Βασίλης Κώστογλου URL: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Βασίλης Κώστογλου URL:

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Ένα εργοστάσιο παραγωγής αλουμινίου προμηθεύεται βωξίτη από τρία ορυχεία (01, 02 και 03), που παράγουν 3, 7 και 5 χιλιάδες τόνους μετάλλευμα την εβδομάδα αντίστοιχα. Υπάρχουν 4 τρόποι μεταφοράς του βωξίτη στο εργοστάσιο: με πλοία (Τ1) - με φορτηγά αυτοκίνητα (Τ2) - με απλά βαγόνια σιδηροδρόμων (Τ3) - με ειδικά βαγόνια σιδηροδρόμων (Τ4). Η συνολική μεταφορική ικανότητα ανά ημέρα είναι 4 χιλιάδες τόνοι για τα πλοία, 3 χιλιάδες για τα αυτοκίνητα και ανά 4 χιλιάδες για τους δύο τύπους σιδηροδρόμου. Το κόστος μεταφοράς ανά τόνο δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Μεταφορικά μέσα Τ1 Τ2 Τ3 Τ4 Ορυχεία Να προσδιορισθούν οι ποσότητες που πρέπει να μεταφέρονται με κάθε μεταφορικό μέσο, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς.

3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Ένα από τα κύρια προϊόντα της P&T Company, μίας μεγάλης κονσερβοβιομηχανίας, είναι τα φασόλια σε κονσέρβα. Υπάρχουν τρία κονσερβοποιεία τα οποία στέλνουν τα προϊόντα σε τέσσερα κέντρα διανομής. Επειδή το κόστος μεταφοράς είναι, λόγω των μεγάλων αποστάσεων, ιδιαίτερα αυξημένο η διοίκηση αποφάσισε να το μειώσει. Έχουν γίνει κάποιες εκτιμήσεις για την ποσότητα παραγωγής και μεταφοράς στα κέντρα διανομής καθώς και για το κόστος μεταφοράς του κάθε φορτίου (πλήρως φορτωμένου φορτηγού της εταιρείας) εκφρασμένο σε δολάρια Η.Π.Α. Κέντρα διανομής Κονσερβοποιεία Να βρεθεί ο συνδυασμός μεταφοράς των φορτίων που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μεταφοράς.

4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Μία εταιρεία που παράγει ένα καινοτόμο προϊόν έχει δύο υποκαταστήματα και τρεις κύριους πελάτες. Τα δύο υποκαταστήματα θα παράγουν 60 και 40 μονάδες του προϊόντος αντίστοιχα κατά τη διάρκεια της επόμενης περιόδου. Η εταιρία έχει δέσμευση να πουλάει 50 μονάδες στον πρώτο πελάτη και τουλάχιστον 20 μονάδες στον τρίτο πελάτη. Ο δεύτερος και ο τρίτος πελάτης επιθυμούν επίσης να αγοράσουν όσο το δυνατό περισσότερες μονάδες από αυτές που απομένουν. Το κέρδος της εταιρείας (εκφρασμένο σε χιλιάδες ευρώ) ανάλογα με την μεταφορά από τα υποκαταστήματά της στους πελάτες δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Πελάτης Υποκατάστημα Υποκατάστημα Πώς πρέπει να διανεμηθούν τα προϊόντα έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος;

5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Τα εργοστάσια Χ, Ψ και Ζ μιας επιχείρησης έχουν μηνιαία δυναμικότητα παραγωγής ενός χημικού προϊόντος 22, 15 και 8 τόνους αντίστοιχα. Η παραγωγή αυτή καλύπτει τις ανάγκες τεσσάρων καταναλωτικών κέντρων, οι οποίες είναι 7, 12, 17 και 8 τόνοι κάθε μήνα. Το κόστος μεταφοράς ενός τόνου (σε ) από τα εργοστάσια στα κέντρα κατανάλωσης σημειώνεται στον ακόλουθο πίνακα. Κατ/κό κέντρο Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙV Εργοστάσιο Χ Ψ Ζ Ο αρμόδιος υπάλληλος έχει διαμορφώσει βασισμένος στην πείρα του το παρακάτω πρόγραμμα : Χ ΙΙ: 12 τόνοι, Χ ΙΙΙ: 1 τόνος, Χ ΙV: 9 τόνοι, Ψ ΙΙΙ: 15 τόνοι, Γ Ι : 7 τόνοι, Γ ΙΙΙ : 1 τόνος. Να εξετασθεί εάν το πρόγραμμα μεταφοράς που διαμορφώθηκε είναι το καλύτερο δυνατό. Αν δεν είναι, τότε να προσδιορισθεί η άριστη λύση του προβλήματος.

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Μία εμπορική εταιρεία διαθέτει τρεις αποθήκες, έστω A, B και C, από τις οποίες προμηθεύει τους τρεις μεγαλύτερους πελάτες της, έστω M, N και Q, με κάποιο προϊόν ευρείας κατανάλωσης. Όλες οι αποθήκες έχουν το ίδιο περίπου μέγεθος με αντίστοιχη χωρητικότητα 50 τόνων για το συγκεκριμένο προϊόν. Οι τρεις πελάτες απαιτούν σε μία ορισμένη χρονική περίοδο 30, 45 και 25 τόνους αντίστοιχα. Οι δαπάνες μεταφοράς (σε ) κάθε τόνου από την κάθε αποθήκη προς τον κάθε πελάτη είναι οι ακόλουθες. Πελάτης Μ Ν Q Αποθήκη A B C Η διοίκηση της εταιρείας επιθυμεί να μάθει κατά πόσο θα ήταν σκόπιμη η κατάργηση μίας από τις αποθήκες της και η πώληση του αντίστοιχου αποθέματος. Ποια είναι κατά τη γνώμη σας η πιο ενδεδειγμένη απόφαση;

7 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Μία εταιρεία έχει τρία υποκαταστήματα στα οποία παράγονται ένα συγκεκριμένο προϊόν, που μεταφέρεται κατόπιν στα κέντρα διανομής. Τα υποκαταστήματα 1, 2 και 3 παράγουν 12, 17 και 11 φορτία ανά μήνα αντίστοιχα. Κάθε κέντρο διανομής χρειάζεται να παραλάβει 10 φορτία κάθε μήνα. Η απόσταση από κάθε υποκατάστημα στα αντίστοιχα κέντρα διανομής δίνεται (σε χιλιόμετρα) στον ακόλουθο πίνακα. Κέντρο διανομής Υποκατάστημα Το πάγιο κόστος μεταφοράς κάθε φορτίου είναι 30 και η επιπλέον επιβάρυνση ανέρχεται σε 1.50/χιλιόμετρο.

8 α) Να σχεδιασθεί το κατάλληλο μοντέλο μεταφοράς. β) Χρησιμοποιώντας την μέθοδο της βορειοδυτικής γωνίας να βρεθεί η αρχική βασική δυνατή λύση. γ) Ξεκινώντας με την αρχικά βασική δυνατή λύση που προσδιορίσθηκε στο ερώτημα (β), να βρεθεί η άριστη λύση. Πόσα φορτία πρέπει να μεταφερθούν από το κάθε υποκατάστημα στο κάθε κέντρο διανομής προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς;

9 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7 Ας υποτεθεί ότι η Αγγλία, η Γαλλία και η Ισπανία παράγουν όλο το σιτάρι, κριθάρι και τη βρώμη στον κόσμο. Η ζήτηση του σιταριού σε όλο τον κόσμο απαιτεί να είναι διαθέσιμα 125 εκατομμύρια εκτάρια για την παραγωγή του. Ομοίως, 60 εκατομμύρια εκτάρια γης απαιτούνται για την παραγωγή κριθαριού και 75 για την παραγωγή βρώμης. Η συνολική έκταση που είναι διαθέσιμη γι αυτό το σκοπό σε Αγγλία, Γαλλία και Ισπανία είναι 70, 110 και 80 εκατομμύρια εκτάρια αντίστοιχα. Ο αριθμός των ωρών εργασίας που χρειάζεται στην Αγγλία, Γαλλία και Ισπανία για την παραγωγή του σιταριού σε ένα εκτάριο γης είναι 18, 13 και 16 ώρες αντίστοιχα, Οι ανάλογες ώρες εργασίας στις τρεις χώρες για την παραγωγή του κριθαριού σε ένα εκτάριο γης είναι 15, 12 και 12 ώρες αντίστοιχα. Ο αριθμός των ωρών εργασίας που χρειάζεται στην Αγγλία, Γαλλία και Ισπανία για την παραγωγή της βρώμης σε ένα εκτάριο γης είναι 12, 10 και 16 ώρες αντίστοιχα. Το κόστος για κάθε ώρα εργασίας για την παραγωγή σιταριού σε Αγγλία, Γαλλία και Ισπανία είναι $ 3, $ 2.40 και $ 3.30 ανά ώρα αντίστοιχα. Οι ανάλογες δαπάνες για κάθε ώρα εργασίας για την παραγωγή κριθαριού είναι $ 2.70, $ 3 και $ 2.80 αντίστοιχα, ενώ για την παραγωγή βρώμης είναι $ 2.30, $ 2.50 και $ 2.10 αντίστοιχα.

10 Το πρόβλημα που πρέπει να αντιμετωπισθεί είναι η κατανομή της χρησιμοποιούμενης γης για κάθε χώρα, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παγκόσμιες ανάγκες και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος εργασίας. Να σχεδιασθεί και να επιλυθεί το κατάλληλο μοντέλο μεταφοράς.

11 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8 Η εταιρεία SAS έχει μία αλυσίδα καταστημάτων που πουλάνε εξοπλισμό hi-fi. Οι μέτοχοι της εταιρείας σκέφτονται να παραγγείλουν νέα midi συστήματα, τα οποία στη συνέχεια θα τα πουλάνε 430 λίρες λόγω του ανταγωνισμού. Τα καταστήματα είναι διαχωρισμένα σε τρεις γεωγραφικές περιοχές. βόρεια, δυτική και νότια και η SAS εκτιμά ότι η ζήτηση για το σύστημα αυτό σε κάθε περιοχή θα είναι 170, 210 και 150 μονάδες αντίστοιχα. Η SAS αποφάσισε να παραγγείλει 100 μονάδες για τα καταστήματα κάθε γεωγραφικής περιοχής. Υπάρχουν τρεις πιθανοί προμηθευτές για το σύστημα. οι Α, Β και Γ. Ο Α μπορεί να προμηθεύει 200 μονάδες προς 400 λίρες τη μία, ο Β 160 μονάδες προς 420 λίρες τη μία και ο Γ 180 μονάδες προς 410 λίρες τη μία. Αυτές οι τιμές δε συμπεριλαμβάνουν το κόστος μεταφοράς που ποικίλει ανάλογα με τον προμηθευτή και τον προμηθευόμενο σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα.

12 Καταστήματα Προμηθευτές Βόρεια Δυτική Νότια Α Β Γ (Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς σε λίρες Αγγλίας) Η SAS θέλει να μεγιστοποιήσει το κέρδος από τις πωλήσεις του νέου συστήματος. Να σχεδιασθεί και να λυθεί το αντίστοιχο πρόβλημα μεταφοράς.

13 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9 Μία αεροπορική εταιρεία αγοράζει τα καύσιμα των αεροπλάνων της από τρεις πωλητές. Η εταιρεία χρειάζεται για κάθε ένα από τα τρία αεροδρόμια που χρησιμοποιεί για τους επόμενους μήνες γαλόνια για το πρώτο, γαλόνια για το δεύτερο και γαλόνια για το τρίτο αεροδρόμιο. Κάθε πωλητής μπορεί να προμηθεύει καύσιμα το κάθε αεροδρόμιο στην τιμή (δολάρια ανά γαλόνι) που δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Αεροδρόμιο 1 Αεροδρόμιο 2 Αεροδρόμιο 3 Πωλητής Πωλητής Πωλητής Κάθε πωλητής έχει περιορισμό στη συνολική ποσότητα των καυσίμων που μπορεί να προμηθεύει κάθε μήνα. Οι δυνατότητές τους είναι γαλόνια για τον πωλητή 1, γαλόνια για τον πωλητή 2 και γαλόνια για τον πωλητή 3. Να βρεθεί η σωστή πολιτική αγοράς καυσίμων, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος τροφοδοσίας των τριών αεροδρομίων.

14 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10 Ένας αγροτικός συνεταιρισμός προκήρυξε δημόσιο διαγωνισμό για την καθημερινή μεταφορά κάποιου δημητριακού από το κεντρικό κατάστημα στις τρεις περιφερειακές της αποθήκες. Οι ημερήσιες ανάγκες των αποθηκών ανέρχονται σε 18, 10 και 8 τόνους αντίστοιχα. Συνολικά υπέβαλαν προσφορές τρεις μεταφορικές εταιρείες, καθορίζοντας η κάθε μία τη μέγιστη ποσότητα βάρους που μπορεί να μεταφέρει ημερησίως. Οι μέγιστες αυτές ποσότητες ισούνται για τις τρεις εταιρείες με 12, 16 και 24 τόνους αντίστοιχα. Τα στοιχεία κόστους για τη μεταφορά ενός τόνου δημητριακού από κάθε εταιρεία στις τρεις περιφερειακές αποθήκες παρουσιάζονται (εκφρασμένα σε ) στον ακόλουθο πίνακα. Αποθήκες Εταιρείες Ποια ακριβώς συμβόλαια θα συμβουλεύατε να υπογράψει η διοίκηση του συνεταιρισμού, έτσι ώστε αφενός μεν να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς, αφετέρου δε να μη κατηγορηθεί η διοίκηση για μεροληψία υπέρ ή εναντίον κάποιας από τις μεταφορικές εταιρείες;

15 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11 Μία βιομηχανία τροφίμων παράγει πατατάκια σε τρία εργοστάσια, τα οποία βρίσκονται στο Μπίρμινχαμ, στη Γλασκόβη και στο Λονδίνο. Επειδή πρέπει να τροφοδοτούνται οι πελάτες με φρέσκα προϊόντα, αυτά δεν αποθηκεύονται στα εργοστάσια. Η δυνατότητα μηνιαίας παραγωγής του εργοστασίου του Λονδίνου είναι 750 τόνοι ενώ των άλλων δύο είναι από 500 τόνοι. Κάθε μέρα δίνονται 300 τόνοι στις πέντε αποθήκες προκειμένου να μεταφερθούν στη συνέχεια στους πελάτες. Το κέρδος ανά τόνο πώλησης από την πρώτη αποθήκη είναι 0.4 λίρες Αγγλίας αν παραχθεί στο Λονδίνο, 0.6 αν παραχθεί στη Γλασκόβη και 2.2 λίρες αν παραχθεί στο Μπίρμινχαμ. Τα αντίστοιχα κέρδη για τη δεύτερη αποθήκη είναι 1.1, 1.2 και 2 λίρες. Το κέρδος ανά τόνο από παραγωγή του Λονδίνου είναι 1.7, 1.3 και 2.5 λίρες όταν πωλούνται από την τρίτη, τέταρτη και πέμπτη αποθήκη αντίστοιχα. Τα αντίστοιχα κέρδη για το Μπίρμινχαμ είναι 1.6, 1 και 0.5 λίρες ενώ για την Γλασκόβη 1.1, 0.8 και 2.1 λίρες. Ποιο είναι το μέγιστο μηνιαίο κέρδος που μπορεί να πετύχει η βιομηχανία;

16 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12 Κάποιος σημαντικός παραγωγός θέλει να αγοράσει μία πρώτη ύλη που δεν υπάρχει σε μεγάλο απόθεμα. Χρειάζεται να προμηθεύεται 100 τόνους κάθε εβδομάδα για τη λειτουργία των τριών του εργοστασίων, τα οποία έχουν κανονικές εβδομαδιαίες απαιτήσεις 40, 15 και 45 τόνους αντίστοιχα. Είναι δυνατό να ικανοποιήσει αυτές τις απαιτήσεις εάν προμηθεύεται 40, 35 και 25 τόνους κάθε εβδομάδα από τρεις διαφορετικούς προμηθευτές. Το κόστος κάθε μονάδας της πρώτης ύλης χρεώνεται το ίδιο από κάθε προμηθευτή, αλλά ο αγοραστής πρέπει να πληρώσει τα έξοδα μεταφοράς που είναι για τα τρία εργοστάσια 6, 3.6 και 4.8 λίρες για τον πρώτο προμηθευτή, 2.4, 1.2 και 0.6 λίρες για το δεύτερο προμηθευτή και 6, 4.8 και 3.6 λίρες για τον τρίτο προμηθευτή αντίστοιχα. (α) Πώς πρέπει να κάνει τις παραγγελίες ο παραγωγός προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς και ταυτόχρονα να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις των εργοστασίων; (β) Ας υποτεθεί ότι στο αρχικό πρόβλημα η απαίτηση του πρώτου εργοστασίου είναι 50 τόνοι την εβδομάδα, του δεύτερου εργοστασίου 15 τόνοι την εβδομάδα και του τρίτου εργοστασίου 35 τόνοι την εβδομάδα. Να προσδιορισθεί η άριστη λύση και να συγκριθεί με αυτήν του αρχικού προβλήματος.

17 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13 Μία εταιρεία ζαχαροπλαστικής παράγει ένα ειδικού τύπου ψωμί στα δύο υποκαταστήματά της με τα ακόλουθα δεδομένα παραγωγής. Υποκατάστημα Δυνατότητα παραγωγής (κιλά) Κόστος παραγωγής ($/κιλό) Α Β Τέσσερις αλυσίδες εστιατορίων επιθυμούν να προμηθευθούν αυτό το ειδικού τύπου ψωμί. Οι απαιτήσεις τους και το ποσό που προσφέρουν δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

18 Αλυσίδα Μέγιστη απαίτηση (σε κιλά) Προσφερόμενη τιμή ($/κιλό) Οι δαπάνες μεταφοράς (σε $) ενός κιλού ψωμιού από το κάθε υποκατάστημα στην αλυσίδα εστιατορίων είναι οι εξής: Αλυσίδα 1 Αλυσίδα 2 Αλυσίδα 3 Αλυσίδα 4 Υποκατάστημα Α Υποκατάστημα Β Να σχεδιασθεί το πλάνο παράδοσης, το οποίο μεγιστοποιεί το καθαρό κέρδος.

19 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14 Ένας χοντρέμπορος πουλάει κάποια τροφή σε τέσσερεις κύριες αγορές, έστω Α, Β, Γ και Δ. Η εβδομαδιαία ζήτηση έχει προβλεφθεί με ακρίβεια και είναι 40 σακιά για την αγορά Α, από 30 για τη Β και τη Γ και 20 σακιά για την αγορά Δ. Ο χοντρέμπορος παραγγέλνει πάντα τα προϊόντα που εμπορεύεται από δύο τοπικούς παραγωγούς, έστω Π και Ρ. Ο πρώτος απ αυτούς χρεώνει 1 για τη μεταφορά ενός σακιού στην αγορά Α, 4 για τη Β, 5 για τη Γ και 6 για τη Δ. Όπως είναι φυσικό το κόστος της τροφής χρεώνεται χωριστά. Ο παραγωγός Ρ χρεώνει 1 για τη μεταφορά ενός σακιού στην αγορά Α, 2 για τη Β, 7 για τη Γ και 9 για τη Δ, μη συμπεριλαμβάνοντας και πάλι το κόστος του προϊόντος. Μία συγκεκριμένη εβδομάδα και οι δύο παραγωγοί μπορούν να προμηθεύσουν από 65 σακιά, αλλά ο παραγωγός Ρ πουλά την τροφή 1. ακριβότερα το σακί απ' ότι ο Π. Ποιες είναι οι παραγγελίες που πρέπει να κάνει αυτή την εβδομάδα ο χοντρέμπορος; Την επόμενη εβδομάδα οι παραγωγοί μπορούν και πάλι να προμηθεύσουν τις ίδιες ποσότητες, αλλά τώρα ο Π πουλά 1 ανά σακί ακριβότερα από τον Ρ, παρά το ότι τα έξοδα μεταφοράς δεν έχουν μεταβληθεί καθόλου. Θα έπρεπε ο χονδρέμπορος να αλλάξει τις παραγγελίες του και αν ναι, με ποιόν ακριβώς τρόπο;

20 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15 Η αεροπορική εταιρεία "Ελληνικές Αερομεταφορές" χρησιμοποιεί τέσσερις τύπους αεροσκαφών (Β 727, Β 737, Β 707, Α 300) και σκοπεύει να τα χρησιμοποιήσει σε τέσσερα νέα δρομολόγια μεταφοράς νωπών γεωργικών προϊόντων: ΕΑ 101: Αθήνα - Βουκουρέστι ΕΑ 108: Αθήνα - Γλασκόβη ΕΑ 205: Θεσσαλονίκη - Λοζάννη ΕΑ 207: Θεσσαλονίκη - Αμβούργο Η εβδομαδιαία ζήτηση των προϊόντων υπολογίζεται σε 400 τόνους για το Βουκουρέστι, σε 530 για τη Γλασκόβη, σε 450 για τη Λοζάννη και σε 480 για το Αμβούργο. Η προσφερόμενη αερομεταφορική ικανότητα για το ίδιο χρονικό διάστημα είναι 420 τόνοι με τα Β 727, 390 τόνοι με τα Β 737, 480 τόνοι με τα Β 707 και 570 τόνοι με τα Α 300 (χωρίς να εξετάζεται ο αριθμός των αεροσκαφών και των δρομολογίων).

21 Τα Β 737 δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο δρομολόγιο Αθήνας - Γλασκόβης λόγω περιορισμένης ακτίνας δράσης (ένας ενδιάμεσος εφοδιασμός κρίνεται ασύμφορος) ενώ τα Α 300 δε μπορούν να πετάξουν στο Βουκουρέστι, επειδή δεν υπάρχει εξειδικευμένο τεχνικό προσωπικό εδάφους. Το κέρδος ανά τόνο (σε ) για κάθε συνδυασμό πτήσηςτύπου αεροσκάφους είναι: Πτήση ΕΑ 101 ΕΑ 108 ΕΑ 205 ΕΑ 207 Αεροσκάφη Α Β Β Β Να σχεδιασθούν τα δρομολόγια έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος.

22 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16 Ένας αγροτικός συνεταιρισμός έχει πάρει τις ακόλουθες παραγγελίες (σε τόνους) για νωπά και κονσερβοποιημένα ροδάκινα. Μήνας Προϊόν Νωπό Κονσέρβα Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Η συλλογή ενός τόνου ροδάκινου απαιτεί τέσσερις εργατοώρες, η διαλογή και συσκευασία τους για άμεση διάθεση (νωπά) έξι εργατοώρες, ενώ η κονσερβοποίηση της ίδιας ποσότητας απαιτεί πέντε εργατοώρες. Ο συνεταιρισμός απασχολεί συνολικά 10 εργάτες, που εργάζονται κατά μέσο όρο 25 μέρες το μήνα με πλήρες καθημερινό οκτάωρο. Οι 5 απ' αυτούς θα πρέπει να αποσπασθούν σε άλλες καλλιέργειες επί 13 μέρες κάθε μήνα τον Μάιο και Ιούνιο και επί 16 μέρες τον Ιούλιο και του Αύγουστο.

23 Οι μηνιαίοι μισθοί διαμορφώνονται στο τετράμηνο ως εξής: Εργασία - Μήνας Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Συλλογή Συσκευασία Κονσερβοποίηση Καθυστερημένη παράδοση παραγγελίας δεν είναι δυνατή. Παραγωγή που υπερβαίνει τη ζήτηση της ίδιας περιόδου αντανακλά σε επιβάρυνση του μισθού κατά 50 κατά τη διάρκεια του μήνα που η παραγωγή υπερβαίνει τη ζήτηση. Να σχεδιασθεί η πλέον συμφέρουσα παραγωγή για τον συνεταιρισμό.

24 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 17 Μία εταιρεία έχει αποφασίσει ότι θα παράγει τρία νέα προϊόντα. Τα πέντε υποκαταστήματά της έχουν αυτή τη στιγμή υπερβολική παραγωγική δυναμικότητα. Το κόστος κατασκευής μίας μονάδας του πρώτου προϊόντος θα είναι $ 31, $ 29, $ 32, $ 28 και $ 29 στο 1ο, 2ο, 3ο, 4ο και 5ο υποκατάστημα αντίστοιχα. Το κόστος κατασκευής μίας μονάδας του δεύτερου προϊόντος θα είναι $ 45, $ 41, $ 46, $ 42 και $ 43 στο 1ο, 2ο, 3ο, 4ο και 5ο υποκατάστημα αντίστοιχα. Το κόστος κατασκευής μίας μονάδος του τρίτου προϊόντος θα είναι $ 38, $ 35 και $ 40 στο 1ο, 2ο και 3ο υποκατάστημα αντίστοιχα, ενώ στο 4ο και 5ο υποκατάστημα δεν έχουν τη δυνατότητα παραγωγής αυτού του προϊόντος. Το τμήμα πωλήσεων προβλέπει ότι μπορούν να παράγονται 6000, και 8000 μονάδες των προϊόντων 1, 2 και 3 αντίστοιχα τη μέρα. Τα υποκαταστήματα 1, 2, 3, 4 και 5 έχουν τη δυνατότητα να παράγουν 4000, 6000, 4000, 6000 και μονάδες τη μέρα αντίστοιχα, χωρίς να υπολογίζεται ο συνδυασμός των προϊόντων που υπάρχουν. Υποτίθεται ότι όποιο υποκατάστημα έχει τη δυνατότητα και χωρητικότητα να παράγει αυτά τα προϊόντα, μπορεί και να παράγει και συνδυασμούς αυτών σε οποιαδήποτε ποσότητα.

25 Η διοίκηση θέλει να ξέρει πώς να κατανείμει τα καινούργια προϊόντα στα υποκαταστήματα, ώστε να ελαχιστοποιήσει το κόστος κατασκευής. α) Να σχεδιασθεί το πρόβλημα ως μοντέλο μεταφοράς. β) Ξεκινώντας με τη μέθοδο Vogel για την εύρεση της αρχικής δυνατής λύσης, να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Simplex των προβλημάτων μεταφοράς για τον προσδιορισμό της άριστης λύσης.

26 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18 Μία εταιρεία που παράγει ένα μοναδικό προϊόν έχει τρία υποκαταστήματα και τέσσερεις πελάτες. Τα τρία υποκαταστήματα θα παράγουν 6, 8 και 4 μονάδες αντίστοιχα κατά την διάρκεια της επομένης περιόδου. Η εταιρεία έχει δεσμευθεί να πουλάει 4 μονάδες στον πρώτο πελάτη, 6 μονάδες στον δεύτερο πελάτη και τουλάχιστον 2 μονάδες στον τρίτο πελάτη. Ο τρίτος και ο τέταρτος πελάτης θέλουν να αγοράσουν όσο δυνατό περισσότερο από αυτό που θα περισσέψει. Το καθαρό κέρδος από τη μεταφορά μιας μονάδας από το υποκατάστημα i στο πελάτη j δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Πελάτες Υποκαταστήματα Η διεύθυνση θέλει να μάθει πόσες μονάδες τη συμφέρει να πουλήσει στον τρίτο και στον τέταρτο πελάτη και πόσες μονάδες πρέπει να μεταφερθούν από τα υποκαταστήματα στον καθένα από τους τέσσερις πελάτες, προκειμένου να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος.

27 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19 Πρέπει να γίνουν νέα σχέδια για τα ενεργειακά συστήματα ενός καινούργιου κτιρίου. Οι τρεις πιθανές πηγές ενέργειας είναι η ηλεκτρική, το φυσικό αέριο και η ηλιακή ενέργεια. Το κτίριο χρειάζεται την ενέργεια για ηλεκτρισμό, για θέρμανση νερού και για θέρμανση των εσωτερικών του χώρων. Οι αντίστοιχες ημερήσιες απαιτήσεις είναι: Ηλεκτρισμός : 20 μονάδες Θέρμανση νερού : 10 μονάδες Θέρμανση χώρου : 30 μονάδες Το μέγεθος της ταράτσας περιορίζει τις μονάδες ηλιακής ενέργειας σε 30 μονάδες, ενώ δεν υπάρχει περιορισμός για τις υπόλοιπες. Οι ανάγκες ηλεκτρισμού μπορούν να καλυφθούν με αγορά ηλεκτρικής ενέργειας ($ 200 η μονάδα). Οι ανάγκες και των δύο άλλων πηγών μπορούν να καλυφθούν από κάποια πηγή ή συνδυασμό πηγών. Οι τιμές των μονάδων είναι:

28 Ηλεκτρισμός Φυσικό αέριο Ηλιακή ενέργεια Θέρμανση νερού $ 450 $ 300 $ 150 Θέρμανση χώρων $ 400 $ 250 $ 200 α) Να σχεδιασθεί το πρόβλημα ως μοντέλο μεταφοράς. β) Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας για την εύρεση της αρχικής βασικής δυνατής λύσης για το πρόβλημα όπως σχεδιάστηκε στο (α). γ) Ξεκινώντας με τη βασική δυνατή λύση του (β), να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταφοράς Simplex για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης. δ) Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Vogel για εύρεση της αρχικής βασικής δυνατής λύσης του προβλήματος όπως σχεδιάστηκε στο (β). ε) Ξεκινώντας με την αρχική βασική δυνατή λύση από το ερώτημα (δ), να χρησιμοποιηθεί η μεθοδολογία των προβλημάτων μεταφοράς για να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Να συγκριθούν οι αριθμοί των απαιτούμενων βημάτων για τον προσδιορισμό της άριστης λύσης με τη χρήση των δύο παραπάνω μεθόδων.

29 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20 Μία εταιρεία έχει δύο υποκαταστήματα που παράγουν ένα συγκεκριμένο, προϊόν το οποίο διανέμεται σε τρία κέντρα παραλαβής. Η παραγωγή της κάθε μονάδας έχει το ίδιο κόστος και στα δύο υποκαταστήματα και το κόστος μεταφοράς (σε εκατοντάδες δολάρια) ανά μονάδα για το προϊόν παρουσιάζεται για κάθε συνδυασμό υποκαταστήματος και κέντρου παραλαβής στον παρακάτω πίνακα. Υποκατάστημα Κέντρο παραλαβής Α Β Ένα σύνολο 60 μονάδων του προϊόντος πρόκειται να παράγεται και να μεταφέρεται ανά εβδομάδα. Κάθε υποκατάστημα μπορεί να παράγει και να στέλνει οποιονδήποτε αριθμό μονάδων με μέγιστο 50 μονάδες ανά εβδομάδα, υπάρχει δηλαδή μία ελαστικότητα στο πώς θα μοιραστεί η συνολική παραγωγή μεταξύ των δύο υποκαταστημάτων, έτσι ώστε να μειωθούν τα έξοδα μεταφοράς.

30 Αντικειμενικός στόχος της διεύθυνσης είναι να καθορίσει πόσο πρέπει να παραχθεί σε κάθε υποκατάστημα και στη συνέχεια ποιος θα είναι ο συνολικός τρόπος μεταφοράς για να ελαχιστοποιηθεί το κόστος μεταφοράς. Ζητούνται απαντήσεις στα ακόλουθα ερωτήματα: α) Ας υποτεθεί ότι κάθε κέντρο παραλαβής πρέπει να δέχεται 20 μονάδες ανά εβδομάδα. Να σχεδιασθεί το πρόβλημα ως μοντέλο μεταφοράς. β) Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας για να βρεθεί η αρχική βασική δυνατή λύση του προβλήματος, όπως σχεδιάσθηκε στο ερώτημα (α). Κατόπιν να προσδιορισθεί η άριστη λύση. γ) Ας υποτεθεί τώρα ότι κάθε κέντρο διανομής μπορεί να δέχεται μία ποσότητα μεταξύ των 10 και 30 μονάδων ανά εβδομάδα για να μειωθεί το κόστος μεταφοράς, αλλά το συνολικό μεταφερόμενο φορτίο παραμένει 60 στις μονάδες. Να σχεδιαστεί το πρόβλημα αυτό ως μοντέλο μεταφοράς. δ) Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Vogel για να βρεθεί η αρχική βασική δυνατή λύση για το πρόβλημα όπως σχεδιάστηκε στο (γ) και να προσδιορισθεί η άριστη λύση.

31 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21 Ένα από τα σπουδαιότερα προϊόντα μίας πολυεθνικής εταιρείας Πληροφορικής παράγεται σε δύο από τα εργοστάσιά της και ως επί το πλείστον διατίθεται στους τρεις κύριους πελάτες της επιχείρησης. Τα δύο εργοστάσια πρόκειται να παράγουν κατά την επόμενη χρονική περίοδο 600 και 400 μονάδες του προϊόντος αντίστοιχα. Η εταιρεία έχει δεσμευθεί με συμβόλαια για την πώληση 500 μονάδων στον πρώτο πελάτη και τουλάχιστον 200 μονάδων στο δεύτερο. Επίσης ο δεύτερος και ο τρίτος πελάτης επιθυμούν και οι δύο να αγοράσουν όσο το δυνατό περισσότερες από τις υπολειπόμενες μονάδες του προϊόντος. Το καθαρό κέρδος από την πώληση κάθε μονάδας εξαρτάται τόσο από την προέλευσή της (εργοστάσιο παραγωγής), όσο και από τον προορισμό της (πελάτης) και κυμαίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα. Πελάτης Εργοστάσιο Με ποιον ακριβώς τρόπο πρέπει να κατανεμηθούν οι 1000 μονάδες του προϊόντος, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος;

32 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22 Ένας φοιτητής, ο οποίος σπουδάζει στο εξωτερικό, αποφάσισε ότι χρειάζεται για τα επόμενα τέσσερα χρόνια ένα αυτοκίνητο για τις μετακινήσεις του. Επειδή τα έξοδά του είναι πολλά θέλει να πραγματοποιήσει την επιθυμία του με τον πιο φθηνό τρόπο. Αυτό που δεν μπορεί να αποφασίσει είναι εάν θα αγοράσει ένα παλιό αυτοκίνητο ή ένα πιο καινούριο. Επίσης δεν ξέρει αν θα πρέπει να το πουλήσει μέσα σε αυτά τα τέσσερα χρόνια. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα. Παλιό αυτοκίνητο Καινούργιο αυτοκίνητο Τιμή αγοράς ($) Κόστος χρήσης αυτοκινήτου ανά έτος ($) Τιμή πώλησης αυτοκινήτου ανά έτος ($) 1ο 2ο 3ο 4ο 1ο 2ο 3ο 4ο

33 Αν ο φοιτητής αλλάξει το αυτοκίνητό του μέσα στα επόμενα τέσσερα χρόνια, θα το κάνει στο τέλος αυτής της περιόδου και θα πάρει ένα αυτοκίνητο ενός από τους δύο τύπους. Πάντως σχεδιάζει να πάρει στο μέλλον ένα πιο καινούργιο από αυτό που θα πάρει τώρα. Θέλει να βρει την πιο σωστή λύση. α) Να περιγραφεί πώς το πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί ως μοντέλο μεταφοράς. β) Να βρεθεί η αρχική λύση χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε σχετική μέθοδο. γ) Να προσδιορισθεί η άριστη λύση με τη μεθοδολογία επίλυσης των προβλημάτων μεταφοράς.

34 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23 Μία μεγάλη κατασκευαστική εταιρεία ειδών μηχανοργάνωσης ανέλαβε τον εξοπλισμό ενός υπουργείου με τερματικές μονάδες η/υ. Συμφωνήθηκε η προμήθεια 150 μονάδων τον ερχόμενο Οκτώβριο και 225 μονάδων το Νοέμβριο. Δουλεύοντας οκτάωρη βάρδια ο κατασκευαστής μπορεί να παράγει μόνον 160 τερματικές μονάδες το μήνα. Επεκτείνοντας το ωράριο με δύο ώρες υπερωρία, είναι δυνατό να κατασκευαστούν 30 επιπλέον μονάδες τον μήνα, με ένα πρόσθετο μοναδιαίο κόστος 20. Οι τερματικές μονάδες μπορούν να αποθηκευθούν με μηνιαίο κόστος 3 ανά μονάδα. Το κόστος παραγωγής κάθε μονάδας η/υ είναι σταθερό, ανεξάρτητα από το μήνα κατασκευής της. Να καταστρωθεί το μοντέλο (ο αρχικός πίνακας) σε πλήρη μορφή για την εύρεση του προγράμματος παραγωγής, το οποίο ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος.

35 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24 Μία εταιρεία προβλέπεται να αντιμετωπίσει στο επόμενο τετράμηνο μηνιαίες ζητήσεις 95, 120, 110 και 100 μονάδων προϊόντων. Η δυναμικότητα παραγωγής είναι 90 μονάδες το μήνα με κόστος 20 ανά μονάδα σε κανονική απασχόληση. Η υπερωριακή απασχόληση, που μπορεί να φτάσει το 20% της κανονικής, κοστίζει 30 ανά μονάδα. Το κόστος αποθήκευσης είναι 1 ανά μονάδα και μήνα, ενώ το αντίστοιχο κόστος για καθυστερημένη παράδοση παραγγελίας 3. Η εταιρεία προβληματίζεται από το υψηλό κόστος δαπανών της υπερωριακής απασχόλησης και σκέπτεται να προβεί σε περιορισμένη επέκταση των εγκαταστάσεών της, ώστε η κανονική δυναμικότητά της να αυξηθεί σε 99 μονάδες με στόχο να μειωθούν οι υπερωρίες, που φαίνεται ότι επιβάρυναν υπερβολικά το κόστος λειτουργίας. Η συνολική παραγωγική δυναμικότητα δεν πρόκειται να μεταβληθεί. Αν η εταιρεία επεκτείνει στην αρχή του τετραμήνου, τα στοιχεία κόστους θα παραμείνουν τα ίδια. Εάν επεκτείνει στην αρχή του 3ου μήνα, τότε το κόστος θα αυξηθεί κατά 1, σύμφωνα όμως με νεότερα νομοθετικά κίνητρα θα επιδοτηθεί για την επέκταση από το κράτος με 400. Τι ακριβώς θα προτείνατε να κάνει η εταιρεία;

36 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 25 Η εταιρία Build-Em-Fast Company έχει συμφωνήσει να προμηθεύει τους καλύτερους πελάτες της με τρία προϊόντα της κάθε εβδομάδα για τρεις εβδομάδες, αν και η παραγωγή τους θα χρειασθεί κάποιες υπερωρίες. Τα σχετικά στοιχεία είναι τα ακόλουθα: Εβδομάδα Μέγιστη παραγωγή (κανονική περίοδος) Μέγιστη παραγωγή (υπερωρίες) Κόστος παραγωγής ανά μονάδα (κανονική περίοδος) $ 6000 $ $ 8000 Το κόστος ανά μονάδα που παράγεται στις υπερωρίες είναι για κάθε εβδομάδα $ 2000 περισσότερο απ ότι στην κανονική περίοδο. Το κόστος αποθήκευσης είναι $ 1000 ανά μονάδα για κάθε εβδομάδα αποθήκευσης. Υπάρχουν ήδη δυο προϊόντα σε κατασκευή, αλλά η διοίκηση δεν θέλει να υπάρχουν προϊόντα σε κατασκευή μετά το πέρας των τριών εβδομάδων.

37 Η διοίκηση θέλει να μάθει πόσες μονάδες πρέπει να παράγει την εβδομάδα για να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. (α) Να σχεδιασθεί το πρόβλημα ως μοντέλο μεταφοράς δημιουργώντας τους πίνακες κόστους και απαιτήσεων. (β) Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταφοράς Simplex για τον προσδιορισμό της άριστης λύσης.

38 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 26 Η Metro Water District είναι μια εταιρεία συμβούλων περιβαλλοντικών έργων, στην οποία έχει ανατεθεί η διαχείριση της μεταφοράς νερού σε μία μεγάλη γεωγραφική περιοχή. Η περιοχή είναι σχετικά ξηρή. γι αυτό το νερό πρέπει να μεταφέρεται από άλλες περιοχές (από τα ποτάμια Colombo, Sacron και Calorie) και κατόπιν η εταιρεία το διανέμει με την σειρά της σε όλη την περιοχή. Οι κύριοι πελάτες βρίσκονται στις περιοχές του Berdoo, του Los Devils, του San Go και του Hollyglass. Το νερό μπορεί να μεταφερθεί από οποιοδήποτε ποτάμι σε οποιαδήποτε πόλη, εκτός από το ποτάμι Calorie που δεν επικοινωνεί με την περιοχή Hollyglass. Λόγω της γεωγραφικής ιδιομορφίας της περιοχής το κόστος μεταφοράς εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη θέση των ποταμών και των πόλεων. Το κόστος μεταφοράς ανά χίλια κυβικά μέτρα νερού σε δολάρια από όλα τα ποτάμια προς όλες τις πόλεις δίνεται στον παρακάτω πίνακα.

39 Περιοχή Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Δυναμικότητα τροφοδοσίας Ποταμός Colombo Sacron Calorie Ελάχιστη απαίτηση Κανονική απαίτηση Η χρέωση των καταναλωτών από την εταιρεία είναι η ίδια για κάθε κυβικό μέτρο νερού ανεξάρτητα από τόπο και απόσταση. Η εταιρεία προβληματίζεται πώς θα κατανέμει το νερό στους καλοκαιρινούς μήνες, κατά τους οποίους οι διαθέσιμες ποσότητες νερού είναι περιορισμένες (τελευταία στήλη πίνακα). Η εταιρεία πρέπει να διαθέτει σε κάθε πόλη την ελάχιστη δυνατή ποσότητα νερού για να ικανοποιεί την ελάχιστη απαίτηση κάθε πόλης (με εξαίρεση την περιοχή San Go που έχει δική της πηγή νερού). Η γραμμή της κανονικής απαίτησης δείχνει ότι το Berdoo θέλει κ.μ. νερού παραπάνω από την ελάχιστη απαίτησή του, το San Go κ.μ. νερού και το Hollyglass όσο το δυνατό μπορεί περισσότερο. Η διοίκηση θέλει να διανείμει τα αποθέματα νερού με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς. Να διαμορφωθεί και να επιλυθεί το κατάλληλο μοντέλο μεταφοράς.

40 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 27 Η εταιρεία Northern Airplane Company κατασκευάζει εμπορικά αεροπλάνα για διάφορες αεροπορικές εταιρείες σ ολόκληρο τον κόσμο. Το τελευταίο στάδιο στη διαδικασία κατασκευής είναι η κατασκευή του κινητήρα και η εγκατάστασή του στην άτρακτο του αεροπλάνου. Η εταιρεία δουλεύει μόνο με συμβόλαια με κύριο όρο την παράδοση ορισμένου αριθμού αεροπλάνων σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Πρέπει να γίνει ένα σχέδιο παράγωγης κινητήρων για τους επόμενους τέσσερις μήνες. Για να προλάβει η εταιρία τις μέρες παράδοσης πρέπει να παράγει κινητήρες με τον τρόπο που δίνεται στην τρίτη στήλη του παρακάτω πίνακα. Επιπλέον το σύνολο των κινητήρων που πρέπει κατ ελάχιστον να παράγονται ανά μήνα είναι 10, 15, 25 και 20 αντίστοιχα. Υπάρχει όμως περίπτωση να χρειαστεί να κατασκευασθούν κάποιοι κινητήρες έναν ή περισσότερους μήνες μετά τον αρχικό προγραμματισμό λόγω των συνθηκών παραγωγής. Οι κινητήρες όμως αυτοί θα πρέπει να αποθηκευθούν και το κόστος αποθήκευσης φθάνει τα $ το μήνα.

41 Μήνας Προγραμματισμένες εγκαταστάσεις Μέγιστη παραγωγή Μοναδιαίο κόστος παραγωγής Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης (Τα στοιχεία του κόστους είναι εκφρασμένα σε εκατομμύρια δολάρια) Η εταιρεία θέλει να αποφασίσει ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος παραγωγής κινητήρων ανά μήνα έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος. Να διαμορφωθεί και να επιλυθεί το κατάλληλο μοντέλο.