ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Σημιώσις για το μάθημα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ε. Ε. Νισταζάκης Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης Πανπιστήμιο Αιγαίου

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κφάλαιο ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5.. Μ τι ασχολίται η αριθμητική ανάλυση; 5.. Τι προβλήματα μπορούμ να λύσουμ μ τη χρήση αριθμητικών μθόδων; 7.. Οι αλγόριθμοι στην αριθμητική ανάλυση 9 Κφάλαιο ο : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.. Ποις ίναι οι μη γραμμικές ξισώσις;.. Μέθοδοι διαδοχικών δοκιμών.. Μέθοδος της Διχοτόμησης 6.. Μέθοδος Regul Fls.5. Επαναληπτικές Μέθοδοι 6.6. Μέθοδος ewto Rpso 7.7. Μέθοδος της τέμνουσας sect metod.8. Γνική παναληπτική Μέθοδος 5.9. Τάξη Συγκλισης των Επαναληπτικών Μθόδων Κφάλαιο ο : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 8.. Αριθμητική πίλυση γραμμικών συστημάτων 8.. Αλγόριθμος του Guss 5.. Πόσς πράξις απαιτούνται στον αλγόριθμο του Guss; 59.. Εφαρμογές: Υπολογισμός οριζουσών και αντίστροφων πινάκων 6... Εύρση οριζουσών 6... Εύρση αντίστροφου πίνακα 6.5. Αλγόριθμος Guss Jord 65

3 Κφάλαιο ο : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 68.. Γραμμικοί μτασχηματισμοί. Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα 68.. Πίνακας στροφής 7.. Πίνακας αλλαγής μέτρου 75.. Αναλυτική ύρση ιδιοτιμών-ιδιοδυανυσμάτων Η σημασία της απολύτως μγαλύτρης πραγματικής ιδιοτιμής Επαναληπτικές μέθοδοι πίλυσης γραμμικών συστημάτων 86 Κφάλαιο 5 ο : ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Προσαρμογή-Παρμβολή Προσαρμογή Προσαρμογή Γραμμική παλινδρόμηση - μέθοδος λαχίστων ττραγώνων Πολυωνυμική προσαρμογή - μέθοδος λαχίστων ττραγώνων 5.6. Μέθοδος λαχίστων ττραγώνων για πιλογή ιδικού νόμου Πολυωνυμική παρμβολή Παρμβολή Lgrge 5.9. Γνικοί τύποι Υπολογιστικό κόστος μθόδου παρμβολής Lgrge Μέθοδος των διαφορών Λογισμός των διαφορών και διαιρμένων διαφορών Προς τα μπρός διαφορές Τλστής προς τα μπρός μτατόπισης 5.5. Σχέση μταξύ τλστών Δ και Ε 5.6. Διαιρμένς προς τα μπρός διαφορές 5.7. Πίνακς διαφορών

4 5.8. Γνικός τύπος πολυώνυμου παρμβολής μ χρήση διαιρμένων διαφορών 5.9. Υπολογιστικό κόστος της μθόδου των διαιρμένων διαφορών 7 Κφάλαιο 6 ο : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Αριθμητική ολοκλήρωση Τοπικοί κλιστοί κανόνς ολοκλήρωσης τύποι ewto - Cotes 6.. Κανόνας του παραλληλογράμμου 6.. Κα νόνας τραπζίου 6.5. Κανόνας του Smpso 6.6. Υπολογισμός του τοπικού σφάλματος του κανόνα Smpso Εκτταμένοι κλιστοί κανόνς ολοκλήρωσης Εκτταμένος κλιστός κανόνας του τραπζίου Σφάλμα κτταμένου κλιστού κανόνα του τραπζίου Εκτταμένος κλιστός κανόνας του Smpso Σφάλμα κτταμένου κλιστού κανόνα του Smpso Επαναληπτική Μέθοδος Romerg Κανόνς ανώτρης τάξης ΑΝΑΦΟΡΕΣ

5 Κφαλαιο ο Εισαγωγή.. Μ τι ασχολίται η αριθμητική ανάλυση; Μέχρι τώρα γνωρίζαμ τον συγκκριμένο τρόπο λύσης διαφόρων γνωστών τύπων ξισώσων. Τέτοις ήταν οι απλές, πρωτοβάθμις ξισώσις, ή οι δυτροβάθμιές. Γνωρίζαμ λοιπόν ότι, για την πίλυση της δυτροβάθμιας ξίσωσης έπρπ απλά να υπολογίσουμ τη διακρίνουσα και στη συνέχια, ανάλογα μ το πρόσημο και την τιμή της να υπολογίσουμ τις ρίζς της που μπορί να ίναι ίτ πραγματικές ίτ φανταστικές. Ξέραμ πίσης ότι για άλλς, ανώτρου βαθμού, αλγβρικές ξισώσις δν υπήρχαν κάποις συγκκριμένς γνωστές τχνικές πίλυσης αλλά προσπαθούσαμ να πιλύσουμ μρικές συγκκριμένς μορφές τους. Για παράδιγμα, μπορούσαμ να λύσουμ, μ συστηματικό τρόπο, μία τταρτοβάθμια ξίσωση μόνο στην πρίπτωση που πριίχ μόνο όρους υψωμένους σ άρτια δύναμη διττράγωνη ανάγοντας την σ μία δυτροβάθμια. Σ άλλς πριπτώσις προσπαθούσαμ να υπολογίσουμ κάποις λύσις των ξισώσων ώστ μ μθόδους παραγοντοποίησης, όπως το σχήμα Horer, να τις φέρουμ σ κάποια μορφή που θα μπορούσαμ να ύκολα να πιλύσουμ. Σ όλς τις παραπάνω πριπτώσις αναφρθήκαμ σ συγκκριμένς ξισώσις δυτροβάθμια, πρωτοβάθμια, κλπ ή σ ξισώσις που γνωρίζουμ κάποια λύση τους και μπορούμ να κάνουμ παραγοντοποίηση σχήμα Horer. Στην πράξη όμως τα πράγματα δν ίναι τόσο απλά. Οι ξισώσις που μπορί να συναντήσουμ κατά την πίλυση νός προβλήματος, συνήθως, δν μπορούν να αναχθούν σ κάποια από τις πιλύσιμς μορφές, ούτ μπορούν να παραγοντοποιηθούν μ απλό τρόπο γιατί δν γνωρίζουμ κάποια ρίζα τους. Οι πριπτώσις αυτές δηλ. ξισώσις μη πιλύσιμς μ αναλυτικές μθόδους δν ίναι κάποις ξηζητημένς μορφές αλλά, αντίθτα, ίναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμνς. Ετσι, για μία ξίσωση, για παράδιγμα, που ίναι πέμπτου βαθμού, Εξ.. δν υπάρχι κάποιος αναλυτικός τρόπος λύσης. 5 P. 5

6 Το σημαντικό όμως, στις πριπτώσις αυτές, ίναι ότι υπάρχουν θωρήματα τα οποία αποδικνύουν την ύπαρξη ριζών μέσα σ κάποια ππρασμένα διαστήματα. Ετσι, πιδή η Εξ.., ίναι συνχής σ όλο το R, και πιδή P και P, φαρμόζουμ το θώρημα Bolzo και < > συμπραίνουμ ότι στο ανοικτό διάστημα, υπάρχι τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα του πολυωνύμου. Γνωρίζοντας το διάστημα μέσα στο οποίο βρίσκται τουλάχιστον μία από τις πραγματικές ρίζς του πολυωνύμου, χρησιμοποιούμ την αριθμητική ανάλυση για να την υπολογίσουμ. Στο σημίο αυτό θα πρέπι να τονιστούν κάποις πολύ σημαντικές διαφορές που παρουσιάζι η αριθμητική μ την αναλυτική πίλυση των ξισώσων. Οι αριθμητικές μέθοδοι στηρίζονται πάνω σ υπολογισμούς, πράξις μ ππρασμένη ακρίβια. Έτσι τα αποτλέσματα τα οποία προκύπτουν δν ίναι ποτέ απολύτως ακριβή αλλά μας οδηγούν πάρα πολύ κοντά στην πριοχή που πραγματικά βρίσκονται οι ρίζς των ξισώσων και ανάλογα μ την ακρίβια υπολογισμού που απαιτούμ, πλησιάζουμ όσο το δυνατόν πρισσότρο στις πραγματικές τιμές των ριζών αυτών. Όμως η όσο το δυνατόν κοντινότρη προσέγγιση έχι κόστος σ χρόνο, αφού οι μγαλύτρης ακρίβιας υπολογισμοί απαιτούν πρισσότρς πράξις, αλλά και σ χρήμα αφού τα μηχανήματα τα οποία μπορούν να κάνουν υπολογισμούς ταχύτρα αλλά και μ μγαλύτρη ακρίβια κοστίζουν. Ένα ακόμα μιονέκτημα που παρουσιάζι η χρήση αριθμητικών μθόδων ίναι ότι πολύ συχνά πρέπι να γίνουν δοκιμές μ πρισσότρς από μία μθόδους μέχρι να βρθί η κατάλληλη η οποία θα πιτρέπι την πίλυση των συγκκριμένων ξισώσων που μας νδιαφέρουν. Πρέπι πίσης, πριν τη χρήση των αριθμητικών μθόδων, να χρησιμοποιηθούν οι κατάλληλς αναλυτικές μέσω των οποίων θα ντοπιστούν οι πριοχές μέσα που βρίσκονται οι ρίζς. Τίθται λοιπόν το ρώτημα: που υπρτρούν οι αριθμητικές μέθοδοι από τις αναλυτικές; Η απάντηση ίναι απλή: στο ότι μ την πιλογή των κατάλληλων αριθμητικών μθόδων μπορούμ να πιλύσουμ πολύ μγάλο αριθμό αριθμητικών προβλημάτων χωρίς να χριάζται να έχουν κάποια συγκκριμένη μορφή. Ο τρόπος και η ακρίβια μ την οποία αυτά θα πιλυθούν, ξαρτώνται από την μέθοδο που θα χριαστί, από τις δυνατότητς των μηχανημάτων αλλά κυρίως από τον άνθρωπο ο οποίος θα πιλέξι τον τρόπο και τη μέθοδο που πρέπι κάθ φορά να χρησιμοποιήσι. Από τα παραπάνω συμπραίνουμ ότι οι αριθμητικές μέθοδοι δν μπορούν να δώσουν κανένα αποτέλσμα αν δν χρησιμοποιήσουν συγκκριμένους αναλυτικούς υπολογισμούς και αποτλέσματα. Για το λόγο αυτό στις σημιώσις αυτές γίνται μια προσπάθια να μλτηθούν οι αριθμητικές μέθοδοι τόσο από την πλυρά της θωρίας χρήση αναλυτικών ργαλίων και θωρημάτων, όσο και από αυτή της υλοποίησησης δημιουργία αλγορίθμών. 6

7 .. Τι προβλήματα μπορούμ να λύσουμ μ τη χρήση αριθμητικών μθόδων; Προηγουμένως αναφρθήκαμ στις δυνατότητς πίλυσης απλών πολυωνυμικών ξισώσων μ τη χρήση αριθμητικών μθόδων. Η αναφορά στα προβλήματα αυτά έγιν για να μπορέσι ο αναγνώστης να κατανοήσι υκολότρα το πόσο πιββλημένη ίναι η χρήση αναλυτικών μθόδων για τη λύση τους. Όμως μ τις αναλυτικές μθόδους μπορούμ να πιλύσουμ και πολλές άλλς μορφές προβλημάτων τα οποία θα ήταν αδύνατο να αντιμτωπιστούν μ αναλυτικές μθόδους. Στη συνέχια λοιπόν δίνουμ ορισμένα παραδίγματα μαθηματικών προβλημάτων τα οποία πιλύονται μ τη χρήση αριθμητικών μθόδων. Α Επίλυση γραμμικών συστημάτων μ σταθρούς συντλστές Ας θωρήσουμ ένα γραμμικό σύστημα Ν ξισώσων μ Ν αγνώστους της μορφής:.. Ν Ν Για ένα τέτοιο σύστημα υπάρχουν αρκτές αναλυτικές μέθοδοι οι οποίς πιτρέπουν την πίλυση του. Όμως, στην πρίπτωση που το Ν ίναι πολύ μγάλο η πίλυση του μ χρήση των γνωστών αναλυτικών μθόδων ίναι πρακτικά αδύνατη. Στο πρόβλημα αυτό δίνι λύση η αριθμητική ανάλυση. Μ τη χρήση των κατάλληλων αλγορίθμων μπορούμ να πιλύσουμ προβλήματα τα οποία θωρητικά μπορούν να πιλυθούν αλλά πρακτικά κάτι τέτοιο θα ήταν αδύνατο. Β Επίλυση και υπολογισμός τιμής ορισμών ολοκληρωμάτων Είναι γνωστό ότι η πλιοψηφία των ορισμένων ολοκληρωμάτων που μπορί να συναντήσουμ σ διάφορα προβλήματα δν μπορούν να πιλυθούν αναλυτικά. Μ τη χρήση όμως αριθμητικών μθόδων ο υπολογισμός της τιμής ορισμένων ολοκληρωμάτων μπορί να υπολογιστί. Ετσι το ολοκλήρωμα της Εξ.., δν μπορί να υπολογιστί μ αναλυτικές αλλά μόνο μ τη χρήση των κατάλληλων αριθμητικών μθόδων. 7

8 π s d. Όπως θα δούμ σ πόμνο κφάλαιο, ο υπολογισμός της τιμής ορισμένων ολοκληρωμάτων μ χρήση αναλυτικών μθόδων, ίναι μια διαδικασία αρκτά πίπονη και πολλές φορές αναποτλσματική. Για το λόγο αυτό τα πρισσότρα προβλήματα τα οποία μπριέχουν και τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων πιλύονται μ αριθμητικές μθόδους. Η ακρίβια των αποτλσμάτων στην πρίπτωση αυτή, ξαρτάται από τη μέθοδο που χρησιμοποιούμ καθώς και την ακρίβια του υπολογιστή μας. Γ Επίλυση διαφορικών ξισώσων Αρκτές διαφορικές ξισώσις έχουν λύσις οι οποίς μπορούν να υπολογιστούν μ αναλυτικές μθόδους. Για παράδιγμα, η ακόλουθη συνήθης διαφορική ξίσωση Εξ.., ''. έχι τη γνωστή γνική λύση s. όπου οι σταθρές και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκς. Υπάρχουν όμως κάποις άλλς διαφορικές ξισώσις των οποίων η λύση ίτ ίναι πολύ δύσκολο, ίτ αδύνατο να υπολογιστί μ χρήση αναλυτικών μθόδων. Ένα τέτοιο παράδιγμα ίναι η διαφορική ξίσωση της Εξ..5, ' ' s..5 Η Εξ..5 ίναι πολύ δυσκολότρο να λυθί από την Εξ.. και για αυτό το λόγο η μλέτη της γίνται μ τη χρήση αριθμητικών μθόδων. Βέβαια δν ίναι δυνατόν καμία αριθμητική μέθοδος να «υπολογίσι» τον τύπο της λύσης της ξίσωσης όπως γίνται αναλυτικά μ την Εξ.. που ίναι 8

9 αναλυτική λύση της Εξ.. αλλά ίναι δυνατόν να υπολογιστούν αρκτά ζύγη τιμών, που να ικανοποιούν τη συνάρτηση, οπότ, γνωρίζοντας τα μπορούμ να τη μλτήσουμ τη συμπριφορά της ακρότατα, μονοτονία, κλπ μ πολύ μγάλη ακρίβια, έστω και αν δν γνωρίζουμ την αναλυτική της λύση. Δ Επίλυση ιδικών συναρτήσων Ως παράδιγματα ιδικών συναρτήσων θα μπορούσαμ να αναφέρουμ ίτ, κάποις τριγωνομτρικές συναρτήσις, π.χ. s ίτ. κάποις συναρτήσις που πριέχουν ρίζς, π.χ. 5 ίτ οποιαδήποτ άλλη ξίσωση της οποίας οι ρίζς δν ίναι δυνατόν να υπολογιστούν μ κάποια απλή αναλυτική μέθοδο... Οι αλγόριθμοι στην αριθμητική ανάλυση Ενα σημαντικό στοιχίο κάθ αριθμητικής μθόδου ίναι το γγονός ότι οι υπολογισμοί γίνονται μ τη χρήση υπολογιστών. Αυτό έχι σαν αποτέλσμα ότι μπορούμ να πιτύχουμ μγάλς ταχύτητς υπολογισμών αλλά και ότι τα αποτλέσματα μας δ θα πριέχουν λάθη. Για να μπορί όμως να χρησιμοποιηθί ο υπολογιστής για τον υπολογισμό των ποσοτήτων που μας νδιαφέρουν πρέπι να προγραμματιστί κατάλληλα. Ο προγραμματισμός αυτός γίνται μ τη δημιουργία των κατάλληλων αλγορίθμων οι οποίοι στη συνέχια μταφράζονται σ κώδικα της γλώσσας προγραμματισμού που θέλουμ να χρησιμοποιήσουμ. Για να δώσουμ ένα απλό παράδιγμα, ας μλτήσουμ την πρίπτωση όπου διαιρούμ ένα πολυώνυμο, π.χ. το P 6 6 μ το διώνυμο χρησιμοποιώντας το σχήμα Horer. Η διαδικασία που θα ακολουθηθί θα ίναι η ξής: α Αρχικά γράφουμ όλους τους συντλστές των όρων που πριέχουν το, σ μία γραμμή, από τα αριστρά προς τα δξιά ξκινώντας από τον συντλστή του μγιστοβάθμιου. β Στη συνέχια και αφού γνωρίζουμ ότι το πολυώνυμο έχι μία γνωστή ρίζα τη, πολλαπλασιάζουμ τους συντλστές του, ξκινώντας από τον μγιστοβάθμιο, και το αποτέλσμα 9

10 του το αφαιρούμ από τον αμέσως πόμνο συντλστή. Στη συνέχια, το αποτέλσμα αυτό το αφαιρούμ από τον αμέσο πόμνο συντλστή και ούτω καθξής έως ότου η τλυταία αφαίρση να δώσι μηδνική διαφορά. γ Το νέο πολυώνυμο που θα προκύψι θα έχι μγιστοβάθμιο όρο ένα βαθμό μικρότρο από το αρχικό και συντλστές αυτούς που θα έχουν προκύψι μτά τις διαδοχικές αφαιρέσις. Ο τρόπος μ τον οποίο χρησιμοποιούμ το σχήμα Horer φαίνται στη συνέχια: Αν ονομάσουμ,,, τους συντλστές του πολυωνύμου ως προς τις αντίστοιχς δυνάμις του στην πρώτη σιρά, και,,, τους αντίστοιχους συντλστές στην τρίτη σιρά, τότ έχουμ διαδοχικά τις σχέσις:.6 όπου τα τρία τλυταία βήματα, των Εξ..6, αποτλούν ουσιαστικά ένα μόνο βήμα που δίνται από τη γνική αναδρομική σχέση μ,, μ βήμα -.7 Το σχήμα Horer που πριγράφτηκ αποτλί μία τυπική πρίπτωση αλγόριθμου. Η διαδικασία τρματίζται μτά από μία συγκκριμένη σιρά ππρασμένων σ πλήθος βημάτων που οδηγούν σ ορισμένο αποτέλσμα. Ο αλγόριθμος δέχται ως ίσοδο τις τιμές των συντλστών του αρχικού

11 πολυωνύμου και την τιμή ρ της ρίζας του πολυωνύμου, και πιστρέφι ως αποτέλσμα τις τιμές των συντλστών του νέου πολυωνύμου και του υπολοίπου που προκύπτι από τη διαίρση των δύο πολυωνύμων. Η πριγραφή της διαδικασίας του σχήματος Horer, η οποία γίνται ουσιαστικά μ τις Εξ και τις πξηγήσις που παρμβάλλονται, ίναι ουσιαστικά μία πρωτόλια μορφή αλγορίθμου. Ο αλγόριθμος λοιπόν, ίναι ουσιαστικά ένα νδιάμσο βήμα για τη δημιουργία του κώδικα, σ όποια γλώσσα προγραμματισμού μας νδιαφέρι, ο οποίος θα μπορί να πιλύι το πρόβλημα που μας νδιαφέρι κάθ φορά. Για το λόγο αυτό πριν να ξκινήσουμ να γράφουμ οποιοδήποτ πρόγραμμα σ οποιαδήποτ γλώσσα προγραμματισμού, θα πρέπι να οργανώνουμ και να πριγράφουμ, την όλη διαδικασία που θα ακολουθήσουμ μ τον τρόπο που δίξαμ παραπάνω. Στη συνέχια, για την κατασκυή του κώδικα θα πρέπι καταρχήν να έχουμ κατανοήσι απόλυτα τη μέθοδο και τη διαδικασία πίλυσης που θα χρησιμοποιήσουμ. Πρέπι να γνωρίζουμ πολύ καλά τη γλώσσα προγραμματισμού που θα χρησιμοποιήσουμ, νώ τέλος θα πρέπι να λάβουμ υπόψη μας τους διάφορους πριορισμούς που τίθνται και αφορούν το χρόνο που μπορί να διαρκέσι ο υπολογισμός, τα μηχανήματα τα οποία μπορούμ να χρησιμοποιήσουμ και την ακρίβια στις τιμές των αποτλσμάτων που θέλουμ να πτύχουμ. Τα προγράμματα κώδικς που θα χρησιμοποιήσουμ στις σημιώσις αυτές ίναι γραμμένα σ γλώσσα C/C αλλά, προφανώς, αφού θα ξηγίται ο τρόπος λιτουργίας τους και θα αναλύται η δομή τους ίναι πολύ ύκολο να γραφούν και σ οποιαδήποτ άλλη γλώσσα προγραμματισμού για την οποία νδιαφέρται ο αναγνώστης.

12 Κφαλαιο ο Αριθμητική υρση ριζών μη γραμμικών ξισώσων.. Ποις ίναι οι μη γραμμικές ξισώσις; Μ τον όρο μη γραμμικές ξισώσις ννοούμ ξισώσις τις μορφής. που προέρχονται από συναρτήσις που ίναι μη γραμμικές ως προς. Πριέχουν δηλαδή και όρους ως προς βαθμού διάφορου του πρώτου. Τέτοις ξισώσις μπορί να ίναι: 5.α 5.β s.γ Είναι φανρό ότι οι παραπάνω ξισώσις δν μπορούν να πιλυθούν μ τις γνωστές αναλυτικές μθόδους. Για να λυθούν λοιπόν θα πρέπι να χρησιμοποιήσουμ αριθμητικές μθόδους. Όπως ήδη έχουμ αναφέρι, ο υπολογισμός των ριζών τέτοιων ξισώσων μ χρήση αριθμητικών μθόδων στηρίζται σ κάποια θωρήματα. Ετσι, αποδικνύται ότι π.χ. η Εξ..α έχι τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα μέσα στο ανοιχτό διάστημα -,. Η απόδιξη προκύπτι από το θώρημα Boltzo, το οποίο αναφέρι ότι:

13 Θώρημα Boltzo: Αν μία συνάρτηση ίναι συνχής σ ένα κλιστό διάστημα [α,β] και ισχύι ότι < τότ υπάρχι τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός ρ μέσα στο ανοιχτό διάστημα α,β ο οποίος θα ίναι ρίζα της ξίσωσης. Σύμφωνα λοιπόν μ το παραπάνω θώρημα, αν θέσουμ α- και β τότ για την Εξ..α θα ισχύι -- και β άρα αβ< και συνπώς μέσα στο ανοιχτό διάστημα -, θα υπάρχι τουλάχιστον μία ρίζα της Εξ..α. Κάτι αντίστοιχο συμβαίνι και μ τις άλλς δύο Εξ..β και.γ. Αυτό το οποίο καταφέραμ μ τη χρήση του θωρήματος ίναι να ξέρουμ ότι μέσα σ ένα συγκκριμένο διάστημα υπάρχι τουλάχιστον μία ρίζα της Εξ..α. Δν γνωρίζουμ όμως ούτ αν υπάρχι μία μόνο ή πρισσότρς ρίζς, ούτ ποια ίναι η τιμή της τους. Αυτά τα δύο ρωτήματα θα απαντηθούν μ τη χρήση των αριθμητικών μθόδών. Πρέπι δώ να παναλάβουμ ότι τα αποτλέσματα τα οποία προκύπτουν μ τις αριθμητικές μθόδους δν ίναι απολύτως ακριβή αφού προκύπτουν από πράξις που πραγματοποιούν μηχανήματα τα οποία έχουν ππρασμένη ακρίβια υπολογισμών. Όμως πιδή, ανάλογα μ το πρόβλημα που έχουμ να αντιμτωπίσουμ, η ακρίβια των υπολογισμών που απαιτούμ ίναι δδομένη μπορούμ να προγραμματίσουμ έτσι το μηχάνημα μας ώστ τα αποτλέσματα που θα παίρνουμ να μπορούν να θωρούνται απολύτως ακριβή για τη δδομένη φαρμογή. Υπάρχουν διάφορς αριθμητικές μέθοδοι για την πίλυση των μη γραμμικών ξισώσων. Μπορούμ όμως να τις χωρίσουμ σ δύο μγάλς κατηγορίς: στις μθόδους που χρησιμοποιούν τις διαδοχικές δοκιμές, και σ αυτές που χρησιμοποιούν τις παναληπτικές μθόδους. Στη συνέχια θα δούμ κάποις από τις αριθμητικές μθόδους που πριλαμβάνι η κάθ κατηγορία και θα προσπαθήσουμ να σκιαγραφήσουμ, όσο αυτό ίναι δυνατόν, τις πριπτώσις που χρησιμοποιούμ κάθ μία από αυτές... Μέθοδοι διαδοχικών δοκιμών Ας θωρήσουμ την Εξ..α. Γνωρίζουμ από το θώρημα Boltzo, ότι η ξίσωση αυτή έχι τουλάχιστον μία ρίζα μέσα στο ανοιχτό διάστημα -,. Η μθοδολογία των διαδοχικών δοκιμών στηρίζται στο ότι σ κάθ βήμα δοκιμή πλησιάζουμ όλο και πιο κοντά στην πραγματική τιμή της ρίζας της ξίσωσης. Για να γίνι κατανοητό θα υπολογίσουμ μία πραγματική ρίζα της ακόλουθης Εξ

14 . Η ξίσωση. πιλέχθηκ γιατί μπορί να πιλυθί και μ αναλυτικές μθόδους, όποτ τα αποτλέσματα της αριθμητικής μθόδου θα μπορούν να συγκριθούν μ τις πραγματικές ρίζς και μλτηθί η ακρίβια τους. Εφαρμόζοντας το θώρημα Boltzo βρίσκουμ ότι η Εξ.. έχι μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα -,. Παρατηρώντας την Εξ.., μπιρικά, μπορούμ να συμπράνουμ ότι η ρίζα της θα ίναι αρνητικός αριθμός αφού, για θτικά η συνάρτηση μας δίνι το άθροισμα τριών θτικών όρων, το οποίο δν μπορί να ίναι μηδέν. Δοκιμάζουμ λοιπόν μία αρνητική τιμή, π.χ.. 5 και βρίσκουμ ότι.5.75 > Δδομένου ότι,5 >, ίναι σαφές ότι η ζητούμνη ρίζα θα βρίσκται πιο αριστρά στον άξονα των πραγματικών αριθμών από την τιμή. 5. Δοκιμάζουμ λοιπόν, μία μικρότρη τιμή, πάντα όμως μέσα στο διάστημα -,. Έστω λοιπόν ότι. 7 οπότ για την τιμή αυτή βρίσκουμ.7. < Τώρα πήραμ μία αρνητική τιμή της συνάρτησης, πομένως η ρίζα θα βρίσκται πιο δξιά της τιμής. 7. Πάντως, η τιμή.7. κατά απόλυτη τιμή βρίσκται πολύ πιο κοντά στο μηδέν από την τιμή Επομένως, η τρίτη μας δοκιμή θα ίναι πολύ πιο κοντά στο. 7, απ' ότι στο. 5. Ετσι, δοκιμάζοντας την τιμή. 68 βρίσκουμ > που ίναι ακόμη πιο κοντά στο μηδέν και έτσι, δοκιμάζοντας τιμές μ όλο και μικρότρς διακυμάνσις, μπορούμ τλικά να προσγγίσουμ τη ρίζα μ αρκτά μγάλη ακρίβια.

15 Είναι φανρό ότι η παραπάνω μέθοδος, στην πραγματικότητα βασίζται στη διαίσθησή μας να μαντέψουμ σωστά τις διαδοχικές δοκιμές οι οποίς προσγγίζουν όλο και πρισσότρο την πιθυμητή ρίζα. Οι αριθμητικές μέθοδοι τις οποίς θα μλτήσουμ στη συνέχια αποσκοπούν ακριβώς στο να μας παράσχουν ένα συστηματικό τρόπο στο πώς θα πιλέγουμ τις διαδοχικές δοκιμές, ώστ η ακολουθία των παραγόμνων δοκιμών να συγκλίνι όσο το δυνατόν ταχύτρα στην πιθυμητή ρίζα. Αναζητούμ δηλαδή κανόνα ο οποίος σ κάθ βήμα θα μας φέρνι όλο και πιο κοντά στην πραγματική τιμή της ρίζας της ξίσωσης. Ο κανόνας αυτός, θα πρέπι να έχι τη μορφή αναδρομικής συνάρτησης η οποία σ κάθ βήμα, γνωρίζοντας το κάθ προηγούμνο, θα πλησιάζι μ όλο και μγαλύτρη ακρίβια στην πραγματική τιμή της ρίζας. Ο κανόνας αυτός λοιπόν θα μπορούσ να έχι τη μαθηματική μορφή της Εξ.., g. η οποία μας πιτρέπι να προσδιορίσουμ μ συστηματικό τρόπο την προσέγγιση της ρίζας ρ στο -οστό βήμα, αν ίναι γνωστή η προσέγγιση της ρίζας ρ στο -οστό βήμα και φυσικά θα πρέπι να ισχύι ότι η ακολουθία των προσγγίσων,,, συγκλίνι προς τη ρίζα. Δηλαδή ισχύι ότι lm ρ.5 Ακριβώς μ αυτή τη λογική θα μλτήσουμ τις ακόλουθς αριθμητικές μθόδους για την ύρση λύσων μη γραμμικών ξισώσων. 5

16 .. Μέθοδος της Διχοτόμησης Η μέθοδος της διχοτόμησης δ χρησιμοποιίται συχνά και ουσιαστικά, αποτλί απυθίας φαρμογή του θωρήματος του Bolzo. Η ιδέα της μθόδου φαίνται στο ακόλουθο Σχ..: Σχήμα.: Μέθοδος της διχοτόμησης Εστω η συνάρτηση μ < και >. Τότ ισχύι το κριτήριο του Bolzo και υπάρχι μία πραγματική ρίζα στο,. Η ρίζα θα αντιστοιχί στο σημίο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μ τον -άξονα. Κατασκυάζουμ τις διαδοχικές προσγγίσις,, μ τον ξής τρόπο:, Βήμα ο Ορίζουμ ως την τιμή που αντιστοιχί στο μέσο του διαστήματος [, ], δηλ:.6 Βήμα ο Αν τότ ο ίναι η ζητούμνη ρίζα. Αυτή η πρίπτωση σπάνια συμβαίνι στην πράξη. Βήμα ο Αν τότ λέγχουμ το πρόσημο της τιμής της συνάρτησης στο σημίο. Ετσι, αν το πρόσημο της συμφωνί μ το πρόσημο της, τότ αντικαθιστούμ το παλιό μ το καινούριο που προκύπτι και θα ίναι. Αν όμως το πρόσημο της συμφωνί μ το πρόσημο της, τότ αντικαθιστούμ το παλιό α μ το. 6

17 Κατά τη διάρκια της κτέλσης του τρίτου βήματος, ένα μόνο από τα δύο άκρα, α ή θα παναπροσδιοριστί, και θα μταφρθί στο μέσο του παλαιού διαστήματος [α,]. Στην πρίπτωση της συνάρτησης του Σχ.., παρατηρούμ ότι το συμφωνί μ το πρόσημο της. Επομένως, μτά την κτέλση του ου βήματος, το άκρο θα μταφρθί στη θέση του σημίου νώ το άκρο α, παραμένι στη θέση του. Βήμα ο Επιστρέφουμ στο ο βήμα και παναλαμβάνουμ τα βήματα από έως μ το νέο διάστημα [, ] που έχι προκύψι και τη νέα προσέγγιση, στη θέση της, όπου η θα δίνται ξανά από την Εξ..7,.7 η οποία ίναι ίδια μ τη Εξ..6 για το, μ τη μόνη διαφορά ότι στην Εξ..7 ένα από τα α ή έχι τώρα παναπροσδιοριστί και μάλιστα έχι πάρι την τιμή του. Παρατηρούμ ότι στην πρίπτωση του σημίου, ο έλγχος του ου βήματος θα δώσι ότι το πρόσημο της συμφωνί μ το πρόσημο της. Επομένως, τώρα θα καταργηθί το παλαιό α και θα τθί, νώ το θα παραμίνι ως έχι. Το ο βήμα του κανόνα, υπάρχι έτσι ώστ, κάθ φορά που παναλαμβάνται η διαδικασία να ξακολουθί να ισχύι το κριτήριο του Bolzo. Στο νέο δηλαδή κλιστό διάστημα [, ] που προκύπτι μτά την υλοποίηση του ου βήματος, η τιμές της συνάρτησης στα δύο άκρα του διαστήματος έχουν αντίθτο πρόσημο. Σ κάθ πανάληψη των βημάτων από έως, το ύρος του αρχικού διαστήματος διαιρίται δια δύο, μια και το ένα από τα δύο άκρα του νέου διαστήματος μταφέρται ακριβώς στο μέσο του παλαιού διαστήματος. Ετσι, μτά από παναλήψις των βημάτων από έως, το αρχικό ύρος M, έχι υποδιαιρθί κατά τον παράγοντα. Επομένως, το ύρος του διαστήματος M μτά από παναλήψις θα ίναι: M.8 7

18 Αφού τα διαδοχικά διαστήματα όλο και μικρότρου ύρους πλησιάζουν τη ρίζα από δξιά και αριστρά, μπορούμ να τρματίσουμ την παναληπτική διαδικασία όταν το ύρος M μικρότρο από μία πιθυμητή θτική παράμτρο ακρίβιας. Θέτουμ λοιπόν, γίνι M <.9 και λύνοντας την ανίσωση ως προς το πλήθος των παναλήψων βρίσκουμ ότι l l >. l Στην πράξη η διαδικασία σταματάι μτά από l l [ ]. l βήματα ο συμβολισμός [ ] σημαίνι το ακέραιο μέρος του αριθμού μέσα στις αγκύλς. Θωρούμ τότ ως αριθμητική προσέγγιση της ρίζας την τιμή ρ. όπου το παίρνι την τιμή που δίνται από τη σχέση.. Στο παράδιγμα της ξίσωσης., ξκινώντας από το διάστημα ύρους, μ άκρα και, και θέτοντας ως παράμτρο πιθυμητής ακρίβιας, βρίσκουμ από την Εξ.. 5. Αυτό σημαίνι ότι μτά από 5 παναλήψις βρίσκουμ την προσγγιστική ρίζα: ρ

19 Ας δούμ στη συνέχια τι αποτλέσματα δίνουν οι πέντ πρώτς παναλήψις τις μθόδου και πώς αλλάζουν τα όρια και του διαστήματος [,] που μας νδιαφέρι. Ετσι λοιπόν, στον Πίνακα. φαίνονται οι τιμές των,,, οι αντίστοιχς τιμές της συνάρτησης, καθώς και, οι αλλαγές των ορίων που προκύπτουν ανάλογα μ το πρόσημο της σ κάθ δοκιμή: Αλλαγή ορίου A Πίνακας.: Αποτλέσματα 5 πρώτων βημάτων μθόδου διχοτόμησης κατά την πίλυση της Εξ.. Γνωρίζοντας τώρα τη μέθοδο της διχοτόμησης καλούμαστ να γράψουμ ένα πρόγραμμα το οποίο, χρησιμοποιώντας τη μθοδολογία αυτή, να υπολογίζι την πραγματική ρίζα μίας γνωστής ξίσωσης. Για να μπορέσουμ να γράψουμ ένα τέτοιο πρόγραμμα, το οποίο θα υλοποιήσουμ σ γλώσσα C/C, θα πρέπι αρχικά να γνωρίζουμ τι πρέπι να ζητάι από τον χρήστη και τι πρέπι να υπολογίζι μόνο του. Ετσι λοιπόν όταν το πρόγραμμα θα τρέχι θα πρέπι να ζητάι από τον χρήστη να του ισάγι: α τις τιμές των ορίων του αρχικού διαστήματος για το οποίο ισχύι αρχικά το θώρημα του Boltzo, β την τιμή που ίναι ουσιαστικά το ύρος του διαστήματος μέσα στο οποίο θα υπολογιστί η ρίζα. Πολλές φορές αυτό το ύρος μπορί να το δούμ και σαν ακρίβια υπολογισμού της λύσης. Όμως όπως και να το συναντήσουμ σημαίνι ακριβώς το ίδιο μέγθος. Αφού ορίσαμ τις τιμές των, και μπορούμ να φτιάξουμ το πρόγραμμα το οποίο μπορί να έχι την ακόλουθη μορφή του Προγράμματος.. 9

20 Πρόγραμμα.: #clude <stdo.> #clude <mt.> doule udoule; t m { t ; doule,,eps,m,m; -; ; epse-; wles->eps { m/; mum; m> m; m< m; m { m; m; } ; } prt"to dstm mes sto opoo rsket rz e to %.l,%.l\",,; prt"k prokpte met po %d eplpses ts metodou\\",; retur ; }

21 doule udoule { doule ; pow, ; retur ; } Το πρόγραμμα. για να αρχίσι να λιτουργί πρέπι να του ορίσουμ τις τιμές των, και eps. Προφανώς η διαδικασία αυτή θα μπορούσ να γίνι και μ χρήση ντολών ισόδου sc αλλά αυτό παραλίπται για λόγους υκολίας γραφής του προγράμματος. Αυτό που θα πρέπι να τονίσουμ δώ ίναι ότι το πρόγραμμα δν χρησιμοποιί τον τύπο της Εξ.. για να υπολογίσι τον αριθμό των παναλήψων που χριάζονται για τον υπολογισμό της ρίζας μ την απαιτούμνη ακρίβια. Αντίθτα ορίζι ουσιαστικά την ακρίβια μ την οποία θα υπολογίσι τη ρίζα, μέσω της ντολής wle και απλώς μτράι τις φορές που θα παναληφθί η διαδικασία μέχρι να πιτυχθί η ζητούμνη ακρίβια υπολογισμού. Μτά το τέλος του κυρίως προγράμματος ακολουθί η συνάρτηση u. Η συνάρτηση ουσιαστικά υπολογίζι την τιμή της συνάρτησης που μας νδιαφέρι για κάποιο συγκκριμένο όρισμα που δίνται από τον χρήστη. Αν μας νδιαφέρι να υπολογίσουμ την τιμή μίας άλλης συνάρτησης τότ το μόνο που θα αλλάζαμ από το πρόγραμμα. θα ήταν η συνάρτηση u και οι τιμές των,,και eps. Αν για παράδιγμα θέλαμ να λύσουμ τη μη γραμμική Εξ..α, τότ η μοναδική αλλαγή που θα έπρπ να κάνουμ στο πρόγραμμα. θα ήταν να αντικαταστήσουμ την u που υπάρχι στο πρόγραμμα μ την ακόλουθη: doule udoule { doule ; pow,5 ; retur ; } Αντίστοιχς προφανώς αλλαγές θα μπορούσαμ να κάνουμ αν θέλαμ να λύσουμ π.χ. την Εξ..β ή την Εξ..γ ή οποιαδήποτ άλλη ξίσωση μας νδιαφέρι μ τη μέθοδο της διχοτόμησης.

22 .. Μέθοδος Regul Fls Η μέθοδος Regul Fls βασίζται και πάλι στον προσδιορισμό διαδοχικών διαστημάτων ολοένα και μικρότρου ύρους, της μορφής [α,β], στα οποία ικανοποιίται το κριτήριο του θωρήματος Bolzo. Οι διαδοχικές προσγγίσις,, μέχρι να υπολογιστί η ρίζα μ την απαιτούμνη, από τον χρήστη ακρίβια υπολογίζονται μ τον ξής τρόπο: Βήμα ο Ελέγχουμ αν η συνάρτηση που μας νδιαφέρι ίναι συνχής στο [,], και αν ικανοποιί την σχέση < του θωρήματος Boltzo. Βήμα ο Θωρώντας ότι η συνάρτηση που μας νδιαφέρι να υπολογίσουμ τη ρίζα της ίναι της μορφής του Σχήματος., παίρνουμ ως το σημίο στο οποίο η χορδή που διέρχται από τα σημία, και, τέμνι τον -άξονα. Σχήμα.: Μέθοδος Regul Fls Προφανώς το σημίο προκύπτι από την αντικατάσταση στην ξίσωση της χορδής που νώνι το μ το και έχι τη μορφή:.. Οπότ, η τιμή του θα δίνται από την Εξ.. που ακολουθί,

23 .. Τα βήματα που ακολουθούν ίναι παρόμοια μ τη μέθοδο της διχοτόμου. Δηλαδή: Βήμα ο Αν τότ ο ίναι η ζητούμνη ρίζα. Βήμα ο Αν τότ λέγχουμ το πρόσημο της τιμής της συνάρτησης. Αν >, καταργούμ το παλιό και θέτουμ. Αντίθτα, αν < καταργούμ το παλιό και θέτουμ. Κατά τη διάρκια της κτέλσης του ου βήματος, ένα μόνο από τα δύο άκρα, α ή θα παναπροσδιοριστί, και θα μταφρθί στο σωτρικό του παλαιού διαστήματος [α,]. Στην πρίπτωση της συνάρτησης του Σχ.., παρατηρούμ ότι το συμφωνί μ το πρόσημο της. Επομένως, μτά την κτέλση του ου βήματος, το άκρο θα μταφρθί στη θέση του σημίου. Το άλλο άκρο, α, παραμένι στη θέση του. Βήμα 5 ο Επαναλαμβάνουμ τα βήματα από έως μ το νέο διάστημα [α,] και τη νέα προσέγγιση, στη θέση της, όπου η θα δίνται ξανά από τη σχέση:.5 που ίναι ίδια μ τη σχέση. για το, μ τη μόνη διαφορά ότι στην Εξ..5 ίτ το α ίτ το έχι τώρα παναπροσδιοριστί. Μ τη μέθοδο αυτή ίναι πιθανό, αν η συνάρτηση δν αλλάζι μονοτονία και κατύθυνση κοίλων, το ένα όριο του διαστήματος που ξτάζουμ να μην αλλάζι ποτέ. Σ αυτή την πρίπτωση για να σταματήσουμ την προσγγιστική διαδικασία λέγχουμ το πόσο κοντά βρίσκται η τιμή της συνάρτησης στο μηδέν. Ας δούμ τι ακριβώς ννοούμ: Εστω ότι θέλουμ να υπολογίσουμ τη ρίζα της Εξ.. μ τη μέθοδο Regul Fls. Ας δούμ πως διαμορφώνονται τα όρια [,], κατά τη διάρκια της φαρμογής της, έχοντας θωρήσι ως αρχικό διάστημα φαρμογής το [,][-,]. Τα αποτλέσματα φαίνονται στον Πίνακα. που ακολουθί.

24 Αλλαγή ορίου Πίνακας.: Αποτλέσματα 8 πρώτων βημάτων μθόδου Regul Fls κατά την πίλυση της Εξ.. Από τον πίνακα. παρατηρούμ ότι το μόνο όριο το οποίο μταβάλλται ίναι το. Ετσι σ καμία πρίπτωση, αφού η ρίζα βρίσκται στην πριοχή του ρ -.68, δν ίναι δυνατόν το διάστημα [,], να γίνι μικρότρο από την τιμή που θα έχουμ ορίσι ως ακρίβια. Στην πρίπτωση αυτή, οι υπολογισμοί μας σταματούν όταν η τιμή της συνάρτησης, στην προκίμνη πρίπτωση, πάρι τιμή οσοδήποτ κοντά θέλουμ στην τιμή μηδέν. Ετσι, μ τη μέθοδο αυτή, για να σταματήσουν οι παναλήψις για τον υπολογισμό των ριζών, πρέπι, ίτ το διάστημα [,] να γίνι μικρότρο από κάποια συγκκριμένη τιμή ίτ η τιμή της να γίνι μικρότρη από κάποια άλλη, δδομένη τιμή,. Αφού μλτήσαμ τη μέθοδο Regul Fls ας δούμ πώς ίναι δυνατό να υλοποιηθί αλγοριθμικά. Πρέπι καταρχήν, όπως και στην προηγούμνη μέθοδο, να ορίσουμ το αρχικό διάστημα, μέσα στο οποίο ισχύι αρχικά το θώρημα Boltzo και στη συνέχια να ορίσουμ την απαιτούμνη ακρίβια eps ως προς το διάστημα τιμών μέσα στο οποίο θα πρέπι να βρίσκται η ρίζα. Επίσης θα πρέπι να οριστί και μία δύτρη παράμτρος ακρίβιας eps η οποία θα συγκρίνται, σ κάθ βήμα, μ την τιμή της. Οταν η γίνι μικρότρη από την παράμτρο eps τότ το όρισμα της θα ίναι η ρίζα που ψάχνουμ μ ακρίβια eps. Ετσι το πρόγραμμα, σ γλώσσα C/C, το οποίο πιλύι την Εξ.. μ τη μέθοδο Regul Fls θα μπορούσ να έχι τη μορφή του προγράμματος. που ακολουθί.

25 Πρόγραμμα.: #clude <stdo.> #clude <mt.> doule udoule; t m { t ; doule,,eps,eps,m,m,r,pr; -; ; eps e-; eps e-; do { r -*u; pr u - u; m - r/pr; mum; m> m; m< m; sm<eps { m; m; } ; } wles->eps && sm>eps; prt"to dstm mes sto opoo rsket rz e to %.l,%.l\",,; prt" tm ts e : %.l %.l\",,u; prt" k : %.l %.l\",,u; 5

26 prt"k prokpte met po %d eplpses ts metodou\\",; retur ; } doule udoule { doule ; pow, ; retur ; } Στο πρόγραμμα. παρατηρούμ ότι οι ντολές λέγχου ίναι αρκτά πιο σύνθτς από τις ντολές λέγχου τις μθόδου διχοτόμησης. Αυτό γίνται πιδή, για τους λόγους που ξηγήσαμ παραπάνω, η διαδικασία πρέπι να μπορί να σταματάι ίτ όταν το διάστημα τιμών που μας νδιαφέρι γίνι τόσο μικρό όσο και η ακρίβια που θέλουμ, ίτ όταν η τιμή της γίνι τόσο μικρή όσο έχουμ ορίσι. Όταν «τρέξουμ» το πρόγραμμα. και το πρόγραμμα. για να πιλύσουμ την ίδια π.χ. Εξ.., θα παρατηρήσουμ ότι η μέθοδος Regul Fls πρόγραμμα. ολοκληρώνι την αναζήτηση της μτά από 7 βήματα νώ η μέθοδος της διχοτόμου μτά από 5 πρόγραμμα.. Είναι φανρό λοιπόν ότι η μέθοδος Regul Fls ίναι ταχύτρη από τη μέθοδο της διχοτόμου διότι η πιλογή της κάθ πόμνης προσέγγισης γίνται πλησιέστρα προς τη ρίζα. Επίσης, όπως ακριβώς και η μέθοδος της διχοτόμου, έτσι και η μέθοδος Regul Fls συγκλίνι γγυημένα προς τη ρίζα, μια και σ κάθ υποδιαίρση του διαστήματος [α,] τα νέα άκρα πιλέγονται έτσι ώστ να ικανοποιίται το κριτήριο του Bolzo..5. Επαναληπτικές Μέθοδοι Μέχρι στιγμής έχουν παρουσιαστί μέθοδοι οι οποίς αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzo, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσις του διαστήματος [α,] στο οποίο, το κριτήριο γγυόταν την ύπαρξη ρίζας. Είδαμ όμως ότι ίναι πιθανό οι μέθοδοι αυτές να συγκλίνουν προς τη ρίζα μ πολύ αργούς ρυθμούς. Στη συνέχια, θα γκαταλίψουμ τη σιγουριά των μθόδων των διαδοχικών δοκιμών, μ τις οποίς ίχαμ ξασφαλισμένη σύγκλιση προς τη ρίζα, και θα γνωρίσουμ άλλς μθόδους οι οποίς δν συγκλίνουν πάντα προς τη ρίζα, όταν συγκλίνουν όμως, συγκλίνουν πολύ ταχύτρα από τις προηγούμνς μθόδους. Οι μέθοδοι αυτές ίναι γνωστές μ τον τίτλο «Γνικές Επαναληπτικές Μέθοδοι» και βασίζονται στην κτίμηση μιας αρχικής τιμής την 6

27 οποία «μαντύουμ» ως τιμή πλησίον της ρίζας. Τότ, η γνική παναληπτική μέθοδος μας δίνι έναν απλό κανόνα σ μορφή συνάρτησης που δημιουργί μία αναδρομική σχέση απικόνισης μταξύ της ν-οστής και της ν-οστής προσέγγισης της ρίζας της μορφής: g.5 η οποία λπίζουμ ότι θα συγκλίνι προς τη ρίζα. Μέσω της Εξ..5 υπολογίζονται οι διαδοχικές προσγγίσις,,,. Στις μθόδους αυτές, η απόκλιση από την ρίζα σ κάθ βήμα δν ίναι γνωστή μ την ακρίβια που θα θέλαμ ώστ να μπορούμ να αποφασίσουμ πόσς παναλήψις απαιτούνται, ώστ το σφάλμα να γίνι μικρότρο από μία προκαθορισμένη πιθυμητή παράμτρο, όπως κάναμ π.χ. στην πρίπτωση της μθόδου της διχοτόμησης μ τη χρήση της σχέσης.. Εντούτοις, θα δίξουμ ότι μπορούμ να έχουμ κτίμηση του σφάλματος που ίναι ασυμπτωτικά σωστή, μ βάση ορισμένα αναπτύγματα σ σιρά Tlor νώ θα δοθούν και κάποια αριθμητικά παραδίγματα που δίχνουν ότι οι θωρητικές αυτές κτιμήσις όντως ισχύουν στην πράξη. Πάντως, δδομένου ότι δν γνωρίζουμ κ των προτέρων πόσς παναλήψις απαιτούνται ώστ το σφάλμα να γίνι μικρότρο από την προκαθορισμένη παράμτρο, σ όλους τους αλγόριθμους των γνικών παναληπτικών μθόδων χρησιμοποιούμ ως κτίμηση της σύγκλισης την απόσταση μταξύ δύο διαδοχικών κτιμήσων,, και θωρούμ ότι η μέθοδος συγκλίνι όταν η απόσταση αυτή γίνι μικρότρη από την παράμτρο : <.6 Αν δν ισχύι η συνθήκη.6, τότ δν έχουμ ακόμη σύγκλιση. Στην πρίπτωση αυτή θα πρέπι να έχουμ μία ακόμη πανάληψη του βήματος της Εξ Μέθοδος ewto - Rpso Μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμνς παναληπτικές μθόδους ίναι η μέθοδος ewto - Rpso η οποία βασίζται στο ότι αν μία προσέγγιση ίναι αρκτά κοντά στη ρίζα ρ μιας συνάρτησης μ ρ, τότ η συνάρτηση μπορί να αναπτυχθί σ σιρά Tlor γύρω από την τιμή ρ. Μέχρι όρους πρώτης τάξης του αναπτύγματος θα έχουμ: 7

28 ρ ρ.7 και δδομένου ότι ρ, μπορούμ να υπολογίσουμ τη ρίζα ρ, πιλύοντας την Εξ..7. Ετσι, προκύπτι ότι η τιμή της ρίζας ρ, θα δίνται από τη σχέση, ρ.8 Η ιδέα της μθόδου ίναι να χρησιμοποιηθί η Εξ..8, αντικαθιστώντας στη θέση του τυχαίου τη ν-οστή προσέγγιση, και στη θέση της ρίζας ρ που υπολογίζται προσγγιστικά από τη Εξ..8 την πόμνη προσέγγιση, παραλίποντας τους όρους ανώτρης τάξης της Εξ..8. Εχουμ τότ την αναδρομική σχέση της μθόδου ewto-rpso:.9 Η γωμτρική ρμηνία της μθόδου γίνται σαφής μ τη βοήθια του πόμνου σχήματος.. Εστω η προσέγγιση της ρίζας στην πρώτη πανάληψη. Η ξίσωση υθίας της φαπτομένης της στο σημίο ίναι:. Η υθία της φαπτομένης. τέμνι τον άξονα σ ένα σημίο το οποίο βρίσκται ύκολα αν θέσουμ για στην Εξ Εχουμ τότ. Που ίναι ακριβώς η Εξ..9 για. 8

29 Σχήμα.: Μέθοδος ewto - Rpso Επομένως διαπιστώνουμ ότι η κάθ πόμνη διαδοχική προσέγγιση ίναι το σημίο τομής μ τον άξονα της φαπτόμνης της γραφικής παράστασης της στο σημίο,. Τίθται όμως τώρα το ρώτημα αν ξασφαλίζται ότι η διαδικασία αυτή συγκλίνι. Στο Σχ.. βλέπουμ ότι όντως οι τιμές,, πλησιάζουν πρισσότρο προς τη ρίζα ρ σημίο τομής της γραφικής παράστασης μ τον άξονα. Εντούτοις, η σύγκλιση της μθόδου δν ίναι ξασφαλισμένη. Πράγματι, αν ίχαμ ξκινήσι μ λίγο διαφορτικό, μακρύτρα κάπως από τη ρίζα, τότ τα διαδοχικά,, απομακρύνονται όλο και πρισσότρο από τη ρίζα, όπως φαίνται στο Σχ... Από το προηγούμνο παράδιγμα, γίνται σαφές ότι στην πράξη χριάζται μγάλη προσοχή κατά τη χρήση της μθόδου αυτής γιατί ίναι πιθανόν μία αρχική τιμή του να οδηγήσι σ απόκλιση, έστω και αν η τιμή αυτή ανήκι σ κάποιο διάστημα [, ] για το οποίο το κριτήριο του Bolzo γγυάται την ύπαρξη ρίζας. Όμως, αν η μέθοδος συγκλίνι, τότ συγκλίνι πολύ γρήγορα. Όπως θα αποδίξουμ αργότρα, αν ορίσουμ ως σφάλμα της ν-οστής προσέγγισης την απόλυτη διαφορά της προσέγγισης από την πραγματική τιμή της ρίζας ρ. τότ το σφάλμα μιώνται σύμφωνα μ την αναδρομική σχέση 9

30 . Σχήμα.: μή σύγκλιση της ewto - Rpso Αυτό σημαίνι ότι σ κάθ πανάληψη βρίσκουμ πρίπου το διπλάσιο πλήθος σημαντικών ψηφίων απ' ότι στην προηγούμνη πανάληψη. Για παράδιγμα, αν μ την πρώτη πανάληψη προσγγίσουμ τη ρίζα μ ακρίβια δύο δκαδικών ψηφίων σφάλμα., τότ τα διαδοχικά σφάλματα ίναι.,., κ.λ.π.. Στο παράδιγμα αυτό, ήδη μτά από παναλήψις φτάνουμ στην ακρίβια των αριθμών κινητής υποδιαστολής απλής ακρίβιας. Αυτό σημαίνι ότι η μέθοδος ewto-rpso, όταν συγκλίνι, χριάζται μικρό πλήθος παναλήψων συνήθως < για να δώσι το αποτέλσμα μ όσα σημαντικά ψηφία μας πιτρέπι η αναπαράσταση δκαδικού του υπολογιστή. Χάρη στη ταχύτατη αυτή σύγκλιση, η μέθοδος ίναι ιδιαίτρα δημοφιλής. Για να πριοριστί η πιθανότητα μη σύγκλισης, χρησιμοποιούμ, αρχικά, μία μέθοδο, όπως π.χ. τη μέθοδο διχοτόμησης, προκιμένου να βρούμ μ δύο-τρις διχοτομήσις μια αρκτά καλή πρώτη προσέγγιση της ρίζας. Στη συνέχια, μ τη μέθοδο ewto-rpso πιταχύνουμ τη σύγκλιση προς τη ρίζα. Θα μλτήσουμ στη συνέχια το πώς ίναι δυνατόν να υλοποιήσουμ την μέθοδο ewto-rpso και να φτιάξουμ το αντίστοιχο πρόγραμμα το οποίο να υπολογίζι τη ρίζα μίας συγκκριμένης ξίσωσης, π.χ. της Εξ.. μ τη μέθοδο αυτή. Αρχικά θα πρέπι να δίνουμ στο πρόγραμμα την τιμή κκίνησης, δηλ. την τιμή του. Επίσης θα πρέπι να ορίσουμ τον παράγοντα της ακρίβιας μ την οποία θα γίνι ο υπολογισμός. Επίσης, πιδή η σύγκλιση στη ρίζα, όπως ίπαμ και προηγουμένως δν ίναι σίγουρη θα πρέπι να υπάρχι στο πρόγραμμα μας και κάποια ντολή λέγχου η οποία θα σταματάι το πρόγραμμα στην πρίπτωση που δν παρατηρίται σύγκλιση. Ένα τέτοιο πρόγραμμα θα μπορούσ να έχι τη μορφή του προγράμματος. που ακολουθί:

31 Πρόγραμμα.: #clude <stdo.> #clude <mt.> doule ddoule, doule; doule udoule; t m { t ; doule,,,eps; -; eps e-; do { - u/d,eps; s-; ; ; } wle>eps; prt"%.l %.l\",,u; prt"k prokpte met po %d eplpses ts metodou\\",; retur ; } doule ddoule, doule d { doule d_r, d; d_r ud-u; d d_r/d; retur d; }

32 doule udoule { doule ; pow, ; retur ; } Παρατηρούμ ότι, στο πρόγραμμα., σ σχέση μ τα προγράμματα. και. έχουμ προσθέσι μία Fucto προγράμματος ακόμα. Την Fucto d. Μ τη βοήθια της μπορούμ να υπολογίζουμ την παράγωγο της κάθ συνάρτησης που θέλουμ να μλτήσουμ. Όμως ο υπολογισμός της παραγώγου πιδή απαιτί χρόνο και πολλές φορές δν ίναι και απόλυτα ακριβής ξαρτάται από την τιμή του d ίναι ένα πρακτικό μιονέκτημα της μθόδου ewto-rpso. Ετσι στις πριπτώσις που δν ίναι δυνατόν να υπολογίσουμ την παράγωγο μίας συνάρτησης, ή κάτι τέτοιο θα απαιτούσ πολύ χρόνο, οπότ ουσιαστικά θα ακύρων τα πλονκτήματα των παναληπτικών μθόδων καταφύγουμ σ άλλς, παναληπτικού τύπου, μθόδους. Μία τέτοια, ίναι η πόμνη μέθοδος η οποία έχι παρόμοια φιλοσοφία μ τη μέθοδο ewto-rpso, αλλά αποφύγι τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου..7. Μέθοδος της τέμνουσας sect metod Η μέθοδος της τέμνουσας χρησιμοποιί τις δύο προηγούμνς προσγγίσις, - μιας ρίζας προκιμένου να υπολογίσι την πόμνη προσέγγιση. Η μέθοδος μπορί να προκύψι από τη μέθοδο ewto-rpso, αν θωρήσουμ την προσέγγιση της Εξ.. για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου,. που ισχύι όταν οι διαδοχικές προσγγίσις, - ίναι γιτονικές. Η αντικατάσταση της Εξ.. στην Εξ..9 δίνι τότ το γνικό αναδρομικό τύπο της μθόδου της τέμνουσας ο οποίος παρουσιάζται στην Εξ...

33 .. Εύκολα προκύπτι ότι το σημίο ίναι το σημίο στο οποίο τέμνι τον άξονα η υθία που ορίζται από τα σημία, και -, - της γραφικής παράστασης της στο Σχ..5. Η απόδιξη του ίναι αντίστοιχη μ αυτή της προηγούμνης μθόδου. Σχήμα.5: η μέθοδος της τέμνουσας Η μέθοδος έχι λαφρά βραδύτρη σύγκλιση από την μέθοδο ewto-rpso γιατί όπως θα δούμ στη συνέχια το σφάλμα στο ν-οστό βήμα δίνται ως συνάρτηση του σφάλματος των δύο προηγουμένων βημάτων. Δηλαδή:.5 το οποίο οδηγί στην ασυμπτωτική συμπριφορά λ.6 μ λ.68

34 Στην πρίπτωση της μθόδου της τέμνουσας το αντίστοιχο πρόγραμμα θα ίχ τη μορφή του προγράμματος.. Πρόγραμμα.: #clude <stdo.> #clude <mt.> doule udoule; t m { t ; doule,,,,eps; -; -.98; eps e-; do { - u*-/u-u; s-; ; ; ; } wle>eps; prt"%.l %.l\",,u; prt"k prokpte met po %d eplpses ts metodou\\",; retur ; } doule udoule { doule ; pow, ;

35 } retur ; Παρατηρούμ ότι στο πρόγραμμα. σ σχέση μ το πρόγραμμα. λίπι η Fucto d, μέσω της οποίας γινόταν ο υπολογισμός της παραγώγου. Όμως αντί για τον υπολογισμό της παραγώγου πρέπι υποχρωτικά πλέον να δίνονται αρχικές συνθήκς μέσω των παραμέτρων και..8. Γνική παναληπτική Μέθοδος Ξαναγράφοντας το γνικό αναδρομικό τύπο της μθόδου ewto-rpso.7 παρατηρούμ ότι το δξιό μέλος ίναι μία συνάρτηση της μταβλητής. Αν θέσουμ, τότ μπορούμ να γράψουμ: g.8 η οποία, αν ρ, έχι την ιδιότητα η ρίζα να αποτλί ένα σταθρό σημίο της απικόνισης.7. Η έννοια του σταθρού σημίου δίνται από τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός.: Εστω μία απικόνιση της μορφής g.9 Το σημίο ρ του πδίου ορισμού της συνάρτησης g ονομάζται σταθρό σημίο της απικόνισης αν και μόνο αν ισχύι 5

36 gρρ. Εύκολα διαπιστώνουμ ότι η συνάρτηση g, όπως ορίζται από την Εξ..8, έχι σταθρό σημίο τη ρίζα ρ της συνάρτησης, μια και ρ. Η ιδέα της γνικής παναληπτικής μθόδου ίναι να αναζητήσουμ και άλλς συναρτήσις g, οι οποίς έχουν τη ρίζα της ξίσωσης ως σταθρό σημίο. Ως πρώτο παράδιγμα, δδομένου ότι ρ, ύκολα βρίσκουμ ότι οποιαδήποτ συνάρτηση της μορφής g λ. όπου λ μια σταθρά, θα έχι την ιδιότητα το σημίο ρ να αποτλί σταθρό σημίο της απικόνισης g. Μια δύτρη χρήσιμη γνίκυση της Εξ.. ίναι η συνάρτηση g που ορίζται από τη σχέση g. όπου μία άλλη, κατάλληλα πιλγμένη συνάρτηση, μ ρ. Η συνάρτηση g που ορίζται από τη σχέση. έχι πίσης το σταθρό σημίο ρ. Η μέθοδος ewto-rpso ίναι ιδική πρίπτωση της μθόδου., όπου. Στην πρίπτωση της μθόδου ewto-rpso, ίδαμ ότι αν ξκινήσουμ την απικόνιση g όπου η συνάρτηση g δίνται, όπως ίπαμ, από τη Εξ..8 από ένα σημίο γιτονικό προς τη ρίζα, τότ οι διαδοχικές παναλήψις της απικόνισης συγκλίνουν προς τη ρίζα, συγκλίνουν δηλαδή προς το σταθρό σημίο της απικόνισης. Η ιδιότητα αυτή των σταθρών σημίων μιας απικόνισης ίναι πολύ γνική και ίναι γνωστή μ τον όρο υστάθια νός σταθρού σημίου. Ενα σταθρό σημίο μιας απικόνισης ίναι δυνατόν να ίναι υσταθές ή ασταθές. Στην πρώτη πρίπτωση, υπάρχι ένα διάστημα γύρω από το υσταθές σημίο τέτοιο οι άπιρς διαδοχικές ικόνς κάθ αρχικής συνθήκης που δίνται ντός του διαστήματος παραμένουν ντός του διαστήματος, και μάλιστα κατά κανόνα συγκλίνουν προς το υσταθές σημίο. Αντίθτα, αν ένα 6

37 σταθρό σημίο ίναι ασταθές, τότ αρχικές συνθήκς σ οσοδήποτ μικρό διάστημα γύρω από το σταθρό σημίο οδηγούν σ απόκλιση από το σταθρό σημίο. Για να γίνουν τα παραπάνω κατανοητά, μία χρήσιμη μέθοδος ίναι η γραφική μέθοδος η οποία μας πιτρέπι να ντοπίζουμ γραφικά τις διαδοχικές ικόνς μιας αρχικής συνθήκης, κάτω από μία γνική απικόνιση της μορφής g, αν ίναι γνωστή η γραφική παράσταση της g. Εξηγούμ τώρα τη μέθοδο αυτή μ τη βοήθια των ακόλουθων σχημάτων.6 και.7. Σχήμα.6: Γραφικός υπολογισμός διαδοχικών σημίων απικόνισης Εστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Σχδιάζουμ στους ίδιους άξονς και την υθία δ μ ξίσωση. Ξκινώντας από ένα αρχικό σημίο θα βρούμ την πρώτη ικόνα του ως ξής: βρίσκουμ πρώτα στον άξονα το σημίο g. Στη συνέχια, λόγω της ισότητας g, πκτίνουμ την οριζόντια διακκομμένη γραμμή από το σημίο g του άξονα μέχρι να τμήσι την υθία δ μ ξίσωση. Η ττμημένη του σημίου τομής μ την υθία δ δίνι το νέο σημίο. Η διαδικασία παναλαμβάνται πανομοιότυπα για τα διαδοχικά σημία,,. Στο Σχ..6 έχουμ και τα σημία ρ, ρ, ρ στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνι την υθία δ. Τα σημία τομής της γραφικής παράστασης της g μ την δ ορίζουν τα σταθρά σημία της απικόνισης g, αφού και σ καθένα από τα σημία αυτά ικανοποιίται η ισότητα gρ ρ. Παρατηρώντας το Σχ..6, διαπιστώνουμ ότι νώ η αρχική συνθήκη ήταν πλησιέστρα προς το σταθρό σημίο ρ, μτά από δύο μόνο απικονίσις έχι απομακρυνθί από το σταθρό σημίο ρ 7

38 και έχι πλησιάσι κατά πολύ το σταθρό σημίο ρ. Αυτό συμβαίνι διότι το σημίο ρ ίναι ασταθές, νώ το σημίο ρ ίναι υσταθές σημίο της απικόνισης. Η ύρση των διαδοχικών ικόνων νός αρχικού σημίου μπορί να διυκολυνθί ακόμη πρισσότρο παρατηρώντας ότι το τμήμα των διαδοχικών διακκομένων οριζόντιων και κάθτων γραμμών μταξύ της γραφικής παράστασης της g και της διαγωνίου δ απικονίζι όλη την πληροφορία που δίχνι τη θέση των διαδοχικών ικόνων στον άξονα. Ετσι, η γραφική μέθοδος του Σχ..6 απλοποιίται, σχδιάζοντας διαδοχικά ένα κάθτο και ένα οριζόντιο υθύγραμμο τμήμα μταξύ της καμπύλης της γραφικής παράστασης της g και της διαγωνίου δ. Η απλοποιημένη αυτή γραφική μέθοδος φαίνται στο Σχ..7, όπου γίνται σαφής η σύγκλιση προς το σταθρό σημίο ρ, ;έστω και αν το αρχικό μας σημίο ήταν πλησιέστρα στο ρ. Σχήμα.7: απλοποιημένη γραφική μέθοδος υπολογισμού των ικόνωνμιας απικόνισης Υπάρχι τρόπος να γνωρίζουμ κ των προτέρων αν ένα σταθρό σημίο ίναι υσταθές η ασταθές; Την απάντηση στο ρώτημα αυτό μας δίνι το ακόλουθο θώρημα: Θώρημα.: Εστω ρ ένα σταθρό σημίο της απικόνισης g και έστω η g παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα γύρω από το σημίο ρ. Αν ισχύι η συνθήκη 8

39 g ρ <. τότ υπάρχι ένα διάστημα Δ:ρ-,ρ γύρω από τη ρίζα ρ μ > τέτοιο ώστ κάθ αρχική συνθήκη να δημιουργί μία ακολουθία ικόνων,, που συγκλίνι στο σταθρό σημίο ρ. Το θώρημα. διρυνά πότ έχουμ σύγκλιση προς ορισμένη ρίζα, αλλά στην πράξη έχουμ αρκτές δυσκολίς στην φαρμογή του, διότι η τιμή της ρίζας ρ μας ίναι άγνωστη άλλωστ μ τη γνική παναληπτική μέθοδο αυτό ακριβώς πιχιρούμ: να βρούμ την άγνωστη ρίζα, και πομένως δν γνωρίζουμ ποια τιμή ρ να αντικαταστήσουμ στην παράγωγο της σχέσης.. Πάντως, αν ίναι γνωστό ένα διάστημα στο οποίο ανήκι η ρίζα, τότ το κριτήριο. μπορί να αξιοποιηθί προκιμένου να δοθούν ένα άνω και ένα κάτω όριο στις τιμές παραμέτρων που μφανίζονται στην ανισότητα., έτσι ώστ η σύγκλιση να ίναι ξασφαλισμένη. Παράδιγμα: Εστω η συνάρτηση. μ προφανή ρίζα ρ.599. Θα δοκιμάσουμ να βρούμ τη ρίζα αριθμητικά, μ την παναληπτική μέθοδο.5 K K όπου Κ>. Το ρώτημα ίναι για ποιές τιμές της σταθράς Κ έχουμ σύγκλιση στη ρίζα. Η συνάρτηση g έχι τύπο g.6 K 9

40 και πομένως το κριτήριο. δίνι ρ ρ ρ g ρ < < < > >.7 K K K Η δξιά ανισότητα ισχύι για κάθ τιμή Κ>, νώ η αριστρή ανίσωση ως προς Κ δίνι ρ K >.8 Παρότι δν γνωρίζουμ ακριβώς τη ρίζα ρ, μπορούμ τώρα να βρούμ από τη σχέση.8 ένα "όριο ασφαλίας" για την παράμτρο K. Ετσι, δδομένου ότι 6 > 7 έχουμ ρ</. Επομένως, ένα όριο ασφαλίας και την Κ παρέχται από την ανισότητα K > K >.66.9 που ίναι λίγο πάνω από το πραγματικό όριο Κ>.8. Ασκηση: Δίξτ ότι ένα "όριο ασφαλίας" για την παράμτρο Κ στη γνική παναληπτική μέθοδο K

41 ώστ να έχουμ σύγκλιση στη ρίζα ρ της ξίσωσης ίναι το όριο Κ>...9. Τάξη Συγκλισης των Επαναληπτικών Μθόδων Αναφέραμ προηγουμένως, ότι η μέθοδος ewto-rpso έχι «ττραγωνική» τάξη σύγκλισης, δηλαδή οι διαφορές δύο διαδοχικών προσγγίσων από τη ρίζα συνδέονται μταξύ τους μ νόμο ττραγώνου. νώ η μέθοδος της τέμνουσας έχι λίγο βραδύτρη σύγκλιση.68. Στην παρούσα παράγραφο ξτάζουμ τον τρόπο μ τον οποίο καταλήγουμ στις σχέσις. ή. που μας δίνουν την τάξη σύγκλισης μιας παναληπτικής μθόδου της μορφής g. Η μέθοδος που ακολουθίται ίναι απλή και μπορί να αναλυθί στα ξής βήματα Βήμα ο Θέτουμ ρ ρ.

42 Βήμα ο Αντικαθιστούμ τις σχέσις. στην Εξ.. της γνικής παναληπτικής μθόδου και αναπτύσσουμ σ σιρά Tlor μέχρι όρους ης τάξης ως προς τις διαφορές, και : ρ g ρ g ρ g ρ g O ρ. και δδομένης της ισότητας gρρ, λαμβάνουμ g ρ O.5 Η Εξ..5 δίχνι ανάγλυφα για ποιό λόγο ισχύι το θώρημα που αναπτύξαμ στην προηγούμνη παράγραφο. Παρατηρούμ ότι μέχρι όρους πρώτης τάξης, η ακολουθία ίναι γωμτρική πρόοδος μ παράγοντα g'ρ. Επομένως, αν g'ρ <, τότ η ακολουθία των διαφορών τίνι στο μηδέν και μάλιστα τόσο ταχύτρα, όσο μικρότρη ίναι η απόλυτη τιμή της g'ρ. Αντίθτα, αν g'ρ > η ακολουθία τίνι στο άπιρο που σημαίνι ότι οι διαδοχικές προσγγίσις απόμακρύνονται από τη ρίζα, και μάλιστα μ γωμτρικό ρυθμό. Αν τώρα < g'ρ < λέμ ότι η μέθοδος συγκλίνι μ τάξη πρώτη, ή συγκλίνι γραμμικά. Γνικά, η τάξη σύγκλισης ορίζται από τον κθέτη p στη σχέση p.6 μ p. Βήμα ο Αν g'ρ, τότ ξτάζουμ τους όρους ης τάξης του αναπτύγματος Tlor της Εξ... Αν και αυτοί οι όροι δώσουν μηδνικό συντλστή, προχωρούμ στην πόμνη τάξη κ.ο.κ..

43 Παράδιγμα: Να μλτηθί η τάξη σύγκλισης των κάτωθι μθόδων α K γνική παναληπτική β ewto - Rpso γ μέθοδος της τέμνουσας στην ύρση μιας απλής ρίζας της ξίσωσης. α Γνική παναληπτική μέθοδος. Από το ανάπτυγμα Tlor της K g βρίσκουμ Κ K g g ρ ρ ρ ρ Αν ισχύι < Κ < ρ

44 τότ η μέθοδος συγκλίνι γραμμικά. Στην ιδική πρίπτωση που Κ'ρ έχουμ ττραγωνική σύγκλιση αν ρ. Συμπρασματικά, η γνική παναληπτική μέθοδος έχι κατά κανόνα γραμμική τάξη σύγκλισης, κτός από πολύ ιδικές πιλογές των παραμέτρων, οι οποίς όμως δν ίναι κ των προτέρων γνωστές μια και η ρίζα ρ ίναι άγνωστη. β Μέθοδος ewto - Rpso Στην πρίπτωση αυτή έχουμ g και λαμβάνοντας υπόψιν την ισότητα ρ, το ανάπτυγμα Tlor μέχρι όρους δύτρης τάξης δίνι g g ρ ρ ρ ρ Επομένως η μέθοδος έχι σύγκλιση ττραγωνική. γ Μέθοδος της τέμνουσας Η μέθοδος αυτή παρουσιάζι μία ιδιομορφία: στο δξιό μέλος τα αναπτύγματα θα πρέπι να γίνουν ταυτόχρονα ως προς δύο μικρές παραμέτρους, τις και -. Τούτο πιτυγχάνται λαμβάνοντας υπόψη το ανάπτυγμα:.6 το οποίο αντιστοιχί "πριγραφική" σχέση

45 5.. τητς ποσ ς µικρ τητς ποσ ς µικρ ό έ ό έ Εχουμ από το ανάπτυγμα Tlor στη σχέση τους κάτωθι όρους ] [ ] [ ] [ ] [ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ] ][ [ ] [ ] [ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ O

46 Καταλήγουμ πομένως στη σχέση Τίθται τώρα το ρώτημα αν υπάρχι κάποιος κθέτης p που να δίνι την ασυμπτωτική ταχύτητα σύγκλισης στην προηγούμνη σχέση. Αν υπάρχι τέτοιος κθέτης θα ισχύι p p p p Ενώ ισχύι ταυτόχρονα p p Εξισώνοντας τους δύο κθέτς βρίσκουμ p p Η δυτροβάθμια ξίσωση έχι τη θτική λύση p 5.68 Επομένως η τάξη σύγκλισης ίναι καλύτρη από γραμμική, αλλά χιρότρη από την τάξη της μθόδου ewto-rpso. 6

47 Κφαλαιο ο Αριθμητική πίλυση γραμμικών συστημάτων.. Αριθμητική πίλυση γραμμικών συστημάτων Στο κφάλαιο αυτό θα μλτηθούν οι αριθμητικές μέθοδοι γραμμικών συστημάτων. Μ τον όρο γραμμικά συστήματα ννοούμ συστήματα της μορφής:. Το σύστημα που παρουσιάζται στην Εξ.. έχι άγνωστους,,,, νώ οι συντλστές τους j, μ,j,,, ίναι γνωστοί όπως πίσης και οι σταθροί όροι. Γνωρίζοντας το γραμμικό σύστημα μπορούμ να κατασκυάσουμ τον πίνακα των συντλστών των αγνώστων. Ο πίνακας αυτός ίναι ένας πίνακας που πριέχι τις τιμές των συντλστών των αγνώστων όρων. Ετσι ο πίνακας συντλστών των αγνώστων όρων της Εξ.. ίναι αυτός που φαίνται στην Εξ.., A.. 7

48 Ομοια μ τον πίνακα των συντλστών των αγνώστων όρων κατασκυάζουμ τον πίνακα-στήλη των σταθρών όρων ο οποίος στην πρίπτωση του γραμμικού συστήματος της Εξ.. έχι τη μορφή:.. Στη συνέχια κατασκυάζουμ και τον πίνακα στήλη των αγνώστων μταβλητών ο οποίος, στην πρίπτωση του συστήματος της Εξ.. ίναι: X.. Ετσι, μέσω των Εξ..-. το γραμμικό σύστημα της Εξ.. γράφται στη μορφή A X.5 Το σύστημα που παρουσιάζται στην Εξ..5 ίναι ένα σύστημα ξισώσων μ αγνώστους και ονομάζται γραμμικό σύστημα πί. Γνικά, η θωρία πίλυσης των συστημάτων αυτών ίναι ιδιαίτρα ανπτυγμένη όμως, το πρόβλημα παρουσιάζι σημαντικό νδιαφέρον και στην αριθμητική ανάλυση, για τις πριπτώσις όπου η διάσταση του συστήματος ίναι πολύ μγάλς. Εχουμ δηλαδή να κάνουμ μ συστήματα τα οποία έχουν πολύ μγάλο αριθμό ξισώσων και άρα, αγνώστων σ τυπικές φαρμογές μπορί να έχουμ, ή, ή ακόμα και. Στις πριπτώσις αυτές ίναι αναγκαία η δημιουργία αλγορίθμων και στη συνέχια προγραμμάτων τα οποία μ χρήση Η/Υ, θα πιλύουν το πρόβλημα μέσα σ λογικά χρονικά πλαίσια. 8

49 Αν ο πίνακας Α ίναι αντιστρέψιμος, δηλαδή έχι ορίζουσα διάφορη του μηδνός, τότ το σύστημα της Εξ..5 έχι μοναδική λύση την X A.6 η οποία υπολογίζται μ τη βοήθια των οριζουσών. Αν όμως η ορίζουσα του Α ίναι ίση μ το μηδέν deta, τότ για να αποφανθούμ αν η ξίσωση έχι λύσις και πόσς πρέπι να ξτάσουμ τις ορίζουσς των πινάκων της Εξ..7, A.7 που προκύπτουν από αντικατάσταση της -στήλης του πίνακα Α μ την στήλη των σταθρών όρων. Αν όλς οι deta ίναι μηδέν τότ το σύστημα έχι άπιρς λύσις που θα ξαρτώνται από κάποις λύθρς παραμέτρους. Αν όμως έστω και μία από τις deta δν ίναι ίση μ το μηδέν τότ το σύστημα δν μπορί να πιλυθί και λέμ ότι ίναι αδύνατο. Ας θωρήσουμ για παράδιγμα το σύστημα που παρουσιάζται στην Εξ..8, 5..8 Παρατηρώντας τις δύο ξισώσις της Εξ..8 παρατηρούμ ότι αν πολλαπλασιάσουμ την η από τις ξισώσις μ προκύπτι το σύστημα που φαίνται στην Εξ