Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Transcript

1 ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi []: Chaptr 3 Sayd [3]: Chaptr orouy [999]: Chaptr

2 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Powr Spctrum of a Wid Ss Statioary Procss Ειαγγή w Το φάµα ιχύος µιας υπό την ευρεία έννοια τοχατικής διεργαίας µας δίνει πληροφορίες για τη διεργαία το πεδίο της υχνότητας υχνοτικό της περιεχόµενο. Οι πληροφορίες αυτές είναι αντίτοιχες µε αυτές που δίνει το πεδίο του χρόνου η υνάρτηη αυτουχέτιης Σε πρακτικό επίπεδο η εκτίµηη φάµατος ιχύος µιας τοχατικής διεργαίας είναι πολύ ηµαντική για την χεδίαη τηλεπικοιννιακών υτηµάτν µετάδοης της διεργαίας Παραδείγµατα τέτοιν χρήεν είναι η κατανοµή καναλιών για µετάδοη φνής, η χεδίαηδιαµορφτών, η χεδίαη κδικοποιητών φνής κ.ο.κ Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Πίνακας αυτουχέτιης Όταν µελετάµε τοχατικά ήµατα διεργαίες αυτό που καταγράφουµε είναι ένα µέρος απαρτιζόµενο από Μ δείγµατα µιας πραγµάτης της διαδικαίας, το οποίο ονοµάζουµε διάνυµα παρατήρηης και το υµβολίζουµε µε u. u [u u- u-] T Τ δηλώνει το ανάτροφο ενός διανύµατος ή πίνακα. Ορίζουµε ς πίνακα αυτουχέτιης R της τοχατικής διαδικαίας Χ από την οποία προέρχεται το διάνυµα παρατήρηης u την ποότητα: R E H [ u u ] όπου Η δηλώνει το ανατρόφο και υζυγές

3 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Πίνακας αυτουχέτιης ΙΙ Αν η τοχατική διαδικαία Χ είναι υπό την ευρεία έννοια τάιµη ο πίνακας αυτουχέτιης εκφράζεται ς: r r R r r r r r r r Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Ιδιότητες του πίνακα αυτουχέτιης. Ο πίνακας αυτουχέτιης µιας υπό την ευρεία έννοια τοχατικής διεργαίας είναι Ερµιτιανός Hrmitia, είναι δηλαδή ίος µε τον ανατροφουζυγή του. R H R Το πρακτικό αποτέλεµα της παραπάν ιδιότητας είναι ότι ιχύει r- r για κάθε. Άρα για την εκτίµηη του πίνακα αυτουχέτιης χρειάζονται µόνο Μ τιµές και όχι Μ-. r r R r r r r r r r Παράδειγµα: Να υπολογιτεί ο πίνακας αυτουχέτιης της τοχατικής διεργαίας Χ.5- όπου είναι λευκός θόρυβος µε µέη τιµή µ και διαπορά 3

4 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Ιδιότητες του πίνακα αυτουχέτιης ΙΙ. Ο πίνακας αυτουχέτιης µιας υπό την ευρεία έννοια τοχατικής διεργαίας είναι Toplitz, δηλαδήόλατατοιχείατηςκύριας διαγώνιου είναι ία µεταξύ τους καθώς επίης και όλα τα τοιχεία τν παράλληλν προς τη κύρια διαγώνιο είναι ία µεταξύ τους. r r R r r r r R r r r 3. Ο πίνακας αυτουχέτιης είναι πάντα θετικά ηµιοριµένος, δηαλδή ιχύει x H Rx, x και χεδόν πάντα θετικά οριµένος x H Rx >, x. Ηπρακτική υνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι ότι ο πίνακας R είναι χεδόν πάντα αντιτρέψιµος υπάρχει ο R - Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Ιδιότητες του πίνακα αυτουχέτιης ΙΙΙ 4. Ο πίνακας αυτουχέτιης R βαιµένος ε Μ παρατηρήεις χετίζεται µε το πίνακα αυτουχέτιης R βαιµένο ε Μ ηµεία µε τιςχέη: R r r r r r r r r r r r R r R H r H [ r r r ] Το πρακτικό αποτέλεµα της αντέρ ιδιότητας είναι ότι ο πίνακας αυτουχέτιης µπορεί να υπολογιτεί αναδροµικά. Εκµετάλλευη αυτού του γεγονότος γίνεται χεδόν από όλους τους αλγορίθµους χεδίαης προαρµοτικών υτηµάτν 4

5 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Άκηη Ι Autocorrlatio fuctio for th stochastic procss X αxpθ Έτ η τοχατική διεργαία X a θ ηοποίααντιτοιχείεένα ηµιτονοειδές ήµα α το οποίο έχει επιδράει θόρυβος θ µε µέη τιµή µ θ και διαπορά θ ο θόρυβος είναι µια τάιµη τοχατική διεργαία. Στο χήµα δίνεται η υνάρτηη αυτουχέτιης της Χ. Να υπολογιτεί το πλάτος α και η υχνότητα του ηµιτονοειδούς ήµατος Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Μοντέλα Στοχατικών Με τον όρο µοντέλο εννοούµε κάθε µαθηµατική περιγραφήηοποία µπορεί να περιγράψει ε επαρκή βαθµό µια φυική διεργαία. Ιδιαίτερη ηµαία δίνεται τη µοντελοποίηη ενός υτήµατος µε γραµµικά µοντέλα διότι µε αυτότοντρόποείναιευκολότερηη µελέτη τους. Οι τοχατικές διαδικαίες µπορούν να µοντελοποιηθούν ς γραµµικά µοντέλα διεγειρόµενα από λευκό Γκαουιανό θόρυβο µε µηδενική µέη τιµή και διαπορά όπς φαίνεται το καττέρ χήµα. Για το λευκό θόρυβο ιχύουν οι παρακάτ χέεις: [ ] E µ r [ ] E 5

6 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Μοντέλα Στοχατικών II Οτόχοςτηςµοντελοποίηης µιας τοχατικής διεργαίας X είναι ή εύρεη του βέλτιτου γραµµικού µοντέλου το οποίο την περιγράφει, δηλαδή: ηµιουργεί δείγµατα της διεργαίας τα οποία ταιριάζουν µεταπραγµατικά Έχει υµπαγή περιγραφή λίγες παραµέτρους Υπάρχουν τρεις κατηγορίες γραµµικών µοντέλν για µια τοχατική διεργαία: Τα αυτοαναδροµικά AR Auto Rgrssi τα οποία δεν γίνεται χρήη παρελθουών τιµών της ειόδου δηλαδή του θορύβου Τα µοντέλα κινητού µέου όρου A - oig Arag τα οποία δεν γίνεται χρήη παρελθουών τιµών της εξόδου δηλαδή προηγουµένν δειγµάτν της διεργαίας x Τα αυτοαναδροµικά µοντέλα κινητού µέου όρου ARA - Auto Rgrssi oig Arag Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Αυτοαναδροµικά Μοντέλα AR Auto Rgrssi Τα αυτοαναδροµικά µοντέλα είναι το πιο υχνά χρηιµοποιούµενα µοντέλα για τη περιγραφή τοχατικών διεργαιών. Ο λόγος είναι η δυνατότητα εύκολης εκτίµηης τν παραµέτρν τους από µια ειρά από παρατηρήεις µέ γραµµικών εξιώεν. Έτ µια πραγµάτη u, u-, u- της τοχατικής διεργαίας Χ. Η τοχατική διεργαία Χ µπορεί να µοντελοποιηθεί από ένα AR µοντέλο τάξης Μ αν ιχύει η εξίη διαφορών: u a u a u όπου είναι λευκός θόρυβος. Οι παράµετροι α i i,.. αποτελούν το µοντέλο της τοχατικής διεργαίας Χ. Αν υπολογίουµε τοµεταχηµατιµό Z την αντέρ χέη έχουµε U z H G z V z HG z p z p z p z 6

7 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Αυτοαναδροµικά Μοντέλα ΙΙ ΗυνάρτηηΗ G z αποτελεί τη υνάρτηη µεταφοράς τη τοχατικής διεργαίας και είναι µια υνάρτηη µε πόλουςp, p,,p µόνο. Από τη µορφή της υνάρτηης µεταφοράς Η G z είναι φανερό ότι το µοντέλο της τοχατικής διεργαίας Χ αντιτοιχεί ε ένα IIR φίλτρο. Για τάιµες τοχατικές διεργαίες όλοι οι πόλοι της Η G z είναι εντός του µοναδιαίου κύκλου. Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ταιµότητα της τοχατικής διεργαίας X η οποία περιγράφεται από τη χέη. Να βρεθεί η υνάρτηη µεταφοράς και να υπολογιτούν οι πόλοι της. x Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Μοντέλα κινητού µέου όρου ΜΑ oig Arag Έτ µια πραγµάτη u, u-, u- της τοχατικής διεργαίας Χ. Η τοχατική διεργαία Χ µπορεί να µοντελοποιηθεί από ένα ΜA µοντέλο τάξης Κ αν ιχύει η εξίη διαφορών: u όπου είναι λευκός θόρυβος. Οι παράµετροι i i,.. αποτελούν το µοντέλο της τοχατικής διεργαίας Χ. Αν υπολογίουµε τοµεταχηµατιµό Z την αντέρ χέη έχουµε U z H z V z H z z z G G z z z z ΗυνάρτηηΗ G z αποτελεί τη υνάρτηη µεταφοράς τη τοχατικής διεργαίας και είναι µια υνάρτηη µε µηδενικά z, z,,z Κ µόνο. Από τη µορφή της υνάρτηης µεταφοράς Η G z είναι φανερό ότι το µοντέλο της τοχατικής διεργαίας Χ αντιτοιχεί ε ένα FIR φίλτρο. 7

8 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Αυτοαναδροµικά µοντέλα κινητού µέου όρου ARΜΑ Έτ µια πραγµάτη u, u-, u- της τοχατικής διεργαίας Χ. Η τοχατική διεργαία Χ µπορεί να µοντελοποιηθεί από ένα ΑRΜA µοντέλο τάξης,κ αν ιχύει η εξίη διαφορών: u a u au όπου είναι λευκός θόρυβος. Οι παράµετροι α i i,.., i i,.. αποτελούν το µοντέλο της τοχατικής διεργαίας Χ. Αν υπολογίουµε τοµεταχηµατιµό Z την αντέρ χέη έχουµε U z H G z V z zz zz H G z p z p z z z p z ΗυνάρτηηΗ G z αποτελεί τη υνάρτηη µεταφοράς τη τοχατικής διεργαίας και είναι µια ρητή υνάρτηη του z µε µηδενικά z, z,,z Κ και πόλους p, p,,p Μ. Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Εξιώεις Yul-Walr Για τον υπολογιµό τουµοντέλου AR, τάξης Μ, µιας τοχατικής διεργαίας µε δεδοµένη τη υνάρτηη αυτουχέτιης r αν δεν είναι δεδοµένη χρηιµοποιείται µια εκτίµηη της r χρειάζεται: Ηεκτίµηη τν υντελετών α i i,.. Ηεκτίµηη της διαποράς ν τουλευκούθορύβου Για το κοπό αυτό χρηιµοποιούνται οι εξιώεις Yul-Walr οι οποίες είναι γραµµικές: r r r w r r r r w r r r r w r a w,,, Η λύη τν αντέρ εξιώεν δίνεται µε τηαντιτροφήτου πίνακα R, και ύµφνα µε τηχέη: w R r 8

9 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Εξιώεις Yul-Walr ΙΙ Ηδιαπορά ν του λευκού θορύβου δίνεται από τη χέη: a r alu Autocorrlatio fuctio of a Wid Ss Statioary Procss Παράδειγµα: Ηυνάρτηη αυτουχέτιης µιας τοχατικής διεργαίας Χ απεικονίζεται το διπλανό χήµα. Να βρεθεί το µοντέλο AR δεύτερης τάξης Μ της διεργαίας lag Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Φάµα Ιχύος Στοχατικών Το φάµα ιχύος µιας υπό την ευρεία έννοια τοχατικής διεργαίας Χ µε υνάρτηη αυτουχέτιης r δίνεται από τη χέη: l S X r l l είναι δηλαδή ο διακριτός µεταχηµατιµός Fourir DFT της υνάρτηης αυτουχέτιης. Το φάµα ιχύος δίνει το υχνοτικό περιεχόµενο µιας τοχατικής διεργαίας. Ορίζεται, δε, µε τη βοήθεια της υνάρτηης αυτουχέτιης επειδή οι πραγµατώεις της διαδικαίας µπορεί να διαφέρουν πολύ η µία από την άλλη και επιπλέον µπορεί να έχουν τιγµιαία πολύ µεγάλες τιµές. 9

10 Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Εκτίµηη Φάµατος Η εκτίµηη φάµατος µιας τοχατικής διεργαίας είναι εξαιρετικά ηµαντική γιατί µας επιτρέπει να χεδιάουµε τηλεπικοιννιακά υτήµατα µεγάλης απόδοης. Έτ για παράδειγµα ότιεπιθυµούµε να ιοταθµίουµε ένα τηλεπικοιννιακό δίαυλο η υµπεριφορά του οποίου παρουιάζει τοχατική υµπεριφορά. Αν µπορέουµε ναεκτιµήουµε τοφάµα ιχύος του διαύλου µπορούµε να χεδιάουµε ένα ύτηµα αντιτάθµιης που να εξουδετερώνει αυτή τη υµπεριφορά. Υπάρχουν δύο κατηγορίες τεχνικών για εκτίµηη του φάµατος ιχύος µιας υπό την ευρεία έννοια τοχατικής διαδικαίας: Οι παραµετρικές µέθοδοι οι οποίες βαίζονται την µοντελοποίηη της διεργαίας µε έναµοντέλο ΑR, A ή ARA, Οι µη παραµετρικές µέθοδοι οι οποίες βαίζονται είτε την εκτίµηη της υνάρτηης αυτουχέτιης από µια πραγµάτη της διεργαίας είτε την εύρεη του τετραγώνου του διακριτού µεταχηµατιµού Fourir από µια πραγµάτη της διεργαίας. Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Παραµετρικές µέθοδοι Όπς είδαµε νρίτεραηµοντελοποίηη µιας τοχατικής διεργαίας Χ µε έναµοντέλο AR βαίζεται την εξίη διαφορών: u a u a u Το φάµα ιχύος της διεργαίας δίνεται τότε από τη χέη: SΧ A A a A A όπου η διαπορά του λευκού θορύβου που διεγείρει το AR µοντέλο και α i i,, είναι οι υντελετές του AR µοντέλου. Από τις αντέρ χέεις είναι φανερό ότι η εκτίµηη του φάµατος ιχύος της διεργαίας ανάγεται την εκτίµηη ενός AR µοντέλου για τη διεργαία βλέπε εξιώεις Yul-Walr

11 Παραµετρικές µέθοδοι II Αντίτοιχες χέεις µε την περίπτη µοντελοποίηης µιας τοχατικής διεργαίας Χ µε έναµοντέλο AR έχουµε καιγιατις περιπτώεις µοντελοποίηης µε ΜΑκαιARA µοντέλα: Για ΜΑ µοντελοποίηη έχουµε την εξίη διαφορών: Το φάµα ιχύος της διεργαίας δίνεται τότε από τη χέη: Για ARΜΑ µοντελοποίηη έχουµε την εξίη διαφορών: Το φάµα ιχύος της διεργαίας δίνεται τότε από τη χέη: Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Χ S u u a u a u Χ a A A A A S Μη παραµετρικές µέθοδοι Οι µη παραµετρικές µέθοδοι εκτίµηης του φάµατος ιχύος βαίζονται είτε το περιοδόγραµµα: όπου u,,un- είναι τα δείγµατα µιας πραγµάτη της διεργαίας. Είτε τη εκτίµηη της υνάρτηης αυτουχέτιης: Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών N X N u N S Χ N N X r S