Πυθαγόρειο Θεώρημα Μία πρόταση διδασκαλίας για την Β! Γυμνασίου με την χρήση των Τ. Π. Ε.

Transcript

1 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» Πυθαγόριο Θώρημα Μία πρόταση διδασκαλίας για την Β! Γυμνασίου μ την χρήση των Τ. Π. Ε. Μιχαήλ Αθανασίου Μπουζάλης Εκπαιδυτικός Δυτροβάθμιας Εκπαίδυσης Ν. Θσσαλονίκης Πρίληψη Για την πραγματοποίηση της παραπάνω διδασκαλίας χρησιμοποιίται σνάριο που απυθύνται στον κπαιδυτικό, φύλλο ργασίας για τους μαθητές και τις μαθήτρις και δυναμικά φύλλα ργασίας από τα λογισμικά Geogebra, G.S.P. 4.07_GR, Microsoft Excel. Το σνάριο διαπραγματύται τις Πυθαγόρις τριάδς, τις σχέσις που υπάρχουν μταξύ των πλυρών ορθογωνίου τριγώνου, τις ικανές και αναγκαίς συνθήκς για να ίναι ένα τρίγωνο ορθογώνιο. Η πραγματοποίηση του σναρίου κρίθηκ αναγκαία από την μγάλη σπουδαιότητα του Πυθαγορίου Θωρήματος και των φαρμογών του στα Μαθηματικά. Η διδασκαλία θα πρέπι να γίνι στην αίθουσα των υπολογιστών, στους υπολογιστές της οποίας θα πρέπι να βρίσκονται γκατστημένα τα προηγούμνα λογισμικά Λέξις κλιδιά : Πυθαγόρις τριάδς, Πυθαγόριο Θώρημα 1. Εισαγωγή Το Πυθαγόριο Θώρημα αποτλί ένα από τα ποιο κομψά, αλλά ταυτόχρονα και ποιο σημαντικά θωρήματα μ πολλές φαρμογές. Η ανακάλυψη του θωρήματος, αν και παραδοσιακά αποδίδται στον Πυθαγόρα τον Σάμιο ( π. Χ. ) δν ίναι βέβαιο ότι έγιν από αυτόν ή από κάποιον από τους μαθητές του στην Πυθαγόρια Σχολή που ο ίδιος ίδρυσ. Όμως ίναι βέβαιο πως ίτ ο ίδιος ίτ οι μαθητές του διατύπωσαν την πρώτη απόδιξη. Σύμφωνα μ την παράδοση οι Θοί ανακοίνωσαν στον Πυθαγόρα το ομώνυμο Θώρημα και όταν το απέδιξ, για να τους υχαριστήσι, έκαν θυσία κατό βόδια. Για τον λόγο αυτό, το Πυθαγόριο Θώρημα αναφέρται συχνά και ως «Θώρημα της κατόμβης». Επιπλέον, οι Πυθαγόριοι διατύπωσαν και απέδιξαν το αντίστροφο του θωρήματος. Πολλοί Μαθηματικοί, διάσημοι και μη, προσπάθησαν να αποδίξουν το Πυθαγόριο Θώρημα μ δική τους ανξάρτητη μέθοδο. Ανάμσα σ αυτούς υπάρχουν και προσωπικότητς όπως ο Leonardo da Vinci και ο πρόδρος των Η. Π. Α. Garfield. Το 1940 ο Elisha Scott Loomis πριέλαβ 365 διαφορτικές αποδίξις του Πυθαγορίου Θωρήματος σ ένα βιβλίο. Το θώρημα προέκυψ από την μλέτη του τριγώνου ως προς τις πλυρές και τις γωνίς του και έχι ακόμα φαρμογή στις ττραγωνικές ρίζς, στους άρρητους αριθμούς για την Β! Γυμνασίου ( σλίδς 42, φαρμογές 3, 4, 44 ασκήσις 5,7,8,9, 46 Άρρητοι αριθμοί, 47 τοποθέτηση Άρρητων αριθμών πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, φαρμογή 4, 49 έως 52, προβλήματα που λύνονται μ την βοήθια του Πυθαγορίου Θωρήματος ), του σχολικού βιβλίου, νώ χρησιμοποιίται στις μτρικές σχέσις στην Γωμτρία της Β! Λυκίου για ορθογώνιο, τυχαίο τρίγωνο ( σλίδς 183 έως 199 ), για τον υπολογισμό των μβαδών των πιπέδων σχημάτων ( φαρμογή 1 σλίδα 215 ), Ιδιότητς και στοιχία κανονικών πολυγώνων ( σλίδς 234 και 235 ), γγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σ κύκλο ( σλίδς 238 έως 242 ). 2η Ενότητα - Προηγούμνς γνώσις Οι μαθητές και οι μαθήτρις αντιμτωπίζουν για πρώτη φορά την έννοια των Πυθαγόριων τριάδων. Δν γνωρίζουν τίποτα για την σύνδση μγθών μέσα από μη γραμμικές σχέσις. Είναι γνικά γνωστό ότι οι σχέσις που συνδέουν ττράγωνα ακόμα και σαν μτρικές ίναι δύσκολο να κατανοηθούν από τους διδασκόμνους. Έτσι θωρίται πιββλημένο πριν από το Πυθαγόριο Θώρημα να ξηγηθί η έννοια των Πυθαγόριων τριάδων και να συνδθί μ το Πυθαγόριο Θώρημα 3 η Ενότητα Απαιτούμνα υλικά -1-

2 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» Για την διξαγωγή του σναρίου απαιτούνται φύλλα ργασίας για την τάξη, σύντομς οδηγίς για την χρήση του λογισμικού, ονόματα ιστοσλίδων φόσον θα χρησιμοποιηθούν. Πρόχιρο για την γγραφή των σπουδαιότρων συμπρασμάτων της ομάδας, τα οποία θα ανακοινωθούν στη τλική συζήτηση της τάξης. 4 η Ενότητα - Στόχοι του σναρίου. Διαπραγμάτυση Οι στόχοι του σναρίου ίναι να μάθουν οι μαθητές και οι μαθήτρις τις Πυθαγόρις Τριάδς. Να ανακαλύψουν την σχέση που συνδέι τα ττράγωνα των δύο πλυρών ορθογωνίου τριγώνου μ το ττράγωνο της υποτίνουσας και να το διατυπώνουν μ αλγβρική γλώσσα. Τέλος να αποδικνύουν το θώρημα γωμτρικά Η διαπραγμάτυση του σναρίου πριλαμβάνι νημέρωση των μαθητών και των μαθητριών για το σνάριο που θα τους απασχολήσι και τον τρόπο που θα δουλέψουν. Μοιράζονται σ όλους και όλς τα φύλλα ργασίας και η παρακάτω σ σημίωση πριγραφή των δραστηριοτήτων: Δραστηριότητα 1η : Από το αρχίο Geogebra, Pith.ggb φαίνται η σύνδση των αριθμών που αποτλούν Πυθαγόρις τριάδς μ τις πλυρές νός ορθογωνίου τριγώνου. Σ κάθ μτατόπιση των δύο συρτών σχηματίζονται ορθογώνια τρίγωνα στις πλυρές των οποίων φαίνονται οι αριθμοί που σχηματίζουν Πυθαγόρις τριάδς. Χρησιμοποιήθηκ δώ το λογισμικό Geogebra για την υκολία που μας προσφέρι για την δημιουργία της δραστηριότητας, την καλή απικόνιση των μταβολών και το ύχρηστο της όλης προσπάθιας Πυθαγόρις Τριάδς Ορθογώνιο τρίγωνο Δραστηριότητα 2 η : Συμπληρώνται ένα υπολογιστικό φύλλο μ δέκα γραμμές πάνω στην κατασκυή και στις σχέσις που συνδέουν τις Πυθαγόρις τριάδς και μ ποπτία φαίνται η πρώτη σύνδση των αριθμών που αποτλούν Πυθαγόρις τριάδς. Το Excel προτιμήθηκ στην δραστηριότητα αυτή πρισσότρο για τις υπολογιστικές δυνατότητές του και για οικονομία χρόνου καθόσον μ τις συναρτήσις του πολύ ύκολα συμπληρώνονται οι στήλς του φύλου και γίνται αντιληπτή η αλγβρική σχέση των Πυθαγόριων Τριάδων Οι Πυθαγόρις τριάδς λ μ x =λ^2-μ^2 y=2*λ*μ z=λ^2+μ^2 x^2 y^2 x^2+y^2 z^

3 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» Δραστηριότητα 3 η : Στο πριβάλλον του G S P 4.07_Gr στην σλίδα 1 κατασκυάζται ένα ορθογώνιο τρίγωνο μ μταβαλλόμνς τις κορυφές του. Δυναμικά διαπιστώνται ότι το άθροισμα των ττραγώνων των καθέτων πλυρών του ίναι ίσο μ το ττράγωνο της υποτίνουσας του μέσα από πίνακς και από γωμτρική παράσταση. Στην σλίδα 2 αποδικνύται το Πυθαγόριο Θώρημα γωμτρικά. Το λογισμικό του G S P 4.07_Gr προτιμήθηκ στην δραστηριότητα αυτή γιατί ίναι ένα κατξοχήν λογισμικό δυναμικής Γωμτρίας και μας προσφέρι όλς τις μταβολές που χριάζονται για να κατανοήσουν οι μαθητές και οι μαθήτρις Γωμτρικά το Πυθαγόριο Θώρημα Κίνηση στο Α Κίνηση στο Β ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΒ 2 ΑΓ 2 ΑΒ 2 +ΑΓ 2 ΒΓ 2 3,07 κ. 1,85 κ. 3,58 κ. 9,42 κ. 2 3,41 κ. 2 12,83 κ. 2 12,83 κ. 2 Κίνηση στο Γ μέτροβαγ = 90,00 ΟΡΙΣΜΟΣ Εμβαδόν ΑΓΔΕ Εμβαδόν ΑΒΗΖ Εμβαδόν ΑΓΔΕ+ Εμβαδόν ΑΒΗΖ Εμβαδόν ΒΓΙΘ 3,41 κ. 2 9,42 κ. 2 12,83 κ. 2 12,83 κ. 2 Εμφάνιση ορισμού Ι Θ Δ Γ Ε Α Β Ζ Η E E 1 E 2 Η κκίνηση της τάξης μπορί, ανάλογα μ το πώς θα το κρίνι ο διδάσκων ή η διδάσκουσα, να βασιστί μταξύ άλλων νδικτικά και στα ξής : Ψάξτ στην μηχανή αναζήτησης το «θώρημα της κατόμβης» el.wikipedia.org/wiki/πυθαγόριο_θώρημα Αναζητήστ σ γραμματόσημα το Πυθαγόριο Θώρημα -3-

4 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» Γραμματόσημα μ θέμα τον Πυθαγόρα. Μέχρι τη μακρινή Νικαράγουα... Ελληνικά γραμματόσημα μ θέμα τον Πυθαγόρα. Βρίτ ιστορικά στοιχία για τον Πυθαγόρα τον Σάμιο και την σχολή του Βρίτ πόσς διαφορτικές αποδίξις υπάρχουν για το Πυθαγόριο Θώρημα Βρίτ μ κατάλληλη αναζήτηση ποιός πρόδρος των Η.Π.Α. έδωσ λύση για το Πυθαγόριο Θώρημα. Δίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα και τρία ττράγωνα που έχουν πλυρές τις τρις πλυρές του ορθογωνίου τριγώνου και τους ζητίται μ κατάλληλς μτατοπίσις των σχημάτων να δίξουν ότι το άθροισμα των μβαδών των ττραγώνων των καθέτων πλυρών ίναι ίσο μ το μβαδόν του ττραγώνου της υποτίνουσας ( από το σχολικό βιβλίο ) Να δοθούν Πυθαγόρις τριάδς στις οποίς να βρουν ότι το άθροισμα των ττραγώνων των δύο μικρότρων αριθμών ισούται μ το ττράγωνο της μγαλύτρης πλυράς. Δίνονται σ γωμτρικό σχήμα τρία ττράγωνα μ πλυρές οποισδήποτ πυθαγόρις τριάδς και ζητίται να βρθί η σχέση που υπάρχι μταξύ του μβαδού του αθροίσματος των δύο μικρότρων ττραγώνων μ το μβαδόν του μγαλύτρου ττραγώνου. Επίσκψη των σλίδων του You Tube και ύρση κί videos σχτικά μ το Πυθαγόριο Θώρημα, τραγούδια, πιράματα, δυναμικές παραστάσις, ταινίς κ.τ.λ. Ενδικτικά αναφέρται και άλλα τουλάχιστον δέκα Ανάλογα μ τον τρόπο κκίνησης της τάξης πρέπι ο διδάσκων η διδάσκουσα να διαμορφώσι το φύλλο ργασίας που θα μοιράσι στην τάξη και να χρησιμοποιήσι τα αρχία του πιλγμένου λογισμικού που θα έχι κατασκυάσι από πριν. Ένα νδικτικό φύλλο ργασίας ίναι και το παρακάτω : Πότ ένα τρίγωνο ονομάζται ορθογώνιο, αμβλυγώνιο, οξυγώνιο. Βρίτ τρις αριθμούς, τέτοιους ώστ το άθροισμα των ττραγώνων των δύο αριθμών να ισούται μ το ττράγωνο του τρίτου αριθμού. Αν δν μπορίτ να βρίτ, ανοίξτ το αρχίο Pith.ggb Παρατηρίστ τις πλυρές του τριγώνου ΑΒΓ. Ποια σχέση τις συνδέι -4-

5 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» Μτακινήστ από πάνω αριστρά τους δρομίς λ και μ. Τι παρατηρίται Πόσοι αριθμοί σαν τους παραπάνω ζητούμνους υπάρχουν; Μήπως ξέρτ πως ονομάζονται οι παραπάνω τριάδς; Αν θέλτ να μάθτ πως μπορούμ να βρούμ τις τριάδς αυτές ανοίξτ το αρχίο Microsoft Excel P_T και συμπληρώστ τις στήλς του. Ανοίξτ το αρχίο sxedio1 του Sketchpad. Παρατηρήστ τους δύο πίνακς και το σχήμα, βρίτ τι ίδους τρίγωνο έχτ και ποια στοιχία των πινάκων ίναι ίσα. Μτακινήστ πάνω στην πιφάνια ργασίας όποια από τις κορυφές του τριγώνου θέλτ, όπως θέλτ. Τι συμβαίνι στο τρίγωνο και στους πίνακς; Πατήστ τα κουμπιά μφάνιση κίνησης και κινήστ από κί καθένα από τα κουμπιά ή και όλα μαζί. Τι παρατηρίται; Μπορίτ να κφράστ μ μαθηματική γλώσσα τι ακριβώς συμβαίνι μ τις πλυρές του ορθογωνίου τριγώνου; Αποδίξτ μ την βοήθια της σλίδας 2 του αρχίου sxedio1, την παραπάνω πρόταση. Γνωρίζουμ ότι όλα τα τρίγωνα που υπάρχουν ίναι ίσα μταξύ τους. Στο τέλος της διαδικασίας προτίνται να γίνι ανταλλαγή των απόψων μέσα στην τάξη, να συζητηθί το όλο γχίρημα και να βγουν τα κατάλληλα συμπράσματα. Πιθανή απόδιξη του θωρήματος στον πίνακα από κάποια ομάδα πιδή κάποια άλλη δν μπόρσ να το κάνι. 5 η Ενότητα - Χρησιμότητα του Πυθαγορίου Θωρήματος Όλοι γνωρίζουν την μγάλη χρησιμότητα του Πυθαγορίου Θωρήματος και πόσο μγάλη ίναι η φαρμογή του. Ενδικτικά αναφέρονται : Η τοποθέτηση των Άρρητων αριθμών πάνω στον άξονα Ο υπολογισμός των ττραγωνικών ριζών μ τα σπιράλ Στις σχέσις των μβαδών των πιπέδων σχημάτων που μπορούμ να σχηματίσουμ μ βάσις τις πλυρές ορθογωνίου τριγώνου Στις μτρικές σχέσις σ ορθογώνιο τρίγωνο, τυχαίο τρίγωνο καθώς και στα θωρήματα των διαμέσων Στα κανονικά πολύγωνα γγγραμμένα και πριγγραμμένα Υπολογισμός των τριγωνομτρικών αριθμών 6 η Ενότητα - Δυσκολίς των μαθητών μαθητριών Δν προβλέπται να υπάρξι ιδιαίτρη δυσκολία. Όμως υπάρχι ο κίνδυνος να παρουσιαστί διδακτικός θόρυβος στην συμπλήρωση του φύλου Excel, από τις πολλές μτακινήσις των σημίων του σχήματος και τις αντίστοιχς πινακοποιήσις, από τα κινούμνα γραφικά τα οποία παρασύρουν τους μαθητές μαθήτρις σ κατάχρηση. Άλλς δυσκολίς προβλέπται να παρουσιαστούν από την καταστροφή των πρότυπων ικόνων. 7 η Ενότητα - Κέρδη και ζημίς από την χρήση των Τ. Π. Ε. Ο υπολογιστής προσφέρι όλα τα ργαλία για ακριβίς υπολογισμούς και κατασκυή σχήματος. Δυναμικές μταβολές των πλυρών και των γωνιών, αυτόματη μέτρηση των μγθών του σχήματος, πινακοποίηση των μτρηθέντων μγθών. Γραφική παράσταση των μταβολών. Τα κινούμνα γραφικά δίνουν στον μαθητή - μαθήτρια την δυνατότητα να «παίξουν», να διρυνήσουν το σχήμα βρίσκοντας οριακές θέσις δίνοντας υπόσταση στην έννοια του «τίνι» και του ορίου. Ανακαλύπτουν έτσι την γνώση. Αν όμως παραμίνουμ μόνο σ αυτό χωρίς να προχωρήσουμ στην απόδιξη τότ η Τ. Π. Ε. προκαλούν ζημία. -5-

6 1 ο Εκπαιδυτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδυτική Διαδικασία» 8 η Ενότητα - Αξιοποίηση του σναρίου Αυτή θα γίνι μ το φύλλο ργασίας. Οι διδασκόμνοι καλούνται να κατασκυάσουν, να παρατηρήσουν, να ικάσουν και στην συνέχια να αποδίξουν το Πυθαγόριο Θώρημα και το αντίστροφό του. Έτσι μαθαίνουν το να το χρησιμοποιούν στις μτέπιτα ανάγκς τους, όπως στους υπολογισμούς τριγωνομτρικών αριθμών στο κφάλαιο της Τριγωνομτρίας, και της ττραγωνικής ρίζα στην Άλγβρα. Βιβλιογραφία Brousseau. G. (1997). Theory of didactical situations in Mathematics, Kluwer Academic Publishers. Dagdilelis. V. & Papadopoulos, I. (2004). An Open Problem in the Use of Software for Educational Purposes, in E. McKay (Ed.), Proceedings of International Conference on Computers in Education '2004, , RMIT University, Australia. Papadopoulos, I. & Dagdilelis, V. (2006). The Theory of Transactional Distanceas a framework for the analysis of computer aided teaching of geometry, International Journal for Technology in Mathematics Education, 13 (4), Polya, G. (1973). How to solve it, Princeton: Princeton University Press. Κολέζα, Ε. (2000). Γνωσιολογική και Διδακτική Προσέγγιση των Στοιχιωδών Μαθηματικών Εννοιών, Εκδ. Ελληνικά Γράμματα. Κυνηγός, Χ. (2007) Το μάθημα της διρύνησης. Παιδαγωγική αξιοποίηση της Σύγχρονης Τχνολογίας για τη διδακτική των Μαθηματικών: Από την έρυνα στη σχολική τάξη. Εκδ. Ελληνικά Γράμματα. -6-