Γραμμές Μεταφοράς. Α. Δροσόπουλος. 19 Μαΐου Εισαγωγή 2. 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς 5

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμές Μεταφοράς. Α. Δροσόπουλος. 19 Μαΐου Εισαγωγή 2. 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς 5"

Transcript

1 Γραμμές Μεταφοράς Α. Δροσόπουλος 19 Μαΐου 214 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς 5 3 Χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση 5 4 Γραμμές μεταφοράς μικρού και μεγάλου μήκους 7 5 Επιδερμικό φαινόμενο 8 6 Εξισώσεις των γραμμών μεταφοράς 8 7 Λύση όταν οι απώλειες είναι αμελητέες 1 8 Λύση των αρμονικών εξισώσεων 11 9 Μοντέλο δίθυρου 14 1 Λύση των αρμονικών εξισώσεων - Συνέχεια Συντελεστής ανάκλασης και λόγος στασίμου κύματος Η γραμμή μεταφοράς σαν στοιχείο κυκλώματος Μετάδοση βαθμίδας τάσης σε γραμμή μεταφοράς Μετάδοση παλμών σε γραμμή μεταφοράς 28 1

2 1 Εισαγωγή Οι γραμμές μεταφοράς είναι συστήματα δυο ή περισσοτέρων αγωγών που χρησιμοποιούνται στη «οδήγηση» (μεταφορά) ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ δυο σημείων. Ένα παράδειγμα είναι το ομοαξονικό καλώδιο που συνδέει το δέκτη τηλεόρασης με την αντίστοιχη κεραία. Άλλο παράδειγμα, η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από έναν ηλεκτρικό υποσταθμό στο σπίτι μας. Στόχος της γραμμής μεταφοράς είναι η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από κάποιο πομπό σε κάποιο δέκτη με τις ελάχιστες δυνατές απώλειες. Αυτή η μεταφορά εξαρτάται από τη συχνότητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που μεταφέρουν την ενέργεια και τα φυσικά και ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των συστημάτων μεταφοράς/οδήγησης. Ο Πίνακας 1 δείχνει τρία συστήματα που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό ανάλογα με την απόδωση που έχουν για μεταφορά ενέργειας. Πίνακας 1: Συστήματα που χρησιμοποιούνται για μεταφορά/οδήγηση ηλεκτρικής ενέργειας Συχνότητα (Hz) Σύστημα μεταφοράς/οδήγησης ενέργειας 1 4 γραμμές μεταφοράς ισχύος / τηλεφωνικές γραμμές ομοαξονικά καλώδια ομοαξονικά καλώδια και κυματοδηγοί κυματοδηγοί 1 4 ασύμφορα για κεραίες (απαιτείται μεγάλο φυσικό μέγεθος) ραδιοφωνικά κύματα με κεραίες τηλεοπτικά σήματα με κεραίες ραντάρ Αν παρατηρήσουμε ένα ομοαξονικό καλώδιο θα δούμε ότι αποτελείται από έναν κεντρικό αγωγό στο εσωτερικό, μονωτικό υλικό, μεταλλικό πλέγμα (δεύτερος αγωγός) και την εξωτερική θήκη/περίβλημα. Ο εξωτερικός αγωγός περικλείει τελείως τον εσωτερικό και οι δυο αγωγοί είναι ηλεκτρικά απομονωμένοι λόγω του μονωτικού μεταξύ τους. Τα καλώδια αυτά χρησιμοποιούνται στη μεταφορά ασθενών σημάτων τάσης εφόσον η δομή αυτή προσφέρει πολύ καλή θωράκιση σε εξωτερικές παρεμβολές/θόρυβο. Στο περίβλημα ενός ομοαξονικού καλωδίου, μεταξύ άλλων, γράφει ότι έχει αντίσταση 5 ohms. Πως μπορεί δυο αγωγοί, μονωμένοι μεταξύ τους με ένα παχύ στρώμα πλαστικού να έχουν αντίσταση 5 Ω; Εάν μετρήσουμε την αντίσταση μεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού αγωγού με ένα ωμόμετρο βλέπουμε ότι είναι άπειρη (ανοικτό κύκλωμα). Επίσης, εάν μετρήσουμε την αντίσταση κάθε αγωγού κατά μήκος, βλέπουμε ότι είναι πολύ μικρή. Πουθενά δεν βλέπουμε με ένα ωμόμετρο, όπως και να το συνδέσουμε στο καλώδιο, τιμή αντιστάσεως 5 Ω. Το ωμόμετρο βέβαια λειτουργεί σαν μια πηγή συνεχούς τάσης που στέλνει ένα συνεχές ρεύμα σε ένα κύκλωμα και με το νόμο του Ohm υπολογίζει την αντίσταση. Το σύστημα των αγωγών στο ομοαξονικό διαθέτει επαγωγική και χωρητική αντίσταση και τα πράγματα αλλάζουν στο εναλλασσόμενο, ιδίως σε καλώδια μεγάλου μήκους και υψηλής συχνότητας. Οι ιδιότητες αυτές καθιστούν τέτοια συστήματα δυο αγωγών πολύ χρήσιμα στη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας και ορίζουμε αυτά τα συστήματα σαν ξεχωριστά στοιχεία/οντότητες με το όνομα γραμμές μεταφοράς. Παράδειγμα 1.1 Ποιά είναι η χωρητικότητα ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, δυο αγωγών, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α; Υποθέτουμε ότι οι αγωγοί είναι ίδιοι με ακτίνα r ο καθένας και φορτίο +Q και Q αντίστοιχα. Επιπλέον υποθέτουμε ότι α r και ότι το φορτίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα στους αγωγούς και ότι η κατανομή αυτή στον ένα αγωγό δεν επηρεάζει την κατανομή του φορτίου στον άλλο αγωγό. Το ηλεκτρικό πεδίο γύρω από έναν φορτισμένο αγωγό μπορεί να βρεθεί με το θεώρημα Gauss. Θεωρούμε κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας r και μήκους l ομόκεντρη με τον αγωγό. Έχουμε τότε E ds = E ds = E S = Q ε S S E = Q εs = Q 2πrlε 2

3 Σχήμα 1: Παραδείγματα γραμμών μεταφοράς. Διακρίνουμε ζεύγη παραλλήλων αγωγών και ομοαξονικά καλώδια. Υπάρχουν επίσης και γραμμές microstrip που υλοποιούνται σε ηλεκτρικές PCB πλακέτες. +Q Q A r l r a Σχήμα 2: Υπολογισμός χωρητικότητας γραμμής δυο αγωγών. 3

4 Επομένως, η ένταση του πεδίου (μέτρο) στο σημείο Α μεταξύ των δυο αγωγών είναι E 1 = Q 2πrlε και E 2 = Q 2π(α r)lε για τον κάθε αγωγό ξεχωριστά και E = E 1 + E 2 = Q 2πlε (1 r + 1 α r ) για το μέτρο της συνισταμένης έντασης από τους δυο αγωγούς ταυτόχρονα. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δυο αγωγών είναι α r U = Edr = Q α r α r 2πlε [ dr r + r r r dr α r ] = Q [ln r α r ln(α r) α r ] = 2πlε r r και η χωρητικότητα για α r. = Q 2πlε [ ln(α r ) ln r ln r + ln(α r )] = Q πlε ln α r r C = Q U = πεl ln α r r πεl ln α r Παράδειγμα 1.2 Ποιά είναι η χωρητικότητα ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, ομοαξονικού καλωδίου, με ακτίνες r 1, r 2 ; Q +Q r r 2 r 1 Σχήμα 3: Υπολογισμός χωρητικότητας ομοαξονικού καλωδίου. Το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των αγωγών στην περίπτωση αυτή οφείλεται μόνο στον εσωτερικό αγωγό και είναι Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δυο αγωγών είναι E = Q 2πrεl r 2 U = Edr = Q r2 2πεl dr r = r 1 r 1 Q 2πεl (ln r 2 ln r 1 ) = Q 2πεl ln r 2 r 1 και η χωρητικότητα C = Q U = 2πεl ln r 2 r 1 Παράδειγμα 1.3 Ποιά είναι η αυτεπαγωγή ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, δυο αγωγών ακτίνας α, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d; 4

5 I a d dr ds=ldr I l Σχήμα 4: Υπολογισμός αυτεπαγωγής γραμμής δυο αγωγών. Υπολογίζουμε καταρχήν την μαγνητική ροή στο χώρο μεταξύ των δυο αγωγών. Το μαγνητικό πεδίο B που δημιουργεί ο κάθε αγωγός όταν διαρρέεται από ρεύμα I, φαίνεται στο σχ. 4. Λόγω συμμετρίας θεωρούμε το πεδίο B σταθερό στη λουρίδα ds. Για έναν ευθύγραμμο αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα I έχουμε (νόμος Biot-Savart) Επομένως, λαμβάνοντας υπόψην και τους δυο αγωγούς, B d l = B dl = μ I B 2π r = μ I B = μi 2πr Φ = 2 B ds = 2l B dr = μil d α π dr r = μil π α d α ln μil α π όταν d α. Τελικά L = Φ I = μl π ln d α Η παραπάνω σχέση είναι μόνο προσεγγιστική γιατί έχει αγνοηθεί η εσωτερική αυτεπαγωγή που οφείλεται στη μαγνητική ροή μέσα στους ίδιους τους αγωγούς. Η τελευταία εξαρτάται έντονα από τη συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος και το επιδερμικό φαινόμενο. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζεται προσεγγιστικά και η αυτεπαγωγή ενός ομοαξονικού καλωδίου ότι είναι L = Φ I = μl 2π ln d α ln d α 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς Οι παραπάνω υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων χωρητικότητας και επαγωγής για παράλληλες γραμμές μεταφοράς και ομοαξονικά καλώδια γίνονται πιο σύνθετοι όσο ξεφεύγουμε από καταστάσεις συμμετρίας. Καταφεύγουμε τότε σε αριθμητικές μεθόδους που υλοποιούνται σε προγράμματα για τον υπολογιστή. Τα εμπορικά πακέτα με τέτοιες εφαρμογές έχουν υψηλό κόστος ανάλογα με το εύρος που καλύπτουν. Αναφέρεται εδώ η εφαρμογή ATLC [14], ανοικτού λογισμικού που βασίζεται στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (finite difference). Στο Σχ. 5 βλέπουμε τους υπολογισμούς της εφαρμογής για σύστημα δυο παραλλήλων αγωγών, συμμετρικού και μη-συμμετρικού ομοαξονικού. 3 Χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γραμμή μεταφοράς, με άπειρο μήκος αγωγών, χωρίς να τερματίζεται σε κάποιο φορτίο (ανοικτό κυκλωμα, σχ. 6a). Τι γίνεται όταν κλείσουμε τον διακόπτη; Θα υπάρξει κάποιο ρεύμα; Μεταξύ των γραμμών υπάρχει διηλεκτρικό (αέρας ή άλλο υλικό). Αυτό σημαίνει την ύπαρξη κάποιας χωρητικότητας μεταξύ των αγωγών που την φανταζόμαστε σαν μια σειρά παραλλήλων πυκνωτών (σχ. 6b). Όταν κλείσει ο διακόπτης εφαρμόζεται ξαφνική τάση στα άκρα των πυκνωτών που σημαίνει ότι θα τραβήξουν ρεύμα από την πηγή ανάλογα με τη σχέση i = C(du/dt) και να αρχίσουν να φορτίζονται. Για ιδανικό διακόπτη όπου dt, το ρεύμα θα ήταν i. Εκτός όμως από τη χωρητικότητα μεταξύ των αγωγών, υπάρχει και κάποια επαγωγή κατα μήκος τους, όπως είδαμε από τα προηγούμενα παραδείγματα. Η εικόνα γίνεται τώρα πιο σύνθετη (σχ. 6c). Ρεύμα σε κάποιο επαγωγέα σημαίνει τη 5

6 Σχήμα 5: Παραδείγματα εφαρμογής ATLC για σύστημα δυο παραλλήλων αγωγών, συμμετρικού και μη-συμμετρικού ομοαξονικού καλωδίου. Από αριστερά προς δεξιά φαίνεται το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου, η πυκνότητα ενέργειας και το πεδίο τάσης γύρω από τους αγωγούς. απειρο µηκος απειρο µηκος (a) απειρο µηκος (b) απειρο µηκος (c) (d) Σχήμα 6: Γραμμή μεταφοράς απείρου μήκους. Μια φυσική εικόνα. απειρο µηκος 1 km 1 km (a) (b) (c) Σχήμα 7: Γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους. 6

7 δημιουργία μαγνητικού πεδίου, την αποθήκευση ενέργειας στο πεδίο και την δημιουργία τάσης που αντιτίθεται στο αρχικό ρεύμα. Κάθε αγωγός στη γραμμή μεταφοράς τραβάει ρεύμα από τη πηγή λόγω της χωρητικότητας μεταξύ των αγωγών, και η επαγωγή κατα μήκος των αγωγών ελλατώνει την τάση κατά u = L(di/dt). Έτσι το ρεύμα που τραβάει η γραμμή δεν γίνεται ποτέ άπειρο. Η φόρτιση/εκφόρτιση πυκνωτών/πηνίων σημαίνει την μεταφορά ενέργειας με μορφή ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατα μήκος της γραμμής που μεταδίδεται με κάποια ταχύτητα v. Εφόσον η γραμμή δεν τερματίζεται, η κατανεμημένη χωρητικότητα δεν πρόκειται ποτέ να φορτιστεί στην τάση της πηγής και η κατανεμημένη επαγωγή δεν πρόκειται ποτέ να αφήσει το ρεύμα να γίνει πολύ μεγάλο. Το τελικό αποτέλεσμα των παραπάνω αλληλεπιδράσεων είναι να υπάρχει κάποια διαρροή ρεύματος από την πηγή, παρόλο που το κύκλωμα είναι ανοικτό, και η πηγή να βλέπει τη γραμμή μεταφοράς σαν κάποιο φορτίο, παρόλο που αυτή δεν τερματίζεται σε κάποιο φορτίο. Η αντίσταση/εμπέδηση που παρουσιάζει η γραμμή μεταφοράς ονομάζεται χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση και εξαρτάται από τη γεωμετρία και το υλικό της εκάστοτε γραμμής. Τα 5 Ω που αναφέραμε παραπάνω για το ομοαξονικό καλώδιο είναι η χαρακτηριστική του αντίσταση/εμπέδηση που θα μπορούσαμε να μετρήσουμε αν ήταν απείρου μήκους και είχαμε ιδανικό ωμόμετρο. Επομένως όταν η γραμμή μεταφοράς είναι απείρου μήκους η πηγή βλέπει μπροστά της αντίσταση ίση με την χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής. Τι συμβαίνει όταν η γραμμή μεταφοράς δεν είναι απείρου μήκους; Η ασυνέχεια στο τέλος της γραμμής δημιουργεί τις κατάλληλες συνθήκες ώστε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα που μεταδίδεται να υποστεί ανάκλαση και μέρος του να επιστέψει στην πηγή. Στο σχ. 7c θεωρούμε μια γραμμή μεταφοράς μήκους 1 km, με χαρακτηριστική αντίσταση 5 Ω και ταχύτητα μετάδοσης v =.6c όπου c = m/s η ταχύτητα του φωτός. Για ανοικτή γραμμή, σχ. 7a, όπου ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t =, η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για μs (χρόνος που περνάει για να πάει και να έρθει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα) και για t > μs βλέπει το ανοικτό κύκλωμα. Για βραχυκυκλωμένη γραμμή σχ. 7b, όπου ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t =, η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για μs (χρόνος που περνάει για να πάει και να έρθει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα) και για t > μs βλέπει το βραχυκύκλωμα. Η μόνη περίπτωση όπου δεν έχουμε ανακλάσεις είναι όταν η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο ίσο με την χαρακτηριστική της αντίσταση. Στην περίπτωση αυτή η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για όλη τη διάρκεια t >. Τέλος, στην περίπτωση όπου η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο διαφορετικό της χαρακτηριστικής αντίστασης έχουμε μερική ανάκλαση. Ανάκλαση έχουμε επίσης και στο ανακλώμενο κύμα που επιστρέφει στην πηγή όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής (ή η ισοδύναμη κατά Thevenin) δεν είναι ίση με τη χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής. Στα παραπάνω έχουμε θεωρήσει αμελητέα την ωμική αντίσταση κατα μήκος και μεταξύ των αγωγών της γραμμής μεταφοράς. 4 Γραμμές μεταφοράς μικρού και μεγάλου μήκους Σε DC και χαμηλής συχνότητας AC κυκλώματα, η χαρακτηριστκή εμπέδηση γραμμών μεταφοράς, συνήθως θεωρείται αμελητέα. Όπως είδαμε παραπάνω για γραμμές μεταφοράς μήκους 1 km που συνδέονται σε DC πηγή, η πηγή βλέπει την χαρακτηριστκή εμπέδηση μόνο για μs. Από κει και πέρα βλέπει το φορτίο που τερματίζεται η γραμμή. Αν η πηγή είναι χαμηλής συχνότητας AC, π.χ. 5 Hz, η περίοδος ενός ημιτόνου (κυματομορφής) διαρκεί 2 ms. Το διάστημα που διανύει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα μέσα σε αυτό το χρόνο όταν μεταδίδεται με την ταχύτητα του φωτός είναι 6 km. Το διάστημα αυτό το ονομάζουμε μήκος κύματος και είναι λ = v f όπου v η ταχύτητα μετάδοσης (εν γένει κλάσμα της ταχύτητας του φωτός) και f η συχνότητα του κύματος. Για το προηγούμενο παράδειγμα όπου v =.6c το αντίστοιχο λ είναι 36 km. Διαχωρίζουμε τις γραμμές μεταφορές σε «ηλεκτρικά» μικρού μήκους όταν το φυσικό τους μέγεθος είναι μικρότερο ή ίσο με λ/4 για τη συχνότητα της τάσης ή ρεύματος που μεταφέρουν. Για τα 5 Hz και v =.6c π.χ. το φυσικό μήκος θα πρέπει να ξεπεράσει τα 9 km για να θεωρήσουμε τα φαινόμενα μετάδοσης μη αμελητέα. Για συχνότητες RF όμως, π.χ. 1 MHz και για v =.6c το αντίστοιχο λ/4 = 45 cm. Γραμμές μεταφοράς για αυτή τη συχνότητα που έχουν φυσικό μήκος μεγαλύτερο από 45 cm είναι «ηλεκτρικά» μεγάλου μήκους. Για ηλεκτρικά μικρού μήκους γραμμές μεταφοράς αγνοούμε την χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής εφόσον η επίδρασή της διαρκεί για πολύ μικρό χρονικό διάστημα και η πηγή στο κύκλωμα βλέπει μόνο το τελικό φορτίο. Αντίθετα, για ηλεκτρικά μεγάλου μήκους γραμμές μεταφοράς, το φορτίο που βλέπει η πηγή επηρεάζεται σημαντικά από τη χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση της γραμμής (πολλαπλές ανακλάσεις). Μόνο όταν το φορτίο είναι ίδιο με τη χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση της γραμμής, μόνο τότε δεν έχουμε ανακλάσεις και η ανάλυση του κυκλώματος είναι απλή και χωρίς προβλήματα. 7

8 5 Επιδερμικό φαινόμενο Όταν σε μεταλλικό αγωγό κυκλοφορεί συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα θεωρούμε ότι οι φορείς του ρεύματος, τα ηλεκτρόνια, κινούνται ομοιόμορφα μέσα στον αγωγό από το ψηλό δυναμικο στο χαμηλό (συμβατική φορά ρεύματος). Τα πράγματα αλλάζουν στο εναλλασσόμενο. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που συνοδεύει τα φορτία τα κάνει να ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα. Οι αυξήσεις και μειώσεις στα πλάτη των ταλαντώσεων δημιουργούν φαινόμενα αυτεπαγωγής μεταξύ των φορτίων με αποτέλεσμα την επιβράδυνση των κινήσεών τους. Η μαγνητική ροή είναι εντονώτερη στο κέντρο άρα και η αντίσταση στην κίνηση των φορτίων είναι μεγαλύτερη εκεί. Η αντίσταση αυτή αυξάνεται με τη συχνότητα και εκτοπίζει τα φορτία από το κέντρο προς την επιφάνεια του αγωγού. Για παράδειγμα, σε χάλκινο αγωγό, για f > 1 MHz, η κίνηση των ηλεκτρονίων στο κέντρο είναι τόσο μικρή έτσι ώστε να μπορούμε να αφαιρέσουμε το υλικό στο κέντρο χωρίς να παρατηρήσουμε κάποια αισθητή διαφορά στην μετάδοση του ηλεκτρικού ρεύματος I/I x/δ Σχήμα 8: Πυκνότητα ρεύματος από την επιφάνεια του αγωγού x/δ = προς το κέντρο. Μέσα στην επιδερμίδα δ βρίσκεται το 63% του ρεύματος. Το υπόλοιπο 27% συνεχίζει μέχρι το κέντρο. Η σχέση που προσδιορίζει το πάχος της επιδερμίδας δ, το πάχος που η πυκνότητα του ρεύματος πέφτει στο 1/e της επιφανειακής τιμής είναι δ = 2ρ ωμ όπου ρ η ειδική αντίσταση του αγωγού και μ = μ μ r η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Για τον χαλκό, ρ = Ω m και μ = N/A 2. Οπότε για f = 1 MHz έχουμε δ = 6.6 μm. Τονίζεται επίσης το γεγονός ότι εφόσον το ρεύμα συγκεντρώνεται σε μικρότερη επιφάνεια, η αντίσταση στη διέλευσή του μεγαλώνει. Αυτός είναι και ο λόγος που η αντίσταση των γραμμών μεταφοράς προσδιορίζεται από μέτρηση της ισχύος και του ρεύματος από τη σχέση R = P /I 2. Όπως αναφέρθηκε μπορούμε να αφαιρέσουμε μεγάλο μέρος από το εσωτερικό ενός μεταλλικού αγωγού ή να το αντικαταστήσουμε με κάποιο άλλο υλικό ή ακόμα να κάνουμε κάποια επίστρωση π.χ. με ασήμι (καλύτερη αγωγιμότητα από το χαλκό) σε πυρήνα από σίδερο. Για παράδειγμα, στη μεταφορά υψηλής τάσης και ρεύματος, οι γραμμές μεταφοράς αποτελούνται από πολλούς αλουμινένιους αγωγούς στριφογυρισμένους γύρω από χαλύβδινους αγωγούς που στηρίζουν καλύτερα τα χιλιόμετρα των γραμμών μεταφοράς χωρίς επίπτωση στις ολικές ηλεκτρικές ιδιότητες που αφορούν τη μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας. 6 Εξισώσεις των γραμμών μεταφοράς Θα δούμε στα παρακάτω μια εισαγωγή στη θεωρία των γραμμών μεταφοράς σε δίκτυα διανομής. Η θεωρία αυτή αναπτύχτηκε για να προσδιορίζονται οι εμπεδήσεις, τάσεις και ρεύματα σε ένα δίκτυο έτσι ώστε να τερματίζεται κατάλληλα για μέγιστη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από πηγή σε φορτίο. Βασική προϋπόθεση επίσης είναι ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα πρέπει να έχουν μήκος κύματος της ίδιας τάξης μεγέθους με το μήκος της γραμμής μεταφοράς. Αλλοιώς απαιτείται θεωρία κυματοδηγών ή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με κεραίες. Θεωρούμε επίσης ότι έχουμε σταθερά ηλεκτρικά χαρακτηριστικά, ότι το αρχικό σήμα/ενέργεια έχει έξοδο και δρόμο επιστροφής και ότι τα ηλεκτρομαγνητικά 8

9 κύματα από τα οποία απαρτίζεται είναι εγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα (ΤΕΜ) όπου το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση μετάδοσης. Όταν εφαρμοστεί μια τάση στο ένα άκρο μιας γραμμής μεταφοράς, η κυματομορφή της τάσης ταξιδεύει στη γραμμή με ταχύτητα που προσδιορίζεται απο τα χαρακτηριστικά της γραμμής. Όταν το κύμα φτάσει στο άλλο άκρο, γίνεται ολική ανάκλαση, μερική ανάκλαση ή ολική απορόφηση από το φορτίο. Το τι γίνεται εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της γραμμής και το φορτίο τερματισμού. Ανάκλαση σημαίνει στάσιμα κύματα με μήκος κύματος που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της γραμμής και το φορτίο. Για μέγιστη μεταφορά ενέργειας τα χαρακτηριστικά του φορτίου πρέπει να ταιριάζουν με τα χαρακτηριστικά της γραμμής. Σε μια γραμμή μεταφοράς διακρίνουμε τα εξης μεγέθη, την σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση και τη σύνθετη αγωγιμότητα. Η πρώτη είναι απλωμένη κατά μήκος της γραμμής και η δεύτερη περιγράφει τις διαρροές μεταξύ του ζεύγους αγωγών που αποτελούν τη γραμμή. Η εμπέδηση χωρίζεται σε μια πραγματική, σταθερή αντίσταση και μια επαγωγή που εξαρτάται από τη συχνότητα. Η σύνθετη αγωγιμότητα χωρίζεται σε μια πραγματική, σταθερή αγωγιμότητα και μια χωρητικότητα που εξαρτάται πάλι από τη συχνότητα. Σε γραμμές μεταφοράς οι παραπάνω παράμετροι είναι απλωμένοι με συνεχή τρόπο σε όλη τη γραμμή. Το παραπάνω μοντέλο ισχύει με καλή ακρίβεια μέχρι περίπου 1 GHz. Θεωρούμε ένα μικρό τμήμα από μια γραμμή μεταφοράς, δυο παράλληλοι αγωγοί μήκους Δx όπως φαίνεται στο σχ. 9. i(x,t) R x L x N i(x+ x,t) + + u(x,t) G x C x u(x+ x,t) - - x x x+ x Σχήμα 9: Μοντέλο γραμμής μεταφοράς Οι παράμετροι του τμήματος είναι R, ωμική αντίσταση ανά μονάδα μήκους (ζεύγος αγωγών) σε Ω/m L, επαγωγή ανά μονάδα μήκους (ζεύγος αγωγών) σε H/m G, αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους σε S/m C, χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους σε F/m Οι μεταβλητές u(x, t), u(x + Δx, t) είναι η στιγμιαία τάση στα σημεία x και x + Δx. Ομοίως, οι μεταβλητές i(x, t), i(x + Δx, t) είναι το στιγμιαίο ρεύμα στα σημεία x και x + Δx. Εφαρμογή του κανόνα τάσης του Kirchhoff στο βρόγχο μας δίνει i(x, t) RΔx i(x, t) + LΔx + u(x + Δx, t) u(x, t) = t u(x + Δx, t) u(x, t) i(x, t) = Ri(x, t) + L Δx t και στο όριο Δx έχουμε u(x, t) i(x, t) = Ri(x, t) + L x t Εφαρμογή του κανόνα ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Ν μας δίνει i(x, t) GΔx u(x + Δx, t) CΔx u(x + Δx, t) t i(x + Δx, t) = i(x + Δx, t) i(x, t) u(x + Δx, t) = Gu(x + Δx, t) + C Δx t και στο όριο Δx έχουμε 9

10 i(x, t) u(x, t) = Gu(x, t) + C x t Οι παραπάνω εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσεις γραμμών μεταφοράς ή εξισώσεις τηλεγράφου (telegrapher s equations). Μια συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους είναι η μέθοδος διαγωνιζομένων μεταβλητών. Για δυο μεταβλητές π.χ., δεχόμαστε ότι η λύση είναι της μορφής f(x, t) = X(x)T (t) και εφαρμόζοντας οριακές και αρχικές συνθήκες επιχειρούμε να λύσουμε τις εξισώσεις υπό μορφή σειρών. Μια παραπάνω απλοποίηση είναι να θεωρήσουμε αρμονική εξάρτηση από το χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση που εξαρτάται από το χρόνο είναι ημιτονοειδούς μορφής, T (t) cos(ωt + φ). Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε λύσεις της μορφής: u(x, t) = U r (x) cos(ωt + φ u ) i(x, t) = I r (x) cos(ωt + φ i ) όπου U r (x), I r (x) είναι πραγματικές συναρτήσεις μόνο της θέσης x. Έχουμε τότε: u(x, t) = U r (x) cos(ωt + φ u ) = Re[U r (x)e j(ωt+φ u) ] = Re[U r (x)e jφ u e jωt ] = Re[U(x)e jωt ] i(x, t) = I r (x) cos(ωt + φ i ) = Re[I r (x)e j(ωt+φ i) ] = Re[I r (x)e jφ i e jωt ] = Re[I(x)e jωt ] όπου U(x) = U r (x)e jφ u = Ur (x)/φ u και I(x) = I r (x)e jφ i = Ir (x)/φ i οι φάσορες (παραστατικοί μιγάδες) τάσης και ρεύματος. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεταβλητές αντικαθιστούμε στις εξισώσεις τηλεγράφου u(x, t) U(x)e jωt i(x, t) I(x)e jωt και έχουμε du(x) dx di(x) dx = (R + jωl)i(x) = (G + jωc)u(x) τις αρμονικές εξισώσεις γραμμών μεταφοράς όπου U(x) και I(x) είναι φάσορες (παραστατικοί μιγάδες) της τάσης και του ρεύματος στη θέση x. Επανακτούμε τις κυματομορφές u(x, t) και i(x, t) από u(x, t) = Re[U(x)e jωt ] i(x, t) = Re[I(x)e jωt ] 7 Λύση όταν οι απώλειες είναι αμελητέες Μια παρένθεση εδώ. Υπάρχει ακόμα μια απλοποίηση που μπορεί να γίνει στις αρχικές εξισώσεις τηλεγράφου που αποτελεί μια καλή προσέγγιση σε πολλές εφαρμογές. Η παραδοχή ότι έχουμε αμελητέες απώλειες. Αυτό σημαίνει ότι R = G = και οι γενικές εξισώσεις απλοποιούνται σε u(x, t) i(x, t) = L x t και i(x, t) x = C u(x, t) t Παραγωγίζοντας τη μια εξίσωση ως προς την απόσταση και την άλλη ως προς το χρόνο και αντικαθιστώντας τη μια στην άλλη, έχουμε 2 u x 2 = LC 2 u 2 i t 2 και x 2 = LC 2 i t 2 δυο εξισώσεις με την ίδια μαθηματική μορφή. Η μορφή αυτή αναγνωρίζεται ότι είναι η κλασσική κυματική εξίσωση όπου η ταχύτητα μετάδοσης είναι 2 y x 2 = 1 2 y v 2 t 2 v = 1 LC 1

11 t= 1 t=.5.5 t=dt t=dt x x Σχήμα 1: Κύματα που ταξιδεύουν δεξιά ή αριστερά. Η γενική λύση της κυματικής εξίσωσης είναι γνωστή και είναι της μορφής y(x, t) = y + (t x v ) + y (t + x v ) το άθροισμα ενός κύματος y + που ταξιδεύει προς τα δεξιά και ενός y που ταξιδεύει προς τα αριστερά, Μπορούμε να «ακολουθήσουμε» το όρισμα t x/v (διατηρώντας το σταθερό) αν μετακινηθούμε απόσταση dx = +vdt, δηλ. κινηθούμε προς τα δεξιά με ταχύτητα v. Επίσης, μπορούμε να «ακολουθήσουμε» το όρισμα t + x/v (διατηρώντας το σταθερό) αν μετακινηθούμε απόσταση dx = vdt, δηλ. κινηθούμε προς τα αριστερά με ταχύτητα v. 8 Λύση των αρμονικών εξισώσεων Ακολουθώντας την ιδέα που εφαρμόσαμε στο προηγούμενο εδάφιο, παίρνουμε τις γενικές αρμονικές εξισώσεις με τους φάσορες U(x), I(x) du dx = (jωl + R) I (1) di = (jωc + G) U (2) dx Παραγωγίζοντας την (1) ως προς x και αντικαθιστώντας την (2) στο αποτέλεσμα, έχουμε όπου γ = (jωl + R)(jωC + G) = a + jb. d 2 U dx 2 = (jωl + R)(jωC + G) U = γ2 U (3) Η σταθερά γ ονομάζεται σταθερά μετάδοσης (propagation constant), έχει διαστάσεις [m 1 ], το πραγματικό της μέρος a είναι η σταθερά απόσβεσης (attenuation constant) με διαστάσεις Np/m και το φανταστικό της μέρος b είναι η σταθερά φάσης (phase constant) με διαστάσεις rad/m. Ομοίως και για το ρεύμα I, αν παραγωγίσουμε την (2) ως προς x και αντικαταστήσουμε την (1) στο αποτέλεσμα, καταλήγουμε στην d 2 I dx 2 = γ2 I (4) Όπως και στη γενική λύση της κυματικής εξίσωσης με αμελητέες απώλειες, οι φάσορες U(x) και I(x) μπορούν να γραφούν σαν άθροισμα κυματομορφών τάσης και ρεύματος που ταξιδεύουν δεξιά και αριστερά στη γραμμή μεταφοράς U(x) = U + (x) + U (x) = U + e γx + U eγx I(x) = I + (x) + I (x) = I + e γx + I eγx Στις παραπάνω εξισώσεις βλέπουμε ότι η λύση είναι εκθετικής μορφής ως προς τη μεταβλητή x και τα πλάτη U +, U, I +, I είναι σταθερά. 11

12 Αποδεικνύεται ότι U + I + = U I = R + jωl γ εάν ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία: du dx = (jωl + R) I [ γu + e γx + γu eγx ] = (jωl + R)[I + e γx + I eγx ] [γu + ]e γx [γu ]eγx = [(R + jωl)i + ]e γx + [(R + jωl)i ]eγx Εξισώνοντας τους συντελεστές των e γx και e γx έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα. Η σημασία του αποτελέσματος είναι ότι τα κύματα τάσης όταν φθάσουν στο τέλος της γραμμής απλώς ανακλώνται με την ίδια φάση ενώ τα κύματα ρεύματος ανακλώνται αλλάζοντας ταυτόχρονα και τη φάση τους κατά 18. Για γραμμή απείρου μήκους δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα και U(x) = U + e γx I(x) = I + e γx Στην περίπτωση αυτή ο λόγος της τάσης ως προς το ρεύμα είναι η χαρακτηριστική αντίσταση /εμπέδηση της γραμμής Z = U(x) I(x) = U + I + = R + jωl γ = γ G + jωc = R + jωl G + jωc I i I L Z g + U g U (γ,z ) i Z L U L - Z i x= x =l x x =l-x x=l x = Σχήμα 11: Γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους με φορτίο τερματισμού Z L. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους l, με χαρακτηριστική αντίσταση /εμπέδηση Z και φορτίο τερματισμού Z L. Μια ημιτονική πηγή τάσης U g / με εσωτερική εμπέδηση Z g είναι συνδεδεμένη στην αρχή της γραμμής στο x =. Οι εξισώσεις που έχουμε είναι U(x) = U + e γx + U eγx I(x) = I + e γx + I eγx U + I + = U I = Z Δοθέντων των χαρακτηριστικών της γραμμής: γ, Z και l, έχουμε τέσσερις αγνώστους: U +, U, I+ και I. Οι άγνωστοι αυτοί δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους εφόσον συνδέονται στα x = και x = l από ( U I ) = U i = Z x= I i και ( U i I ) = U L = Z x=l I L L όπου Z i η εμπέδηση εισόδου στη γραμμή και Z L η εμπέδηση του φορτίου τερματισμού στην έξοδο. Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε την τάση U(x) και το ρεύμα I(x) στην είσοδο και έξοδο μιας γραμμής μεταφοράς μήκους l ως εξής: U i = U(x = ) = U + + U 12

13 I i = I(x = ) = U + Z U Z U L = U(x = l) = U + e γl + U eγl I L = I(x = l) = U + Z e γl U Z e γl Λύνοντας τις δυο τελευταίες εξισώσεις ως προς U + και U έχουμε U + = 1 2 (U L + I L Z )e γl οπότε οι δυο πρώτες γράφονται ως: U = 1 2 (U L I L Z )e γl U i = U + + U = 1 2 (U L + I L Z )e γl (U L I L Z )e γl = U L e γl + e γl 2 + I L Z e γl e γl 2 = U L cosh(γl) + I L Z sinh(γl) I i = U + Z U Z = 1 2Z (U L + I L Z )e γl 1 2Z (U L I L Z )e γl = ή, υπό μορφή πινάκων: U L e γl e γl e γl + e γl + I Z 2 L = U L sinh(γl) + I 2 Z L cosh(γl) ( U i I i ) = cosh(γl) sinh(γl) Z Z sinh(γl) cosh(γl) ( U L IL ) = ( A B C D ) ( U L ) IL όπου χρησιμοποιήσαμε τις υπερβολικές συναρτήσεις sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z C. Η παραπάνω σχέση μας δίνει τα U i, I i εάν γνωρίζουμε τα U L, I L και τα χαρακτηριστικά της γραμμής μεταφοράς Z, γ, l. Στην περίπτωση όπου γνωρίζουμε τα U i, I i μπορούμε να υπολογίσουμε τα U L, I L αντιστρέφοντας τον πίνακα: ( U L IL ) = ( 1 A B C D ) ( U i ) = I i εφόσον AD BC = cosh 2 (γl) sinh 2 (γl) = 1. ( 1 D B ( AD BC C A ) ( U i ) = I i D B C A ) ( U i I i ) Οι παραπάνω σχέσεις με πίνακες οδηγούν στο μοντέλο της γραμμής μεταφοράς σαν δίθυρο όπως φαίνεται στο σχ. 12. I i I L I 1 I 2 U i U L U 1 U 2 Σχήμα 12: Γραμμή μεταφοράς σαν δίθυρο (αριστερά) και γενικό μοντέλο διθύρου (δεξιά). 13

14 9 Μοντέλο δίθυρου Σύμφωνα με το μοντέλο δίθυρου η τάση και το ρεύμα, εισόδου σε και εξόδου από μια γραμμή μεταφοράς σχετίζονται ως ( U 1 I 1 ) = ( A B C D ) ( U 2 I 2 ) και ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) Το μοντέλο διθύρου διευκολύνει πολύ τη μελέτη της επίδρασης ενός καναλιού επικοινωνιών, που αποτελείται από τμήματα γραμμών μεταφοράς, σε μια πραγματική εγκατάσταση. Θα χρειαστούμε όμως πρώτα τα μοντέλα για μερικά απλά δίθυρα. I 1 Z I 2 I 1 I 2 U 1 U 2 U 1 Y U 2 (a) (b) I 1 I 2 I 1 Z s I 2 U 1 U 2 U 1 Z p U 2 (c) (d) Σχήμα 13: Μερικά απλά δίθυρα Για το εν σειρά δίθυρο έχουμε ( A B C D ) = ( 1 Z 1 ) U 1 = U 2 + ZI 2 I 1 = I 2 όπου η πρώτη σχέση είναι ο κανόνας τάσεων στο βρόγχο που σχηματίζει το δίθυρο ενώ η δεύτερη σχέση δείχνει απλώς ότι ένας κλάδος διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα. Για το παράλληλο δίθυρο ( A B C D ) = ( 1 Y 1 ) U 1 = U 2 I 1 = Y U 2 + I 2 Η πρώτη σχέση λέει απλώς ότι η τάση στα άκρα μιας αντίστασης είναι ίδια. Η δεύτερη είναι πάλι ο κανόνας ρευμάτων στον επάνω κόμβο. Μπορούμε τώρα να συνδέσουμε το εν σειρά και παράλληλο δίθυρο (Σχ. 13 (d)) ως εξής: Οι σχέσεις είναι τώρα ( U 1 I 1 ) = ( 1 Z s 1 ) ( 1 1/Z p 1 ) ( U 2 I 2 ) = ( 1 + Z s/z p Z s 1/Z p 1 ) ( U 2 I 2 ) U 1 = (1 + Z s /Z p )U 2 + Z s I 2 I 1 = U 2 /Z p + I 2 } U 1 = (1 + Z s /Z p )U 2 + Z s (I 1 U 2 /Z p ) = U 2 + I 1 Z s πάλι ο κανόνας τάσεων για το βρόγχο. Γνωρίζουμε ότι για μια απλή γραμμή μεταφοράς με χαρακτηριστική αντίσταση Z και σταθερά μετάδοσης γ έχουμε ( A B C D ) = ( cosh(γl) Z sinh(γl) sinh(γl)/z cosh(γl) ) Εάν θεωρήσουμε αμελητέες απώλειες (R, G ) R + jωl Z = G + jωc L C γ = (R + jωl)(g + jωc) = a + jb ω 2 LC = jω LC = jb 14

15 Άρα, χρησιμοποιώντας την σχέση του Euler, e jθ = cos θ + j sin θ, έχουμε: cosh(γl) = cosh(jbl) = ejbl + e jbl = cos(bl) 2 sinh(γl) = sinh(jbl) = ejbl e jbl 2 = j ejbl e jbl j2 A B ( C D ) = ( cos(bl) jz sin(bl) ) j sin(bl)/z cos(bl) = j sin(bl) Εάν τώρα τοποθετήσουμε μια εμπέδηση Z L στην έξοδο του δίθυρου τότε U 2 = I 2 Z L και η εμπέδηση εισόδου Z i στη γραμμή συναρτήσει της Z L είναι U 1 = AU 2 + BI 2 = (AZ L + B)I 2 } Z I 1 = CU 2 + DI 2 = (CZ L + D)I i = U 1 = AZ L + B 2 I 1 CZ L + D Αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς Z L έχουμε Z i (CZ L + D) = AZ L + B Z L = B DZ i CZ i A = DZ i B A CZ i Οι παραπάνω σχέσεις μας δίνουν την εμπέδηση εισόδου/εξόδου συναρτήσει της εμπέδησης εξόδου/εισόδου και τις παραμέτρους της γραμμής μεταφοράς. Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το ισοδύναμο Thevenin που φαίνεται στο παρακάτω κύκλωμα. Z g I 1 I 2 A Z TH A U g U 1 U 2 Z L U TH Z L B B Σχήμα 14: Ισοδύναμο Thevenin Για την τάση Thevenin, την τάση με ανοικτούς ακροδέκτες, έχουμε Επίσης, από διαιρέτη τάσης στον αριστερό βρόγχο και η τάση Thevenin είναι U TH = U 2 = I 2 = Z L και Z i = A C U 1 = Z i Z i + Z g U g U 1 = AU 2 + BI 2 = AU 2 U 2 = U 1 A Z i Z i + Z g U g A = A C A C + Z g U g A = U g A + CZ g Για την αντίσταση Thevenin, βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης, U g =, και U 1 = Z g I 1 από κανόνα τάσης στον αριστερό βρόγχο. Επομένως U 1 = AU 2 + BI 2 I 1 = CU 2 + DI 2 } Z gi 1 = AU 2 + BI 2 Z g I 1 = Z g CU 2 + Z g DI 2 Z TH = U 2 I 2 Επίσης, για τη συνάρτηση μεταφοράς, όπου U 2 = I 2 Z L, έχουμε H = U 2 U 1 = Z L I 2 AU 2 + BI 2 = } (A + Z g C)U 2 + (B + Z g D)I 2 = = B + DZ g A + CZ g Z L I 2 (AZ L + B)I 2 = Z L AZ L + B 15

16 Το μοντέλο του διθύρου είναι χρήσιμο στην μελέτη ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τις γραμμές μεταφοράς σαν κανάλι επικοινωνιών γιατί μια ηλεκτρική εγκατάσταση αποτελείται από διάφορα τμήματα γραμμών μεταφοράς. Μια διαδρομή από πομπό σε δέκτη μπορεί να παρασταθεί από ένα τελικό δίθυρο που είναι απλώς ο διαδοχικός πολ/σμός των πινάκων ABCD των επιμέρους τμημάτων. Το μόνο που χρειάζεται να προσθέσουμε στα παραπάνω είναι η περίπτωση των διακλαδώσεων. Μια διακλάδωση (tap) έχει πίνακα ( A B C D ) = ( tap 1 1/Z i,tap 1 ) όπου η Z i,tap είναι η ολική εμπέδηση που φαίνεται από τα άκρα της διακλάδωσης στο τμήμα που εισέρχεται στη διακλάδωση. Αν υπάρχει και κάποια ή κάποιες πηγές σε αυτό το τμήμα, τότε υπολογίζουμε το ισοδύναμο Thevenin. Με μορφή διαγράμματος (σχ. 15) εισοδος tap 1 tap n εξοδος τµηµα 1 τµηµα n Σχήμα 15: Διαδρομή με τμήματα γραμμών μεταφοράς και διακλαδώσεις. [ABCD] ολική = [ABCD] τμήμα_1 [ABCD] tap_1 [ABCD] τμήμα_n 1 Λύση των αρμονικών εξισώσεων - Συνέχεια Μπορούμε να εκφράσουμε την τάση, ρεύμα και εμπέδηση σε κάποιο τυχαίο σημείο της γραμμής συναρτήσει των U i, I i ή των U L, I L. Συνήθως έχουμε πρόσβαση στο φορτίο και μας βολεύει να χρησιμοποιήσουμε την δεύτερη επιλογή. Έχουμε για x = l U L = U + e γl + U eγl I L = U + Z e γl U Z e γl Λύνοντας ως προς U + και U έχουμε U + = 1 2 (U L + I L Z )e γl και μετά από αντικαταστάσεις U = 1 2 (U L I L Z )e γl U(x) = I L 2 [(Z L + Z )e γ(l x) + (Z L Z )e γ(l x) ] I(x) = I L 2Z [(Z L + Z )e γ(l x) (Z L Z )e γ(l x) ] Εφόσον οι μεταβλητές l και x εμφανίζονται στον συνδυασμό l x, ορίζουμε μια καινούργια μεταβλητή x = l x. Οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται τότε U(x ) = I L 2 [(Z L + Z )e γx + (Z L Z )e γx ] I(x ) = I L 2Z [(Z L + Z )e γx (Z L Z )e γx ] Χρησιμοποιώντας υπερβολικές συναρτήσεις όπου sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z C, οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται U(x ) = I L (Z L cosh γx + Z sinh γx ) (5) I(x ) = I L Z (Z L sinh γx + Z cosh γx ) (6) 16

17 Σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής x η εμπέδηση είναι Z(x ) = U(x ) I(x ) = Z Z L cosh γx + Z sinh γx Z L sinh γx + Z cosh γx = Z Z L + Z tanh γx Z + Z L tanh γx (7) Στην είσοδο της γραμμής, x = l και η πηγή βλέπει εμπέδηση εισόδου Z i = Z(x = l) = Z Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl (8) Οι παραπάνω σχέσεις ταυτίζονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που είχαμε με το μοντέλο διθύρου. Η τάση εισόδου και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή είναι U i = Z i Z g + Z i U g και I i = Η μέση ισχύς που παρέχει η πηγή στην είσοδο της γραμμής είναι U g Z g + Z i και η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο είναι P i = 1 2 Re[U ii i ] x=,x =l P L = 1 2 Re[U LIL ] = 1 2 x=l,x = 2 U L R Z L = 1 L 2 I L 2 R L Ο παράγων 1 2 εμφανίζεται από το γεγονός ότι ο ορισμός των φασόρων δεν έγινε με την ενεργό τιμή αλλά το πλάτος των κυματομορφών. Για ευκολία στις πράξεις και χωρίς μεγάλο σφάλμα, θεωρούμε συνήθως τα τμήματα γραμμών μεταφοράς να έχουν μηδενικές απώλειες, δηλ. R =, G =, γ = jb, tanh γl = j tan(bl). Η εμπέδηση εισόδου γίνεται τότε Για την περίπτωση αυτή, έχουμε επίσης P i = P L. Z i = Z Z L + jz tan(bl) Z + jz L tan(bl) Ω Μια άλλη σημαντική περίπτωση είναι όταν η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο Z L = Z. Από την εξ. 7 βλέπουμε ότι για κάθε < x < l και Z(x ) = Z U(x) = (I L Z e γl )e γx = U i e γx I(x) = (I L e γl )e γx = I i e γx Βλέπουμε δηλ. ότι η τάση και το ρεύμα σε αυτή την περίπτωση είναι σαν το μήκος της γραμμής να είναι άπειρο και δεν έχουμε ανακλάσεις. Παράδειγμα 1.1 Μια πηγή τάσης με εσωτερική αντίσταση 1 Ω και τάση ανοικτού κυκλώματος u g (t) =.3 cos(2πft) V, όπου f = 1 MHz, συνδέεται με γραμμής μεταφοράς μηδενικών απωλειών και χαρακτηριστική εμπέδηση 5 Ω. Το φυσικό μήκος της γραμμής είναι 4 m και η ταχύτητα μετάδωσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι m/s. Εάν το φορτίο τερματισμού Z L είναι ίσο με την χαρακτηριστική εμπέδηση Z της γραμμής, να βρεθούν α) η στιγμιαία τάση και ρεύμα σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής, β) η στιγμιαία τάση και ρεύμα στο φορτίο τη χρονική στιγμή t = 3 ns και γ) η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο. Για την εύρεση της τάσης και ρεύματος σε τυχαίο σημείο στη γραμμή μεταφοράς πρέπει πρώτα να βρούμε την τάση και το ρεύμα εισόδου (x =, x = l). Έχουμε 17

18 U g =.3 / V Z g = 1 Ω Z = 5 Ω ω = 2π 1 8 rad/s v = m/s l = 4 m Εφόσον το φορτίο τερματισμού είναι ταιριασμένο με τη χαρακτηριστική εμπέδηση έχουμε Z L = Z. Για τον ίδιο λόγο Z i = Z = 5 Ω. Επομένως U i = / =.294 / V Η σταθερά μετάδοσης γ είναι I i =.3 / = 5.9 / ma γ = (R + jωl)(g + jωc) = (jωl)(jωc) = jω LC = j ω v = j.8π = j2.513 rad/m όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι εφόσον οι απώλειες είναι μηδενικές, από την κυματική εξίσωση τάσης ή ρεύματος εχουμε v = 1/ LC. Οπότε U(x) =.294e j2.513x V και I(x) = 5.9e j2.513x ma και η στιγμιαία τάση και ρεύμα σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής είναι u(x, t) = Re[U(x)e jωt ] = Re[.294e j(ωt 2.513x) ] =.294 cos(ωt 2.513x) V i(x, t) = Re[I(x)e jωt ] = Re[5.9e j(ωt 2.513x) ] = 5.9 cos(ωt 2.513x) ma Στο φορτίο τερματισμού x = l = 4 m οπότε u(4, t) =.294 cos(ωt 1.5) V και i(4, t) = 5.9 cos(ωt 1.5) ma Για την χρονική στιγμή t = 3 ns έχουμε u(4, 3) =.294 cos(ω ) =.9 V και i(4, 3) = 5.9 cos(ω ) = 1.8 ma Προσέξτε έτσι ώστε το όρισμα στα συνημίτονα να είναι σε ακτίνια (rad). Η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο στην περίπτωση μηδενικών απωλειών είναι ίδια με τη μέση ισχύ στην είσοδο της γραμμής. Οπότε P L = P i = 1 2 Re[U ii i ] = 1 2 [ ] = =.87 mw Παράδειγμα 1.2 Ένα ομοαξονικό καλώδιο για τη συχνότητα 12 MHz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά R = 1.25 Ω/m, L = 12.8 μh/m, G =.78 ms/m και C = 1.62 pf/m. Υπολογείστε τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, τη σταθερά μετάδοσης γ, τη σταθερά απόσβεσης a και τη σταθερά φάσης b. Για μήκος καλωδίου 12 m υπολογείστε τον πίνακα [ABCD]. Για τάση εισόδου U i = 3 V και Z L = Z υπολογείστε U L και I L. Πόσα db θα είναι η διαφορά των μέτρων των τάσεων εισόδου και εξόδου; Έχουμε ω = 2πf = rad/s R + jωl Z = G + jωc = /4.51 Ω γ = (R + jωl)(g + jωc) =.873 /49.41 = j.663 m 1 Η σταθερά απόσβεσης a =.568 m 1 και η σταθερά φάσης b =.663 rad/m. Ο πίνακας [ABCD] είναι: 18

19 ( A B C D ) = cosh(γl) sinh(γl) Z Z sinh(γl) cosh(γl) και μας χρειάζονται οι υπερβολικές συναρτήσεις sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z = γl. Έχουμε z = γl = 12( j.663) = j7.955 e z = e j7.955 = e e j7.955 = e [ cos(7.955) + j sin(7.955)] = 911.3(.11 + j.995) = j96.7 e z = e j7.955 = e e j7.955 = e [ cos(7.955) j sin(7.955)] = sinh(z) = ez e z =.197(.11 j.995) = j cosh(z) = ez + e z 2 = j j = j j = j453.4 = j453.4 Το e z είναι αμελητέο (ίσως) στις παραπάνω υπερβολικές συναρτήσεις. Προσέξτε επίσης ώστε τα ορίσματα στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις να είναι σε ακτίνια (rad). A = cosh(γl) = j453.4 B = Z sinh(γl) = ( j3.482) 1 5 C = sinh(γl) Z = j.339 D = cosh(γl) = j453.4 Για τάση εισόδου U i = 3 V και Z L = Ζ έχουμε Z i = Z Z L + Z tanh(γl) Z + Z L tanh(γl) = Z οπότε ( U L IL ) = ( I i = U i Z i =.271 / 4.5 A D B C A ) ( U i I i ) = (.329 / 95.8 V.298 / ma ) Τα παραπάνω αποτελέσματα είναι ιδιαίτερα επιρρεπή σε στρογγυλοποίηση εφόσον έχουμε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθμών. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες: U L = DU i BI i = ( j ) ( j ) = j = / V I L = CU i + AI i = ( j )+ ( j ) = ( j ) 1 4 = / ma βλέπουμε ότι η διαφορά εμφανίζεται από το 7ο σημαντικό ψηφίο και μετά. Αυτό σημαίνει ότι το e z που υπολογίσαμε παραπάνω ΔΕΝ ήταν αμελητέο και ότι ο υπολογιστικός τρόπος που ακολουθήσαμε, αν και σωστός, χρειάζεται υπολογιστή με ακρίβεια πράξεων double precision. 19

20 Επομένως, αποφεύγοντας τις ενδιάμεσες πράξεις, έχουμε: U L = DU i BI i = cosh(z)u i Z sinh(z)i i = cosh(z)u i Z sinh(z) U i Z = [cosh(z) sinh(z)]u i = e z U i = e al e jbl U i =.329 / bl 18/π =.329 / =.329 / V I L = CU i + AI i = sinh(z) U Z i + cosh(z) U i cosh(z) sinh(z) = U Z Z i = e z Z U i = / ma Για τη διαφορά σε db των μέτρων των τάσεων εισόδου και εξόδου: U 2 log 1 U i 2 log 1 U L = 2 log i 1 = 59.2 db U L Παράδειγμα 1.3 Σε ηλεκτρολογική εγκατάσταση που χρησιμοποιείται για σύστημα επικοινωνιών η διαδρομή πομπού / δέκτη αποτελείται από δυο τμήματα γραμμής μεταφοράς μήκους 1 και 2 m αντίστοιχα. Στην ενδιάμεση διακλάδωση θεωρούμε ότι η υπόλοιπη εγκατάσταση φαίνεται σαν παράλληλη εμπέδηση Z t = 2 Ω. Θεωρούμε ότι οι απώλειες είναι αμελητέες και τα χαρακτηριστικά της γραμμής για τη συγκεκριμένη εφαρμογή είναι Z = 5 Ω, b =.1 rad/m. Αν θέλουμε να έχουμε U 2 = 22 V, I 2 = 2 A τι τάση και ρεύμα πρέπει να έχουμε στην είσοδο της γραμμής; ( U 1 I 1 ) = ( cos(1b) j sin(1b)/z jz sin(1b) cos(1b) ) ( 1 1/Z t 1 ) ( cos(2b) jz sin(2b) j sin(2b)/z cos(2b) ) ( 22 2 ) = (.54 j42.4 j ) ( Άρα, U 1 = 236.9/ V και I 1 = 2.39/158.7 A. (.416 j45.46 ) ( j ) ( j j j j.123 ) ( 22 2 ) = ( j j.8667 ) = ( 236.9/ /158.7 ) ) = Παράδειγμα 1.4 Μια πηγή τάσης με εσωτερική αντίσταση 25 Ω και τάση ανοικτού κυκλώματος u g (t) = 15 cos(2πft) V, όπου f = 2 MHz, συνδέεται με γραμμής μεταφοράς αμελητέων απωλειών και χαρακτηριστική εμπέδηση 5 Ω. Το φυσικό μήκος της γραμμής είναι 9 m και η ταχύτητα μετάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι m/s. Εάν το φορτίο τερματισμού Z L = Z /4 όπου Z είναι η χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, να βρεθούν α) η εμπέδηση εισόδου στη γραμμή β) η τάση και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή γ) η τάση και το ρεύμα εξόδου από τη γραμμή δ) η μιγαδική ισχύς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος. Έχουμε U g = 15 / V Z g = 25 Ω Z = 5 Ω Z L = 12.5 Ω ω = 2πf = rad/s v = m/s l = 9 m 2

21 Η σταθερά μετάδοσης γ είναι γ = (R + jωl)(g + jωc) = (jωl)(jωc) = jω LC = j ω v = j.53 = jb rad/m όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι εφόσον οι απώλειες είναι μηδενικές, από την κυματική εξίσωση τάσης ή ρεύματος εχουμε v = 1/ LC. Οπότε ο πίνακας [ABCD] για τη γραμμή είναι ( A B C D ) = ( cos(bl) jz sin(bl) j sin(bl)/z cos(bl) ) = (.187 j49.1 j ) και η εμπέδηση εισόδου Z i = AZ L + B CZ L + D = AZ /4 + B CZ /4 + D = j9.4 = /34.6 Ω Επομένως η τάση και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή είναι U 1 = I 1 = και η τάση και το ρεύμα εξόδου της γραμμής είναι Z i Z i + Z g U g = j1.4 = /4.52 V U g Z i + Z g =.72 j.42 = 83.2 / 3.1 ma ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) U 2 = j3.34 = 3.37 /97.2 V I 2 =.34 + j.267 =.269 /97.2 A από όπου μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι U 2 /I 2 = 12.5 Ω = Z L. Η μιγαδική ισχύς που δίνει η γεννήτρια είναι S s = U g I1 = 1.8+j.626 VA. Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση της γεννήτριας είναι S g = I 1 2 Z g =.173 VA. Η μιγαδική ισχύς στην είσοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S 1 = U 1 I1 =.96 + j.626 VA. Όπως βλέπουμε S s S g S 1 =.1 (με την ακρίβεια των τριών σημαντικών ψηφίων που κάναμε τις πράξεις). Επίσης, η μιγαδική ισχύς στην έξοδο της γραμμής (στο φορτίο) είναι S L = U 2 I2 =.96 VA. Βλέπουμε ότι η πραγματική ισχύς στην είσοδο και έξοδο της γραμμής είναι ίσες καθώς επίσης ότι έχουμε και άεργο ισχύ.626 VAR να δεσμεύεται μέσα στη γραμμή. Δοκιμάστε το παραπάνω παράδειγμα με Z L = Z. Τι παρατηρείτε τότε με την ισχύ; Παράδειγμα 1.5 Ένα ομοαξονικό καλώδιο για τη συχνότητα 632 khz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά R =.67 Ω/m, L = 28.5 μh/m, G = 41.3 ms/m και C = 28.1 pf/m. Υπολογίστε τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, τη σταθερά μετάδοσης γ, τη σταθερά απόσβεσης a και τη σταθερά φάσης b. Για το συγκεκριμένο καλώδιο η εμπέδηση εξόδου είναι Z L = Z. Ποια είναι η εμπέδηση εισόδου Z i ; Απλοποιήστε τις σχέσεις μέσω του πίνακα [ABCD] που συνδέουν τάση και ρεύμα εισόδου και εξόδου για καλώδιο μήκους l και αποδείξτε ότι για τις τάσεις έχουμε U L = exp( γl)u i. Ποια είναι η αντίστοιχη σχέση για το ρεύμα; Εφαρμόστε τις παραπάνω σχέσεις στην περίπτωση όπου τάση εισόδου U i = 38/8 V, μήκος καλωδίου l = 2 m και Z L = Z υπολογίζοντας τάση και ρεύμα εξόδου U L και I L (μέτρο και φάση). f = 632 khz ω = 2πf = Mrad/s R + jωl Z = G + jωc = / /1.15 = /44.26 Ω γ = (jωl + R)(jωC + G) = /45.4 = j1.54 m 1 a = Re{γ} = m 1 b = Im{γ} = 1.54 rad/m Z Z i = Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl = Z Z + Z tanh γl Z + Z tanh γl = Z 21

22 ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( U L IL ) = ( D B C A ) ( U i I i ) U L = DU i BI i = cosh(z)u i Z sinh(z)i i = cosh(z)u i Z sinh(z) U i Z = [cosh(z) sinh(z)]u i = e z U i = e γl U i I L = CU i + AI i = sinh(z) U Z i + cosh(z) U i = Z cosh(z) sinh(z) U Z i = e z U Z i = e γl U Z i z = γl = 2( j1.54) = j3.79 e z = e 3.36 e j3.79 = e 3.36 [ cos(3.79) j sin(3.79)] = =.4827(.9984 j.62552) =.479 j.2991 =.482 / U L = e z U i = / 96.4 V I L = U L Z =.3486 / 14.7 A Παράδειγμα 1.6 Στη γραμμή μεταφοράς της προηγούμενης άσκησης θεωρούμε ότι οι απώλειες είναι αμελητέες. Ποιος είναι τότε ο πίνακας [ABCD] για μήκος γραμμής l = 2 m; Εάν η εμπέδηση εξόδου είναι Z L = 2 Ω, ποια είναι η εμπέδηση εισόδου Z i ; Εάν η γραμμή συνδεθεί στην είσοδο με πηγή τάσης U g = 22/ V και εσωτερική αντίσταση 5 Ω ποια είναι η τάση και ρεύμα εισόδου στη γραμμή; Ποια είναι η τάση και ρεύμα εξόδου από τη γραμμή; Ποια είναι επίσης η μιγαδική ισχύς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος; Σχολιάστε το αποτέλεσμα. Z = L C = 37.7 Ω ( γ = (jωl)(jωc) = ω 2 LC = jω LC = jb = j.36 rad/m cosh(jbl) = cos(bl) =.986 A B C D ) = cos(bl) j sin(bl) Z jz sin(bl) cos(bl) sinh(jbl) = j sin(bl) = j.166 = (.986 j61.49 j tanh(jbl) = sinh(jbl) j sin(bl) = = j tan(bl) = j.1685 cosh(jbl) cos(bl) ) Επομένως, τάση και ρεύμα εισόδου: Z Z i = Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl = Z Z L + jz tan(bl) Z + jz L tan(bl) = 28.6 / 12.1 Ω U 1 = Z i Z i = / 2.3 V και τάση και ρεύμα εξόδου: I 1 = 22 Z i + 5 =.854 /9.78 A ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) U 2 = /15 V I 2 =.862 /15 A από όπου μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι U 2 /I 2 = 2 Ω = Z L. Η μιγαδική ισχύς που δίνει η γεννήτρια είναι S s = U g I 1 = j31.9 = / 9.8 VA. Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση της γεννήτριας είναι S g = I 1 2 Z g = 36.4 VA. 22

23 Η μιγαδική ισχύς στην είσοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S 1 = U 1 I 1 = j31.9 = 152 / 12.1 VA. Η μιγαδική ισχύς στην έξοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S L = U 2 I2 = VA. Όπως βλέπουμε S s S g S 1 = j (με την ακρίβεια που κάναμε τις πράξεις). Επίσης η πραγματική ισχύς στην είσοδο και έξοδο της γραμμής είναι ίσες που σημαίνει ότι δεσμεύεται άεργος ισχύ 31.9 VAR μέσα στη γραμμή. Παράδειγμα 1.7 Μια γραμμή μεταφοράς για τη συχνότητα 2 MHz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά L = 25.6 nh/m και C = pf/m. Θεωρούμε απώλειες αμελητέες και μήκος γραμμής l = 15 m. Επιπλέον, η γραμμή είναι συνδεδεμένη σε πηγή U g = 5 V με εσωτερική αντίσταση Z g = 45 Ω. Ποιος είναι ο πίνακας [ABCD], το φορτίο Z L για μέγιστη μεταφορά ισχύος καθώς και η εμπέδηση εισόδου Z i στη γραμμή; Για αμελητέες απώλειες Z = L C = Ω γ = (jωl)(jωc) = ω 2 LC = jω LC = jb = j.4276 rad/m ( cosh(jbl) = cos(bl) =.81 A B C D ) = cos(bl) j sin(bl) Z Το ισοδύναμο Thevenin από το μέρος του φορτίου έχει επομένως πρέπει jz sin(bl) cos(bl) sinh(jbl) = j sin(bl) = j.598 = ( Z TH = B + DZ g A + CZ g = j3.7 Ω Z L = Z TH = j3.7 = 65.73/27.2 Ω Η εμπέδηση εισόδου (κάνετε συμβολικά τις πράξεις με τα A, B, C, D) είναι Z i = AZ L + B CZ L + D = Z g = 45 Ω.81 j45.2 j.8.81 ) Θα μπορούσατε να συμπεράνετε το τελευταίο αποτέλεσμα χωρίς να κάνετε τις πράξεις; 11 Συντελεστής ανάκλασης και λόγος στασίμου κύματος Οι εξισώσεις για την τάση και το ρεύμα στο σημείο x για μια γραμμή μεταφοράς όπου x = αντιστοιχεί στην είσοδο της γραμμής και x = l στο τέλος της είναι: U(x) = U + e γx + U eγx και I(x) = I + e γx + I eγx και U + I + = U I = Z Για ευκολία μας επιλέγουμε την μεταβλητή x = x έτσι ώστε x = αντιστοιχεί στην έξοδο της γραμμής (φορτίο) και x = l στην είσοδο. Οι εξισώσεις γίνονται τότε: Στο φορτίο έχουμε x = και U(x ) = U + eγx + U e γx και I(x ) = 1 Z (U + eγx U e γx ) Οπότε U() = U + + U και I() = 1 (U + Z U ) και Z L = U() I() U + + U = Z L Z (U + U ) Γ L = U U + = Z L Z Z L + Z 23

24 ο συντελεστής ανάκλασης της τάσης στο φορτίο. Με την ίδια διαδικασία έχουμε επίσης τον συντελεστή ανάκλασης του ρεύματος στο φορτίο Γ L = I I + = U U + = Z Z L Z L + Z = Γ L Ο συντελεστής ανακλάσεως είναι μιγαδικός αριθμός, Γ = Γ e θ Γ, με μέτρο Γ 1 να φανερώνει κατά πόσο αλλάζει το μέτρο της ανακλωμένης τάσης ή ρεύματος σε σχέση με την προσκείμενη και με την γωνία θ Γ να δείχνει πόσο αλλάζει η φάση της ανακλωμένης τάσης ή ρεύματος σε σχέση με την προσκείμενη. Οι εξισώσεις της γραμμής μεταφοράς σε τυχαίο σημείο x γίνονται τότε: U(x ) = U + eγx (1 + Γ L e 2γx ) και I(x ) = U + eγx Z (1 Γ L e 2γx ) και με ορισμό του γενικευμένου συντελεστή ανάκλασης Γ(x ) = Γ L e 2γx γίνονται U(x ) = U + eγx (1 + Γ(x )) και I(x ) = U + eγx Z (1 Γ(x )) Ορίζουμε την εμπέδηση της γραμμής σε κάποιο σημείο x ως Z(x ) = U(x ) I(x ) = Z 1 + Γ(x ) 1 Γ(x ) Το νόημα της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι αν «κόψουμε» τη γραμμή στο σημείο x και «τοποθετήσουμε» εκεί μια εμπέδηση Z(x ) το τμήμα αριστερά δεν καταλαβαίνει την αλλαγή και συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν το «κόψιμο». Η Z(x ) είναι ίση με την εμπέδηση του υπολοίπου τμήματος στα δεξιά, συμπεριλαμβανομένου και του φορτίου Z L. Επομένως η εμπέδηση εισόδου μπορεί να γραφεί και ως: Z i = Z(l) = U(l) I(l) = Z 1 + Γ(l) 1 Γ(l) = = Z Z L + Z tanh(γl) Z + Z L tanh(γl) Ο εναλλακτικός αυτός τρόπος είναι πιο εύχρηστος εφόσον ο συντελεστής ανάκλασης μπορεί να μετρηθεί πιο εύκολα στο εργαστήριο. Όπως είδαμε παραπάνω η τάση σε κάποιο τυχαίο σημείο x είναι U(x ) = U + eγx (1 + Γ(x )) το άθροισμα ενός προσκείμενου U π και ενός ανακλώμενου U α κύματος τάσης. Σε κάποια σημεία η προσκείμενη και ανακλώμενη τάση συμβάλουν θετικά με μέγιστο και σε κάποια άλλα σημεία συμβάλουν αρνητικά με U max = U π + U α = U π + Γ U π = U π (1 + Γ ) U min = U π U α = U π Γ U π = U π (1 Γ ) Αυτό σημαίνει ότι εν γένει η προσκείμενη και ανακλώμενη τάση μας δημιουργεί κάποιο στάσιμο κύμα. Το παρακάτω κομμάτι κώδικα g=j*.5; x=:.1:3; G=.7; U=exp(g.*x).*(1+G*exp(-2*g.*x)); plot(x,abs(u)); grid; xlabel( x ) μας δείχνει τη μορφή του στάσιμου κύματος (σχ. 16) για κάποιες τιμές των παραμέτρων μιας γραμμής μεταφοράς. Μπορείτε και εσείς να πειραματιστείτε. Ορίζουμε τον λόγο της μέγιστης τιμής του μέτρου U max προς την ελάχιστη τιμή του μέτρου U min σαν τον λόγο στασίμου κύματος τάσης (voltage standing wave ratio, VSWR) 24 S = U max U min = 1 + Γ 1 Γ

25 Σχήμα 16: Στάσιμο κύμα όπου φαίνονται μέγιστα και ελάχιστα στο κύμα τάσης. Είναι ένα μέγεθος που δείχνει το βαθμό των ανακλάσεων μέσα σε μια γραμμή μεταφοράς. Όσο πιο μεγάλο είναι το S τόσο πιο πολύ ενέργεια παραμένει εγκλωβισμένη στη γραμμή στα στάσιμα κύματα που δημιουργούνται από τις ανακλάσεις. Το S μπορεί να μετρηθεί σχετικά εύκολα στο εργαστήριο και από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο Γ = S 1 S + 1 Ορισμένες χαρακτηριστικές τιμές για την περίπτωση άνευ απωλειών Γ = S = 1 όταν Z L = Z (ταιριασμένο φορτίο) Γ = 1 S όταν Z L = (βραχυκύκλωμα) Γ = +1 S όταν Z L (ανοικτό κύκλωμα) 12 Η γραμμή μεταφοράς σαν στοιχείο κυκλώματος Οι γραμμές μεταφοράς χρησιμοποιούνται για την μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας και πληροφορίας μεταξύ δυο σημείων. Μπορούν όμως επίσης να χρησιμοποιηθούν και σαν στοιχεία κυκλωμάτων με χρήσιμες ιδιότητες ειδικά για συχνότητες από 3 MHz (λ = 1m) έως 3 GHz (λ =.1m). Σε αυτές τις συχνότητες η κατασκευή των συνήθων διακριτών στοιχείων παρουσιάζουν δυσκολίες και η επίδραση τυχόν παρασιτικών ηλεκτρικών πεδίων γίνεται μεγαλύτερη. Τμήματα γραμμών μεταφοράς μπορούν να δώσουν επιθυμητά επαγωγικά ή χωρητικά χαρακτηριστικά σε κάποιο κύκλωμα και να συνδέσουν κατάλληλα τυχαία φορτία με γεννήτριες για μέγιστη μεταφορά ισχύος. Για συχνότητες < 3 MHz οι φυσικές διαστάσεις των γραμμών μεταφοράς γίνονται πολύ μεγάλες ενώ για συχνότητες > 3 GHz γίνονται πολύ μικρές. Στην τελευταία περίπτωση ενδείκνυται η χρήση κυματοδηγών. Όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, για ευκολία στις πράξεις και χωρίς μεγάλο σφάλμα, θεωρούμε συνήθως τα τμήματα γραμμών μεταφοράς να έχουν μηδενικές απώλειες, δηλ. R =, G =, γ = jb, tanh γl = j tan(bl). Η εμπέδηση εισόδου γίνεται τότε Z i = R Z L + jr tan(bl) R + jz L tan(bl) Ω όπου θέσαμε Z = R εφόσον η χαρακτηριστική εμπέδηση είναι καθαρά ωμική. Διακρίνουμε τις εξης περιπτώσεις: 1. Ανοικτό κύκλωμα τερματισμού (Z L ). Έχουμε τότε Z i = lim [R Z L + jr tan(bl) Z L R + jz L tan(bl) ] = j R tan(bl) = jr cot(bl) Ανάλογα με την τιμή της cot(bl) που εξαρτάται από τη συχνότητα και το φυσικό μήκος της γραμμής μεταφοράς, η Z i μπορεί να είναι καθαρά επαγωγική ή χωρητική. Για την περίπτωση μάλιστα όπου το φυσικό μήκος είναι πολύ μικρότερο του μήκους κύματος bl 1 έχουμε tan bl bl και Z i = j R bl = j L/C ω LCl = j 1 ωcl 25

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ηλεκτρικά Μοντέλα Γραμμών Μεταφοράς Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Δίθυρα Κυκλώματα Ισοδύναμα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

EpikoinwnÐec mèsw gramm n tˆshc. A. Drosìpouloc

EpikoinwnÐec mèsw gramm n tˆshc. A. Drosìpouloc EpikoinwnÐec mèsw gramm n tˆshc A. Drosìpouloc ii Perieqìmena 1 Εισαγωγή στις επικοινωνίες μέσω γραμμών τάσης 1 2 Γραμμές μεταφοράς 3 2.1 Εισαγωγή.................................................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι:

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι: 5 Κεφάλαιο ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές σχέσεις για τον υπολογισμό της ενεργού και άεργου ισχύς στα δύο άκρα μιας γραμμής μεταφοράς (ΓΜ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 1 ο Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό/ηλεκτρονικό σύστημα μπορεί εν γένει να παρασταθεί από ένα κυκλωματικό διάγραμμα ή δικτύωμα, το οποίο αποτελείται από στοιχεία δύο ακροδεκτών συνδεδεμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ισχύς και Ενέργεια Ενεργός τιµή περιοδικών µη ηµιτονικών κυµατοµορφών 1. Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Οταν οι νόµοι του Kirchoff εφαρµόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύμα ampere

ηλεκτρικό ρεύμα ampere Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ο ρυθμός με τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από μια περιοχή του χώρου. Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο σύστημα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις κεφαλαίου 16 Αρχές επικοινωνίας με ήχο και εικόνα

Σημειώσεις κεφαλαίου 16 Αρχές επικοινωνίας με ήχο και εικόνα Σημειώσεις κεφαλαίου 16 Αρχές επικοινωνίας με ήχο και εικόνα ΠΩΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΟΥΝ ΟΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ένα σύστημα ηλεκτρονικής επικοινωνίας αποτελείται από τον πομπό, το δίαυλο (κανάλι) μετάδοσης και

Διαβάστε περισσότερα

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,,

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,, 1. Ο πυκνωτής του σχήματος έχει χωρητικότητα C=5μF και φορτίο Q=1μC, ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mh. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ)

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1/5 Τι περιλαμβάνει Εκθετική διέγερση Φάσορας Επίλυση κυκλώματος μετασχηματισμός των στοιχείων Εμπέδηση Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt)

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt) Θέμα 1 ο Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014 Για το κύκλωμα ΕΡ του διπλανού σχήματος δίνονται τα εξής: v ( ωt 2 230 sin (

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ρεύμα και Αντίσταση Εικόνα: Οι γραμμές ρεύματος μεταφέρουν ενέργεια από την ηλεκτρική εταιρία στα σπίτια και τις επιχειρήσεις μας. Η ενέργεια μεταφέρεται σε πολύ υψηλές τάσεις, πιθανότατα

Διαβάστε περισσότερα

Κατά την φόρτιση πυκνωτή (Εξ. 37 στις σημειώσεις Ηλεκτρομαγνητισμού)

Κατά την φόρτιση πυκνωτή (Εξ. 37 στις σημειώσεις Ηλεκτρομαγνητισμού) 1α Σε ένα κύκλωμα RC συνεχούς με διακόπτη, αντίσταση R = 650 Ω και πηγή 1 V όλα σε σειρά, ο διακόπτης κλείνει στο t = 0 και ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος. Η διαφορά δυναμικού στον πυκνωτή φτάνει στο

Διαβάστε περισσότερα

και ότι όλες οι τάσεις ή ρεύματα που αναπτύσσονται σε ένα κύκλωμα έχουν την ίδια συχνότητα ω. Οπότε για τον πυκνωτή

και ότι όλες οι τάσεις ή ρεύματα που αναπτύσσονται σε ένα κύκλωμα έχουν την ίδια συχνότητα ω. Οπότε για τον πυκνωτή 1 130306 Πρώτο μάθημα. Επανάληψη μιγαδικών. Παράδειγμα με z 1 = 5 j3. Μέτρο z 1 = 5 2 3 2 = 5.83, φάση /z 1 = tan 1 (3/5) = 30.96. Τι γίνεται με τα τεταρτημόρια όταν z 2 = 5 j3, z 3 = 5 j3, z 4 = 5 j3.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6 Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Gree Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την:

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: Σκοπός της Άσκησης: ΑΣΚΗΣΗ η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: α. Κατασκευή μετασχηματιστών. β. Αρχή λειτουργίας μετασχηματιστών.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ο ΘΕΜΑ Α Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας.

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας. Αυτεπαγωγή Αυτεπαγωγή Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα που διαρρέει ένα κύκλωμα επάγει ΗΕΔ αντίθετη προς την ΗΕΔ από την οποία προκλήθηκε το χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα.στην αυτεπαγωγή στηρίζεται η λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Χωρητικότητα Εικόνα: Όλες οι παραπάνω συσκευές είναι πυκνωτές, οι οποίοι αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο και ενέργεια. Ο πυκνωτής είναι ένα είδος κυκλώματος που μπορούμε να συνδυάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Χωρητικότητα Εικόνα: Όλες οι παραπάνω συσκευές είναι πυκνωτές, οι οποίοι αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο και ενέργεια. Ο πυκνωτής είναι ένα είδος κυκλώματος που μπορούμε να συνδυάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Ενότητα 5: Η Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά: Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ρεύμα και Αντίσταση Εικόνα: Οι γραμμές ρεύματος μεταφέρουν ενέργεια από την ηλεκτρική εταιρία στα σπίτια και τις επιχειρήσεις μας. Η ενέργεια μεταφέρεται σε πολύ υψηλές τάσεις, πιθανότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η συμπεριφορά ενός κυκλώματος RLC σε σειρά κατά την εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος. Συγκεκριμένα μελετάται η μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Κ-ΙΙ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Κ-ΙΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Κ-ΙΙ 1 Έχουμε το παραπάνω κύκλωμα Για τη συναρμολόγησή του στο raster θα χρειαστούμε: ένα κιβώτιο μεταβλητών επαγωγών (για αυτή την άσκηση η επαγωγή επιλέγεται στα L=01 [H])

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. . Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η αποµάκρυνση του σώµατος κάθε στιγµή, όπου: εφθ =

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. . Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η αποµάκρυνση του σώµατος κάθε στιγµή, όπου: εφθ = Βουλιαγµένης_07/0/00, ΙΓΩΝΙΣΜ Μάθηµα : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΙΣ ΤΛΝΤΩΣΕΙΣ & ΣΤ ΚΥΜΤ) Καθηγητής/τρια: Χρόνος: 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Γ ΘΕΜΤ Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α

Διαβάστε περισσότερα

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί.

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7 ου εξαµήνου

Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7 ου εξαµήνου EΘΝΙΚΟ MΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΏΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Αναπλ. Καθηγητής Γ. Κορρές Άσκηση 1 Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ Α.1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ Ο μετασχηματιστής είναι μια ηλεκτρική διάταξη που μετατρέπει εναλλασσόμενη ηλεκτρική ενέργεια ενός επιπέδου τάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 21-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να αποδείξετε ότι η στιγμιαία τιμή i της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται σε συνάρτηση με το στιγμιαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σώμα () μικρών διαστάσεων και μάζας m = 4kg, δρα ως ηχητική πηγή κυμάτων συχνότητας f s =330 Hz κινούμενο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 2 Ροή ισχύος και ρύθμιση τάσης σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k,

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k, Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ) με τα εξής χαρακτηριστικά: 3 k, 50, k, S k και V 5 α) Nα υπολογιστούν οι τιμές των αντιστάσεων β) Να επιλεγούν οι χωρητικότητες C, CC έτσι ώστε ο ενισχυτής

Διαβάστε περισσότερα

Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης.

Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. 0 V, V V, V V 3, V3 Παράδειγμα 3 0 3 0 (α) (β) (α) Σύνδεση τριών όμοιων γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: η (ΘΕΡΙΝ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: /0/ ΘΕΜ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 5

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 5 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 5 21 Σεπτεμβρίου, 2012 Δρ. Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα θέματα μας σήμερα Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

s. Η περίοδος της κίνησης είναι:

s. Η περίοδος της κίνησης είναι: ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιαακκήή 66 Νοοεεμμββρρί ίοουυ 1111 Θέμα 1 ο 1. Ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί ΑΑΤ μεταβαίνει από τη θέση ισορροπίας του σε ακραία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές. 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο.

Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές. 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο. Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 1 Κεφάλαιο 3 Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο. Θα εξετάσουμε εδώ το μαγνητικό πεδίο στο διάκενο

Διαβάστε περισσότερα

C (3) (4) R 3 R 4 (2)

C (3) (4) R 3 R 4 (2) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 29/03/2016 Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Συντελεστής Βαρύτητας: 40%/ Χρόνος Εξέτασης: 3 Ώρες Γραπτή Ενδιάμεση Εξέταση στο Μάθημα: «ΜΜ604, Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Ηλίας Γλύτσης, Τηλ. 21-7722479, e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου Τα στοιχεία του Πυκνωτή και του Πηνίου

Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου Τα στοιχεία του Πυκνωτή και του Πηνίου Το στοιχείο του πυκνωτή (1/2) Αποτελείται από δύο αγώγιμα σώματα (οπλισμοί)ηλεκτρικά μονωμένα μεταξύ τους μέσω κατάλληλου μονωτικού υλικού (διηλεκτρικό υλικό) Η ικανότητα του πυκνωτή να αποθηκεύει ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mil:

Διαβάστε περισσότερα

Από το στοιχειώδες δίπολο στις κεραίες

Από το στοιχειώδες δίπολο στις κεραίες Από το στοιχειώδες δίπολο στις κεραίες Τι ξέρουμε Έχουμε μελετήσει ένα στοιχειώδες (l

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ (Παπαγιάννης Παναγιώτης εαρινό εξάμηνο 208) Παρακάτω δίνονται ενδεικτικές σημειώσεις για την επίλυση επιλεγμένων εργαστηριακών ασκήσεων των γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά Στοιχεία Αναλογικών Ηλεκτρονικών

Βασικά Στοιχεία Αναλογικών Ηλεκτρονικών Βασικά Στοιχεία Αναλογικών Ηλεκτρονικών Ηλεκτρονική ΗΥ231 Εισαγωγή στην Ηλεκτρονική Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Σήµατα Ένα αυθαίρετο σήµα τάσης v s (t) 2 Φάσµα συχνοτήτων των σηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, 007008 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 008 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΘΕΜΑ. [0%] Για το κύκλωμα δεξιά, ένα λογισμικό ανάλυσης κυκλωμάτων έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όπως θα παρατηρήσετε, τα θέματα αφορούν σε θεωρία που έχει διδαχθεί στις παραδόσεις και σε ασκήσεις που είτε προέρχονται από τα λυμένα παραδείγματα του βιβλίου, είτε έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 5Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητες: ΠΕ 17.03 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ, ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ (κατεύθυνσης:

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

α. Ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου

α. Ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ((Α ΟΜΑ Α)) 77 1111 -- 22001100 Θέμα 1 ο (Μονάδες 25) 1. Η εξίσωση που δίνει την ένταση του ρεύματος σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο γεννά ηλεκτρικό ρεύμα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο γεννά ηλεκτρικό ρεύμα ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο γεννά ηλεκτρικό ρεύμα ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Όταν κλείνουμε το διακόπτη εμφανίζεται στιγμιαία ρεύμα στο δεξιό πηνίο Michael Faraday 1791-1867 Joseph

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ 1 Ο όρος διόρθωση του συντελεστή ισχύος σημάνει στην ουσία αύξηση του cosφ έτσι ώστε να τείνει στο 1, δηλαδή η γωνία φ, η οποία ως γνωστό είναι η γωνία φάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η συμπεριφορά ενός κυκλώματος RLC σε σειρά κατά την εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος. Συγκεκριμένα μελετάται η μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΗΓΗ. Στο διπλανό κύκλωμα η πηγή έχει ΗΕΔ = V και ο διακόπτης είναι αρχικά στη θέση. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση στη θέση και αρχίζουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ 1 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM (ΩΜ) Για πολλά υλικά ο λόγος της πυκνότητας του ρεύματος προς το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών

Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 3 Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Σύνδεση σε σειρά. Παράλληλη σύνδεση Ισοδυναμία τριγώνου και αστέρα Διαιρέτης τάσης Διαιρέτης ρεύματος Πραγματικές πηγές.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ : Ο μαθητής να μπορεί να :

ΣΤΟΧΟΙ : Ο μαθητής να μπορεί να : ΠΗΝΙΟ ΣΤΟΧΟΙ : Ο μαθητής να μπορεί να : Αναφέρει τι είναι το πηνίο Αναφέρει από τι αποτελείται το πηνίο Αναφέρει τις ιδιότητες του πηνίου Αναφέρει το βασικό χαρακτηριστικό του πηνίου Αναφέρει τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Τι είναι ; Ηλεκτρικό ρεύμα ονομάζεται η προσανατολισμένη κίνηση των ηλεκτρονίων ή γενικότερα των φορτισμένων σωματιδίων Που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα