3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

Transcript

1 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ ) + (ΜΕ) Ο γ.τ του σηµίου Μ ίνι έλλιψη µ στίς Ε ι Ε. Πριορισµός : Αν ( ΕΕ ) γ, πρέπι γ < 3. Εξίσωση έλλιψης µ στίς Ε ( γ, 0), Ε ( γ, 0). +, όπου γ Εξίσωση έλλιψης µ στίς Ε ( 0, γ), Ε ( 0, γ) +, όπου γ. Ιδιότητς πό το σχήµ i) Εστίς στον άξον ii) Σηµί τοµής µ τον άξον iii) Σηµί τοµής µ τον άξον iv) Συµµτριή ως προς τον άξον ως προς τον άξον ως προς την ρχή Ο v) Σχέσις µγθών : δ,, - Ε Ο - δ Ε

2 6. Εντρότητ i) γ <, ποδινύτι ότι : ii) Ελλίψις µ ίδι ντρότητ ονοµάζοντι όµοις iii) Ότν 0, τότ πό την () τίνι ν γίνι ύλος iv) Ότν, τότ πό την () τίνι ν γίνι υθύγρµµο τµήµ () δηλδή, οπότ η έλλιψη 0, δηλδή 0, οπότ η έλλιψη 7. Εφπτοµένη +, όπου Μ(, ) το σηµίο πφής. 8. Μι ιδιότητ Η άθτη στην φπτοµένη µις έλλιψης στο σηµίο πφής Μ διχοτοµί τη γωνί Ε ΜΕ, όπου Ε ι Ε οι στίς της έλλιψης ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Το πρόσηµο των πρµέτρων Σ άθ έλλιψη +. Κάτι προφνές λλά χρήσιµο γ γ οι,, γ ίνι > 0

3 3 3. Εµπιριός νόνς Στην ξίσωση + : λ Αν > λ, τότ οι στίς ρίσοντι στον άξον των. Αν λ >, τότ οι στίς ρίσοντι στον άξον των. Ισοδύνµη µορφή της ξίσωσης έλλιψης +.. Ισοδύνµη µορφή της ξίσωσης φπτοµένης + 6. Μέθοδος Γι φπτοµένη πό σηµίο Κ που δν νήι στην έλλιψη : Γράφουµ την ξίσωση της φπτοµένης στο τυχίο σηµίο πφής Μ(, ) ι την πληθύουµ πό το Κ. 7. Γνιή µέθοδος Γι την πίλυση του µγάλου όγου των προληµάτων : ) Θωρούµ τους πρίτητους γνώστους. ) Μττρέπουµ τις υποθέσις του προλήµτος σ ξισώσις γ) Λύνουµ το σύστηµ των ξισώσων δ) Αολουθούµ ήµ ήµ την φώνηση

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μι έλλιψη έχι έντρο συµµτρίς το Ο(0, 0) ι διέρχτι πό τ σηµί 3 Μ, ι Λ,. Ν ποδίξτ ότι οι στίς της νήουν στον άξον Έστω + η ξίσωση της έλλιψης. λ Αρί ν ποδίξουµ ότι > λ. Σχόλιο 3 Μ νήι στην έλλιψη 3 + λ ( ) Λ νήι στην έλλιψη + λ Στις (), () θέτουµ ω ι λ φ. 3 + λ () + λ () Προύπτι το σύστηµ 3 ω+ ϕ ω+ ϕ 3 ω+ ϕ ω+ ϕ Άρ ι λ ι ξίσωση της έλλιψης γίντι + ι ω+ 3ϕ ω+ϕ ( ) ϕ ω+ϕ ϕ ω+ ϕ ω λ, οπότ > λ

5 . Ν δίξτ ότι οι λλίψις έχουν τις ίδις στίς Γι την πρώτη έλλιψη + ι + +λ +λ Αφού >, οι στίς της ρίσοντι στον άξον. Σχόλιο 3 µ > Έστω λοιπόν Ε ( γ, 0) ι Ε(γ, 0) οι στίς της, όπου γ Γι τη δύτρη έλλιψη > > + λ > + λ Άρ οι στίς της ρίσοντι στον άξον. Έστω λοιπόν ( δ, 0) ι (δ, 0) οι στίς της, όπου + λ + δ γ () λ δ () δ Από τις (), () δ γ δ γ Άρ οι στίς τους συµπίπτουν ντίστοιχ.

6 6 3. Έστω η έλλιψη +. Σ σηµίο της Ρ( ο, ο ) φέρουµ την φπτοµένη της (), η οποί τέµνι τον άξον σ σηµίο Μ ι τον σ σηµίο Ν. Αν Κ, Λ ίνι οι προολές του Ρ στον ι ντίστοιχ, δίξτ ότι (ΟΚ) (ΟΜ) ι (ΟΛ) (ΟΝ). Είνι () : + o o Γι 0 δίνι Γι 0 δίνι Οπότ 0 0 Ν 0, Μ o o, 0 ΟΚ o, ΟΛ ο, ΟΜ ι ΟΝ Άρ (ΟΚ) (ΟΜ) (ΟΛ) (ΟΝ) o o o o o o Ν Λ Ο Κ Ρ( o, o ) Μ

7 7. ίξτ ότι τ σηµί τοµής των λλίψων + ι ίνι ορυφές ττργώνου µ πλυρές πράλληλς στους άξονς. Πόσο ίνι το µήος της πλυράς του ττργώνου ; Οι ξισώσις των λλίψων δίνουν το σύστηµ Λύνοντς το σύστηµ ρίσουµ ι ± ι ± Άρ τ σηµί τοµής των λλίψων ίνι τ Κ,, Λ,, Μ,, Ρ, ττράπλυρο ΚΛΡΜ ύολ ποδινύτι ότι ίνι ττράγωνο µ πλυρές πράλληλς στους άξονς ι µήος πλυράς. Μ Ρ Ο Λ Κ. Έστω η προλή ι η έλλιψη +. Ν ρίτ τ, ώστ η έλλιψη ν διέρχτι πό το σηµίο (0, ) ι µί στί της ν συµπίπτι µ την στί της προλής. Γι την προλή έχουµ ότι p p 6, οπότ η στί της προλής ίνι Ε(3, 0) Μί στί της έλλιψης θ ίνι το Ε, οπότ γ 3 0 Η έλλιψη διέρχτι πό το (0, ) + Αλλά γ 6 9 6

8 8 6. Ν ρίτ την ξίσωση της φπτοµένης της έλλιψης + που σχηµτίζι µ τον άξον γωνί o. Έστω M(, ) το σηµίο πφής, τότ η φπτοµένη () σ υτό έχι ξίσωση + µ λ φ ο () Μ νήι στην έλλιψη + () Λύνοντς το σύστηµ των (), () ρίσουµ ι ή ι Οπότ οι ζητούµνη φπτοµένη ίνι ή + 7. Στην έλλιψη + 0 ν ρθί σηµίο Μ γι το οποίο ισχύι όπου Ε ι Ε οι στίς της έλλιψης Σχόλιο Είνι γ 0 6 γ. Εποµένως Ε (, 0) ι Ε(, 0) 0 () Αν Μ (, ) ζητούµνο σηµίο, τότ ΜΕ ΜΕ ME ΜΕ Όµως ΜΕ (, ) ι ΜΕ (, ) () ( )( ) () Μ νήι στην έλλιψη + 0 (3) Λύνοντς το σύστηµ των (), (3) ρίσουµ ± ι ± Οπότ τ ζητούµν σηµί ίνι τ Μ (, ), Μ (, ), Μ 3 (, ), Μ (, ) ΜΕ ΜΕ,

9 9 8. Έστω η έλλιψη Ν ρίτ i) Τους άξονς, τις στίς, την ντρότητ ι τις ορυφές. ii) Τις ξισώσις των φπτοµένων που διέρχοντι πό το σηµίο Ρ(, 0) ι ν ποδίξτ ότι ίνι µτξύ τους άθτς. i) > 9 ο µγάλος άξονς ίνι τµήµ του Είνι 6 ι 9 3 Άρ ο µγάλος άξονς ίνι 8 ι ο µιρός άξονς ίνι 6 Κορυφές ίνι τ σηµί Α(, 0), Α (, 0), Β (0, 3), Β (0, 3) Είνι γ γ γ γ 7 Άρ οι στίς ίνι Ε ( 7, 0) ι Ε ( 7, 0) ι η ντρότητ ii) Αν Μ(, ) ίνι σηµίο πφής τότ η φπτοµένη σ υτό ίνι η Επιδή θέλουµ η φπτοµένη σ υτό ν διέρχτι πό το Ρ(, 0), () θ πρέπι Όµως το Μ νήι στην έλλιψη, άρ () Λύνοντς το σύστηµ των (), () ρίσουµ 6 Οπότ οι ζητούµνς φπτόµνς ίνι ( ) : ή ( ) : ι Σχόλιο 9 ± + + Είνι λ λ ( ). οι φπτόµνς ίνι άθτς 7

10 0 9. Έστω η έλλιψη + 0 i) ίξτ ότι το σηµίο Μ( συνθ, ηµθ) νήι στην έλλιψη ii) Ν ρίτ την ξίσωση της φπτοµένης της έλλιψης στο Μ iii) Αν το Μ δν ίνι ορυφή της έλλιψης ι η άθτη στην φπτοµένη στο ΕΓ σηµίο Μ τέµνι τον άξον σ σηµίο Γ, δίξτ ότι, όπου η ΕΜ ντρότητ της έλλιψης ι Ε µί στί της. i) Ελέγχουµ ν το Μ πληθύι την ξίσωση της έλλιψης ( συνθ) + (ηµθ) 0 0συν θ + 0 ηµ θ 0 Άρ το σηµίο Μ νήι στην έλλιψη ii) συν θ + ηµ θ που ισχύι Η φπτοµένη στο Μ έχι ξίσωση ( συνθ ) + (ηµθ) 0 iii) συνθ + 0 ηµθ 0 µ λ ϕ συνθ 0ηµθ Η άθτη στην φπτοµένη στο Μ έχι συντλστή διύθυνσης λ ποµένως έχι ξίσωση ηµθ 0ηµθ ( συνθ) συνθ 0ηµθ συνθ ηµθ Σχόλιο 0ηµθ συνθ συνθ Γι 0 ρίσουµ Γ, 0 Η ξίσωση της έλλιψης γράφτι + 0 Απ όπου ι, άρ γ γ Ε(, 0) + Τότ ΕΓ συνθ, 0 µ ΕΓ συνθ

11 ι ΕΜ (, ηµθ) συνθ µ ΕΜ ( συνθ ) + ( ηµθ) συν θ συνθ+ + ηµ θ συν θ+συν θ συνθ+ + ηµ θ ( συν θ+ηµ θ ) +συν θ συνθ+ +συν θ συνθ ( συνθ ) συνθ Εποµένως συνθ ΕΓ ΕΜ συνθ συνθ ( συνθ ) ( συνθ) ( συνθ ) Επιδή, η ντρότητ ίνι γ άρ ΕΓ ΕΜ

12 0. ίντι η προλή p ι η έλλιψη + 3p µ p > 0. ίξτ ότι p 3 p 3 i) Οι στίς Ε ι Ε της έλλιψης ίνι Ε 0,, Ε 0, p ii) Τ σηµί τοµής Κ ι Λ των δύο ωνιών τοµών ίνι Κ, p, Λ p, p iii) Οι φπτόµνς των δύο ωνιών τοµών στο σηµίο Κ ίνι άθτς. i) + 3p + + 3p 3p 3p 3p 3p 3p Επιδή >, ο µγάλος άξονς της έλλιψης ίνι τµήµ του άξον 3p ι 3p οπότ γ 3p 3p 3p άρ γ p 3 p 3 p 3 Εστίς λοιπόν ίνι τ σηµί Ε 0, ι Ε 0, ii) + 3p + p 3p 0 Λύνουµ το σύστηµ p p Η ξίσωση + p 3p 0 p Γι p, η p δίνι ± p ή 3p 3p Γι, η p δίνι 3p δύντη Άρ τ σηµί τοµής των δύο ωνιών ίνι Κ p, p ι iii) Εφπτοµένη της προλής στο Κ () : p( + ) p p( + p ) p Λ, p + p µ λ Εφπτοµένη της έλλιψης στο Κ (η) : + 3p p + p 3p µ λ Επιδή λ λ, οι φπτόµνς ίνι άθτς

13 3. Ν ρθί η ξίσωση της έλλιψης που έχι στίς Ε ( 3, 0), Ε(3, 0) ι φάπττι στην υθί. Η έλλιψη θ έχι ξίσωση της µορφής + µ γ 3 Η φπτοµένη σ σηµίο Μ(, ) ίνι + Γι ν τυτίζτι µ την πρέπι + + ι ι ι Μ νήι στην υθί + () Όµως ίνι γ 9 () Λύνοντς το σύστηµ των (), () ρίσουµ 7 ι 8 Οπότ η ζητούµνη ξίσωση ίνι + 7 8

14 . Ν ρίτ την ξίσωση της χορδής της έλλιψης , η οποί έχι µέσο το σηµίο Μ(, ) Αν Α(, ) ι Β(, ) ίνι τ άρ της χορδής που έχι µέσο το Μ(, ), + + τότ ι + ι + () Είνι λ ΑΒ () (ίνι, φού η ΑΒ δν ίνι τόρυφη, δδοµένου ότι το Μ δν ρίστι στον άξον των ) Α ι Β νήουν στην έλλιψη ι Αφιρώντς τά µέλη ( + )( ) + 9( + )( ) 0 () 6( ) + 8( ) 0 6( ) 8( ) 8 9 () λ ΑΒ 8 9 Οπότ η ΑΒ, φού διέρχτι πό το Μ έχι ξίσωση 8 ( )

15 3. Ν ποδίξτ ότι οι λλίψις C : ίνι όµοις. ( ίντι ότι > > 0) γ Η ντρότητ της C ίνι Η C γράφτι + γ Η ντρότητ της C ίνι γ Από τις (), () +, C : όπου γ γ όπου γ () + όπου όπου γ γ γ όπου γ γ όπου, άρ λλίψις όµοις. + γ ()

16 6. Ν συγριθούν οι ντρότητς των λλίψων C : +, C : + µ > > 0 γ Η ντρότητ της C ίνι όπου γ γ όπου γ Η C γράφτι + ( ) ( ) γ Η ντρότητ της C ίνι () () Άρ > > + γ όπου όπου + > () γ ( ) ( ) γ > ()

17 7. Γι το τυχίο σηµίο Μ της έλλιψης +, ν ποδίξτ ότι (ΜΕ ) (ΜΕ) + (ΜΟ) + όπου Ε, Ε ίνι οι στίς της έλλιψης ι Ο η ρχή των ξόνων. Είνι (ΜΕ ) + (ΜΕ) [(ΜΕ ) + (ΜΕ)] (ΜΕ ) + (ΜΕ) + (ΜΕ ) (ΜΕ) () ο Θ. ιµέσων στο τρίγωνο ΜΕΈ (ΜΕ ) + (ΜΕ) (ΜΟ) + ( ΕΕ ) (ΜΟ) + ( γ ) (ΜΟ) + γ Ε O Μ Ε Η () (ΜΟ) + γ + (ΜΕ ) (ΜΕ) (ΜΟ) + γ + (ΜΕ ) (ΜΕ) (ΜΟ) + (ΜΕ ) (ΜΕ) γ λλά γ Οπότ (ΜΟ) + (ΜΕ ) (ΜΕ) ( ) + + γ

18 8 6. ίντι η έλλιψη + µ στίς Ε(γ, 0), Ε ( γ, 0). γ i) Γι το τυχίο σηµίο της Α(, ), ν ποδίξτ ότι (AΕ) ii) Χορδή ΑΒ της έλλιψης (Α νήι στο ο ττρτηµόριο ι Β στο ο ) διέρχτι πό την στί Ε ι έχι µέσο Μ( o, o ). γο Ν ποδίξτ ότι (ΑΒ) i) ο Θ. ιµέσων στο τρίγωνο ΑΕΈ (ΑΕ ) (ΑΕ) (ΕΈ)(ΟΚ) [(ΑΕ ) + (ΑΕ)] [(ΑΕ ) (ΑΕ)] γ Ε O K A(, ) Ε B(, ) [(ΑΕ ) (ΑΕ)] γ γ (ΑΕ ) (ΑΕ) () Αλλά (ΑΕ ) + (ΑΕ) () γ γ () () (ΑΕ) (ΑΕ) (3) ii) Έστω Β(, ) γ Από το (i) θ έχουµ (ΒΕ) () γ (3) + () (ΑΕ) + (ΒΕ) + γ γ (+ ) (ΑΒ), λλά + o φού Μ µέσο γ Οπότ (ΑΒ) ο γο (ΑΒ)