Διαχείριση Ποιότητας

Transcript

1 Διαχείριση Ποιότητας Διαχείριση Ποιότητας Λάζαρος Καραογλάνογλου, PhD, ΕΔΙΠ ΕΜΠ Απόστολος Βλυσίδης, PhD, Καθηγητής ΕΜΠ Δημήτρης Κουλλάς PhD, ΕΔΙΠ ΕΜΠ Κωνσταντίνα Παπαδοπούλου PhD, ΕΔΙΠ ΕΜΠ Δημήτρης Χατζηαβραμίδης, PhD, FAIChE Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Χειμερινό Εξάμηνο 019

2 Σχέδιο 5 ης Ενότητας μαθήματος Ανακεφαλαίωση ANOVA Παραδείγματα ΜΙΝΙΤΑΒ Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας Δείκτης Επαναληψιμότητας & Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility)

3 ANOVA Παράδειγμα 1 Mια μηχανή χρησιμοποιείται για να γεμίσει μεταλλικά δοχεία με σιρόπι αναψυκτικού. Το κρίσιμο χαρακτηριστικό ποιότητας είναι η ποσότητα του σιροπιού που χάνεται λόγω αφρισμού. Ο αφρισμός μετράται σε cm 3 και οι αριθμοί στον παρακάτω πίνακα είναι η ποσότητα μείον 70 cm 3. Οι παράγοντες που επηρεάζουν τον αφρισμό είναι : (1) Ο τύπος του ακροφυσίου (1,, 3), () η ταχύτητα γεμίσματος σε rpm, και (3) η πίεση λειτουργίας σε psi. Τρείς τύποι ακροφυσίου, τρείς ταχύτητες γεμίσματος και τρείς πιέσεις λειτουργίας επιλέγονται, και το πείραμα επαναλαμβάνεται φορές ( replicates). Βρείτε ποιο είναι το καλύτερο ακροφύσιο και οι καλύτερες συνθήκες λειτουργίας για το γέμισμα, με χρήση του ΜΙΝΙΤΑΒ; 3

4 ANOVA Παράδειγμα 1 Ακροφύσιο 1 3 Ταχύτητα (rpm) Πίεση (psi) Κατανόηση προβλήματος 4

5 ANOVA Παράδειγμα 1 Ακροφύσιο 1 3 Ταχύτητα (rpm) Πίεση (psi) Κατανόηση προβλήματος Επίδραση 3 παραγόντων σε μία απόκριση. Ο κάθε παράγοντας ελέγχεται σε 3 επίπεδα. 5

6 ANOVA Παράδειγμα 1 Ακροφύσιο 1 3 Ταχύτητα (rpm) Πίεση (psi) Βήματα για την επίλυση του προβλήματος με το ΜΙΝΙΤΑΒ Μεταφορά δεδομένων στο ΜΙΝΙΤΑΒ Διαμόρφωση των στηλών με χρηστικό τρόπο για την περαιτέρω επεξεργασία Επιλογή «κατάλληλης» ANOVA για την περίπτωση Εισαγωγή δεδομένων και κατάλληλων ρυθμίσεων για την περίπτωση Συμπερασματολογία με βάση τα αποτελέσματα του ΜΙΝΙΤΑΒ 6

7 ANOVA Παράδειγμα 1 7

8 ANOVA Παράδειγμα 1 8

9 ANOVA Παράδειγμα 1 9

10 ANOVA Παράδειγμα Αν το μοντέλο θέλουμε να συμπεριλαμβάνει και τις αλληλεπιδράσεις των παραγόντων προσθέτουμε όρους στο μοντέλο: Α*Β, Α*C, Β*C, A*B*C 10

11 ANOVA Παράδειγμα 1 11

12 ANOVA Παράδειγμα 1

13 ANOVA Παράδειγμα 18/1/01 ΔΧ 13

14 ANOVA Παράδειγμα 1 18/1/01 ΔΧ 14

15 ANOVA Παράδειγμα 1 18/1/01 ΔΧ 15

16 ANOVA Παράδειγμα Καλείστε να ελέγξετε την επίδραση του primer και του τρόπου βαφής (εμβάπτιση ή ψεκασμός), στον χρωματισμό αεροσκάφους, με βάση τα παρακάτω πειραματικά δεδομένα. Δύναμη Προσκόλλησης (psi) Βοηθητικό Εμβάπτιση Ψεκασμός Primer Μετρ. 1 Μετρ. Μετρ. 3 Μετρ. 1 Μετρ. Μετρ ,0 4,5 4,3 5,4 4,9 5,6 5,6 4,9 5,4 5,8 6,1 6,3 3 3,8 3,7 4,0 5,5 5,0 5,0 16

17 ANOVA Παράδειγμα 17

18 ANOVA Παράδειγμα 18

19 Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας Η ικανότητα της διεργασίας αναφέρεται στην ομοιομορφία του αποτελέσματος της, το μέτρο της οποίας είναι η μεταβλητότητα των xαρακτηριστικών που είναι Κρίσιμα Για την Ποιότητα, ΚΓΠ, (Critical To Quality, CTQ). Η μεταβλητότητα αυτή μπορεί να κατανοηθή ως: (1) Στιγμιαία, και () Διαχρονική (over time) Άν η διεργασία έχει ένα χαρακτηριστικό ΚΓΠ (CTQ) που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, τα φυσικά όρια ανοχής (Natural Tolerance Limits) της διεργασίας ορίζονται ως UNTL = μ + 3σ (ανώτερο) LNTL = μ 3σ (κατώτερο) που σημαίνει ότι 0.7% των τιμών του συγκεκριμένου ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού είναι εκτός των φυσικών ορίων ανοχής. ΠΡΟΣΟΧΗ 1: 0.7% 700 ΜΗ ΣΥΜΜΟΡΦΟΥΜΕΝΑ ΤΕΜΑΧΙΑ ΑΝΑ ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΟ ΌΧΙ ΚΑΙ ΤΟΣΟ ΑΜΕΛΗΤΕΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ! 19

20 Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας ΠΡΟΣΟΧΗ : Άν η κατανομή δεν είναι κανονική, το ποσοστό των τιμών του αποτελέσματος της διεργασίας ή των τιμών του ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού που είναι εκτός των φυσικών ορίων ανοχής είναι σημαντικά διαφορετικό από το 0.7% Στην Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας (Process Capability Analysis), η ικανότητα της διεργασίας υπολογίζεται είτε σαν ποσοστό αποτελέσματος εκτός των φυσικών ορίων ανοχής είτε σαν κατανομή πιθανότητας με ορισμένο σχήμα, κέντρο (μέσο), και εύρος (τυπική απόκλιση). Και στις δυο περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητη η χρήση των προδιαγραφών του ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού για την Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας. 0

21 Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας Για μελέτη της ικανότητας διεργασίας, συνήθως μετρώνται λειτουργικές παράμετροι ή ΚΓΠ (CTQ) στο προϊόν και όχι στη διεργασία. Μόνο αν η διεργασία παρακολουθείται άμεσα και τα δεδομένα συλλέγονται με συνεχή αυτόματο έλεγχο (controlled and monitored), έχουμε πραγματική μελέτη ικανότητας διεργασίας. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η συλλογή των δεδομένων γίνεται με αυτόματο έλεγχο, και επειδή η χρονική σειρά των δεδομένων είναι γνωστή, μπορεί κανείς να αποφανθή για τη χρονική σταθερότητα της διεργασίας Όταν δεν γίνεται άμεση παρακολούθηση της διεργασίας ή δεν καταγράφεται η ιστορία παραγωγής, η μελέτη ονομάζεται, πιο σωστά, χαρακτηρισμός προϊόντος (product characterization). Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να υπολογίσει την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας του προϊόντος ή την απόδοση της διεργασίας (process yield), δηλ., ποσοστό προϊόντων για τα οποία τηρούνται οι προδιαγραφές, αλλά όχι τη δυναμική της διεργασίας ή την κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου της Διεργασίας (Statistical Process Control) 1

22 Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας Τα δεδομένα από την Ανάλυση Ικανότητας Διαδικασίας χρησιμοποιούνται στα aκόλουθα: 1. Πρόβλεψη σχετική με το πόσο εύκολο θα είναι για τη διεργασία να μην παραβιασθούν τα όρια ανοχής,. Βοήθεια στους σχεδιαστές/υπεύθυνους για ανάπτυξη στην επιλογή ή τροποποίηση της διεργασίας, 3. Βοήθεια στον προσδιορισμό συχνότητας της δειγματοληψίας για λόγους συνεχούς παρακολούθησης της διεργασίας, 4. Ορισμό απαιτήσεων λειτουργίας για νέα μηχανήματα, 5. Επιλογή μεταξύ ανταγωνιστικών προμηθευτών και για άλλα θέματα της αλυσίδας εφοδιασμού (supply chain), και 6. Προγραμματισμό σειράς διεργασιών παραγωγής, αν υπάρχει αλληλοεπίδραση των διεργασιών στα όρια ανοχής 7. Μείωση της μεταβλητότητας σε μία διεργασία

23 Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας Κύριες τεχνικές για Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας: (1) Iστόγραμμο ή διάγραμμα πιθανότητας (histogram or probability plot), () Χάρτες ελέγχου (control charts), και (3) Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) Πλεονέκτημα Διαγραμμάτων: Άμεση οπτικοποίηση των δεδομένων Στο σχήμα παρακάτω δύο προβληματικές διεργασίες: (α) Διεργασία με ικανοποιητική ικανότητα, όπου η Στόχοι έχουν επιλεγεί λάθος (β) Μικρή ικανότητα διεργασίας λόγω μεγάλης μεταβλητότητας 3

24 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας Διεργασίας (Process Capacity Ratio) Η ικανότητα διεργασίας εκφράζεται με διάφορους τρόπους. Παράδειγμα, ο λόγος ικανότητας διεργασίας (process capability ratio, PCR), C p USL LSL C ανώτερο και κατώτερο όριο p = 6 USL C p = μόνο ανώτερο όριο 3 LSL C p = 3 μόνο κατώτερο όριο Στις περισσότερες περιπτώσεις, η τυπική απόκλιση (του πληθυσμού), σ, είναι άγνωστη, και πρέπει να αντικατασταθεί από την αναμενόμενη τιμή (estimate) του, ˆ, έτσι ώστε ˆ USL LSL C p = 6ˆ το «^» δηλώνει αναμενόμενη τιμή μεγέθους Σαν εκτιμητέα τιμή του ˆ μπορεί να ληφθεί η τυπική απόκλιση (δείγματος), s, ή το μέγεθος R / d από x vs R χάρτη ελέγχου* Ο λόγος PCR,C p, έχει μια χρήσιμη πρακτική ερμηνεία, δηλ., Ρ = (1/C p )100 είναι το ποσοστό του διαστήματος προδιαγραφών που χρησιμοποιήθηκε από τη διεργασία 4

25 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αν έχουμε m δείγματα με ίσο αριθμό στοιχείων n, {x ij / i = 1,,m; j=1,,n}, ο μέσος και το εύρος (range) του i δείγματος, και R i είναι x i R i = 1 n n j= 1 x ij = max{ x ij ; x = 1 m x i m i= 1 x / j = 1,..., n} min{ x i ij / j = 1,..., n}; Η τυχαία μεταβλητή W = R /σ ονομάζεται σχετικό εύρος του δείγματος, είναι συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος n, και έχει μέσο d. Η τυπική απόκλιση, σ, προσεγγίζεται από το ˆ = R / d R = 1 m m i= 1 R i 5

26 ΔΧ 6

27 ΔΧ 7

28 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο λόγος ικανότητας διεργασίας, C p, είναι μέτρο της ικανότητας διεργασίας να παράγει προϊόντα που πληρούν τις προδιαγραφές Προαπαιτούμενα για τον υπολογισμό του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι τα ακόλουθα: 1. Το χαρακτηριστικό ποιότητας που μετράται έχει κανονική κατανομή,. Η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο, και 3. Στην περίπτωση προδιαγραφών κι από τις δυο πλευρές, ο μέσος είναι στο κέντρο του διαστήματος που ορίζεται από το κατώτερο και το ανώτερο όριο προδιαγραφής Οι παραπάνω υποθέσεις είναι κρίσιμες για την ορθότητα (accuracy) και εγκυρότητα (validity)των τιμών του C p 8

29 Τιμές Cp και οι αντίστοιχες αστοχίες της διεργασίας για μία διεργασία που ακολουθεί κανονική κατανομή κι είναι υπό στατιστικό έλεγχο (σε ppm) 9

30 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Μη κανονικότητα (normality) των μετρήσεων οδηγεί σε λάθη μεγάλης τάξης στον υπολογισμό του λόγου ικανότητας της διεργασίας Αρκετά συνηθισμένη τακτική είναι να υπολογίζεται το C p από δείγμα των ιστορικών δεδομένων χωρίς να εξετάζεται αν η διεργασία ήταν ή είναι υπό στατιστικό έλεγχο. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, οι μετρήσεις γίνονται σε ασταθές περιβάλλον, και η αξία τους για πρόβλεψη των μεταβλητών της διεργασίας στο μέλλον είναι αβέβαιη. Αυτό που στην πράξη υπολογίζεται απο το δείγμα των δεδομένων δεν είναι το C p αλλά η εκτιμητέα τιμή του. Αντί γι αυτή, προτιμάται το διάστημα εμπιστοσύνης για το C p που μπορεί να δίνει μία πιο ασφαλή εικόνα. 30

31 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο παρακάτω πίνακας δίνει ορισμένες ελάχιστες αποδεκτές τιμές για τον λόγο ικανότητας διεργασίας Δίπλευρες Προδιαγραφές Μονόπλευρες Προδιαγραφές Υπάρχουσες διεργασίες Νέες διεργασίες Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή υπάρχουσας διεργασίας Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή νέας διεργασίας ΔΧ 31

32 Για ορισμένες διεργασίες η μεταβολή του μέσου μέχρι και κατά ±1.5 σ δεν είναι ασυνήθιστο. Για να μπορούμε να έχουμε διεργασίες αποδεκτές θα πρέπει να έχουμε υψηλές τιμές του C p Για παράδειγμα αν τα όρια των προδιαγραφών βρίσκονται στο ±6 σ (κι όχι ±3) και ο μέσος μετατοπιστεί κατά ±1.5, τότε μόνο 3.4 ppm θα βρίσκονται εκτός των προδιαγραφών. Το «Έξι Σίγμα (Six Sigma)» πρόγραμμα της Motorola απαιτεί, αν ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, να μην είναι λιγότερο από έξι τυπικές αποκλίσεις από το κοντινότερο όριο προδιαγραφών. Στην ουσία, το πρόγραμμα «Έξι Σίγμα» απαιτεί ο λόγος ικανότητας διεργασίας να είναι το λιγότερο.0. Έτσι χρησιμοποιούνται ποικίλα εργαλεία για την αλλαγή του προϊόντος, της διεργασίας ή και των δυο, προκειμένου να επιτευχθεί αυτό. 3

33 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο λόγος ικανότητας διεργασίας δεν λαμβάνει υπ όψη τη θέση του μέσου της διεργασίας σε σχέση με τις προδιαγραφές. Γι αυτό το λόγο, ένας καινούργιος λόγος ικανότητας διεργασίας ορίζεται ως pk ( C C ) C = min, pu Ο νέος λόγος C pk, απλά, είναι ο μονόπλευρος λόγος C p για το όριο των προδιαγραφών που είναι πιο κοντά στο μέσο της διεργασίας C pk = min C pu pl USL =, C 3 pl LSL = 3 33

34 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Γενικά, αν C p = C pk η διεργασία είναι επικεντρωμένη (centered) στο κέντρο του διαστήματος προδιαγραφών, και αν C pk < C p η διαδικασία είναι αποκεντρωμένη (οffcenter). Η αποκεντρωμένη διεργασία έχει μικρότερη ικανότητα από την επικεντρωμένη. To μέγεθος του C pk σε σχέση με το C p είναι άμεσο μέτρο του πόσο αποκεντρωμένη είναι η διεργασία με τον τρόπο που εκτελείται Το C p μετράει τή δυνητική ικανότητα (potential capability) ενώ το C pk μετράει την πραγματική ικανότητα (actual capability) Η εικόνα που ακολουθεί δίχνει την κατανομή των μετρήσεων για διάφορες τιμές των C pk και C p 34

35 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Στην περίπτωση (d), ο μέσος της διεργασίας είναι ακριβώς ίσος με ένα από τα όρια των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο C pk = 0. H περίπτωση (e) δείχνει ότι όταν το C pk < 0, ο μέσος της διεργασίας βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο C pk = Είναι φανερό ότι άν C pk < -1, όλη η διεργασία βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών. Ορισμένοι ορίζουν το C pk ως μη αρνητικό, και όλες τις τιμές που είναι μικρότερες του μηδενός ως μηδέν 35

36 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Η χρήση των λόγων ικανότητας διεργασίας, C p και C pk, αμφισβητείται από πολλούς με το αιτιολογικό ότι είναι υπεραπλούστευση ενός πολύπλοκου φαινομένου. Ασφαλώς κάθε στατιστικό μέγεθος που συνδυάζει πληροφορίες για τη θέση του μέσου και το κέντρο της διεργασίας και της μεταβλητότητας, και που απαιτεί την προϋπόθεση της κανονικότητας (normality) για να ερμηνευθεί σωστά, είναι πιθανό να χρησιμοποιηθεί λανθασμένα ή άσκοπα. Σημειακές Εκτιμήσεις (point estimates) του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι σχεδόν άχρηστες, αν προέρχονται από μικρά δείγματα 36

37 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Επειδή ο ορισμός των C p και C pk βασίζεται στην κανονικότητα, αν το αποτέλεσμα της διεργασίας δεν ακολουθεί κανονική κατανομή, τα δεδομένα από τις μετρήσεις υποβάλλονται σε μετασχηματισμό (transformation) έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να ακολουθούν κατανομή που προσεγγίζει την κανονική Για δεδομένα που δεν έχουν κανονικότητα (normality) έχει προταθεί το PCR C pc USL LSL 1 C pc = ; T = ( USL+ LSL) 6 E x T όπου Τ είναι η τιμή του στόχου της διεργασίας. Ο δείκτης c υποδηλώνει ότι τα διαστήματα εμπιστοσύνης που βασίζονται στο C pc είναι αξιόπιστα (c=confidence) 37

38 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ένας άλλος λόγος που έχει προταθεί για διεργασίες που περιγράφονται από τις δυο οικογένειες κατανομών, Pearson και Johnson, δηλαδή για κανονικές και μη κανονικές κατανομές είναι το PCR που βασίζεται σε ποσοστά δεδομένων, C p (q) USL LSL C p ( q) = x x Επειδή για την κανονική κατανομή x = μ 3σ και x = μ + 3σ, στην περίπτωση αυτής της κατανομής C p (q) = C p Το PCR C pm που είναι δείκτης της επικέντρωσης της διεργασίας ορίζεται ως USL LSL C pm = 6 όπου τ είναι η τετραγωνική ρίζα της αναμενόμενης διασποράς από το στοχο Τ=1/(USL+LSL) = E ( x T) = E ( x ) + ( T) = + ( T) Mε αυτό τον ορισμό του τ, το C pm δίνεται από τη σχέση και σε προσέγγιση Cˆ C pm = C p 1+ ; Cˆ p = ; 1+ V pm V = T x T = s 38

39 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας C pk = C pm = C p όταν μ = Τ C pk και C pm μειώνονται καθώς το μ μετακινείται μακρυά από το Τ C pk < 0 για μ > USL και μ < LSL C pm 0 όταν μ Τ USL LSL C pm μ Τ = Δ > 0 και σ = Δ 6 T Αναγκαία (αλλά όχι ικανή) συνθήκη για τη σχέση C pm > 1 1 είναι η σχέση T ( USL LSL) 6 Αυτό λέγει ότι, αν η τιμή του Τ είναι το μέσο του διαστήματος των προδιαγραφών, C pm > 1 ο μέσος μ βρίσκεται στό μεσαίο 1/3 του διαστήματος των προδιαγραφών, δηλ., η συγκεκριμένη τιμή του C pm θέτει ένα περιορισμό στη διαφορά μεταξύ του μ και του Τ Τα C p και C pm ονομάζονται λόγος «πρώτης γενιάς» και «δεύτερης γενιάς», αντίστοιχα. Ο λόγος «τρίτης γενιάς», C pkm, που έχει μεγαλύτερη ευαισθησία στην απομάκρυνση του μέσου της διεργασίας μ από τον επιθυμητό στόχο Τ C T C = pk pkm = + ; 1 39

40 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το μεγαλύτερο μέρος της βιομηχανικής χρήσης των λόγων PCR έχει να κάνει με τον υπολογισμό και την ερμηνεία σημειακών προσεγγίσεων (point estimates) του μεγέθους που έχει ενδιαφέρον, αν και είναι γνωστό ότι οι προσεγγίσεις σε σημεία, π.χ., Cˆ ˆ, υπόκεινται σε στατιστικές διακυμάνσεις p C pk Μια εναλλακτική λύση που πρέπει να γίνη κοινή πρακτική είναι τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους λόγους ικανότητας διεργασίας Αν το χαρακτηριστικό ποιότητας ακολουθεί κανονική κατανομή, το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το C p είναι USL LSL 6s Cˆ p 1 /, n 1 n 1 1 /, n 1 n 1 C p Cˆ C p p USL LSL 6s /, n 1 n 1 /, n 1 n 1 η όπου χ 1-α/,n-1 και χ α/,n-1 είναι το κάτω και άνω α/ ποσοστό της χι τετράγωνο κατανομής με n-1 βαθμούς ελευθερίας 40

41 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ας σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση s αντί για το λόγο R / d από τον χάρτη ελέγχου Αυτό τονίζει ότι η διεργασία πρέπει να είναι υπό στατιστικό έλεγχο για να έχουν οι λόγοι PCR κάποια σημασία. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, τα s και R / d μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά και να οδηγούν σε πολύ διαφορετικές τιμές για τα PCR 41

42 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το διάστημα εμπιστοσύνης για το C p είναι ευρύ, aν το δείγμα που χρησιμοποιείται είναι μικρό Για δεδομένα που δέν έχουν κανονικότητα (normality), ο λόγος PCR, C pc, είναι USL LSL 1 C pc = ; T = ( USL+ LSL) 6 E x T Η αναμενόμενη μέση τιμή του x T είναι n 1 c = x i T n i= 1 και ο εκτιμητής (estimator) του C pc είναι USL LSL Cˆ pc = 6 c Το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Ε x T είναι sc c t /,n 1 n όπου το s c ορίζεται ως n 1 sc = xi T n 1 i= 1 n 1 c = xi T nc ΔΧ n 1 i= 1 4 ( ) ŷ ij

43 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το διάστημα εμπιστοσύνης για το C pc είναι Cˆ pc Cpc 1 t s /( c n 1 pc ( ) t ( s /( c n) Μια πολύ συνηθισμένη πρακτική στη βιομηχανία είναι να απαιτείται από τον προμηθευτή να αποδείξει ότι η τιμή του λόγου ικανότητας διεργασίας C p ικανοποιεί τη συνθήκη να είναι ίση ή μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής C p0 Αυτό το πρόβλημα διαμορφώνεται ως υπόθεση Η 0 : C p = C p0 διεργασία δεν είναι ικανή Η 1 : C p > C p0 διεργασία είναι ικανή Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Η 0 αν το Ĉ p υπερβαίνει μια κριτική τιμή C p0 Ορίζουμε το C p (high) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να αποδεχθούμε με πιθανότητα 1 - α Ορίζουμε το C p (low) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να απορρίψουμε με πιθανότητα 1 β Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τιμές για C p (high)/c p (low) και C /C p (low) για διαφορετικά μεγέθη δείγματος και α = β = 0.10 και α = β = 0.05 Cˆ + /, n 1 c /, n 1 c 43

44 Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας ΑΑΙG (American Automotive Industry Group) συνιστά τη χρήση των λόγων ικανότητας διεργασίας C p και C pk όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, με τυπική R απόκλιση να προσεγγίζεται από σ = ത d 44

45 Παράδειγμα Πελάτης ορίζει στον εν δυνάμει προμηθευτή του ότι για να τον επιλέξει για συνεργασία αυτός θα πρέπει να αποδείξει ότι η ικανότητα της διεργασίας του υπερβαίνει το C p =1.33. Έτσι, ο προμηθευτής ενδιαφέρεται να εγκαταστήσει μία διεργασία ελέγχου όπου θα ελέγξει τις υποθέσεις: Ο προμηθευτής επιθυμεί αν η ικανότητα της διεργασίας του δεν καλύπτει την απαίτηση, να έχει μεγάλη πιθανότητα ανίχνευσης του προβλήματος (π.χ. 0.90), ενώ αν η ικανότητα της διεργασίας του ξεπερνά το 1.66, να έχει μεγάλη πιθανότητα (και πάλι 0.90) να την κρίνει ικανοποιητική. Αυτό θα σημαίνει: 45

46 Παράδειγμα Από τον Πίνακα που προηγήθηκε έχουμε: Έτσι, ο προμηθευτής για να αποδείξει την ικανότητα της διεργασίας, θα πρέπει να λάβει ένα δείγμα 70 τεμαχίων, και η ικανότητα διεργασίας του δείγματος θα πρέπει να υπεβαίνει το 1.46 Το παράδειγμα δείχνει ότι για να αποδείξουμε ότι η ικανότητα της διεργασίας είναι τουλάχιστον 1.33, η παρατηρούμενη ικανότητα του δείγματος πρέπει να υπερβαίνει το 1.33 κατά πολύ. 46

47 Δείκτης Επαναληψιμότητας & Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) 47

48 Μέτρηση Δείκτης Επαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Οι μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης έχουν σκοπό να: 1. Aπαντήσουν στο ερώτημα τι μέρος της μεταβλητότητας οφείλεται στον αναλυτή ή το όργανο,. Διαχωρίσουν τις συνιστώσες της μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης, 3. Αξιολογήσουν την ικανότητα του οργάνου ή/και του αναλυτή Ένα λογικό μοντέλο για μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης είναι y = x + ε όπου y είναι η τιμή του μεγέθους από τη μέτρηση, x είναι η πραγματική τιμή του μεγέθους και ε το λάθος της μέτρησης Αν υποθέσουμε ότι τα x και ε είναι τυχαίες μεταβλητές με ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σ Ρ και σ Gauge, αντίστοιχα, η ολική διασπορά τιμής του μεγέθους από τη μέτρηση, σ Total, είναι σ Total = σ Ρ + σ Gauge Οι διασπορές σ Total, σ Ρ και σ Gauge ονομάζονται ολική μεταβλητότητα, μεταβλητότητα προϊόντος ή διεργασίας, και μεταβλητότητα μετρητικού συστήματος, αντίστοιχα 48

49 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Δυο συνιστώσες του λάθους μέτρησης είναι η επαναληψιμότητα (repeatability) και η αναπαραγωγιμότητα (reproducibility). H επαναληψιμότητα αναφέρεται στη βασική εγγενή ακρίβεια του ίδιου του μετρητή. (μεταβλητότητα που παρατηρείται όταν οι μετρήσεις λαμβάνονται στο ίδιο όργανο, υπό πανομοιότυπες συνθήκες). Η Αναπαραγωγιμότητα είναι η μεταβλητότητα που οφείλεται σε διαφορετικούς αναλυτές που χρησιμοποιούν τον ίδιο μετρητή (ή χρήση του ίδιου μετρητή υπό διαφορετικές συνθήκες) Το πείραμα που γίνεται για να μετρηθούν οι συνιστώσες του συνήθως ονομάζεται μελέτη επαναληψιμότητας & Αναπαραγωγιμότητας του μετρητή (Gauge R & R study) = = + Measuremen t error Gauge repeatabil ity Gauge reproducibility 49

50 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Διακριτική ικανότητα του οργάνου είναι η ικανότητα του αναλυτή να διακρίνει μεταξύ μονάδων του προϊόντος Oι τιμές του R αντιπροσωπεύουν διαφορά μεταξύ μετρήσεων της ίδιας μονάδας προϊόντος με τη χρήση του ιδίου οργάνου Ο λόγος ακρίβεια/ανοχή (Ρrecision/Τolerance) ορίζεται ως kˆ Gauge P / T = USL LSL Δημοφιλείς τιμές για την σταθερά k είναι 5.15 (αντιστοιχεί σε 95% δεδομένων κανονικής κατανομής) και 6 (αντιστοιχεί σε 99...% δεδομένων κανονικής κατανομής) Τιμές του Ρ/Τ ίσες ή μικρότερες του 0.1, χωρίς αυτό να είναι πάντα σωστό, θεωρείται ότι υπαινίσσονται επαρκή ικανότητα του μετρητή 50

51 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Άλλα σημαντικά χαρακτηριστικά του μετρητικού συστήματος πέραν της επαναληψιμότητας και της αναπαραγωγιμότητας: Γραμμικότητα (linearity): Δείχνει αν υπάρχει μεταβολή της ακρίβειας του οργάνου σε όλη την κλίμακα χρήσης του. Προβλήματα γραμμικότητας συνήθως αντιμετωπίζονται με την επαναρύθμιση και τη συντήρηση του οργάνου μέτρησης Σταθερότητα (stability): Εμφάνιση διαφορετικών επιπέδων μεταβλητότητας υπό διαφορετικές συνθήκες χρήσης. Μπορεί να οφείλεται στην επίδραση της εκκίνησης χρήσης του οργάνου (warm-up effect), περιβαλλοντικοί παράγοντες, αστάθεια των χειριστών, κ.α. Προκατάληψη (bias): Η διαφορά που παρατηρείται ανάμεσα στις μετρούμενες τιμές και σε τιμές από ένα πιο αξιόπιστο όργανο, ή μέθοδο. 51

52 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Άλλα μέτρα της ικανότητος του αναλυτή είναι ο λόγος της μεταβλητότητας του προϊόντος ή διεργασίας προς την ολική μεταβλητότητα, ρ p, και ο λόγος της μεταβλητότητας του συστήματος μέτρησης προς την ολική μεταβλητότητα, ρ Μ, που ορίζονται ως P Gauge P = ; M = Total Total Το AΑΙG καθόρισε τό λόγο σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio) ως p SNR = 1 Επιθυμητή είναι μία τιμή μεγαλύτερη από 5, ενώ τιμή μικρότερη από θεωρείται μη ικανοποιητική. p 5

53 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Άλλο μέτρο της ικανότητας του μετρητή είναι ο λόγος διάκρισης, DR, που ορίζεται ως 1+ p DR = 1 p Μια διάκριση χρειάζεται να γίνει μεταξύ ορθότητας (accuracy) και ακρίβειας (precision) του μετρητή. H oρθότητα αναφέρεται στην ικανότητα του οργάνου να μετρήσει σωστά τη μέση πραγματική τιμή, ενώ η ακρίβεια είναι μέτρο της εγγενούς μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης. Οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στην ακόλουθη εικόνα 53

54 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Η μελέτη ΕΠαναληψιμότητας & Αναπαραγωγιμότητας Μετρητή (Gauge R & R) είναι ένα σχεδιασμένο πείραμα (designed experiment). Ένα παράδειγμα σχεδιασμένου πειράματος είναι οι μετρήσεις θερμικής αντίστασης σε ο C /(100 x Watt) για επαγωγικό κινητήρα (motor starter), στον πίνακα που ακολουθεί. Εχουμε 10 τεμάχια, 3 αναλυτές (operators), και 3 μετρήσεις ανά τεμάχιο.. 54

55 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Στην περίπτωση του παραδείγματος λέμε ότι έχουμε ένα παραγοντικό πείραμα (factorial experiment), κάθε αναλυτής μετράει όλα τα τεμάχια. Η μέθοδος της Ανάλυσης Διασποράς/Διακύμανσης (ANOVA) μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε αυτή την περίπτωση για να εκτιμηθεί η συνεισφορά των επιμέρους στοιχείων στην συνολική μεταβλητότητα του συστήματος μέτρησης. Πρόκειται για ANOVA με μοντέλο τυχαίας επίδρασης (random effect model) 55

56 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) ΑΝΟVΑ Η μέτρηση, δηλ., η aπόκριση (response) παριστάνεται από το μοντέλο y ijk = μ + Ρ i + O j + (PO) ij + ε ijk i = 1,,, p; j = 1,,, o; k = 1,,, n Οι παράγοντες (factors) Ρ i, O j, (PO) ij, και ε ijk είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις επιδράσεις των τεμαχίων και αναλυτών, τις αλληλοεπιδράσεις τεμαχίων και αναλυτών, και του τυχαίου σφάλματος, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Ρ i, O j, (PO) ij, και ε ijk ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο το μηδέν και διασπορές V(P i ) = σ Ρ, V(O j ) = σ O, V(PO jj ) = σ OP, και V(ε jjk ) = σ. Γι αυτό η διασπορά της μέτρησης είναι V(y jjk ) = σ Ρ + σ O + σ OP + σ Eπίσης τα αθροίσματα των τετραγώνων ικανοποιούν τη σχέση SS Total = SS Parts + SS Operators + SS PxO + SS Error O μέσος των τετραγώνων είναι ο λόγος του αθροίσματος των τετραγώνων με τους βαθμούς ελευθερίας, δηλ., 56

57 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) SSParts SSError po( n 1) Οι αναμενόμενες τιμές τών μέσων των τετραγώνων είναι E( MSP ) = + n PO + bn P E( MSO ) = + n PO + an O E( MSPO) = + n PO E( MSE ) = όπου b είναι ο αριθμός των αναλυτών που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο, και a ο αριθμός των τεμαχίων που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο. Από αυτή τη σχέση ˆ ˆ ˆ ˆ P O PO = MS E MSP MSE = n MSO MSE = o MSP MS = on PO MS MS MS MS P O PO E = = p 1 SSOperators = o 1 SSPxO = ( p 1)( o 1) ΔΧ 57

58 58

59 59

60 60

61 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα Βalanced ANOVA από το Μinitab Με βάση τίς τιμές του Ρ, η επίδραση στη μεταβλητότητα 1. Από τα τεμάχια είναι μεγάλη,. Από τούς αναλυτές είναι μικρή, και 3. Απο το συνδυασμό τεμαχίων-αναλυτών δεν είναι σημαντική ˆ P ˆ PO = (3)(3) = 48.9 ; = = 0.73 ; ˆ ˆ O = (10)(3) = 0.51 =

62 6

63 18/1/01 ΔΧ 63

64 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Από καιρού σε καιρό, βρίσκουμε από την ΑΝΟVΑ μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας να είναι αρνητική, πράγμα που δεν είναι λογικό γιατί, λόγω ορισμού τους, οι μεταβλητότητες είναι πάντα θετικές. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να διορθωθεί αυτό: 1. Αν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, εξισώνουμε την τιμή της με μηδέν και αφήνουμε τις υπόλοιπες όπως είναι,. Όταν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, συνήθως έχουμε γι αυτή τη συνιστώσα όχι σημαντική επίδραση από την αντίστοιχη αιτία. Μπορούμε να θεωρήσουμε, χωρίς μεγάλο λάθος, ότι η τιμή της συνιστώσας αυτής είναι μηδέν, και να επαναλάβουμε τόν υπολογισμό των συνιστωσών της μεταβλητότητας με μέθοδο διαφορετική από την ΑΝΟVΑ που εξασφαλίζει θετικές συνιστώσες μεταβλητότητας Στο παραπάνω παράδειγμα, σ ΡΟ 0, δηλ., δεν υπάρχει συνδυασμένη επίδραση τεμαχίουαναλυτή. Γι αυτό το λόγο, θεωρούμε το ελλειπές (reduced) μοντέλο y ijk = μ + Ρ i + O j + ε ijk Συνήθως θεωρούμε το σ σαν επαναληπτικότητα (repeatability) και το άθροισμα των συνιστωσών της μεταβλητότητας εξ αιτίας των αναλυτών και του συνδυασμού τεμαχίουαναλυτή σαν aναπαραγωγιμότητα (reproducibility) σ reproducibility = σ Ο + σ ΡΟ σ repeatability = σ 64

65 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) σ Gauge = σ reproducibility + σ repeatability Για το παράδειγμα ˆ ˆ + ˆ + ˆ = = 1.80 Gauge = O PO Ο λόγος Ρ/Τ του αναλυτή υπολογίζεται από τη σχέση 6 ˆ Gauge 6(1.80) P /ˆ T = = = 0.7 USL LSL Ο αναλυτής δεν θεωρείται ικανός αν Ρ/Τ > 0.10, οπότε και στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν έχουμε ένα ικανό σύστημα ανάλυσης 65

66 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Λανθασμένα και αποδεχθέντα ελαττωματικά Η πραγματική ικανότητα του συστήματος μέτρησης να διαχωρίζει μεταξύ απορριπτέων και αποδεκτών προϊόντων δεν μπορεί να εκφρασθεί από τους λόγους ικανότητας Ρ/Τ, SNR και DR που δεν είναι άμεσα μεταφράσιμοι Ας θεωρήσουμε το μοντέλο y = x + ε όπου y είναι η μετρηθείσα τιμή, x η πραγματική τιμή, και ε το λάθος μέτρησης. Οι τυχαίες μεταβλητές x και ε έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σ Ρ και σ Gauge αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f(x,y),ειναι κανονική με δυο μεταβλητές, διάνυσμα μέσου [μ x, μ y ] Τ και πίνακα συνδυακύμανσης (covariance matrix) P Total P P 66

67 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) y = x + ε To προϊόν (τεμάχιο) είναι αποδεκτό, αν LSL < x < USL (1) To σύστημα μέτρησης θα χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, αν LSL < y < USL () Aν η σχέση (1)ισχύει και η σχέση () δεν ισχύει, ένα αποδεκτό προϊόν (τεμάχιο) έχει αποτύχει κατά λάθος (κίνδυνος για τον παραγωγό, producer s risk) Αν η σχέση (1) δεν ισχύει και η σχέση () ισχύει, ένα απορριπτέο προϊόν (τεμάχιο) έχει γίνει αποδεκτό κατά λάθος (κίνδυνος για τον καταναλωτή, consumer s risk) 67

68 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) O κίνδυνος για τον παραγωγό (producer s risk), α, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να αποτύχει για ένα προϊόν (τεμάχιο), όταν το προϊόν (τεμάχιο) ικανοποιεί τις προδιαγραφές (ψεύτικη αποτυχία,false Failure ) O κίνδυνος για τον καταναλωτή (consumer s risk), β, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, όταν το προϊόν (τεμάχιο) δεν ικανοποιεί τις προδιαγραφές (λανθασμένη επιτυχία, Missed Fault) Τα α και β υπολογίζονται από τις σχέσεις a = USL LSL LSL f ( x, y) dydx+ USL LSL USL LSL USL f ( x) dx f ( x, y) dydx ; = LSL USL LSL f ( x, y) dydx+ 1 USL LSL USL USL LSL f ( x) dx f ( x, y) dydx 68

69 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Οι περιοχές ψεύτικη αποτυχία (False Failure), και λανθασμένη επιτυχία (Missed Fault), ενός συστήματος ελέγχου δείχνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί, και οριοθετούνται από κλειστές καμπύλες (contours). Στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουμε τα μ, σ Ρ και σ Τοταl, και οι προσεγγιστικές τιμές τους, δεν λένε τίποτε για την αβεβαιότητα στις τιμές. Αντί γι αυτό χρησιμοποιούμε διαστήματα εμπιστοσύνης για τις συνιστώσες της μεταβλητότητας Τα β και α υπολογίζονται για διάφορα σενάρια που υποδεικνύονται από τα διαστήματα εμπιστοσύνης των συνιστωσών της μεταβλητότητας. Για παράδειγμα, ένα απαισιόδοξο (pessimistic) σενάριο είναι να θεωρήσουμε την χειρότερη απόδοση (performance) για το σύστημα μέτρησης και χειρότερη ικανότητα για την διεργασία. Για να γινει αυτό, δίνουμε στο σ Ρ την τιμή του άνω ορίου του διaστήματος εμπιστοσύνης (για σ Ρ ) και βρίσκουμε την τιμή του σ Τοταl που παρέχει το κατώτερο όριο για το ρ Ρ. Αντίστροφα, ένα αισιόδοξο (οptimistic) σενάριο συνδυάζει την καλλίτερη δυνατή απόδοση για το σύστημα ελέγχου με την καλλίτερη ικανότητα του συστήματος μέτρησης P = P Total SNR = p 1 p 69

70 Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και Αναπαραγωγιμότητας (Gauge of Repeatability & Reproducibility) Ο πίνακας παρακάτω δείχνει υπολογισμό των κινδύνων για τον παραγωγό και τον καταναλωτή, α και β, αντίστοιχα, για τα δυο σενάρια που εξετάστηκαν πιο πάνω, απαισιόδοχο (pessimistic), για την χειρότερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας, και αισιόδοξο (οptimistic), για την καλλίτερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας. Για το απαισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το άνω όριο για το σ Ρ και το κάτω όριο για το ρ Ρ. Για το αισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το κάτω όριο για το σ Ρ και το άνω όριο για το ρ Ρ 70