ΦΤΙΚΗ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΗΧΑΝΙΚΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ. Δπηκέιεηα: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φπζηθόο

Transcript

1 ΦΤΙΚΗ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΗΧΑΝΙΚΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Δπηκέιεηα: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ,

2 Πεξηερόκελα ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ Σηόρνο ηνπ θεθαιαίνπ Σειίδα 3 Βαζηθέο Έλλνηεο Σειίδα 3 Απιή Αξκνληθή Ταιάλησζε Σειίδα 4 Γπλακηθή Πξνζέγγηζε Σειίδα 7 Κύθινο Αλαθνξάο Σειίδα 8 Πεξηζηξεθόκελν Γηάλπζκα Σειίδα 8 Δλεξγεηαθή Πξνζέγγηζε Σειίδα 0 Δλέξγεηα Σπλαξηήζεη Απνκάθξπλζεο Ταρύηεηαο Σειίδα 0 Φζίλνπζεο Ταιαληώζεηο Σειίδα Δμαλαγθαζκέλεο Ταιαληώζεηο Σειίδα 4 Σύλζεζε Ταιαληώζεσλ Σειίδα 6

3 Σηόρνο ηνπ θεθαιαίνπ Σηόρνο ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ είλαη λα θαηαλνήζεη ν καζεηήο έλλνηεο όπσο ηα πεξηνδηθά θαηλόκελα θαη λα αζρνιεζεί κε έλα απ απηά πνπ είλαη ε απιή αξκνληθή ηαιάλησζε (κεραληθέο, ειεθηξηθέο, θζίλνπζεο, εμαλαγθαζκέλεο). Σην ηέινο ηνπ θεθαιαίν ν καζεηήο ζα πξέπεη λα έρεη θαηαλνήζεη πιήξσο ηηο λέεο έλλνηεο πνπ ζα έρεη δηδαρζεί θαη λα κπνξεί λα ιύλεη κε ζρεηηθή επθνιία ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα ηνπ δνζνύλ. Βαζηθέο Έλλνηεο Πεξηνδηθά θαηλόκελα νλνκάδνληαη ηα θαηλόκελα πνπ εμειίζζνληαη θαη επαλαιακβάλνληαη αλαιινίσηα ζε ζηαζεξά ρξνληθά δηαζηήκαηα (π.ρ. ε πεξηθνξά ησλ πιαλεηώλ γύξσ από ηνλ Ήιην ή ε θίλεζε θάπνηνπ εθθξεκνύο). Τν θάζε πεξηνδηθό θαηλόκελν έρεη ηελ δηθή ηνπ πεξίνδν ( Τ ). Πεξίνδνο είλαη ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα νινθιεξσζεί έλα πεξηνδηθό θαηλόκελν (π.ρ. ε Γε ρξεηάδεηαη 365 κέξεο γηα λα εθηειέζεη κία πιήξε πεξηθνξά γύξσ από ηνλ Ήιην, άξα ε πεξίνδνο ηεο είλαη 365 κέξεο). Μνλάδα κέηξεζεο ηεο πεξηόδνπ είλαη ην s. Από ηελ πεξίνδν κπνξνύκε λα εμαγάγνπκε έλα αθόκα ραξαθηεξηζηηθό κέγεζνο, ηελ ζπρλόηεηα ( f ). Η ζπρλόηεηα είλαη ην πειίθν ησλ αξηζκώλ ησλ επαλαιήςεσλ ηνπ θαηλνκέλνπ πνπ κειεηάκε ζε ζπγθεθξηκέλν ρξόλν. Γειαδή ζπρλόηεηαο είλαη ην s - ή Hz. N f ή f (). Μνλάδα κέηξεζεο ηεο T Τέινο έλα αθόκα κέγεζνο πνπ ζρεηίδεηαη κε ηελ πεξίνδν θαη ηελ ζπρλόηεηα είλαη ε γσληαθή ζπρλόηεηα ( σ ). Η γσληαθή ζπρλόηεηα δελ έρεη θάπνηα άκεζε θπζηθή ζεκαζία θαη δίλεηαη από ηνλ ηύπν f (). Μνλάδα κέηξεζεο είλαη ην rad/s. 3

4 Απιή Αξκνληθή Ταιάληωζε (Α.Α.Τ.) Σαιάλησζε είλαη κηα πεξηνδηθή παιηλδξνκηθή θίλεζε. Αλ ε ηαιάλησζε γίλεηαη ζε επζεία ηξνρηά νλνκάδεηαη γξακκηθή ηαιάλησζε. Τν εθθξεκέο ζην δίπια ζρήκα εθηειεί ηαιάλησζε. Καη ην ειαηήξην επίζεο κπνξεί λα εθηειέζεη ηαιάλησζε αιιά επεηδή ε ηξνρηά ηνπ ζα είλαη επζεία απηό ζα θάλεη γξακκηθή ηαιάλησζε. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε (Α.Α.Τ.) είλαη κία εηδηθή πεξίπησζε γξακκηθήο ηαιάλησζεο. πιάηνο ηαιάλησζεο. Έζησ έλα ζώκα πνπ θηλείηαη. Αλ ε απνκάθξπλζε ( x ) ηνπ ζώκαηνο δίλεηαη από ηελ ζρέζε x A (3). Τν ζώκα πνπ εθηειεί ηελ ΑΑΤ έρεη κία ραξαθηεξηζηηθή ζέζε, ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο, ε νπνία είλαη ε x=0. Τν Α είλαη ε κέγηζηε δπλαηή απνκάθξπλζε πνπ κπνξεί λα έρεη ην ζώκα, θαη νλνκάδεηαη Η ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο δίλεηαη από ηελ ζρέζε u u (4) θαη ε επηηάρπλζή ηνπ max a amax (5). Η κέγηζηε ηαρύηεηα δίλεηαη από ηελ ζρέζε umax A (6) θαη ε κέγηζηε επηηάρπλζε από ηελ ζρέζε a max A (7) 4

5 Όια ηα παξαπάλσ ηζρύνπλ αλ γηα =0 ην ζώκα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε ηζνξξνπίαο, δειαδή ζην x=0. Αλ δελ βξίζθεηαη ζην x=0 αιιά ζε ηπραία ζέζε x=d, ηόηε νη παξαπάλσ ζρέζεηο κεηαηξέπνληαη ζηηο: x = A εκ(σ+θ) u = u max ζπλ(σ+θ) (8) κε εκθ = d/a a = -a max εκ(σ+θ) Από ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο κπνξνύκε λα εμάγνπκε κία λέα ζρέζε θαη λα ππνινγίζνπκε ηηο αιγεβξηθέο ηηκέο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο απνκάθξπλζεο ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή. Η ζρέζε απηή είλαη ε u A x (9). παξαθάησ: Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο απνκάθξπλζεο, ηαρύηεηαο θαη επηηάρπλζεο δίλνληαη. Γξαθηθή Παξάζηαζε απνκάθξπλζεο ρξόλνπ 5

6 . Γξαθηθή Παξάζηαζε ηαρύηεηαο ρξόλνπ 3. Γξαθηθή Παξάζηαζε επηηάρπλζεο ρξόλνπ Σα δηαλύζκαηα ηεο απνκάθξπλζεο, ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο επηηάρπλζεο έρνπλ: Θεηική αλγεβπική ηιμή όηαν έσοςν θοπά ππο ηα πάνω ή ππορ ηα δεξιά. Απνηηική αλγεβπική ηιμή όηαν έσοςν θοπά ππορ ηα κάηω ή απιζηεπά. 6

7 Γπλακηθή Πξνζέγγηζε εθηειεί. Αο εμεηάζνπκε ηελ ΑΑΤ βάζε ησλ δπλάκεσλ πνπ κπνξεί λ αζθνύληαη ζην ζώκα πνπ ηελ Έζησ όηη έλα ζώκα εθηειεί ΑΑΤ. Σε ηπραία ζέζε ε ζπλνιηθή δύλακε πνπ δέρεηαη ην ζώκα ζα είλαη ε F m a, ε νπνία βάζε ηεο (5) γξάθεηαη θαη F m a ( ) m A ( ) ή max πην ζπκπηπγκέλα F m x (0). Από ηελ ζρέζε (0) βιέπνπκε πσο γηα έλα ζώκα πνπ εθηειεί ΑΑΤ ε δύλακε πνπ ηνπ αζθείηαη είλαη άκεζα εμαξηώκελε από ηελ ζέζε πνπ βξίζθεηαη. Δπηπιένλ παξαηεξνύκε όηη ζην x=0 ε F=0, θαη ε ζέζε απηή νλνκάδεηαη ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο ηαιάλησζεο. Τελ πνζόηεηα κπνξνύκε λα ηε ζέζνπκε σο D, νπόηε πιένλ ζα έρνπκε όηη F D x (). m Η παξαπάλσ δύλακε νλνκάδεηαη δύλακε επαλαθνξάο θαη ην D, ην νπνίν όπσο βιέπνπκε όηη είλαη ζηαζεξό θαη ραξαθηεξηζηηθό γηα θάζε ηαιάλησζε, νλνκάδεηαη ζηαζεξά επαλαθνξάο. Αθνύ βιέπνπκε, ινηπόλ, όηη ε ζηαζεξά επαλαθνξάο είλαη ραξαθηεξηζηηθό κέγεζνο ηεο θάζε ηαιάλησζεο θαη ζπζρεηίδεηαη θαη κε ηελ γσληαθή επηηάρπλζε είλαη εύθνιν ινηπόλ λα ηελ ζπζρεηίζνπκε θαη κε ηελ πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο. Ο ηύπνο είλαη ν T m D, δειαδή D m (). 7

8 Απιή αξκνληθή ηαιάληωζε θαη θύθινο αλαθνξάο Γλσξίδνπκε ήδε όηη ηα κεγέζε πνπ καο απαζρνινύλ ζηελ ΑΑΤ εμαξηώληαη από ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο. Γηα απηό ηνλ ιόγν αθξηβώο αξθεηέο θνξέο πξνθεηκέλνπ λα ιύζνπκε πην εύθνια θάπνην πξόβιεκα ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ θύθιν αλαθνξάο θαη ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα. Τη είλαη όκσο ν θύθινο αλαθνξάο θαη ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα; Έζηω έλα πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα, ην νπνίν αληηθαζηζηά ηελ x = f(). Τν δηάλπζκα απηό έρεη κήθνο ίζν κε ην πιάηνο Α ηεο ηαιάληωζεο θαη πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γωληαθή ηαρύηεηα ω γύξω από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ Ο. Τελ ρξνληθή ζηηγκή =0 ην δηάλπζκα ηαπηίδεηαη κε ηνλ άμνλα x x ζηνλ ζεηηθό εκηάμνλα. Σε ηπραία ζηηγκή, ην δηάλπζκα ζα έρεη πεξηζηξαθεί θαηά θ = ω. Η κεηαηόπηζε ηώξα ηνπ ζώκαηνο είλαη ίζε κε ηελ πξνβνιή ηνπ δηαλύζκαηνο (ΟΚ) ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα. Βάζε ινηπόλ ηνπ δίπια ζρήκαηνο ζα έρνπκε: OK A A άξα x A Οπόηε από δσ θαη ζην εμήο ζεσξνύκε όηη ε πξνβνιή ηνπ πεξηζηξεθόκελνπ δηαλύζκαηνο εθηειεί ΑΑΣ πιάηνπο Α κε ζέζε ηζνξξνπίαο ην ζεκείν Ο. Οξίδνπκε ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα σο άμνλα ηαιαληώζεσλ. 8

9 Πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα, θάζε θαη αξρηθή θάζε. Αο δνύκε ηώξα πσο ρξεζηκνπνηνύκε ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα αλ ε ηαιάλησζε έρεη θαη αξρηθή θάζε θ 0. Όπσο έρνπκε πεη ε εμίζσζε x=f() ηώξα είλαη ε x = A εκ(ω+θ 0 ). Γηα = 0 ε εμίζσζε απνκάθξπλζεο ζα είλαη x = A εκθ 0. Άξα ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα ζα έρεη ζρεκαηίζεη εμ αξρήο κία γσλία κε ηνλ άμνλα x, ε νπνία ζα είλαη ίζε κε ηελ αξρηθή καο θάζε, θ 0. Σε ηπραίν ρξόλν, ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα ζα έρεη «πξνρσξήζεη» θαηά κία γσλία ίζε κε σ, νπόηε ε ζπλνιηθή γσλία πνπ ζα έρεη ζρεκαηηζηεί ζα είλαη ίζε κε θ = θ 0 + σ. Η γσλία θ είλαη ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο. Άξα ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ηζνύηαη κε ηε γσλία πνπ ζρεκαηίδεηαη κεηαμύ ηνπ πεξηζηξεθόκελνπ δηαλύζκαηνο θαη ηνπ άμνλα x. Δλεξγεηαθή Πξνζέγγηζε Τέινο αο πξνζεγγίζνπκε ηελ ΑΑΤ κέζα από ηελ ελέξγεηα ηεο. Αο αξρίζνπκε κε ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα πνπ ζα έρεη ην ζώκα. Θα έρνπκε όηη K mu mumax m (3). Καηά ηελ θίλεζε ηνπ ζώκαηνο ε ζπλνιηθή δύλακε πνπ ηνπ αζθείηαη κεηαβάιιεηαη νπόηε όπσο είλαη αλακελόκελν, κεηαβάιιεηαη θαη ε δπλακηθή ηνπ ελέξγεηα, ε νπνία είλαη ίζε κε ην έξγν πνπ παξάγεηαη από ηελ δύλακε, δειαδή ζα έρσ όηη W Dx x A άξα κπνξνύκε λα γξάςνπκε όηη U m (5). U (4), κε m D θαη 9

10 Αθνύ ε ζπλνιηθή ελέξγεηα γλσξίδνπκε όηη είλαη ζηαζεξή, ε θηλεηηθή ελέξγεηα ζα κεηαβάιιεηαη βάζε ηνπ ζπλεκίηνλνπ ζην ηεηξάγσλν θαη ε δπλακηθή ηνπ εκηηόλνπ ζην ηεηξάγσλν ζα έρσ ην παξαθάησ ζρήκα αλά πάζα ρξνληθή ζηηγκή. 4. Γξαθηθή Παξάζηαζε Δλέξγεηαο - Χξόλνπ Από ηα παξαπάλσ ζα έρνπκε: E K U m ( ) m DA mu max Άξα απνδείμακε όηη ε ζπλνιηθή ελέξγεηα είλαη ζηαζεξή. Η ελέξγεηα ωο ζπλάξηεζε ηεο απνκάθξπλζεο-ηαρύηεηαο. Όπσο έρνπκε ήδε πεη ε δπλακηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο δίλεηαη από ηελ ζρέζε Dx U ελώ ε θηλεηηθή ελέξγεηα από ηελ γξάθεκα κία παξαβνιή. K mu. Καη νη δύν ζρέζεηο έρνπλ σο 0

11 Γηα ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα από Α.Γ.Δ. (αξρή δηαηήξεζεο ελέξγεηαο) ζα έρνπκε: K E U DA Dx K Dx (6) Αληίζηνηρα γηα ηελ δπλακηθή ελέξγεηα ζα έρνπκε: U E K mumax mu U mu (7). Μπνξνύκε ηώξα λα θάλνπκε θνηλό γξάθεκα ησλ Δ,K,U θαη ζα είλαη ην παξαθάησ: 4. Γξαθηθή Παξάζηαζε Δλέξγεηαο Θέζεο

12 Φζίλνπζεο Ταιαληώζεηο Μέρξη ηώξα έρνπκε κειεηήζεη ηαιαληώζεηο ησλ νπνίσλ ην πιάηνο παξακέλεη ακεηάβιεην κε ηνλ ρξόλν, θαζώο δελ ππόθεηηαη ζε θακία επίδξαζε εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ. ηνλ πξαγκαηηθό θόζκν όκσο, δελ ππάξρεη θάπνηνο ηαιαλησηήο πνπ λα ζπλερίδεη επ άπεηξν ηελ θίλεζε ηνπ. Σηηο κεραληθέο ηαιαληώζεηο έρνπκε ηελ αληίζηαζε ηνπ αέξα (ηελ νπνία αγλννύζακε κέρξη ηώξα) ε νπνία είλαη ηεο κνξθήο F bu (8), δειαδή είλαη πάληα αληίζεηε ζηελ ηαρύηεηα θαη αλάινγή ηεο. Σν b νλνκάδεηαη ζηαζεξά απόζβεζεο θαη εμαξηάηαη από ην κέζν πνπ γίλεηαη ε θίλεζε. Επίζεο ην b έρεη κνλάδεο kg/sec ζην SI. Αο κειεηήζνπκε ιίγν ηελ ζπληζηακέλε δύλακε πνπ αζθείηαη ζ έλαλ ηαιαλησηή. Βάζε ηνπ Νεύησλα ζα έρνπκε: ΣF ma F επ F αλη ma Dx bu ma ma Dx bu 0 Όπσο είπακε ήδε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο, ζηηο θζίλνπζεο, κεηώλεηαη κε ηνλ ρξόλν. Τν πιάηνο ηώξα γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή δίλεηαη από ηνλ ηύπν Λ A A0e (9), κε ηνλ ρξόλν λα είλαη αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηεο πεξηόδνπ, δειαδή =NT (0), κε Ν=0,,,3.. θαη Α 0 είλαη ην αξρηθό πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Η ζηαζεξά Λ εμαξηάηαη από ηελ ζηαζεξά απόζβεζεο b θαη ηελ κάδα ηνπ ζώκαηνο. Γηα ηελ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο αληίζηνηρα ζα έρνπκε: Λ Λ DA DA 0 e E0e E ()

13 Γξαθηθά γηα ην πιάηνο ζε θάζε πεξίπησζε ζα έρνπκε: πλνςίδνληαο ηα παξαπάλσ ζα έρνπκε: i. Τν πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ηνλ ρξόλν. Η κείωζε εμαξηάηαη από ηελ ηηκή ηεο ζηαζεξάο b. ii. Ο ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο iii. Σε κία θζίλνπζα ηαιάληωζε ε πεξίνδνο θαη ε γωληαθή ζπρλόηεηα παξακέλνπλ ζηαζεξέο. iv. Η πεξίνδνο κίαο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο είλαη κεγαιύηεξε από ηελ ηδην-πεξίνδν ηνπ ζπζηήκαηνο (δειαδή ηελ πεξίνδν πνπ ζα έρεη αλ εθηεινύζε ειεύζεξε ηαιάληωζε). 3

14 v. Η θπθιηθή ζπρλόηεηα ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο ω, ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε σ D σ 0, όπνπ σ 0 m () θαη b Λ m γηα ηηο κεραληθέο ηαιαληώζεηο vi. Χαξαθηεξηζηηθόο ρξόλνο είλαη ν ρξόλνο εκηδωήο, δειαδή ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα κεηωζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ζην κηζό. Ο ρξόλνο απηόο είλαη ίζνο κε ln / (3) Λ Δμαλαγθαζκέλεο Ταιαληώζεηο Όπσο έρνπκε ήδε πεη, ζηνλ πξαγκαηηθό θόζκν όιεο νη ηαιαληώζεηο είλαη θζίλνπζεο αθνύ ππάξρνπλ παξάγνληεο (π.ρ. ε αληίζηαζε ηνπ αέξα) πνπ κεηώλνπλ ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Υπάξρεη όκσο πεξίπησζε λα έρνπκε ζηνλ πξαγκαηηθό θόζκν ακείσηε ηαιάλησζε; Τελ απάληεζε ζην εξώηεκα απηό, ηελ δίλνπλ νη εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο. Έλαο ηαιαλησηήο ζα έρεη ζπρλόηεηα k f 0 (4) θαη ηελ ζπκβνιίδνπκε κε f 0 θαζώο απηή είλαη ε π m ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, δειαδή είλαη ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο πνπ ζα έρνπκε ηηο ειάρηζηεο δπλαηέο απνζβέζεηο. Γηα λα παξακείλεη ζηαζεξό ην πιάηνο αξθεί λα αζθήζνπκε ζην ζύζηεκα κία πεξηνδηθή δύλακε, ηελ νπνία νλνκάδνπκε δηεγείξνπζα δύλακε. Άξα εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε, νλνκάδεηαη ε ηαιάλησζε θαηά ηελ νπνία ν ηαιαλησηήο δέρεηαη κία εμσηεξηθή δύλακε, πξνθεηκέλνπ λα δηαηεξήζεη ην πιάηνο ηνπ ζηαζεξό, δειαδή λα αλαπιεξώζεη ηελ ελέξγεηα πνπ ράλεη. 4

15 Πξνζνρή, ε ζπρλόηεηα πνπ ζα έρεη ε ηαιάλησζε εμαξηάηαη από ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε, δελ είλαη ε ηδηνζπρλόηεηα. Ο δηεγέξηεο κπνξεί λα δώζεη δηάθνξεο ηηκέο ζηε ζπρλόηεηα. Όηαλ ε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε ζα πιεζηάδεη ηελ ηηκή ηεο ηδηνζπρλόηεηα ηόηε ην πιάηνο ζα παίξλεη κεγάιεο ηηκέο, θαη όηαλ γίλεη ίζε κε ηελ ηδηνζπρλόηεηα ηόηε ην πιάηνο απεηξίδεηαη θαη ην θαηλόκελν απηό ιέγεηαη ζπληνληζκόο. Παξαθάησ θαίλεηαη ην δηάγξακκα πιάηνπο- ζπρλόηεηαο θαη πσο απηό κεηαβάιιεηαη κε ηελ ζπρλόηεηα. Πξνζνρή, ηο πλάηορ μεηαβάλλεηαι ανάλογα ηην ζςσνόηηηα, όσι με ηον σπόνο. Δκείο κπνξνύκε λα κεηαβάιινπκε ηελ ζπρλόηεηα, πνπ πξνζθέξεη ζην ζύζηεκα ε εμσηεξηθή δύλακε, θαη είλαη εληειώο αλεμάξηεηε από ηνλ ρξόλν. Αο δνύκε θαη από ελεξγεηαθήο άπνςεο ηη πξνθύπηεη. Αξρηθά θαηά ηελ δηέγεξζε ηνπ ζπζηήκαηνο, πξνζθέξεηαη έλα ζπγθεθξηκέλν πνζό ελέξγεηαο (κεραληθή), ην νπνίν παξακέλεη ζηαζεξό θαζώο ε δηεγείξνπζα δύλακε πξνζθέξεη ζπλερώο ελέξγεηα, νπόηε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ε δηεγείξνπζα δύλακε αλαπιεξώλεη ηελ ελέξγεηα πνπ ράλεηαη ιόγσ ηεο απόζβεζεο. Όηαλ έρνπκε ζπληνληζκό ε ελέξγεηα κεηαθέξεηαη ζην ζύζηεκα θαηά βέιηηζην ηξόπν θαη γηα απηό ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο γίλεηαη κέγηζην. 5

16 Σύλζεζε Ταιαληώζεωλ Τέινο ζα κειεηήζνπκε ην θαηλόκελν ηεο ζύλζεζεο ηαιαληώζεσλ. Έλα ζώκα κπνξεί λα ζπκκεηέρεη ηαπηόρξνλα ζε δύν ηαιαληώζεηο. Γηα παξάδεηγκα έλα ζώκα κάδαο m ην νπνίν είλαη ζπλδεδεκέλν κε δύν δηαθνξεηηθά ειαηήξηα κε ζηαζεξέο ειαηεξίνπ k θαη k. Η ζπλνιηθή θίλεζε ηνπ είλαη αξθεηά πνιύπινθε θαη εμαξηάηαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο δύν επηκέξνπο ηαιαληώζεηο. Αξρηθά ζα κειεηήζνπκε ηελ ζύλζεζε δύν απιώλ αξκνληθώλ ηαιαληώζεσλ ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο, πνπ γίλνληαη γύξσ από ην ίδην ζεκείν ζηελ ίδηα δηεύζπλζε. Έζησ όηη ην ζώκα εθηειεί δύν επηκέξνπο ηαιαληώζεηο νη νπνίεο έρνπλ εμηζώζεηο θίλεζεο: x x A εκσ A εκ(σ θ 0 ) (5) Σην ζεκείν απηό ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηεο αξρή ηεο επαιιειίαο (ππέξζεζεο) ησλ θηλήζεσλ, βάζε ηεο νπνίαο ζα έρνπκε όηη ε ζπλνιηθή θίλεζε ζα είλαη ην άζξνηζκα ησλ δύν επηκέξνπο. Έηζη ζα έρνπκε: x x x A εκσ Αεκ(σ θ0) Aεκ(σ ζ), (6) Όπνπ ζα ηζρύεη: (7) Γειαδή ην ζώκα ζα εθηειέζεη ηαιάλησζε κε ίδηα ζπρλόηεηα κε ηηο επηκέξνπο, γύξσ από ην ίδην ζεκείν (ζέζε ηζνξξνπίαο) αιιά κε πιάηνο θαη αξρηθή θάζε πνπ ζα εμαξηώληαη από ηηο επηκέξνπο ηαιαληώζεηο. Αο δνύκε ηη απνηειέζκαηα ζα έρνπκε γηα ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο ηνπ θ. 6

17 Γηα θ 0ζα έρνπκε A 0 A, (8) Γηα θ ζα έρνπκε, (9) Γηα θ ζα έρνπκε 0, A A, (30) Γηα θ ε ηηκή ηεο ζ εμαξηάηαη από ηελ θάζε ηεο ηαιάληωζεο κε ην κεγαιύηεξν πιάηνο. ηε ζπλέρεηα ζα κειεηήζνπκε ηε ζύλζεζε δύν αξκνληθώλ ηαιαληώζεσλ ίδηαο δηεύζπλζεο, πνπ γίλνληαη γύξσ από δηαθνξεηηθό ζεκείν, κε ην ίδην πιάηνο θαη δηαθνξεηηθέο ζπρλόηεηεο. Έζησ όηη ην ζώκα εθηειεί δύν επηκέξνπο ηαιαληώζεηο νη νπνίεο έρνπλ εμηζώζεηο θίλεζεο: x x Aεκσ Αεκσ, (3) Οπόηε γηα ηε ζπλνιηθή εμίζσζε θίλεζεο ζα έρσ: x A x x Aεκσ Αεκσ 'εκσ, (3) Όπνπ ζα ηζρύεη: ' A σ, (33) Αο δνύκε ηη απνηειέζκαηα ζα έρνπκε γηα ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο ηνπ σ: 7

18 8 γηα σ ζα έρω ' A, (34) όπσο βιέπνπκε ηώξα ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο κεηαβάιιεηαη ρξνληθά από 0 έσο Α. απηέο ηηο πεξηπηώζεηο ιέκε όηη ε θίλεζε παξνπζηάδεη δηαθξνηήκαηα. Ο ρξόλνο αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο κεδεληζκνύο (ή δύν δηαδνρηθέο κεγηζηνπνηήζεηο) ηνπ πιάηνπο νλνκάδεηαη πεξίνδνο ησλ δηαθξνηεκάησλ, Σ δ. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπο αξθεί λα ζεσξήζσ: θ σ 0 σ ζπλ, (35), όπνπ θ=0,,,3. Γηα δύν δηαδνρηθέο ζηηγκέο ζα έρσ: 3π 3 σ π σ Η δηαθνξά ηνπο ζα είλαη ε πεξίνδνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο, δειαδή δ δ π π 3π f f f f f f f f (36)