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι μοντέλων. Ο 1

9 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων καλός μηχανικός θα πρέπει να μπορεί να επιλέγει το κατάλληλο μοντέλο για κάθε συγκεκριμένη εφαρμογή. Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να προσδιορίσουμε μοντέλα: από προηγούμενη γνώση (π.χ. συνάρτηση φυσικών νόμων) ή από πειραματισμό σε μία διαδικασία. Στη διεθνή βιβλιογραφία έχει επικρατήσει, για μεν τον πρώτο τρόπο ο όρος μοντελοποίηση (modelling), για δε τον δεύτερο τρόπο ο όρος αναγνώριση (identification). Όταν προσπαθούμε να βρούμε συγκεκριμένο μοντέλο, είναι συχνά ωφέλιμο να συνδυάσουμε και τις δύο προσεγγίσεις. Τα μαθηματικά μοντέλα διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες: σε παραμετρικά και σε μη παραμετρικά. Παραμετρικά μοντέλα είναι π.χ. οι διαφορικές εξισώσεις, οι εξισώσεις διαφόρων, οι εξισώσεις κατάστασης και η συνάρτηση μεταφοράς. Μη παραμετρικά μοντέλα είναι π.χ. η καμπύλη συνάρτησης μεταφοράς και η καμπύλη κρουστικής απόκρισης. Έστω ένα σύστημα για το οποίο θέλουμε να προσδιορίσουμε το μαθηματικό του μοντέλο. Για το σκοπό αυτό διεγείρουμε το σύστημα αυτό με την διέγερση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1. Αποτέλεσμα αυτής της διέγερσης είναι η απόκριση. Το πρόβλημα της αναγνώρισης τίθεται τότε απλά ως εξής: με βάση τις μετρήσεις εισόδου και εξόδου, να προσδιοριστεί ένα μαθηματικό μοντέλο που να περιγράφει ικανοποιητικά το σύστημα. [1] Σχήμα 1.1: Απλή διάταξη για την αναγνώριση ενός συστήματος. [1] 1.2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ως σύστημα ορίζουμε την οντότητα εκείνη που μετατρέπει ένα σήμα σε ένα άλλο. Από μαθηματική άποψη ένα σύστημα είναι ένας μετασχηματισμός F που μετασχηματίζει ένα σήμα ή σε ένα άλλο σήμα ή. Το σήμα ή είναι το σήμα εισόδου ενώ το ή είναι το σήμα εξόδου. Αυτή η διαδικασία μετασχηματισμού, που επιβάλλει το σύστημα, περιγράφεται σχηματικά από το Σχήμα

10 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Σχήμα 1.2: Σύστημα ως μετασχηματισμός σημάτων. [2] Η ανάπτυξη ενός κατάλληλου μοντέλου για την περιγραφή ενός φυσικού συστήματος είναι από τα καίρια θέματα της θεωρίας συστημάτων. Η υιοθέτηση ενός μοντέλου για την μελέτη ενός φυσικού συστήματος έχει διττή σημασία. Αφενός μας διευκολύνει στην καλύτερη κατανόηση των νόμων που διέπουν τη λειτουργία και συμπεριφορά του συστήματος. Αφετέρου παρέχει τη δυνατότητα μελέτης του συστήματος με προσομοιώσεις, αξιοποιώντας τις δυνατότητες που απορρέουν από τις εξελίξεις στο χώρο της πληροφορικής. Παρακάτω παρουσιάζονται οι βασικές κατηγορίες συστημάτων τα οποία είναι αντιπροσωπευτικά των φυσικών συστημάτων ή τα προσεγγίζουν σε μεγάλο βαθμό. Ανάλογα με τον μετασχηματισμό διακρίνουμε τις ακόλουθες κατηγορίες συστημάτων Στατικά και Δυναμικά συστήματα Ένα σύστημα λέγεται στατικό ή σύστημα χωρίς μνήμη όταν, για κάθε χρονική στιγμή t,το σήμα εξόδου, εξαρτάται μόνο από την τιμή του σήματος εισόδου,, την ίδια χρονική στιγμή. Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι το ωμικό στοιχείο R. Πράγματι, η τάση εξόδου, συνδέεται με το ρεύμα εισόδου,, με την απλή σχέση. Σε αντίθεση με τα στατικά συστήματα, ένα σύστημα λέγεται δυναμικό, όταν η έξοδος του, τη στιγμή εξαρτάται από τις τιμές που παίρνει η είσοδος και σε χρονικές στιγμές διάφορες του, ας πούμε σε ένα διάστημα. Τα δυναμικά δηλαδή συστήματα διαθέτουν μνήμη. Ένα τέτοιο σύστημα είναι η χωρητική αντίσταση. Πράγματι, η τάση εξόδου στα άκρα ενός πυκνωτή χωρητικότητας C συνδέεται με το ρεύμα με τη σχέση. Με άλλα λόγια, η είναι το αποτέλεσμα του όλου ιστορικού της συνάρτησης. Τα δυναμικά συστήματα είναι τα πλέον ενδιαφέροντα από θεωρητική αλλά και πρακτική άποψη Αιτιατά και Μη-Αιτιατά Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό όταν το σήμα εξόδου,, εξαρτάται από τις τιμές του σήματος εισόδου στην παρούσα στιγμή,, και προηγούμενες χρονικές. 3

11 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Με άλλα λόγια, μεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσμα ) ενός συστήματος έπονται των μεταβολών που επιτελούνται στην είσοδο (αιτία). Το σύστημα χωρητικής αντίστασης που αναφέραμε παραπάνω είναι αιτιατό. Από την άλλη μεριά, όταν η έξοδος του συστήματος εξαρτάται και από μελλοντικές τιμές της εισόδου, το σύστημα καλείται μη-αιτιατό. Είναι φανερό ότι, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι πραγματοποιήσιμο, εκτός και αν δεν πρόκειται να λειτουργήσει σε πραγματικό χρόνο Χρονικά Αμετάβλητα και Μεταβαλλόμενα Συστήματα Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αμετάβλητο τότε και μόνο τότε όταν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. Με άλλα λόγια, όταν: Από φυσική άποψη, η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι το σήμα εξόδου δεν αλλάζει μορφή και παραμένει το ίδιο, ανεξάρτητα από το ποια χρονική στιγμή θα διεγείρουμε την είσοδο με το σήμα. Η μόνη διαφοροποίηση που υφίσταται είναι η αντίστοιχη χρονική ολίσθηση Γραμμικά και Μη γραμμικά Συστήματα Πριν προχωρήσουμε στο ορισμό ενός γραμμικού και μη γραμμικού συστήματος αντίστοιχα, είναι αναγκαίο να δώσουμε τον ορισμό ενός συστήματος σε ηρεμία. Από τον ορισμό ενός δυναμικού συστήματος, η έξοδος, σε ένα χρονικό διάστημα δεν εξαρτάται μόνο από το σήμα διέγερσης (εισόδου), στο διάστημα αυτό αλλά και από διεγέρσεις που τυχόν είχε υποστεί εκτός του παραπάνω χρονικού διαστήματος, λόγω της μνήμης που διαθέτει. Ένα σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία εάν αυτό δεν έχει υποστεί καμία διέγερση από οποιοδήποτε σήμα, εκτός του διαστήματος κατά τη διάρκεια του οποίου το σύστημα διεγείρεται από το. Εάν το σύστημα είναι επιπλέον και αιτιατό, τότε αρκεί να μην υπάρχει διέγερση στο διάστημα πριν το (δηλαδή κατά το παρελθόν). Από φυσική άποψη, το να βρίσκεται σε ηρεμία σε δεδομένη χρονική στιγμή σημαίνει ότι δεν είχε αποθηκευμένη ενέργεια πριν την εφαρμογή του σήματος. Ως σύμβαση θα θεωρούμε ότι οποιοδήποτε σύστημα είναι σε ηρεμία κατά την χρονική στιγμή. Η έξοδος συστήματος γράφεται στη γενική μορφή. Ένα σύστημα που είναι σε ηρεμία θα λέγεται γραμμικό τότε και μόνο τότε αν δοθέντων 4

12 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων δύο οποιονδήποτε σημάτων, και για οποιεσδήποτε σταθερές, ισχύει: Με άλλα λόγια, η απόκριση του γραμμικού συνδυασμού οποιονδήποτε εισόδων ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων. Ένα απλό παράδειγμα γραμμικού συστήματος είναι μια πηγή με μια ωμική αντίσταση εν σειρά. Εάν ένα σύστημα σε ηρεμία δεν υπακούει την παραπάνω σχέση, που είναι γνωστή και ως αρχή της υπέρθεσης, θα λέγεται μη γραμμικό. Ένα παράδειγμα μη γραμμικού συστήματος αποτελεί μια ωμική αντίσταση R εν σειρά συνδεδεμένη με μια ιδανική δίοδο. Το σήμα εισόδου είναι η τάση μιας πηγής εναλλασσόμενης τάσης και το σήμα εξόδου η τάση στα άκρα της διόδου. Μια ειδική (ενδιαφέρουσα) κατηγορία συστημάτων είναι τα διγραμμικά συστήματα όπου οι μη γραμμικότητες αφορούν γινόμενα μεταξύ των μεταβλητών κατάστασης και του διανύσματος εισόδου. Η γενική μορφή είναι: Στον έλεγχο σχεδόν πάντα δουλεύουμε με σήματα εισόδου που είναι κατά τμήματα συνεχή ή απλά έχουν μια σταθερή τιμή. Συνεπώς, αν σε ένα διγραμμικό σύστημα θέσω στην μια συγκεκριμένη τιμή, αυτόματα το σύστημα γραμμικοποιείται δεδομένου βέβαια ότι και η σχέση διανύσματος εξόδουδιανύσματος κατάστασης είναι γραμμική. [2] 1.3 ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Έχουν μέχρι τώρα προταθεί διάφορα μαθηματικά μοντέλα για την περιγραφή συστημάτων. Τα επικρατέστερα από αυτά είναι: Οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Οι εξισώσεις κατάστασης Η συνάρτηση μεταφοράς Η κρουστική απόκριση 5

13 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Αυτά τα είδη περιγραφών είναι ιδιαίτερα χρήσιμα κατά την μελέτη των συστημάτων. Το κάθε ένα από τα παραπάνω μαθηματικά μοντέλα παρουσιάζει πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα έναντι των άλλων Οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Η περιγραφή συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι η αρχαιότερη μέθοδος περιγραφής συστημάτων. Η περιγραφή αυτή αποτελείται από το σύνολο των γραμμικών ανεξάρτητων περιοριστικών εξισώσεων ενός συστήματος καθώς και των απαραίτητων αρχικών συνθηκών για τον προσδιορισμό μίας ειδικής λύσης. Μία περίπτωση εφαρμογής αυτής της μεθόδου περιγραφής είναι τα γραμμικά, μη χρονικά μεταβαλλόμενα δίκτυα. ΟΙ φυσικές ποσότητες (τάση) και (ρεύμα) ενός στοιχείου σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή όπως δείχνει ο Πίνακας 1.1. Όταν όμως πολλά στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους για να αποτελέσουν ένα σύνθετο δίκτυο, τότε η συμπεριφορά των και των στοιχείων περιορίζεται σύμφωνα με τους νόμους Kirchhoff. Οι νόμοι αυτοί είναι, ως γνωστόν, οι εξής: Νόμος τάσεων του Kirchhoff: Το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων ενός βρόχου είναι ίσο προς το μηδέν. Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff: Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων σε ένα κόμβο είναι ίσο προς το μηδέν. Πίνακας 1.1: Φυσικές ποσότητες σε στοιχεία γραμμικών δικτύων. [3] 6

14 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Το πρόβλημα της περιγραφής ενός δικτύου με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις συνίσταται, επομένως, στον προσδιορισμό όλων των γραμμικώς ανεξάρτητων περιοριστικών ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων του δικτύου. Το πρόβλημα αυτό έχει αντιμετωπιστεί με την ανάπτυξη ειδικών μεθόδων κατάστρωσης των γραμμικά ανεξάρτητων ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων ενός δικτύου. Μία άλλη περίπτωση εφαρμογής της μεθόδου περιγραφής αυτής είναι στα γραμμικά μηχανικά συστήματα. Στην περίπτωση αυτή οι φυσικές ποσότητες (δύναμη) και (ταχύτητα) ενός στοιχείου συνδέονται με ένα γραμμικό τελεστή όπως δείχνει ο Πίνακας 1.2. Επίσης, ανάλογα προς τους περιοριστικούς νόμους του Kirchhoff για τα δίκτυα, υπάρχει και ο νόμος του D Alambert για τα μηχανικά συστήματα, που ως γνωστόν, ορίζεται ως εξής: Νόμος δυνάμεων του D Alambert: Το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε μία σημειακή μάζα είναι ίσο προς το μηδέν. Πίνακας 1.2: Φυσικές ποσότητες σε στοιχεία μηχανικών συστημάτων. [3] Τέλος σε αναλογία με τα δίκτυα, προκειμένου να βρεθεί μία περιγραφή ενός μηχανικού συστήματος με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις θα πρέπει να προσδιοριστούν όλες οι γραμμικά ανεξάρτητες περιοριστικές ολοκληρωτικές και διαφορικές εξισώσεις του συστήματος. 7

15 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Οι εξισώσεις κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι μία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου που ισχύει για μια πολύ μεγάλη κατηγορία συστημάτων όπως τα γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα, τα χρονικά μεταβαλλόμενα και μη συστήματα, τα συστήματα με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και άλλα. Με τον όρο κατάσταση ενός συστήματος αναφερόμαστε στο παρελθόν, στο παρόν και στο μέλλον τους συστήματος. Από μαθηματικής πλευράς η κατάσταση του συστήματος εκφράζεται με τις μεταβλητές κατάστασης. Συνήθως ένα σύστημα περιγράφεται από έναν ελάχιστο πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων που συμβολίζονται. Οι μεταβλητές κατάστασης ενός συστήματος ορίζονται ως ένας (ελάχιστος) αριθμός μεταβλητών τέτοιων ώστε, αν γνωρίζουμε τις τιμές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγμή, την συνάρτηση εισόδου που εφαρμόζεται στο σύστημα για, και το μαθηματικό νόμο που συνδέει την είσοδο, τις μεταβλητές κατάστασης και το σύστημα, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός της κατάστασης του συστήματος για οποιαδήποτε χρονική στιγμή εξόδους. Στο Σχήμα 1.3 παρουσιάζεται ένα σύστημα με πολλές εισόδους και πολλές Σχήμα 1.3: Σύστημα με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους. [3] Το διάνυσμα εισόδου συμβολίζεται με και έχει τη μορφή: [ ] όπου είναι το πλήθος των εισόδων. 8

16 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Το διάνυσμα εξόδου συμβολίζεται με και έχει την μορφή: [ ] όπου είναι το πλήθος των εξόδων. Το διάνυσμα κατάστασης συμβολίζεται με και έχει την μορφή: [ ] όπου είναι το πλήθος των καταστάσεων. Οι εξισώσεις κατάστασης ενός συστήματος είναι ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, που συνδέει τα διάνυσμα εισόδου το διάνυσμα κατάστασης και έχει την μορφή: με όπου είναι μία στήλη με στοιχεία. Η συνάρτηση είναι γενικά μία πεπλεγμένη μη γραμμική συνάρτηση των και. Το διάνυσμα εξόδου του συστήματος συνδέεται με τα διανύσματα εισόδου και μεταβλητών κατάστασης με τη σχέση: όπου είναι μία στήλη από στοιχεία. Η σχέση αυτή ονομάζεται εξίσωση εξόδου. Η συνάρτηση είναι γενικά μία πεπλεγμένη μη γραμμική συναρτηση των και. Οι αρχικές συνθήκες των εξισώσεων κατάστασης είναι οι τιμές των στοιχείων του διανύσματος κατάστασης για και συμβολίζονται ως εξής: 9

17 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων [ ] Οι εξισώσεις κατάστασης (1.7), η εξίσωση εξόδου (1.8) και οι αρχικές συνθήκες (1.9), δηλαδή οι παρακάτω σχέσεις: συνθέτουν την περιγραφή ενός δυναμικού συστήματος στο χώρο κατάστασης. Επειδή στις εξισώσεις κυριαρχούν οι δυναμικές εξισώσεις κατάστασης, οι τρείς αυτές σχέσεις για απλούστευση καλούνται εξισώσεις κατάστασης. Οι εξισώσεις κατάστασης αποτελούν, για την επιστήμη των συστημάτων αυτόματου ελέγχου, μία σύγχρονη μέθοδο περιγραφής συστημάτων. Η μέθοδος αυτή έχει ιδιαίτερη θεωρητική, υπολογιστική και πρακτική αξία για τους εξής κύριους λόγους: 1) Οι εξισώσεις κατάστασης μπορούν να περιγράψουν μια μεγάλη κατηγορία συστημάτων, όπως τα γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα, τα χρονικά μεταβαλλόμενα και μη συστήματα, τα συστήματα με αρχικές συνθήκες και άλλα. 2) Οι εξισώσεις κατάστασης, χάρη στο γεγονός ότι συνίσταται από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, μπορούν εύκολα να προγραμματισθούν και να προσομοιωθούν σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές. 3) Οι εξισώσεις κατάστασης μας διευκολύνουν σημαντικά στη διατύπωση και μελέτη θεμελιωδών προβλημάτων της θεωρίας συστημάτων, όπως είναι η ευστάθεια, το ελέγξιμο, το παρατηρήσιμο και άλλα, και στη μελέτη θεμελιωδών προβλημάτων ελέγχου, όπως είναι η μετατόπιση ιδιοτιμών, η αποσύζευξη εισόδων-εξόδων, ο βέλτιστος και στοχαστικός έλεγχος και άλλα. 4) Οι εξισώσεις κατάστασης μας δίνουν μεγαλύτερη πληρότητα περιγραφής ενός συστήματος σε σύγκριση με άλλους τρόπους περιγραφής. Η πληρότητα αυτή οφείλετε στο γεγονός ότι οι εξισώσεις κατάστασης, περιέχουν μία επιπλέον σημαντική πληροφορία για το σύστημα, την κατάσταση του συστήματος, η οποία είναι ιδιαίτερα 10

18 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων αποκαλυπτική για τη δομή του συστήματος καθώς είναι μία περιγραφή που συσχετίζει τα τέσσερα στοιχεία: είσοδο, σύστημα, μεταβλητές κατάστασης και έξοδο Η συνάρτηση μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μία περιγραφή στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας και ισχύει για περιορισμένη κατηγορία συστημάτων και συγκεκριμένα για τα γραμμικά, μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα που έχουν μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού, μη χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος ορίζεται ως ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace της εξόδου του προς το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του. { } { } Η σχέση (1.10) ισχύει με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες του συστήματος είναι μηδενικές Η κρουστική απόκριση Η κρουστική απόκριση είναι μία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και ισχύει για μία περιορισμένη κατηγορία συστημάτων και συγκεκριμένα για γραμμικά συστήματα με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ορίζεται η έξοδος ενός συστήματος όταν η διέγερση είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. Για την ειδική κατηγορία των χρονικών αμετάβλητων συστημάτων, όπου ισχύει, έπεται ότι αν η διέγερση και επειδή, θα είναι. Επομένως η και η συνδέονται με σχέση: { } ή { } Η σχέση (1.11) δείχνει ότι για τα χρονικά αμετάβλητα συστήματα η και η είναι ουσιαστικά η ίδια περιγραφή, όπου μεν είναι στο πεδίο της συχνότητας ενώ η είναι στο πεδίο του χρόνου. Επίσης δείχνει έναν απλό τρόπο μετάβασης από τη μία περιγραφή στην άλλη. 11

19 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων 1.4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παραμετρικά μοντέλα Grey box Σε αυτό τον τύπο συστήματος έχουμε ως δεδομένο την δομή του, συχνά από εμπειρικές γνώσεις που υπάρχουν, όπως για παράδειγμα ορισμένες διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από τους νόμους της φυσικής ή ορισμένα διαγράμματα κτλ. Η εκτίμηση των παραμέτρων και των αρχικών συνθηκών γίνεται με βάση τις μετρήσεις της εισόδου και της εξόδου. Έστω ότι το διάνυσμα μετρήσεων είναι από 0 έως Τ. Με βάση τις μετρήσεις αυτές, κάνουμε μία εκτίμηση των παραμέτρων και των αρχικών συνθηκών. Αυτού του τύπου η εκτίμηση ονομάζεται OFF-LINE αναγνώριση. Έστω τώρα ότι, για μεγαλύτερη ακρίβεια στην εκτίμηση των παραμέτρων και των αρχικών συνθηκών, παίρνουμε μετρήσεις για ένα ακόμα μικρό χρονικό διάστημα. Τότε θα έχουμε μία νέα βελτιωμένη εκτίμηση των παραμέτρων. Αν συνεχιστεί αυτή η διαδικασία, δηλαδή να συνεχίσουμε να παίρνουμε μετρήσεις συνεχώς καθώς τρέχει στο χρόνο το πείραμα, ή η λειτουργία του συστήματος ή μιας διεργασίας, και για κάθε νέο μικρό χρονικό διάστημα επανεκτιμήσουμε τις παραμέτρους και τις αρχικές συνθήκες, τότε έχουμε την ON- LINE αναγνώριση Μη παραμετρικά μοντέλα Black box Σε αυτό τον τύπο συστήματος δεν έχουμε κανένα στοιχείο για τη δομή του συστήματος, δηλαδή το βλέπουμε ως ένα «μαύρο κουτί», και οι εκτιμήσεις γίνονται από γεγονότα. Για γραμμικά συστήματα στο πεδίο του χρόνου χρησιμοποιείται η κρουστική απόκριση, στο πεδίο της συχνότητας η απόκριση συχνοτήτων ενώ στα μη-γραμμικά συστήματα το μοντέλο «Volterra Wiener series». Τα μη παραμετρικά μοντέλα ενός συστήματος είναι οι καμπύλες της κρουστικής απόκρισης και της συνάρτησης μεταφοράς. Τα μοντέλα αυτά είναι, ως γνωστόν, πολύ χρήσιμα στην πράξη, όπως είναι π.χ. η γραφική παράσταση της για το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist, για την σχεδίαση ρυθμιστών, κ.λ.π. Σε αντίθεση με την αναγνώριση των παραμετρικών μοντέλων που απαιτούν τον προσδιορισμό ενός μικρού αριθμού παραμέτρων, και συγκεκριμένα των παραμέτρων της διαφορικής εξίσωσης ή της εξίσωσης διαφόρων και των αρχικών συνθηκών τους, το πρόβλημα αναγνώρισης των μη παραμετρικών μοντέλων επιδιώκει τον προσδιορισμό των καμπύλων ή, δηλαδή προσδιορισμό απείρων στοιχείων. 12

20 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην αναγνώριση συστημάτων Το πρόβλημα των μη παραμετρικών μοντέλων αντιμετωπίζεται με δύο βασικές τεχνικές. Η πρώτη τεχνική βασίζεται στην ιδέα της παραμετρικοποίησης του προβλήματος, ανάγοντας έτσι το πρόβλημα στον προσδιορισμό πεπερασμένου αριθμού παραμέτρων. Η παραμετρικοποίηση έχει το πλεονέκτημα ότι διευκολύνει σημαντικά την λύση του προβλήματος, όμως καταφέρνει να δώσει μόνο προσεγγιστική λύση στο πρόβλημα. Η δεύτερη μέθοδος αναζητά την ακριβή λύση και απαιτεί δύσκολα μαθηματικά. Συνήθως, τα μαύρα κουτιά είναι πιο δύσκολα να αναγνωριστούν και να ερμηνευτούν αλλά είναι και πιο ευέλικτα. 13

21 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Κεφάλαιο 2 ΨΕΥΔΟΤΥΧΑΙΕΣ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (PRBS) Το σήμα εισόδου που θα χρησιμοποιηθεί στην πειραματική διαδικασία δημιουργείται από έναν καταχωρητή ολίσθησης έξι σταδίων, ο οποίος λειτουργεί με παλμικό ρολόι. Σε αυτό το κεφάλαιο θα αναλυθούν οι αρχές λειτουργίας του καταχωρητή ολίσθησης, η ψευδοτυχαία ακολουθία που δημιουργεί καθώς επίσης και ο τρόπος δημιουργίας καθυστερημένης έκδοσης της, που είναι αναγκαία για την διεξαγωγή του πειράματος. 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Μια δυαδική ακολουθία είναι μία ακολουθία αποτελούμενη από, όπου { } για. Αποτελείται από μονάδες και μηδενικά. Μια δυαδική ακολουθία θεωρείται ψευδοτυχαία (PRBS) αν η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης έχει μόνο δύο τιμές. { Όπου 14

22 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) και ονομάζεται κύκλος λειτουργίας της PRBS ανάλογος του κύκλου λειτουργίας ενός σήματος συνεχούς χρόνου. Ο χαρακτηρισμός «ψευδοτυχαία», οφείλεται στο γεγονός ότι παρόλο που είναι ντετερμινιστική, μοιάζει τυχαία καθώς η τιμή είναι ανεξάρτητη των τιμών των άλλων στοιχείων, όμοια με τις πραγματικά τυχαίες ακολουθίες. Μία τέτοια ακολουθία μπορεί να εκταθεί προς το άπειρο επαναλαμβανόμενη μετά από στοιχεία, σε αντίθεση με τις περισσότερες τυχαίες ακολουθίες, όπως για παράδειγμα ο λευκός θόρυβος, που είναι εκ φύσεως άπειρες. Η ακολουθία μεγίστου μήκους είναι μία ειδική ψευδοτυχαία δυαδική ακολουθία των bits που παράγεται από γραμμικό καταχωρητή ολίσθησης (shift register) και αποτελείται από N=2 k -1 στοιχεία. Πρόκειται για μία κυκλική ακολουθία δυαδικών αναπαραστάσεων που παρουσιάζει ορισμένες ιδιότητες οι οποίες προσεγγίζουν τις ιδιότητες του σήματος του λευκού θορύβου και για αυτό χρησιμοποιούνται στις τηλεπικοινωνίες, στην κρυπτογράφηση, στην προσομοίωση και σε πολλές άλλες επιστήμες. 2.2 ΨΕΥΔΟΤΥΧΑΙΑ/ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΤΥΧΑΙΑ ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Ορισμός 1: Ψευδοτυχαία ακολουθία Μια ακολουθία αριθμών είναι ψευδοτυχαία όταν: Περνά όλους τους γνωστούς στατιστικούς ελέγχους περί τυχαιότητας (στατιστική απαίτηση). Η ακολουθία είναι απρόβλεπτη, δηλαδή δοθέντος ενός τμήματος της ακολουθίας αυτής είναι υπολογιστικά αδύνατο να καθοριστεί ο αμέσως επόμενος αριθμός (κρυπτογραφική απαίτηση). Ορισμός 2: Πραγματικά τυχαία ακολουθία Μια ακολουθία αριθμών είναι πραγματικά τυχαία όταν: Ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις του ορισμού 1. Δεν μπορεί να αναπαραχθεί με αξιοπιστία. 15

23 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) 2.3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ Ο έλεγχος της συχνότητας (frequency test): Ο έλεγχος της συχνότητας είναι ο έλεγχος της υπόθεσης ότι το πλήθος των άσσων και των μηδενικών είναι το ίδιο, από στατιστικής πάντα άποψης. Έστω το πλήθος των μηδενικών σε μία ακολουθία και το πλήθος των άσσων στην ακολουθία αυτή. Το μήκος της ακολουθίας θα είναι. Από την στατιστική, η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελεγχθεί η υπόθεση, για έναν βαθμό ελευθερίας: Αν, τότε θεωρούμε ότι η πηγή μας είναι πολωμένη ή αλλιώς μεροληπτική. Πιο συγκεκριμένα, αν, τότε η πηγή είναι πολωμένη προς τα μηδενικά, ενώ αν, τότε η πηγή είναι πολωμένη προς τους άσσους. Ο σειριακός έλεγχος (serial test): Ο έλεγχος της συχνότητας είναι και ο πιο απλός στατιστικός έλεγχος που εφαρμόζεται σε μια δυαδική ακολουθία, όπου εξετάζεται η συχνότητα εμφάνισης των δυαδικών συμβόλων. Δεν εξετάζεται όμως η κατανομή αυτών μέσα στην ακολουθία. Για παράδειγμα, η ακολουθία [ ] περνάει τον έλεγχο της συχνότητας, αλλά ασφαλώς δεν μπορεί να θεωρηθεί ψευδοτυχαία. Ο σειριακός έλεγχος είναι ένα επιπλέον βήμα που χρησιμοποιεί την κατανομή εναλλαγής των συμβόλων από 0 σε 1 και αντίστροφα, καθώς και τη διατήρηση των δυαδικών συμβόλων (από 1 σε 1 και από 0 σε 0). Έστω,, και το πλήθος των 00, 01, 10, 11 αντίστοιχα. Ο έλεγχος υπόθεσης: Πραγματοποιείται με την κατανομή x 2 για δύο βαθμούς ελευθερίας. Έχει αποδειχθεί (Good,1957) ότι η ποσότητα: 16

24 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) προσεγγίζει την x 2 για δύο βαθμούς ελευθερίας. Επομένως οι συχνότητες μπορούν να αντικατασταθούν στην παραπάνω σχέση. Ο έλεγχος της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος της αυτοσυσχέτισης (Beker & Piper, 1982) δείχνει αν τα δυαδικά σύμβολα είναι τυχαία διασπαρμένα μέσα στην δυαδική ακολουθία. Έστω η ακολουθία. Ορίζεται η συνάρτηση, τέτοια ώστε: Αν τα 0 και 1 είναι τυχαία διασπαρμένα μέσα στην ακολουθία, η αναμενόμενη τιμή του θα είναι ίση με: Όπου το πλήθος των άσσων και. Ο στατιστικός έλεγχος υπόθεσης εδώ θα είναι για. Τα κριτήρια του Coulomb Ο παραπάνω ορισμός της αυτοσυσχέτισης: προέρχεται από τον γενικό ορισμό της Όταν η ακολουθία έχει περίοδο, η αυτοσυσχέτηση θα είναι: Σε μία δυαδική ακολουθία οι τιμές των ορίζονται από την αντιστοιχία, προκειμένου να αποφευχθούν οι ακυρώσεις λόγου του πολλαπλασιασμού με το 0. Με βάση τα παραπάνω, ο Colomb (1984) έθεσε τρία 17

25 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) κριτήρια που πρέπει να πληροί μια ακολουθία προκειμένου να χαρακτηρισθεί ψευδοτυχαία: Κριτήριο 1: Η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μηδενικών και του πλήθους των άσσων θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη. Κριτήριο 2: Ως διαδρομή ορίζεται η σειρά ομοίων συμβόλων η οποία περιβάλλεται από διαφορετικά σύμβολα. Σε μία περίοδο της ακολουθίας οι μισές από τις διαδρομές θα πρέπει να έχουν μήκος 1, το ένα τέταρτο των διαδρομών να έχουν μήκος 2, το ένα όγδοο 3, κ.ο.κ. Η ισχύς της συνθήκης αυτής εξετάζεται όσο ο αριθμός των διαδρομών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το, όπου το μήκος της διαδρομής. Κριτήριο 3: Για η αυτοσυσχέτιση θα πρέπει να είναι σταθερή, ενώ για, η αυτοσυχέτιση θα πρέπει να είναι ίση με ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΨΕΥΔΟΤΥΧΑΙΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ (ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΜΕ ΑΝΑΔΡΑΣΗ) Οι καταχωρητές ολίσθησης (shift registers) έχουν μελετηθεί τις τελευταίες πέντε δεκαετίες. Ανήκουν στην κατηγορία των μηχανών πεπερασμένης κατάστασης (finite state machines). Μια μηχανή πεπερασμένης κατάστασης είναι μια συνάρτηση η οποία αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων όπου η μεταπήδηση από μία κατάσταση στην άλλη ορίζεται από την υπάρχουσα κατάσταση και την είσοδο. Η είσοδος ορίζεται ως μία ακολουθία από ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων. Η έξοδος μίας μηχανής πεπερασμένης κατάστασης είναι μία ακολουθία από ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές είναι παραδείγματα μηχανών πεπερασμένης κατάστασης. Οι καταχωρητές ολίσθησης με ανάδραση είναι αυτοί των οποίων η έξοδος τροφοδοτείται από μία συνάρτηση της οποίας το αποτέλεσμα τροφοδοτείται με την σειρά του στην είσοδο του καταχωρητή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 2.1: Καταχωρητής ολίσθησης με ανάδραση. 18

26 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Ο καταχωρητής ολίσθησης έχει την ικανότητα αποθήκευσης δυαδικών στοιχείων (μνήμη των bits). Ανά τακτά χρονικά διαστήματα, το κάθε στοιχείο αποθήκευσης μεταφέρει το περιεχόμενο του στο γειτονικό. Το περιεχόμενο του παρουσιάζεται στην έξοδο της γεννήτριας, ενώ το αποθηκεύει το αποτέλεσμα της συνάρτησης ανάδρασης με είσοδο το διάνυσμα ( ). Έστω { } { } η συνάρτηση ανάδρασης μιας γεννήτριας. Αν η μπορεί να εκφραστεί με την μορφή: όπου οι σταθερές είναι 0 και 1, η συνάρτηση είναι γραμμική, και η αντίστοιχη γεννήτρια ονομάζεται καταχωρητής ολίσθησης με γραμμική ανάδραση (linear feedback shift register). Οι καταχωρητές ολίσθησης προτιμώνται για χρήση, γιατί πέραν από το γεγονός ότι έχουν μελετηθεί σε μεγάλο βαθμό, υπάρχει μεθοδολογία για να παρέχουν την ακολουθία με μέγιστη περίοδο. Η μέγιστη περίοδος ενός καταχωρητή με μνήμη bits είναι ίση με (εξαιρείται η κατάσταση όπου όλα τα είναι μηδενικά). Η τιμή αυτή υπολογιζεται από το σύνολο όλων των δυνατών καταστάσεων του καταχωρητή, που είναι. Μέσα σε αυτές τις καταστάσεις συμπεριλαμβάνεται και η τιμή (0,0,,0). Αν κάποια στιγμή εμφανιστεί η τιμή αυτή, η γεννήτρια κλειδώνει και παράγει μόνο μηδενικά. Για να αποφευχθεί η περίπτωση όπου ο καταχωρητής έχει μόνο μηδενικά, θα πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις: 1) Η αρχική κατάσταση του καταχωρητή να είναι διαφορετική του (0,0,,0). 2) Να επιλεγεί συνάρτηση ανάδρασης τέτοια ώστε για οποιαδήποτε είσοδο, η να μην παράγει μηδενικά στην σειρά. Η πρώτη προϋπόθεση είναι η προφανής απαίτηση για μην φορτώσουμε κατά την εκκίνηση του καταχωρητή το μηδενικό διάνυσμα. Αρχική τιμή απαιτείται διότι διαφορετικά δεν ορίζεται η είσοδος της συνάρτησης ανάδρασης. Όσον αφορά τη δεύτερη προϋπόθεση, υπάρχει ένας σχετικά απλός τρόπος σύμφωνα με τον οποίο μπορούμε να επιλέξουμε τέτοια συνάρτηση ανάδρασης ώστε όχι μόνο να αποκλείσουμε την εμφάνιση της (0,0,,0), αλλά και να παράγουμε όλες τις υπόλοιπες καταστάσεις του καταχωρητή. Στην συνέχεια θα περιγραφεί η μεθοδολογία επιλογής μιας συνάρτησης ανάδρασης με αυτό το επιθυμητό χαρακτηριστικό. Μπορούμε να διαπιστώσουμε ανάδρασης καθορίζεται από τους συντελεστές ότι η μορφή της γραμμικής συνάρτησης. Αν ο συντελεστής 19

27 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) είναι ίσος με 1, τότε το περιεχόμενο του καταχωρητή υπολογίζεται στο γραμμικό άθροισμα της συνάρτησης, ενώ στην περίπτωση όπου παραλείπεται. Έτσι υπάρχουν και οι συνδιασμοί των σταθερών, το δυνατές γραμμικές εξισώσεις, όσοι δηλαδή είναι. Η περιγραφή της συνάρτησης ανάδρασης μπορεί να γίνει με βάση τους συντελεστές με δύο τρόπους αναπαράστασης: 1) Με τη μορφή δυαδικής ακολουθίας, για παράδειγμα 1011, που σημαίνει ότι: 2) Με την μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, για παράδειγμα. Ο μέγιστος εκθέτης του πολυωνύμου καθορίζει το βαθμό αυτού. Για να παράγει ο καταχωρητής ολίσθηση με γραμμική ανάδραση την ακολουθία με την μέγιστη περίοδο ( ), θα πρέπει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της συνάρτησης ανάδρασης να πληροί τις ακόλουθες τέσσερις συνθήκες: Να έχει βαθμό ίσο με το μέγεθος (μνήμη) του καταχωρητή, Να είναι ανάγωγο (irreducible) Να διαιρεί το, για k=, και Να μην διαιρεί το, για οποιοδήποτε k<. Το πολυώνυμο που πληροί τις παραπάνω συνθήκες ονομάζεται πρωτεύον (primitive). 2.5 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ PRBS ΣΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ Η στιγμιαία κατάσταση κάθε συστήματος εκφράζεται με τις στιγμιαίες τιμές των μεταβλητών του συστήματος σε όλα του τα σημεία. Για ένα σύστημα που λειτουργεί για διακριτού χρόνου διαστήματα, το οποίο δεν περιέχει δυναμικά στοιχεία παρά μόνο αποθηκευτικά, οι τιμές των καταστάσεων παραμένουν σταθερές κατά την διάρκεια των λειτουργικών διαστημάτων. Οι τιμές κατά την διάρκεια του επόμενου λειτουργικού διαστήματος (δηλαδή της επόμενης χρονικής στιγμής σε συνεχή χρόνο) από συνδυασμούς των παρόντων τιμών διαμορφώνονται σε διάφορα σημεία του συστήματος και η ακριβής σχέση εξαρτάται από τις λεπτομέρειες της εσωτερικής διασύνδεσης του συστήματος. Με παρόμοιο τρόπο, οι παρούσες τιμές είναι συνδυασμός των προηγούμενων τιμών του συστήματος. Ένα απλό σύστημα φαίνεται παρακάτω αποτελούμενο μόνο με αποθηκευτικά στοιχεία (στοιχεία καθυστέρησης). 20

28 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Σχήμα 2.2: Καταχωρητής ολίσθησης 3 επιπέδων και ο μεταβατικός του πίνακας. Η παρούσα κατάσταση τους συστήματος είναι η έξοδος των αποθηκευτικών μονάδων ενώ οι μελλοντικές τιμές δημιουργούνται από συνδυασμούς των και είναι διαθέσιμες στις εισόδους των στοιχείων της. Η γενική εσωτερική σύνδεση του συστήματος μπορεί να παρασταθεί με μορφή πίνακα όπως δίνεται παραπάνω ή σε κλειστή μορφή ως εξής: όπου ο πίνακας T (transition matrix) ο μεταβατικός πίνακας που λειτουργεί στην παρούσα κατάσταση με τιμή X δίνει την τιμή X μετά από το λειτουργικό διάστημα. Η κατάσταση μετά από n διαστήματος X δίνεται από την σχέση: Αξίζει να σημειωθεί το αν το σύστημα θα επιστρέψει τελικά στην αρχική του κατάσταση, μετά από κάποιες μεταβάσεις, δηλαδή αν υπάρχει τιμή του n τέτοια ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση: όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας. Ο δείκτης αναπαριστά τον αριθμό των καθυστερημένων διαστάσεων πριν το σημείο όπου η ίδια ακολουθία γεγονότων αρχίσει να εμφανίζεται ξανά. Το συχνά αποκαλείται ως κύκλος ή μήκος περιόδου. 21

29 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Θεωρία πινάκων Ένα σημαντικό πρόβλημα στην άλγεβρα και την θεωρία πινάκων είναι να προσδιοριστεί η λύση της εξίσωσης: όπου [ ] είναι ένας πίνακας και το πρόβλημα είναι να βρούμε συγκεκριμένα διανύσματα ή καταστάσεις, όπου μετατρέπουν τον πολλαπλασιασμό τους με τον μεταβατικό πίνακα, σε πολλαπλάσιο του ίδιου του διανύσματος. Αυτό εκφράζεται από την σχέση: ή Σύμφωνα με θεώρημα της άλγεβρας πινάκων, αυτή η σχέση ικανοποιείται μόνο όταν η διακρίνουσα του πίνακα είναι μηδέν, δηλαδή: [ ] Η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα είναι: Η λύση αυτής της εξίσωσης δίνει τις τιμές, που ονομάζονται ιδιοτιμές, όπου η κάθε μία επαληθεύει την εξίσωση και εξάγει σχετικές τιμές διανυσμάτων, που καλούνται ιδιοδιανύσματα. Ιδιαίτερη χρήση γίνεται της ιδιότητας του πίνακα χαρακτηριστική του εξίσωση, δηλαδή: να επαληθεύει την 22

30 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Αριθμητική Modulo-2, Δυαδικά Συστήματα Στην περιγραφή της λειτουργίας του καταχωρητή ολίσθησης η συνδεσμολογία ανατροφοδότησης εκτελείται με το σύμβολο που εκφράζει την αριθμητική modulo-2. Επειδή στα δυαδικά συστήματα η έξοδος μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 0 ή 1 και όλες οι προσθέσεις εκτελούνται με την αριθμητική modulo-2 που ορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις. Σχήμα 2.3:. Η διαδικασία αντιπροσωπεύεται από ένα στοιχείο αποκλειστικού Ή με το συμβατικό σήμα καθώς είναι παρόμοια η αρχή λειτουργίας της με αυτή της λογικής πύλης XOR. Όλες οι προσθέσεις πρέπει να εκτελούνται με αυτό τον τρόπο και επίσης το γεγονός ότι ο πίνακας ικανοποιεί την δική του χαρακτηριστική εξίσωση επαληθεύεται στην mod-2 αριθμητική. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει και η πολυωνυμική αριθμητική modulo-2. Επειδή οι συντελεστές περιορίζονται σε ένα μόνο bit κάθε αριθμητική πράξη σε πολυώνυμα CRC πρέπει να χαρτογραφίσει τους συντελεστές του πολυωνύμου είτε 0 είτε 1. Αυτή η διαδικασία εκτελείται από την αριθμητική modulo-2, η οποία λειτουργεί Για παράδειγμα: Παρατηρούμε πως ο όρος μηδενίζεται καθώς η πρόσθεση των συντελεστών του πολυωνύμου εκτελείται με αριθμητική modulo-2. Πιο συγκεκριμένα: 23

31 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Εφαρμογές Για καλύτερη κατανόηση των προαναφερόμενων τύπων παρατίθενται δύο παραδείγματα εφαρμογής τους σε καταχωρητές ολίσθησης τριών βαθμίδων. 1 ο Παράδειγμα Σχήμα 2.4: Καταχωρητής ολίσθησης 3 επιπέδων και ο μεταβατικός του πίνακας. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο υπολογίζεται ως εξής: [ ] Άρα η γενική σχέση πινάκων είναι : Από αυτή την σχέση πρέπει να καταλήξουμε σε μία σχέση της μορφής: 24

32 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) ή Από το οποίο συνεπάγεται ότι για μια αρχική κατάσταση Χ, το σύστημα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση μετά από n διαστήματα. Η σχέση Μπορεί να γραφεί λόγω Mod-2: Πολλαπλασιάζοντας επί Επίσης από (2.16) Και λόγω Mod-2: Με αντικατάσταση των (2.18) και (2.19) στην (2.17) Δηλαδή μετά από 7 περιόδους επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση. 2 ο παράδειγμα Σχήμα 2.5: Καταχωρητής ολίσθησης 3 επιπέδων και ο μεταβατικός του πίνακας. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο υπολογίζεται ως εξής: [ ] 25

33 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Άρα η γενική σχέση πινάκων είναι : Ακολουθούμε την προηγούμενη διαδικασία για την εύρεση της περιόδου του κύκλου: Λόγω της σχέσης (2.17) Δηλαδή και σε αυτή την περίπτωση όπως και προηγουμένως, μετά από 7 περιόδους το σύστημα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση, αλλά αυτή την φορά με διαφορετική προσπέλαση καταστάσεων. Η σειρά των καταστάσεων από τις οποίες περνάει το σύστημα μπορεί να γραφεί απευθείας από το διάγραμμα, υποθέτοντας ότι η αρχική κατάσταση είναι 111. Πίνακας

34 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της σειράς των καταστάσεων είναι με εφαρμογή του μεταβατικού πίνακα, δηλαδή πολλαπλασιασμό του με την τρέχουσα κατάσταση για εύρεση της επομένης, όπως φαίνεται παρακάτω: [ ] μεταβατικός πίνακας και έστω [ ] αρχική κατάσταση [ ] [ ] [ ] [ ] (2 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] (3 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] (4 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] (5 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] (6 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] (7 η κατάσταση) [ ] [ ] [ ] [ ] αρχική κατάσταση Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει μεταβατικός πίνακας που μπορεί από ένα μηδενικό διάνυσμα να δημιουργήσει ένα μη-μηδενικό διάνυσμα. Επομένως, η μηδενική κατάσταση είναι μοναδική και δεν αποτελεί μέρος ενός μεγαλύτερου κύκλου. Έτσι λοιπόν, ένα σύστημα με n καθυστερήσεις και έχοντας 2 n καταστάσεις, δεν μπορεί να έχει κύκλο μεγαλύτερο από (2 n -1), το οποίο ονομάζεται μέγιστο μήκους κύκλου. Maximal-length cycle: 27

35 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) 28

36 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) 2.6 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΗΚΟΥΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ Η προηγούμενη σύνδεση ανατροφοδότησης έδωσε μία m-ακολουθία, αλλά είναι πιθανό μία διαφορετική ανατροφοδότηση να δημιουργήσει μικρότερες ακολουθίες. Αυτό σημαίνει ότι ο καταχωρητής θα περνά σε κυκλικές ακολουθίες με σετ καταστάσεων οι οποίες δεν είναι όλες οι δυνατές καταστάσεις. Σε αυτή την περίπτωση θα υπάρξουν κάποιοι πιθανοί υποκύκλοι, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν κοινές καταστάσεις και ανάλογα με την αρχική κατάσταση που βρίσκεται ο καταχωρητής, δημιουργεί διαφορετικούς κώδικες. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα 2.6 όπου η σωστή σύνδεση ανατροφοδότησης δίνει το μέγιστο μήκος ακολουθίας περνώντας διαδοχικά από όλες τις καταστάσεις, αλλά μία διαφορετική σύνδεση ανατροφοδότησης θα δώσει απομονωμένους υποκύκλους με περιορισμένο αριθμό καταστάσεων, αλλά το άθροισμα των καταστάσεων όλων των επιμέρους υποκύκλων θα είναι. Σχήμα 2.6: Κύκλοι προσπέλασης καταστάσεων καταχωρητή. Το γενικό κριτήριο για την πρόβλεψη των υποκύκλων είναι ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος πρέπει να διαιρείται χωρίς υπόλοιπο (με mod-2 πρόσθεση), δηλαδή: ή Όπου n<m, maximal sequence length. Η συνθήκη διαίρεσης υποδηλώνει ότι ο μεταβατικός πίνακας Τ του συστήματος ικανοποιεί τη σχέση: για n<m και ότι το σύστημα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση μετά από n περιόδους. Για να εξασφαλίσουμε ότι κάθε χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα δώσει μέγιστο μήκος ακολουθίας, πρέπει να μην διαιρείται με το για n 29

37 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) και να είναι πρώτο, δηλαδή να μην παραγοντοποιείται, καθώς τα πολλαπλάσια δηλώνουν την ύπαρξη υποκύκλων. Όλα τα παραπάνω γίνονται κατανοητά μέσα από το παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα: Σχήμα 2.7: Καταχωρητής ολίσθησης 4 και 5 επιπέδων. Υπάρχουν αρκετές πιθανές συνδέσεις των σταδίων του καταχωρητή του παραπάνω σχήματος, τρείς από τις οποίες είναι οι ακόλουθες: α) β) γ) Ξεκινώντας από την αρχική κατάσταση 1111 παρατηρούμε ότι οι συνδέσεις α,γ δίνουν μέγιστο μήκος ακολουθίας, ενώ αντίθετα η β μία μικρότερη ακολουθία που δεν καλύπτει όλες τις καταστάσεις. Αν επιλέξουμε μία κατάσταση που δεν περιέχεται στον υποκύκλο που υπολογίσαμε με την β σύνδεση και ορίσουμε και τους άλλους κύκλου, το συνολικό άθροισμα όλων των καταστάσεων θα. Αξίζει να σημειωθεί, πως για ένα συγκεκριμένο μήκος καταχωρητή, μπορούμε να επιτύχουμε -ακολουθία μόνο εάν μία από τις συνδέσεις ανατροφοδότησης είναι από το τελευταίο στάδιο. Ένας γενικός κανόνας για δημιουργία μέγιστης ακολουθίας είναι η υλοποίηση τέτοιας συνδεσμολογίας έτσι ώστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να είναι απλής μορφής (primitive). Αυτό αναλύεται σε δύο βασικές συνθήκες για τα στάδια που συμβάλουν στην δημιουργία της επόμενης τιμής του καταχωρητή: Τα στάδια πρέπει να είναι περιττής τιμής. Το άθροισμα όλων των σταδίων να ισούται με πρώτο αριθμό. Δηλαδή να μην υπάρχει διαιρέτης εκτός της μονάδας. Παρακάτω παρατίθεται πίνακας των απλών πολυωνύμων που δημιουργούν μεγίστου μήκους ακολουθίες για καταχωρητές πλήθους σταδίων. Αυτές οι συνδεσμολογίες δεν είναι μοναδικές, είναι πιθανόν ένας καταχωρητής να δημιουργεί μεγίστου μήκους ακολουθία και με άλλες συνδεσμολογίες. 30

38 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Πίνακας 2.2 πίνακας συνδεσμολογιών καταχωρητών ολίσθησης n σταδίων 2.7 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΜΕΝΩΝ ΕΚΔΟΣΕΩΝ PRBS Γενικά μόνο οι ακολουθίες μέγιστου μήκους κατέχουν τις ιδιότητες τυχαιότητας που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της κρουστικής απόκρισης και μπορεί να αναφέρεται ως ψευδοτυχαία δυαδική ακολουθία (PRBS). Η PRBS μπορεί να δημιουργηθεί από έναν Shift Register αποτελούμενο από δισταθές μονάδες με κατάλληλη ανατροφοδότηση μέσω αποκλειστικών-ή μονάδων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου D0 D6 είναι οι έξοδοι ενός καταχωρητή 6 σταδίων, με μέγιστο μήκος κύκλου. Η λειτουργία του ελέγχεται από εξωτερικούς παλμούς ρολογιού, και με κάθε παλμό πραγματοποιείται ολίσθηση προς τα αριστερά, δηλαδή το D0 μετακινείται στο D1 κλπ. 31

39 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Σχήμα 2.8: Σχηματική αναπαράσταση λειτουργίας καταχωρητή ολίσθησης. Η παρούσα τιμή του κώδικα είναι η έξοδος, και οι έξοδοι αντιπροσωπεύουν καθυστερημένες εκδόσεις του κώδικα. Για παράδειγμα το D1 είναι η τιμή του καθυστερημένη κατά 1 παλμό ρολογιού διαστήματος, και το καθυστερούμενο κατά. Η συγκεκριμένη διασύνδεση αποδεικνύεται παρακάτω ότι δίνει μία m-ακολουθία. Παρατηρώντας πιο προσεκτικά την λειτουργία του καταχωρητή ολίσθησης διαπιστώνουμε ότι η λειτουργία του καταχωρητή περιγράφεται από την σχέση: δηλαδή (mod-2) η οποία σχέση ισχύει για κάθε σετ 3 τιμών του κώδικα, δηλαδή και δίνει τον κώδικα καθυστερημένο κατά κ μονάδες συναρτήσει των προηγούμενων τιμών. Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί ως εξής: 32

40 Κεφάλαιο 2: Ψευδοτυχαίες δυαδικές ακολουθίες (PRBS) Επομένως, καθυστερημένες εκδόσεις του κώδικα μπορούν να ανακτηθούν από συνδυασμούς αποκλειστικού-ή των προηγούμενων τιμών του κώδικα. Απαιτείται να εφαρμοστεί η γενική σχέση αρκετές φορές για να σπάσουμε μία τιμή μεγάλης καθυστέρησης σε συνδυασμούς των τιμών D0 D6, οι οποίες δεν είναι απευθείας διαθέσιμες από τον καταχωρητή. Για παράδειγμα, Ακόμη και για μεγαλύτερες καθυστερήσεις: 33

41 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Κεφάλαιο 3 Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης 3.1 Η ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η κρουστική συνάρτηση είναι μαθηματική περιγραφή κάποιας ποσότητας η οποία μεταβάλλεται σαν να μετέχει σε φαινόμενο κρούσης. Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα είχε ελάχιστη διακύμανση σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν την κρούση, τη στιγμή της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία στη μέγιστη τιμή και αμέσως μετά θα έπαιρνε σχεδόν αμέσως την ελάχιστη τιμή διακύμανσης πάλι. Η μαθηματική περιγραφή για την τιμή της κρουστικής παραμέτρου ενός τέτοιου φυσικού μοντέλου, που είναι πιο αυστηρή, περιγράφεται από ένα συναρτησιοειδές το οποίο οριακά έχει παντού την τιμή μηδέν εκτός από το σημείο αναφοράς στο οποίο η τιμή του γίνεται άπειρη (προς τα θετικά). Επιπλέον, το ολοκλήρωμα της κρουστικής συνάρτησης σε όλο το πεδίο ορισμού είναι 1. Η κρουστική συνάρτηση συμβολίζεται με δ και έχει τις ακόλουθες μαθηματικές ιδιότητες (οι οποίες ουσιαστικά την ορίζουν): 34

42 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Σχήμα 3.1: Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. Η κρουστική συνάρτηση χρησιμοποιείται ως μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη φαινομένων στα οποία κάποια μεγέθη γίνονται πολύ μεγάλα για πολύ λίγο χρόνο. Τέτοια φυσικά παραδείγματα είναι η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ανοικτό διακόπτη όταν εμφανίζεται σπινθήρας και η δύναμη σε σκληρό επίπεδο πάτωμα από μια μπάλα του μπιλιάρδου που αναπηδά σε αυτό. 3.2 ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Αν η κρουστική συνάρτηση εφαρμοστεί ως είσοδος σε ένα σύστημα τότε μπορούμε να μελετήσουμε την κρουστική του απόκριση. Σχήμα 3.2: Διάταξη συστήματος με κρουστικό σήμα εισόδου. Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος είναι η έξοδος του όταν η είσοδος είναι το μοναδιαίο δείγμα,, συμβολίζεται με και περιγράφει την έξοδο του συστήματος την χρονική στιγμή όταν αυτό έχει διεγερθεί από την κρουστική συνάρτηση στη χρονική στιγμή. Ένας εναλλακτικός συμβολισμός είναι και περιγράφει την έξοδο του συστήματος την χρονική στιγμή όταν αυτό έχει διεγερθεί από την κρουστική συνάρτηση στη χρονική στιγμή. Στη συντριπτική πλειοψηφία τους το σήμα αποτελείται από περισσότερους του ενός μη μηδενικούς όρους, παρότι το μοναδιαίο δείγμα που βάλαμε στην 35

43 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης είσοδο έχει μόνο ένα μη μηδενικό όρο. Αυτό πολύ απλά σημαίνει ότι το σύστημα μας έχει μνήμη αφού διεγέρθηκε μία φορά (τη χρονική στιγμή μηδέν) και αποκρίθηκε και τις επόμενες χρονικές στιγμές. Σχήμα 3.3: Κρουστική απόκριση ενός συστήματος. [4] Η κρουστική απόκριση είναι ιδιαίτερα σημαντική διότι αν τη γνωρίζουμε μπορούμε να υπολογίζουμε την έξοδο του συστήματος οποιαδήποτε κι αν είναι η είσοδος σ αυτό. Για ένα γραμμικό σύστημα, χρονικά αμετάβλητο ισχύει η σχέση: Όπου η είσοδος, η έξοδος και η κρουστική απόκριση του συστήματος. Το ολοκλήρωμα στη σχέση (3.1) είναι γνωστό ως συνέλιξη (convolution) ή συγκερασμός μεταξύ των και. Η πράξη της συνέλιξης γράφεται συμβολικά ως: Παρατηρούμε ότι η τιμή της κρουστικής απόκρισης στην σχέση (3.1) εξαρτάται από την χρονική διαφορά των και και όχι από αυτές καθαυτές τις τιμές τους. Με άλλα λόγια, σ ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα αρκεί η γνώση μίας και μόνο συνάρτησης, της για να περιγραφεί πλήρως η σχέση εισόδου και εξόδου του συστήματος. Κάθε ΓΧΑ σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση, η οποία στην πράξη, μπορεί να υπολογιστεί πειραματικά. Επιπλέον, στην περίπτωση όπου το ΓΧΑ σύστημα είναι αιτιατό, τα όρια του συνελικτικού ολοκληρώματος στην σχέση (3.1) απλοποιούνται σε: 36

44 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Πράγματι, όταν το σύστημα είναι αιτιατό δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου. 3.3 ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τα πιο ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία ευτυχώς μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων. Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της υπέρθεσης που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων, όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται σύνθεση και το τελικό σήμα λέγεται υπέρθεση των αρχικών. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανάλυση, όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα. Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου και ένα σήμα εξόδου. Αν αναλύσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου. Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο. Στην κρουστική ανάλυση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) «ωθήσεις», δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο. Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση έχει άπειρο πλάτος, μηδενικό εύρος και εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος. Όπως είναι φυσικό, καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες, μα η ώθηση είναι ειδικώς ορισμένη περίπτωση. Μία κανονικοποιημένη ώθηση, με εμβαδόν περιοχής ίσο με τη μονάδα, περιγράφεται μαθηματικά από την κρουστική συνάρτηση. Η έξοδος του υπό μελέτη συστήματος όταν του δοθεί ως είσοδος η ονομάζεται κρουστική απόκριση και χαρακτηρίζει πλήρως ένα ΓΧΑ σύστημα. Αν η κρουστική απόκριση είναι επίσης ώθηση, δηλαδή στιγμιαίας διάρκειας, τότε το σύστημα είναι στατικό (χωρίς μνήμη), διαφορετικά είναι δυναμικό. 37

45 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση, να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική ανάλυση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι για είσοδο, λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t0 της εισόδου συμβάλλει στον σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t0,t0+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί πλήρως από τη μαθηματική πράξη της συνέλιξης μεταξύ των δύο συναρτήσεων και h(t) (συμβολίζεται με «*»). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη ολοκλήρωση, δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος. Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και τον ρόλο της κρουστικής εισόδου μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι «επαρκώς σύντομη» για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό μάτι οποιοδήποτε αστέρι ή πλανήτης του νυχτερινού ουρανού δρα ως για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του ματιού). 3.4 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Μία απλή μέθοδος προσδιορισμού της κρουστικής απόκρισης είναι η εφαρμογή μίας κρουστικής συνάρτησης κατάλληλης ισχύος στο σύστημα και η παρατήρηση της απόκρισης του. Υπάρχουν τρείς πρακτικές δυσκολίες σε αυτή την ευθύ προσέγγιση που την καθιστούν ακατάλληλη. Είναι αδύνατο να παραχθούν πραγματικές κρουστικές και ακόμα και οι προσεγγίσεις είναι πιθανόν να έχουν πολύ μικρή ενέργεια. Σε όλα τα συστήματα ανεξαρτήτως μεγέθους παρουσιάζεται πάντα τυχαίος θόρυβος (π.χ. μίας εργοστασιακής διεργασίας) που συχνά είναι τέτοιας ενέργειας ώστε να αλλοιώσει την απόκριση. Αν ήταν δυνατόν να παραχθούν κρουστικές συναρτήσεις επαρκούς ενέργειας ώστε να δημιουργηθεί αισθητή απόκριση, η προσωρινή διαταραχή που θα δημιουργούταν θα μπορούσε κάλλιστα να είναι τέτοιου μεγέθους που θα ήταν ασύμφορο οικονομικά. Για αυτούς τους λόγους έχουν γίνει προσπάθειες να προσδιοριστεί η κρουστική απόκριση από μετρήσεις ετεροσυσχέτισης του τυχαίου θορύβου που 38

46 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης εισάγεται στο σύστημα, και του θορύβου που παρατηρείται στην έξοδο του. Αποδεικνύεται και στην επόμενη παράγραφο ότι με την μέθοδο αυτή είναι εφικτός ο προσδιορισμός της κρουστικής απόκρισης. Η διαδικασία της ετεροσυσχέτισης, όπως θα γίνει κατανοητό και στην συνέχεια, περιλαμβάνει αναλογικό πολλαπλασιασμό και ολοκλήρωση καθώς επίσης και την δημιουργία καθυστερημένης έκδοσης του εισαγόμενου θορύβου. Μια εναλλακτική είσοδος αντί για τυχαίο σήμα θορύβου που απαιτείται και έχει αρκετά πλεονεκτήματα, είναι η ψευδότυχαία δυαδική ακολουθία (PRBS), που αναλύθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Πρόκειται για μία κυκλική ακολουθία δυαδικών αναπαραστάσεων που παρουσιάζει ορισμένες ιδιότητες οι οποίες προσεγγίζουν τις ιδιότητες του σήματος του λευκού θορύβου. Τα πλεονεκτήματα αυτά είναι: Λόγω του ότι είναι σήμα 2-βαθμίδων έχει τη μεγαλύτερη δυνατή τετραγωνική τιμή (ενέργεια) για δεδομένο περιορισμένο πλάτος. Δημιουργείται εύκολα και είναι επαναλαμβανόμενο. Είναι εύκολη η δημιουργία καθυστερημένων εκδόσεων της ακολουθίας. Η διαδικασία του πολλαπλασιασμού γίνεται πολύ απλά με μία διακοπτική επαφή. Είναι εύκολο να εφαρμοστεί το δοκιμαστικό σήμα αφού απαιτεί μόνο κατάλληλη εναλλαγή μεταξύ 2 στάθμεων. 3.5 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Σχήμα 3.4: Κρουστική απόκριση ενός συστήματος. Στο Σχήμα 3.4 φαίνεται ένα δυναμικό σύστημα το οποίο διεγείρεται από μία κρουστική μονάδα δ(t) την χρονική στιγμή t=0 και την προκύπτουσα απόκριση του συστήματος h(t), την κρουστική απόκριση. Επιθυμούμε να βρούμε μια έκφραση της h(t) για την απόκριση οποιαδήποτε γραμμικού συστήματος σε αυθαίρετο σήμα F1(t). Για να το επιτύχουμε αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η F1(t) αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό ψευδοκρουστικών συναρτήσεων διάρκειας Δt και ύψους όπως φαίνεται στο Σχήμα

47 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Σχήμα 3.5: Συνεχές σήμα ως σύνολο κρουστικών. Καθώς το Δt τείνει στο μηδέν, οι ψευδοκρουστικές γίνονται άπειρες και τείνουν σε ιδανικές κρουστικές, με ισχύ F1(t). Αν εφαρμοστεί τέτοιο σήμα σε ένα γραμμικό σύστημα, τότε αφού η γραμμικότητα συνεπάγεται ότι ισχύει ο νόμος της υπέρθεσης, μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο του συστήματος ως το άθροισμα των αποκρίσεων σε όλες αυτές τις κρουστικές από την στιγμή της παρατήρησης προς τα πίσω, έως το άπειρο. Η παραπάνω ιδέα εκφράζεται στο Σχήμα 3.6. Σχήμα 3.6: Έξοδος ως άθροισμα αποκρίσεων των κρουστικών μέχρι την στιγμή. Η έξοδος κάθε στιγμή t μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα της ισχύς των κρουστικών, τις στιγμές (t-λ), επί την απόκριση αυτών των κρουστικών αυτών στο διάστημα λ. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, με μία συνάρτηση που αντιπροσωπεύει το σήμα εισόδου καθυστερημένο κατά, ήτοι [ ] 40

48 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Αν ολοκληρώσουμε και τα 2 μέλη ως προς εντός του διαστήματος και τα πολλαπλασιάσουμε με βρίσκουμε μία μέση τιμή σε αυτό το χρονικό διάστημα [ ] Αλλάζοντας την σειρά στο δεξί μέρος της εξίσωσης: [ ] Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξής: καθορίζεται τη στιγμή t=μ ως Ομοίως η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης της εισόδου και της εξόδου ενός συστήματος ορίζεται: Αν στο δεξί μέρος της εξίσωσης (3.7) θέσουμε ο όρος εντός της παρένθεσης γίνεται: λ λ λ λ και καθώς λ είναι προφανές ότι είναι ισοδύναμο με την εξίσωση (3.8) και επομένως ίσο με Το αριστερό μέρος της εξίσωσης (3.7) ισούται με το καθώς. Επομένως έχουμε: 41

49 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης Από αυτή την εξίσωση συμπεραίνουμε ότι αν γνωρίζουμε την για ένα δεδομένο σήμα εισόδου και μπορούμε να βρούμε την πειραματικά, είμαστε σε θέση να καθορίσουμε την. Φυσικά επιθυμούμε να διαλέξουμε ένα δοκιμαστικό σήμα του οποίου η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης να οδηγεί σε μία απλή έκφραση του δεξιού μέρους της εξίσωσης (3.11). Τέτοιο σήμα υπάρχει και ονομάζεται λευκός θόρυβος, το οποίο είναι ένα τυχαίο σήμα του οποίου η πιθανότητα πλάτους είναι Γκαουσιανής μορφής. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι στην πραγματικότητα μία κρουστική την στιγμή με ισχύ, όπου είναι η μέση τετραγωνική τιμή του λευκού σήματος. Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση (3.11) σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι, αφού η υπάρχει μόνο την στιγμή, το ολοκλήρωμα είναι μηδέν εκτός αν όπου η εξίσωση απλοποιείται σε: δηλαδή Η πρακτική εφαρμογή της εξίσωσης (3.13) απαιτεί ένα σύστημα όπως του παρακάτω σήματος. Σχήμα 3.7: Σύστημα πρακτικής εφαρμογής της σχέσης (3.13). Καθώς το κυμαίνεται από το 0 προς τα πάνω, ο μέσος όρος του γινομένου των δύο σημάτων, της εξόδου του συστήματος και της καθυστερημένης έκδοσης της εισόδου, δημιουργεί σημεία πάνω στην καμπύλη της κρουστικής απόκρισης. Σημαντική παρατήρηση σε αυτό το σημείο, ότι η μορφή της που θεωρούμε, προέρχεται από αυστηρή εφαρμογή της εξίσωσης (3.8), για 42

50 Κεφάλαιο 3: Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης με συναρτήσεις συσχέτισης παράδειγμα βρίσκοντας τη μέση τιμή σε άπειρο χρονικό διάστημα, τότε ισοδύναμα η ψ10(μ) πρέπει να προσδιοριστεί από τον μέσο όρο σε μία άπειρη περίοδο με αυστηρή ακρίβεια. Πρακτικές θεωρήσεις καθιστούν κάτι τέτοιο αρκετά δύσκολο σε χαμηλές συχνότητες και η κοινώς αποδεκτή λύση είναι η εύρεση του ολοκληρώματος σε μία καθορισμένη πεπερασμένη περίοδο. Κάτι τέτοιο παρουσιάζει σφάλματα, το μέγεθος των οποίων είναι δύσκολο να υπολογιστεί, αλλά σε αρκετές περιπτώσεις έχει αποδειχθεί ότι είναι μικρό. Αν παρουσιαστεί θόρυβος στο υπό-έλεγχο σύστημα προστίθεται στο και πολλαπλασιάζεται με το. Αν ο εσωτερικά δημιουργούμενος θόρυβος είναι τελείως ασυσχέτιστος με το σήμα εισόδου, όπως προβλέπεται, τότε ο πολλαπλασιασμός και η ολοκλήρωση, που καθορίζουν αποτελεσματικά την συνάρτηση ετεροσυσχέτισης, θα δημιουργούν μηδενική έξοδο για το μέρος της εξόδου του συστήματος που δημιουργείται από το θόρυβο. Όσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος του υπολογισμού του μέσου όρου, τόσο μικρότερη σε γενικές γραμμές είναι η επίδραση του θορύβου. Όλα αυτά ισχύουν φυσικά υποθέτοντας ότι διατηρείται ο νόμος της υπέρθεσης και ότι το υπό-έλεγχο σύστημα είναι γραμμικό. Δηλαδή μπορούμε να μετρήσουμε με ακρίβεια την ανεξάρτητα από το θόρυβο του συστήματος, αν και υπάρχουν όρια στο κατά πόσο μπορεί να είναι ανεκτός. 43

51 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Κεφάλαιο 4 Περιγραφή της πειραματικής διάταξης FEEDBACK LTD. CHAIN CODE CORRELATOR TYPE CCC325 Η συσκευή (Σχήμα 4.1) της εταιρίας Feedback Ltd., Chain Correlator Type CCC325, είναι εκπαιδευτικός εξοπλισμός σχεδιασμένος να απεικονίζει τις αρχές, τα πλεονεκτήματα, τους περιορισμούς και τις αιτίες σφαλμάτων μιας μεθόδου μέτρησης της απόκρισης τους συστήματος που έχει δοθεί ιδιαίτερη σημασία τα τελευταία χρόνια. Η μέθοδος αυτή προσδιορίζει την κρουστική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος, ετεροσυσχετίζοντας την είσοδο και την έξοδο του, όταν αυτό διεγείρεται από ένα τυχαίο δοκιμαστικό σήμα. Η συσκευή είναι απλή στον χειρισμό, και παρέχει στον χρήστη την δυνατότητα απεικόνισης πολλών σταδίων της διεργασίας επιτρέποντας έτσι την συνεχή παρατήρηση του κύκλου λειτουργίας της από τον χρήστη. Εκτός από την απόδειξη των αρχών της ετεροσυσχέτισης, η συσκευή χρησιμοποιεί τις ιδιότητες των καταχωρητών ολίσθησης για την δημιουργία ψευδο-τυχαίων δυαδικών σημάτων, τα οποία χρησιμοποιούνται ως σήματα εισόδου. 44

52 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σχήμα 4.1: Πειραματική Συσκευή. 4.1 Περιγραφή διαδικασίας Ένας καταχωρητής ολίσθησης 6 σταδίων δημιουργεί ένα δυαδικό σήμα, εφαρμόζοντας κατάλληλη ανατροφοδότηση μέσω του αθροιστή modulo-2. Η μια από τις δύο συνδέσεις ανατροφοδότησης είναι μόνιμα συνδεδεμένη με το έκτο στάδιο του καταχωρητή ενώ η δεύτερη είναι μεταβλητή, έτσι ώστε να μπορούμε να μελετήσουμε την συμπεριφορά του σε διάφορες συνθήκες λειτουργίας και παρέχεται η δυνατότητα απεικόνισης των μοτίβων που δημιουργούνται στον εργαστηριακό παλμογράφο. Ο καταχωρητής λειτουργεί με παλμούς ρολογιού, η συχνότητα των οποίων παρέχεται είτε από την συσκευή (υπάρχουν 4 καθορισμένες συχνότητες) είτε εφαρμόζεται από μια εξωτερική πηγή. Η έξοδος του αθροιστή modulo-2 ονομάζεται reference, ενισχύεται σε συμμετρικής μορφής μεταξύ ±15V (Σχήμα 4.2) και εφαρμόζεται μέσω ενός εξασθενητή στο υπό-έλεγχο σύστημα. Η έξοδος του συστήματος που αποτελεί μια διαμορφωμένη έκδοση της εισόδου, ενισχύεται από ένα μεταβλητό ενισχυτή κέρδους και στη συνέχεια αντιστρέφεται για να δώσει 2 ίδια και αντίθετα σήματα F0(t) και - F0(t), τα οποία εφαρμόζονται στον διαμορφωτή (switch modulator). Μία καθυστερημένη έκδοση της reference ακολουθίας δημιουργείται, μαζί με το συμπλήρωμα της, μέσω μίας γεννήτριας μεταβλητής καθυστέρησης και στην συνέχεια εφαρμόζονται στον διαμορφωτή (switch modulator). Ο διαμορφωτής 45

53 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης δημιουργεί 2 κομμένες εκδόσεις της εξόδου του δικτύου, και. Αν το άθροισμα των 2 αυτών σημάτων το ονομάσουμε Υ δηλαδή: τότε ο ολοκληρωτής δημιουργεί ένα σήμα Η καθυστέρηση τ μπορεί να εφαρμοστεί σε βήματα, όπου κάθε αύξηση ανταποκρίνεται σε έναν ολόκληρο παλμό ρολογιού του καταχωρητή ολίσθησης, και αν το I σχεδιαστεί κατά τ όπως ενδείκνυται στο διάγραμμα, έχουμε ένα γράφημα παρόμοιο με την κρουστική απόκριση του υποέλεγχο συστήματος. Ο ολοκληρωτής έχει 3 τρόπους λειτουργίας. Σε υψηλές συχνότητες, χρησιμοποιείται ένας «μέσος τρόπος λειτουργίας», στον οποίο η έξοδος του διαμορφωτή εφαρμόζεται συνεχώς στον κύκλο ολοκλήρωσης, ο οποίος είναι συνδεδεμένος ώστε να παράγει μία μέση τιμή αντί της πραγματικής ολοκλήρωσης. Σε χαμηλές συχνότητες μπορεί κάτι τέτοιο να μην είναι ικανοποιητικό λόγω των υπερβολικών διακυμάνσεων της εξόδου του ολοκληρωτή, και για αυτό το λόγο εκτελείται πραγματική ολοκλήρωση. Οι κύκλοι ελέγχου που σχετίζονται με τον καταχωρητή ολίσθησης δημιουργούν ένα σήμα το οποίο χρησιμοποιείται για την σύνδεση των εξόδων του διαμορφωτή με τον ολοκληρωτή για ένα πεπερασμένο αριθμό κύκλων του καταχωρητή. Είναι διαθέσιμες δύο συνθήκες ολοκλήρωσης, σε 1 και 10 πλήρεις κύκλους. Τα υποέλεγχο συστήματα συχνά υπόκειται σε εσωτερικά δημιουργούμενο θόρυβο, και ένα από τα πλεονεκτήματα της μεθόδου της συσχέτισης είναι ότι τείνει να αγνοεί τέτοιους θορύβους. Στο CCC325 έχει προβλεφτεί ένα εξωτερικά δημιουργούμενο σήμα θορύβου να εισάγεται τεχνητά στο σύστημα ώστε να αποδείξει ότι έχει μικρή επίδραση στα αποτελέσματα. Το φαινόμενο των διαφορετικών περιόδων ολοκλήρωσης μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας τους 2 τρόπους ολοκλήρωσης που επεξηγήθηκαν παραπάνω. Το όργανο είναι σε εντελώς στέρεα κατάσταση και χρησιμοποιεί τους κύκλους ολοκλήρωσης στο δυαδικό τμήμα της διεργασίας. 46

54 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σχήμα 4.2: Σχηματική αναπαράσταση της λειτουργίας της συσκευής. 47

55 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης 4.2 Προδιαγραφές συσκευής Οι προδιαγραφές και τα χαρακτηριστικά στοιχεία της συσκευής όπως ακριβώς αναγράφονται στο εγχειρίδιο της, παρατίθεται στον Πίνακα 4.1. Clock pulse generator Internal fixed frequencies: External clock frequencies range: Input voltage: 40, 100, 400, 1000 pps 0 to 5 khz 2V rms min 15V rms max Shift register Number of stages: 6 Maximum cycle length: Feedback arrangements: Oscilloscope trigger: Self-starting: Outputs of stage 6 and any other stage modulo-2 summed to form register input. When on maximum length cycle a trigger pulse is generated of one clock pulse duration whilst the register is in state The pulse is positive - going from 0 to +5V at 10K output impedance. The register cannot remain in state for more than one clock pulse. A circuit automatically injects a 1 into the left-hand stage (stage 1) so that the maximum length cycle is entered. 48

56 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Delay Generator Method: Selection of delay: Delays available: 4-input module-2 adder combines selected register outputs to produce delayed versions of the reference sequence. Accomplished by insertion of shorting plugs in an 8x4 matrix patch panel according to a specified table. In units of 1 clock pulse duration from 0 to 62 with the exception of Nos. 57, 58, 59. Network Drive Amplifier Output Voltage: 15V 2% Output impedance: Attenuator: 220Ω Continuously variable simple potentiometer 10kΩ. Maximum output impedance 2.7kΩ. Signal Amplifier Gain range: Frequency response: Maximum linear range: -0.5 to -10 continuously variable. Constant within 1dB from zero to 10kHz at all gain settings. 10V peak up to 10kHz Signal Inverter Gain range: -1 2% Frequency response: Maximum linear range: Constant within 1dB from zero to 10kHz 10V peak up to 10kHz Modulator Maximum output: 7 V peak 49

57 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Amplifier Integrator Maximum output: Integrating time constant: Integrator hold: Integrating modes: Integrator control: Interrogator indication: 10 V peak 1.5 sec At the finish of an integrating period the reding holds to within 1% of reading for 1 minute. Integrate over 1 cycle or 10 cycles. Keyswitch clears integrator and initiates new integrating period. A lamp lights whilst integration in progress. Meter Basic sensitivity: Ranges: Overload protection: Selector positions: Amplifier zero settings: μA 1: V 2: V 5: V 10: V Diode protected to limit at approximately 100% above full scale. 1. Clock-checks operation of clock generator. 2. Sig. amp V 3. Sig. inverter V 4. Amplifier/integrator Amplifier/integrator 5 6. Amplifier/integrator 2 7. Amplifier/integrator 1 In meter positions 2 and 3 operation of a key lever switch enables the amplifier and inverter zeros to be adjusted, whilst the amplifierintegrator zero may similarly be adjusted in any of positions 4 to 7. 50

58 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Test Networks No. of networks: 2 Mounting: Types of network: Plugged into the test jig on front panel 1. First order lag 2. Second order lag Power Supplies Internal supplies: 15V and 5 V External supplies: Mains: Fuses: 15V available on 3 pin socket at rear. Maximum available currents. +15V: 200mA -15V: 200mA 100 to 240V A.C. 50 to 60 Hz Voltage selector at rear Mains 500mA antisurge +15V 1A antisurge -15V 500mA antisurge Dimensions Height: Width: Depth: Weight: 26cm 40.5 cm 23.7 cm 10 kg 51

59 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης 4.3 Εφαρμογή της θεωρίας Δημιουργία σήματος ελέγχου Στην συσκευή CCC325, ο καταχωρητής ολίσθησης 6 σταδίων έχει το τελευταίο του στάδιο μόνιμα συνδεδεμένο στο αθροιστή ανάδρασης mod-2, ενώ στην άλλη είσοδο του αθροιστή μπορεί να συνδεθεί οποιαδήποτε από τα στάδια 1 έως 5 για να προσδιοριστούν οι επιδράσεις διαφορετικών ρυθμίσεων. Για την αναγνώριση των διαφόρων κύκλων και υποκύκλων, οι έξοδοι των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης είναι συνδεδεμένες μέσω αντιστάσεων δυαδικού βάρους σε 2 εξόδους στην πρόσοψη. Αν αυτά εφαρμοστούν στους Χ και Υ ενισχυτές απόκλισης ενός παλμογράφου και προσαρμοστούν κατάλληλα τα κέρδη, θα σχηματιστεί ένας πίνακας της μορφής του Σχήματος 4.3. Σχήμα 4.3: Σχηματική αναπαράσταση κύκλου λειτουργίας καταχωρητή. 52

60 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σε αυτή την απεικόνιση μία ακολουθία μεγίστου μήκους εμφανίζεται ως μια συνεχή σειρά από κουκίδες ενώ οι υποκύκλοι απεικονίζονται ως μοτίβα μειωμένων κουκίδων. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο καταχωρητής ολίσθησης έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να τοποθετεί 1 στο πρώτο στάδιο όταν εμφανίζεται η μηδενική κατάσταση, έτσι ώστε αυτή η κατάσταση να μην υπάρχει πέραν από μια περίοδο ρολογιού Δημιουργία καθυστέρησης Τα κυκλώματα δημιουργίας καθυστέρησης εφαρμόζονται μόνο σε και έχουν την μορφή του παρακάτω σχήματος. -ακολουθίες Σχήμα 4.4: Σχηματική αναπαράσταση καθυστέρησης ακολουθίας. Σχήμα 4.5: Patchbox στην πρόσοψη της συσκευής που υλοποιεί τις καθυστερήσεις. 53

61 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Οι είσοδοι συνδέονται στις κατάλληλες εξόδους του καταχωρητή ολίσθησης με ακίδες βραχυκυκλώματος σε patchbox που είναι ενσωματωμένο πάνω στην συσκευή. Κάθε είσοδος που δεν χρησιμοποιείται πρέπει να συνδέεται στην στήλη Ε (δυαδικό 0) Σχήμα εισόδου Το σήμα αναφοράς εφαρμόζεται στο δοκιμαστικό σύστημα ως συμμετρικό διπολικό σήμα. Πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε να διασφαλιστεί ότι η αντίσταση εξόδου του ενισχυτή, ή του εξασθενητή, δεν θα αποτελέσουν μέρος του δοκιμαστικού συστήματος αλλοιώνοντας έτσι τα αποτελέσματα του πειράματος. Σχήμα 4.6: Ενίσχυση και εξασθένηση σήματος αναφοράς Λειτουργία διαμορφωτή Η ποσότητα που θα καθοριστεί πειραματικά, είναι η μέση τιμή του γινομένου. Για μία PRBS η μεταβλητή καθυστέρησης είναι τ=nt και η συνάρτηση εισόδου είναι δυαδικής μορφής, την οποία αναφέρουμε ως. Έτσι λοιπόν, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του. Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση έχει την ίδια μορφή με την και μοναδιαίο πλάτος, για παράδειγμα 1 τότε αυτό μπορεί να εκφραστεί ως: Πρακτικά είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε μία απλή μονοπολική δυαδική μορφή για την περιγραφή του και να χρησιμοποιήσουμε διακόπτες που θα είναι είτε on είτε off. Αυτό επιτυγχάνεται αντιστρέφοντας το σήμα δηλαδή δημιουργώντας το και το συμπληρωματικό του, δηλαδή το. Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να εκφραστεί ως: 54

62 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης ή + ή Για να το θέσουμε πιο απλά, Οι παραπάνω διαδικασίες φαίνονται στο Σχήμα 4.7. Σχήμα 4.7: Διαδικασίες διαμορφωτή. 55

63 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Διαδικασία εύρεσης του μέσου όρου Σε συχνότητες ρολογιού της τάξης των 1000Hz και 400Hz ή άλλες σε αυτή την περιοχή η μέση τιμή της σταθεράς χρόνου του CCC325ενισχυτή/ολοκληρωτή είναι επαρκής, στην λειτουργία Average Mode, για να παράγει σταθερές απεικονίσεις, και οι ενδείξεις που λαμβάνονται είναι οι πραγματικές μέσες τιμές όπως απαιτούνται από τον ορισμό των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης. Όπως αναλύθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο, η αναμενόμενη μορφή της μιας PRBS βασίζεται σε πραγματικές τιμές μέσων όρων σε μία μεγάλη περίοδο έτσι ώστε να αποκτήσουμε μία σωστή μέτρηση της καθώς επίσης και την απόκτηση της ετεροσυσχέτισης. Στη συσκευή CCC325 παρέχονται 2 περίοδοι ολοκλήρωσης για τις χαμηλές συχνότητες όπου η πραγματική εύρεση του μέσου όρου δεν είναι εφικτή έτσι ώστε οι διαφορές μεταξύ μικρών και μεγάλων όρων ολοκλήρωσης να γίνουν εμφανής. 4.4 Οδηγίες λειτουργίας Κατά την εκτέλεση των πειραμάτων είναι απαραίτητο να γίνουν ορισμένες ενέργειες για την διασφάλιση της σωστής λειτουργίας της συσκευής για την εξαγωγή σωστών αποτελεσμάτων Ενεργοποίηση συσκευής Σχήμα 4.8: Διακόπτης ενεργοποίησης συσκευής. Η τάση του δικτύου πρέπει να είναι σωστά ρυθμισμένη και ο διακόπτης METER SELECTION στην θέση clock πριν το άνοιγμα του διακόπτη on της συσκευής. 56

64 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Συχνότητα ρολογιού Σχήμα 4.9: Παλμικό ρολόι. Με κάθε μια από τις 4 εσωτερικά διαθέσιμες τυποποιημένες συχνότητες ρολογιού, το όργανο πρέπει να εμφανίζει σχεδόν πλήρη κλίμακα, υποδεικνύοντας έτσι την σωστή λειτουργία του παλμογράφου. Το εσωτερικό σήμα ρολογιού είναι διαθέσιμο στην υποδοχή EXT. CLOCK για απεικόνιση του σήματος σε παλμογράφο. Για την χρήση διαφορετικών τιμών συχνότητας, ο διακόπτης CLOCK FREQUENCY τοποθετείται στην θέση EXT. CLOCK και εφαρμόζουμε ημιτονοειδές ή τετραγωνικό σήμα της συχνότητας που επιθυμούμε στην είσοδο EXT. CLOCK, αυξάνοντας το πλάτος έτσι ώστε το όργανο ένδειξης να καταγράφει όπως προηγουμένως, σε σχεδόν πλήρη κλίμακα Συνδεσμολογία ανάδρασης του καταχωρητή ολίσθησης Σχήμα 4.10: Καταχωρητής ολίσθησης. 57

65 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Για την δημιουργία της συνδεσμολογίας ανάδρασης τοποθετούμε ένα καλώδιο βραχυκυκλώματος από μία οποιαδήποτε έξοδο του καταχωρητή στην υποδοχή του SUM MOD-2. Απαγορεύεται η σύνδεση των υποδοχών των εξόδων του καταχωρητή ολίσθησης ή της εισόδου του MOD-2 με υποδοχές στο κάτω μέρος της πρόσοψης της συσκευής διότι μπορεί να προκληθεί σημαντική εσωτερική βλάβη. Ακολουθίες μεγίστου μήκους, m-ακολουθίες, δημιουργούνται με ανατροφοδότηση του πρώτου ή πέμπτου σταδίου του καταχωρητή, όπως έχει αποδειχθεί και σε προηγούμενο κεφάλαιο Γεννήτρια καθυστέρησης Σχήμα 4.11: Patchbox δημιουργίας καθυστέρησης. Για την επιλογή μιας συγκεκριμένης τιμής καθυστέρησης μιας ακολουθίας μεγίστου μήκους,, χρησιμοποιούνται οι συνδυασμοί του Πίνακα 4.1. Στο patchbox εφαρμόζονται οι συνδυασμοί του πίνακα, με χρήση των τεσσάρων διαθέσιμων ακίδων, 58

66 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Πίνακας 4.1: Συνδυασμοί δημιουργίας καθυστέρησης για συνδεσμολογία 59

67 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Ρυθμίσεις μηδενισμού ενισχυτή και αναστροφέα σήματος Θέτουμε τον διακόπτη στο SET AMP ZERO και γυρίζουμε τέρμα δεξιόστροφα τον ενισχυτή AMP. GAIN. Τοποθετούμε τον διακόπτη METER SELECTION στην θέση SIG. AMP και προσαρμόζουμε τον ενισχυτή σήματος (signal amplifier zero) για μηδενική αντανάκλαση στο όργανο ένδειξης. Σχήμα 4.12: α) Διακόπτης στο SET AMP ZERO, β)ενισχυτής, γ) Διακόπτης METER SELECTION, δ) Όργανο ένδειξης. Για την ρύθμιση του αναστροφέα σήματος ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με παραπάνω θέτοντας τον διακόπτη METER SELECTION στην θέση SIG. INVERTER και προσαρμόζουμε τον αναστροφέα σήματος (signal inverter zero) για μηδενική αντανάκλαση στο όργανο ένδειξης. Σχήμα 4.13: α) Διακόπτης METER SELECTION, β)αναστροφέας σήματος, γ) Όργανο ένδειξης Ρυθμίσεις μηδενισμού ενισχυτή και ολοκληρωτή σήματος Επιλέγεται μηδενική καθυστέρηση στο patchbox. Στην λειτουργία AVERAGE MODE αφού αρχικοποιηθούν οι παραπάνω διακόπτες θέτουμε τον διακόπτη METER SELECTION στην θέση AMP/INT 1 και προσαρμόζουμε τον διακόπτη AMPLIFIER/INTEGRATOR για μηδενική αντανάκλαση στο όργανο ένδειξης. 60

68 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σχήμα 4.14: α) Διακόπτης METER SELECTION, β)ενισχυτής/ολοκληρωτής, γ) Όργανο ένδειξης. Στην λειτουργία INTERGRATE MODE αφού αρχικοποιηθούν οι παραπάνω διακόπτες θέτουμε τον διακόπτη METER SELECTION στην θέση AMP/INT 1, τον διακόπτη OPERATING MODE στην επιλογή 10 κύκλοι και το ρολόι σε συχνότητα 40 p.p.s. Πιέζουμε απαλά τον διακόπτη στην θέση INTEGRATE και επιστέφει στην αρχική του θέση. Όταν ανάψει η ενδεικτική λυχνία προσαρμόζουμε τον διακόπτη AMPLIFIER/INTEGRATOR μέχρι η βελόνα του οργάνου ένδειξης να μείνει σταθερή, όχι απαραίτητα στο μηδέν. Αυτή η ρύθμιση δεν διαφέρει πολύ από την ρύθμιση για AVERAGE MODE. Σχήμα 4.15: α) Διακόπτης METER SELECTION, β)τρόπος λειτουργίας, γ)επιλογέας ολοκλήρωσης, δ) Όργανο ένδειξης Ενισχυτής σήματος και ενισχυτής κέρδους Σχήμα 4.16: α) Διακόπτης drive amplitude, β) Διακόποτης amp. gain. 61

69 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Δεν υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας για την ρύθμιση του ενισχυτή DRIVE AMPLITUDE εκτός από το γεγονός ότι όσο πιο μεγάλο σήμα μπορεί να εφαρμοστεί τόσο το καλύτερο. Ωστόσο, μερικά συστήματα μπορεί να υπερφορτωθούν υπό μεγάλο βαθμό οδήγησης σήματος, και για αυτό ο συγκεκριμένος ενισχυτής έχει την δυνατότητα να θέσει τα ασφαλή όρια. Για τα περισσότερα παθητικά συστήματα μπορεί να εφαρμοστεί μέγιστή οδήγηση σήματος, και ο διακόπτης SIGNAL AMPLIFIER GAIN προσαρμόζεται για μέγιστο αριθμό αναγνώσεων. Με τον βασικό μοχλό στην κεντρική θέση συνδέουμε έναν παλμογράφο στην ακίδα MONITOR F0(t). Στην μέγιστη εκτόνωση του σήματος σε αυτό το σημείο η τάση δεν πρέπει να ξεπεράσει τα 10V peak και για να διασφαλιστεί αυτό πρέπει να προσαρμοστούν κατάλληλα τα DRIVE AMPLITUDE και AMP. GAIN. Όταν ρυθμιστούν όλα για δοθέντος ενός συστήματος, δεν πρέπει να γίνει καμία αναπροσαρμογή κανενός διακόπτη κατά την διάρκεια των ενδείξεων. Εφόσον η μετρούμενη κρουστική απόκριση μπορεί να κορυφωθεί σε μία μη μηδενική καθυστέρηση, είναι απαραίτητο να γίνουν σύντομοι αρχικοί έλεγχοι της γενικής μορφής της απόκρισης για να διασφαλιστεί ότι σε καμία περίπτωση η ένδειξη του οργάνου δεν θα ξεπεράσει την πλήρη κλίμακα σε εύρος 10, επομένως κρίνεται σκόπιμη η μείωση των DRIVE AMPLITUDE και AMP. GAIN Ενδείξεις AVERAGE MODE Η διαδικασία των μετρήσεων είναι πολύ απλή: α) Ρυθμίζουμε τις αρχικές μηδενικές θέσεις των DRIVE AMPLITUDE και AMP. GAIN όπως περιγράφηκαν πιο πάνω. β) Διαλέγουμε την κατάλληλη συχνότητα ρολογιού. γ) Επιλέγουμε μία καθυστέρηση στην γεννήτρια καθυστερήσεων. δ) Σημειώνουμε την ένδειξη του οργάνου. ε) Επαναλαμβάνουμε τις διαδικασίες (γ), (δ) για όλες τις τιμές των καθυστερήσεων Ενδείξεις INTERGRATE MODE α) Ρυθμίζουμε τις αρχικές μηδενικές θέσεις των DRIVE AMPLITUDE και AMP. GAIN όπως περιγράφηκαν πιο πάνω. β) Επιλέγουμε 1 κύκλο ή 10 κύκλους όπως απαιτείται. γ) Διαλέγουμε την κατάλληλη συχνότητα ρολογιού. δ) Επιλέγουμε μία καθυστέρηση στην γεννήτρια καθυστερήσεων. ε) Πιέζουμε απαλά τον βασικό μοχλό κάτω και τον αφήνουμε. 62

70 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης ζ) Όταν σβήσει η λυχνία της ολοκλήρωσης σημειώνουμε την ένδειξη του οργάνου (η ένδειξη θα μειώνεται με αργό ρυθμό μέχρι να μηδενιστεί αλλά ο χρόνος είναι επαρκής για την καταγραφή της ένδειξης). στ) Επαναλαμβάνουμε τις διαδικασίες (δ) έως (ζ) για όλες τις τιμές των καθυστερήσεων Επιλογή συχνότητας ρολογιού Η περίοδος Τ πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη για μεγαλύτερη ακρίβεια των μετρήσεων. Ωστόσο είναι απαραίτητο να είναι μεγαλύτερη από την τιμή όπου Τ= περίοδος ρολογιού = σημείο εξαφάνισης της κρουστικής απόκρισης m= μήκος ακολουθίας=63 Επομένως είναι αναγκαίο να γίνει μία αρχική εκτίμηση του πριν την επιλογή του Τ. Για παράδειγμα μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο χρόνος ώσπου να φτάσει η κρουστική απόκριση στο 5% της μέγιστης τιμής του. Όταν εκτιμηθεί το, μπορεί να υπολογιστεί μία ελάχιστη τιμή Tmin της περιόδου Τ και έτσι επιλέγεται η συχνότητα ρολογιού Ενδείξεις παλμογράφου Σχήμα 4.17: Υποδοχές απεικόνισης. Στις παραπάνω εικόνες φαίνονται οι διαθέσιμες υποδοχές για απεικόνιση των διαφορετικών σταδίων της διεργασίες, τα χαρακτηριστικά των οποίων είναι τα ακόλουθα: 63

71 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Monitor : το σήμα αναφοράς εμφανίζεται σε 15V Trigger scope: ένας θετικός παλμός εμφανίζεται έδώ όταν ο καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση για να ενεργοποιήσει έναν παλμογράφο βάση χρόνου να συγχρονιστεί με την ακολουθία PRBS. Monitor : 10V μέγιστο σήμα Monitor : 10V μέγιστο σήμα Monitor : Καθώς το τ παίρνει διάφορες τιμές, αυτή η συνάρτηση καθυστερεί σχετικά με την και με την χρήση παλμογράφου είναι δυνατή η απεικόνιση των 2 αυτών σημάτων για να διαπιστωθεί η χρονική καθυστέρηση. Monitor modulator outputs: Εδώ μπορούν να παρατηρηθούν τα 2 κομμένα σήματα. Με χρήση παλμογράφου διπλής δέσμης είναι δυνατή η υπέρθεση αυτών των 2 σημάτων δημιουργώντας έτσι την κυματομορφή του σύνθετου γινομένου. Matrix display outputs: Όπως έχει ήδη περιγραφεί προηγουμένως. Χρησιμοποιείται για την παρατήρηση των κύκλων και υποκύκλων που δημιουργεί ο καταχωρητής ολίσθησης. Ext. Clock: Όταν χρησιμοποιείται τυποποιημένη συχνότητα ρολογιού από αυτή την ακίδα είναι δυνατή η απεικόνιση της κυματομορφής της συχνότητας του ρολογιού. Amp/Int output: Η ακίδα αυτή στην έξοδο του ενισχυτή/ολοκληρωτή παρέχεται για απεικόνιση σε παλμογράφο ή για σύνδεση με εξωτερικό όργανο μέτρησης ή καταγραφής. Η έξοδος είναι 10V. 64

72 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης 4.5 ΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Σχήμα 4.18: NI USB Για την απεικόνιση σε υπολογιστή των αποτελεσμάτων του πειραματικών τιμών χρησιμοποιήθηκε η συσκευή της εταιρίας National Instruments, NI USB Το NI USB-6008 είναι χαμηλού κόστους συσκευή DAQ μικρού μεγέθους και εύκολης συνδεσιμότητας τύπου βίδας. Η σύνδεση με τον υπολογιστή είναι μέσω USB της μορφής plug-and-play. Η συσκευή αυτή είναι αρκετά απλή για γρήγορες μετρήσεις, αλλά και αρκετά ευέλικτη για πιο σύνθετες εφαρμογές μετρήσεων. Η συσκευή παρέχει σύνδεση με 8 διαύλους αναλογικών εισόδων (ΑΙ), 2 αναλογικών εξόδων (AO), 12 ψηφιακές εισόδους/εξόδους (DIO), και ένα μετρητή 32-bit μεγάλης ταχύτητας διασύνδεσης USB. Όλα αυτά απεικονίζονται στο σχηματικό διάγραμμα τις συσκευής του σχήματος. Σχήμα 4.19: Σχηματικό διάγραμμα NI USB

73 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Τα χαρακτηριστικά της συσκευής αναγράφονται στους παρακάτω: Αναλογική Είσοδος Analog inputs Differential 4 Single-ended 8, software-selectable Input resolution Differential 12 bits Single-ended 11 bits Max sample rate (aggregate) 10 ks/s Converter type Successive approximation AI FIFO 512 bytes Timing resolution ns (24 MHz timebase) Timing accuracy 100 ppm of actual sample rate Input range Differential ±20 V2, ±10 V, ±5 V, ±4 V, ±2.5 V, ±2 V, ±1.25 V, ±1 V Single-ended ±10 V Working voltage ±10 V Input impedance 144 kω Overvoltage protection ±35 V Trigger source Software or external digital trigger System noise Differential ±20 V range... 5 mvrms ±1 V range mvrms Single-ended ±10 V range... 5 mvrms Αναλογική Έξοδος Analog outputs 2 Output resolution Maximum update rate Output range Output impedance Output current drive Power-on state 12 bits 150 Hz, software-timed 0 to +5 V 50 Ω 5 ma 0 V 66

74 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Slew rate Short circuit current Absolute accuracy (no load) Typical Maximum at full scale 1 V/μs 50 ma 7 mv 36.4 mv Ψηφιακές Είσοδοι/έξοδοι Digital I/O lines P0.<0..7> P1.<0..3> Direction control Output driver type Compatibility Absolute maximum voltage range Pull-up resistor Power-on state 8 lines 4 lines Each channel individually programmable as input or output Open collector TTL, LVTTL, CMOS 0.5 to 5.8 V with respect to GND 4.7 kω to 5 V Input Εξωτερική τροφοδοσία +5 V output (200 ma maximum) Minimum V Typical +5 V +2.5 V output (1 ma maximum) +2.5 V +2.5 V accuracy 0.25% maximum Reference temperature drift 50 ppm/ C maximum Event Counter Number of counters 1 Resolution Counter measurements Counter direction Pull-up resistor Maximum input frequency Minimum high pulse width Minimum low pulse width 32 bits Edge counting (falling-edge) Count up 4.7 kω to 5 V 5 MHz 100 ns 100 ns 67

75 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Input high voltage Input low voltage 2.0 V 0.8 V Bus Interface USB specification USB bus speed USB 2.0 full-speed 12 Mb/s Power Requirements USB 4.10 to 5.25 VDC Typical Maximum USB suspend Typical Maximum 80 ma 500 ma 300 μa 500 μa Physical Characteristics Dimensions Without connectors With connectors Weight Without connectors With connectors I/O connectors Screw-terminal wiring Torque for screw terminals 63.5 mm 85.1 mm 23.2 mm (2.50 in in in.) 81.8 mm 85.1 mm 23.2 mm (3.22 in in in.) 54 g (1.9 oz) 84 g (3 oz) USB series B receptacle, (2) 16 position screw terminal plugs 16 to 28 AWG N m ( lb in.) Η σύνδεση που εκτελέστηκε στο εργαστήριο είναι απλής μορφής καθώς χρησιμοποιήθηκε μόνο η είσοδος, την οποία συνδέσαμε μετά το στάδιο της ολοκλήρωσης, για αποθήκευση των τιμών της μέσης τιμής ετεροσυσχέτισης των 68

76 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή της πειραματικής διάταξης σημάτων και χρήση αυτών για δημιουργία του επιθυμητού διαγράμματος συνάρτηση της καθυστέρησης. ως Σχήμα 4.20: Η συσκευή Chain Correlator Type CCC325. Σχήμα 4.21: Η πειραματική διάταξη. Σχήμα 4.22: Συστήματα. 69

77 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Κεφάλαιο 5 Πειραματική διαδικασία 5.1 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Χωρίς συνδεδεμένο σύστημα και συχνότητα 1000 p.p.s παρατηρούμε τον τρόπο λειτουργίας του καταχωρητή ολίσθησης, εξετάζοντας διάφορες συνδεσμολογίες για την καλύτερη κατανόηση. Ο καταχωρητής έχει μόνιμα συνδεδεμένο το έκτο στάδιο του στον αθροιστή modulo-2. Συνδέοντας λοιπόν στον αθροιστή, και το πρώτο στάδιο του καταχωρητή έχουμε την συνδεσμολογία του Σχήματος 5.1 και στον παλμογράφο παρατηρούμε την κυματομορφή του σχήματος 5.2. Σχήμα 5.1: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία. 70

78 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Σχήμα 5.2: Σήμα εισόδου. Με την συγκεκριμένη συνδεσμολογία ο καταχωρητής ολίσθησης δημιουργεί μεγίστου μήκους ακολουθία, m-ακολουθία, δηλαδή περνά από όλες τις πιθανές καταστάσεις του (63 καταστάσεις). Όπως φαίνεται και παραπάνω, η συνδεσμολογία αυτή παράγει κυματομορφή που επαναλαμβάνεται κάθε 63 καταστάσεις, και εφόσον. άρα επαναλαμβάνεται κάθε. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] 71

79 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, επομένως η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: Παρατηρούμε ότι και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο προδίδει ότι αυτή η συνδεσμολογία δημιουργεί ακολουθία μεγίστου μήκους επειδή είναι απλό (primitive). Χρησιμοποιώντας τους ΧΥ ακροδέκτες που υπάρχουν στην πρόσοψη της συσκευής βλέπουμε την διαδοχή καταστάσεων του καταχωρητή. Σχήμα 5.3:Διαδοχή καταστάσεων του καταχωρητή. 72

80 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Για την λήψη της φωτογραφίας του σχήματος 5.3 χρειάστηκε να μειώσουμε την συχνότητα του ρολογιού για να παρατηρήσουμε την αλληλουχία των καταστάσεων του καταχωρητή. Οι κουκίδες του διαγράμματος αντιπροσωπεύουν τις τιμές του Πίνακα 5.1 οι οποίες είναι οι ακριβής τιμές όλων των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης σε κάθε στιγμή (ms). Λόγω της γρήγορης προσπέλασης των καταστάσεων αυτών κάποιες κουκίδες δεν είναι ορατές στην φωτογραφία καθώς αναβόσβηναν υποδεικνύοντας την αλλαγή των καταστάσεων. Πίνακας

81 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Στην συνέχεια συνδέσαμε τη δεύτερη σύνδεση ανατροφοδότησης στο δεύτερο στάδιο του καταχωρητή και λάβαμε την παρακάτω κυματομορφή. Σχήμα 5.4: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία. Σχήμα 5.5: Σήμα εισόδου. Με την συγκεκριμένη συνδεσμολογία ο καταχωρητής ολίσθησης δεν καταφέρνει να δημιουργήσει μεγίστου μήκους ακολουθία, m-ακολουθία. Όπως φαίνεται και παραπάνω, η συνδεσμολογία αυτή παράγει κυματομορφή που επαναλαμβάνεται κάθε 14 στιγμές δηλαδή κάτι που δηλώνει ότι ο καταχωρητής εκτελεί κυκλική προσπέλαση μερικών μόνο καταστάσεων του. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] 74

82 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, άρα η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: Σύμφωνα με την θεωρία της δημιουργίας μεγίστου μήκος ακολουθιών, επειδή το πολυώνυμο δεν είναι απλό (primitive), ο καταχωρητής δεν καταφέρνει να προσπελάσει όλες τις πιθανές καταστάσεις όπως αποδείχθηκε και προηγουμένως από την κυματομορφή που παράχθηκε. Στον Πίνακα 5.2 φαίνονται οι ακριβής τιμές όλων των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης κάθε χρονική στιγμή, και οι υποκύκλοι που είναι δυνατόν να δημιουργηθούν. 75

83 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πίνακας Ο καταχωρητής πραγματοποιώντας κυκλική προσπέλαση περνάει από ένα σύνολο καταστάσεων, αλλά όχι όλες τις πιθανές καταστάσεις. Όπως υπολογίστηκε στον παραπάνω πίνακα, υπάρχουν 5 πιθανοί υποκύκλοι προσπέλασης. Οι τέσσερις έχουν μήκος 14 καταστάσεων και ένας 7 καταστάσεων. Αυτοί οι υποκύκλοι δεν έχουν κοινές καταστάσεις μεταξύ τους και ανάλογα με την αρχική κατάσταση του καταχωρητή, ο ίδιος παράγει διαφορετικές ακολουθίες μήκους 14 ή 7 καταστάσεων. Συνδέοντας τη δεύτερη σύνδεση ανατροφοδότησης στο τρίτο στάδιο του καταχωρητή, έχουμε το σύστημα που απεικονίζεται στο Σχήμα 5.6. Σχήμα 5.6: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία 76

84 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, άρα η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: 77

85 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Και σε αυτή την συνδεσμολογία παρατηρούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δεν είναι απλό (primitive), γεγονός που αποδεικνύει ότι δεν μπορεί να δημιουργήσει μεγίστου μήκους ακολουθία. Στον Πίνακα 5.3 φαίνονται οι ακριβής τιμές όλων των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης κάθε χρονική στιγμή, και οι υποκύκλοι που είναι δυνατόν να δημιουργηθούν. Πίνακας Δημιουργούνται 7 πιθανοί υποκύκλοι. Δηλαδή ανάλογα με την αρχική κατάσταση του καταχωρήτη είναι δυνατόν να δημιουργηθούν 7 διαφορετικά σήματα μήκους 9 καταστάσεων, διαφορετικών πάντα μεταξύ τους. Όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα κάθε υποκύκλος ορίζεται από μοναδικές καταστάσεις του καταχωρητή. Συνδέοντας τη δεύτερη σύνδεση ανατροφοδότησης στο τέταρτο στάδιο του καταχωρητή, έχουμε το σύστημα του Σχήματος 5.7 και λαμβάνουμε την κυματομορφή Σχήματος 5.8. Σχήμα 5.7: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία. 78

86 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Σχήμα 5.8: Σήμα εισόδου. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.7, η συνδεσμολογία αυτή παράγει σήμα εισόδου που επαναλαμβάνεται κάθε 14 στιγμές δηλαδή κάτι που δηλώνει ότι ο καταχωρητής εκτελεί κυκλική προσπέλαση μερικών μόνο καταστάσεων του. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] [ ] [ ] 79

87 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, άρα η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: Παρατηρούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δεν είναι απλό (primitive), γεγονός που αποδεικνύει ότι δεν μπορεί να δημιουργήσει ακολουθία μέγιστου μήκους. Στον Πίνακα 5.4 φαίνονται οι ακριβής τιμές όλων των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης σε κάθε χρονική στιγμή, και οι υποκύκλοι που είναι δυνατόν να δημιουργηθούν. Πίνακας

88 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Με την συγκεκριμένη συνδεσμολογία δημιουργούνται 5 πιθανοί υποκύκλοι, εκ των οποίων οι τέσσερις έχουν μήκος 14 και ο ένας 7 καταστάσεων. Συνδέοντας το πέμπτο στάδιο του καταχωρητή στον αθροιστή, έχουμε το σύστημα του Σχήματος 5.8. Σχήμα 5.9: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία. Σχήμα 5.10: Σήμα εισόδου. Παρατηρούμε και σε αυτή την περίπτωση, όπως και στην πρώτη που εξετάστηκε, δημιουργείται κυματομορφή που επαναλαμβάνεται κάθε 63ms. Πρόκειται για ακολουθία μεγίστου μήκους, m-ακολουθία. Ο καταχωρητής κατορθώνει να περνά από όλες τις πιθανές καταστάσεις. Αυτό είναι ορατό και στον πίνακα διαδοχής καταστάσεων του καταχωρητή του Σχήματος

89 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Σχήμα 5.11: Διαδοχή καταστάσεων του καταχωρητή. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] [ ] [ ] 82

90 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, άρα η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: Το στάδιο 5 που συμβάλει στην δημιουργία της επόμενης τιμής του καταχωρητή είναι περιττός αριθμός, και ο άθροισμα όλων των σταδίων που συμβάλουν ( ) είναι περιττός αριθμός και μάλιστα πρώτος. Αυτό σύμφωνα με την θεωρία ικανοποιεί τις συνθήκες για δημιουργία ακολουθίας μεγίστου μήκους. Στον Πίνακα 5.5 φαίνονται οι ακριβής τιμές όλων των σταδίων του καταχωρητή ολίσθησης σε κάθε χρονική στιγμή. Όπως αποδείχθηκε και με την ανάλυση του συστήματος παραπάνω, έτσι λοιπόν και στον παρακάτω πίνακα αποδεικνύεται, με άλλο τρόπο αυτή τη φορά, το γεγονός ότι ο καταχωρητής κατορθώνει να προσπελάσει και τις 63 πιθανές καταστάσεις του. 83

91 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πίνακας Αποσυνδέοντας την δεύτερη σύνδεση ανατροφοδότησης του καταχωρητή, η λειτουργία του καταχωρητή, δηλαδή η δημιουργία του σήματος PRBS, αποτελείται από μία σύνδεση ανατροφοδότησης. Σχήμα 5.12: Καταχωρητής ολίσθησης με συνδεσμολογία. 84

92 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Η ανάλυση του συστήματος: [ ] [ ] [ ] Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιότητες της mod-2 αριθμητικής είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ικανοποιείται και για τον μεταβατικό πίνακα, άρα η γενική σχέση που περιγράφει τον μεταβατικό πίνακα είναι: Είναι προφανές από την παραπάνω σχέση ότι η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε 6 περιόδους. Άρα δημιουργούνται συνολικά 11 υποκύκλοι, από τους οποίους οι 10 έχουν μήκος κύκλου 6 καταστάσεις ενώ η 1 έχει 3 καταστάσεις. Ο θεωρητικός 85

93 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία υπολογισμός της αλληλουχίας των καταστάσεων επιτυγχάνεται θεωρώντας μια τυχαία αρχική κατάσταση κάθε φορά και σύμφωνα με την σχέση. 5.2 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Όπως έχουμε εξηγήσει μπορούμε να δημιουργήσουμε μία καθυστερημένη έκδοση μίας -ακολουθίας, συνδυάζοντας κατάλληλα τις καταστάσεις των σταδίων του καταχωρητή. Σε αυτό το σημείο, αναζητήθηκε η εύρεση αυτών των συνδυασμών για τις δύο συνδεσμολογίες του καταχωρητή ολίσθησης που δημιουργούν ακολουθίες μεγίστου μήκους. Συνδέοντας το πρώτο στάδιο του καταχωρητή, και εφόσον το έκτο είναι μόνιμα συνδεδεμένο στο modulo-2, ο καταχωρητής ολίσθησης παράγει σήμα σύμφωνα με την εξίσωση, επιτυγχάνοντας έτσι δημιουργία m- ακολουθίας PRBS. Για την δημιουργία μίας καθυστερημένης έκδοσης του σήματος το σύστημα διαθέτει έναν πίνακα ελέγχου (patchboard) με τον οποίο ο χρήστης δημιουργεί την επιθυμητή καθυστέρηση συνδυάζοντας τις τρέχουσες τιμές των διαφόρων σταδίων του καταχωρητή. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει όλους τους συνδυασμούς των σταδίων του καταχωρητή που δημιουργούν καθυστερήσεις στο σήμα της γεννήτριας. Οι τιμές έχουν υπολογιστεί από την αναδρομική σχέση που προκύπτει ως εξής: Ισχύει δηλαδή Στον Πίνακα 5.6 καταγράφονται οι συνδυασμοί για δημιουργία καθυστέρησης της ακολουθίας όταν ο καταχωρητής λειτουργεί με συνδεσμολογία. Αλλάζοντας την σύνδεση ανατροφοδότησης του καταχωρητή, συνδέοντας αυτή την φορά πέμπτο στάδιο, δηλαδή, παρατηρούμε ότι και σε αυτή την περίπτωση επιτυγχάνεται η δημιουργία m-ακολουθίας PRBS. Για την δημιουργία των χρονικών καθυστερήσεων, οι συνδυασμοί του προηγούμενου πίνακα δεν ισχύουν. Με μαθηματικούς υπολογισμούς υπολογίζονται οι συνδυασμοί για κάθε χρονική καθυστέρηση που είναι δυνατόν να εφαρμοστούν. Ισχύει δηλαδή Στον Πίνακα 5.7 καταγράφονται οι συνδυασμοί για δημιουργία καθυστέρησης της ακολουθίας όταν ο καταχωρητής λειτουργεί με συνδεσμολογία. 86

94 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πίνακας 5.6: Συνδυασμοί για δημιουργία ακολουθίας με καθυστέρηση για την συνδεσμολογία του shift register:. Delay Mod-2 Inputs E E E 1 1 E E E 2 2 E E E 3 3 E E E 4 4 E E E 5 5 E E E 6 6 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Delay Mod-2 Inputs E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Ε Ε 87

95 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πίνακας 5.7: Συνδυασμοί για δημιουργία ακολουθίας με καθυστέρηση Για την συνδεσμολογία του shift register:. Delay Mod-2 Inputs E E E 1 1 E E E 2 2 E E E 3 3 E E E 4 4 E E E 5 5 E E E 6 6 E E E E E E E E E E E E E Delay Mod-2 Inputs E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 54 3 E E E E E E E E E E 59 2 E E E E E E E E 88

96 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Όλες οι πιθανές καθυστερήσεις είναι: Παρατηρούμε ότι με την δεύτερη συνδεσμολογία, 4 καθυστερήσεις είναι μη πραγματοποιήσιμες αντίθετα με προηγουμένως που ήταν μόνο 3. Επιπλέον, η διάταξη αυτή αδυνατεί να δημιουργήσει μικρές τιμές καθυστερήσεων της τάξης των 10, 11 και 12 χρονικών καταστάσεων καθιστώντας την έτσι αυτή μη ικανοποιητική για χρήση στην πειραματική διαδικασία. Για τους παραπάνω λόγους για την διεξαγωγή των πειραμάτων χρησιμοποιήθηκε η συνδεσμολογία, η οποία δημιουργεί ακολουθία μεγίστου μήκους, 63 καταστάσεις, και έχει μόνο 3 μη πραγματοποιήσιμες τιμές καθυστερήσης. 89

97 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία 90

98 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία 5.3 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Θεωρητικοί υπολογισμοί: Η -ακολουθία που σχηματίζεται με την συνδεσμολογία είναι η εξής: REPEAT Θεωρώντας για μια PRBS ότι οι τιμές 0 και 1 είναι οι προσημασμένες τιμές -1 και 1 αντίστοιχα παρατηρούμε ότι η ακολουθία ικανοποιεί τα κριτήρια Coulomb. Πιο συγκεκριμένα: Το πλήθος των +1 και -1 διαφέρουν κατά 1. Πιο συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από 32 επίπεδα +1 και 31 επίπεδα -1. Ο μέσος όρος είναι. Συνολικά παρατηρούνται 32 διαδρομές. Οι μισές από αυτές, δηλαδή οι 16, έχουν μήκος 1, το ένα τέταρτο των διαδρομών, δηλαδή 8, μήκος 2, το ένα όγδοο, δηλαδή 4, μήκος 3, το ένα δέκατο έκτο, δηλαδή 2, μήκος 4 και 1 μήκους 5 και 1 μήκους 1. Ο πολλαπλασιασμός 2 αντιγράφων της ίδιας ακολουθίας μετατοπισμένων κατά οποιοδήποτε αριθμό ψηφίων δίνει αποτέλεσμα 31 επίπεδων +1 και 32 επίπεδων -1, δίνοντας μέσο όρο. Αν δύο όμοιες ακολουθίες πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους όλα τα γινόμενα είναι +1, δίνοντας έτσι μέσο όρο την μονάδα. Η μορφή της αυτοσυσχέτισης του σχήματος (5.), είναι προφανώς παρόμοια με αυτή του λευκού θορύβου και προσεγγίζει μια κρουστική απόκριση καθώς το μήκος της ακολουθίας m αυξάνεται, για ένα συγκεκριμένο εύρος μ,τ και ως εκ τούτου το πλάτος του τριγώνου μειώνεται. Σχήμα 5.13: Αυτοσυσχέτιση PRBS 91

99 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πείραμα: Εφαρμόζουμε συνδεσμολογία στο σύστημα, επιτυγχάνοντας έτσι m-ακολουθία και στην συνέχεια εκτελούμε όλες τις απαραίτητες αρχικοποιήσεις που απαιτούνται στο σύστημα για την διαδικασία σε λειτουργία AVERAGE MODE. Θέτουμε την γεννήτρια παλμών 1000 p.p.s. Μειώνουμε το DRIVE AMPLITUDE στο μηδέν και βραχυκυκλώνουμε τις υποδοχές εισόδου και εξόδου του εξεταζόμενου δικτύου. Απεικονίζουμε την και ρυθμίζουμε κατάλληλα το εύρος οδήγησης και τον ενισχυτή ώστε το εύρος του σήματος να είναι εντός του διαστήματος. Θέτουμε στην γεννήτρια καθυστέρησης, μηδενική τιμή και αλλάζουμε το μέτρο ένδειξης ώστε να απεικονίζει εύρος. Στην συνέχεια προσαρμόζουμε το εύρος οδήγησης, μειώνοντας το, ώστε να επιτύχουμε απεικόνιση πλήρους κλίμακας. Όπως αναφέρθηκε και το κεφάλαιο 3 η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης: Στην περίπτωση αυτή όπου το υπο-έλεγχο σύστημα είναι μια απευθείας σύνδεση, η κρουστική απόκριση εξ ορισμού είναι μία κρουστική συνάρτηση. Ωστόσο, όπως αναλύθηκε μέσω της μελέτης της ψευδοτυχαίας ακολουθίας που δημιουργεί ο καταχωρητής ολίσθησης, η τιμή της εξίσωσης είναι ίση με μηδέν, εκτός από την περίπτωση όπου Με αυτή την διαδικασία καταφέραμε με την διαδικασία μέτρησης της ετεροσυσχέτισης να μετρήσουμε την αυτοσυσχέτιση, βραχυκυκλώνοντας το υπο-έλεγχο σύστημα. Έτσι λοιπόν, μεταβάλλουμε την καθυστέρηση ώστε να λάβει όλες τις τιμές, παρατηρώντας τις διαδοχικές αναγνώσεις. Αποθηκεύοντας όλες αυτές τις τιμές με χρήση της εντολή LABVIEW write to spreadsheet σε αρχείο.txt, επιλέγουμε την αναπαράσταση των αποτελεσμάτων ως συνάρτηση της καθυστέρησης, η οποία αντιπροσωπεύει μία περίοδο ενός παλμού ρολογιού, η κάθε καθυστέρηση αντιστοιχεί σε 1ms. Οι μετρήσεις καταγράφηκαν στον Πίνακα

100 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Πίνακας 5.8 τ Μέτρηση τ Μέτρηση τ Μέτρηση 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,047 Στην συνέχεια κάνοντας χρήση της εντολής read from spreadsheet file, απεικονίσαμε σε διάγραμμα chart τα αποτελέσματα ως συνάρτηση της χρονικής καθυστέρησης του σήματος εισόδου. Η αυτοσυσχέτιση του σήματος εισόδου ως συνάρτηση της χρονικής καθυστέρησης που εφαρμόζεται φαίνεται στο σχήμα

101 Κεφάλαιο 5: Πειραματική διαδικασία Σχήμα 5.14: Αυτοσυσχέτιση PRBS. Παρατηρούμε ότι η απόκριση συμφωνεί με τις θεωρητικά υπολογισμένες τιμές. Πιο συγκεκριμένα, για καθυστέρηση, δηλαδή συσχέτιση ενός σήματος με ακριβές αντίγραφο του έχει την τιμή 1, ενώ η συχέτιση με αντίγραφο του μετατοπισμένο κατά οποιαδήποτε τιμή έχει τιμή περίπου Η ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Θεωρητικοί υπολογισμοί: Το πρώτο σύστημα που εξετάσαμε είναι το παρακάτω σύστημα πρώτης τάξης. Σχήμα 5.15: Υπό-έλεγχο σύστημα. Πρόκειται για ένα σύστημα RC πρώτης τάξης. Η κρουστική απόκριση του συστήματος υπολογίζεται από την σχέση: 94