( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

Transcript

1 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον ( α,β) τέτοιος ώστε ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = η. (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε µε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω προτάσεις: i. Για κάθε z, w µιγαδικούς ισχύει η ισοδυναµία z= w z = w. Σ Λ ii. Αν η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( α,β) τότε η δεν παρουσιάζει ακρότατο στο. Σ Λ iii. Για µια συνάρτηση ορισµένη στο! ισχύει η ισοδυναµία = = Σ Λ c e iv. Αν είναι περιττή και συνεχής στο διάστηµα [ α,α ], α > τότε ισχύει α d = Σ Λ α v. Αν lim ( ) = και lim g = τότε ισχύει ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β lim lim =, µε g g g( ), για κάθε!. Σ Λ (Μονάδες 1) 1

2 ΘΕΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Θέµα ο Α. Έστω z " µε z 3 τότε: i. Να δειχτεί ότι = και εικόνα το σηµείο Α. Αν ισχύει = ( ) 3 3 z 5 i w + + =. ii. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Β του µιγαδικού w. z 1 i w iii. Αν το σηµείο Α είναι σηµείο του θετικού ηµιάξονα Οy, να υποογιστεί η απόσταση της εικόνας B( w ) από τον άξονα. iv. Να δειχτεί ότι το µήκος ( AB ), µε A( z ) και B( w ) είναι σταθερό. (Μονάδες 7) Θέµα 3 ο = α + β, α, β!. ίνεται η συνάρτηση 3 * i. Να βρεθούν οι τιµές των α, β ώστε η γραφική παράσταση της ( ) να παρουσιάζει καµπή στο σηµείο A1,. ii. Για τις τιµές των α, β του ερωτήµατος (i) να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της. 19 d = κ σηµείων καµπής και τοπικού εαχίστου, µεγίστου αντίστοιχα. µ iii. Να δειχτεί ότι ( ) d (Μονάδες 7), όπου κ,, µ οι τετµηµένες των (Μονάδες )

3 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου iv. Αν η ευθεία (ε): y = ρ έχει ένα κοινό σηµείο µε την C να βρεθεί το διάστηµα τιµών του ρ. (Μονάδες 8) Θέµα ο Α. Έστω : (,+ )! παραγωγίσιµη που παρουσιάζει ακρότατο για 1 3 ισχύει ( ) = ( ) + e τότε: i. Να βρεθεί ο τύπος της ( ). ii. Να δειχτεί ότι η εξίσωση ( ) = έχει µοναδική ρίζα. Β. Έστω : [,]! παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο και γνησίως αύξουσα 1 στο [, ] µε ( ) = και ( ) =. Να δειχτεί ότι ( ) + ( ) d =. =. Αν (Μονάδες 5) Θέµα 1 ο Α. Θεωρία Β. i! Λάθος, ( ισχύει µόνο το ) ii! Λάθος, (π.χ. ( ) = έχει οικό εάχιστο στο =, αά δεν είναι παραγωγίσιµη στο ). iii! Σωστό iv! Σωστό v! Λάθος, (µπορεί οι συναρτήσεις ( ) ή g( ) να µην είναι παραγωγίσιµες). Θέµα ο i. Είναι υπ z i w = 1 i w i w = 1 i w i w = = 1 i + 5+ i w = 1 3 i 6+ i+ 5+ i w = w = ii. Είναι ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z= 1 i w z = 1 i w 3 = 1 i w 3 = 1+ w 3

4 ΘΕΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 3 = 3 w w =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων B( w ) είναι ο κύκος C : iii. Αν A( z ) είναι σηµείο του θετικού ηµιάξονα Οy τότε z= + 3i και A(, 3 ), αφού z = 3. Άρα z= ( 1 i) w 3i= ( 1 i) w 3i( 1+ i) 3i 6 3 w = = = + i 1 i 1 i 1+ i 3 3 Άρα d( B, ) 3 =, αφού 3 iv. Είναι 6 3 Β, 3 3 ( β) + y = ΑΒ = z w = 1 i w w = iw = i w = =. Άρα το µήκος ( AB ) είναι σταθερό και ανεξάρτητο της θέσης των Α και Β. Θέµα 3 ο i. Είναι ( ) = 3α + β και ( ) = 6α+ β. Για να είναι το A1, σηµείο καµπής της C πρέπει ( 1) =, () 1 = και η να αάξει πρόσηµο εκατέρωθεν του = 1. () 1 = 3 α 1 + β 1 = α+ β= () 1 = 6α 1+ β = 3α+ β= Για α = 1 και β = είναι παρουσιάζει καµπή στο A1,. ii. Για α = 1, β 3 3 = έχουµε και ( ) = = 3 ( ) ( ) = 3( ) = = ή Άρα η α = 1, β = 3. = +. Άρα για α = 1 και β = 3 η C = + 3 =. παρουσιάζει τοπικό εάχιστο ( ) ( ) ο ο +

5 για = και τοπικό µέγιστο για =. iii. Είναι µ 3 3 κ 1 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου d d = + 3 d + 3 d = = + + = ( + 8+ ) = = 1+ 8=, iv. Η ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ), γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Παρουσιάζει τοπικό εάχιστο για = που είναι ( ) = και τοπικό µέγιστο για = που είναι ( ) =., και Άρα για ρ > ή ρ < η ευθεία (ε): y = ρ τέµνει την C σε ένα µόνο σηµείο αφού η ( ) είναι συνεχής στο! ως πουωνυµική. Θέµα ο Α. i. Επειδή η είναι παραγωγίσιµη στο = 1, από το θεώρηµα Fermat θα ισχύει Είναι ( ) ( ) ( ), + και παρουσιάζει ακρότατο για 1 = (1). e e 3 3 = + = = e = e + e e = 1 e + e 1 = 1 e ( ) = ( 1) e + c (). Για = 1 έχουµε (υποθ.) 1() 1 () Άρα για = 1 η σχέση () γίνεται: Άρα () 1 () 3 1 = e 1 = e. () 1 1 = ( 1 1) 1 e + c e= c 6 : = 1 e e = e e 5

6 ΘΕΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ii. Η εξίσωση ( ) = έχει προφανή ρίζα = 1 (σχέση άη ρίζα ρ > 1. Τότε () 1 = ( ρ) = είναι = 1 e + e e= e + 1 e Η ( ) είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( 1, ρ ) για τον ίδιο όγο µε 1 ). Έστω ότι έχει και 1, ρ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και e 1 e 1 e 3 = = +. Επίσης () 1 = ( ρ) και από το θεώρηµα Rolle θα υπάρχει ξ ( 1, ρ) ( ξ) =! ΑΤΟΠΟ, διότι η εξίσωση ( ) = έχει ρίζες που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της ( ), αφού A = (, + ). Όµοια αν < ρ < 1. Άρα η ρίζα = 1 της εξίσωσης ( ) Β. Επειδή η ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] θα είναι 1 1 και 1 εποµένως αντιστρέφεται. Έστω ( ) = n, οπότε = ( n) και = Αν = τότε n1 1 = ( ) =, διότι = = = Αν = τότε n 1 = ( ) =, διότι ( ) = Άρα ώστε = και = 3 = είναι µοναδική. d n dn ( ) = ( ) ( ) d = ( ) d d = n ndn = n n n ndn = ndn = Άρα d + d = + d = 1 1 Επιµέεια: Μακρίδης Ηίας 6