Sisteme mecanice de criptare
|
|
- Σωφρόνιος Αριστοκλής Λαιμός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special construite vor uşura pe de-o parte operaţiile de criptare/decriptare, iar pe de-altă parte vor fi capabile să creeze un număr mult mai mare de chei posibile. 3.1 Sistemul antic Skitala Skitala ( baston în greceşte) este o unealtă folosită pentru realizarea unui sistem de criptare cu permutări. El este sub formă aproximativ cilindrică, în jurul lui fiind înfăşurată o bandă de hârtie. Mesajul se scrie în mod normal pe această bandă, după care hârtia este desfăcută. La primire se foloseşte un băţ asemănător pe care se înfăşoară sulul de hârtie, mesajul devenind din nou inteligibil (pentru detalii, a se vedea [6], [3]). Conform istoricilor greci, spartanii foloseau acest mod de comunicare în timpul campaniilor militare. 1 El avea avantajul de a fi rapid şi nu comportă erori de transmitere. Dezavantajul este acela că este uşor de spart. Exemplul 3.1 Să presupunem că dimensiunile băţului permit scrierea a 4 rânduri, cu 5 caractere pe fiecare rând. Fie VINO MAINE LA INTALNIRE textul care trebuie criptat. Ignorând spaţiile, mesajul va apare scris sub forma 1 Skitala a fost menţionată prima oară de poetul grec Archilochus (sec. VII î.h). Deşi apare ulterior şi în alte texte, abia la mijlocul secolului III î.h. Apollonius din Rhodos specifică limpede utilizarea lui ca mijloc de criptare. De remarcat că pentru perioada respectivă, sistemele de criptare folosite de greci erau de tip steganografic. O descriere a modului de operare este dată apoi de Plutarh ( A.D.). 1
2 2 PRELEGEREA 3. SISTEME MECANICE DE CRIPTARE V I N O M A I N E L A I N T A L N I R E După derularea de pe skitala, mesajul scris pe banda de hârtie este: VAALIIINNNNIOETRMLAE. La decriptare, banda va fi rulată din nou şi fiecare a patra literă va fi pe aceeaşi linie. Criptanaliza este foarte simplă. Se iau pe rând valorile n = 2, 3, 4,.... Pentru o astfel de valoare fixată, se formează n rânduri de tipul n + i, 2n + i, 3n + i,... (i = 1, 2,..., n) care ulterior se concatenează. Există o valoare a lui n pentru care textul astfel format este inteligibil. 3.2 Cilindrul Jefferson Ideea de maşină de criptare apare clar prima dată la Thomas Jefferson, primul secretar de Stat al Statelor Unite; acesta a inventat un aparat de criptat numit roată de criptare, folosit pentru securitatea corespondenţei cu aliaţii în special cei francezi. 2 Un cilindru Jefferson este format din n discuri de dimensiuni egale (iniţial n = 26 sau n = 36, dar valoarea este nerelevantă pentru descrierea sistemului) aşezate pe un ax. Discurile se pot roti independent pe ax, iar pe muchea fiecăruia sunt inscrise cele 26 litere ale alfabetului, într-o ordine aleatoare (dar diferită pentru fiecare disc). La criptare, textul clar se împarte în blocuri de n caractere. Fiecare astfel de bloc se scrie pe o linie (generatoare) a cilindrului, rotind corespunzător fiecare disc pentru a aduce pe linie caracterul căutat. Oricare din celelalte 25 linii va constitui blocul de text criptat. Pentru decriptare este necesar un cilindru identic, în care se scrie pe o linie textul criptat (de n caractere) şi apoi se caută printre celelalte 25 linii un text cu semnificaţie semantică. Probabilitatea de a avea un singur astfel de text creşte cu numărul de discuri din cilindru. O mică diferenţă apare dacă textul clar nu are nici o semnificaţie semantică (s-a folosit o dublă criptare). Atunci trebuie convenită dinainte o anumită distanţă de criptare s (1 s 25). 2 Thomas Jefferson a folosit acest aparat în perioada , după care se pare că ideea s-a pierdut. Devenit preşedinte, Jefferson a fost atras de sistemul Vigenere, pe care îl consideră mai sigur şi-l recomandă secretarului său de stat James Madison ca înlocuitor al sistemului pe care îl inventase anterior.
3 3.2. CILINDRUL JEFFERSON 3 Ordinea discurilor poate fi de asemenea schimbată. De exemplu, un cilindru cu n = 10 discuri poate realiza 10! = texte criptate diferite pentru acelaşi text clar. Cilindrul Jefferson realizează o substituţie polialfabetică de perioadă n. Dacă ar fi privit ca un sistem de criptare Vigenere, lungimea cheii este enormă (de multe ori n n, în funcţie de modalităţile de aranjare a alfabetelor pe discuri), şi deci metoda de atac a lui Kasiski este inaplicabilă. Exemplul 3.2 Să considerăm n = 10 şi fie cilindrul, în care am desfăşurat literele de pe cele 10 discuri: A A A A A A A A A A 2 R R P N V S P E I I 3 I O S I O O U S R H 4 E S Y M T R H U E E 5 K U L O Y P I P S T 6 O V U C L M S B L O 7 B I K U E U E L B M 8 C J B L B B N C C U 9 U L R T C D R D D C 10 D B C Y D Y Y H F D 11 J V D B G E D I N F 12 T C T F F C B J Y G 13 L G F G K V F F T J 14 N K G S N H G O G P 15 P N O H H F V G H Q 16 W P N J U K J K J B 17 Q Q E D P L K M K N 18 M T H E Q Q M N M V 19 S H M K R I T Q P W 20 V E Q P S J O R Q X 21 X D V Q W N L V V L 22 Z Y W V X G W W W Y 23 G W X X M T Q Y O K 24 H X Z R I W X X U R 25 Y Z I Z J X Z T X S 26 F M J W Z Z C Z Z Z Cu ajutorul lui, textul clar TREI CULORI construit pe una din liniile generatoare ale cilindrului va genera următoarele linii (oricare din ele putând fi folosit drept text criptat):
4 4 PRELEGEREA 3. SISTEME MECANICE DE CRIPTARE T R E I C U L O R I L O H M D B W G E H N S M O G D Q K S E P U Q C F Y X M L T W V V U K E Z N B O Q I W L N C C Q C M M J X T H V A R D U S L Z Y U H P V F C V B I B P F U W N D X F J F Q K H Y Y F Z C A G R L I X T G G G P S S Q S T G J H K S H W I E Z H P Y N Y J X J N A J Q F P L D M N R E K B A Q U E I G Y S M N R T K K J T D U P V I H B P Z W B P Q W E E R Q A X F B V X K D C V V Z G L W L O Y D X O A V C O Y B W T R T S J D U K C XX F Z Y O K H X R U Z G W L R M I Z S D M O A E P T J A Z J A N N B M O F I A Dacă se consideră o dublă criptare cu distanţa s = 3, atunci textul clar AAAAAAAAAA va fi criptat cu cilindrul anterior în ESYMTRHUEE. Cilindrul Jefferson a fost reinventat ulterior de mai multe ori, cea mai notabilă fiind se pare maşina de criptat M 94, care a fost în serviciu până până în al doilea război mondial. 3.3 Maşini de criptat Prima jumătate a sec. XX este dominată de maşinile de criptat, o combinaţie între maşinile de scris şi sisteme de criptare mecanice bazate pe discuri C 36 (M 209 C) Maşina C 36 este concepută de inginerul suedez Boris Hagelin, la solicitarea armatei americane de a avea o maşină de criptat portabilă, uşor de mânuit, care să poată fi folosită
5 3.3. MAŞINI DE CRIPTAT 5 după un instructaj sumar. Este cunoscută şi sub numele de M 209 C, la bază fiind un model creat de Hagelin în Suedia la sfârşitul anilor 30. Ea începe să fie produsă după câteva modificări legate de design în 1940 şi înlocuieşte treptat maşina de criptat M 94. Se apreciază că în timpul războiului au fost produse circa maşini de criptat C 36. Nu au fost specificate măsuri speciale de securitate; C 36 nu a fost realizată pentru a fi criptografic sigură, ea fiind destinată zonelor militare tactice, unde era nevoie doar de o siguranţă de câteva ore faţă de o eventuală criptanaliză. Vom da o prezentare matematică a principiilor sale de construcţie; pentru alte detalii, a se vedea [1] şi [5]. Definiţia 3.1 Se numeşte matrice lug o matrice binară M 6 27 în care fiecare din cele 27 coloane conţine cel mult doi de 1. Exemplul 3.3 ([4]). Toate exemplificările referitoare la M 209 vor fi făcute pentru matricea M = Fie v un vector binar de dimensiune 6. Atunci c M este un vector cu 27 componente având elemente din mulţimea {0, 1, 2}. Numărul de elemente nenule din v M se numeşte ponderea lui v în raport cu M. O configuraţie de început se obţine prin aşezarea unul sub altul (aliniaţi la stânga) a şase vectori binari de lungimi 17, 19, 21, 23, 25, 26. Exemplul 3.4 Structura formează o posibilă configuraţie de început. Spre deosebire de matricea lug, la configuraţia de început nu există restricţii privind numărul de 1. Plecând de la o configuraţie de început se pot genera o infinitate de vectori de dimensiune 6 în felul următor:
6 6 PRELEGEREA 3. SISTEME MECANICE DE CRIPTARE 1. Primii 17 vectori sunt coloanele complete ale configuraţiei de început. 2. Fiecare vector linie se repetă ciclic din momentul când s-a terminat. Pe baza acestor elemente se poate descrie sistemul de criptare al maşinii C 36. Reamintim, codificarea numerică a literelor este de la A 0 până la Z 25; toate calculele se vor face modulo 26. Fie x codul celui de-al i-lea caracter din textul clar şi h ponderea celui de-al i-lea vector generat de configuraţia de început în raport cu matrica lug. Atunci y = h x 1. Exemplul 3.5 Să considerăm textul clar NU PUTEM REUSI DECAT IMPREUNA împreună cu matricea lug şi configuraţia de început din exemplele anterioare. Codificarea numerică a textului este După ignorarea spaţiilor libere 3, lungimea textului clar este 25. Vom calcula ponderile primilor 25 vectori şi vom aranja totul sub forma unui tablou: Deci textul criptat este h x h x W W A O P E U I V F H D W h x h x V P G G R F R R E Y A I WWAOPEUIVFHDWVPGGRFRREYAI Matricea lug şi configuraţia de început formează cheia pentru maşina C 36. De fapt, maşina însăşi este o realizare fizică a acestui sistem: ea operează conform cu o cheie stabilită anterior prin fixarea unor roţi dinţate şi a unui disc (pentru detalii vezi [5]). Observaţia 3.1 Ecuaţia de decriptare este identică cu cea de criptare: x = h y 1. Deci din acest punct de vedere sistemul de criptare este de tip Beaufort şi maşina C 36 poate fi folosită atât pentru criptare cât şi pentru decriptare. 3 În aplicaţiile practice, spaţiul se înlocuieşte uneori cu o literă de frecvenţă redusă.
7 3.3. MAŞINI DE CRIPTAT 7 Deoarece liniile din configuraţia de început au lungimi numere prime între ele, vectorii generaţi încep să se repete sigur după = paşi; deci cuvântul cheie poate fi considerat mai lung decât orice text clar. Sunt însă cazuri când această perioadă poate fi mai scurtă. De exemplu, dacă configuraţia de început conţine numai 1, se va genera un singur vector, deci perioada este 1. De asemenea se obţin perioade scurte pentru matrici lug cu foarte puţini 1 sau configuraţii de început în care raportul dintre numărul de 0 şi 1 este disproporţionat. Nu există o condiţie matematică pentru existenţa a exact 6 linii în configuraţia de început. Acest număr a fost ales ca un compromis între securitatea criptografică şi uşurinţa de a cripta. În general perioada creşte cu numărul de linii. Maşina de criptat M 209 avea şi ea o serie de slăbiciuni (un atac cu texte clare alese care au anumite componente comune poate duce la informaţii asupra matricii lug), astfel că în 1943 criptanaliştii germani puteau decripta mesajele. Totuşi din punct de vedere militar tactic ea a fost considerată perfect adaptată necesităţilor şi a fost folosită de armata americană până după războiul din Coreea ( ). Ulterior, Hagelin a elaborat un model îmbunătăţit: maşina C 52. Aceasta avea o perioadă de ; discurile puteau şi scoase şi reinserate în altă ordine; exista un disc al cărui alfabet putea fi permutat. C 52 a făcut parte din ultima generaţie de maşini de criptat clasice, noua tehnologie (cea a computerelor) permiţând dezvoltarea altor mecanisme cu o putere de calcul mult mai mare Enigma Poate cea mai celebră maşină de criptat a fost maşina germană Enigma. Sub acest nume se află o varietate largă de modele de maşini de criptat electro-mecanice, care asigură o criptare polialfabetică de tip Vigenere sau Beaufort. Ea a fost proiectată la Berlin în 1918, de inginerul german Arthur Scherbius. Primul model (A) este prezentat la Congresele Uniunii Poştale Internaţionale din 1923 şi Modele ulterioare sunt folosite în mai multe ţări europene şi asiatice (Suedia, Olanda, Marea Britanie, Japonia, Italia, Spania, SUA, Polonia, Elveţia) în scopuri comerciale, militare sau diplomatice. Din 1926 începe să fie preluată şi de armata germană, care după 1928 îşi defineşte propriile modele (G, I, K). În total au fost construite circa maşini Enigma, din care în timpul războiului. După 1945 aliaţii au capturat toate maşinile de pe teritoriul german, acestea fiind încă mult timp considerate sigure. Abia în 1970 au apărut primele informaţii despre decriptarea de către aliaţi (Biuro Szyfrow - Polonia şi Bletchley Park - Anglia) a unui mare număr de mesaje criptate prin modelul militar Enigma şi transmise prin radio în timpul războiului. O descriere completă a maşinii este destul de lungă; recomand pentru detalii [2], [3]. În linii mari, ea are următoarele componente: Tastatură: Este o componentă mecanică formată din:
8 8 PRELEGEREA 3. SISTEME MECANICE DE CRIPTARE Un pupitru de taste (similar unei maşini de scris); n discuri adiacente, care se rotesc în jurul unui ax. La marea majoritate a modelelor Enigma n = 3; sunt însă şi versiuni cu n = 5, 6 sau n = 7 discuri. Pe fiecare disc sunt scrise cele 26 caractere alfabetice (la care uneori se mai adaugă trei caractere speciale); Un mecanism de avans (similar ceasurilor mecanice) care permite la apăsarea unei taste rotirea unuia sau mai multor discuri cu un număr de poziţii. Sunt folosite mai multe variante; cea mai frecventă constă în rotirea cu o poziţie a discului din dreapta, la fiecare apăsare a unei taste, acompaniată în anumite situaţii de rotirea discurilor vecine. Circuite electrice: Criptarea unui caracter se realizează electric. Componenta mecanică este concepută în aşa fel încât să formeze un circuit electric. La apăsarea unei taste circuitul se închide şi luminează una sau mai multe lămpi, indicând litera de ieşire. Reflector (Umkehrwalze): Este o componentă specifică maşinilor de criptat Enigma (introdusă în 1926 la sugestia lui Willy Korn). Scopul ei este de a realiza o criptare Beaufort (maşina să poată cripta sau decripta mesajele în acelaşi timp). În majoritatea variantelor, reflectorul este aşezat pe ax după ultimul disc (din stânga); el realizează o substituţie (fixată), după care reintroduce noul caracter prin discuri în sens invers, dar pe alt drum. Deci o maşină Enigma cu n discuri va realiza criptarea unui caracter prin 2n + 1 substituţii. O consecinţă a acestei proprietăţi este aceea că un caracter nu va fi niciodată criptat în el însuşi, lucru exploatat cu succes de criptanalişti. Tabela de conexiuni (Steckerbrett) 4 : Este o componentă (poziţionată în faţă, sub tastele literelor) în care se pot face conexiuni între perechi de litere, prin intermediul unor cabluri (similar centralelor telefonice vechi). Deci la un mesaj sunt posibile maxim 13 conexiuni. De exemplu, dacă printr-un cablu sunt conectate literele S şi W, de câte ori este tastat S, semnalul este comutat pe W înainte de a intra pe discuri. Introdusă în 1930, această componentă asigură un plus de securitate şi a fost principalul obstacol în criptanaliză. Starea iniţială a unei maşini Enigma se referă la: Ordinea discurilor (Walzenlage): alegerea numărului de discuri şi ordinea lor de utilizare; 4 plugboard în engleză.
9 3.3. MAŞINI DE CRIPTAT 9 Poziţia iniţială a discurilor: poziţionarea în mod independent a fiecărui disc, diferită pentru fiecare mesaj; Iniţializarea inelului de caractere (Ringstellung): poziţionarea alfabetului relativ la primul disc. Iniţializarea conexiunilor (Steckerverbindungen): conexiunile dintre litere în cadrul tabelei de conexiuni. Matematic, Enigma criptează fiecare literă după o procedură care poate fi exprimată prin produs de permutări. Să presupunem că avem o maşină Enigma cu 3 discuri şi fie P transformarea tabelei de conexiuni, U reflectorul, S, M, D acţiunile celor 3 discuri (din stânga, mijloc şi respectiv dreapta). Atunci criptarea e poate fi scrisă sub forma: e = P DMSUS 1 M 1 D 1 P 1 După fiecare apăsare a unei taste, discurile se rotesc schimbând transformarea. De exemplu, dacă discul din dreapta se roteşte cu i poziţii, atunci transformarea devine ρ i Rρ i, where ρ este permutarea ciclică stânga a vectorului (A, B, C,..., Z). Similar, discurile din mijloc şi stânga pot fi reprezentate prin j respectiv k rotiri ale lui M respectiv S. Atunci funcţia de criptare poate fi descrisă astfel: e = P (ρ i Dρ i )(ρ j Mρ j )(ρ j Sρ k )U(ρ j S 1 ρ k )(ρ j M 1 ρ j )(ρ i D 1 ρ i )P 1 Să calculăm numărul de variante posibile pentru criptarea unui mesaj. Vom considera o maşină Enigma cu 3 discuri. Atunci numărul de situaţii iniţiale posibile este = Cum cele 3 discuri pot fi permutate în 6 moduri, numărul variantelor se ridică la = Pentru fiecare din acestea, o tabelă de conexiuni cu 10 perechi de litere conectate ridică numărul variantelor la La acestea se adaugă şi modul de poziţionare al inelului de caractere la mecanismul discurilor, care mai ridică ordinul de mărime al variantelor cu aproximativ Aceste estimări arată că Enigma era cea mai sigură maşină de criptat a momentului respectiv.
10 10 PRELEGEREA 3. SISTEME MECANICE DE CRIPTARE
11 Bibliografie [1] Kahn, David - The Codebreakers, MacMillan Publishing Co, New York, 1967 [2] http : //en.wikipedia.org/wiki/enigma machine [3] Thomas Kelly - The myth of the skytale, Cryptologia, Iulie 1998, pp [4] Salomaa, Aarto - Criptografie cu chei publice, Ed. Militară, 1994 [5] http : //en.wikipedia.org/wiki/m 209 [6] Collard Brigitte - Secret Language in Graeco-Roman antiquity (teză de doctorat) http : //bcs.f ltr.ucl.ac.be/f E/07/CRY P T/Intro.html 11
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραTehnici criptografice
Criptare Criptografia = ştiinţa creării şi menţinerii mesajelor secrete, în sensul imposibiltăţii citirii lor de către neautorizaţi M = mesaj (text) în clar (plain / clear text) C = mesaj cifrat (criptograma,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραPrelegerea 2. Cifruri de substituţie. 2.1 Sisteme de criptare monoalfabetice Sistemul de criptare Cezar
Prelegerea 2 Cifruri de substituţie Cifrurile de substituţie sunt cele mai utilizate sisteme de criptare simetrice; ele se întâlnesc şi azi, exemple fiind sistemele DES şi AES. Un astfel de cifru constă
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni de bază ale criptografiei
Prelegerea 1 Noţiuni de bază ale criptografiei 1.1 Definiţii şi notaţii preliminare Criptografia este o componentă a unui domeniu mult mai larg, numit securitatea informaţiei. Obiectivele urmărite de acesta
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραPrelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q
Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare
Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα