Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ένα δυναµικό υπόδειγµα γενικής ισορροπίας, το οποίο βασίζεται στην υπόθεση ότι η διαχρονική πορεία της κατανάλωσης αποφασίζεται µε βέλτιστο τρόπο από ένα αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό. Υποτίθεται ότι το νοικοκυριό έχει άπειρο χρονικό ορίζοντα, και ελεύθερη πρόσβαση στην αγορά κεφαλαίου, σε δεδοµένο πραγµατικό επιτόκιο, το οποίο καθορίζεται σε µία ανταγωνιστική αγορά. Κατά τα άλλα, το υπόδειγµα αυτό έχει πολλά κοινά στοιχεία µε το υπόδειγµα του Solow (1956). Ιστορικά, το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού προϋπήρχε του υποδείγµατος του Solow. Το πρώτο συναφές υπόδειγµα οφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε στόχο να αναλύσει τη βέλτιστη αποταµιευτική συµπεριφορά ενός νοικοκυριού µε µεγάλο χρονικό ορίζοντα. Καθώς όµως οι µαθηµατικές τεχνικές του Ramsey δεν ήταν προσιτές την εποχή εκείνη στην πλειοψηφία των οικονοµόλογων, το υπόδειγµα του Ramsey παρέµεινε στην αφάνεια για πολλά χρόνια. Επανήλθε στο προσκήνιο στη δεκαετία του 1960, µε τις εργασίες των Cass (1965) και Koopmans (1965), οι οποίες και το εξέλιξαν, και έκτοτε παραµένει ως το βασικό υπόδειγµα αναφοράς στη δυναµική µακροοικονοµική. 1 Αξίζει να σηµειωθεί, ότι την ίδια περίπου περίοδο µε τον Ramsey, το πρόβληµα της βέλτιστης διαχρονικής επιλογής της κατανάλωσης από ένα αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό, αντιµετωπίστηκε και από τον Fisher (1930), ο οποίος ανέλυσε το πρόβληµα αυτό στα πλαίσια του απλούστερου δυναµικού υποδείγµατος, ενός υποδείγµατος δύο περιόδων. Το υπόδειγµα του Fisher έχει πολύ λιγότερες µαθηµατικές απαιτήσεις, αλλά κατά τα άλλα έχει παρόµοιες υποθέσεις µε τις υποθέσεις του Ramsey. Για το λόγο αυτό, θα αναλύσουµε αρχικά το πρόβληµα της βέλτιστης διαχρονικής επιλογής της κατανάλωσης χρησιµοποιώντας το υπόδειγµα δύο περιόδων του Fisher και κατόπιν θα επικεντρωθούµε στο υπόδειγµα του Ramsey, που υποθέτει ένα µεγάλο χρονικό ορίζοντα. Οι υποθέσεις για την τεχνολογία και τη διάρθρωση των αγορών στο υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Ramsey, είναι αντίστοιχες µε τις υποθέσεις που κάναµε στο υπόδειγµα του Solow. Εκεί που αλλάζουν τα πράγµατα είναι στον προσδιορισµό των αποταµιεύσεων. Αντί για το σταθερό και εξωγενές ποσοστό αποταµιεύσης του υποδείγµατος του Solow, στο υπόδειγµα του Ramsey οι αποταµιεύσεις προσδιορίζονται ως αποτέλεσµα της βέλτιστης διαχρονικής συµπεριφοράς ενός αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Κατά συνέπεια, η αποταµιευτική συµπεριφορά εξαρτάται από τις προτιµήσεις του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού (ποσοστό διαχρονικής προτίµησης και διαχρονικής υποκατάστασης) και την τεχνολογία της παραγωγής που προσδιορίζει το πραγµατικό επιτόκιο και τους πραγµατικούς µισθούς. Θα αναφερόµαστε στο υπόδειγµα αυτό ως το υπόδειγµα του Ramsey, ή το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού 1 νοικοκυριού, παρά το ότι η συµβολή των Cass και Koopmans στην εξέλιξή του ήταν ιδιαίτερα σηµαντική. Το υπόδειγµα συχνά αναφέρεται και ως υπόδειγµα των Ramsey-Cass-Koopmans, αλλά η συντοµότερη ονοµασία υπόδειγµα του Ramsey συνήθως επικρατεί.

2 Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι θεωρητικά πιο ικανοποιητικό από το υπόδειγµα του Solow καθώς βασίζεται στην υπόθεση της διαχρονικής βελτιστοποίησης, και η δυναµική γενική ισορροπία σε αυτό εξαρτάται αποκλειστικά από παραµέτρους που σχετίζονται µε τις προτιµήσεις των νοικοκυριών, την τεχνολογία της παραγωγής, και την αύξηση του πληθυσµού, και όχι σε ένα εξωγενές ποσοστό αποταµίευσης. Επί πλέον, καθώς η βασική µορφή του υποδείγµατος υποθέτει πλήρεις και ανταγωνιστικές αγορές, το υπόδειγµα αυτό προσδιορίζει την κοινωνικά βέλτιστη αποταµιευτική συµπεριφορά, µε την έννοια της µεγιστοποίησης της κοινωνικής ευηµερίας. Σε αντίθεση µε το υπόδειγµα του Solow, στο υπόδειγµα του Ramsey προκύπτει ότι το ποσοστό αποταµίευσης δεν είναι σταθερό, αλλά συνάρτηση της έντασης του κεφαλαίου. Δεδοµένου ότι το ποσοστό αποταµίευσης είναι καθοριστικός παράγων για τον προσδιορισµό των επιπέδων ισορροπίας του κατά κεφαλήν εισοδήµατος και των άλλων κατά κεφαλήν µεγεθών στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, το γεγονός ότι το ποσοστό αποταµίευσης προσδιορίζεται κατά βέλτιστο τρόπο, έχει ιδιαίτερη σηµασία. Για παράδειγµα, στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού δεν µπορεί να υπάρχει µη αποτελεσµατική υπερ-αποταµίευση, όπως στο υπόδειγµα του Solow. Εξ ορισµού, το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει το βέλτιστο επίπεδο αποταµιεύσεων, µε τρόπο που δεν επιδέχεται περαιτέρω βελτίωση. Αυτό που προκύπτει από το υπόδειγµα αυτό είναι ότι το ατοµικά βέλτιστο επίπεδο αποταµιεύσεων, αποτελεί και το κοινωνικά βέλτιστο επίπεδο αποταµιεύσεων. Στο υπόδειγµα αυτό, το κατά κεφαλήν κεφάλαιο στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης είναι χαµηλότερο από αυτό που αντιστοιχεί στον χρυσό κανόνα. Ο λόγος είναι το θετικό ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, το οποίο ωθεί το νοικοκυριό να προτιµά την τρέχουσα κατανάλωση έναντι της µελλοντικής καταναλώσης. Ως εκ τούτου, το νοικοκυριό δεν επιλέγει τις αποταµιεύσεις του έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει την κατά κεφαλήν κατανάλωση στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, αλλά µία συνάρτηση χρησιµότητας που αποδίδει µειούµενο βάρος στην µελλοντική κατανάλωση. Το βέλτιστο κατά κεφαλήν κεφάλαιο στο υπόδειγµα αυτό αντιστοιχεί στον λεγόµενο προσαρµοσµένο χρυσό κανόνα, λόγω του θετικού ποσοστού διαχρονικής προτίµησης, και είναι µικρότερο από αυτό που αντιστοιχεί στον χρυσό κανόνα. Ωστόσο, και το υπόδειγµα αυτό είναι ένα υπόδειγµα εξωγενούς µεγέθυνσης, όπως και το υπόδειγµα του Solow, και µε την έννοια αυτή, δεν προσδιορίζει αλλά υποθέτει, ως εξωγενή παράµετρο, το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης. Όπως και µε το υπόδειγµα του Solow, αυτό που εξηγεί το υπόδειγµα του Ramsey είναι το επίπεδο του κατά κεφαλήν προϊόντος στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, καθώς και το επίπεδο των άλλων πραγµατικών κατά κεφαλήν µεταβλητών, όπως το κεφάλαιο, η κατανάλωση, οι πραγµατικοί µισθοί, καθώς και το πραγµατικό επιτόκιο. Πέραν αυτού, το υπόδειγµα εξηγεί και τη δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας κατά τη διάρκεια της σύγκλισης προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. 3.1 Η Βέλτιστη Διαχρονική Επιλογή της Κατανάλωσης Προκειµένου να αναλύσουµε το πρόβληµα της βέλτιστης διαχρονικής επιλογής της κατανάλωσης, θα υποθέσουµε αρχικά ένα νοικοκυριό τό οποίο ζει για δύο µόνο περιόδους, και βελτιστοποιεί µία διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, η οποία εξαρτάται από το επίπεδο της κατανάλωσης του στην κάθε µία από τις δύο περιόδους. Το υπόδειγµα αυτό αναλύθηκε αρχικά από τον Fisher (1930). P2

3 P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 Κατόπιν θα γενικεύσουµε την ανάλυση σε συνεχή χρόνο, για ένα νοικοκυριό µε χρονικό ορίζοντα Τ, αναλύοντας το πρόβληµα που έθεσε και έλυσε ο Ramsey (1928) Ο Προσδιορισµός της Βέλτιστης Κατανάλωσης σε µία Οικονοµία Δύο Περιόδων Υποθέτουµε, ακολουθώντας την ανάλυση του Fisher (1930), ένα νοικοκυριό το οποίο ζει για δύο µόνο περιόδους. Την περίοδο 1 εργάζεται και εισπράτει εισόδηµα από εργασία w και την περίοδο 2 δεν εργάζεται και κατά συνέπεια δεν έχει εισόδηµα από εργασία. Το νοικοκυριό επιλέγει την πορεία της κατανάλωσής του ώστε να µεγιστοποιήσει µία διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, P U = U(c 1,c 2 ) = u(c 1 ) + 1 (3.1) 1+ ρ u(c ) 2 όπου, ρ είναι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού, και u µία κοίλη συνάρτηση χρησιµότητας, για τις παραγώγους της οποίας ισχύει ότι u >0, u <0. Οι αποταµιεύσεις της περιόδου 1, µαζί µε τους τόκους τους, µπορούν να καταναλωθούν στην περίοδο 2. Έτσι ισχύει ότι, P c 2 (1+ r)(w c 1 ) (3.2) όπου r είναι το πραγµατικό επιτόκιο. Η (3.2) περιγράφει τον εισοδηµατικό περιορισµό του νοικοκυριού. Επιλύοντας την ως προς τον πραγµατικό µισθό της περιόδου 1 w, έχουµε ότι, c r c 2 w (3.3) H (3.3) περιγράφει το διαχρονικό εισοδηµατικό περιορισµό του νοικοκυριού. Η παρούσα αξία της κατανάλωσής του, δεν µπορεί να υπερβαίνει την παρούσα αξία του εισοδήµατός του w. Στο υπόδειγµα αυτό η παρούσα αξία του εισοδήµατος του νοικοκυριού ισούται µε το συνολικό του πλούτο, και δεν είναι παρά το εισόδηµά του από εργασία στην πρώτη περίοδο κατά την οποία εργάζεται. Προκειµένου να δούµε τι συνεπάγεται η µεγιστοποίηση της (3.1) υπό τον περιορισµό (3.3), δηµιουργούµε τη συνάρτηση Lagrange του προβλήµατος αυτού, και λαµβάνουµε τις συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίησή της. Η συνάρτηση Lagrange λαµβάνει τη µορφή, P Λ(c 1,c 2,w,λ) = u(c 1 ) + 1 (3.4) 1+ ρ u(c ) + λ w c r c 2 όπου λ είναι ο σχετικός πολλαπλασιαστής Lagrange. Από τις συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της (3.4) προκύπτει ότι, P u (c 1 ) λ = 0 (3.5) P3

4 1 P (3.6) 1+ ρ u (c ) λ 2 1+ r = 0 Επίσης λαµβάνοντας τη συνθήκη πρώτης τάξης ως προς τον πολλαπλασιαστή Lagrange, προκύπτει ότι ο εισοδηµατικός περιορισµός (3.3) ικανοποιείται επακριβώς. Η µεγιστοποίηση της χρησιµότητάς του νοικοκυριού συνεπάγεται ότι η παρούσα αξία της κατανάλωσης του ισούται µε την παρούσα αξία του εισοδήµατός του και δεν είναι µικρότερη από αυτήν. Διαιρώντας την (3.6) µε την (3.5) προκύπτει ότι, 1 u (c P 2 ) (3.7) 1+ ρ u (c 1 ) = 1 1+ r H (3.7) υποδεικνύει ότι προκειµένου να µεγιστοποιήσει τη χρησιµότητά του, το νοικοκυριό θα επιλέξει την κατανάλωσή του έτσι ώστε ο οριακός λόγος υποκατάστασης µεταξύ µελλοντικής και τρέχουσας κατανάλωσης να ισούται µε το κόστος ευκαιρίας (σχετική τιµή) της µελλοντικής κατανάλωσης, το οποίο εξαρτάται αρνητικά από το πραγµατικό επιτόκιο. Η (3.7) µπορεί να µετασχηµατισθεί ως, u (c P 2 ) (3.8) u (c 1 ) = 1+ ρ 1+ r Η (3.8) υποδεικνύει ότι ο λόγος της κατανάλωσης στις δύο περιόδους εξαρτάται αποκλειστικά και µόνο από τη σχέση µεταξύ του πραγµατικού επιτοκίου και του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Εάν ρ=r, τότε, P u (c 1 ) = u (c 2 ) c 1 = c 2 Εάν ρ>r, τότε, P u (c 1 ) < u (c 2 ) c 1 > c 2 (3.9) Εάν ρ<r, τότε, P u (c 1 ) > u (c 2 ) c 1 < c 2 H (3.8) υποδεικνύει ότι το νοικοκυρίο θα εξοµαλύνει την κατανάλωσή του µεταξύ των δύο περιόδων, αποταµιεύοντας στην πρώτη περίοδο και καταναλώνοντας τις αποταµιεύσεις του, συν την απόδοσή τους, τη δεύτερη περίοδο. Αν το πραγµατικό επιτόκιο ισούται µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης η εξοµάλυνση θα είναι πλήρης. Αν το επιτόκιο είναι χαµηλότερο από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης τότε η κατανάλωση µειώνεται µεταξύ της πρώτης και της δεύτερης περιόδου, ενώ αν το επιτόκιο είναι υψηλότερο από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, τότε η κατανάλωση αυξάνεται µεταξύ της πρώτης και της δεύτερης περιόδου. Προκειµένου να εξετάσουµε πως το ποσοστό αποταµίευσης εξαρτάται από το πραγµατικό επιτόκιο, θα χρησιµοποιήσουµε µία σχετικά γενική συνάρτηση χρησιµότητας, τη συνάρτηση χρησιµότητας µε σταθερή ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης, ή σταθερή σχετική απέχθεια στον κίνδυνο. Αυτή έχει τη µορφή, P4

5 1 θ 1 P u(c t ) = c t (3.10) 1 θ όπου 1/θ είναι η διαχρονική ελαστικότητα υποκατάστασης και θ είναι ο συντελεστής σταθερής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο. Η συνάρτηση αυτή χρησιµότητας είναι αρκετά γενική. Στην περίπτωση που η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης είναι ίση µε τη µονάδα, η συνάρτηση αυτή λαµβάνει τη µορφή της λογαριθµικής συνάρτησης χρησιµότητας, P u(c t ) = lnc t (3.11) Για τη συγκεκριµένη συνάρτηση χρησιµότητας, η συνθήκη πρώτης τάξης (3.8) µπορεί να γραφεί ως, c P 2 (3.12) = 1+ ρ 1+ r c 1 θ Από την (3.12) προκύπτει ότι η κατανάλωση της πρώτης περιόδου ικανοποιεί, 1 P c 1 = 1+ ρ θ (3.13) 1+ r c2 Συνδυάζοντας την (3.13) µε τον διαχρονικό εισοδηµατικό περιορισµό (3.3), το ποσοστό αποταµίευσης της πρώτης περιόδου προσδιορίζεται από, 1 θ θ P s(r) = w c 1 (3.14) w = (1+ r) 1 1 θ < 1 (1+ ρ) θ θ + (1+ r) Η (3.14) υποδηλώνει ότι το ποσοστό αποταµίευσης είναι θετική συνάρτηση του πραγµατικού επιτοκίου r, µόνο αν το θ είναι µικρότερο από τη µονάδα (η ελαστικότητα υποκατάστασης 1/θ µεγαλύτερη από τη µονάδα). Μόνο τότε το αποτέλεσµα υποκατάστασης κυριαρχεί στο εισοδηµατικό αποτέλεσµα. Αν το θ είναι µεγαλύτερο από τη µονάδα, το ποσοστό αποταµίευσης είναι αρνητική συνάρτηση του r, καθώς κυριαρχεί το αποτέλεσµα εισοδήµατος. Στην ειδική περίπτωση που το θ ισούται µε τη µονάδα (λογαριθµική χρησιµότητα) το ποσοστό αποταµίευσης είναι ανεξάρτητο από το πραγµατικό επιτόκιο και ισούται µε 1/(2+ρ). Επιπλέον, ανεξάρτητα από την τιµή της ελαστικότητας διαχρονικής υποκατάστασης, εάν το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης ισούται µε το πραγµατικό επιτόκιο, τότε, από την (3.14), το ποσοστό αποταµίευσης ισούται και πάλι µε 1/(2+ρ) Η Δυναµική Πορεία της Βέλτιστης Κατανάλωσης σε µία Οικονοµία µε Χρονικό Ορίζοντα Τ Ερχόµαστε τώρα στο υπόδειγµα του Ramsey (1928), o οποίος ανέλυσε το πρόβληµα της βέλτιστης διαχρονικής επιλογής της κατανάλωσης σε συνεχή χρόνο, για ένα αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό µε χρονικό ορίζοντα Τ. P5

6 Yποθέτουµε ότι ένα νοικοκυριό το οποίο έχει µια εξωγενή ροή εισοδήµατος ίση µε w ανά χρονική στιγµή, και το οποίο µπορεί να δανείζεται και να δανείζει ελεύθερα στην αγορά κεφαλαίου, µε επιτόκιο r. Το νοικοκυριό έχει ένα πεπερασµένο χρονικό ορίζοντα Τ και αρχικά τοκοφόρα περιουσιακά στοιχεία a(0). Υποτίθεται ότι µεγιστοποιεί την ακόλουθη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, T P U = e ρt u(c(t))dt (3.15) t=0 υπό την ακολουθία των περιορισµών, P a (t) = ra(t) + w c(t) (3.16) P a(0) 0 (3.17) P a(t ) 0 (3.18) u είναι η στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας του νοικοκυριού, η οποία εξαρτάται από την κατανάλωσή του τη στιγµή t. Η συνάρτηση αυτή είναι κοίλη µε θετική πρώτη παράγωγο και αρνητική δεύτερη παράγωγο, όπως ακριβώς υποθέσαµε και στην (3.1). ρ είναι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, το ποσοστό µε το οποίο το νοικοκυριό προεξοφλεί τη µελλοντική του στιγµιαία χρησιµότητα. Η (3.16) είναι η εξίσωση συσσώρευσης περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού, ενώ η (3.17) και η (3.18) ορίζουν τα αρχικά και τα τελικά του περιουσιακά στοιχεία. Ειδικώτερα, η (3.18) είναι µια τερµατική συνθήκη, ή συνθήκη εγκαρσιότητας (transversality condition), η οποία διασφαλίζει ότι το νοικοκυριό σέβεται το διαχρονικό εισοδηµατικό του περιορισµό, και δεν αφήνει χρέη. Η συνάρτηση Hamilton (Χαµιλτονιανή) για το πρόβληµα αυτό ορίζεται ως, 2 ( ) P H (t) = e ρt u(c(t)) + µ(t) ra(t) + w c(t) (3.19) όπου µ είναι ο πολλαπλασιαστής της συνάρτησης Hamilton. Η ερµηνεία του µ είναι ότι είναι η προεξοφληµένη σκιώδης οριακή τιµή των περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού. Αξίζει να σηµειωθεί ότι δεδοµένου ότι η χρησιµότητα είναι προεξοφληµένη, η (3.19) είναι η προεξοφληµένη συνάρτηση Hamilton, την αρχική χρονική στιγµή 0. Κατά συνέπεια, και το µ είναι ο προεξοφληµένος πολλαπλασιαστής, και µετρά την παρούσα αξία της σκιώδους οριακής τιµής των περιουσιακών στοιχείων, από τη σκοπιά της αρχικής χρονικής στιγµής 0. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη βελτιστοποίηση δίνονται από, H (t) P (3.20) c(t) = 0 e ρt u (c(t)) = µ(t) 2 Βλ. Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 για το ορισµό της συνάρτησης Hamilton και τις εναλλακτικές µεθόδους διαχρονικής βελτιστοποίησης. P6

7 P H (t) (3.21) a(t) = µ (t) µ (t) = rµ(t) H (t) P (3.22) µ(t) = a (t) a (t) = ra(t) + w c(t) Η (3.20) υποδηλώνει ότι στο βέλτιστο, η προεξοφληµένη οριακή χρησιµότητα της κατανάλωσης ισούται µε την προεξοφληµένη οριακή τιµή των περιουσιακών στοιχείων. Η (3.21) υποδηλώνει ότι ο ρυθµός µεταβολής του µ ισούται µε µείον το πραγµατικό επιτόκιο. Τέλος, η (3.22) είναι απλώς η συνάρτηση συσσώρευσης των περιουσιακών στοιχείων (3.16). Οι συνθήκες (3.17) και (3.18) θα πρέπει επίσης να ικανοποιούνται. Προκειµένου να καταστεί πιο ξεκάθαρη η οικονοµική ερµηνεία αυτών των συνθηκών πρώτης τάξης, αξίζει να µετατρέψουµε τα πάντα σε τρέχουσες και όχι προεξοφληµένες τιµές. Η (3.20) συνεπάγεται ότι, P u (c(t)) = e ρt µ(t) = λ(t) (3.23) όπου λ(t) είναι ο τρέχον πολλαπλασιαστής, δηλαδή η µη προεξοφληµένη οριακή αξία των περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού τη στιγµή t. Από την (3.23) ο τρέχον πολλαπλασιαστής ισούται µε την οριακή χρησιµότητα της κατανάλωσης. Δηλαδή, στο βέλτιστο, το νοικοκυριό είναι αδιάφορο µεταξύ του να καταναλώσει ή να αποταµιεύσει την οριακή µεταβολή στο εισόδηµά του. Η (3.23) συνεπάγεται ότι, P λ (t) = e ρt µ (t) + ρµ(t) (3.24) Υποκαθιστώντας την συνθήκη πρώτης τάξης (3.21) στην (3.24), λαµβάνουµε τη συνθήκη πρώτης τάξης για τον τρέχοντα πολλαπλασιαστή λ. P λ (t) = (r ρ)λ(t) (3.25) Από την (3.25), στη βέλτιστη πορεία, η τρέχουσα οριακή αξία των περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού µειώνεται µε ρυθµό που ισούται µε τη διαφορά του πραγµατικού επιτοκίου από το ποσοστό της διαχρονικής προτίµησης. Οι (3.23) και (3.25) εκφράζουν τις συνθήκες πρώτης τάξης σε όρους του τρέχοντος και όχι του προεξοφληµένου πολλαπλασιαστή. Οι συνθήκες αυτές µπορούν να εξαχθούν απευθείας αν κανείς σχηµατίσει την τρέχουσα (µη προεξοφληµένη) συνάρτηση Hamilton, η οποία δίδεται από, ( ) P H (t) = u(c(t)) + λ(t) ra(t) + w c(t) (3.26) P7

8 Οι συνθήκες για τη µεγιστοποίηση της τρέχουσας συνάρτησης Hamilton θα είναι οι ίδιες µε αυτές για τη µεγιστοποίηση της προεξοφληµένης συνάρτησης Hamilton, καθώς η µία αποτελεί µία µονοτονική µεταµόρφωση της άλλης. Οι συνθήκες αυτές θα είναι, H (t) P (3.27) c(t) = 0 u (c(t)) = λ(t) H (t) P (3.28) a(t) = λ (t) ρλ(t) λ (t) = (r ρ)λ(t) H (t) P (3.29) λ(t) = a (t) a (t) = ra(t) + w c(t) Από την (3.27), στη βέλτιστη πορεία της κατανάλωσης, ο τρέχον πολλαπλασιαστής λ(t), ο οποίος ισούται µε την τρέχουσα αξία της οριακής µεταβολής των περιουσιακών στοιχείων, ισούται µε την οριακή χρησιµότητα της κατανάλωσης. Έτσι, το νοικοκυριό είναι αδιάφορο µεταξύ µιας επιπλέον µονάδας κατανάλωσης και µίας επιπλέον µονάδας αποταµίευσης. Από την (3.28), στη βέλτιστη πορεία της κατανάλωσης, το πραγµατικό επιτόκιο συν την προσδοκώµενη οριακή ανατίµηση των περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού, ισούται µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης. Τέλος, η (3.29) είναι η εξίσωση συσσώρευσης των περιουσιακών στοιχείων του νοικοκυριού. Σε δυναµικά προβλήµατα οικονοµικής βελτιστοποίησης υπάρχει συνήθως προεξόφληση. Σε τέτοιου είδους προβλήµατα, µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει την τρέχουσα συνάρτηση Hamilton (3.26) και τις συνθήκες πρώτης τάξης (3.27) - (3.29), καθώς αυτές οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι πιο εύκολα ερµηνεύσιµες από τις συνθήκες πρώτης τάξης (3. 20) - (3.22) για την προεξοφληµένη συνάρτηση Hamilton (3.19). Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες πρώτης τάξης (3.27) και (3.28) για να χαρακτηρίσουµε τη συµπεριφορά της κατανάλωσης κατά µήκος της βέλτιστης πορείας της. Από την (3.27), λαµβάνοντας την πρώτη παράγωγο σε σχέση µε το χρόνο, λαµβάνουµε, P λ (t) = u (c(t))c (t) (3.30) Υποκαθιστώντας τις (3.27) και (3.30) στην (3.28), λαµβάνουµε, P c (t) = u (c(t)) (r ρ) (3.31) u (c(t)) Η (3.31) είναι γνωστή ως η συνάρτηση Euler για την κατανάλωση. Η εξίσωση αυτή δεν είναι παρά η έκφραση σε συνεχή χρόνο της τυπικής συνθήκης για αποτελεσµατική ισορροπία, ότι δηλαδή ο οριακός λόγος διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης ισούται µε το οριακό λόγο διαχρονικού µετασχηµατισµού, και είναι αντίστοιχη της συνθήκης (3.7) για το πρόβληµα των δύο περιόδων. P8

9 Δεδοµένου ότι η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης στιγµιαίας χρησιµότητας είναι αρνητική, η µεταβολή στην κατανάλωση θα έχει το ίδιο πρόσηµο µε τη διαφορά µεταξύ του πραγµατικού επιτοκίου και το ποσοστού διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Αν το πραγµατικό επιτόκιο είναι υψηλότερο από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, η κατανάλωση θα αυξάνεται συνεχώς. Στην αντίθετη περίπτωση, η κατανάλωση θα µειώνεται συνεχώς. Αν το πραγµατικό επιτόκιο είναι ίσο µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, η βέλτιστη κατανάλωση θα είναι σταθερή. Αν υποθέσουµε ότι η εξίσωση χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού έχει τη µορφή της (3.10), µε σταθερή διαχρονική ελαστικότητα υποκατάστασης 1/θ, τότε η (3.31) λαµβάνει τη µορφή, c (t) P (3.32) c(t) = 1 (r ρ) θ H (3.32) συνεπάγεται ότι η κατά κεφαλήν κατανάλωση αυξάνεται, παραµένει σταθερή ή µειώνεται ανάλογα µε το αν το πραγµατικό επιτόκιο υπερβαίνει, ισούται ή υπολείπεται του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης. Όσο µεγαλύτερο είναι το πραγµατικό επιτόκιο σε σχέση µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης, τόσο µεγαλύτερο θα είναι το κίνητρο για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό να µειώσει την τρέχουσα κατανάλωσή του προκειµένου να απολαύσει υψηλότερη µελλοντική κατανάλωση. Έτσι, αν το πραγµατικό επιτόκιο είναι υψηλότερο από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού, η βέλτιστη κατανάλωση θα αυξάνεται στη βέλτιστη πορεία. Η (3.32) υποδεικνύει επίσης και το ρόλο της ελαστικότητας διαχρονικής υποκατάστασης 1/θ. Όσο υψηλότερη είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης, τόσο πιο εύκολο είναι για το νοικοκυριό, σε όρους χρησιµότητας, να υποκαθιστά διαχρονικά την κατανάλωση. Άρα, τόσο ευκολότερο είναι να υποκαθιστά την τρέχουσα για µελλοντική κατανάλωση. Κατά συνέπεια, για δεδοµένη διαφορά µεταξύ του πραγµατικού επιτοκίου και του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης, ο ρυθµός µεταβολής της κατά κεφαλήν κατανάλωσης είναι µεγαλύτερος, όσο υψηλότερη είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης. Μπορούµε τώρα να προχωρήσουµε ενσωµατώνοντας τη βέλτιστη καταναλωτική συµπεριφορά του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού σε ένα υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης. 3.2 Το Υπόδειγµα Οικονοµικής Μεγέθυνσης του Ramsey Όπως και στο υπόδειγµα του Solow, επικεντρωνόµαστε στις εξής ενδογενείς µεταβλητές: Y K C w r Συνολικό Προϊόν ( y, Προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) Συνολικό (Φυσικό) Κεφάλαιο (ή k, Κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) Συνολική Κατανάλωση (ή c, Κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) Πραγµατικός Μισθός ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας Πραγµατικό Επιτόκιο Οι εξωγενείς µεταβλητές και οι εξωγενείς παράµετροι του υποδείγµατος είναι οι εξής: P9

10 P P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 t L h n g δ ρ Η Χρόνος (µια συνεχής εξωγενής µεταβλητή) Αριθµός Εργαζοµένων ή Συνολικός Πληθυσµός γνώση, ή αποδοτικότητα της εργασίας ποσοστό αύξησης του συνολικού πληθυσµού (εξωγενής παράµετρος) ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενής παράµετρος) ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου (εξωγενής παράµετρος) ποσοστό διαχρονικής προτίµησης των νοικοκυριών (εξωγενής παράµετρος) αριθµός νοικοκυριών Η Συνάρτηση Παραγωγής Σε κάθε χρονική στιγµή, η οικονοµία έχει κάποιο απόθεµα κεφαλαίου, εργασίας και γνώσης, που συνδυάζονται προκειµένου να υπάρχει παραγωγή. Η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή, Y (t) = F( K(t),h(t)L(t) ) (3.33) Η συνάρτηση παραγωγής έχει όλες τις ιδιότητες που υποθέσαµε και στο υπόδειγµα του Solow. Το οριακό προϊόν των συντελεστών παραγωγής είναι θετικό αλλά φθίνον, υπάρχουν σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ικανοποιούνται οι συνθήκες Inada (βλ. Κεφ. 1). Όπως και στο υπόδειγµα του Solow, θα υποθέσουµε ότι ο αριθµός των εργαζοµένων (πληθυσµός) και η αποδοτικότητα της εργασίας εξελίσσονται σύµφωνα µε, P L(t) = L(0)e nt (3.34) P h(t) = h(0)e nt (3.35) όπου L(0) και h(0) υποδηλώνουν αντίστοιχα τον πληθυσµό και την αποδοτικότητα της εργασίας τη στιγµή 0. Λόγω των σταθερών αποδόσεων κλίµακας, η συνάρτηση παραγωγής µπορεί να µετασχηµατισθεί ως, y(t) = f ( k(t) ) (3.36) όπου y = Y/hL k = K/hL f(k) = F(k, 1) προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας Η Συνάρτηση Χρησιµότητας του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Όλα τα νοικοκυριά στην οικονοµία αυτή είναι πανοµοιότυπα. Μπορούµε συνεπώς να επικεντρωθούµε στη συµπεριφορά ενός µόνο από αυτά, του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. P10

11 E P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 Η συνάρτηση χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού εξαρτάται από το ύψος της κατά κεφαλήν κατανάλωσής του. Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό έχει άπειρο χρονικό ορίζοντα και µεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, 3 U = e ρt t=0 u(c h (t)) L(t) H dt (3.37) όπου, ch(t) u ρ Η κατανάλωση κατά κεφαλήν του νοικοκυριού h στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας ποσοστό προεξόφλησης, ή διαχρονικής προτίµησης (εξωγενές) αριθµός νοικοκυριών (εξωγενής σταθερά) Υποθέτουµε εφεξής ότι η στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας παίρνει τη µορφή, P u(c h (t)) = c h (t)1 θ, θ > 0, ρ-n-(1-θ)g > 0 (3.38) 1 θ Η (3.38) είναι γνωστή µας συνάρτηση χρησιµότητας σταθερής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο, ή σταθερής ελαστικότητας διαχρονικής υποκατάστασης, όπου, θ συντελεστής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο 1/θ ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης Η υπόθεση ρ-n-(1-θ)g>0 απαιτείται προκειµένου η διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας (3.37) να συγκλίνει και να µην τείνει στο άπειρο ή το µηδέν. Όπως θα δούµε παρακάτω, η υπόθεση αυτή είναι επαρκής ώστε η οικονοµία να συγκλίνει σε µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Στην περίπτωση που το θ τείνει προς τη µονάδα, µπορεί να αποδείξει κανείς, χρησιµοποιώντας τον κανόνα του l Hopital, ότι η συνάρτηση χρησιµότητας αυτή τείνει προς τη λογαριθµική. Δηλαδή, εάν θ=1, όπου η (3.38) δεν ορίζεται, έχουµε ότι, P u(c(t)) = lnc(t) (3.39) Η κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας ορίζεται ως, 4 c(t) = c h (t) h(t) Κατά συνέπεια, 3 Όπως και στο κεφάλαιο 1 η ανάλυση γίνεται σε συνεχή χρόνο. Για την ανάλυση του υποδείγµατος σε διακριτό χρόνο βλέπε το Παράρτηµα του κεφαλαίου 3. 4 Εφεξής, το c συµβολίζει την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, και όχι την κατά κεφαλήν κατανάλωση όπως στο τµήµα 3.1. P11

12 P P P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 c h (t) = c(t)h(t) (3.40) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.40) στην εξίσωση (3.39) και την προκύπτουσα εξίσωση στην εξίσωση (3.37), λαµβάνοντας υπόψη ότι h(t) και L(t) αυξάνονται µε εξωγενείς ρυθµούς g και n αντίστοιχα, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, η οποία είναι εκπεφρασµένη σε όρους της κατανάλωσης ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. U = B e βt t=0 c(t) 1 θ 1 θ dt (3.41) όπου, P B = h(0)1 θ L(0) > 0, και β = ρ-n-(1-θ)g > 0. H Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό µεγιστοποιεί την (3.41), υπό τον περιορισµό ότι οι αποταµιεύσεις του οδηγούν σε συσσώρευση των περιουσιακών του στοιχείων (φυσικού κεφαλαίου) Η Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου από το Αντιπροσωπευτικό Νοικοκυριό Όπως και στο υπόδειγµα του Solow, η συσσώρευση του κεφαλαίου για το σύνολο της οικονοµίας, προσδιορίζεται από, P k (t) = f (k(t)) c(t) (n + g + δ )k(t) (3.42) Η εξίσωση (3.7) δείχνει ότι η µεταβολή του φυσικού κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας προσδιορίζεται από τη διαφορά δύο όρων: Τις τρέχουσες επενδύσεις (αποταµιεύσεις) ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, µείον τις επενδύσεις ισορροπίας, οι οποίες απαιτούνται για να διατηρηθεί το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στο υπάρχον επίπεδο. Ένας κοινωνικός σχεδιαστής ο οποίος θα µεγιστοποιούσε τη διαχρονική χρησιµότητα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, υπό τον περιορισµό (3.42), θα κατέληγε στην αποταµιευτική συµπεριφορά που µεγιστοποιεί την κοινωνική ευηµερία. Το ερώτηµα είναι αν η (3.42) αποτελεί τον εισοδηµατικό περιορισµό και του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Σε περίπτωση καταφατικής απάντησης, η βέλτιστη αποταµιευτική συµπεριφορά του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, θα µεγιστοποιούσε και αυτή την κοινωνική ευηµερία. Υποθέτουµε µία ανταγωνιστική οικονοµία, στην οποία κάθε µέλος του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού παρέχει µία µονάδα εργασίας. Ο πραγµατικός µισθός ισούται µε τον πραγµατικό µισθό ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας w(t), επί την αποδοτικότητα της εργασίας h(t). Κατά συνέπεια, το κατά κεφαλήν εισόδηµα από εργασία του νοικοκυριού στη χρονική στιγµή t ισούται µε, w(t)h(t) όπου w(t) είναι ο πραγµατικός µισθός ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Το κατά κεφαλήν εισόδηµα από κεφάλαιο του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού ισούται µε P12

13 P P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 ( r(t) + δ )K(t) L(t) όπου r(t) είναι το πραγµατικό επιτόκιο. Κατά συνέπεια, η συσσώρευση κεφαλαίου ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού δίνεται από, P k (t) = ( r(t) + δ )k(t) + w(t) c(t) (n + g + δ )k(t) = r(t)k(t) + w(t) c(t) (n + g)k(t) (3.42 ) Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό λαµβάνει τις πορείες των w(t) και r(t) ως δεδοµένες. Με την υπόθεση των ανταγωνιστικών αγορών, το κεφάλαιο και η εργασία θα αµείβονται µε το οριακό τους προϊόν. Κατά συνέπεια, r(t) = f (k(t)) δ (3.43) P w(t) = f (k(t)) k(t) f (k(t)) (3.44) Αντικαθιστώντας τις (3.43) και (3.44) στην (3.42 ) βλέπουµε ότι καταλήγουµε πίσω στην (3.42). Κατά συνέπεια, ο εισοδηµατικός περιορισµός του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, µε την µορφή της εξίσωσης συσσώρευσης του κεφαλαίου (3.42 ), όταν οι αγορές είναι ανταγωνιστικές, είναι ο ίδιος µε τον εισοδηµατικό περιορισµό (3.42) για το σύνολο της οικονοµίας Αποτελεσµατικότητα της Ανταγωνιστικής Ισορροπίας Στο υπόδειγµα αυτό, λόγω της υπόθεσης των ανταγωνιστικών αγορών, η µεγιστοποίηση της διαχρονικής συνάρτησης χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού γίνεται υπό το ίδιο περιορισµό που θα χρησιµοποιούσε ένας κοινωνικός σχεδιαστής, δηλαδή τον κοινωνικό περιορισµό της συσσώρευσης κεφαλαίου (3.42). Το πρόβληµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ισοδύναµο µε το πρόβληµα του κοινωνικού σχεδιαστή. Κατά συνέπεια, η ισορροπία στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι κοινωνικά αποτελεσµατική. Μία αποκεντρωµένη ανταγωνιστική ισορροπία, στην οποία κάθε νοικοκυριό µεγιστοποιεί τη δική του διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, καταλήγει στην ίδια ισορροπία στην οποία θα κατέληγε και η µεγιστοποίηση της διαχρονικής συνάρτησης χρησιµότητας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού από ένα κοινωνικό σχεδιαστή. Έχουµε εδώ µία εφαρµογή του πρώτου θεωρήµατος των οικονοµικών της ευηµερίας, το οποίο µας λέει ότι όταν οι αγορές είναι ανταγωνιστικές και πλήρεις, και δεν υπάρχουν εξωτερικότητες, η αποκεντρωµένη ισορροπία είναι αποτελεσµατική καθώς µεγιστοποιεί την κοινωνική ευηµερία. Με την έννοια αυτή, το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης µε ανταγωνιστικές αγορές και επιλογή της κατανάλωσης από ένα αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό, αποτελεί το ισοδύναµο για τη θεωρία της P13

14 N P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 οικονοµικής µεγέθυνσης του ανταγωνιστικού υποδείγµατος Arrow-Debreu για τη θεωρία της γενικής οικονοµικής ισορροπίας Οι Συνθήκες για τη Μεγιστοποίηση της Διαχρονικής Χρησιµότητας Για να βρούµε τις συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της (3.41) υπό τον περιορισµό της (3.42 ), ορίζουµε τη τρέχουσα συνάρτηση Hamilton, 5 N H (t) = c(t)1 θ (3.45) 1 θ + λ(t) ( r(t)k(t) + w(t) c(t) (n + g)k(t) ) όπου λ(t) είναι ο πολλαπλασιαστής της συνάρτησης Hamilton. Ο πολλαπλασιαστής λ(t) ερµηνεύεται ως η σκιώδης αξία, για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό, της οριακής µεταβολής του αποθέµατος κεφαλαίου στη στιγµή t. Στην ουσία µετρά την αξία για το νοικοκυριό µιας επιπλέον µονάδας κεφαλαίου (επένδυσης) στη στιγµή t. Η συνάρτηση Hamilton ορίζεται ως το άθροισµα της στιγµιαίας χρησιµότητας της κατανάλωσης, συν τη στιγµιαία αξία της µεταβολής του κεφαλαίου, µε µέτρο τη σκιώδη οριακή αξία του κεφαλαίου λ(t). Ένα βέλτιστο σχέδιο κατανάλωσης θα πρέπει να οδηγεί σε µεγιστοποίηση της συνάρτησης αυτής σε κάθε χρονική στιγµή t, µε την προϋπόθεση ότι και η σκιώδης αξία επιλέγεται ορθά. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της συνάρτησης Hamilton θα συµπίπτουν µε τις συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της διαχρονικής συνάρτησης χρησιµότητας (3.41), υπό την ακολουθία των περιορισµών (3.42 ). Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη βελτιστοποίηση είναι, H (t) P (3.46α) c(t) = 0 H (t) P (3.46β) λ(t) = k (t) H (t) k(t) = λ (t) + βλ(t) (3.46γ) Η (3.46α) συνεπάγεται, λ(t) = c(t) θ (3.47) Η (3.46γ) συνεπάγεται, ( ) = λ(t) ( r(t) ρ θg) P λ (t) = λ(t) r(t) β n g (3.48) Τέλος, η (3.46β) συνεπάγεται την εξίσωση συσσώρευσης του κεφαλαίου (3.42 ). 5 Βλ. Μαθηµατικό Παράρτηµα 3. P14

15 H (3.47) υποδηλώνει ότι η κατανάλωση θα πρέπει να επιλέγεται σε κάθε στιγµή, έτσι ώστε η οριακή χρησιµότητα της να είναι ίση µε την σκιώδη αξία της οριακής επένδυσης σε κεφάλαιο. Σε κάθε στιγµή, τα αγαθά πρέπει να έχουν την ίδια οριακή αξία, είτε ως κατανάλωση, είτε ως αποταµίευση (επένδυση). Η (3.48) υποδηλώνει ότι ο ρυθµός µεταβολής της σκιώδους αξίας του κεφαλαίου πρέπει να είναι ίσος µε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προεξόφλησης του νοικοκυριού β, και του ποσοστού απόδοσης του κεφαλαίου, ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, r(t)-n-g. Η συνθήκη αυτή διασφαλίζει στην ουσία ότι το συνολικό ποσοστό απόδοσης της οριακής µονάδας του κεφαλαίου, συµπεριλαµβανοµένων των προσδοκώµενων κεφαλαιουχικών κερδών, είναι ίσο µε το ποσοστό προεξόφλησης του νοικοκυριού β. Τα προσδοκώµενα κεφαλαιακά κέρδη ορίζονται ως ο αναµενόµενος ρυθµός µεταβολής της σκιώδους αξίας του κεφαλαίου λ(t). Η ερµηνεία αυτή επιβεβαιώνεται αν αναδιαρθρώσουµε την (3.48) ως, P r(t) + λ (t) (3.48 ) λ(t) n g = β Η Εξίσωση Euler για την Κατανάλωση Μπορούµε τώρα µε βάση τις συνθήκες πρώτης τάξης, να χαρακτηρίσουµε την αποταµιευτική συµπεριφορά του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, υποκαθιστώντας το λ(t) µεταξύ των (3.47) και (3.48). Παραγωγίζοντας την (3.47) ως προς το χρόνο, και χρησιµοποιώντας την (3.48) και τον ορισµό του β, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση για το c. c (t) P (3.49) c(t) = 1 ( r(t) ρ θg ) θ = 1 ( θ r(t) ρ) g Η (3.49) είναι η εξίσωση Euler για την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Ο ρυθµός αύξησης της κατανάλωσης κατά κεφαλήν είναι θετικός όταν το πραγµατικό επιτόκιο, υπερβαίνει το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Όσο δε µεγαλύτερη είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης, 1/θ, τόσο µεγαλύτερος είναι ο ρυθµός αύξησης της κατανάλωσης για δεδοµένη διαφορά του πραγµατικού επιτοκίου από το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Το g εµφανίζεται αρνητικά στην εξίσωση (3.49) διότι το c είναι η κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, και ο παρονοµαστής αυξάνεται µε ρυθµό g, ο οποίος θα πρέπει να αφαιρεθεί. Η (3.49) µπορεί να γραφεί ως προς την κατά κεφαλήν κατανάλωση ως, c P h(t) (3.49 ) c h (t) = 1 ( θ r(t) ρ) P15

16 Η εξίσωση Euler (3.49 ) είναι πιο εύκολα ερµηνεύσιµη από την (3.49). Η εξίσωση αυτή, όπως αναφέραµε αναλύοντας την ισοδύναµή της (3.32), δεν είναι παρά η έκφραση σε συνεχή χρόνο της τυπικής συνθήκης για αποτελεσµατική ισορροπία, ότι δηλαδή ο οριακός λόγος διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης ισούται µε το οριακό λόγο διαχρονικού µετασχηµατισµού. Πολλές φορές αναφέρεται ως ο κανόνας Keynes-Ramsey, καθώς η εξίσωση αυτή παρουσιάστηκε από τον Ramsey στο κλασσικό του άρθρο, συνοδευόµενη από µία ερµηνεία που αποδίδεται στον Keynes, τότε εκδότη της Economic Journal. Ο κανόνας αυτός συνεπάγεται ότι η κατά κεφαλήν κατανάλωση αυξάνεται, παραµένει σταθερή ή µειώνεται ανάλογα µε το αν το πραγµατικό επιτόκιο υπερβαίνει, ισούται ή υπολείπεται του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης. Επιστρέφουµε τώρα στην εξίσωση Euler (3.49), η οποία προσδιορίζει το ρυθµό µεταβολής της ιδιωτικής κατανάλωσης ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Εάν η οικονοµία βρίσκεται σε µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, η κατά κεφαλήν ιδιωτική κατανάλωση θα αυξάνεται µε τον εξωγενή ρυθµό τεχνικής προόδου g, και η ιδιωτική κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας θα είναι σταθερή. Έτσι, από την (3.49), το πραγµατικό επιτόκιο στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης θα ισούται µε ρ+θg. Υπάρχει ένα µοναδικό σταθερό πραγµατικό επιτόκιο το οποίο είναι συνεπές µε την ισόρροπη µεγέθυνση στο υπόδειγµα αυτό. Η εξίσωση Euler για την κατανάλωση (3.49) προσδιορίζει τον βέλτιστο ρυθµό µεταβολής της κατανάλωσης ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό. Προκειµένου να προσδιορίσουµε το βέλτιστο επίπεδο της κατανάλωσης, πρέπει να επιλύσουµε τις δύο διαφορικές εξισώσεις (3.49) και (3.42 ), οι οποίες προσδιορίζουν τη βέλτιστη πορεία της κατανάλωσης και της συσσώρευσης κεφαλαίου του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού Ο Διαχρονικός Εισοδηµατικός Περιορισµός Η συνάρτηση συσσώρευσης του κεφαλαίου (3.42 ) είναι µία πρωτοβάθµια, γραµµική διαφορική εξίσωση µε µεταβλητούς συντελεστές. Κατά συνέπεια, η λύση της, για κάθε T 0, έχει τη µορφή, 6 T t P e r(v)dv (n g)t v=0 T r(v)dv (n g)t k(t ) + e v=0 T c(t) dt = k(0) + e r(v)dv (n g)s v=0 w(t) dt (3.50) t=0 Η (3.50) περιγράφει το διαχρονικό εισοδηµατικό περιορισµό του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού µε ορίζοντα T. Αυτός ο διαχρονικός εισοδηµατικός περιορισµός συνεπάγεται ότι στη στιγµή 0, η παρούσα αξία του εισοδήµατος από εργασία µεταξύ της στιγµής 0 και της στιγµής T, συν το αρχικό κεφάλαιο στη στιγµή 0, ισούται µε την παρούσα αξία της κατανάλωσης µεταξύ της στιγµής 0 και της στιγµής T, συν την παρούσα αξία του αποθέµατος του κεφαλαίου τη στιγµή T. Ο όρος που περιλαµβάνει το ολοκλήρωµα των επιτοκίων είναι ένας όρος που µετατρέπει µία µονάδα εισοδήµατος, κατανάλωσης ή κεφαλαίου στη στιγµή t, στην παρούσα αξία της την περίοδο 0. Αν το επιτόκιο ήταν σταθερό στο επίπεδο r, ο όρος αυτός θα απλοποιείτο σε -rt. Μπορούµε να ορίσουµε το µέσο επιτόκιο µεταξύ της στιγµής 0 και της στιγµής t ως, t=0 t 6 Βλ. Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 για µεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. P16

17 t P r _ (t) = 1 r(v)dv (3.51) t v=0 Με αυτόν το ορισµό, η (3.50) µπορεί να γραφεί ως, _ (T ) n g P e r T T k(t ) + e r_ (t ) n g t T c(t) dt = k(0) + e r t w(t) dt (3.52) t=0 t=0 _ (t ) n g Αν ο χρονικός ορίζοντας του νοικοκυριού ήταν Τ, τότε το βέλτιστο απόθεµα κεφαλαίου του νοικοκυριού κατά τη στιγµή Τ θα ήταν ίσο µε το µηδέν. Αν το απόθεµα κεφαλαίου στη στιγµή Τ ήταν θετικό, το νοικοκυριό θα µπορούσε να αυξήσει τη χρησιµότητά του µε το να καταναλώσει το κεφάλαιο αυτό λίγο πριν την επέλευση του T. Έτσι, θετικό απόθεµα κεφαλαίου στο Τ δεν θα ήταν βέλτιστο. Αν το απόθεµα κεφαλαίου στη στιγµή Τ ήταν αρνητικό, τότε το νοικοκυριό θα είχε συσσωρεύσει µη διατηρήσιµα χρέη (αρνητικό κεφάλαιο) στη διάρκεια του χρόνου, τα οποία θα παραβίαζαν το διαχρονικό εισοδηµατικό περιορισµό του. Ως εκ τούτου, η βέλτιστη πολιτική η οποία ικανοποιεί τον εισοδηµατικό περιορισµό του νοικοκυριού συνεπάγεται ότι k(t)=0. Μία συνθήκη αυτού του είδους, ονοµάζεται συνθήκη εγκαρσιότητας (transversality condition), και διασφαλίζει ότι η παρούσα αξία της κατανάλωσης του νοικοκυριού δεν µπορεί να υπερβαίνει, ή να υπολείπεται, του συνολικού πλούτου του, δηλαδή του τρέχοντος αποθέµατος κεφαλαίου που κατέχει το νοικοκυριό, συν την παρούσα αξία του τρέχοντος και του µελλοντικού του εισοδήµατος από εργασία. Έτσι, δεδοµένου ότι θα πρέπει να έχουµε ότι k(t)=0, για ένα πεπερασµένο χρονικό ορίζοντα Τ, ο διαχρονικός εισοδηµατικός περιορισµός του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού θα λάβει τη µορφή, _ (t ) n g T P e r t T c(t) dt = k(0) + e r t w(t) dt (3.52 ) t=0 t=0 _ (t ) n g Λαµβάνοντας υπόψη τη συνθήκη εγκαρσιότητας, ο διαχρονικός εισοδηµατικός περιορισµός συνεπάγεται ότι στη στιγµή 0, το απόθεµα κεφαλαίου του νοικοκυριού, συν την παρούσα αξία του εισοδήµατος του από εργασία, µεταξύ της στιγµής 0 και της στιγµής Τ, πρέπει να ισούται µε την παρούσα αξία της κατανάλωσής του, µεταξύ της στιγµής 0 και της στιγµής Τ. Το ερώτηµα που ανακύπτει είναι ποια θα είναι η συνθήκη εγκαρσιότητας όταν ο ορίζοντας του νοικοκυριού είναι άπειρος, όπως έχουµε υποθέσει Η Συνθήκη Εγκαρσιότητας µε Άπειρο Χρονικό Ορίζοντα Αν ο ορίζοντας του νοικοκυριού ήταν το T, τότε το κεφάλαιο της στιγµής T θα ήταν ίσο µε το µηδέν, καθώς το νοικοκυριό θα µπορούσε να αυξήσει τη χρησιµότητα του καταναλώνοντας το υπόλοιπο του κεφαλαίου του πριν από την επέλευση του T. Θα είχαµε δηλαδή k(t)=0. Αν o χρονικός ορίζοντας του νοικοκυριού είναι άπειρος, τότε θα πρέπει να πάρουµε το όριο της (3.52) καθώς το T τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή ο αριστερός όρος θα πρέπει να τείνει στο µηδέν. Θα πρέπει δηλαδή να ισχύει ότι, r _ (T ) n g T e P lim T k(t ) = 0 (3.53) P17

18 Αν η συνθήκη αυτή δεν ικανοποιείται, για παράδειγµα αν το παραπάνω όριο είναι θετικό, τότε το νοικοκυριό θα µπορούσε στην πορεία να αυξήσει τη διαχρονική χρησιµότητά του καταναλώνοντας µέρος του κεφαλαίου του. Αν το παραπάνω όριο είναι αρνητικό, τότε το νοικοκυριό δεν ικανοποιεί το διαχρονικό εισοδηµατικό του περιορισµό. Άρα, η επιλογή της πορείας της κατανάλωσής του που ικανοποιεί το εισοδηµατικό του περιορισµό δεν είναι βέλτιστη, παρά µόνο αν ικανοποιείται και η συνθήκη (3.53), η οποία απαιτεί όπως η παρούσα αξία του κεφαλαίου του νοικοκυριού καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο, ισούται µε το µηδέν. Η συνθήκη (3.53) αποτελεί τη συνθήκη εγκαρσιότητας µε άπειρο χρονικό ορίζοντα, και θα ισχύει όσο το µέσο επιτόκιο υπερβαίνει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης n+g, και όσο το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δεν αυξάνεται µε ρυθµό µεγαλύτερο από r-n-g. Όπως θα δείξουµε παρακάτω, στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης το επιτόκιο ισούται µε ρ+θg. Κατά συνέπεια, αν η οικονοµία βρίσκεται στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, η συνθήκη εγκαρσιότητας λαµβάνει τη µορφή, P lim e βt k(t ) u c(t ) e βt k(t ) = 0 (3.53 ) T ( ) = lim T δεδοµένου ότι u (c(t))>0. Η (3.53 ) είναι η µορφή της συνθήκης εγκαρσιότητας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Δεδοµένου ότι η συνθήκη εγκαρσιότητας (3.53) θα πρέπει να ικανοποιείται, ο διαχρονικός εισοδηµατικός περιορισµός του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού µε άπειρο χρονικό ορίζοντα λαµβάνει τη µορφή, _ (t ) n g P e r t c(t) dt = k(0) + e r t w(t) dt (3.54) t=0 t=0 _ (t ) n g Η (3.54) συνεπάγεται ότι η παρούσα αξία της κατανάλωσης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού µε άπειρο χρονικό ορίζοντα ισούται µε το συνολικό πλούτο του, ο οποίος ορίζεται από το αρχικό του κεφάλαιο, συν την παρούσα αξία των εισοδηµάτων του από εργασία Η Συνάρτηση Κατανάλωσης του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Αν επιλύσουµε (ολοκληρώσουµε) τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει την εξίσωση Euler για την κατανάλωση, δηλαδή την (3.49), τότε βρίσκουµε ότι η κατανάλωση στη στιγµή t ορίζεται από, 1 θ r_ (t ) ρ θg t P c(t) = c(0)e (3.55) Υποκαθιστώντας την (3.55) στη (3.54) και λύνοντας ως προς c(0), P c(0) = γ (0) k(0) + w ~ (0) (3.56) όπου, P18

19 P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 e r _ (t ) n g t=0 P w ~ (0) = t w(t) dt (3.57) είναι η παρούσα αξία του εισοδήµατος από εργασία, και, 1 r _ (t )(1 θ ) ρ+θn θ t P γ (0) = e dt (3.58) t=0 είναι το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου στην περίοδο 0. Η (3.56), µε τους ορισµούς στις (3.57) και (3.58), µας επιτρέπει να συνάγουµε τις ιδιότητες της συνάρτησης κατανάλωσης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό καταναλώνει ένα ποσοστό του συνολικού του πλούτου το οποίο εξαρτάται από την εξέλιξη των µέσων επιτοκίων, το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης ρ, την ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης 1/θ και το ποσοστό αύξησης του πληθυσµού n. Η επίπτωση των επιτοκίων επί του ποσοστού κατανάλωσης στο συνολικό πλούτο γ(0) εξαρτάται από την ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης 1/θ. Μία αύξηση των επιτοκίων έχει δύο ειδών επιπτώσεις στο µέσο ποσοστό κατανάλωσης από το συνολικό πλούτο. Πρώτον, ωθεί το νοικοκυριό να υποκαταστήσει τρέχουσα για µελλοντική κατανάλωση, καθώς αυξάνεται το κόστος της τρέχουσας κατανάλωσης σε σχέση µε τη µελλοντική. Αυτό είναι το αποτέλεσµα διαχρονικής υποκατάστασης το οποίο οδηγεί σε µείωση της τρέχουσας κατανάλωσης. Δεύτερον, µία αύξηση των πραγµατικών επιτοκίων αυξάνει το εισόδηµα του νοικοκυριού από κεφάλαιο, και τείνει να αυξήσει τόσο την τρέχουσα όσο και τη µελλοντική κατανάλωση. Αυτό είναι το εισοδηµατικό αποτέλεσµα, το οποίο αυξάνει την τρέχουσα κατανάλωση. Εάν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα (θ<1), το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου µειώνεται όταν αυξάνονται τα επιτόκια, διότι το αποτέλεσµα υποκατάστασης επικρατεί του εισοδηµατικού αποτελέσµατος. Εάν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης είναι µικρότερη από τη µονάδα (θ>1), το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου αυξάνεται όταν αυξάνονται τα επιτόκια, διότι το εισοδηµατικό αποτέλεσµα επικρατεί του αποτελέσµατος υποκατάστασης. Στη δε περίπτωση που θ=1, το οποίο ισοδυναµεί µε λογαριθµικές προτιµήσεις, τα δύο αποτέλεσµατα αλληλοεξουδετερώνται, και το ποσοστό κατανάλωσης από το συνολικό πλούτο είναι ανεξάρτητο από την πορεία των µέσων πραγµατικών επιτοκίων. Αξίζει να δούµε τη συνάρτηση κατανάλωσης όταν το πραγµατικό επιτόκιο είναι σταθερό. Στην περίπτωση αυτή, η (3.58) λαµβάνει τη µορφή, γ (0) = t=0 e 1 ( r(1 θ ) ρ+θn θ )t 1 r(1 θ) ρ +θn = 1 r(1 θ ) ρ+θn θ θ lim e ( )t lim e 1 t t 0 θ ( r(1 θ ) ρ+θn)t = 1 ( ρ θn r(1 θ) ) θ P19

20 Για να είναι το ποσοστό αυτό θετικό, θα πρέπει να ισχύει ότι r<(ρ-θn)/(1-θ). Στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης το πραγµατικό επιτόκιο είναι σταθερό και ισούται µε r=ρ+θg. Κατά συνέπεια στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης το ποσοστό του συνολικού πλούτου που καταναλώνεται ισούται µε, ( ) P γ (0) == ρ n (1 θ)g (3.58 ) Από τις υποθέσεις που έχουµε κάνει για να ορίζεται το πρόβληµα της βελτιστοποίησης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού (βλ. εξίσωση (3.38)), το ποσοστό αυτό είναι θετικό. Στην περίπτωση όπου θ=1, από την (3.58), το ποσοστό της κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου δίνεται από, ( ) 1 ρ n P γ (0) = e (ρ n)t = = ρ n (3.59) t=0 lim e (ρ n)t + lim e (ρ n)t t t 0 Δεδοµένου ότι έχουµε υποθέσει ότι ρ>n, µε µοναδιαία ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης, το ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου ισούται µε τη διαφορά του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης από το ποσοστό αύξησης του πληθυσµού. Από τις υποθέσεις που έχουµε κάνει, αυτό είναι θετικό και σταθερό και ανεξάρτητο από το πραγµατικό επιτόκιο. Αξίζει τέλος να σηµειώσουµε ότι οι συνολικές επιπτώσεις των πραγµατικών επιτοκίων στην κατανάλωση δεν περιορίζονται στις επιπτώσεις τους στο ποσοστό κατανάλωσης επί του συνολικού πλούτου. Μία αύξηση των επιτοκίων οδηγεί σε µείωση της παρούσας αξίας του εισοδήµατος από εργασία, µειώνοντας το συνολικό πλούτο του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, και οδηγώντας σε µείωση της κατανάλωσης, ακόµη και αν η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης ισούται µε τη µονάδα. Ουσιαστικά, η επίπτωση των πραγµατικών επιτοκίων επί της παρούσας αξίας του εισοδήµατος από εργασία ενισχύει το αποτέλεσµα υποκατάστασης στην τρέχουσα κατανάλωση. 3.3 Η Δυναµική Προσαρµογή της Κατανάλωσης και του Κεφαλαίου Ερχόµαστε τώρα στο ζήτηµα της δυναµικής προσαρµογής της κατανάλωσης και του κεφαλαίου στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Η δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας στο υπόδειγµα αυτό περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.42) για την συσσώρευση του κεφαλαίου και (3.49) για το ρυθµό αύξησης της κατανάλωσης. Έχουµε δύο διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού σε δύο µεταβλητές, k και c. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις δύο διαφορικές εξισώσεις (3.42) και (3.49) για να αναλύσουµε τη δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας. P k (t) = f (k(t)) c(t) (n + g + δ )k(t) (3.42) c (t) P (3.49) c(t) = 1 ( r(t) ρ θg ) θ = 1 ( f (k(t) δ ρ θg) θ όπου στη (3.49) έχουµε αντικαταστήσει το επιτόκιο από το οριακό προϊόν του κεφαλαίου µείον το ποσοστό απόσβεσης δ. P20

21 P P Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 3 Αφού έχουµε καθορίσει την πορεία του αποθέµατος κεφαλαίου και της κατανάλωσης, οι πορείες όλων των άλλων πραγµατικών µεταβλητών, δηλαδή της παραγωγής, του πραγµατικού επιτοκίου και των πραγµατικών µισθών, προκύπτει από την συνάρτηση παραγωγής (3.36) και τις συνθήκες που εξισώνουν το οριακό προϊόν του κεφαλαίου µε το πραγµατικό επιτόκιο, και το οριακό προϊόν της εργασίας µε τον πραγµατικό µισθό, (3.43) και (3.44). Τόσο η συνάρτηση παραγωγής, όσο και οι συνθήκες της οριακής παραγωγικότητας εξαρτώνται αποκλειστικά από το κεφάλαιο ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας. Η λύση στο σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων (3.42) και (3.49) µπορεί να αναλυθεί διαγραµµατικά µε ένα διάγραµµα φάσης Η Δυναµική Προσαρµογή προς την Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Το κεφάλαιο (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) που συνεπάγεται P c = 0, δηλαδή σταθερή κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, προσδιορίζεται από την (3.49), από την εξίσωση του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού, συν το ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας επί το θ, συν το ποσοστό απόσβεσης δ. f (k) = ρ + δ +θg (3.60) Aπό την (3.42), για P k = 0, προσδιορίζεται η σχέση της κατανάλωσης και του κεφαλαίου που διασφαλίζει σταθερό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. c = f (k) (n + g + δ )k (3.61) Η δυναµική πορεία της οικονοµίας περιγράφεται από µία µοναδική σαγµοειδή πορεία που οδηγεί στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, και η οποία µπορεί να αναλυθεί µε βάση ένα διάγραµµα φάσης. Για οποιαδήποτε αρχική τιµή του k, που είναι µεταβλητή κατάστασης, το c, το οποίο είναι µεταβλητή ελέγχου, προσαρµόζεται άµεσα, ώστε η οικονοµία να βρίσκεται πάντα στην σαγµοειδή πορεία, η οποία οδηγεί στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Όλες οι άλλες δυναµικές πορείες αποκλίνουν και δεν ικανοποιούν τη συνθήκη εγκαρσιότητας (3.53). Η ισορροπία στο υπόδειγµα αυτό είναι αποτελεσµατική κατά Pareto, καθώς αν οι αγορές είναι ανταγωνιστικές και το κάθε νοικοκυριό µεγιστοποιεί την ευηµερία του, µεγιστοποιείται και η κοινωνική ευηµερία. Η ισορροπία (πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης) και η σαγµοειδής πορεία προς αυτή παρίστανται στο Διάγραµµα 3.1. Η µακροχρόνια ισορροπία προσδιορίζεται στο σηµείο (k*, c*) στο οποίο ικανοποιούνται τόσο η (3.60) όσο και η (3.61). Υπάρχει δε µία και µοναδική σαγµοειδής πορεία που οδηγεί σε αυτή την ισορροπία. Δεδοµένου ότι η κατανάλωση είναι µη προκαθορισµένη µεταβλητή και το κεφάλαιο προκαθορισµένη µεταβλητή, από οποιαδήποτε αρχική θέση, η κατανάλωση θα προσαρµοστεί άµεσα ώστε να θέσει την οικονοµία στη µοναδική αυτή σαγµοειδή πορεία, η οποία οδηγεί στη µακροχρόνια ισορροπία. Αριστερά του k*, η κατανάλωση είναι χαµηλότερη από τη µακροχρόνια ισορροπία της και η οικονοµία συσσωρεύει κεφάλαιο. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής, το P21

22 κεφάλαιο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας αυξάνονται. Το αντίθετο συµβαίνει αν στην αρχική κατάσταση βρισκόµαστε δεξιά από το κεφάλαιο ισορροπίας. Τόσο το κεφάλαιο, όσο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας µειώνονται. Κατά συνέπεια, η συµπεριφορά της οικονοµίας αυτής µοιάζει µε τη συµπεριφορά της οικονοµίας του υποδείγµατος του Solow. Υπάρχει σύγκλιση προς τη µακροχρόνια ισορροπία, ανεξαρτήτως από τις αρχικές συνθήκες. Η διαφορά είναι ότι στο υπόδειγµα του Ramsey η αποταµιευτική συµπεριφορά δεν είναι αυθαίρετη αλλά βέλτιστη. Σε κάθε χρονική στιγµή, το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει την κατανάλωσή του ώστε να µεγιστοποιεί τη διαχρονική του χρησιµότητα. Λόγω των ανταγωνιστικών αγορών, η βέλτιστη αυτή ατοµική συµπεριφορά µεγιστοποιεί και την κοινωνική ευηµερία. Η µακροχρόνια ισορροπία προσδιορίζει την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Ενώ το κεφάλαιο, το προϊόν και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµάτικοτητας της εργασίας είναι σταθερά, το κατά κεφαλήν προϊόν (και κεφάλαιο) και η κατά κεφαλήν κατανάλωση αυξάνονται µε ρυθµό g, τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Το πραγµατικό επιτόκιο είναι σταθερό στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, όπως και ο πραγµατικός µισθός ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Ωστόσο, ο πραγµατικός µισθός ανά εργαζόµενο w(t)h(t) αυξάνεται µε ρυθµό g, τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Στην πορεία της προσαρµογής προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης από αριστερά, δηλαδή όταν το αρχικό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µικρότερο από k*, το κατά κεφαλήν προϊόν και η κατά κεφαλή κατανάλωση αυξάνονται µε ρυθµό µεγαλύτερο από g, το πραγµατικό επιτόκιο µειώνεται (επειδή µειώνεται το οριακό προϊόν του κεφαλαίου) και ο πραγµατικός µισθός ανά εργαζόµενο αυξάνεται µε ρυθµό µεγαλύτερο από g. Τα αντίθετα συµβαίνουν στην πορεία της προσαρµογής προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης από δεξιά, δηλαδή όταν το αρχικό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µεγαλύτερο από k* Η Πορεία Ισόρροπης Μεγέθυνσης και ο Προσαρµοσµένος Χρυσός Κανόνας Η πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ανάλογη της πορείας ισόρροπης µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow. Το κεφάλαιο, το προϊόν και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας είναι σταθερά. Κατά συνέπεια, και το ποσοστό αποταµίευσης (y-c)/y, στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι και αυτό σταθερό. Το συνόλικο απόθεµα κεφαλαίου, το συνολικό προϊόν και η συνολική κατανάλωση αυξάνονται µε ρυθµό n+g. Το κατά κεφαλήν απόθεµα κεφαλαίου, το κατά κεφαλήν προϊόν και η κατά κεφαλήν κατανάλωση αυξάνονται µε ρυθµό g. Κατά συνέπειαν, οι κεντρικές προβλέψεις του υποδείγµατος του Solow αναφορικά µε τους προσδιοριστικούς παράγοντες της µακροχρόνιας µεγέθυνσης δεν εξαρτώνται από την υπόθεση του εξωγενούς σταθερού ποσοστού αποταµίευσης. Ακόµη και όταν το ποσοστό αποταµίευσης είναι ενδογενές, όπως στο υπόδειγµα του Ramsey, η µεγέθυνση της αποτελεσµατικότητας της εργασίας παραµένει ως ο µόνος προσδιοριστικός παράγων της µακροχρόνιας µεγέθυνσης του προϊόντος, της κατανάλωσης και των µισθών ανά εργαζόµενο. P22