ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Ἀβειρὼν Μεταξάς
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής τυχαίας µεταβλητής Χ. Επίσης οι s is αναµενόµενες τιµές E( s ) = G ( s) E( e ) = M ( s) και E( e ) = φ( s) έχουν ένα πολύ σηµαντικό ρόλο όσο αφορά τον µονοσήµαντο προσδιορισµό της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ. Κάθε µία από αυτές αποτελεί την αναµενόµενη τιµή µιας συνάρτησης ή µετασχηµατισµού της τυχαίας µεταβλητής Χ είναι δηλαδή της µορφής E( g( )). Οι αναµενόµενες τιµές ως ολοκληρώµατα έχουν την µορφή µετασχηµατισµών οι οποίοι οδηγούν σε συναρτήσεις που περιέχουν µεγάλη ποσότητα πληροφόρησης για την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί βεβαίως σχετίζονται µε κατανοµές µάλλον παρά µε τυχαίες µεταβλητές. Συχνά όµως ενδιαφερόµαστε για ένα άλλο είδος µετασχηµατισµών οι οποίοι αναφέρονται στις τυχαίες µεταβλητές αυτές καθεαυτές. Ενδιαφερόµαστε δηλαδή για µετασχηµατισµούς της µορφής = g ( ) οι οποίοι οδηγούν από την τυχαία µεταβλητή Χ στην τυχαία µεταβλητή Υ. Η σηµασία και η χρησιµότητα αυτών των µετασχηµατισµών γίνεται φανερή στις περιπτώσεις όπου οι τυχαίες µεταβλητές που χρησιµοποιούµε σε σχέση µε κάποιο φαινόµενο δεν εκπροσωπούν πάντα τις µετρήσεις που ελήφθησαν. Συχνά χρησιµοποιούνται συναρτήσεις ή µετασχηµατισµοί αυτών των µετρήσεων. Για παράδειγµα κατά την µέτρηση µιας γωνίας συχνά καταγράφεται η εφαπτοµένη της γωνίας αυτής. Αντίστοιχα µία µέτρηση της θερµοκρασίας στην κλίµακα Fhrenheit µπορεί να απαιτείται να µετασχηµατισθεί σε µέτρηση της κλίµακας Κελσίου. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε µεθόδους προσδιορισµού των κατανοµών µετασχηµατισµένων τυχαίων µεταβλητών = g ( ) µε βάση την γνώση της κατανοµής της αρχικής τυχαίας µεταβλητής Χ.

Επίσης οι s is αναµενόµενες τιµές E( s ) = G ( s) E( e ) = M ( s) και E( e ) = φ( s) έχουν ένα πολύ σηµαντικό ρόλο όσο αφορά τον µονοσήµαντο προσδιορισµό της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ.

2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ας θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση όπου η τυχαία µεταβλητή Υ είναι ένας γραµµικός συνδυασµός = + b 0 της τυχαίας µεταβλητής Χ. Η συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Υ µπορεί να προσδιορισθεί βάσει της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ ως εξής: Αν > 0 τότε F P P b P b F b ( ) = ( ) = ( + ) = ( ) = ( ). Αν < 0 τότε b b F + b ) ) = P( < ) b b b b = P( ) + P( = ) = F ( ) + P( = ). Προφανώς εάν η τυχαία µεταβλητή Χ διακριτή η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Υ µπορεί να προσδιορισθεί µέσω της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ είτε µε τη βοήθεια των παραπάνω τύπων είτε απευθείας ως αποτέλεσµα του γεγονότος ότι τα ενδεχόµενα {= } και {=(-b)/} ταυτίζονται έτσι ώστε b b P = ) = ) ). Με όµοιο τρόπο αν η τυχαία µεταβλητή Χ είναι συνεχής η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ) της τυχαίας µεταβλητής Υ µπορεί να προσδιορισθεί µε βάση την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( x) της τυχαίας µεταβλητής Χ παραγωγίζοντας την συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Υ ως προς. Έτσι αν >0 d d F F ' b d b d b ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ενώ αν <0

Αν < 0 τότε b b F + b ) ) = P( < ) b b b b = P( ) + P( = ) = F ( ) + P( = ).

3 b ( ) = ( ). ηλάδή τελικά b ( ) = ( ). Παράδειγµα (διακριτή περίπτωση): Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας P 64 ( ) 85 4 (x) 0 x αν x = 0 3 Έστω = + 3. Τότε P = P 64 ( ) ( ) 0 ( 3) / αν - 3 = ( ) 85 0 αν = Παράδειγµα (συνεχής περίπτωση): Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -x e αν x > 0 (x) 0 5 Αν = 9 60 τότε 9 3

4 9 e 5 () 0 -(9+ 60) / 5 60 αν > 9 ΓΕΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Όταν η τυχαία µεταβλητή Χ είναι διακριτή η πιο άµεση µέθοδος καθορισµού της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής = g() συνιστάται στον προσδιορισµό για κάθε τιµή της πιθανότητας του ενδεχοµένου {: g()=}. Προσδιορίζουµε δηλαδή για κάθε τιµή όλες τις δυνατές τιµές της τυχαίας µεταβλητής οι οποίες οδηγούν σε αυτήν την τιµή του και µετά προσθέτουµε τις πιθανότητες των τιµών αυτών. Η προκύπτουσα ποσότητα είναι η τιµή της πιθανότητας P ( ). Έτσι P = P ( x). { xg : ( x) = } Παράδειγµα: Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας P 4 ( ) 3 ( x) 0 x αν x = Αν = οι δυνατές τιµές της τυχαίας µεταβλητής είναι 0 4. Τότε P ( 0) = P ( x) = P ( 0) = { xx : = 0} P() = P( x) ) + P() = + = 3 3 {: xx = } P( 4) = P( x) ) + P( ) = + = { xx : = 4} 4

Προσδιορίζουµε δηλαδή για κάθε τιµή όλες τις δυνατές τιµές της τυχαίας µεταβλητής οι οποίες οδηγούν σε αυτήν την τιµή του και µετά προσθέτουµε τις πιθανότητες των τιµών αυτών.

5 και P = 0 για όλες τις άλλες τιµές του. ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Στην περίπτωση που η τυχαία µεταβλητή Χ είναι συνεχής για τον προσδιορισµό της τιµής της τυχαίας µεταβλητής = g() απαιτείται η πρόσθετη υπόθεση ότι η συνάρτηση g() είναι γνησίως µονότονη και διαφορίσιµη. Η υπόθεση αυτή γίνεται για να εξασφαλισθεί η ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης = g ( x) = h( x). Στην περίπτωση αυτή έχουµε F g( ) ) ) P( h( )) = F )) P( h( )) = F )) αν η g είναι γνησίως αύξουσα αν η g είναι γνησίως φθίνουσα Τότε df = d dh( ) )) d dh( ) )) d αν η g είναι γνησίως αύξουσα αν η g είναι γνησίως φθίνουσα Κατά συνέπεια = dh d ( h). Παράδειγµα: Έστω ότι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -θx θe αν x > 0 ( x) 0 5

g() είναι γνησίως µονότονη και διαφορίσιµη. Η υπόθεση αυτή γίνεται για να εξασφαλισθεί η ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης = g ( x) = h( x).

6 όπου θ>0. Έστω = e. Έχουµε δηλαδή εδώ ένα µετασχηµατισµό της µορφής = g() όπου η συνάρτηση gx ( ) = e x είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιµη. Εποµένως = e x τότε και µόνο τότε εάν x = g = h = log. Άρα σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι () = d d log x (log) θ e θ 0 -θlog αν 0 log < θ 0 θ αν < 6

Σχετικά έγγραφα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα