M z ισαπέχουν από τα 4,0, 4,0

Transcript

1 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Απαντήσεις- Υποδείξεις 5 ου Επαναληπτικού Διαγωνίσματος ΘΕΜΑ 1 ο Α1: Σχολικό βιβλίο σελ.. Α: Σχολικό βιβλίο σελ. A3: α) Λάθος Το σύνολο των σημείων M z ισαπέχουν από τα 4,, 4, επομένως θα βρίσκονται στη μεσοκάθετο του ΑΒ, άρα είναι η ευθεία με εξίσωση β) Σωστό Για κάθε R οι συναρτήσεις, g είναι (ως παραγωγίσιμες στο R) συνεχείς και g g g g g ώστε g Άρα υπάρχει αριθμός c R c cg για κάθε R γ)λάθος Πρέπει επιπλέον να ορίζεται και η εφαπτομένη στο. δ)σωστό ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 1

2 Αφού 1 1 ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d άρα E E ε) Σωστό.) 1 το εμβαδόν του τριγώνου OAB 1 1 ABOB 1 1, οπότε ΘΕΜΑ ο Α. Το πεδίο ορισμού της είναι το A άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη, με, στο οποίο είναι συνεχής, ως 4 5( 1), άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ()= e A. lim ( ) lim ( e ( 5 1) ) lim ( ) lim ( e ( 5 1) ) ( A),.. Άρα Β. Έχουμε ότι ( A), και αφού η είναι συνεχής, η ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. Επειδή, όμως η είναι γνησίως αύξουσα, τότε η ( ), έχει μία το πολύ ρίζα στο, τέτοιο ώστε ( ), δηλαδή η σημείο τον άξονα.. Άρα, υπάρχει μοναδικό C τέμνει ακριβώς σε ένα ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα

3 Γ. i) Παραγωγίζοντας κατά μέλη την g 3 ( ) g( ) 5 ( ), 1, έχουμε : 5 ( ) g( ), διότι ( ) και 3 g ( ) 3 g ( ) g ( ) g ( ) 5 ( ) (3 g ( ) ) g ( ) 5 ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. 3 g ( ). ii) Έστω, η μοναδική ρίζα της ( ), δηλαδή ( ). () Για, από την (1) έχουμε: () 3 g ( ) g( ) 5 ( ) ( g ( ) ) g( ) και επειδή g, θα είναι g ( ), δηλαδή το είναι ρίζα της g ( ). Όμως, η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα είναι μοναδική. C τέμνει τον στο ίδιο σημείο με την 3 ( ) Επομένως, η Δ. g C. g:. ύ (1) e :. ύ g( ( )) g( e ) ( ) e ( ) (1) 1. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 3

4 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Έστω,. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει lim ( ) ( ). Έχουμε ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 31 και αφαιρώντας βρίσκουμε: ( ( ) ( ))( ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Επειδή (1) μας δίνει lim( ) lim, από το κριτήριο παρεμβολής η lim( ( ) ( ) lim ( ) ( ). Β. Έστω,.Από το α) ερώτημα έχουμε: ( ( ) ( ))( ( ) ( ) 3) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 1 1 Άρα lim lim ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3. Γ. Ισχύει ( ) 1 ( ) 3 1, οπότε ( ), ά,. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 4

5 Όμως ( ) ( ) ( ) 3 κοίλα κάτω για κάθε, Επίσης για κάθε, Δ. Στη σχέση που σημαίνει ότι η στρέφει τα ( ) 3 ( ), θέτουμε όπου 4, άρα δεν έχει σημεία καμπής. (4) 3 (4) 4 (4) 4 ή 4 1. και έχουμε: Επειδή όμως ( ) 1, τότε θα έχουμε (4) 1 και 1 (4). 5 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A(4, (4)) είναι: Ε. Αφού η είναι κοίλη στο, 1 1 y (4) (4)( 4) y 5 5, η εφαπτομένη της θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής, οπότε θα ισχύει: 1 1 ( ) 5 ( ) 1,,. 5 5 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Την σχέση w iz w iz υψώνουμε στο τετράγωνο w izw iz w izw iz w iz w iz w iz w iz w iz w iz 4ww izw iwz zz 4ww izw iwz zz * w w w 4iwz 4izw R z z z ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 5

6 * Ισχύει z z z R επίσης z επειδή Β. Από την w w w σχέση R wz zw z z z i i i i i i i i 4 4 4i 4 i, 1 Η εξίσωση της εφαπτομένης σε ένα τυχαίο σημείο της, ευθεία : y A είναι η Για να διέρχεται η από την αρχή των αξόνων πρέπει το σημείο, άρα θα πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύει, Στην θέση του και η () γίνεται Θεωρούμε την συνάρτηση, στο διάστημα,, g εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle Η g είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων άρα και συνεχής, ως πηλίκο παραγωγισίμων και ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 6

7 g 1 g, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα g, : g g άρ α δείξαμε την () Γ. Θέτουμε 4 4t u 4 4t dt du 4dt du Υπολογίζουμε τα καινούργια όρια ολοκλήρωσης t u 4 3 Το όριο γίνεται 4 4t dt 4 4t u lim 1 u lim du 1 (ο όρος 43 είναι σταθερός ανεξάρτητος της μεταβλητής u ) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 7

8 u du u 4 43 lim u u du du u u lim 1lim lim lim 1 lim , 3 Θεωρούμε την συνάρτηση h στο διάστημα, εφαρμόζουμε το Η Θεώρημα του Rolle h είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων άρα και συνεχής και, ως διαφορά παραγωγισίμων h, h h h άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα h Όμως h 1έτσι έχουμε h 1 1, : ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Σελίδα 8