Φροντιστήριο #2 Λυμένες Ασκήσεις σε Κατηγορηματικό Λογισμό 26/2/2019

Transcript

1 Φροντιστήριο #2 Λυμένες Ασκήσεις σε Κατηγορηματικό Λογισμό 26/2/2019 Άσκηση Φ2.1 Διατυπώστε τις παρακάτω προτάσεις ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού. Σε κάθε περίπτωση, προσδιορίστε τα κατηγορήματα και τα π.ο. των μεταβλητών που θα χρησιμοποιήσετε. 1. Κάποιος αριθμός είναι και άρτιος και περιττός 2. Όλες οι πάπιες μπορούν να κολυμπήσουν 3. Υπάρχει κάποια γυναίκα που την αγαπούν όλοι οι άντρες 4. Κάποιος χρειάστηκε βοήθεια και φώναξε την αστυνομία 5. Κανείς δεν μπορεί να αγνοήσει τον Πέτρο 1. Έστω: Α(x) = {ο x είναι άρτιος}, Π(x)={ο x είναι περιττός} Π.Ο.(x) = οι πραγματικοί αριθμοί x (Α(x)Π(x)) 2. Έστω: Π(x) = {ο x είναι πάπια}, Κ(x)={ο x μπορεί να κολυμπήσει} Π.Ο.(x) = όλα τα ζώα x ( Π(x) K(x)) 3. Έστω: Γ(x) = {ο x είναι γυναίκα}, Α(x)={ο x είναι άντρας}, L(x,y)={ο x αγαπάει τον y) Π.Ο.(x,y) = όλοι οι άνθρωποι x (Γ(x) y ( A(y) L(y,x))) 4. Έστω: B(x) = {ο x χρειάστηκε βοήθεια}, Α(x)={ο x φώναξε την αστυνομία}, Π.Ο.(x) = όλοι οι άνθρωποι x ( Β(x) Α(x)) 5. Έστω Α(x,y)={ο x αγνοεί τον y}, Π.Ο.(x) = όλοι οι άνθρωποι x Α(x, Πέτρος ) Άσκηση Φ2.2 Γράψτε τους παρακάτω αφορισμούς ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού, χρησιμοποιώντας τις προτασιακές μορφές Υ(x,w) = Ο x είναι υπέρ του w και Κ(x,w) = Ο x είναι κατά του w και x, w, μεταβλητές στο σύνολο των ανθρώπων. 1. όλοι έχουν κάποιο εχθρό (εννοώντας ότι εχθρός είναι κάποιος που είναι κατά κάποιου άλλου) 2. Όλοι για έναν και ένας για όλους (εννοώντας ότι ένας σημαίνει κάποιος ). 3. Όποιος δεν είναι υπέρ μας, είναι εναντίον μας (εννοώντας ότι μας σημαίνει όλους εμάς )

2 4. Ό εχθρός του εχθρού σου είναι φίλος σου (εννοώντας ότι εχθρός είναι κάποιος που είναι κατά κάποιου άλλου ενώ φίλος είναι κάποιος που είναι υπέρ του, και σου σημαίνει οποιουδήποτε ) 1. yx(k(x,y) ) 2. x y Y(y,x) x y Y(x,y) 3. xy(y(x,y) K(x,y)) 4. xyz( ( K(x,y) K(y,z)) Y(x,z) ) Άσκηση Φ2.3 Θεωρείστε τα παρακάτω κατηγορήματα P(x,y) = x>y Q(x,y) = x y R(x) = x 7=2 S(x) = x>9 Θεωρώντας ότι το π.ο. των x και y είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, προσδιορίστε την αλήθεια των παρακάτω προτάσεων 1. y( S(y)) 2. x yp(x,y) 3. y xq(x,y) 4. x y(p(x,y) Q(x,y)) 5. xs(x) xr(x) 6. y x(s(y) Q(x,y)) 7. x y((r(x) S(y)) Q(x,y)) 1. F: Δεν είναι όλοι οι αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 9 2. T: για κάθε αριθμό υπάρχει κάποιος που να είναι μικρότερός του 3. F: Δεν υπάρχει αριθμός y που να είναι μεγαλύτερος ή ίσος από όλους τους άλλους αριθμούς 4. Τ: Ένα από τα 2 κατηγορήματα πάντα θα ισχύει για οποιαδήποτε x,y, άρα και η διάζευξή τους 5. F: Δεν ισχύει το δεύτερο μέρος του κατηγορήματος καθώς υπάρχει ένας αριθμός x ώστε να ισχύει το R(x) 6. F: δεν υπάρχει αριθμός y μεγαλύτερος του 9 που να είναι μεγαλύτερος ή ίσος από όλους τους αριθμούς 7. Τ: Η μόνη περίπτωση να είναι Ψευδής είναι η R(x) S(y) να είναι Αληθής και η Q(x,y) να είναι Ψευδής, δηλαδή να ισχύει: x=9, y>9 και x>y Άσκηση Φ2.4 Φτάνετε το βράδυ στο σπίτι σας και βρίσκετε το συγκάτοικό σας ενθουσιασμένο! Ισχυρίζεται ότι κατάφερε να αποδείξει πως υπάρχει ένας άρτιος, πρώτος αριθμός που είναι μεγαλύτερος από το 2. Για την ακρίβεια, ισχυρίζεται πως κατάφερε να αποδείξει πως y ((Π(y) y>2) A(y))

3 Όπου το y είναι φυσικός αριθμός, Π(y)= Ο y είναι πρώτος αριθμός, και A(y)= Ο y είναι άρτιος αριθμός. Καθώς λοιπόν ο συγκάτοικός σας γιορτάζει την τεράστια επιστημονική του ανακάλυψη, εσείς διαπιστώνετε ότι πραγματικά η πρόταση αυτή είναι αληθής! 1. Δώστε μία τιμή για την οποία η πρόταση του συγκάτοικού σας είναι αληθής. 2. Είναι η πρόταση αυτή αληθής όταν το πεδίο ορισμού της y είναι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 2; Εξηγείστε την απάντησή σας. 3. Εξηγείστε στο συγκάτοικό σας τι πραγματικά έπρεπε να αποδείξει, προκειμένου να μπορεί να ισχυριστεί ότι πράγματι υπάρχει άρτιος, πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του Η πρόταση είναι αληθής για y=1. 2. Για y {0,2}, το A(y) δίνει true αλλά το y>2 δίνει False. Οπότε έχουμε F Τ που δίνει True. Για y=1 δείξαμε παραπάνω ότι η πρόταση ισχύει. Άρα, για πεδίο ορισμού τους φυσικούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 2, η πρόταση ισχύει. 3. Έπρεπε να αποδείξει την πρόταση: y ( Π(y) y>2 A(y) ) Άσκηση Φ2.5 Προσδιορίστε την αλήθεια της πρότασης x y((α(x) Β(x,y)) A(y)) στις παρακάτω περιπτώσεις. Στην περίπτωση που η πρόταση είναι ψευδής, δώστε παραδείγματα τιμών των μεταβλητών που την κάνουν ψευδή. 1. Οι x,y είναι φυσικοί αριθμοί, Α σημαίνει άρτιος και Β σημαίνει ισούται. 2. Οι x,y είναι φυσικοί αριθμοί, Α σημαίνει άρτιος και Β σημαίνει ακέραιος διαιρέτης. 3. Οι x,y είναι φυσικοί αριθμοί, Α σημαίνει άρτιος και Β σημαίνει ακέραιο πολλαπλάσιο. 4. Οι x,y είναι τιμές αληθείας, Α σημαίνει False και Β σημαίνει αποκλειστική διάζευξη. 1. Τrue 2. False: πχ για x=6 και y=3 έχουμε T^TF ή TF που μας δίνει F 3. Τrue 4. True: γιατί άσχετα με την αλήθεια του B(x,y) θα έχω πάντα FF που δίνει T Άσκηση Φ2.6 (a) Προσδιορίστε την αλήθεια των παρακάτω προτάσεων, στις οποίες όλες οι μεταβλητές είναι ορισμένες στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών. (1) x ( x = x) (2) x (x 2 =x) (3) x (x+3 = 3) (4) x (x+3<5) (5) x (x+3 < 10) (6) x, x 2-2x+5=0 (b) Επαναλάβετε το (a) για την περίπτωση που οι μεταβλητές είναι ορισμένες στο σύνολο Α={1, 2, 3, 4, 5}. (c) Διατυπώστε την άρνηση των προτάσεων της (a)

4 (a) (1) False, (2) True, (3) True, (4) True, (5) False (6) False (το τριώνυμο δεν έχει λύση στο R, Δ<0) (b) (1) True, (2) True, (3) False, (4) True, (5) True (6) False (c) (1) x, x x (2) x, x 2 x (3) x, x+3 3 (4) x, x+3 5 (5) x,(x+3 10) (6) x, x 2-2x+5 0 Άσκηση Φ2.7 Προσδιορίστε την αλήθεια των παρακάτω προτάσεων, εάν οι μεταβλητές x, y και z ορίζονται στο σύνολο Α={1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. (1) xy (x 2 <y+1) (2) xy (x 2 + y 2 <12) (3) xy (x 2 + y 2 <12) (4) xyz (x 2 + y 2 <2z 2 ) (5) xyz (x 2 + y 2 <2z 2 ) (1 ) True, δείτε τι ισχύει για x=1 (2) False, δέστε τι ισχύει για x=10 (3) False, δείτε τε τι ισχύει για x=y=10 (4) True (5) False, για z=1 δεν μπορούν να βρεθούν x και y τέτοια ώστε η πρόταση να είναι αληθής Άσκηση Φ2.8 Αποδώστε ως προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις. Οι μεταβλητές σας πρέπει να παίρνουν τιμές στο σύνολο των φυσικών οργανισμών. 1. Υπάρχουν πουλιά που τρώνε σκουλήκια 2. Δεν είναι απαραίτητο ότι όλα τα πουλιά τρώνε σκουλήκια. 3. Όλα τα πουλιά τρώνε μόνο σκουλήκια. 4. Κανένα πουλί δεν τρώει μόνο σκουλήκια. Έστω Ε(x,y) = Ο x τρώει τον y Β(x) = O x είναι πουλί W(x) = Ο x είναι σκουλήκι 1. x (Β(x) Λ y (W(y) Λ E(x,y)))

5 2. (x(β(x)y(w(y)λ Ε(x,y)))) 3. x(β(x)y(ε(x,y)w(y))) 4. x(β(x)yz (W(y) Λ W(z) Λ E(x,y) Λ E(x,z) ) Άσκηση Φ2.9 Έστω ότι η μεταβλητή x παίρνει τιμές από το σύνολο των αυτοκινήτων. Έστω επίσης οι προτασιακές μορφές Γ(x) = «Το x είναι γρήγορο» και Α(x)= «Το x είναι ακριβό Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό τις παρακάτω προτάσεις. 1. Υπάρχει το πολύ ένα αυτοκίνητο που είναι γρήγορο και δεν είναι ακριβό. 2. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο αυτοκίνητα που είναι ακριβά ή γρήγορα. a. 1. x (( Γ(x) A(x)) Λ y((γ(y) A(y)) ( x=y ))) 2. x y (( Γ(x) v A(x)) Λ ((Γ(y) v A(y)) Λ ( x y )) Άσκηση Φ2.10 Έστω ότι η μεταβλητή x παίρνει τιμές από το σύνολο των αγωνιστικών αυτοκινήτων και F(x,y) = «Το αυτοκίνητο x έχει μέγιστη ταχύτητα μεγαλύτερη από αυτή του αυτοκινήτου y» Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό τις παρακάτω προτάσεις. Στη συνέχεια βρείτε την άρνηση κάθε πρότασης σε κατηγορηματικό λογισμό και προσπαθείστε να τη μεταφέρετε σε φυσική γλώσσα 1. Κάθε αυτοκίνητο τρέχει γρηγορότερα από όλα (συμπεριλαμβανομένου του εαυτού του) 2. Κάθε αυτοκίνητο είναι γρηγορότερο από κάποιο άλλο 3. Υπάρχει ένα αυτοκίνητο που είναι ταχύτερο από όλα τα άλλα 4. Κάποιο αυτοκίνητο είναι ταχύτερο από κάποιο άλλο 1. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Υπάρχει ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο που έχει μικρότερη ή ίδια μέγιστη ταχύτητα από κάποιο άλλο 2. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Υπάρχει ένα αυτοκίνητο που είναι πιο αργό από όλα τα άλλα 3. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Για κάθε αυτοκίνητο υπάρχει ένα άλλο πιο αργό 4. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Κάθε αυτοκίνητο είναι πιο αργό από όλα τα άλλα

6 Άσκηση Φ2.11 Διατυπώστε και μετά απλοποιείστε κατά το δυνατόν την άρνηση των παρακάτω προτάσεων: (1) x P(x) y Q(y) (2) xy R(x, y) (3) x y R(x, y) (4) yxz S(x, y, z) (5) xy (P(x) Q(y)) (6) xy (R(x, y) Z(y, x)) (7) y x (P(x) Q(y)) (1) (x P(x) y Q(y)) (x P(x)) (y Q(y)) (x P(x))(y Q(y)) (2) (xy R(x, y)) xy R(x, y) (3) (x y R(x, y)) xy R(x, y) (4) (yxz S(x, y, z)) yxz S(x, y, z) (5) (xy (P(x) Q(y))) xy ((P(x) Q(y))) xy (P(x) Q(y)) (6) (xy(r(x, y)z(y,x))) xy(r(x, y)z(y, x)) xy (R(x, y)z(y,x)) xy R(x, y)z(y,x)) (7) (y x (P(x) Q(y))) yx( P(x) Q(y)) yx (P(x) Q(y)) Άσκηση Φ2.12 Έστω Α το σύνολο όλων των ανθρώπων. Γράψτε προτάσεις με ποσοδείκτες για τις ακόλουθες προτάσεις που είναι διατυπωμένες σε φυσική γλώσσα. Οι μεταβλητές των προτασιακών μορφών που χρησιμοποιείτε πρέπει να παίρνουν τιμές από το σύνολο Α. (a) Όλοι οι μπασκετμπολίστες είναι ψηλοί (b) Όλοι οι ψηλοί είναι μπασκετμπολίστες (c) Ανάμεσα σε όλους τους μπασκετμπολίστες, κάποιος είναι ψηλός (d) Όλοι οι άνθρωποι είναι μπασκετμπολίστες ή ψηλοί Έστω Ψ(x) = {ο x είναι ψηλός}, και Μ(x) = {ο x είναι μπασκετμπολίστας}, με τη μεταβλητή x να παίρνει τιμές από το σύνολο Α όλων των ανθρώπων. (a) x (Μ(x) Ψ(x)) (για κάθε άνθρωπο ισχύει πως αν είναι μπασκετμπολίστας, τότε είναι ψηλός) (b) x (Ψ(x) Μ(x)) (για κάθε άνθρωπο ισχύει πως αν είναι ψηλός, τότε είναι μπασκετμπολίστας) (c) x (Μ(x) Ψ(x)) (υπάρχει κάποιος άνθρωπος ο οποίος αν είναι μπασκετμπολίστας τότε είναι και ψηλός). Προσέξτε ότι η πρόταση x (Μ(x) Ψ(x)) σημαίνει ότι υπάρχει κάποιος άνθρωπος που είναι και ψηλός και μπασκετμπολίστας. Αυτό όμως σημαίνει ότι πρέπει υποχρεωτικά να υπάρχουν μπασκετμπολίστες. Αντιθέτως, το νόημα της αρχικής πρότασης δεν αποκλείει το υποσύνολο των ανθρώπων που είναι μπασκετμπολίστες να είναι κενό. (d) x (Ψ(x) v Μ(x)) (οποιοσδήποτε άνθρωπος έχει τουλάχιστον μία από τις δύο αυτές ιδιότητες). Άσκηση Φ2.13 Έστω το παρακάτω σχήμα:

7 Προσδιορίστε την αλήθεια των παρακάτω προτάσεων. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (a) t( Triangle( t) Blue( t)) (b) x( Blue( x) Triangle( x)) (c) y( Square( y) RightOf ( d, y)) (d) z( Square( z) Gray( z)) (a) Αληθής, γιατί όλα τα τρίγωνα είναι μπλε. (b) Ψευδής, γιατί το e είναι μπλε αλλά δεν είναι τρίγωνο. (c) Ψευδής, γιατί δεν υπάρχει τετράγωνο σχήμα στα δεξιά του d. (d) Ψευδής, γιατί δεν υπάρχει γκρίζο τετράγωνο. Άσκηση Φ2.14 Γράψτε προτάσεις σε κατηγορηματικό λογισμό που να δηλώνουν τις παρακάτω έννοιες. (προσέξτε ότι οι προτάσεις αυτές μπορεί και να μην είναι αληθείς!). Ορίστε όποια κατηγορήματα χρειάζεστε. 1. Όλα τα τρίγωνα είναι πάνω από το j 2. Υπάρχει μαύρο τετράγωνο 3. Για όλους τους κύκλους, υπάρχει τετράγωνο με το ίδιο χρώμα. 4. Υπάρχει τετράγωνο έτσι ώστε για όλα τα τρίγωνα, το τετράγωνο να είναι δεξιά του xτριγώνου. (a) x ( Triangle(x)Above (j,x) ) (b) x ( Black(x) Λ Square (x) ) (c) x (Circle (x) y(square (y) Λ (Color(x) = Color(y))))) (d) x (Square (x) Λy (Triangle(y) RightOf(y,x))) Άσκηση Φ2.15 Διατυπώστε τις αρνήσεις των προτάσεων της προηγούμενης άσκησης (σε κατηγορηματικό λογισμό αλλά και σε φυσική γλώσσα).

8 a. x ( Triangle(x)Above (j,x) ) x (Triangle(x) Above(j,x)) x ( Triangle(x) Above(j,x)) x(triangle(x) Above(j,x)) Υπάρχει τρίγωνο που δεν είναι πάνω από το j b. x ( Black(x) Λ Square (x) ) x( Black(x) Square (x) ) Για όλα τα σχήματα ισχύει πως δεν είναι μαύρα ή δεν είναι τετράγωνα c. x (Circle (x) y(square (y) Λ (Color(x) = Color(y))))) x ( Circle (x) y(square (y) Λ (Color(x) = Color(y))))) x(circle (x) y(square (y) Λ (Color(x) = Color(y))))) x(circle (x) y (Square (y) Λ (Color(x) = Color(y))))) x(circle (x) y( Square (y) (Color(x) Color(y))))) x(circle (x) y(square (y)(color(x) Color(y))))) Υπάρχει κύκλος x τέτοιος που όλα τα τετράγωνα έχουν διαφορετικό χρώμα απ αυτόν. ( d) x( Square( x) y( Triangle( y) Rightof ( y, x))) x( Square( x) y( Triangle( y) Rightof ( y, x))) x( Square( x) y( Triangle( y) Rightof ( y, x))) x( Square( x) y( Triangle( y) Rightof ( y, x))) Για όλα τα σχήματα ισχύει πως δεν είναι τετράγωνα ή υπάρχει τρίγωνο έτσι ώστε το σχήμα να μη βρίσκεται στα δεξιά του τριγώνου Άσκηση Φ2.16 Βρείτε την άρνηση των παρακάτω προτάσεων: a. Αν ο δάσκαλος λείπει, κάποιοι μαθητές δεν κάνουν τις ασκήσεις τους b. Όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους και ο δάσκαλος είναι παρών c. Κάποιοι μαθητές δεν έκαναν τις ασκήσεις τους ή ο δάσκαλος έλειπε a. Ο δάσκαλος λείπει και όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους b. Κάποιοι μαθητές δεν έκαναν τις ασκήσεις τους ή ο δάσκαλος λείπει. c. Όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους και ο δάσκαλος είναι παρών Άσκηση Φ2.17 Αποδώστε ως προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις. Οι μεταβλητές σας πρέπει να παίρνουν τιμές στο σύνολο των ανθρώπων. 1. Ο Κώστας σύστησε τη Μάρθα σε ένα φοιτητή που κανένας άνθρωπος δεν συμπαθεί. 2. Αν και μόνο αν ο Κώστας μιλήσει σε όλους τους καθηγητές θα είναι η Μάρθα ικανοποιημένη.

9 3. Όλοι οι φοιτητές που αγόρασαν αυτοκίνητο, το πήγαν στο συνεργείο. 4. Ο Γιάννης σύστησε μόνο την Μαρία στον Κώστα. 5. Ο Γιάννης σύστησε τη Μαρία μόνο στον Κώστα. 1. Έστω S(x,y,z) = Ο x σύστησε τον y στον z F(x) = Ο x είναι φοιτητής L(x,y)= O x συμπαθεί τον y x(s(κώστας,μάρθα,x)λ F(x)Λy(L(y,x)) 2. Έστω T(x,y) = Ο x μιλάει στον y K(x) = Ο x είναι καθηγητής Η(x)= O x είναι ευχαριστημένος x (K(x) T(Κώστας,x)) H(Μάρθα) 3. Έστω Α(x) = Ο x αγοράζει αυτοκίνητο F(x) = Ο x είναι φοιτητής S(x)= O x πάει το αυτοκίνητο στο συνεργείο x ((F(x) Λ A(x))S(x)) 4. Έστω S(x,y,z) = Ο x σύστησε τον y στον z S(Γιάννης, Μαρία, Κώστας) Λ (x(s(γιάννης, x, Κώστας) (x= Μαρία))) 5. Έστω S(x,y,z) = Ο x σύστησε τον y στον z S(Γιάννης, Μαρία, Κώστας) Λ (x(s(γιάννης, Μαρία, x) (x=κώστας))) Άσκηση Φ2.18 Έστω οι προτασιακές μορφές, P(x)= ο x είναι παπαγάλος", C(x)= το x είναι χρωματιστό" και T(x)= το x μπορεί να μιλήσει". Θεωρείστε μεταβλητές στο σύνολο όλων των πουλιών. Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό τις προτάσεις: Ε: Κανένας παπαγάλος δεν είναι χρωματιστός, Ζ: Μερικοί παπαγάλοι δεν μπορούν να μιλήσουν, Η: Κάθε χρωματιστό πουλί είναι παπαγάλος, Θ: Αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα πουλί παπαγάλος είναι να είναι χρωματιστό και να μπορεί να μιλήσει, Ι: Κάθε χρωματιστός παπαγάλος μπορεί να μιλήσει. Λυση (a) : x P( x) C( x)

10 Z : x P( x) T( x) H : x C( x) P( x) : x P( x) C( x) T( x) : x C( x) P( x) T( x) Άσκηση Φ2.19 Έστω Q(x,y)= x+y=x-y με τις μεταβλητές x, y να παίρνουν τιμές από το σύνολο των ακεραίων. Βρείτε την τιμή αληθείας των παρακάτω προτάσεων. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (a) Q(1,1) (b) y Q(1,y) (c) x Q(x,2) (d) x y Q(x,y) (e) x y Q(x,y) (f) y x Q(x,y) (g) y x Q(x,y) (h) yxq(x,y) x + y = x y 2y = 0 y = 0 Άρα η Q(x,y) επιστρέφει True όταν y = 0 Επομένως: Α)False b) False αφού μόνο για y = 0 ισχύει η Q(x,y) c) False γιατί 2 0 d)true e)true f)true g)false h)false Άσκηση Φ2.20 Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, διατυπώστε την άρνησή της ως πρόταση του κατηγορηματικού λογισμού και κατόπιν σε φυσική γλώσσα. 1. Σε όλους τους φοιτητές του CSD αρέσουν τα μαθηματικά. 2. Υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που δεν έχει δει υπολογιστή στη ζωή του. 3. Υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που έχει πάρει όλα τα μαθηματικά μαθήματα που προσφέρονται από το Τμήμα. 4. Υπάρχει ένας φοιτητής του ΗΥ118 που έχει επισκεφτεί τουλάχιστον ένα δωμάτιο κάθε κτιρίου του Πανεπιστημίου.

11 1. Έστω F(x) = Ο x είναι φοιτητής C(x) = O x πάει στο CSD M(x) = στο x αρέσουν τα μαθηματικά x (F(x) Λ C(x) Λ M(x)) Υπάρχει φοιτητής του CSD που δεν του αρέσουν τα μαθηματικά. 2. Έστω F(x) = Ο x είναι φοιτητής C(x) = O x είναι φοιτητής του 118 S(x) = Ο x έχει δει υπολογιστή στη ζωή του x ((F(x) Λ C(x)) S(x)) Όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 έχουν δει υπολογιστή στη ζωή τους. 3. Έστω F(x) = Ο x είναι φοιτητής C(x) = O x είναι φοιτητής του 118 S(x,y) = Ο x παίρνει το μάθημα y Π.Ο.(x) = όλοι οι άνθρωποι Π.Ο(y) = όλα τα μαθηματικά μαθήματα του τμήματος x y ((F(x) Λ C(x)) S(x,y)) Κάθε φοιτητής του 118 δεν έχει πάρει κάποιο μαθηματικό μάθημα που προσφέρεται από το τμήμα. 4. Έστω F(x) = Ο x είναι φοιτητής C(x) = O x είναι φοιτητής του 118 V(x,y) = Ο x επισκέπτεται το δωμάτιο y Β(y,z) = To δωμάτιο y ανήκει στο κτίριο z Π.Ο.(x) = όλοι οι άνθρωποι Π.Ο(z) = όλα τα κτίρια του πανεπιστημίου Π.Ο(y) = όλα τα δωμάτια x z y ((F(x) Λ C(x)) (V(x,y) Λ B(y,z))) Κάθε φοιτητής του ΗΥ118 δεν έχει επισκεφτεί όλα τα δωμάτια κάποιου κτιρίου του Πανεπιστημίου. Ή πιο «φυσικά» Για κάθε φοιτητή του ΗΥ118 υπάρχει ένα κτίριο του Πανεπιστημίου το οποίο δεν έχει επισκεφτεί.

12 Άσκηση Φ2.21 Έστω P(x)= o x είναι πρώτος αριθμός, Ν(x)= o x είναι ακέραιος αριθμός, Ο(x)= o x είναι περιττός αριθμός, και G(x,y)= o x είναι μεγαλύτερος του y. Γράψτε τις ακόλουθες προτάσεις σε κατηγορηματικό λογισμό. 1. Ο μεγαλύτερος πρώτος ακέραιος αριθμός είναι περιττός 2. Κάθε πρώτος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος δύο άλλων αριθμών είναι περιττός. Έστω Q(x) = N(x) Λ P(x) 1. x (Q(x) O(x) y (Q(y) G(x,y))) 2. xyz(( Q(x) Λ G(x,y) Λ G(x,z) Λ (x z)) O(x)) Άσκηση Φ2.22 Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά τον y". Αποδώστε το νόημα των παρακάτω προτάσεων με προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού. 1. Όλοι αγαπούν τον Νίκο. xp(x,νίκος) 2. Όλοι αγαπούν κάποιον. xyp(x,y) 3. Υπάρχει κάποιος τον οποίο όλοι αγαπούν. y x P(x,y) 4. Κανείς δεν αγαπά τους πάντες. xyp(x,y) 5. Υπάρχει κάποιος τον οποίο ο Νίκος δεν τον αγαπά. xp(νίκος,x) 6. Υπάρχει κάποιος τον οποίον κανείς δεν αγαπά. yxp(x,y) 7. Υπάρχει ακριβώς ένα άτομο το οποίο όλοι αγαπούν. xy(p(y,x) Λz((P(y,x)Λ P(y,z)) x=z) xy(p(y,x) Λ z (P(y,z) Λ x z)) 8. Ο Νίκος αγαπά ακριβώς δύο άτομα. xy ((P(Νίκος,x) Λ P(Νίκος,y) Λ x y) Λ z (P(Νίκος,z) (z=xvz=y))))

13 9. Όλοι αγαπούν τον εαυτό τους. xp(x,x) 10. Υπάρχει κάποιος που αγαπά μόνο τον εαυτό του. x (P(x,x) Λy (P(x,y)Λy x)) 11. Όλοι αγαπούν τους πάντες εκτός από τον εαυτό τους x y (P(x, y) x y). Παρατήρηση: Η πρόταση αυτή διαβάζεται «Δύο άνθρωποι x, y αγαπιούνται αν και μόνο αν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους» (άρα αν είναι διαφορετικοί αγαπιούνται, και κανένας δεν αγαπά τον εαυτό του). Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να διατυπώσει την πρόταση ως εξής: x y [Α(x, y) η πρόταση σημαίνει όλοι αγαπούν τους πάντες και όλοι δεν αγαπούν τον εαυτό τους, η οποία είναι αντίφαση (γιατί εφόσον τους αγαπούν όλους, δεν μπορούν να μην αγαπούν τον εαυτό τους). A(x, x)]. Αυτή 12. Καθένας που αγαπά τη Μαρία αγαπά όλους όσους αγαπά η Μαρία x y [P(x,Μαρία) {(P(Μαρία, y) P( x, y)}] x y [{P(x,Μαρία) P(Μαρία, y)} P( x, y)] Άσκηση Φ2.23 Έστω x,y μεταβλητές στο σύνολο των ανθρώπων και προτασιακή μορφή Ρ(x,y) με το νόημα "ο x αγαπά τον y". Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, (α) διατυπώστε την σε φυσική γλώσσα (β) διατυπώστε την άρνησή της ως πρόταση του κατηγορηματικού λογισμού (γ) διατυπώστε το αποτέλεσμα του (β) σε φυσική γλώσσα. 1. xyp(x, y) a. Υπάρχει κάποιος άνθρωπος που τους αγαπά όλους b. x y P(x, y) c. Για κάθε άνθρωπο υπάρχει κάποιος που δεν τον αγαπάει ή αλλιώς δεν ισχύει ότι υπάρχει άνθρωπος που αγαπά όλους τους ανθρώπους 2. xyp(x,y) 3. Όλοι αγαπιούνται από όλους a. x y P(x, y) b. Υπάρχει κάποιος που δεν αγαπιέται 4. xyp( χ, y)) Υπάρχει κάποιος άνθρωπος που αγαπάει κάποιον άνθρωπο x y P(x, y)

14 Κανείς δεν αγαπά κανέναν 5. xyp(x,y) Όλοι αγαπάνε κάποιον άνθρωπο x y P(x, y) Υπάρχει κάποιος που δεν αγαπά κανέναν 6. xy (P(x, y) P(y,x)) Για όλους τους ανθρώπους, η αγάπη είναι αμοιβαία x y(p(x, y) P(y, x)) Υπάρχει κάποιος που αγαπάει «μονομερώς» Άσκηση Φ2.24 Διατυπώστε σε κατηγορηματικό λογισμό το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο «Αν ένας πρώτος αριθμός p διαιρεί το γινόμενο a *b δύο ακέραιων a και b, τότε διαιρεί έναν, τουλάχιστον, από τους ακεραίους αυτούς». Μην ξεχάσετε να ορίσετε με σαφήνεια το νόημα των κατηγορημάτων που θα χρησιμοποιήσετε καθώς και τα πεδία ορισμού των μεταβλητών σας. Κατηγορήματα Π(x): O x είναι πρώτος αριθμός Δ(x,y): O x διαιρεί τον y A(x): O x είναι ακέραιος Π.Ο. xr, y Z Υπόθεση Συμπέρασμα xa b ((( Π(x) Λ Α(a) Λ Α(b) Λ Δ(x,a *b)) (Δ(x,a) Δ(x,b))) Άσκηση Φ2.25 a. Εκφράστε τo παρακάτω ως πρόταση σε κατηγορηματικό λογισμό: «Υπάρχει κάποιος φοιτητής σε αυτή την αίθουσα ο οποίος έχει πάρει κάποιο μάθημα σε όλα τα Τμήματα της Σχολής Θετικών Επιστημών». Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μόνο τις μεταβλητές φ, μ και τ για τους φοιτητές, τα μαθήματα και τα Τμήματα, αντίστοιχα. Προσδιορίστε το πεδίο της κάθε μεταβλητής. Επίσης, ορίστε ένα ή περισσότερα κατηγορήματα και τις αντίστοιχες προτασιακές μορφές. b. Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό την άρνηση της έκφρασης που διατυπώσατε στο ερώτημα (a). c. Αποδώστε σε φυσική γλώσσα την έκφραση που διατυπώσατε στο ερώτημα (b). a. Έστω φ: φοιτητής με Π.Ο. «Όλοι οι φοιτητές στην αίθουσα», μ: μάθημα με Π.Ο. «Όλα τα μαθήματα»

15 τ: τμήμα, με Π.Ο. «Όλα τα Τμήματα ης Σχολής» Έστω η πρόταση E(φ,μ,τ) = Ο φ πήρε το μάθημα μ από το τμήμα τα Η πρόταση γράφεται: φτμ E(φ,μ,τ) b. φτμ E(φ,μ,τ) φτμ E(φ,μ,τ) c. Για κάθε φοιτητή στην αίθουσα ισχύει ότι δεν έχει πάρει κανένα μάθημα από κάποιο τμήμα Άσκηση Φ2.26 Αξιολογείστε την ορθότητα του παρακάτω συλλογισμού: "Ο Νίκος είναι είτε μπασκετμπολίστας είτε ποδοσφαιριστής, αλλά όχι και τα δύο. Οι μπασκετμπολίστες είναι ψηλοί. Ο Νίκος δεν είναι ψηλός. Επομένως, ο Νίκος είναι ποδοσφαιριστής". Έστω Β(x): O x είναι μπασκετμπολίστας, F(x): Ο y είναι ποδοσφαιριστής. Τ(x): O x είναι ψηλός. Τότε οι παραπάνω συλλογισμοί εκφράζονται σε κατηγορηματικό λογισμό 1. (Β(Νίκος) F(Νίκος)) Λ ( Β(Νίκος) Λ F(Νίκος)) 2. xb(x) Τ(x) 3. Τ(Νίκος) Και εξετάζουμε αν προκύπτει η 4. F(Νίκος) H 2 εφόσον ισχύει για όλα τα x θα ισχύει και για x= Νίκος. Άρα B(Νίκος) Τ(Νίκος) B(Νίκος) Τ(Νίκος). Επομένως έχουμε τα παρακάτω βήματα Από τις 2 & 3 έχουμε (B(Νίκος) Τ(Νίκος)) Λ ( Τ(Νίκος)) ( Τ(Νίκος) Λ Τ(Νίκος)) v ( Τ(Νίκος) ΛB(Νίκος)) False v ( Τ(Νίκος) ΛB(Νίκος)) ( Τ(Νίκος) ΛB(Νίκος)). Άρα θα πρέπει ο Νίκος και να μην είναι ψηλός και να μην είναι μπασκετμπολίστας. Από την 1 έχουμε (Β(Νίκος) F(Νίκος)) Λ ( Β(Νίκος) Λ F(Νίκος)) (False F(Νίκος) ) Λ ( Β(Νίκος) F(Νίκος)) F(Νίκος) Λ ( Β(Νίκος) F(Νίκος)) F(Νίκος) Λ (True F(Νίκος)) F(Νίκος) Άρα ο Νίκος είναι ποδοσφαιριστής. Άσκηση 2.27 Έστω οι παρακάτω προτασιακές μορφές

16 P( x, y): "O x διαιρεί ακριβώς τον y " (εννοούμε ότι τον διαιρεί χωρίς υπόλοιπο), R(x) : "O x είναι πρώτος", S(x) : "Ο x είναι περιττός". Θεωρώντας ότι οι μεταβλητές x, y παίρνουν τιμές στο σύνολο των ακεραίων αριθμών, δώστε την τιμή αληθείας των παρακάτω προτάσεων, δικαιολογώντας την απάντησή σας: 1. xyp( x, y) : Όλοι οι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τουλάχιστον ένα ακέραιο Τrue γιατί υπάρχει πάντα κάποιος αριθμός με αυτή την ιδιότητα. 2. xyp( x, y) : Υπάρχει κάποιος ακέραιος αριθμός που διαιρεί ακριβώς όλους τους υπόλοιπους ακεραίους Τrue, είναι ο 1 3. xy (P( x, y) P( y,x)): Για οποιοδήποτε ακέραιο ισχύει ότι θα διαιρεί ή θα διαιρείται από κάποιο ακέραιο ή αυτοί οι ακέραιοι διαιρούν ακριβώς τους προαναφερθέντες ακεραίους False πχ οι 2 και 3. Oύτε ο 2 διαιρεί ακέραια τον 3 ούτε ο 3 τον yx (S(y) Λ P( x, y)) : Υπάρχει κάποιος περιττός ο οποίος διαιρείται ακριβώς από όλους τους ακεραίους False 5. xy [(R(x)ΛS(y)) P( x, y)]: Για οποιουσδήποτε ακεραίους x και y, αν ο x είναι περιττός και ο y πρώτος, τότε ο ένας διαιρεί τον άλλο False Άσκηση Φ2.28 Έστω D το σύνολο των ανθρώπων. Έστω ότι η μεταβλητή x ορίζεται στο D. Ορίζουμε επίσης τις παρακάτω προτασιακές μορφές: Φ(x): O x είναι φτωχός T(x): O x είναι τεμπέλης Π(x): Ο x είναι πλούσιος Γράψτε σε φυσική γλώσσα το νόημα των παρακάτω προτάσεων 1. x(φ(x) Τ(x)) 2. xφ(x) Λ xτ(x) 3. x(φ(x) Λ Τ(x)) 4. x (Φ(x) Τ(x)) 5. x (Φ(x) v Τ(x)) 6. xφ(x) Λ xπ(x) 7. x(φ(x) Λ Π(x)) 8. x(φ(x) v Π(x)) 9. x(φ(x) Λ Π(x))

17 10. x (Φ(x) Λ Π(x)) 1. Εάν κάποιος είναι φτωχός τότε είναι και τεμπέλης (Ισοδύναμη έκφραση: Όλοι οι φτωχοί άνθρωποι είναι τεμπέληδες) 2. Όλοι οι άνθρωποι είναι φτωχοί και όλοι είναι τεμπέληδες 3. Για όλους ισχύει ότι είναι φτωχοί και τεμπέληδες 4. Για όλους ισχύει ότι εάν είναι φτωχοί τότε δεν είναι τεμπέληδες 5. Για όλους ισχύει ότι είναι ή φτωχοί ή τεμπέληδες 6. Υπάρχει κάποιος που είναι φτωχός και υπάρχει κάποιος που είναι πλούσιος (όχι αναγκαστικά το ίδιο άτομο) 7. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος που είναι και φτωχός και πλούσιος (αναφερόμαστε στο ίδιο άτομο) 8. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος που είναι ή φτωχός ή πλούσιος 9. Δεν υπάρχει κανείς άνθρωπος που να είναι φτωχός και πλούσιος μαζί 10. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος που δεν είναι ούτε φτωχός ούτε πλούσιος (ισοδύναμη έκφραση: «που δεν είναι φτωχός και πλούσιος μαζί») Άσκηση Φ2.29 Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς της προηγούμενης άσκησης, γράψτε τις παρακάτω προτάσεις ως προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού. 1. Όλοι οι φτωχοί άνθρωποι είναι τεμπέληδες. 2. Κάποιος τεμπέλης δεν είναι φτωχός. 3. Κάποιος είναι τεμπέλης και κάποιος είναι φτωχός. 4. Αν δεν ισχύει ότι όλοι οι τεμπέληδες είναι φτωχοί, τότε δεν ισχύει ότι όλοι οι φτωχοί είναι τεμπέληδες. 5. Το να μην είναι κανείς φτωχός δεν σημαίνει ότι είναι πλούσιος. 1. x ( Φ(x) T(x) ) 2. x ( T(x) ( Φ(x) ) ) 3. x ( T(x) ) y ( Φ(y) ) 4. ( (x (T(x) Φ(x) ) ) )( ((y (Φ(y) Τ(y) ) ) ) 5. x( Φ(x) Π(x)) x(φ(x) Π(x))x ( Φ(x) Π(x))x( Φ(x) Π(x)) Άσκηση Φ2.30 Διατυπώστε την άρνηση των προτάσεων στις οποίες καταλήξατε στην προηγούμενη άσκηση σε όσο πιο απλοποιημένη μορφή γίνεται και μεταφράστε το νόημά τους σε φυσική γλώσσα.

18 1. ( ( x ( Φ(x) T(x) )) ) ( ( x ( Φ(x) T(x) )) ) ( ( x ( Φ(x) T(x) )) ) Ερμηνεία σε φυσική γλώσσα: «Υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος που είναι φτωχός και δεν είναι τεμπέλης» 2. ( ( x ( T(x) ( Φ(x) ) ) ) ) x ( T(x) Φ(x) ) x (Τ(x) Φ(x)) Ερμηνεία σε φυσική γλώσσα: «Όλοι οι τεμπέληδες είναι φτωχοί» Ισοδύναμη έκφραση: «Δεν υπάρχει κανείς που να είναι τεμπέλης και μη φτωχός» 3. ( x ( T(x) ) y ( Φ(y) ) ) ( x (T(x) ) y ( Φ(y) ) ) Ερμηνεία σε φυσική γλώσσα: «Όλοι οι άνθρωποι δεν είναι τεμπέληδες ή όλοι οι άνθρωποι δεν είναι φτωχοί» Ισοδύναμη έκφραση: «Όλοι οι άνθρωποι δεν είναι ούτε τεμπέληδες ούτε φτωχοί» 4. Για να βρούμε πιο εύκολα την απάντηση επεξεργαζόμαστε την πρόταση πριν την εφαρμογή της άρνησης για να καταλήξουμε σε μια πιο απλή μορφή. Έτσι έχουμε ( (x (T(x) Φ(x) ) ) )( ((y (Φ(y) Τ(y) ) ) ) ( (x (T(x) Φ(x) ) ) ) ( ((y (Φ(y) Τ(y) ) ) ) ( (x (T(x) Φ(x) ) ) ) ( ((y ( Φ(y) Τ(y) ) ) ) ( (x (T(x) Φ(x) ) ) ) ( ((y ( Φ(y) Τ(y) ) ) ) Στην τελευταία πρόταση εφαρμόζουμε την άρνηση. ( ( (x (T(x) Φ(x) ) ) ) ( ((y ( Φ(y) Τ(y) ) ) ) ) ( ( (x (T(x) Φ(x) ) ) ) ( ((y (Φ(y) Τ(y) ) ) ) ) x (T(x) Φ(x) ) y (Φ(y) Τ(y) ) Ερμηνεία σε φυσική γλώσσα: «Υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος που είναι τεμπέλης και μη φτωχός και παράλληλα ισχύει ότι όλοι οι φτωχοί άνθρωποι είναι τεμπέληδες» 5. Εφαρμόζω την άρνηση στην πρώτη μορφή της πρότασης: ( x( Φ(x) Π(x))) x( Φ(x) Π(x)) Ερμηνεία σε φυσική γλώσσα: Αν κάποιος δεν είναι φτωχός τότε είναι πλούσιος Άσκηση Φ2.31 Ορίστε κατάλληλες προτασιακές μορφές, μεταβλητές και πεδία ορισμού, προκειμένου να εκφράσετε τις παρακάτω προτάσεις σε φυσική γλώσσα ως προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού. 1. Ο Βασίλης έχει τουλάχιστον μία αδελφή. 2. Ο Βασίλης δεν έχει καμία αδελφή. 3. Ο Βασίλης έχει το πολύ μια αδελφή. 4. Ο Βασίλης έχει (ακριβώς) μία αδελφή. 5. Ο Βασίλης έχει τουλάχιστον δύο αδελφές. 6. Κάθε φοιτητής παίρνει τουλάχιστον δύο μαθήματα. 7. Μόνο ένας φοιτητής δεν πέρασε την Ψηφιακή Σχεδίαση.

19 8. Κανένας φοιτητής δεν απέτυχε στη Γραμμική Άλγεβρα αλλά τουλάχιστον δύο φοιτητές απέτυχαν στα Διακριτά Μαθηματικά. 9. Κάθε φοιτητής που παίρνει τα Διακριτά Μαθηματικά επίσης παίρνει τον Προγραμματισμό. 10. Μία αδελφή του Βασίλη ήταν η μόνη πέρασε τη Γραμμική Άλγεβρα. Έστω τα παρακάτω κατηγορήματα (ιδιότητες) στο πεδίο ορισμού των ανθρώπων 1. Α(x,y) : Ο x είναι αδέλφια με τον y 2. Γ(x): Ο x είναι γυναίκα 3. Φ(x): O x είναι φοιτητής 4. Μ(x,y) : Ο x παίρνει το y μάθημα 5. Π(x,y): Ο x πέρασε το y μάθημα Τότε οι δοσμένες προτάσεις θα μπορούσαν να μεταφραστούν σε κατηγορηματικό λογισμό κάνοντας χρήση των παραπάνω κατηγορημάτων ως εξής: 1. x (Α(Βασίλης,x) Γ(x)) 2. x (Α(Βασίλης,x) Γ(x)) 3. x y ( (Α(Βασίλης,x) Γ(x) Α(Βασίλης,y) Γ(y) ) x=y ) 4. x (Α(Βασίλης,x) Γ(x)) x y ((Α(Βασίλης,x) Γ(x)) (Α(Βασίλης,y) Γ(y)) (x=y)) 5. x y ((Α(Βασίλης,x) Γ(x)) (Α(Βασίλης,y) Γ(y)) (x y)) 6. x y z ( (Φ(x) Μ(x,y) (Μ(x,z)) (y z)) 7. x (Φ(x)Π(x,Ψηφιακή σχεδίαση)) x y (Φ(x) Φ(y) )Π(x,Ψηφιακή σχεδίαση) )Π(y,Ψηφιακή σχεδίαση) ) (x=y)) 8. x (Φ(x)Π(x,Γραμμική Άλγεβρα)) yz(φ(y) Φ(z) (Π(y,Διακριτά μαθηματικά)) (Π(z,Διακριτά Μαθηματικά)) (y z)) 9. x ((Φ(x) Μ(x,Διακριτά Μαθηματικά)) Μ(x,Προγραμματισμός)) 10. x( (Φ(x)Π(x, Γραμμική Άλγεβρα) Γ(x) Α(Βασίλης,x)) y (Π(y, Γραμμική Άλγεβρα) (y=x))) Ερμηνεία: Υπάρχει κάποιος με τις ακόλουθες ιδιότητες : είναι φοιτητής, γυναίκα, πέρασε τη Γραμμική Άλγεβρα, και αδέλφια με το Βασίλη, και αν κάποιος έχει περάσει τη γραμμική

20 άλγεβρα είναι αναγκαστικά το προηγούμενο άτομο. Επομένως ακριβώς μια αδελφή του Βασίλη είναι το μοναδικό άτομο που πέρασε την Γραμμική Άλγεβρα. Άσκηση Φ2.32 Κάποιος συνάδελφός σας με ρώτησε κατά πόσον ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία: xy P(x,y) xp(x,y) Λ yp(x,y). Τι θα του απαντούσατε εσείς; Η εν λόγω ισοδυναμία δεν ισχύει αφού στην πρώτη περίπτωση δεν υπάρχει καμία ελεύθερη μεταβλητή, ενώ στη δεύτερη περίπτωση αντίστοιχα δεν δεσμεύεται η y στην περίπτωση του x P(x,y) και στην δεύτερη η x στην περίπτωση y P(x,y). Επομένως η δεύτερη περίπτωση δεν αποτελεί καν πρόταση. Άσκηση Φ2.33 Μεταφράστε στα ελληνικά τις παρακάτω προτάσεις και δώστε την τιμή αλήθειας για κάθε μια από αυτές: 1. x R, x x N, o x είναι πρώτος αριθμός 3. n N, 2 n 4. n N, 2 n 5. x N, y N, (x=y+1) 6. x R, y R, (x<y) 7. x R, y R, (x<y) 8. x>0, y R, y 2 =x Πρόταση Προτασιακού Ελληνική μεταφορά Τιμή αλήθειας x R, x 2 0 Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός True x N, o x είναι πρώτος αριθμός Υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός True n N, 2 n Υπάρχει τουλάχιστον ένας περιττός φυσικός αριθμός True

21 n N, 2 n x N, y N, (x=y+1) x R, y R, (x<y) x R, y R, (x<y) x>0, y R, y 2 =x Υπάρχει τουλάχιστον ένας άρτιος φυσικός αριθμός Για κάθε φυσικό αριθμό x υπάρχει ένας φυσικός αριθμός y τέτοιος ώστε x=y+1 Για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός y μεγαλύτερος απο τον x Υπάρχει πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε όλοι οι πραγματικοί αριθμοί y είναι μεγαλύτεροι απ αυτόν Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε το τετράγωνο του y ισούται με x True False True False True Άσκηση Φ2.34 Αποδείξτε ότι z Q( z) xy( R( x, y) ( P( x) Q( y))) x( R( x, x) P( x)) Γνωρίζουμε ότι 1. z Q(z) και 2. xy (R(x,y) (P(x)Q(y))) Η 2 ισχύει για κάθε y άρα και για y=x οπότε x (R(x,x) (P(x)Q(x)))

22 Ξέρουμε επίσης ότι z Q(z) (1) και έστω ότι αυτό είναι το α. Άρα, Q(α) Γι αυτό το α ισχύει ότι R(α,α) (P(α)Q(α))) Και εφόσον Q(α) προκύπτει ότι x (R(x,x) P(x)) Άσκηση Φ2.35 Διατυπώστε τις παρακάτω προτάσεις σε κατηγορηματικό λογισμό. Σε παρένθεση δίνονται τα πεδία ορισμού 1. Αν a b και b c, τότε a c (Π.Ο.: Ακέραιοι) 2. Το 4 δεν διαιρεί το n 2 +2, για κανένα n (Π.Ο.: Ακέραιοι) 3. x 3 +x+1=0 για κάποιο x (Π.Ο.: Πραγματικοί) 4. Μόνο οι τρελοί ερωτεύονται (Π.Ο.: Όλοι οι άνθρωποι) 5. Όλοι αγαπούν τα μαθηματικά (Π.Ο.: Όλοι οι άνθρωποι) 6. Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό α υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση e x =α (Π.Ο.: Πραγματικοί) 7. Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ε>0 υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός δ>0 τέτοιος ώστε xα <δ f(x)-f(α) <ε (Π.Ο.: Πραγματικοί) 8. Η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει λύση (Π.Ο.: Πραγματικοί) 9. Το τελευταίο θεώρημα του Fermat: Για κάθε ακέραιο n μεγαλύτερο του 2 δεν υπάρχουν μη μηδενικές ακέραιες τιμές των a,b,c τέτοιες ώστε a n +b n =c n (Π.Ο.: Ακέραιοι) 10. Η εικασία του Goldbach: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων αριθμών (Π.Ο.: Ακέραιοι) 1. (a b b c)a c 2. n4 (n 2 +2) n4 n x(x 3 +x+1=0) 4. Έστω Ε(x): Ο x ερωτεύεται και Τ(x): O x είναι τρελός x(e(x)t(x)) Σημείωση: Η ίδια πρόταση θα μπορούσε να γραφτεί σαν: Μόνο αν είναι κάποιος τρελός, ερωτεύεται. 5. Έστω Μ(x): O x αγαπά τα μαθηματικά xm(x) 6. α>0 x(e x =α) 7. ε>0 δ>0( x-α <δ f(x)-f(α) <ε) 8. x(x 2 +1=0) x(x ) 9. n>2 a,b,c 0(a n +b n =c n ) 10. Έστω Even(x): o x είναι άρτιος, που θα μπορούσε να οριστεί σαν: y(x=2y), x,y Z

23 Έστω Prime(x): o x είναι πρώτος, που θα μπορούσε να οριστεί σαν: ( i (i x(i=1 i=x) x 1)), x,i Z H εικασία του Goldbach γράφεται: n(n>0 Even(n)) a,b(prime(a) Prime(b) n=a+b), a,b,n Z Άσκηση Φ2.36 Καθορίστε την αλήθεια για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις όπου τα x, y, z ορίζονται στο σύνολο Α={1, 2, 3} (1) xy, x 2 <y+1 (2) xy, x 2 +y 2 <2z 2 (3) xy, x 2 +y 2 <12, (4) xyz, x 2 +y 2 <2z 2 (5) xyz, x 2 +y 2 <2z 2 (1) Αληθής (2) Αυτή δεν είναι πρόταση, δεδομένου ότι το z δεν δεσμεύεται από κάποιο ποσοδείκτη. Άρα δεν μπορούμε να μιλάμε για την αλήθειά της. (3) Ψευδής (4) Αληθής (5) Ψευδής Άσκηση Φ2.37 Έστω Α, Β, Γ, Δ και Ε τα παρακάτω κατηγορήματα, με τη μεταβλητή x να ορίζεται στο σύνολο όλων των διαφορετικών αυτοκινήτων, την μεταβλητή y να ορίζεται στο σύνολο των επαγγελμάτων και την μεταβλητή z στο σύνολο {Αντώνης, Κώστας, Γιάννης}: A(x) = «Το αυτοκίνητο x κατασκευάστηκε στην Ευρώπη» Β(x) = «Το αυτοκίνητο x εισάχθηκε στην Ευρώπη» C(x) = «Το αυτοκίνητο x κατασκευάστηκε πριν το 2000» D(x) = «Το αυτοκίνητο x κοστίζει τουλάχιστον 7,000 Ευρώ» Ε(x, y)= «Ο ιδιοκτήτης του αυτοκινήτου x έχει το επάγγελμα y» Ζ(x, z)= «Ο ιδιοκτήτης του αυτοκινήτου x ονομάζεται z» Γράψτε προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού για τις ακόλουθες προτάσεις: (1) «Υπάρχει αυτοκίνητο που κατασκευάστηκε στην Ευρώπη μετά το 2000 και κοστίζει τουλάχιστον 7,000 ευρώ» (2) «Κανένας ποδοσφαιριστής δεν έχει αυτοκίνητο που να κοστίζει λιγότερο από 7,000 ευρώ»

24 (3) «Ένα αυτοκίνητο έχει εισαχθεί στην Ευρώπη και κοστίζει λιγότερο από 7,000 ευρώ αν και μόνο αν κατασκευάστηκε πριν το 2000» (4) «Ο Κώστας έχει ένα μόνο αυτοκίνητο, και αυτό κοστίζει τουλάχιστον 7,000 ευρώ» (5) «Ο Κώστας έχει ένα μόνο αυτοκίνητο που να κοστίζει τουλάχιστον 7,000 ευρώ» (1) x(a(x)c(x) D(x)) (2) x(e(x, «Ποδοσφαιριστής») D(x)) (3) x((b(x) D(x)) C(x)) (4) (!x(z(x, «Κώστας»))) (r (Z(r, «Κώστας») D(r))) (5)!x((Z(x, «Κώστας») D(x)) Άσκηση Φ2.38 Έστω Φ(x): O x είναι φοιτητής, Κ(x): O x είναι καθηγητής, Ν(x,y): O x είναι νεώτερος από τον y. Αποδώστε σε κατηγορηματικό λογισμό την έννοια της πρότασης «Κάθε φοιτητής είναι νεώτερος από κάποιο καθηγητή» θεωρώντας μεταβλητές στο σύνολο των ανθρώπων. xy(φ(x) K(y)) N(x,y)) Άσκηση Φ2.39 Αποδείξτε ότι το παρακάτω συμπέρασμα Σ προκύπτει λογικά από τις προϋποθέσεις Π 1, Π 2 και Π 3 χρησιμοποιώντας κατηγορηματικό λογισμό. Σημείωση: Θεωρείστε μία μεταβλητή x που παίρνει τιμές από το σύνολο όλων των αλόγων. Π 1: Κάθε άλογο που έχει δηλωθεί για τον σημερινό αγώνα δεν είναι καθαρόαιμο. Π 2: Κάθε άλογο που έχει δηλωθεί στον σημερινό αγώνα έχει κερδίσει έναν αγώνα αυτό το χρόνο. Π 3: Υπάρχει άλογο που έχει δηλωθεί στο σημερινό αγώνα. Σ: Υπάρχει άλογο που έχει κερδίσει έναν αγώνα αυτό το χρόνο και δεν είναι καθαρόαιμο. Έστω Δ(x): To x έχει δηλωθεί στον σημερινό αγώνα, Κ(x): To x είναι καθαρόαιμο και Ν(x): To x έχει κερδίσει έναν αγώνα φέτος. Από Π 3: Έστω α ένα άλογο που έχει δηλωθεί στο σημερινό αγώνα. Άρα Δ(α)=Τ (1) Από Π 1: x(δ(x) K(x)). Ισχύει και για το α, άρα Κ(α)=Τ (2) Από Π 2: x(δ(x) Ν(x)) Ισχύει και για το α, άρα και Ν(α)=Τ (3) Από (2) και (3) για το α ισχύει Ν(α) Κ(α), επομένως x(n(x) Κ(x)) (Σ) ο.ε.δ.

25 Άσκηση Φ2.40 Να μεταφράσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις σε λογικές εκφράσεις χρησιμοποιώντας κατηγορήματα, ποσοτικούς δείκτες και λογικούς τελεστές a. Κανείς δεν είναι τέλειος b. Δεν είναι όλοι τέλειοι c. Όλοι οι φίλοι σου είναι τέλειοι d. Τουλάχιστον ένας από τους φίλους σου είναι τέλειος e. Καθένας είναι φίλος σου και είναι τέλειος f. Δεν είναι όλοι φίλοι σου ή κάποιος δεν είναι τέλειος Εστω Τ(x): O x είναι τέλειος, F(x): Ο x είναι φίλος σου. Η μεταβλητή x παίρνει τιμές από το σύνολο όλων των ανθρώπων a. Κανείς δεν είναι τέλειος xt(x) x T(x) b. Δεν είναι όλοι τέλειοι xt(x) x T(x) c. Όλοι οι φίλοι σου είναι τέλειοι x(f(x) T(x)) d. Τουλάχιστον ένας από τους φίλους σου είναι τέλειος x(f(x) T(x)) e. Καθένας είναι φίλος σου και είναι τέλειος x(f(x) T(x)) f. Δεν είναι όλοι φίλοι σου ή κάποιος δεν είναι τέλειος xf(x) x T(x)) x F(x) x T(x) xf(x) xt(x) ( xf(x) xt(x)) Άσκηση Φ2.41 Έστω T(x,y): O x έχει ταξιδέψει στο y, όπου x παίρνει τιμές στο σύνολο των Ελλήνων και y στο σύνολο των χωρών της Ασίας. Χρησιμοποιείστε τους κατάλληλους τελεστές, ποσοδείκτες κλπ για να γράψετε τις προτάσεις: 1. Υπάρχει Έλληνας που έχει ταξιδέψει σε χώρα της Ασίας 2. Κανείς Έλληνας δεν έχει ταξιδέψει σε χώρα της Ασίας 3. Υπάρχει Έλληνας που έχει πάει στο Νεπάλ και στην Ταιλάνδη 4. Κάθε ασιατική χώρα έχει δεχτεί κάποιον Έλληνα ως επισκέπτη 5. Τουλάχιστον δύο Έλληνες έχουν πάει στην Ινδία 6. Κάποιος Έλληνας έχει πάει στη Συρία αλλά δεν έχει πάει στο Λίβανο 7. Υπάρχει Έλληνας που έχει πάει σε όλες τις ασιατικές χώρες 8. Υπάρχουν ακριβώς δύο Έλληνες που έχουν πάει στη Μιανμάρ 9. Όποιος Έλληνας ταξίδεψε στις Φιλιππίνες πήγε και στο Κατάρ 10. Ο Μάνος δεν έχει πάει ούτε στην Τουρκία ούτε στο Ισραήλ 1. x yt(x,y) 2. x yt(x,y) x y T(x,y)

26 3. x(t(x,νεπάλ) Τ(x,Ταϊλάνδη)) 4. y xt(x,y) 5. x1x2t(x1,ινδία) Τ(x2,Ινδία) 6. xt(x,συρία) Τ(x,Λίβανος) 7. x yt(x,y) 8. x1x2t(x1,μιανμάρ) Τ(x2,Μιανμάρ) ( x3t(x3,μιανμάρ) (x3=x1) (x3=x2)) 9. x(t(x,φιλιππίνες) Τ(x,Κατάρ)) 10. T(Μάνος,Τουρκία) T(Μάνος,Ισραήλ) (T(Μάνος,Τουρκία) T(Μάνος,Ισραήλ)) Άσκηση Φ2.42 Να εκφράσετε καθεμία από τις από τις παρακάτω προτάσεις με κατηγορήματα και ποσοτικούς δείκτες a. Ένας πελάτης μιας αεροπορικής εταιρίας θεωρείται προνομιούχος, αν πετάει περισσότερα από μίλια το χρόνο ή αν κάνει περισσότερες από 25 πτήσεις το χρόνο b. Ένας άνδρας προκρίνεται στο μαραθώνιο αν ο καλύτερος προηγούμενος χρόνος του είναι 3 ώρες και μια γυναίκα, αν ο καλύτερος προηγούμενος χρόνος της είναι μικρότερος από 3.5 ώρες c. Ένας φοιτητής πρέπει να πάρει τουλάχιστον 60 ώρες μαθημάτων ή τουλάχιστον 45 ώρες και να γράψει μια εργασία και επίσης να μην έχει βαθμό μικρότερο από 7 σε όλα τα μαθήματα για να λάβει το μεταπτυχιακό τίτλο d. Υπάρχει φοιτητής που έχει πάρει περισσότερες από 21 διδακτικές ώρες σε ένα εξάμηνο και πήρε 10 σε όλα τα μαθήματα a. P(x): O x είναι προνομιούχος πελάτης Μ(x,y): O x πετάει περισσότερα από y μίλια το χρόνο F(x,y): O x κάνει περισσότερες από y πτήσεις το χρόνο Π.Ο. x: Οι πελάτες της εταιρίας, y N x((m(x, 25000) F(x, 25)) P(x)) b. A(x): O x είναι άνδρας, W(x): O x είναι γυναίκα (θα μπορούσαμε ισοδύναμα να πούμε ㄱ A(x)) M(x): O x προκρίνεται στο μαραθώνιο Τ(x,y): Ο καλύτερος χρόνος του x είναι y Π.Ο. x: Ολοι οι άνθρωποι, y R x(((a(x) T(x, 3)) (W(x) T(x, 3.5))) M(x)) c. Η(x,y): O x παίρνει τουλάχιστον y ώρες μαθημάτων P(x): O x γράφει εργασία G(x,w,z): O x παίρνει βαθμό τουλάχιστον w στο μάθημα z Μ(x): O x παίρνει MSc Π.Ο.: x: Το σύνολο των φοιτητών, y N, w R, z: To σύνολο των μαθημάτων

27 x(μ(x) (H(x, 60) (H(x, 45) P(x))) zg(x, 7, z))) d. Η(x,y): O x πήρε περισσότερες από y ώρες το εξάμηνο G(x,z,w): O x πήρε βαθμό w στο μάθημα z Π.Ο.: x: Το σύνολο των φοιτητών, y R, w R, z: Το σύνολο των μαθημάτων x(η(x, 21) zg(x, 10, z)) Σημείωση: Η άσκηση επιδέχεται πολλές λύσεις ανάλογα με τα κατηγορήματα που θα οριστούν Άσκηση Φ2.43 Να δείξετε ότι οι προτάσεις xp(x) xq(x) και x(p(x) Q(x)) δεν είναι λογικά ισοδύναμες. Αντιπαράδειγμα: P(x): Ο x είναι άρτιος, Q(x): O x είναι περιττός, x Ζ Η πρόταση xp(x) xq(x) σημαίνει ότι όλοι οι ακέραιοι είναι άρτιοι ή όλοι είναι περιττοί (ψευδής). Η πρόταση x(p(x) Q(x)) σημαίνει ότι για κάθε ακέραιο, ισχύει πως αυτός είναι άρτιος ή περιττός (αληθής). Επομένως οι προτάσεις δεν είναι λογικά ισοδύναμες. Άσκηση Φ2.44 Ποιές είναι οι τιμές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων: a.! xp(x) xp(x) b. xp(x)! xp(x) c.! x P(x) xp(x) a. Αληθής b.false (εκτός αν το Π.Ο. είναι μονοσύνολο) c.true Άσκηση Φ2.45 Έστω F(x,y) η πρόταση O x μπορεί να ξεγελάσει τον y, όπου το πεδίο των x και y είναι το σύνολο των ανθρώπων. Να χρησιμοποιήσετε ποσοτικούς δείκτες για να εκφράσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις a. Καθένας μπορεί να ξεγελάσει τον Τάκη b. Η Ελένη μπορεί να ξεγελάσει καθέναν c. Καθένας μπορεί να ξεγελάσει καθέναν d. Δεν υπάρχει κανένας που να μπορεί να ξεγελάσει όλους

28 e. Καθένας μπορεί να ξεγελαστεί από καθέναν f. Κανένας δεν μπορεί να ξεγελάσει και τον Τάκη και το Νίκο g. Κανένας δεν μπορεί να ξεγελάσει ακριβώς δύο ανθρώπους h. Υπάρχει ακριβώς ένας άνθρωπος τον οποίο μπορούν να τον ξεγελάσουν όλοι i. Κανένας δεν μπορεί να ξεγελάσει τον εαυτό του j. Υπάρχει κάποιος που μπορεί να ξεγελάσει ακριβώς ένα άτομο εκτός του εαυτού του (συμπεριλαμβανομένου του εαυτού του) k. Ο Πέτρος δεν μπορεί να ξεγελάσει κανένα l. Υπάρχει κάποιος που μπορεί να ξεγελάσει τουλάχιστον δύο άτομα m. Ο καθένας μπορεί να ξεγελαστεί από ακριβώς δύο άτομα Έστω F(x,y): O x μπορεί να ξεγελάσει τον y Π.Ο. x,y,z,w: Το σύνολο των ανθρώπων a. xf(x, "Τάκης") b. xf("ελένη", x) c. x yf(x, y) d. x yf(x, y) e. y xf(x, y) f. x(f(x, "Τάκης") F(x, "Νίκος")) g. x( yz((f(x, y) F(x, z) (y z) w(f(x, w) (w = y) (w = z))) h.! x yf(y, x) i. xf(x, x) j. x! y(f(x, y) (x y)) k. x F( Πέτρος, x) l. x y z (F(x,y) Λ F(x,z) Λ (y <> z)) m. x yz (F(y,x) Λ F(z,x) Λ (y <> z) Λ w (F(w,x) (w=y)(w=z))) Άσκηση Φ2.46 Να ξαναγράψετε τις παρακάτω προτάσεις ώστε οι αρνήσεις να εμφανίζονται μόνον μέσα στα κατηγορήματα (δηλαδή καμία άρνηση δεν είναι εκτός κάποιου ποσοτικού δείκτη ή μιας έκφρασης που περιέχει λογικούς τελεστές) a. x yp(x, y) b. y xp(x, y) c. y x(p(x, y) Q(x, y)) d. ( x y P(x, y) x yq(x, y)) e. x( y zp(x, y, z) z yp(x, y, z)) a. x y P(x, y) b. y x P(x, y) c. y x( P(x, y) Q(x, y))

29 d. x y(p(x, y) x y Q(x, y) e. x( y z P(x, y, z) z y P(x, y, z)) Άσκηση Φ2.47 Θεωρείστε τη γραφική παράσταση της πρότασης P(x,y):y x 2 +1 Τα σημεία (x,y) του επιπέδου για τα οποία η πρόταση είναι αλήθής φαίνονται στο σκιασμένο κομμάτι Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; 1. x y,p(x,y) 2. x y,p(x,y) 3. x y,p(x,y) 4. x y,p(x,y) 5. y x,p(x,y) 6. y x, P(x,y) Αληθείς είναι οι: 2,4,5,6 Άσκηση Φ2.48 Έστω Τ(x): O x έχει σταθερό υπολογιστή, L(x): O x έχει laptop, S(x): O x έχει smartphone, με τη μεταβλητή x να παίρνει τιμές από το σύνολο των φοιτητών. (α) χρησιμοποιείστε τα παραπάνω κατηγορήματα και τους κατάλληλους τελεστές να γράψετε τις προτάσεις: 1. Κάποιος φοιτητής έχει laptop, smartphone και σταθερό υπολογιστή 2. Όλοι οι φοιτητές έχουν laptop, smartphone και σταθερό υπολογιστή 3. Κάποιοι φοιτητές έχουν laptop και smartphone αλλά όχι σταθερό υπολογιστή 4. Όσοι φοιτητές έχουν laptop δεν έχουν σταθερό υπολογιστή 5. Όλοι οι φοιτητές έχουν τουλάχιστον μια φορητή συσκευή (laptop ή smartphone)

30 (β) Γράψτε τις αρνήσεις των παραπάνω προτάσεων μεταφέροντας τον τελεστή όσο το δυνατόν πιο δεξιά και μεταφράστε τις ξανά στα ελληνικά. (α) 1. x(t(x) L(x) S(x)) 2. x(t(x) L(x) S(x)) 3. x(l(x) S(x) T(x)) 4. x(l(x) T(x)) 5. x(l(x) S(x)) (β) 1. x( T(x) L(x) S(x)) Κανένας φοιτητής δεν έχει σταθερό υπολογιστή ή λαπτοπ ή smartphone 2. x( T(x) L(x) S(x)) Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει σταθερό υπολογιστή ή λαπτοπ ή smartphone 3. x( L(x) S(x) T(x)) x( (L(x) S(x)) T(x)) x((l(x) S(x)) T(x)) Όλοι οι φοιτητές, αν έχουν λαπτοπ και smartphone έχουν και σταθερό υπολογιστή 4. x (L(x) T(x)) x ( L(x) T(x)) x(l(x) T(x)) Υπάρχει φοιτητής που έχει και laptop και σταθερό υπολογιστή 5. x ( (L(x) S(x)) Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει ούτε laptop ούτε smartphone Άσκηση Φ2.49 Να ξαναγράψετε τις παρακάτω προτάσεις ώστε οι αρνήσεις να εμφανίζονται μόνον μέσα στα κατηγορήματα (δηλαδή καμία άρνηση δεν είναι εκτός κάποιου ποσοτικού δείκτη ή μιας έκφρασης που περιέχει λογικούς τελεστές) a. x yp(x, y) b. y xp(x, y) c. y x(p(x, y) Q(x, y)) d. ( x y P(x, y) x yq(x, y)) e. x( y zp(x, y, z) z yp(x, y, z) a. x y P(x, y) b. y x P(x, y) c. y x( P(x, y) Q(x, y)) d. x y(p(x, y) x y Q(x, y) e. x( y z P(x, y, z) z y P(x, y, z))

31 Άσκηση Φ2.50 και η Έστω x μεταβλητή και A(x) και Β(x) προτασιακές μορφές. Έστω η πρόταση x A( x) B( x) πρόταση xa( x) xb( x). Είναι αυτές οι προτάσεις λογικά ισοδύναμες ή όχι; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Έστω ότι το πεδίο ορισμού της τυχαίας μεταβλητής x περιλαμβάνει τις τιμές x1, x2,..., xn. Τότε, η x A( x) B( x) A( x ) B( x ) A( x ) B( x )... A( x ) B( x ). πρόταση γράφεται: Όμως A( x ) B( x ) A( x ) B( x )... A( x ) B( x ) A( x ) B( x ) A( x ) B( x )... A( x ) B( x ) A( x ) A( x )... A( x ) B( x ) B( x )... B( x ) 1 2 n 1 2 A( x ) A( x )... A( x ) B( x ) B( x )... B( x ) 1 2 n 1 2 xa( x) xb( x) n n n n n n n n Άσκηση Φ2.51 Αν R(x,y): O x διάβασε τo y, με Π.Ο. της μεταβλητής x το σύνολο των ανθρώπων και Π.Ο. της μεταβλητής y το σύνολο των βιβλίων μιας βιβλιοθήκης, εκφράστε τις παρακάτω προτάσεις σε φυσική γλώσσα: 1. x R(Νίκος, x) 2. x (R(Νίκος, x) R(Μαρία, x)) 3. x R(Νίκος, x) x R(Μαρία, x) 4. x y R(x, y) 5. x y R(x, y) 1. Ο Νίκος διάβασε κάποιο βιβλίο 2. Η Μαρία διάβασε ό,τι και ο Νίκος 3. Αν ο Νίκος διάβασε τα πάντα, το ίδιο έκανε και η Μαρία 4. Όλοι διάβασαν κάτι 5. Κάποιος διάβασε τα πάντα Άσκηση Φ2.52 Να εκφράσετε την άρνηση των προτάσεων της άσκησης 2.1 χρησιμοποιώντας ποσοδείκτες. Μεταφέρετε τον τελεστή της άρνησης όσο πιο κοντά στις προτασιακές μορφές. Στη συνέχεια να εκφράσετε τις προτάσεις που προκύπτουν σε φυσική γλώσσα.

32 1. x R (Νίκος, x) x R (Νίκος, x) Ο Νίκος δεν διάβασε τίποτε 2. x(r (Νίκος, x) R (Μαρία, x)) x( R (Νίκος, x) R (Μαρία, x)) x ( R (Νίκος, x) R (Μαρία, x)) x(r (Νίκος, x) R (Μαρία, x)) Υπάρχει ένα βιβλίο που το διάβασε ο Νίκος αλλά δεν το διάβασε η Μαρία 3. ( xr (Νίκος, x) xr (Μαρία, x)) ( xr (Νίκος, x) xr (Μαρία, x)) ( xr (Νίκος, x) xr (Μαρία, x)) ( xr (Νίκος, x) x R (Μαρία, x)) Ο Νίκος διάβασε τα πάντα ενώ υπάρχει βιβλίο που δεν το διάβασε η Μαρία (Σε πιο ελεύθερη απόδοση: Ο Νίκος διάβασε όλα τα βιβλία ενώ η Μαρία όχι) 4. x yr (x, y) x y R (x, y) Υπάρχει κάποιος που δεν διάβασε τίποτε 5. x yr (x, y) x y R (x, y) Για όλους ισχύει ότι υπάρχει βιβλίο που δεν το διάβασαν. Σημείωση: Παρατηρούμε ότι στις περισσότερες περιπτώσεις για να κατανοήσουμε το νόημα της άρνησης χρειάζεται να επεξεργαστούμε περισσότερο την πρόταση. Δεν συμβαίνει αυτό και στην τελευταία που είναι πολύ απλούστερη η ερμηνεία της απευθείας: Δεν υπάρχει κανείς που να διάβασε τα πάντα Άσκηση Φ2.53 Διατυπώστε τις παρακάτω προτάσεις ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού ανεξάρτητα αν είναι αληθείς ή όχι. Σε κάθε περίπτωση, προσδιορίστε τα κατηγορήματα και τα Π.Ο. των μεταβλητών που θα χρησιμοποιήσετε. Δεν θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε συντομογραφίες. 1. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ή άρτιοι ή περιττοί 2. Οι φυσικοί αριθμοί διαιρούνται με το 1 3. Αν ένας φυσικός αριθμός είναι περιττός τότε και το τετράγωνό του είναι περιττός 4. Αν ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος τότε είναι περιττός 5. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 4, όταν πολλαπλασιαστούν με το 3 είναι μικρότεροι από το Υπάρχει φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 4 που όταν πολλαπλασιαστεί με το 3 είναι μικρότερος του Όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 2 είναι περιττοί 8. Αν ένας φυσικός αριθμός δεν είναι περιττός, τότε είναι άρτιος Θα χρησιμοποιήσω τα κατηγορήματα: Π(x): O x είναι περιττός, Α(x): O x είναι άρτιος, Δ(x,y): O x διαιρείται με το y, P(x): O x είναι πρώτος, M(x,y): O x είναι μικρότερος του y Π.Ο. x,y: N 1. x(a(x) Π(x))

33 2. xδ(x,1) 3. x (Π(x) Π(x 2 )) 4. x (P(x) Π(x)) 5. x(m(4,x) M(3 x,12)) 6. x(μ(4,x) M(3 x,16)) 7. x((p(x) (x>2)) Π(x)) 8. x( Π(x) A(x)) Άσκηση Φ2.54 Γράψτε τις αρνήσεις των παρακάτω προτάσεων. Σε κάθε μία από τις περιπτώσεις προσδιορίστε αν η αρχική πρόταση είναι αληθής με μια μικρή εξήγηση ή αντιπαράδειγμα. a. x R, x 0 b. z Z, ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) c. n N, ((o n είναι άρτιος) (ο n είναι πρώτος)) d. y R, (y 0 y+1 y < 1) e. x R, y R, xy=1 f. n N, m N, n=2m Σημείωση: Θυμηθείτε πώς ερμηνεύονται οι συντομεύσεις αυτής της μορφής: x R, x 0 x(x R x 0) και z Z, z<0 z (z Z z<0 ) a. Άρνηση: x R, x 0 x(x R x 0) x(x R x 0) x(x R x<0) Η αρχική πρόταση δεν ισχύει (π.χ. x=-4) H άρνησή της είναι αληθής b. Άρνηση: z Z, ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) z(z Z ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) z (z Z ((ο z δεν είναι άρτιος) (ο z δεν είναι περιττός)) z (z Z (( ο z είναι περιττός) (ο z είναι άρτιος)) z Z, (( ο z είναι περιττός) (ο z είναι άρτιος)) Η αρχική πρόταση είναι αληθής ( Η πρόταση γράφεται: z (z Z ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) ) Η άρνησή της δεν είναι (ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι άρτιος και περιττός συγχρόνως) c. Άρνηση: ( n N, ((o n είναι άρτιος) (ο n είναι πρώτος))) n(n N ((o n είναι περιττός) (ο n δεν είναι πρώτος)) Η αρχική πρόταση είναι αληθής H άρνησή της δεν είναι (n=81)

34 d. Άρνηση: y R, (y 0 y+1 < 1) y (y R) (y 0 y+1 < 1) y y y(( (y R) (y 0 y+1 < 1)) y y((y R) ((y=0) y+1 < 1)) y y((y R) (y 0) y+1 y+1 1)) y R, (y 0) 1)) y y Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (π.χ. y=3) Η άρνησή της είναι αληθής e. Άρνηση: ( x R, y R, xy=1) ( x(x R y(y R xy=1)) x(x R y(y R xy 1)) x R, y R, xy 1) Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (δεν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός) Η άρνησή της είναι αληθής f. Άρνηση: n N, m N, n=2m n(n N m(m N n=2m) n(n N m(m N n 2m)) n(n N m(m N n 2m)) n N, m N, n 2m Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (δεν ισχύει για n περιττό ακέραιο) Η άρνησή της είναι αληθής Άσκηση Φ2.55 Έστω Τ(x,y) η πρόταση Στον x άρεσε η ταινία y, όπου το Π.Ο. της x είναι το σύνολο των ανθρώπων και της y το σύνολο των ταινιών του Hitchcock. Εκφράστε σε φυσική γλώσσα τις παρακάτω προτάσεις: 1. xt(x, Τα πουλιά) xt(x, Ρεβέκκα) 2. y(t(μάνος, y) T(Μίνα, y)) 3. x z y((x z) (T(x, y) T(z, y)) 4. x z y(t(x, y) T(z, y)) 5. x z y(t(x, y) T(z, y)) 1. Σε κάποιον άρεσαν Τα πουλιά ενώ σε όλους άρεσε η Ρεβέκκα 2. Υπάρχει μια ταινία που άρεσε είτε στο Μάνο είτε στη Μίνα 3. Για κάθε ζευγάρι διαφορετικών μεταξύ τους ανθρώπων, υπάρχει μια ταινία που δεν άρεσε τουλάχιστον στον ένα 4. Υπάρχουν 2 άνθρωποι που τους άρεσαν (ή δεν τους άρεσαν) οι ίδιες ταινίες

35 5. Για κάθε ζευγάρι ανθρώπων υπάρχει μια ταινία που τους άφησε την ίδια εντύπωση (ή άρεσε και στους δύο ή δεν άρεσε σε κανένα) Άσκηση Φ2.56 Έστω η πρόταση F: Το μεγάλο εισόδημα είναι αναγκαία συνθήκη για την ευτυχία. 1. Έστω A το σύνολο των ανθρώπων. Για x A, έστω L(x) το κατηγόρημα που δηλώνει O x έχει μεγάλο εισόδημα και Η(x) ότι o x είναι ευτυχισμένος. Αποδώστε την F σε κατηγορηματικό λογισμό. 2. Αποδώστε την F στα ελληνικά χωρίς τις λέξεις αναγκαία ή επαρκής (και τα συνώνυμά τους). 3. Γράψτε την άρνηση της πρότασης σε κατηγορηματικό λογισμό. Μεταφέρετε τον τελεστή της άρνησης όσο πιο κοντά στις προτασιακές μορφές. 1. x(h(x) L(x)) 2. Αν είσαι ευτυχισμένος έχεις μεγάλο εισόδημα 3. x(h(x) L(x) x ( H(x) L(x))) x(h(x) L(x)) Άσκηση Φ2.57 Έστω D(x) μια οποιαδήποτε προτασιακή μορφή και x, y μεταβλητές που έχουν το ίδιο μη κενό Π.Ο. Αποδώστε το νόημα της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις. Ποιες από αυτές είναι μεταξύ τους ισοδύναμες; a) x y(d(y) (y=x)) b) x (D(x) y(d(y) (x=y))) c) x (D(x) y( (y=x) D(y))) d) xd(x) x y((d(x) D(y)) (x=y)) (a) Η πρόταση μας λέει ότι υπάρχει κάποιο x με κάποια ιδιότητα. Αν y=x τότε η D(x) παίρνει τιμή True. Αν το y πάρει οποιαδήποτε τιμή διαφορετική από x, τότε η D(y) δεν είναι αληθής. Άρα το x είναι η μοναδική τιμή για την οποία η D γίνεται αληθής. (b) Η πρόταση βεβαιωνει την ύπαρξη ενός x που επαληθεύει την D ενώ έχει επιπλέον την ιδιότητα ότι όποιο στοιχείο βρεθεί που επαληθεύει την D αυτό είναι το x. Άρα και πάλι το x είναι η μοναδική τιμή για την οποία η D γίνεται αληθής. (c) Αν επεξεργαστούμε την πρόταση γίνεται: x (D(x) y( (y = x) D(y))) x (D(x) y (( (y = x) D(y))) x (D(x) y((y = x) D(y)) x (D(x) y(d(y) (y = x)) που είναι ακριβώς ίδια με την προηγούμενη