ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Εισαγωγή Μια σημαντική υπόθεση του απλού νεοκλασικού υποδείγματος ήταν ότι ο ρυθμός αποταμίευσης είναι σταθερός και εξωγενώς δεδομένος. Η υπόθεση αυτή συμβάλλει αποφασιστικά στην απλοποίηση της διαδικασίας επίλυσης του υποδείγματος. Όμως μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση είναι ότι ο ρυθμός αποταμίευσης σε μια οικονομία είναι ενδογενής και προσδιορίζεται από την αριστοποιητική συμπεριφορά των ατόμων. Στο Κεφάλαιο αυτό επεκτείνεται το απλό νεοκλασικό υπόδειγμα υιοθετώντας μια προσέγγιση όπου τα νοικοκυριά επιλέγουν διαχρονικά την κατανάλωση και την αποταμίευση μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητάς τους κάτω από ένα διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό. Οι επιχειρήσεις από την άλλη πλευρά επιλέγουν τις ποσότητες φυσικού κεφαλαίου και εργασίας που θα χρησιμοποιήσουν για την παραγωγή του προϊόντος τους έτσι ώστε να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους. Το νεοκλασικό υπόδειγμα με διαχρονική αριστοποίηση συμπεριφοράς αναπτύχθηκε αρχικά από τον Ramsey 1928 και για το λόγο αυτό έχει μείνει γνωστό στη βιβλιογραφία σαν το υπόδειγμα Ramsey. Στη γενική του μορφή το πρόβλημα της αποκεντρωμένης ανταγωνιστικής οικονομίας αναφέρεται στην περίπτωση όπου η αλληλεπίδραση της αριστοποιητικής συμπεριφοράς των διαφόρων φορέων της οικονομίας προσδιορίζει την ισορροπία του συστήματος. Έτσι στο υπόδειγμα αυτό η δυναμική εξέλιξη των συνολικών μεγεθών της οικονομίας προσδιορίζεται από αποφάσεις των ατόμων και των επιχειρήσεων σε μικροοικονομικό επίπεδο. Τα νοικοκυριά προσδιορίζουν τη ζήτηση για το προϊόν της οικονομίας μεγιστοποιώντας τη χρησιμότητά τους ενώ οι επιχειρήσεις προσδιορίζουν την προσφορά του προϊόντος μεγιστοποιώντας τα κέρδη τους. Η αλληλεπίδραση μεταξύ προσφοράς και ζήτησης προσδιορίζει την ισορροπία στην αγορά προϊόντος.

2 116 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Αποφεύγοντας τυχόν ατέλειες που πιθανώς να υπάρχουν σε ένα τέτοιο σύστημα αποκεντρωμένης οικονομίας το υπόδειγμα του Ramsey προσδιορίζει μια ισορροπία η οποία είναι άριστη κατά Pareo. Αυτό σημαίνει ότι εάν κάποιος ανεξάρτητος προγραμματιστής κοινωνικός σχεδιαστής είχε την εξουσία και τη δυνατότητα να διαχειρίζεται όλους τους πόρους της οικονομίας με σκοπό την μεγιστοποίηση της ευημερίας των ατόμων δεν θα μπορούσε να επιτύχει καλύτερο αποτέλεσμα από αυτό της αποκεντρωμένης οικονομίας. Σύμφωνα με τα παραπάνω οι βασικοί στόχοι του Κεφαλαίου είναι: Η επίλυση του προβλήματος της διαχρονικής μεγιστοποίησης της χρησιμότητας των νοικοκυριών με τη χρήση της μεθόδου του Hamilon για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων αριστοποίησης. Η εισαγωγή στην ανάλυση της κοινωνικής ευημερίας με τη σύγκριση των λύσεων των προβλημάτων της αποκεντρωμένης οικονομίας και του κοινωνικού σχεδιαστή. Η συμπεριφορά των νοικοκυριών στην αποκεντρωμένη οικονομία Έστω ότι στην πλευρά της ζήτησης η οικονομία αποτελείται από νοικοκυριά τα οποία ζουν απεριόριστα. Τα νοικοκυριά αυτά λαμβάνουν μισθούς για την εργασία που προσφέρουν και τόκους για τα περιουσιακά στοιχεία που συσσωρεύουν ενώ αγοράζουν αγαθά για κατανάλωση και αποταμιεύουν συσσωρεύοντας καινούργια περιουσιακά στοιχεία. Τα νοικοκυριά δηλαδή υπόκεινται στον παρακάτω εισοδηματικό περιορισμό: B = w L + r B C 6.1 όπου B είναι τα περιουσιακά στοιχεία w ο μισθός και r το επιτόκιο. Η εξίσωση 6.1 δηλώνει ότι η μεταβολή των περιουσιακών στοιχείων των νοικοκυριών ισούται με το εισόδημα από εργασία και τόκους μείον την κατανάλωση. Εάν υποτεθεί όπως και στο απλό νεοκλασικό υπόδειγμα ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι σταθερός και ίσος με n τότε ο συνολικός πληθυσμός αφού υποτεθεί επίσης για λόγους απλούστευσης ότι στην αρχική περίοδο =0 η οικονομία αποτελείται από ένα μόνο άτομο L 0 = 1 δίνεται ανά πάσα χρονική στιγμή από την εξίσωση: n L = e 6.2

3 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 117 Η εξίσωση 6.1 μπορεί τότε να γραφεί σε κατά κεφαλήν όρους ως εξής: b = w + r b nb 6.3 B C όπου b = και =. L L Ένα σημαντικό σημείο στα προβλήματα που εξετάζουν διαχρονικά τη συμπεριφορά των νοικοκυριών είναι ότι για να εξασφαλιστεί η ύπαρξη συνεπούς λύσης πρέπει να αποκλειστεί η περίπτωση τα νοικοκυριά να δανείζονται υπερβολικά επ άπειρον για να χρηματοδοτούν τις δαπάνες τους. Για το σκοπό αυτό πρέπει να εισαχθεί ο διαχρονικός περιορισμός ότι η παρούσα αξία των τρεχουσών και μελλοντικών περιουσιακών στοιχείων των νοικοκυριών είναι ασυμπτωτικά μη αρνητική. Αυτή η συνθήκη συνεπάγεται ότι τα νοικοκυριά δεν μπορούν να δανείζονται τόσο ώστε στο τέλος της οικονομικής ζωής τους να βρίσκονται με χρέος ή ισοδύναμα ότι το χρέος των νοικοκυριών δεν αυξάνει ασυμπτωτικά με ρυθμό μεγαλύτερο από το επιτόκιο. Σε μαθηματικούς όρους πρέπει δηλαδή να ισχύει ο περιορισμός: r s n ds lim 0 b e Ο σκοπός κάθε νοικοκυριού είναι να μεγιστοποιήσει τη διαχρονική του χρησιμότητα. Αν υποτεθεί για λόγους απλούστευσης ότι η οικονομία αποτελείται από ένα μόνο νοικοκυριό με L μέλη τότε η διαχρονική συνάρτηση χρησιμότητας του νοικοκυριού αυτού μπορεί να οριστεί σαν: U = 0 ρ ρ u L e d = u e e d 0 n 6.5 όπου ρ είναι ο συντελεστής διαχρονικής προτίμησης rae of ime preferene. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ρ τόσο μικρότερη αξία σε όρους χρησιμότητας έχει η μελλοντική κατανάλωση για το νοικοκυριό σε σχέση με την τρέχουσα κατανάλωση. Για τη στιγμιαία συνάρτηση χρησιμότητας u γίνονται οι υποθέσεις ότι: 1 είναι αύξουσα u >0 και κοίλη u <0

4 118 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης 2 ικανοποιεί τις συνθήκες Inada: lim u = και lim u = 0. 0 Η μαθηματική λύση του παραπάνω διαχρονικού προβλήματος μεγιστοποίησης της εξίσωσης 6.5 κάτω από τους περιορισμούς 6.3 και 6.4 γίνεται με τη χρήση της εξίσωσης του Hamilon: 18 J = u e ρ n + v [ w + r n b ] 6.6 όπου ο πολλαπλασιαστής v είναι η παρούσα αξία της σκιώδους τιμής του εισοδήματος σε μονάδες χρησιμότητας. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση της αρχικής εξίσωσης του Hamilon είναι: = 0 J ρ n v = u e 6.7 J = ν b ν = r n v 6.8 Επιπλέον πρέπει να ισχύει η συνθήκη: lim ν b = Η παραπάνω συνθήκη είναι γνωστή ως τερματική συνθήκη ransversaliy ondiion και δηλώνει ότι η αξία των περιουσιακών στοιχείων κάθε νοικοκυριού τείνει στο μηδέν καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Από τις 6.8 και 6.9 συνεπάγεται ότι ο κατά κεφαλήν πλούτος δεν πρέπει να αυξάνεται διαχρονικά με ρυθμό μεγαλύτερο από r - n ή ότι ο συνολικός πλούτος δεν πρέπει να αυξάνεται με ρυθμό μεγαλύτερο από r. Μια διαφορετική ερμηνεία της εξίσωσης 6.9 είναι ότι τα άτομα δεν επιθυμούν να έχουν καθόλου περιουσιακά στοιχεία στο τέλος της ζωής τους θεωρώντας ότι το άπειρο συμπίπτει με το τέλος της ζωής των νοικοκυριών. Κάθε άλλη συμπεριφορά δεν συμβαδίζει με τις αρχές της διαχρονικής αριστοποίησης γιατί θα ήταν αντίθετο προς τη μεγιστοποίηση της 18 Για τις μεθόδους επίλυσης παρόμοιων διαχρονικών προβλημάτων βλ. Dixi 1990 Chiang 1992 Barro και Sala-I-Marin 1995 και de la Fuene H συνάρτηση του Hamilon μπορεί iσοδύναμα να διατυπωθεί σε όρους παρούσας αξίας και να επιλυθεί με βάση τις τροποποιημένες συνθήκες πρώτης τάξης καταλήγοντας στο ίδιο αποτέλεσμα βλ. για παράδειγμα Κεφάλαιο 10.

5 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 119 διαχρονικής χρησιμότητας να διατηρούν τα νοικοκυριά περιουσιακά στοιχεία μετά το τέλος της ζωής τους. 19 Διαφορίζοντας την εξίσωση 6.7 ως προς το προκύπτει: 20 ρ n ρ n ν = u e ρ n u e u ν = v ρ n u 6.10 Από τις εξισώσεις 6.8 και 6.10 προκύπτει ότι: u r = ρ 6.11 u Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή σαν η εξίσωση του Euler και αποτελεί τη βασική συνθήκη για την άριστη επιλογή της κατανάλωσης διαχρονικά. Η εξίσωση του Euler λέει ότι τα νοικοκυριά κατανέμουν διαχρονικά την κατανάλωσή τους με τέτοιο τρόπο ώστε να εξισώνουν την απόδοση των αποταμιεύσεών τους r με την απόδοση της κατανάλωσης δεξιό μέλος της εξίσωσης του Euler. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόδοση των αποταμιεύσεων τόσο περισσότερο τα νοικοκυριά επιθυμούν να αυξήσουν την τρέχουσα αποταμίευση και να μεταφέρουν κατανάλωση σε μελλοντικές περιόδους. Από την άλλη πλευρά όσο μεγαλύτερη είναι η απόδοση της κατανάλωσης τόσο περισσότερο τα νοικοκυριά επιθυμούν να μεταφέρουν μελλοντική κατανάλωση στο παρόν μειώνοντας την τρέχουσα αποταμίευση. Τα νοικοκυριά είναι αδιάφορα μεταξύ αποταμίευσης και κατανάλωσης όταν οι δυο αυτές αποδόσεις είναι ίσες. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα νοικοκυριά επιθυμούν να μεταφέρουν μελλοντική κατανάλωση στο παρόν για δυο λόγους. Πρώτον γιατί εκτιμούν περισσότερο την παρούσα χρησιμότητα σε σχέση με τη μελλοντική κάτι που εκφράζεται από την παρουσία του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης ρ στο δεξιό μέλος της εξίσωσης του Εuler. Δεύτερον η μελλοντική αύξηση της κατανάλωσης αυξάνει την οριακή χρησιμότητα της κατανάλωσης 19 Για την τερματική συνθήκη και την οικονομική ερμηνεία της βλ. MCallum Στο εξής για λόγους απλούστευσης της παρουσίασης θα παραλείπεται ο δείκτης εκτός εάν θεωρείται απαραίτητος.

6 120 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης γεγονός που κάνει τα νοικοκυριά να επιθυμούν να μεταφέρουν μελλοντική κατανάλωση στο παρόν. Μια πολύ διαδεδομένη συνάρτηση χρησιμότητας είναι η συνάρτηση στιγμιαίας χρησιμότητας που ορίζεται από την εξίσωση: 1θ u = θ Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σαν συνάρτηση χρησιμότητας με σταθερή σχετική αποστροφή ως προς τον κίνδυνο onsan relaive ris aversion CRRA. Η ονομασία της συνάρτησης προέρχεται από την ελαστικότητα της οριακής χρησιμότητας ως προς την κατανάλωση η οποία u ισούται με και δίνει το συντελεστή σχετικής αποστροφής ως u προς τον κίνδυνο. Στην περίπτωση της συνάρτησης χρησιμότητας CRRA ο συντελεστής αυτός είναι σταθερός δηλαδή είναι ανεξάρτητος του επιπέδου της κατανάλωσης και ίσος με θ. Η εξίσωση του Εuler για αυτή τη συνάρτηση χρησιμότητας απλοποιείται σημαντικά και γίνεται: 1 = r ρ θ 6.13 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε σχέση με την 6.13 παρουσιάζει μια εναλλακτική ερμηνεία του συντελεστή σχετικής αποστροφής ως προς τον κίνδυνο. Συγκεκριμένα ο συντελεστής θ 1 ορίζεται σαν η ελαστικότητα υποκατάστασης της κατανάλωσης μεταξύ διαφορετικών χρονικών περιόδων δηλαδή εκφράζει την ευκολία με την οποία τα άτομα επιθυμούν να μεταφέρουν κατανάλωση από μια περίοδο σε μια άλλη. Όσο πιο μικρή είναι η τιμή του θ και άρα όσο μεγαλύτερη είναι η ελαστικότητα υποκατάστασης τόσο πιο αργά μειώνεται η οριακή χρησιμότητα καθώς αυξάνει η κατανάλωση και άρα τόσο περισσότερο είναι διατεθειμένα τα άτομα να αποδεχθούν αποκλίσεις από μια διαχρονικά ομοιόμορφη κατανομή της κατανάλωσης. Κατά συνέπεια σύμφωνα με την 6.13 η άριστη συμπεριφορά των ατόμων οδηγεί σε ρυθμό μεταβολής της κατά κεφαλήν κατανάλωσης ο οποίος ισούται με το γινόμενο της ελαστικότητας υποκατάστασης επί τη διαφορά μεταξύ επιτοκίου αμοιβής μέσω μελλοντικής κατανάλωσης και

7 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 121 συντελεστή διαχρονικής προτίμησης ανυπομονησίας. Όταν το επιτόκιο είναι υψηλό ή τα άτομα είναι λιγότερο ανυπόμονα τότε θα υπάρχει μεγαλύτερη αποταμίευση με συνέπεια η ρυθμός μεταβολής της κατανάλωσής τους να είναι μεγαλύτερος. Η τάση αυτή θα ενισχύεται όταν η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι υψηλή δηλαδή η μελλοντική κατανάλωση αποτελεί καλό υποκατάστατο της τρέχουσας κατανάλωσης. Να σημειωθεί ότι η συνάρτηση χρησιμότητας CRRA αποτελεί μια γενικευμένη μορφή η οποία περιλαμβάνει ορισμένες ενδιαφέρουσες συναρτήσεις χρησιμότητας σαν ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα καθώς το θ τείνει στο μηδέν η συνάρτηση χρησιμότητας τείνει να γίνει γραμμική ως προς την κατανάλωση ενώ καθώς το θ τείνει στη μονάδα η συνάρτηση χρησιμότητας προσεγγίζει τη λογαριθμική συνάρτηση log. 21 Στο εξής θα θεωρείται ότι η συνάρτηση στιγμιαίας χρησιμότητας δίνεται από την εξίσωση 6.12 και άρα η λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της διαχρονικής χρησιμότητας των νοικοκυριών δίνεται από την σχέση Η συμπεριφορά των επιχειρήσεων στην αποκεντρωμένη οικονομία Στην πλευρά της προσφοράς η οικονομία αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό ομοειδών επιχειρήσεων οι οποίες παράγουν ένα ομοιογενές καταναλωτικό αγαθό Υ. Οι επιχειρήσεις χρησιμοποιούν μια τεχνολογία παραγωγής Υ = FKL η οποία ικανοποιεί τις νεοκλασικές ιδιότητες που αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο 2 και πληρώνουν μισθούς για την εργασία και ενοίκιο για τις υπηρεσίες του κεφαλαίου που απασχολούν. Έστω τώρα ότι η τιμή ενοικίου μιας μονάδας κεφαλαίου ισούται με R. Τότε ισχύει R=r+δ γιατί αφού R είναι η απόδοση του κεφαλαίου τότε η καθαρή απόδοση είναι R=r-δ λόγω της απόσβεσης του κεφαλαίου. Εφόσον επίσης r είναι το επιτόκιο δανεισμού και τα δάνεια και το κεφάλαιο είναι τέλεια υποκατάστατα ως εναλλακτικές μορφές επένδυσης πρέπει να ισχύει r=r-δ. Η αντιπροσωπευτική επιχείρηση i στην οικονομία επιλέγει τις ποσότητες εργασίας L i και κεφαλαίου Κ i που μεγιστοποιούν τα κέρδη της π i. Αν υποτεθεί για απλοποίηση ότι η τιμή του τελικού προϊόντος είναι ίση με τη μονάδα τότε τα κέρδη της αντιπροσωπευτικής επιχείρησης είναι: π = F K L r + δ K wl 6.14 i i i i i 21 Οι μετρήσεις για τις τιμές της παραμέτρου θ παρότι παρουσιάζουν αρκετά μεγάλες αποκλίσεις μεταξύ τους συνήθως καταλήγουν σε τιμές ελαφρά χαμηλότερες της μονάδας δείχνοντας ότι η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι σχετικά χαμηλή βλ. Blanhard και Fisher 1989.

8 122 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση των κερδών είναι: π K i i = 0 f = r + δ 6.15 π L i i = 0 f f = w 6.16 K i K όπου = = αφού οι επιχειρήσεις είναι όμοιες. Οι συνθήκες 6.15 Li L και 6.16 δηλώνουν ότι στην ισορροπία το οριακό προϊόν του κάθε συντελεστή παραγωγής πρέπει να ισούται με το κόστος του. Η ισορροπία του υποδείγματος Ramsey Στην ισορροπία τα κατά κεφαλήν περιουσιακά στοιχεία των νοικοκυριών θα είναι ίσα με το λόγο κεφαλαίου-εργασίας δηλαδή θα ισχύει b=. Επομένως η εξίσωση 6.3 σε συνδυασμό με τις εξισώσεις 6.15 και 6.16 μπορεί να γραφεί ως: = f n + δ 6.17 Επίσης η εξίσωση 6.13 γράφεται ως: 1 = θ f δ ρ 6.18 Οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 αποτελούν ένα σύστημα η λύση του οποίου προσδιορίζει την ισορροπία της οικονομίας μας. Στη = σταθερή κατάσταση ισχύει = 0 οπότε: = f n + δ 6.19 f = δ + ρ 6.20

9 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 123 Στην ισορροπία σταθερής κατάστασης ο ρυθμός μεταβολής τόσο της κατά κεφαλήν κατανάλωσης όσο και του λόγου κεφαλαίου-εργασίας είναι μηδέν. Διαφορίζοντας ως προς το χρόνο τη συνάρτηση παραγωγής της οικονομίας μπορεί να δειχθεί ότι και ο ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος θα είναι ίσος με το μηδέν. Άρα όπως ακριβώς και στο νεοκλασικό υπόδειγμα Solow-Swan το νεοκλασικό υπόδειγμα με αριστοποίηση καταναλωτή προβλέπει ότι χωρίς τεχνολογική πρόοδο η οικονομία δεν μπορεί να διατηρήσει θετικό ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης. Για να εξεταστεί η δυναμική συμπεριφορά της ισορροπίας γύρω από τα σημεία ισορροπίας για την κατανάλωση και το κεφάλαιο παραγωγίζεται η 6.17 ως προς την κατανάλωση και η 6.18 ως προς το κεφάλαιο: = = f < 0 θ 6.22 Η εξίσωση 6.21 δηλώνει ότι καθώς αυξάνεται η κατανάλωση ο ρυθμός συσσώρευσης του κεφαλαίου είναι φθίνων δηλαδή αρχικά θετικός μηδενικός στην ισορροπία και κατόπιν αρνητικός. Αντίστοιχα η εξίσωση 6.22 δηλώνει ότι καθώς αυξάνεται το κεφάλαιο ο ρυθμός μεταβολής της κατανάλωσης είναι επίσης φθίνων δηλαδή αρχικά θετικός μηδενικός στην ισορροπία και κατόπιν αρνητικός. Η λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων μπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα Διάγραμμα φάσης phase diagram. Στο Διάγραμμα αυτό απεικονίζονται οι δύο ευθείες = 0 και = 0 ώστε να φανεί το επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας της κατά κεφαλήν κατανάλωσης και του κεφαλαίου. Επίσης στο ίδιο Διάγραμμα απεικονίζεται η δυναμική συμπεριφορά της οικονομίας όταν βρίσκεται εκτός του σημείου ισορροπίας όπως αυτή προκύπτει από τις σχέσεις 6.21 και Συγκεκριμένα το σύστημα εξισώσεων 6.17 και 6.18 παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 6.1.

10 124 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Διάγραμμα 6.1. Διάγραμμα φάσης για την ισορροπία του νεοκλασικού υποδείγματος μεγέθυνσης * = 0 = 0 * Η ισορροπία του υποδείγματος βρίσκεται στο σημείο τομής των γεωμετρικών τόπων = 0 και = 0. Αν η οικονομία ξεκινήσει από κάποιο σημείο εκτός του σημείου ισορροπίας τότε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων 6.17 και 6.18 καθορίζουν την δυναμική πορεία των μεταβλητών και. Αν για παράδειγμα σε κάποιο σημείο ισχύει > 0 και > 0 τότε υπάρχει μια τάση για μείωση του. Οι τάσεις αυτές παρουσιάζονται στο παραπάνω Διάγραμμα για κάθε μια από τις τέσσερις περιοχές που ορίζουν οι γεωμετρικοί τόποι = 0 και = 0. Τα κάθετα βέλη δείχνουν την κατεύθυνση προς την οποία τείνει να μεταβληθεί η κατά κεφαλήν κατανάλωση από την 6.22 ενώ τα οριζόντια βέλη αναφέρονται στη μεταβολή του λόγου κεφαλαίου-εργασίας από την Έστω ότι η οικονομία βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε σημείο πάνω στο γεωμετρικό τόπο = 0. Αν στο σημείο αυτό αυξηθεί η κατά κεφαλήν κατανάλωση και παραμείνει σταθερός ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας τότε θα υπάρξει μετακίνηση κατακόρυφα προς τα επάνω. Στο νέο αυτό σημείο θα ισχύει < 0. Όπως διαπιστώνεται από την εξίσωση 6.17 αν αρχικά ισχύει = 0 μια αύξηση του με σταθερό το θα καταστήσει το αρνητικό.

11 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 125 Άρα για σημεία πάνω από το γεωμετρικό τόπο = 0 υπάρχει μια τάση για μείωση του λόγου κεφαλαίου-εργασίας. Με ανάλογο τρόπο μπορεί να δειχθεί ότι για σημεία κάτω από το γεωμετρικό τόπο = 0 θα υπάρχει τάση για αύξηση του λόγου κεφαλαίου-εργασίας. Κατά αναλογία για να βρεθεί η τάση μεταβολής της κατά κεφαλήν κατανάλωσης η ανάλυση ξεκινά από κάποιο σημείο πάνω στο γεωμετρικό τόπο = 0 και κατόπιν μεταβάλλεται ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας. Το πρόσημο της μεταβολής της κατανάλωσης εξετάζεται χρησιμοποιώντας τη διαφορική εξίσωση Οι τάσεις μεταβολής των μεταβλητών και υποδεικνύουν την ύπαρξη μιας μοναδικής πορείας προς το σημείο ισορροπίας. Η πορεία αυτή ονομάζεται τροχιά σύγκλισης saddle pah ενώ το σημείο ισορροπίας ονομάζεται σαγματικό σημείο saddle poin. H δυναμική ανάλυση της ισορροπίας παρουσιάζεται στο Παράρτημα του Κεφαλαίου. Μεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης Στο σημείο αυτό μπορεί να εξεταστεί η πορεία της οικονομίας μετά από μια μεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης ρ ο οποίος ενσωματώνει το βάρος που δίνουν τα νοικοκυριά στη μελλοντική σε σχέση με την τρέχουσα κατανάλωση. Για παράδειγμα μια μείωση του συντελεστή ρ ισοδυναμεί με την υπόθεση ότι τα νοικοκυριά γίνονται λιγότερο ανυπόμονα και δίνουν μεγαλύτερη βαρύτητα στη μελλοντική κατανάλωση. Αυτό σημαίνει ότι είναι διατεθειμένα να θυσιάσουν περισσότερη τρέχουσα κατανάλωση για αυτό το σκοπό κάτι που από μία άποψη είναι ανάλογο της υπόθεσης ότι τα νοικοκυριά αυξάνουν το σταθερό ποσοστό αποταμίευσης s στο υπόδειγμα Solow-Swan που εξετάστηκε στα Κεφάλαια 2 και 3. Από τις εξισώσεις 6.17 και 6.18 φαίνεται ότι η μεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης επηρεάζει την κατανάλωση αλλά όχι και τη συσσώρευση του κεφαλαίου. Κάτι τέτοιο είναι φυσικό γιατί ο συντελεστής διαχρονικής προτίμησης επηρεάζει την πορεία που θα επιλέξουν τα νοικοκυριά για την κατανάλωση και την αποταμίευσή αλλά δε μεταβάλλει τη συσσώρευση κεφαλαίου η οποία καθορίζεται από τη συνάρτηση παραγωγής και τις παραμέτρους της οικονομίας όπως το ποσοστό απόσβεσης και ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού. Η μείωση του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης και η συνακόλουθη μεταβολή σύμφωνα με την 6.18 δίνεται στο παρακάτω Διάγραμμα.

12 126 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Διάγραμμα 6.2. Μεταβολή της ισορροπίας μετά από μια μείωση του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης = 0 = 0 = 0 Η ευθεία = 0 μετατοπίζεται προς τα δεξιά στην = 0 καθώς μια μείωση στο ρ συνεπάγεται μικρότερη μεταβολή της κατανάλωσης για το ίδιο κεφάλαιο και άρα για να διατηρηθεί η κατανάλωση σταθερή = 0 απαιτείται μεγαλύτερο κεφάλαιο. Στη νέα μακροχρόνια ισορροπία της οικονομίας το κατά κεφαλήν κεφάλαιο θα είναι υψηλότερο > η κατά κεφαλήν κατανάλωση θα είναι επίσης σε υψηλότερο επίπεδο > όπως και το κατά κεφαλήν εισόδημα. Πώς όμως εξασφαλίζεται η μετάβαση στο νέο σημείο ισορροπίας; Σύμφωνα με τα δεδομένα της οικονομίας σε κάθε μεταβολή η κατανάλωση μεταβάλλεται στιγμιαία jumps ώστε να βρεθεί στη νέα τροχιά ισορροπίας. Στην περίπτωση της μείωσης του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης αρχικά η κατανάλωση θα μειωθεί αυτόματα οδηγώντας την οικονομία στη νέα τροχιά ισορροπίας ενώ το απόθεμα κεφαλαίου της οικονομίας παραμένει αμετάβλητο στο επίπεδο. Με τη μείωση της κατανάλωσης και τη συνακόλουθη αύξηση της αποταμίευσης η οικονομία αρχίζει να συσσωρεύει κεφάλαιο προκαλώντας σταδιακή μετακίνηση προς το επίπεδο. Καθώς αυξάνεται το κεφάλαιο και το εισόδημα ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης είναι θετικός μέχρι να επιτευχθεί η νέα ισορροπία

13 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 127 στην οποία η κατανάλωση το κεφάλαιο και το εισόδημα της οικονομίας είναι σε υψηλότερο επίπεδο. O τροποποιημένος χρυσός κανόνας της συσσώρευσης κεφαλαίου Στο προηγούμενο τμήμα φάνηκε ότι μια μεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης επηρεάζει το επίπεδο εισοδήματος και κατανάλωσης της οικονομίας. Ένα εύλογο ερώτημα σχετίζεται με το άριστο επίπεδο εισοδήματος και κατανάλωσης ευημερίας που μπορεί να επιτύχει η οικονομία στο υπόδειγμα Ramsey. Στο Κεφάλαιο 2 όπου παρουσιάστηκε το υπόδειγμα Solow-Swan αποδείχθηκε ότι ο χρυσός κανόνας για συσσώρευση κεφαλαίου δίνεται από τη σχέση f * = n + δ. Στο υπόδειγμα Ramsey το άριστο επίπεδο του λόγου κεφαλαίου-εργασίας δίνεται από τη σχέση Επομένως μπορεί να διατυπωθεί η ακόλουθη Πρόταση για το υπόδειγμα Ramsey. Πρόταση 6.1. Στη μακροχρόνια ισορροπία του υποδείγματος Ramsey ο άριστος λόγος κεφαλαίου-εργασίας είναι χαμηλότερος σε σχέση με το υπόδειγμα Solow-Swan. Η Πρόταση αποδεικνύεται εύκολα αν ληφθεί υπόψη από τις και 6.20 ότι πρέπει να ισχύει ρ > n ώστε να ικανοποιείται η τελική συνθήκη. Από τη σύγκριση των εξισώσεων 6.20 και 2.17 προκύπτει ότι * < όπως φαίνεται και στο Διάγραμμα 6.1. Στο υπόδειγμα του Ramsey δηλαδή τα νοικοκυριά αποταμιεύουν λιγότερο από αυτό που προβλέπει ο χρυσός κανόνας γιατί δεν συμφέρει να θυσιάσουν τρέχουσα κατανάλωση ώστε να επιτύχουν τη μέγιστη δυνατή κατανάλωση που υποδεικνύει ο χρυσός κανόνας αφού η μελλοντική κατανάλωση δεν έχει την ίδια χρησιμότητα με την παρούσα κατανάλωση. Η ύπαρξη δηλαδή του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης ρ στο υπόδειγμα Ramsey επιβάλει την τροποποίηση του χρυσού κανόνα. Για το λόγο αυτό η εξίσωση 6.20 είναι γνωστή ως τροποποιημένος χρυσός κανόνας της συσσώρευσης κεφαλαίου. Η παραπάνω διαφορά αποτελεί τη μοναδική ουσιαστική τροποποίηση των αποτελεσμάτων σε σχέση με το υπόδειγμα Solow-Swan. Το άριστο επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας είναι χαμηλότερο λόγω της διαχρονικής προτίμησης ανυπομονησίας των νοικοκυριών τα οποία προτιμούν την τρέχουσα κατανάλωση σε σχέση με τη μελλοντική. Παρότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να εισαχθεί η έννοια της διαχρονικής προτίμησης στο πρόβλημα

14 128 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης της μεγιστοποίησης των νοικοκυριών ώστε να εμπλουτιστεί η θεωρία και να ερμηνεύονται καλύτερα τα εμπειρικά γεγονότα βλ. Πλαίσιο 6.1 το τελικό αποτέλεσμα του τροποποιημένου χρυσού κανόνα θα εξακολουθήσει να ισχύει. Ο τροποποιημένος χρυσός κανόνας μπορεί για παράδειγμα να α 1α ερμηνευτεί με βάση τη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Y = AK L. α Η τελευταία γράφεται σε κατά κεφαλήν όρους ως y = f = A βλ. Κεφάλαιο 2. Το οριακό προϊόν του κατά κεφαλήν κεφαλαίου δίνεται από τη α 1 σχέση f = αa οπότε οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 γράφονται ως: α = A 1 α 1 = [ αa θ n + δ ρ + δ ] 6.17α 6.18α = Στην ισορροπία σταθερής κατάστασης ισχύει = 0 και άρα: α = A n + δ 6.19α 1 αa α = ρ + δ 6.20α Από τη λύση του παραπάνω συστήματος προκύπτει ότι: 1 1α αa = ρ δ 6.19β αa α ρ + δ = n + δ 6.20β ρ + δ α Οι σχέσεις 6.19β και 6.20β δίνουν το λόγο κεφαλαίου-εργασίας και την κατά κεφαλήν κατανάλωση στο υπόδειγμα Ramsey για τη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas.

15 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 129 Πλαίσιο 6.1. Διαχρονική προεξόφληση Η συνηθέστερη υπόθεση στην αξιολόγηση της διαχρονικής προεξόφλησης είναι ότι ο συντελεστής διαχρονικής προτίμησης ρ είναι σταθερός και ότι η συνάρτηση προεξόφλησης έχει την εκθετική μορφή δ =1+ρ - όπου είναι ο αριθμός των περιόδων. Η αξία δηλαδή μιας μονάδας που καταναλώνεται σήμερα ισούται με δ μονάδες που καταναλώνονται μετά από περιόδους όπου δ<1 αφού οι μελλοντικές μονάδες αξίζουν λιγότερο από τις τρέχουσες. Η εκθετική μορφή έχει την ιδιότητα της σταθερής διαχρονικής μείωσης της αξίας της κατανάλωσης. Συχνά όμως θεωρείται ότι τα άτομα είναι πιο ανυπόμονα για επιλογές που αφορούν το προσεχές μέλλον σε σχέση με την ίδια επιλογή για πιο μακρινό ορίζοντα Sroz Με αυτό το σκεπτικό έχουν επίσης διατυπωθεί συναρτήσεις προεξόφλησης οι οποίες μειώνονται με ταχύτερο ρυθμό βραχυχρόνια και αντίστοιχα μικρότερο ρυθμό μακροχρόνια. Δύο τέτοιες συναρτήσεις είναι η υπερβολική συνάρτηση 1+α -γ/α και η ημιυπερβολική συνάρτηση 1 β βδ βδ 2 οι οποίες δίνουν συγκριτικά μεγαλύτερη σημασία στο παρόν σε σχέση με το μέλλον. 12 Συναρτήσεις διαχρονικής προεξόφλησης 1 Αξία μονάδας μετά από τ περιόδους Εκθετική Υπερβολική Ημι-υπερβολική Περίοδοι Πηγή: Angeleos κ.α Ο Irving Fisher 1930 είχε επισημάνει ότι τα νοικοκυριά με χαμηλότερο εισόδημα είναι συνήθως πιο ανυπόμονα κάτι που είχε αποδώσει σε κοινωνικούς και πολιτιστικούς παράγοντες. Πράγματι εμπειρικές μελέτες στις Η.Π.Α. Lawrane 1991 έχουν βρει ότι ο συντελεστής διαχρονικής προτίμησης για τα φτωχότερα νοικοκυριά είναι υψηλότερος κατά τρεις με πέντε ποσοστιαίες μονάδες σε σχέση με τον αντίστοιχο συντελεστή των πλουσιότερων νοικοκυριών.

16 130 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Το πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή Σε αυτό το τμήμα του Κεφαλαίου θα συγκριθεί η λύση του υποδείγματος που προέρχεται από την ανταγωνιστική ισορροπία με τη λύση που θα επέβαλε ένας υποθετικός κοινωνικός σχεδιαστής της οικονομίας με στόχο τη μεγιστοποίηση της συνολικής ευημερίας. Συγκεκριμένα για να φανεί εάν η ισορροπία της ανταγωνιστικής οικονομίας είναι η βέλτιστη δυνατή ή εάν μπορεί να επιτευχθεί ένα άλλο σημείο ισορροπίας με καλύτερο αποτέλεσμα πρέπει να εξεταστεί εάν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareo. Ο κοινωνικός σχεδιαστής soial planner είναι ένα ιδεατό πρόσωπο το οποίο έχει ακριβώς την εξουσία να επιβάλλει στο πρόβλημα παραγωγής και διανομής του προϊόντος της οικονομίας μια λύση που μεγιστοποιεί την ευημερία όλων των ατόμων. Δηλαδή το πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή αναφέρεται στη θεωρητική περίπτωση όπου κάποιος οικονομικός σοφός μονάρχης προσδιορίζει από μόνος του τα διάφορα οικονομικά μεγέθη σαν σύνολο με τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιούν την ευημερία των ατόμων της οικονομίας. Στην περίπτωση όπου η λύση της ανταγωνιστικής ισορροπίας και η λύση του κοινωνικού σχεδιαστή συμπίπτουν τότε η οικονομία είναι άριστη κατά Pareo. Όταν η λύση του προβλήματος της ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι άριστη κατά Pareo δεν υπάρχει τρόπος να βελτιωθεί η ευημερία έστω και ενός ατόμου της οικονομίας χωρίς να μειωθεί η ευημερία κάποιου άλλου ατόμου. Η αξία του προβλήματος του κοινωνικού σχεδιαστή έγκειται στο γεγονός ότι αποτελεί ένα μέτρο σύγκρισης για το πρόβλημα της αποκεντρωμένης οικονομίας. Έτσι εάν η λύση του προβλήματος της αποκεντρωμένης οικονομίας είναι διαφορετική από εκείνη του κοινωνικού σχεδιαστή τότε η λύση αυτή δεν είναι άριστη κατά Pareo που σημαίνει ότι υπάρχει χώρος για κρατική παρέμβαση με σκοπό τη βελτίωση του οικονομικού αποτελέσματος. Ο κοινωνικός σχεδιαστής μεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιμότητας των νοικοκυριών 6.5 κάτω από τον εισοδηματικό περιορισμό της οικονομίας. Ο περιορισμός αυτός δηλώνει πώς κατανέμεται το παραγόμενο προϊόν της οικονομίας στις διάφορες χρήσεις του. Στην περίπτωση που αναλύεται κλειστή οικονομία χωρίς κρατικό τομέα το συνολικό παραγόμενο προϊόν Y μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε για κατανάλωση C είτε για επένδυση σε φυσικό κεφάλαιο Ι: Y = C + I F K L = C + K + δ K = f n + δ 6.23

17 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 131 H εξίσωση του Hamilon που αντιστοιχεί στο πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή είναι: 1θ J = e 1 θ nρ + ν [ f n + δ ] 6.24 Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση της παραπάνω εξίσωσης ως προς την κατανάλωση και το κεφάλαιο είναι: = 0 J θ nρ ν = e 6.25 J = ν ν = ν 6.26 [ n + δ f ] Διαφορίζοντας την εξίσωση 6.25 ως προς προκύπτει: ν = ν n ρ θ 6.27 Από την παραπάνω εξίσωση καθώς και την εξίσωση 6.26 προκύπτει ότι: 1 = θ [ f ρ + δ ] 6.28 = Στη σταθερή κατάσταση ισορροπίας ισχύει = 0 οπότε από τις εξισώσεις 6.23 και 6.28 προκύπτει τελικά ότι: = f n + δ 6.29 f = ρ + δ 6.30 Οι εξισώσεις 6.29 και 6.30 είναι ταυτόσημες με τις εξισώσεις 6.19 και 6.20 οπότε μπορεί να διατυπωθεί η ακόλουθη Πρόταση.

18 132 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Πρόταση 6.2. Η ανταγωνιστική ισορροπία τοy υποδείγματος Ramsey είναι άριστη κατά Pareo. Το πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή καταλήγει δηλαδή σε μια λύση η οποία είναι ταυτόσημη με αυτή του προβλήματος της αποκεντρωμένης οικονομίας το οποίο περιγράφεται από τις εξισώσεις 6.19 και Και αφού η λύση του κοινωνικού σχεδιαστή είναι άριστη κατά Pareo τότε και η ανταγωνιστική λύση είναι άριστη κατά Pareo. Το γραμμικό υπόδειγμα ΑΚ με αριστοποίηση καταναλωτή Στο τμήμα αυτό θα παρουσιαστεί το γραμμικό υπόδειγμα μεγέθυνσης με την υπόθεση της αριστοποίησης της συμπεριφοράς του καταναλωτή. Το υπόδειγμα αυτό όπως ήδη δείχθηκε στο Κεφάλαιο 2 παράγει συνεχή μεγέθυνση: ο λόγος είναι η έλλειψη φθινουσών αποδόσεων ως προς τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου Με την υπόθεση της γραμμικής συνάρτησης παραγωγής οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 μπορούν να γραφούν ως: = A δ n = A δ ρ θ 6.32 Από την εξίσωση 6.32 φαίνεται ότι ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης είναι σταθερός αφού δεν εξαρτάται από το λόγο κεφαλαίουεργασίας. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας καθώς και το κατά κεφαλήν εισόδημα αυξάνουν με ρυθμό ίσο με το ρυθμό αύξησης της κατά κεφαλήν κατανάλωσης. Η ισορροπία του γραμμικού υποδείγματος ΑΚ δίνεται από την παρακάτω Πρόταση. Πρόταση 6.3. Στην ισορροπία του γραμμικού υποδείγματος μεγέθυνσης ισχύει: y 1 = = = A δ ρ y θ 6.33 Η απόδειξη της Πρότασης 6.3 δίνεται στο Παράρτημα του Κεφαλαίου. Όπως φαίνεται από την Πρόταση ο ρυθμός μεγέθυνσης εξαρτάται από μια

19 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 133 σειρά παραμέτρων της οικονομίας. Συγκεκριμένα εξαρτάται θετικά από την παράμετρο τεχνολογίας Α η οποία δείχνει πώς μετατρέπεται το κεφάλαιο σε προϊόν. Όσο πιο ψηλή η τιμή του Α σε μια οικονομία τόσο μεγαλύτερο μακροχρόνιο ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης μπορεί να επιτύχει. Από την άλλη πλευρά ο ρυθμός αυτός εξαρτάται αρνητικά από το ρυθμό απόσβεσης δ όταν χρησιμοποιείται μεγαλύτερο τμήμα του κεφαλαίου σε κάθε περίοδο μειώνεται η ανάπτυξη καθώς και από το ρυθμό προεξόφλησης ρ και την ελαστικότητα της οριακής χρησιμότητας ως προς την κατανάλωση θ. Τέλος μπορεί εύκολα να δειχθεί λύνοντας το πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή ότι η λύση του γραμμικού υποδείγματος είναι άριστη κατά Pareo. Αυτό είναι λογικό αφού η αντικατάσταση της νεοκλασικής συνάρτησης παραγωγής από τη συνάρτηση y=a δεν προξενεί προβλήματα στην ανταγωνιστική λειτουργία της αγοράς. Συμπεράσματα Η μελέτη της αριστοποιητικής συμπεριφοράς του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού στο υπόδειγμα Ramsey δίνει μια νέα διάσταση στη μελέτη της οικονομικής μεγέθυνσης γιατί δεν υιοθετεί αυθαίρετα κάποιο ποσοστό του εισοδήματος σαν αποταμίευση αλλά ενσωματώνει τις αποφάσεις των νοικοκυριών σε ένα διαχρονικό πλαίσιο άριστης συμπεριφοράς. Είναι σημαντικό ότι τα βασικά αποτελέσματα του υποδείγματος Ramsey δεν διαφέρουν από αυτά του υποδείγματος Solow-Swan. Και στο υπόδειγμα Ramsey οι φθίνουσες αποδόσεις παίζουν κυρίαρχο ρόλο οδηγώντας την οικονομία σε μια κατάσταση σταθερού εισοδήματος εκτός εάν υποτεθεί εξωγενής τεχνολογική πρόοδος. Αυτό έγινε φανερό με την παρουσίαση του υποδείγματος ΑΚ: η ύπαρξη σταθερών αποδόσεων στη συνάρτηση παραγωγής οδηγεί σε σταθερό ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης ανεξάρτητα από το εάν τα νοικοκυριά ακολουθούν αριστοποιητική συμπεριφορά. Η μόνη αξιοσημείωτη διαφορά είναι στο άριστο επίπεδο του εισοδήματος μακροχρόνιας ισορροπίας το οποίο στο υπόδειγμα Ramsey είναι χαμηλότερο λόγω της ύπαρξης του συντελεστή διαχρονικής προτίμησης στη συνάρτηση χρησιμότητας που καθιστά τα νοικοκυριά πιο ανυπόμονα και άρα οδηγεί σε χαμηλότερη συσσώρευση κεφαλαίου σε σχέση με το υπόδειγμα Solow-Swan. Τέλος στο υπόδειγμα Ramsey η λύση της ανταγωνιστικής ισορροπίας συμπίπτει με τη λύση του κοινωνικού σχεδιαστή είναι δηλαδή άριστη κατά Pareo. Η οικονομία μπορεί λοιπόν να αφεθεί στο αόρατο χέρι της αγοράς και να καταλήξει σε μια ισορροπία η οποία είναι βέλτιστη από πλευράς κοινωνικής ευημερίας.

20 134 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 Δυναμική ανάλυση του νεοκλασικού υποδείγματος Η λύση του νεοκλασικού υποδείγματος μεγέθυνσης περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 οι οποίες σε γενική μορφή μπορούν να γραφούν ως εξής: [ ] f g ρ δ θ = = 1 Π6.1 n f h + = = δ Π6.2 Η ισορροπία σταθερής κατάστασης δεδομένου ότι υπάρχει δίνεται από το σύστημα: 0 = g Π6.3 0 = h Π6.4 Παίρνοντας το ανάπτυγμα Taylor πρώτου βαθμού των διαφορικών εξισώσεων Π6.1 και Π6.2 γύρω από την ισορροπία σταθερής κατάστασης προκύπτει: h h g g + = + = = h h g g Π6.5 Έστω τώρα λ 1 και λ 2 οι χαρακτηριστικές ρίζες της μήτρας των πρώτων παραγώγων. Διακρίνονται τότε οι εξής περιπτώσεις βλ. Chiang 1984:

21 Οικονομική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 135 Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγματικοί αριθμοί με αντίθετο πρόσημο τότε η ισορροπία είναι σαγματικό σημείο saddle-poin. Υπάρχει δηλαδή μία μοναδική τροχιά όπου μπορεί να βρεθεί η οικονομία και που οδηγεί στο σημείο ισορροπίας του συστήματος. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγματικοί μη αρνητικοί αριθμοί τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές. Από όποιο σημείο και εάν ξεκινήσει η οικονομία θα μετακινείται μακριά από το σημείο ισορροπίας εκτός εάν τύχει να βρεθεί αρχικά σ αυτό. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί τότε η ισορροπία είναι σταθερή. Από όποιο σημείο και εάν ξεκινήσει η οικονομία θα καταλήξει τελικά στο σημείο ισορροπίας. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε η ισορροπία είναι ασταθής εάν τα πραγματικά τμήματα των μιγαδικών αριθμών είναι θετικά και σταθερή εάν τα πραγματικά τμήματα των μιγαδικών αριθμών είναι αρνητικά. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μήτρα των πρώτων παραγώγων είναι: 1 θ [ f δ ρ] 1 f = 0 θ f n δ 1 f θ ρ n Π6.6 Η χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην παραπάνω μήτρα είναι: λ 1 f = 0 ρ θ n λ 2 λ λ ρ n + f θ = ρ n ± ρ n f θ λ 12 = Π6.7 2 Από τη σχέση Π6.7 προκύπτει ότι υπάρχουν δύο πραγματικές χαρακτηριστικές ρίζες με αντίθετα πρόσημα. Άρα η ισορροπία του νεοκλασικού υποδείγματος μεγέθυνσης είναι σαγματικό σημείο όπως παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 6.1.

22 136 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Απόδειξη της Πρότασης 6.3. Η διαφορική εξίσωση 6.31 μπορεί να γραφεί ως: g = A δ n Π6.8 Παίρνοντας το όριο της παραπάνω εξίσωσης καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο και υποθέτοντας ότι ασυμπτωτικά ο ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλήν κεφαλαίου g προσεγγίζει κάποιο πεπερασμένο όριο προκύπτει: g = lim A δ n Π6.9 Αν g > g τότε lim = και g κάτι που δεν είναι δυνατόν να ισχύει. Επίσης αν g < g τότε lim = 0 και g = A δ n κάτι που παραβιάζει την τερματική συνθήκη διότι η τελευταία γράφεται ως: lim e Aδ n = 0 lim e g e Aδ ng = 0 Π6.10 απ όπου προκύπτει ότι στην ισορροπία πρέπει να ισχύει g < A δ n. Άρα η μόνη δυνατή περίπτωση είναι g = g. Διαφορίζοντας τη γραμμική συνάρτηση παραγωγής ως προς το χρόνο προκύπτει επίσης ότι: y A y = A g y = g y = g y A Π6.11 Τα παραπάνω αποτελέσματα σε συνδυασμό με τη διαφορική εξίσωση 6.33 αποδεικνύουν ότι ισχύει η Πρόταση 6.3.