ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου"

Ήλιόδωρος Δουρέντης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων, β. ii) Ν βρθί η γωνί των δινυσμάτων, β. iii) Ν δίξτ ότι: προβ β iv) Αν OA κι OB β όπου Ο η ρχή των ξόνων ν βρθί το μβδόν του τριγώνου ΟΑΒ i) Έχουμ: β () Επίσης: Ακόμη: β β β β β β 7 () β β β β β β 8 () Λύνοντς το σύστημ των ξισώσων (), () πίρνουμ: β β ii) Είνι: συν,β,β π,(i) β άρ : β προβ. β iii) Έχουμ: β προβ. β i προβ. β προβ. β. Άρ: προβ. β v) Είνι: OAB OA OB ημοα,οβ i, ii π Άσκηση η β ημ,β ημ τ.μ. Δίνοντι οι υθίς: : x ψ 5, : β x ψ, : x ψ όπου, β δυο δινύσμτ κι u β. Αν π //, κι,β τότ ν δίξτ ότι: i), β κι u ii) β u Έχουμ: iii) β,u 5 β,u. // λ λ β β () Επίσης: λ λ β β Οπότ πό την () ίνι:. Επίσης: u β οπότ u β u β β β β β συν π β άρ u. β u β β β β ii) ίνι: π β συν β.

2 iii) Έχουμ: συνβ,u i, ii β u β u 5π Άρ: β, u () 6 Επίσης: i, ii β u β u ( ) συν β, u β u β u Ά- π ρ: β,u () 6 Λόγω των (), () ίνι: β, u 5 β, u. Άσκηση η Δίντι το τρίγωνο ΑΒΓ μ Α(,), Β(,) κι Γ(,) Ν βρθούν οι συνττγμένς του: Α. i) Ορθόκντρού του (Η) ii) iii) iv) Βρύκντρού του (G) Πρίκντρού του (Ο) κι Έγκντρού του (Ι) Β. Ν βρθί η ξίσωση του πριγγρμμένου κύκλου στο ΑΒΓ. (Θυμίζουμ ότι το ορθόκντρο, το βρύκντρο, το πρίκντρο κι το έγκντρο νός τριγώνου ίνι το σημίο τομής των υψών, των διμέσων, των μσοκθέτων κι των διχοτόμων ντίστοιχ. Άρ λοιπόν ρκί ν υπολογίσουμ δυο πό τ πρπάνω βοηθητικά στοιχί κάθ φορά ώστ πιλύνοντς το σύστημά των ξισώσών τους ν προσδιορίσουμ τ ζητούμν σημί). i) Έστω υ κι υ τ ύψη πό τις κορυφές Α κι Β. Επιδή υ BΓ κι υ AΓ θ ισχύι: λυ λ ΒΓ λυ κι λυ λ ΑΓ λυ Άρ οι ξισώσις τους ίνι: υ : y x y x x y () υ : y x y x x y () Επιλύοντς το σύστημ των ξισώσων () κι () έχουμ τις συνττγμένς του ορθοκέντρου. x y...x, y. x y Άρ: το ορθόκντρο ίνι το σημίο Η(,). Πρτηρούμ ότι το ορθόκντρο Η τυτίζτι μ το σημίο Β (κορυφή). Πράγμτι, το τρίγωνο ΑΒΓ ίνι ορθογώνιο στο Β (λ ΑΒ.λ ΒΓ = = ). ii) Έστω Κ κι Λ τ μέσ των ΒΓ κι ΑΓ τότ θ ίνι: Κ(, ), Λ(,). Επομένως οι ξισώσις των διμέσων πό τις κορυφές Α κι Β θ ίνι: AK : y x y () κι ΒΛ : y x y x x y Πρτηρούμ ότι η διάμσος πό το Β τυτίζτι μ το ύψος πό το Β. Πράγμτι το τρίγωνο δν ίνι μόνο ορθογώνιο στο Β λλά κι ισοσκλές ((ΑΒ)=(ΒΓ)= = ). Επιλύοντς το σύστημ των ξισώσων () κι () προσδιορίζουμ τις συνττγμένς του βρύκντρου y y x y x Άρ: Το βρύκντρο ίνι το σημίο G,. Σημίωση: Ως γνωστόν τις συνττγμένς του βρυκέντρου του ΑΒΓ μπορούμ ν υπολογίσουμ κι πό τους τύπους: x x x y y y x G, yg A x,y, B x,y, Γ x,y. Όπου Έτσι: x G, yg. iii) Οι μσοκάθτς κι στις πλυρές ΒΓ κι ΑΓ θ έχουν ξίσωση: (Οι συντλστές διύθυν-

3 σης θ ίνι ίσοι μ τους συντλστές διύθυνσης των υψών υ κι υ ντίστοιχ) νώ τ μέσ τους Κ κι Λ υπολογίστηκν στο (ii) Έτσι: : y x y x x y 6 (5) : y x y x x y (6) Επιλύοντς το σύστημ των (5) κι (6) προσδιορίζουμ τις συνττγμένς του πρικέντρου. x y 6...x, y x y Άρ: Το πρίκντρο ίνι το σημίο Ο(,) Πρτηρούμ ότι το πρίκντρο ίνι το μέσο της πλυράς ΑΓ. Ανμνόμνο (!) φού ο πριγγρμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ έχι διάμτρο την πλυρά ΑΓ. iv) Οι διχοτόμοι των γωνιών Α κι Β θ βρθούν ως οι γωμτρικοί τόποι των σημίων του πιπέδου τ οποί ισπέχουν πό τις πλυρές τους. Θ βρούμ κτρχήν τις ξισώσις των πλυρών ΑΒ, ΑΓ κι ΒΓ. AB: y x y x y x x y (7) AΓ: y x y x y x x y 9 (8) BΓ: y x y x x y (9) Έστω Μ(x, y) σημίο του πιπέδου. Αν το Μ νήκι στη διχοτόμο της γωνίς Α πρέπι κι ρκί x y x y 9 dm,ab dm,aγ 5 x y x y 9 x y 9 (δ ) ή x y 9 (δ ) Όμως η (δ ) τέμνι την πένντι πλυρά ΒΓ στο σημίο που θ προκύψι πό τη λύση του συστήμτος x y x y 9...x,6, y... Επιδή,6 x,x, Γ B η σωτρική διχοτόμος ίνι η (δ ) Γι τη διχοτόμο της γωνίς Β τ πράγμτ ίνι πλά! Τυτίζτι μ το ύψος πό το Β (ή τη διάμσο πό το Β). Έτσι το έγκντρο θ το βρούμ πό την πίλυση του συστήμτος: x y 9 x y x, y 5 5 Άρ: Tο έγκντρο ίνι το σημίο I, 5 5 Β. Ο πριγγρμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ έχι διάμτρο (όπως νφέρμ) την πλυρά ΑΓ κι κέντρο το μέσο της Λ(, ). Όμως: AΓ Άρ η ξίσωσή του θ ίνι: x y x y Άσκηση η Δυο χωριά, που βρίσκοντι κοντά στη θάλσσ, στο χάρτη σ έν σύστημ κρτσινών συνττγμένων ίνι στ σημί Α(, ) κι Β(, ). Στο ίδιο σύστημ ξόνων η πρλί κτίντι κτά μήκος της υθίς () μ ξίσωση x y =. Έν πυροσβστικό όχημ ξκινά πό το χωριό Α κι πρέπι το τχύτρο δυντόν ν φτάσι στη θάλσσ γι ν γμίσι νρό κι στη συνέχι ν πάι στο χωριό Β γι ν σβήσι το φλγόμνο σπίτι. Αν υποθέσουμ ότι το πυροσβστικό όχημ μπορί ν κινηθί σ υθί γρμμή ν βρθούν οι ξισώσις των υθιών που θ κολουθήσι πό το χωριό Α προς την πρλί κι πό την πρλί προς το φλγόμνο σπίτι (χωριό Β).

4 Σημίωση: Από τη γωμτρί κι ιδικότρ πό την τριγωνική νισότητ γνωρίζουμ ότι η συντομότρη διδρομή πό το Α στο Β ίνι μέσω κίνου του σημίου Ρ της (), που ίνι η τομή της ΒΑ μ την () όπου το Α το συμμτρικό του Α ως προς την (). Πράγμτι: Έστω Ρ το σημίο τομής της ΒΑ μ την (). Αν υπήρχ άλλο σημίο Ρ μ γρηγορότρη διδρομή, τότ: ΑΡ +Ρ Β<ΑΡ+ΡΒΑ Ρ +Ρ Β<Α Ρ+ΡΒ Α Ρ +Ρ Β<Α Β άτοπο! (φού ισχύι: Α Ρ +Ρ Β >Α Β : τριγωνική νισότητ στο τρίγωνο Α Ρ Β). Έστω Α το συμμτρικό του Α(, ) ως προς την υθί x y =. Αν Α (μ, ν) τότ: ν AA' λαα' λ μ ν μ μ ν () Αν Κ το μέσο του ΑΑ θ ίνι μ ν K, κι θ πληθύι την ξί- σωση της (). Άρ: μ ν μ ν μ ν () Λύνοντς το σύστημ των ξισώσων () κι () προσδιορίζουμ το σημίο Α : μ ν μ ν μ ν μ μ ν μ ν ν Άρ: A ', H υθί Α Β έχι ξίσωση: y x y 6x 6x y Στη συνέχι θ προσδιορίσουμ το σημίο τομής P των υθιών Α Β κι () λύνοντς το σύστημ των ξισώσών τους: x x y 7x 7 6x y x y y 7 Άρ: P(, ) 7 7 Άρ: Η ξίσωση της διδρομής πό το χωριό Α προς την πρλί θ έχι ξίσωση: (γνωρίζουμ δυο σημί της: Α(, ) κι P(, ) ): 7 7 y 7 x y (x ). 6 7 x 6y Από τη πρλί προς το χωριό Β την βρήκμ: 6x y Άσκηση 5 η Τ σχέδι πέκτσης του υπογίου metro της πόλης του ΠΕΚΙΝΟΥ, πριλμβάνουν: ) Τη γρμμή γ κάθ σημίο της οποίς σ ορθοκνονικό σύστημ ξόνων (στο χάρτη) ίνι της μορφής: Α(λ+, λ+), λr. β) τη γρμμή γ που πρνάι πό το στθμό Σ(, ) κι ίνι πράλληλη στο διάνυσμ u,5. i) Βρίτ τις ξισώσις των νέων γρμμών γ κι

5 γ. ii) Στο σημίο Ο(, ) στην ρχή των ξόνων κτσκυάζτι το στάδιο που θ φιλοξνήσι το γώνισμ της Άρσης Βρών. Δδομένου ότι το κόστος κτσκυής νά μονάδ μήκους γρμμής ίνι το ίδιο μ ποι γρμμή πό τις γ κι γ συμφέρι ν συνδθί το στάδιο της Άρσης Βρών. iii) Αν το Ολυμπικό χωριό βρίσκτι στο σωτρικό του κύκλου μ κέντρο το σημίο Β(, ), ποι θ ίνι η ξίσωση του κύκλου υτού, ώ- στ ν φάπττι της γρμμής γ. i) Έστω Μ(x, y) τυχίο σημίο της υθίς γ. Τότ x = λ + κι y = λ + γι κάθ λr. y Άρ: λ x γι κάθ λr. Άρ: x = y x y : η ξίσωση της υθίς γ. Η ξίσωση της υθίς γ ίνι: 5 y x... x y ii) Το στάδιο της Άρσης Βρών θ συνδθί μ τη γρμμή γ φού ίνι πλησιέστρ πό τη γ. Πράγμτι: d,γ d,γ iii) Πρέπι: db, γ ρ. Άρ: ρ 5 5 Άρ: η ξίσωση του κύκλου θ ίνι: Άσκηση 6 η x y 6 Δίντι μι υθί () κι έν σημίο Α κτός υτής. Ν βρθί ο γ.τ. των κέντρων των κύκλων που φάπτοντι στην () κι πρνούν πό το Α. Έστω Μ(x, y) τυχίο σημίο του ζητούμνου γ.τ. Επιδή το σημίο Μ ίνι κέντρο του κύκλου που 5 φάπττι στην () κι διέρχτι πό το Α, Θ ι- σχύι: d(μ, )= (ΜΑ) Άρ: Το Μ κινίτι στην πρβολή μ στί το Α κι διυθτούσ την υθί. Άσκηση 7 η Θωρούμ το σύνολο των σημίων Μ του πιπέδου των οποίων οι συνττγμένς (x, y) πληθύουν την ισότητ: x x y 6 Ν βρθί η γρμμή (σχήμ) που σχημτίζουν τ σημί υτά στο πίπδο. Ν προσδιορίστ κορυφές, στίς, σύμπτωτς κ.λπ. σ κάθ σχήμ που θ βρίτ. Ο- μοίως γι την ισότητ: x (y 9) =. y y x x x 6 y y x x y y x ή x y y x ή x Η () πριστάνι υπρβολή μ σύμπτωτς τις υθίς y = x κι y = x, στίς τ σημί 5,, 5, κι κορυφές τ σημί (, ) κι (, ). 5

6 Η () πριστάνι έλλιψη μ στίς τ σημί, κι, κι κορυφές τ σημί (, ) κι (,) κι πίσης τ σημί (, ) κι (, ), άκρ του μγάλου κι μικρού άξονά της - ντίστοιχ. Γι την ισότητ: x (y 9) = ργστίτ μόνοι σς όπως πρπάνω σν άσκηση! Άσκηση 8 η Βρίτ το κέντρο του κύκλου που διέρχτι πό το σημίο Β(, ) κι φάπττι στην πρβολή y = x στο Α(, ). Προσοχή: Δυο κωνικές τομές φάπτοντι μτξύ τους σ έν σημίο ότν έχουν στο σημίο υτό κοινό φπτόμνη. Το κέντρο του κύκλου θ βρίσκτι πίσης κι στην κάθτο στο σημίο Α της κοινής φπτόμνης πρβολής κι κύκλου. Η φπτόμνη της πρβολής στο Α ίνι:. x y x y x y Η κάθτη σ υτήν στο Α θ έχι ξίσωση: y x x y 8 () Επιλύνοντς το σύστημ των ξισώσων () κι () προσδιορίζουμ τις συνττγμένς του κέντρου Κ του κύκλου. x 6y x, y x y 8 5 Άρ: Το κέντρο του κύκλου ίνι το σημίο 6 5 K, 5. Άσκηση 9 η Ν δίξτ ότι ο ριθμός 7 ν 6ν ίνι πολλπλάσιο του 6 γι κάθ φυσικό ριθμό ν μ ν. Έστω = 7 ν 6ν μ νν κι ν. Γι ν = ίνι = 7 6. = 9 = 6 = πολ6. Έστω ότι κι γι νν κι ν > ίνι = πολ.6 7 ν 6ν = 6λ () μ λν* θ δίξουμ ότι κι γι ν + ο ίνι πολλπλάσιο του 6. Δηλδή ότι: 7 ν+ 6(ν + ) = πολ. 6 Το κέντρο, έστω Κ (x, y) του κύκλου θ βρίσκτι στη μσοκάθτο του ΑΒ (όπου Α(, ) κι Β(, )). Άρ: Θ πληθύι την ξίσωσή της που ίνι 9 y x 6y x 9 6 x 6y 9 Πράγμτι: Από την () ίνι 7 ν = 6. λ + 6ν + () Έτσι 7 ν+ 6(ν + ) = 77 ν 6ν 6 7(6λ + 6ν +) 6ν 7 = 7. 6λ + ν + 7 6ν 7 =7. 6λ + 6ν = 6(7λ + ν) 7λνρ ρν* 6 ρ πολ.6 Από τ πρπάνω κι σύμφων μ τη μέθοδο της μθημτικής πγωγής γι κάθ φυσικό ν μ ν ο ριθμός 7 ν 6ν ίνι πολλπλάσιο του 6. 6

7 Άσκηση η Η διίρση νός κρίου μ το 7 δίνι πηλίκο π κι υπόλοιπο υ = π. Ν βρθούν οι δυντές τιμές του. Έχουμ = 7.π + υ μ υ < 7 (). Όμως υ = π άρ: = 7. π + π () κι λόγω της () πρέπι π < 7 οπότ οι δυντές τιμές του π ίνι,,, (φόσον π κέριος) Έτσι πό την () γι π = ίνι: =, γι π = ίνι: = 8, γι π = ίνι: = 8, γι π = ίνι: = 8. ii) Έχουμ: β κ = (κ +κ+) κ(κ + ) =...= 6(κ + ) + = k π 6π οπότ το ζητούμνο υπόλοιπο ίνι: υ = iii) Έστω κ=5ρ μ ρζ τότ: + β = (. κ + ) + (κ + κ + ) = = κ + 5κ + 5 = (5ρ ) ρ + 5 = 5ρ + 5ρ + 5 = 55ρ 5ρ 5ρ 5ρ λ 5λ πολ.5. λζ iv) Ο δζ. Εφόσον δ λόγω του i) ο δ = ± ή ο δ ίνι πριττός. Όμοι ο δβ οπότ λόγω του (i) δ = ± ή ο δ ίνι άρτιος. Έτσι συμπρίνουμ ότι δ =. Άσκηση η Δίνοντι οι ριθμοί = κ + κι β = κ + κ + όπου ο κ ίνι κέριος. i) Ν δίξτ ότι ο ίνι πριττός κι ο β άρτιος ii) Ν βρίτ το υπόλοιπο της διίρσης του ριθμού β κ μ το 6 iii) Αν ο κ ίνι πολλπλάσιο του 5 τότ ν δίξτ ότι ο ριθμός + β ίνι πολλπλάσιο του 5 iv) Αν ο ριθμός δ ίνι κέριος κι δ, δβ ν βρίτ τις θτικές τιμές που μπορί ν πάρι ο δ. i) Είνι: = κ + = κ + + = (κ + ) + κ ρ ρ οπότ ο πριττός. ρζ Αν κ = ν μ νζ ίνι: β = (ν) +. ν + = ν + 6ν + = (ν + ν + ) ν νρ ρ. ρ Ζ Αν κ = ν + μ νζ ίνι: β = (ν + ) + (ν + ) + = ν + ν + + 6ν + + = ν + ν + 8 = (ν + 5ν + ) ν 5νρ ρ Ζ ρ Δηλδή σ κάθ πρίπτωση ο β ίνι άρτιος. πζ 7

Σχετικά έγγραφα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )