ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης ΠΡΟΟΔΟΣ,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης ΠΡΟΟΔΟΣ,"

Συντύχη Ζυγομαλάς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 8-9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης ΠΡΟΟΔΟΣ, 7--8 Άκηη [] Περιγράψτε εν υντομία τις έννοιες α) της ακρίβειας, β) της ευτάθειας και γ) της ύγκλιης ε χέη με την διατύπη και εφαρμογή αριθμητικών μεθόδν. Απάντηη Α: Η ακρίβεια τις αριθμητικές μεθόδους αναφέρεται την ακρίβεια ή τάξη του εφαρμοζόμενου αλγορίθμου ή του αριθμητικού χήματος. Για παράδειγμα, την αριθμητική ολοκλήρη Newto- Cotes αναμένεται ότι για τον ίδιο αριθμό ημείν (ίδιο h ) ο ος κανόνας Simpso O( h ) θα δώει πιο ακριβή αποτελέματα ε χέη με τον κανόνα Τραπεζίου O( h ). Η ακρίβεια τις πράξεις κινητής υποδιατολή αναφέρεται τον αριθμό τν ημαντικών ψηφίν με τον οποίο πραγματοποιούνται οι πράξεις. Απάντηη Β: Η ευτάθεια τις αριθμητικές μεθόδους αναφέρεται την ευαιθηία του εφαρμοζόμενου χήματος ε αλλαγές τν δεδομένν ειόδου. Θερείται ότι ένας αλγόριθμος είναι ευταθής όταν πολύ μικρές αλλαγές τα δεδομένα ειόδου οδηγούν ε μικρότερες αλλαγές τα αποτελέματα. Στην αντίθετη περίπτη η αριθμητική μέθοδος είναι αταθής. Τα παραπάν ποοτικοποιούνται μέ του δείκτη κατάταης. Απάντηη Γ: Η ύγκλιη τις αριθμητικές μεθόδους αναφέρεται την δυνατότητα αναπαραγγής ταδιακά τν αναλυτικών λύεν καθώς η διακριτοποίηη του προβλήματος πυκνώνει και το διάτημα h μειώνεται.

2 Άκηη [] Διατυπώτε τις δυο πρώτες επαναλήψεις της μεθόδου SOR (με το ύτημα: και.) Απάντηη A: ( k+ ) ( k ) ( k ) ( k + ( + ) + ( k+ ) SOR: + + ( k ) ( k+ ) ( k ( k ) k k k acobi με χαλάρη: ( + ) + + ( + ) + ( + ) + 6 ( ) ( ) ( ) Απάντηη Β: SOR: ( k+ ) ( k ) ( k ) ( k + + ( k+ ) k k+ k + + ( ) ( ) k+ k k+ k acobi με χαλάρη: ( + ) + + ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ( )

3 Απάντηη Γ: SOR: ( k+ ) ( k ) ( k ) ( k + + ( k+ ) k k+ k ( ) ( ) k+ k k+ k acobi με χαλάρη: ( + ) + + ( + ) + ( + ) + 7 ( ) ( ) ( )

4 Άκηη [.] Αποδείξτε για ύτημα μη-γραμμικών εξιώεν ( f(, ), g, ) ότι η μέθοδος Newto είναι ης τάξης, δηλαδή ότι το φάλμα την k + επανάληψη είναι ανάλογο του τετραγώνου του φάλματος την k επανάληψη. f ( ) Απάντηη:, g, fg ( + ) gf ( + ) gf fg ( + ) fg + + gf ( + ) gf + + fg ( + ) ( + ) ( ) ( ) fg + gf gf + fg f, f, f, f f ( ) ( ) + f f f + + g, g, g, g g Πολλαπλαιάζεται η η πρώτη εξίη με εξιώεις προτίθενται: ( ) ( ) + g g g + + g και η η εξίη με f και οι προκύπτουες fg + gf + fg + gf O Η δεξιά πλευρά της εξίης αντικαθίταται την χέη εξέλιξης του φάλματος + και προκύπτει: ( + ) ( ) ~ O Στην υνέχεια πολλαπλαιάζεται η η πρώτη εξίη με προκύπτουες εξιώεις προτίθενται: fg gf + g και η η εξίη με f και οι gf + fg O Η δεξιά πλευρά της εξίης αντικαθίταται την χέη εξέλιξης του φάλματος + και προκύπτει: ( + ) ( ) ~ O

5 Άκηη [.] Έτ τα δεδομένα (, ),...,(, ) εύρεη της υνάρτηης παρεμβολής l ( ) l ( a) bl Απάντηη Α: Ποότητα που πρέπει να ελαχιτοποιηθεί: Μηδενιμός παραγώγν:. Διατυπώτε τη μέθοδο τν ελαχίτν τετραγώνν για την +. ( l i ( l l i) ) ( l i l l i) S a+ b ab i i S l i l l i l + l i l i * a i a i i ( a b a b S l l l l l l + l l l ** ( a b ( a b ( i i i i i i i b i i i i Θέτοντας a l a οδηγούματε το γραμμικό ύτημα: l i l i i a i b li ( l i) l il i i i i Απάντηη Β: Λύνουμε ς προς ς: b l l a+ bl l( a b e e e a Ποότητα που πρέπει να ελαχιτοποιηθεί: Μηδενιμός παραγώγν: b i i S a i S b b b b ( i ai )( i ) a i ii (*) a i i i S b b b b ( i ai )( ai l i) a i l i ii l i (**) b i i i

6 Άκηη [] π π d d π Simpso μία φορά τη διεύθυνη και τον Κανόνα Τραπεζίου μία φορά τη διεύθυνη. Υπολογίτε το διπλό ολοκλήρμα ( si + cos ) εφαρμόζοντας τον ο Κανόνα Απάντηη Α: π π π I ( si + cos ) d d ( si + cos ) + ( si + cos ) d π π ( si cos ) ( si cos ) ( si cos ) ( si + cos ) + ( si + cos ) + ( si + cos ) π ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( si cos ) π + π + π + π π + π π π + π si + π cosπ + ( π si π + π cosπ) Απάντηη Β: π π π I ( si + cos ) d d ( si + cos ) + ( si + cos ) d π π ( si cos ) ( si cos ) ( si cos ) ( si + cos ) + ( si + cos ) + ( si + cos ) π π π π + π si + cosπ + ( π si π + π cosπ) ( π cos ) cos ( π cos ) ( π siπ π cosπ) Απάντηη Γ: π π/ π I ( si + cos ) d d ( si + cos ) + ( si + cos ) d π π ( si cos ) ( si cos ) ( si cos ) ( si + cos ) + ( si + cos ) + ( si + cos ) π π π π ( cos ) cos ( cos ) si cos π + + π + π + π π π π π π π + si + cos + si π + π cos

Σχετικά έγγραφα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,