4

Transcript

1

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

7 9

8 0

9

10

11

12 4

13 5

14 6

15 7

16 8

17 9

18 0

19 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ προς απάντηση Διαφορικός Λογισμός Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης f στο x; Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α Τι ονομάζεται εξαρτημένη τι ανεξάρτητη μεταβλητή της f ; 4 'Εστω οι συναρτήσεις f, g που ορίζονται σε ένα σύνολο Α Πως ορίζονται I Το άθροισμα S = f + g ; II Η διαφορά D = f g ; III Το γινόμενο P = f g; IV Το πηλίκο R = f /g ; 5 Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Τι ονομάζεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy ; 6 Πότε ένα σημείο M(x, y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της συνάρτησης f ; 7Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f 8Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 9Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 0Τι ονομάζουμε περιοχή του x ; I Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x A; II Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο x A ; Τι ονομάζονται ακρότατα μίας συνάρτησης ; Αν οι συναρτήσεις f g έχουν στο όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν im f x img x με, ποια είναι τα όρια : x x0 x x0 f x im f x g x, im f x g x, im f x g x, im g x, im f x, im x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 f x 4Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ; 5 Συμπληρώστε τα κενά : im ημx =, im συνx =, x x0 x x0 im εφx =, im e x =, x x0 x x0 im σφx = x x0 im nx = x x0, 6 Έστω f μια συνάρτηση ένα σημείο A(x0, f (x0 )) της γραφικής της παράστασης C Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α ; 7Τι ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 ; 8Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y = f (x) ως προς το x, όταν x = x0 ; 9Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α ; 0Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συνάρτησης f ; Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι 0 δηλαδή ότι (c) = 0 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x) = x είναι δηλαδή ότι (x) = Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x είναι x δηλαδή ότι (x ) = x

20 4Να αποδείξετε ότι : η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x είναι x x,x>0 5Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημx, συνx, ex, lnx(x>0) ; 6Να αποδείξετε ότι (c f (x)) = c f (x) 7Να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) f x 8Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f (x) g(x),, f (g(x)) ; g x 9Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ ισχύει f (x) > 0 (αντιστοίχως f (x) < 0 ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τι συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ; 0Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( x0) =0 για x0 (α, β), f (x) > 0 στο (α, x0 ) f (x) < 0 στο (x0, β) (αντιστοίχως f ( x0) =0 για x0 (α, β), f (x) < 0 στο (α, x0 ) f (x) > 0 στο (x0, β) ) τι συμπεραίνουμε για τα ακρότατα της f στο (α, β) ; Να αποδείξετε ότι : (εφx) = συν x x x Αν y = λx+ β η εφαπτόμενη της Cf στο σημείο A(xo, f(xo)) να βρείτε τα λ, β να συμπεράνετε τον τύπο y f(xo) = f (xo) (x xo) που χρησιμοποιείται στη κατεύθυνση Στατιστική Τι εννοούμε με τον όρο στατιστική ; Τι ονομάζεται πληθυσμός, δείγμα, πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού; Τι ονομάζονται στη στατιστική μεταβλητές τι τιμές μίας μεταβλητής; 4Πως διακρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους; 5Τι καλείται απογραφή ; Αναφέρετε δυο μειονεκτήματά της 6 Έστω x < x < < xκ, κ ν οι διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής Χ, ενός δείγματος μεγέθους v A Πως ορίζονται : α ) Η (απόλυτη) συχνότητα (νi ) της τιμής xi β) Η σχετική συχνότητα (fi ) της τιμής xi γ) Η σχετική συχνότητα(%) της τιμής xi (fi % ) δ) Η αθροιστική συχνότητα (Ni ) της τιμής xi (για ποσοτικές μεταβλητές ) ε) Η αθροιστική σχετική συχνότητα (Fi) της τιμής xi το αντίστοιχο ποσοστιαίο μέγεθος (Fi %) Β Συμπληρώστε τα κενά : α) ν + ν+ + νκ = β) N = F = γ) = Ni - Ni - i =,,, κ δ) = Fi - F i -, i =,,, κ ε) Nκ = Fκ = 7 Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : I 0 f i για i =,,, κ f + f+ + fκ = 8 Τι ονομάζεται κατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές x, x,, xκ ; II 9 Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα ; Να δώσετε μία περιγραφή του 0 Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Πότε χρησιμοποιείται το πολύγωνο συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Πότε χρησιμοποιείται το κυκλικό διάγραμμα; Να δώσετε μία περιγραφή του

21 Με τι είναι ίσο το τόξο αi ενός κυκλικού που αντιστοιχεί στην τιμή xi ; 4 Τι είναι το σημειόγραμμα ; 5Τι είναι το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα ; 6 Τι είναι οι κλάσεις τα όρια των κλάσεων ; Τι είναι η κεντρική τιμή, το πλάτος η συχνότητα μίας κλάσης ; 7 Τι είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων ; Πως κατασκευάζεται ; Τι είναι το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ; 8 Ποια είναι η αριθμητική τιμή του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων τον οριζόντιο άξονα; 9 Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων ; 0 Τι λέγεται ομοιόμορφη κατανομή ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ; Τι λέγεται κανονική κατανομή ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ; Ποιά κατανομή λέγεται ασύμμετρη; Ποια είναι τα είδη ασυμμετρίας ; Σχεδιάστε τις καμπύλες συχνοτήτων τους Τι καλούμε μέτρα θέσης ; 4 Τι καλούμε μέτρα διασποράς ; 5 Τι καλούνται μέτρα ασυμμετρίας ; 6 Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών t, t,, tν μεγέθους ν ; 7 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών x, x,, xκ μεγέθους ν, με αντίστοιχες συχνότητες ν,ν,, νκ ; 8 Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο των τιμών x, x,, xν με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w,w,, wν ; 9 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών x,x,, xκ, μεγέθους ν από τις τιμές της μεταβλητής τις σχετικές συχνότητές τους f, f,, fκ ; 0 Πως ορίζεται η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ; Τι ονομάζεται εύρος ή κύμανση (R) μιας κατανομής ; Αναφέρατε ένα σημαντικό μειονέκτημά του Δείξτε ότι ο αριθμητικός μέσος των αποκλίσεων των παρατηρήσεων ενός δείγματος από τη μέση τιμή του είναι ίσος με το μηδέν Τι ονομάζεται διακύμανση ή διασπορά (s²) μιας κατανομής (σε ένα δείγμα τιμών t, t,, tv μεγέθους ν); 4Αναφέρατε ένα σημαντικό μειονέκτημα της διακύμανσης εξαιτίας του οποίου προτιμάμε την θετική ρίζα της 5Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση (s) μιας κατανομής ; 6 Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή ( x ) τυπική απόκλιση (s), να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστημα : i) ( x s, x + s) ii) ( x s, x + s) iii) ( x s, x + s) 7 Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R μίας κανονικής κατανομής ; 8 Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ; 9Πως συγκρίνονται ως προς την ομοιογένεια δύο δείγματα Α, Β με βάση τους συντελεστές μεταβολής ; 40Πότε ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές ; 4Από τα x, δ, s, s, R ποια είναι μέτρα θέσης ποια μέτρα διασποράς ; 4 α) Αν yi = x i +c τοτε : y= Sy β) Αν yi =λx i τοτε : y = Sy =

22 4 Αποδείξτε τους παρακάτω τύπους : s k k fi xi x fi xi x για ένα δείγμα τιμών x,x,, i= i= xκ μεγέθους ν, με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες f, f,, fκ Πιθανότητες Πότε ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης πότε αιτιοκρατικό ; α)τι λέγεται δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ; β)τι λέμε δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης ; Τι λέγεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; 4 Τι λέγεται απλό τι σύνθετο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; 5 Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του πειράματος ; 6Τι ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή ενός ενδεχομένου; 7Ποιο είναι το βέβαιο ποιο το αδύνατο ενδεχόμενο ; 8 Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο τι συμβολίζει το N(A) ; 9 Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn 0 Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn Πότε πραγματοποιείται το αντίθετο ενδεχόμενο A του Α ; Να παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn Πότε πραγματοποιείται η διαφορά A B του Β από το Α ;Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn Πότε δύο ενδεχόμενα Α Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ; 4 Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ; 5Έστω Ω = { ω, ω,, ωλ }δειγματικός χώρος τα απλά ενδεχόμενα {ω},{ω},,{ωλ} τα οποία πραγματοποιούνται κ, κ,, κλ φορές αντίστοιχα σε ν εκτελέσεις του πειράματος με σχετικές συχνότητες f, f,, f λ Δείξτε ότι f + f + + f λ = 6Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ; 7Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας 8 Πως από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι P(Ω) =, P( ) =, 0 P(A) ; 9 Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας 0 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α Β ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος : P(A B) = P(A) + P(B) Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α A ισχύει : P(A ) = P(A) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α Β ισχύει ο προσθετικός νόμος : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α Β με Α Β ισχύει : P(A) P(B) 4 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α Β ισχύει : P(A - B) = P(A) - P(Α B) 5 Αποδείξτε ότι : α) P[(A - B) (Β-Α)] = P(A) + Ρ(Β) - P(Α B) β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β) + Ρ(Α Β) γ) max {P(A), P(B) } Ρ(Α Β) min {, Ρ(Α) + Ρ(Β) } δ) max { 0, P(A) + P(B) } Ρ(Α Β) min { Ρ(Α), Ρ(Β) } ε) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) > τότε Α, Β όχι ασυμβίβαστα 4

23 ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 0 x x με a, β R g(x) = x x 5 Αν η γραφική x παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη διέρχεται από το σημείο Β(, ), τότε i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii Να προσδιορίσετε τα α, β R Για α= β = iii Να υπολογίσετε το limf(x) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x iv Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g f(x) v Να υπολογίσετε το lim x g(x) g( x) g() x f(x) vi Να υπολογίσετε το lim ΘΕΜΑ 0 ) x a) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της b) να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(,0) c) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία rad 4 d) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία τα ακρότατα e) Να αποδείξετε ότι: f(x) ln x i lim = 0 x x f''(x) ln x x ii lim = x 6 x 9 f) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M(e,f(e)) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ln( ΘΕΜΑ 0 Έστω η συνάρτηση f(x) = - x x + 9x + α 4α όπου a R Να αποδείξετε οτι: i Η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο ένα τοπικό ελάχιστο ii Το τοπικό ελάχιστο της f είναι μικρότερο από το τοπικό μέγιστο για κάθε τιμή του a R iii Υπάρχει ακριβώς μια τιμή xo για την οποία η εφαπτομένη της Cf στο σημείο M(xo, f(xo)), έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης f(x) f() iv Να υπολογίσετε το lim x x 5

24 ΘΕΜΑ 40 Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = α + β x, x > 0 a, β R i Να βρείτε τις τιμές των a, β R ώστε να ισχύουν οι σχέσεις f(4) = 5 f (9) = ii Για α = β = να βρείτε x α το όριο lim x f(x) β Το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,) ΘΕΜΑ 50 a ln(α + ex) με α Ζ e A) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x B) Αν lim =, να βρεθεί ο αριθμός α x a x Για a = Γ) Να δείξετε ότι f (- x) + f (x) = 0 για κάθε x R Δ) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα Έστω η συνάρτηση f με τύπο f(x)= - e a x a + ΘΕΜΑ 60 ax x Έστω η συνάρτηση f(x) e, x R a, β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(,e ) B(, e) i Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ii Να βρεθεί το σημείο τομής της Cf με τον άξονα ψ ψ iii Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο παραπάνω σημείο καθώς το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει αυτή με τους άξονες iv Να αποδείξετε ότι f (x) = f (x) (4x+) + 4f(x) v Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για x = ΘΕΜΑ 70 x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = - ln(x + ), x R i Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία τα ακρότατα a a ii Αν a > β >, να δείξετε ότι > ln Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = f (x) x + λ, x R λ R iii Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία iv Να προσδιορίσετε τις θέσεις το είδος των τοπικών ακροτάτων της g v Να βρείτε το λ R, ώστε το τοπικό μέγιστο της g να είναι διπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο της g 6

25 ΘΕΜΑ 80 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις φ, f, g με f() = f () = φ(x) = f(g(x)) με g(x) = lnx + x, x > 0 α) Να δείξετε ότι: g() = φ() = g () = φ () = β) Να εξετάσετε αν η g(x) έχει ακρότατα στο διάστημα (0, + ) ln(h ) h g() γ) Να υπολογιστεί η τιμή του ορίου: lim h 0 h δ) i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων (ε), (ε) των γραφικών παραστάσεων των φ f στα σημεία τους Α(,φ()) Β(,f()) αντίστοιχα ii) Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x'x ΘΕΜΑ 90 Η μέση τιμή η διακύμανση των βαθμών μαθητών στο α τετράμηνο στα Μαθηματικά είναι X S x 9 αντίστοιχα Για τους βαθμούς των 5 μαθητών ισχύει ότι : 5 (X i i X ) 8 α Να βρεθεί ο βαθμός x6 του έκτου μαθητή αν ξέρετε ότι είναι μεγαλύτερος του 0 β Στο β τετράμηνο ο καθηγητής τους κάνει δύο σκέψεις: ι) να προσθέσει δύο μονάδες στο βαθμό κάθε μαθητή ιι) να αυξήσει τη βαθμολογία κάθε μαθητή κατά 0% Προκειμένου να βοηθήσει τους μαθητές του ποια σκέψη πρέπει να ακολουθήσει; γ) Κατά πόσο θα μεταβληθεί η διακύμανση s των βαθμών στις σκέψεις (ι) (ιι) δ) Βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών των 6 μαθητών στο α τετράμηνο ΘΕΜΑ 00 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 6x + αx + β με x α, β Α Αν η γραφική παράσταση της f στο σημείο της Α(,0) δέχεται εφαπτομένη f ( x) x x -β, α-, α+5, -β, -β, α+5 με συντελεστή διεύθυνσης, να βρείτε τα α, β Β Να υπολογιστεί το όριο : lim Γ Αν οι βαθμολογίες 6 μαθητών στα Μαθηματικά είναι Να βρείτε : i Τον μέσο όρο της βαθμολογίας τους ii Την διάμεσο ιιι Τη διακύμανση ΘΕΜΑ 0 Οι χρόνοι σε min που χρειάζονται οι μαθητές μιας γειτονιάς να πάνε στο σχολείο τους ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με αντίστοιχες συχνότητες 6, 0, 7 7 Θεωρούμε τη συνάρτηση f x 6 x x 0 x x 7 x x 7 x4 x, έχουν όπου x, x, x, x4 τα κέντρα των αντίστοιχων κλάσεων Έστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 7 με τιμή f 7 4 i Να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c= ii Να βρείτε τις συχνότητες f i iii Να βρείτε την τυπική απόκλιση iv Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια 7

26 ΘΕΜΑ 0 Tα ψυγεία μιας εταιρείας συντήρησης τροφίμων είναι κατανεμημένα σε 4 κλάσεις σύμφωνα με την θερμοκρασία τους Χ (οc) η οποία κυμαίνεται από 4ο C έως 4ο C Αν δεύτερη κλάση έχει πλάσιο αριθμό ψυγείων από την πρώτη η τέταρτη 5πλάσιο της πρώτης τότε: α) Να παρασταθούν τα δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων να δειχθεί ότι η μέση της θερμοκρασίας των ψυγείων είναι x 0 C β) Έστω ότι η τρίτη κλάση έχει ίδιο αριθμό ψυγείων με την πρώτη i) Nα υπολογίσετε την διάμεσο θερμοκρασία ii) Αν γνωρίζουμε ότι η θερμοκρασία 4 ψυγείων είναι μικρότερη των 0,5ο C, να βρεθεί ο αριθμός των ψυγείων που κατέχει η εταιρεία ΘΕΜΑ 0 Έστω t, t,, t με N * οι τιμές μιας μεταβλητής X ενός δείγματος με διασπορά s 64 Θεωρούμε τη συνάρτηση f x t x t x t x α) Αν f x 6400 να βρείτε το μέγεθος του δείγματος β) Αν f x 6000 να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος γ) Να δειχθεί ότι καμία από τις παρατηρήσεις του δείγματος t, t,, t δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός ΘΕΜΑ 40 Σε μια γραπτή εξέταση αγγλικών οι βαθμοί επιτυχίας είναι A,B,C ενώ D o βαθμός αποτυχίας Τα αποτελέσματα ενός δείγματος 500 μαθητών που εξετάστηκαν γραπτά δίνονται στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα: Να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί: B Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων Γ Να βρεθεί ο αριθμός το ποσοστό των μαθητών που έχουν επιτύχει στις εξετάσεις Δ Να βρεθεί ο αριθμός το ποσοστό των μαθητών που έχουν αποτύχει στις εξετάσεις Ε Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών το ποσοστό που έχει πάρει Β ή C 8

27 ΘΕΜΑ 50 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x S,,, 4 ax x, a, R να παίρνουν τιμές από το σύνολο i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x0 ii) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: A = {η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα των x'x γωνία } 4 B= {η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο, } Γ= {πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα A, B} iii) Αν τα ενδεχόμενα A, B πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα ΘΕΜΑ 60 Έστω Α, Β ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A) < P(B) η συνάρτηση x 5x f ( x ) 6 x 4 με x Α Αν P(A), P(B) ε ναι οι τιμές των τοπικών ακρότατων της f να βρείτε τα P(A), P(B) Β Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα (5 μόρια) Γ Δείξτε ότι : i P ( A B ) ii P( A B) 6 ΘΕΜΑ 70 Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω ={,,,4,5,6,7,8,9,0} Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω ισχύει ότι: P k ak, k, 5, P k, k 6,0 0 α) Να δείξετε ότι a 0 β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) A= k / η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f x x k x 6kx 5 στο σημείο της M, f τέμνει τον xx' στο σημείο με τετμημένη ii) B={ k / lim x k x k k k 8 } x iii) Γ={ k / η μέση τιμή των αριθμών k, 4k, 5 k, k 6k, k να είναι μικρότερη ή ίση του 4\} x 9

28 ΘΕΜΑ 80 Δίνεται η συνάρτηση f x e x x, x R έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω α Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία β Αν A B να αποδείξετε ότι P B e P A P A e P B, να αποδείξετε ότι: i) f P A B e γ Αν P A ii) f P A B e ΘΕΜΑ 90 Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης Ω={,,,k} με k N * Το δείγμα των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω έχει μέση τιμή x, 5, ενώ ισχύει P P P k k α Να βρεθεί η τιμή του k β Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω γ Θεωρούμε το δείγμα α,α,α με a Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α: "Η τυπική απόκλιση του παραπάνω δείγματος είναι μεγαλύτερη του 6 " ΘΕΜΑ 00 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με 0 P A B 4 x P A B x, x R g x x x 007, x R Α Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα Β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο A 0, f 0 Γ Αν η παραπάνω εφαπτομένη σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τμ, τότε να αποδείξετε ότι P A B Δ Αν η g παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση x0 P A B, να βρείτε την πιθανότητα P(B) Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΘΕΜΑ 0 ) Αν A, B δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A k, P B 5k 7k, να δείξετε ότι k ) Αν A ενδεχόμενo ενός δειγματικού χώρου Ω με P A P A 5 p, να αποδείξετε ότι ισχύει p 4 P A ) Αν A, B δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A, P B 9 9 P A, να βρείτε τις πιθανότητες P(A), P(B) 0

29 ΘΕΜΑ 0 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα πεπερασμένου πλήθους δύο ενδεχόμενα του A B για τα οποία ισχύει P A B Δίνεται επίσης η συνάρτηση f x x N A x N A N x 8 με x R Ν(Α), Ν(Ω) το πλήθος των στοιχείων του Α του Ω αντίστοιχα Αν η f δεν παρουσιάζει ακρότατα, τότε: α) Να δείξετε ότι A β) Να βρείτε την πιθανότητα P(Α) γ) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(-,) τότε: i Να βρείτε το Ν(Ω) f x ii Να υπολογιστεί το όριο lim x f x ΘΕΜΑ 0 Έστω Ω={,,,,n} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Α, Β δυο ενδεχόμενα του Ω τέτοια ώστε: N A B 5, P A B, P A B 0 0 i) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A 5 ii) Να αποδείξετε ότι: P B n 0 iii) Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το B όχι το A είναι ίση με, να βρείτε το n 0 iv) Aν n=0 x, s είναι η μέση τιμή η τυπική απόκλιση των αριθμών,,, α, 4-α όπου a, τότε να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου: a / s x ΘΕΜΑ 40 Έστω 0,,,, με ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης το ενδεχόμενο P,, ώστε να ισχύουν: P A, P 0 P P Α Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω a Β Αν η καμπύλη της συνάρτησης f x x 4 x 5 x έχει εφαπτομένη στο x0 παράλληλη στην ευθεία : y 8 x τα, είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f, τότε: i) Να βρείτε τα α,, ii) Για,, 5 f x 4 6 α) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : lim 5 x x β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α Β γ) Να δείξετε ότι P A B

30 ΘΕΜΑ 50 Μια ομάδα μαθητών αποτελείται από μ αγόρια ν κορίτσια Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους μαθητές της ομάδας Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι αγόρι Κ το ενδεχόμενο να είναι κορίτσι Για τους μαθητές της ομάδας γνωρίζουμε ακόμη ότι: i Η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών είναι 6 χρόνια ii Η μέση τιμή της ηλικίας των μ αγοριών είναι 6 + x χρόνια, ενώ η μέση τιμή της ηλικίας των ν κοριτσιών είναι 6 ln ex χρόνια iii Το x είναι πραγματικός αριθμός με 0 < x < e, για τον οποίο η πιθανότητα του ενδεχομένου A είναι η μέγιστη ln ex α δείξτε ότι ο λόγος του πλήθους των αγοριών προς τα κορίτσια, είναι x ln ex β Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από την συνάρτηση f x x ln ex γ Υπολογίστε τον αριθμό x δ Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου K είναι διπλάσια της πιθανότητας του ενδεχομένου A ΘΕΜΑ 60 Έστω A,B δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με A, B Δίνεται επίσης η συνάρτηση f x x P A P A B x με x R α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για x P A B β Αν A B, να αποδείξετε ότι f P A f 0 γ Αν B A τότε: i Να αποδείξετε ότι P A B P A P B x P A P B x P A iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x x ii Ο τύπος της f γράφεται f x ΘΕΜΑ 70 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={-,-,-,0,,,} οι πιθανότητες P k k k, k, k 0 00 α Να βρεθούν οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω β Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου A: " H εξίσωση x 4kx 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες" γ Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου B: "H συνάρτηση f x x 4 6 x k παρουσιάζει ακρότατο στο x0 k " δ Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων A B, A B

31 ΘΕΜΑ 80 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {,,,4,5} Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω ισχύει ότι P k ak, k Θεωρούμε επίσης το ενδεχόμενο 4 A k / ή,,, 4, έ CV για το οποίο ισχύει 5 P A 0 Α Να βρεθούν τα a, R Β Θεωρούμε το ενδεχόμενο: B k / ά f x x ln x k 5k ί ύ 5 i Να βρείτε την πιθανότητα P(Β) ii Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της x g x P A B B A x 7 x που σχηματίζουν με τον άξονα x x γωνία 5ο P A B ΘΕΜΑ 90 Οι μαθητές μιας τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με το πόσα αδέρφια έχουν από τις απαντήσεις τους προέκυψε ο παρακάτω πίνακας Αριθμός αδερφιών 0 Οι αριθμοί xi Αριθμός μαθητών vi 8 είναι οι τιμές του τοπικού ελάχιστου του τοπικού μέγιστου f ( x) x x 7 α) Να αποδείξετε ότι 5 9 αντίστοιχα της συνάρτησης β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του αριθμού των αδερφιών που έχουν οι μαθητές της τάξης γ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή από την τάξη Αν γνωρίζουμε ότι στην τάξη δεν υπάρχουν αδέρφια, να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: : «ο μαθητής που επιλέξαμε να έχει το πολύ δύο αδέρφια» : «η οικογένεια του μαθητή που επιλέξαμε να έχει τουλάχιστον δύο παιδιά»

32 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 0 i) Πρέπει Άρα πεδίο ορισμού της ii) Αφού η γραφική παράσταση της απο το σημείο iii) Για τέμνει τον άξονα, είναι άρα ΘΕΜΑΤΩΝ είναι το στο σημείο με τεταγμένη διέρχεται άρα, ο τύπος της συνάρτησης είναι, Για, έχουμε iv) Είναι, Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω απο την γραφική παράσταση της συνάρτησης λύνουμε την ανίσωση Επομένως v) Για είναι vi) Είναι, Επομένως για είναι ΘΕΜΑ 0 aπρέπει b Άρα άρα η διέρχεται από το σημείο c Οπότε d Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο 4

33 Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση με τιμή eii f άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ΘΕΜΑ 0 i) Η είναι παραγωγίσιμη στο Eπομένως η είναι η με παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το τοπικό μέγιστο το ii) Έστω ότι τιμή του iii) O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο Eπομένως, η οποία μηδενίζεται στο Δηλαδή, το σημείο με το μέγιστη κλίση είναι το για κάθε τιμή του που ισχύει για κάθε είναι ίσος με που αποτελεί θέση μεγίστου της ή, μοναδικό iv) Είναι ΘΕΜΑ 40 i) Η είναι παραγωγίσιμη στο με Από τη σχέση έχουμε Από τη σχέση ii) α) Είναι β) Έστω έχουμε ή τυχαίο σημείο της Η απόστασή του από το είναι 5

34 H είναι παραγωγίσιμη με Άρα, το σημείο είναι το ΘΕΜΑ 50 α Πρέπει Για η Για παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για ή ισχύει για κάθε πρέπει επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το β γ Για έχουμε Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Οπότε Έχουμε δ Για έχουμε Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση ΘΕΜΑ 60 i Αφού η διέρχεται από τα σημεία γνησίως αύξουσα στο με τιμή, τότε: () () Από Από Έτσι ii Με είναι Άρα τέμνει τον με στο σημείο 6

35 iii Είναι Η εφαπτομένη στο είναι η: για η οποία τέμνει τον τον στο σημείο στο σημείο τμ iv v O ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για είναι ΘΕΜΑ 70 i) Είναι Οπότε η f είναι γν αύξουσα στα [-, 0], [, + ) γν φθίνουσα στα (Για x=- παρουσιάζει τοπ ελάχιστο το y=/-ln για x= παρουσιάζει τοπ μέγιστο το y=/-ln ii) για κάθε α>β> επειδή η f είναι γν αύξουσα έχουμε, -], [0, ] iii) Είναι οπότε άρα η g είναι γν αύξουσα στα (-, -] [, + ) γν φθίνουσα στο [-, ] iv) Για x=- παρουσιάζει τοπ μέγιστο το g(-)=λ+ για x= παρουσιάζει τοπ ελάχιστο το g()=λ- v) Έχουμε ΘΕΜΑ 80 α) Άρα β) με οπότε Άρα γ) δ) i ii Ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι: ΘΕΜΑ 90 α) Από τον ορισμό της διακύμανσης ξέρουμε ότι: sx 5 6 ( X i X ) v sx ( X i X ) X 6 X v i i X 6 X 6 6 X 6 6 7

36 X X 6 6 X 6 6 X β Εστω X, X, X, X 4, X 5, X 6 οι βαθμοί των μαθητών στο α τετράμηνο, με μέση τιμή X * Αν προσθέσει μονάδες στο βαθμό κάθε μαθητή, τότε οι νέοι βαθμοί θα γίνουν: yi xi, i,,6, η νέα μέση τιμή των βαθμών, θα είναι τώρα Y X 4 * Αν αυξήσει τη βαθμολογία κάθε μαθητή κατά 0%, τότε οι νέοι βαθμοί θα 0 xi xi 0, 0 xi, 0, 00 θα είναι ίση με Z, 0 X, 0 4, 4 γίνουν: zi xi i,,6 η νέα μέση τιμή των βαθμών, Αν θέλει, λοιπόν να βοηθήσει τους μαθητές του, πρέπει να ακολουθήσει τη δεύτερη σκέψη του γ) * Αν ακολουθήσει την πρώτη σκέψη του η νέα διακύμανση των βαθμών θα είναι S y S x 9, συνεπώς στην περίπτωση αυτή δεν θα μεταβληθεί * Αν ακολουθήσει τη δεύτερη σκέψη του η νέα διακύμανση των βαθμών θα είναι : S z, S x, 44 9,96 Συνεπώς η μεταβολή της διακύμανσης είναι: s,96 9,96 6 δ) Ζητείται το X i i v v X v Xi i v i i Εχουμε sx Xi X i v sx v v i v i X i 54 X i i i 6 X i i v sx X i X v i ΘΕΜΑ 00 Α Είναι : f () = 0 α + β = 5 οπότε : α = f () = α 9 = β = -6 Αφού f (x) = x x + α f (x) = + α = α 9 Β Για α = β = -6 έχουμε : f(x) = x 6x + x - 6 ( x )( x 5x 6) f ( x) x 6 x x 6 x 5 x 6 = lim = lim = lim = = x x x x x ( x )( x ) x x lim Γ Για α = β = -6 οι βαθμολογίες είναι :, 0, 6,, 8, 6 xi vi xi*vi (xi- x )vi

37 A x B δ x x S = (x i x ) vi 48 8 v 6 ΘΕΜΑ 0 i Αν είναι το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης τότε:,, Αφού η παρουσιάζει ακρότατο στο Με αντικατάσταση των Έτσι:, είναι: παίρνουμε:, ii Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:,, iii Με είναι,, Η μέση τιμή του δείγματος είναι:, έτσι:, Η Διακύμανση είναι: Η τυπική απόκλιση είναι iv, οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές ΘΕΜΑ 0 α Έστω το πλάτος κάθε κλάσης, τότε Έχουμε οτι δεύτερη κλάση έχει πλάσιο αριθμό ψυγείων από την πρώτη η τέταρτη 5πλάσιο της πρώτης, οπότε Έτσι σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα 9

38 Έχουμε βi Αν ο πίνακας γίνεται Οπότε βiiστο βρίσκεται το ψυγείωνεπομένως στο Εχουμε οτι το των ψυγείων, οπότε στο βρίσκεται το των ψυγείων είναι θα βρίσκεται το των ψυγείων των Οπότε τα συνολικά φυγεία είναι ΘΕΜΑ 0 α Αρχικά έχουμε Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Έχουμε β Η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με γ Έστω οτι υπάρχει μια τουλάχιστον παρατήρηση αρνητική,για παράδειγμα Οπότε, ΑΤΟΠΟ, τότε 40

39 ΘΕΜΑ 40 Α Απο τα δεδόμένα του κυκλικού διαγράμματος έχουμε τον παρακάτω πίνακα β Έτσι σχηματίζουμε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων ΓΣτις εξετάσεις έχει πετύχει το των μαθητών, δηλαδή ΔΣτις εξετάσεις έχει αποτύχει το ΕΤο μαθητές των μαθητών, δηλαδή των μαθητών έχει πάρει βαθμό Β ή C, δηλαδή μαθητές μαθητές ΘΕΜΑ 50 A) i) Σήμερα: () Σε χρόνια: ii) Είναι iii) Στην κανονική κατανομή B) i) Ισχύουν ii) Η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο είναι 4

40 η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο είναι Γ) To πλήθος δε μπορεί να είναι άρτιος, γιατί τότε θα είχαμε ίδιο πλήθος άρτιων περιττών σε αυτό (άτοπο) Έστω ότι Τότε, οι περιττοί θα είναι κατά ένας περισσότεροι από τους άρτιους Άρα Ισχύει: ΘΕΜΑ 60 f `(x) = x - 5x + 6 f `(x) = 0 x = ή x = x f`(x) f(x) Η θέση x = είναι θέση τοπικού ελαχίστου με τιμή f()= Επειδή P(A) < P(B) τότε P(A) = ενώ P(B) = Η θέση x = είναι θέση τοπικού μεγίστου με τιμή f()= Β Υποθέτουμε ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα τότε ισχύει : P ( A B ) P ( A) P ( B ) P( A B) που είναι άτοπο Επομένως τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα Γ Επειδή B A B P ( B ) P ( A B ) P ( A B ) Επειδή A B A P ( A B ) P ( A) P ( A B ) Γνωρίζουμε ότι: P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) 7 Δηλαδή 6 7 P( A B) 6 7 Όμως 0 P ( A B ), αρα P ( A B ) P ( A B ) 6 6 P( A B) ΘΕΜΑ 70 α) Η είναι παραγωγίσιμη στο είναι οριζόντια, άρα με που έχει ρίζες β) Για, έχουμε H εφαπτομένη Άρα, Iσχύει η σχέση 4

41 Έστω ότι τα Άρα, δεν είναι είναι ασυμβίβαστα, τότε (άτοπο) γ) Έχουμε Eπίσης, () () Από τις (), () προκύπτει ΘΕΜΑ 80 Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο α) με παράγωγο Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο β) άρα θα είναι η γ) i) Είναι αύξουσα στο επειδή άρα θα είναι ii) Ομοίως αφού είναι θα είναι ΣΧΟΛΙΟ Θα ήταν προτιμότερο γνησίως αύξουσα στο αφού η γνησίως επειδή η f γνησίως αύξουσα στο αντί για ΘΕΜΑ 90 α) Είναι β) Τώρα πρέπει Έτσι Γ) Είναι Πρέπει αφού Ζητάμε τώρα την πιθανότητα του ενδεχομένου 4

42 ΘΕΜΑ 00 Α η οποίο είναι τριώνυμο ως προς με διακρίνουσα γιατί Άρα οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο δεν έχει ακρότατα Β Η εξίσωση εφαπτομένης της C_f στο είναι: Γ Η εξίσωση εφαπτομένης της τέμνει τους άξονες στα σημεία B(0,),Γ(\frac{-}{P(A B)},0) Και σχηματίζει τρίγωνο με εμβαδό: Δ Είναι: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση Όμως: ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο όποτε η Αρα ΘΕΜΑ 0 Έχουμε Επίσης δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουμε με Οπότε Επομένως η σχέση γίνεται Όμως Επειδή δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουμε Οπότε 44

43 ΘΕΜΑ 0 α) Έστω Τότε Άτοπο αφού β) Η παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με μην παρουσιάζει ακρότατα η, αρκεί η διακρίνουσα του τριωνύμου της Άρα Επειδή Άρα Για να να μην είναι θετική έχουμε Οπότε Επιπλέον Δηλαδή γ) Η τελευταία δίνει δ) Για έχουμε Τότε Άρα ΘΕΜΑ 0 i ii iii iv Έστω Άρα ή Έτσι επειδή τότε ΘΕΜΑ 40 Α Έστω Είναι 45

44 Άρα Επίσης, Β i) Είναι Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της στο σημείο με τετμημένη είναι Άρα η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την y=8x αν-ν λ=8 α= Τότε Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα στα 5 Άρα αφού Τότε έχουμε B ii) a) Είναι Και τότε Οπότε λ= ή λ= Άρα b) είναι c) είναι ΘΕΜΑ 50 α) Έστω η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών, οι μέσες τιμές των ηλικιών των αγοριών των κοριτσιών αντίστοιχα Τότε Οπότε β) Έχουμε Άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από τη συνάρτηση με 46

45 γ) Η παραγωγίσιμη στο με είναι για αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο δ) Έχουμε συμπληρωματικά Άρα Η μηδενίζεται για για Η λοιπόν είναι γνησίως παρουσιάζει μέγιστο για Επιπλέον αφού τα δύο ενδεχόμενα είναι ΘΕΜΑ 60 α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με Λύνουμε την εξίσωση: την ανίσωση: Και η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ενώ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο β) Αφού άρα: γνησίως αύξουσα στο γ)γενικά i) ii) iii)h διακρίνουσα της εξίσωσης: είναι: ή αλλιώς με τη χρήση του ολικού ελαχίστου ΘΕΜΑ 70 α Αν Αν Έτσι:, τότε, τότε,, β Για να έχει η εξίσωση Επειδή, θα είναι δύο άνισες πραγματικές ρίζες, πρέπει, οπότε: 47

46 γ, Αν η παρουσιάζει ακρότατο στο θα ισχύει: ή ή Εύκολα διαπιστώνουμε, με τη βοήθεια της μονοτονίας, ότι η παρουσιάζει ακρότατο για τις τιμές αυτές Έτσι δ, οπότε, οπότε ΘΕΜΑ 80 Α () Η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι: Η διακύμανση τους είναι: Ο συντελεστής μεταβολής τους είναι: (πράξεις) () οπότε οι ρίζες της () είναι Για να ισχύει η () πρέπει επειδή Με είτε θα είναι θα είναι ή () Λύνοντας το σύστημα των () () βρίσκουμε ότι Β i Με είναι: Η είναι γν φθίνουσα για για το Πρέπει Έτσι ή επειδή οπότε απορρίπτεται γν αύξουσα για παρουσιάζει ελάχιστο θα είναι ή ή Άρα 48

47 ii οπότε, Άρα Έτσι Πρέπει οπότε με ή Άρα η εφαπτομένη στο σημείο Η εφαπτομένη στο σημείο είναι η: είναι η: ΘΕΜΑ 90 α) με παραγώγιση μηδενισμό παραγώγου (το πρόσημο θεωρείται προφανές αφού είναι β βαθμού) β)χ (μέση)= Σχν/ν=4/5 γ)οι παρατηρήσεις είναι ήδη διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά στον πίνακα, με ν=5 περιττό, οπότε δ=t= δ)ρ(α)=ρ ()=-/5=/5 Ρ(Β)=Ρ (0)=-5/5=0/5=4/5 49