ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.
|
|
- Αγάθη Δελή
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του w είναι η ευθεία (ζ): y 00 = 0. γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του z - w. δ. Αν η ευθεία (ε) του α ερωτήματος είναι πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο, να αποδείξετε ότι f - f lim = - 0
2 ΘΕΜΑ 0 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= -α α -ln+lnα, α>0,>0. i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα λυθεί η εξίσωση - α =α(ln lnα). iii) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. iv) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. v) Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. vi) Aν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α <β, να δείξετε ότι: α-β ln α > β αβ. vii) Για α =, ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f. ) Nα βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης --λ=ln, λ.
3 ΘΕΜΑ 03 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f()= +ln ln(+) και g()=+. A. i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το όριο: lim f. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος ριζών της εξίσωσης f() =0. iii) Να δείξετε ότι η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f και να βρεθεί η θέση της C f σε σχέση με την πλάγια αυτή ασύμπτωτη για. B. i) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία και να βρείτε το όριο: lim g. ii) Να δείξετε ότι η C g έχει την ίδια πλάγια ασύμπτωτη με την C f και να βρεθεί η θέση της C g και της πλάγιας αυτής ασύμπτωτης για. iii) Αν h()=(+)ln(+) - ln, να βρείτε την παράγωγο της h και να βρείτε μια αρχική συνάρτηση της φ()=g() f(). iv) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= 5 ()d. Αν το Ι παριστάνει το εμβαδό ενός χωρίου, να βρείτε από ποιες καμπύλες περικλείεται το χωρίο αυτό.
4 ΘΕΜΑ 04 ο Έστω f, g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο και τέτοιες ώστε να ισχύει: g (0)=0, f(0)=0 και για κάθε g ()<0. Αν f () g ()= 3 ημ () τότε : 6 α) Να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω. β) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο =0. γ) Να δείξετε ότι : f(4 ) +f() < f( ) για κάθε >0. δ) Να λυθεί η εξίσωση f()=0. ε) Aν g(0)=0 να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(λ) που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και τις ευθείες =0, =λ, ( ) λ, λ > 0 και να βρείτε το όριο: lim 0.
5 ΘΕΜΑ 05 ο Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ) με f() = e, f () = e και f() 0 για κάθε. Αν ισχύει f ()f() > f () + f (), για κάθε,τότε : α. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. β. Να δείξετε ότι f() > e, για κάθε >. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. f(t) δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση dt = t στο (,)., έχει μοναδική ρίζα
6 ΘΕΜΑ 06 ο H συνάρτηση f: είναι ζςνεσήρ και για κάθε є, ιζσύει: f() e +f()--=0. A. i) Nα δείξεηε όηι η f ανηιζηπέθεηαι. ii) Nα μελεηήζεηε ηην f ωρ ππορ ηη μονοηονία. iii) Nα λύζεηε ηιρ εξιζώζειρ f- - =0 και f =e. 0 Β. Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη F()= etf(t)dt,. Να μελεηηθεί ωρ ππορ ηην καμπςλόηηηα και ηα ζημεία καμπήρ η ζςνάπηηζη 0 G()= F(t)dt,. Γ. Έζηω ο μιγαδικόρ z є με z = 3 e 0 f d. i) Nα δείξεηε όηι z+ + z-. ii) Aν επιπλέον ιζσύει Im z -z+ =0, να βπεθεί ο z.
7 ΘΕΜΑ 07 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, η οποία είναι τέτοια ώστε: το όριο lim + f() υπάρχει και f() f()+e = (), για κάθε є. Α) i) Να υπολογίσετε το όριο lim + f(). ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +. Β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε την f. ii) Να βρείτε το πρόσημο της f. Αν επιπλέον γνωρίζουμε, ότι η f είναι παραγωγίσιμη. Γ) i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, έστω ε, στο σημείο Α(,f()). ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη ε και την ευθεία με εξίσωση = e +. Δ) i) Να δείξετε ότι: e d. f() ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,e ) τέτοιο ώστε: f( ξ) ln(e ) και στη συνέχεια να υπολογίσετε το ξ.
8 ΘΕΜΑ 08 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f με f()= dt+ f(t) +e 0, є. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Nα βρεθεί η f -. iii) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία = -e. iv) Nα δείξετε ότι = 0 d f() +e -e. 0 3 f f ()+3 - d d. f() +e +e - v) Nα λυθεί η ανίσωση f() -e 0
9 ΘΕΜΑ 09 ο Έστω f :[, ] δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : 0 f για κάθε є[, ] f() = 0, f() =, f () =. Nα δείξετε ότι : i) η f είναι γνησίως μονότονη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. ii) η ευθεία y = εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f. iii) υπάρχει ένα τουλάχιστον o є(, ) με iv) f() -f() - - για κάθε є(, ). v) f() - για κάθε є[, ]. f -. o vi). f()d vii) η ευθεία (ε): + y = τέμνει την γραφική παράσταση της f σε μοναδικό σημείο. viii) υπάρχουν ξ, ξ με ξ < ξ, ώστε : f(ξ )f (ξ )=f (ξ )+. i) Nα γίνει μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f.
10 - Δίνεται η F()= ΘΕΜΑ 0 ο f(4-t)dt- f(t)dt, όπου f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, με f γνησίως φθίνουσα στο, f () 0 για κάθε και f 5 < 0. i) Να αποδείξετε ότι για την F ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο [, 3]. ii) Αν g()= f 5--f, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. iii) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της F. iv) Να μελετήσετε τα κοίλα της g.
11 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f,f()= +ln- -,0,+ i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f() = 0 καθώς και το σύνολο τιμών της f. ii) Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g,g()= -- - ln-, > 0. iii) Δίνονται οι συναρτήσεις h() = και φ() = ( )(ln ). Nα δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους, έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία. iv) Nα δείξετε ότι : ( )(ln ), για > 0. v) Nα βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης : - - =e, όταν > 0..
12 ΘΕΜΑ ο Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0,+ ) για την οποία ισχύουν : Σας ζητάτε : 3f ()=e, για κάθε > 0, f() = e και f () = 0. i) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι : f()= e. ii) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii) Να δείξετε ότι : e e, για κάθε > 0. iv) Να δείξετε ότι : f(0) + f() > f().
13 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g με ώστε να ισχύουν οι σχέσεις : D =D = και ο μιγαδικός z f g f(0) > g(0) 0 f(t)dt < πg(0)+ g 0, π η g έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο με g 0,, z-00 z-g (00)- e +e = z -g (00)-009 i) Nα δείξετε ότι e +, ii) Nα δείξετε ότι η g είναι κυρτή και να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. iii) Nα δείξετε ότι g() g (0)+g(0), 0, iv) Nα δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ є(0, π) τέτοιο ώστε να ισχύει f(ξ) = g(ξ).,
14 ΘΕΜΑ 4 ο Η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύουν f()-συν lim = 0 f() 0 για κάθε є, τότε : A. Να βρεθούν οι αριθμοί f(0), f (0). Β. Αν για τη συνάρτηση g :, για τυχαίο αλλά σταθερό α є ισχύει g() - α α f(t)dt = f(t)dt, για κάθε є, τότε : i) να λυθεί η εξίσωση g() = 0. ii) να δειχθεί ότι για κάθε >. Γ. Αν για τη συνάρτηση f επιπλέον γνωρίζουμε ότι ισχύουν, f()-f(-)=e - για κάθε є και 3 f()d = e τότε : i) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη o =. ii) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία =.
15 ΘΕΜΑ 5 ο Έστω η συνάρτηση g,g()=e -ln, 0. Nα αποδείξετε ότι : i) η g είναι κυρτή. ii) η g έχει μοναδική ρίζα ξ με 0<ξ<. iii) στο παραπάνω ξ η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. iv) g(ξ) > 0. v) e ln,για κάθε 0.
16 ΘΕΜΑ 6 ο Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύουν : f(0) = 0 και f ()>f () για κάθε > 0. Α. Να αποδείξετε ότι: f () α) η συνάρτηση g()=, > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,. β) η συνάρτηση h(t)= f()t - f(t),t 0 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα 0, με >0. γ) για κάθε >0 υπάρχει ένας τουλάχιστον, ξ 0, τέτοιος ώστε f()= f (ξ) ξ f() Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση φ()= είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (0, ). Γ. Να λύσετε την ανίσωση f()>f( ) στο (0, ).
17 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο (0, + ) για την οποία ισχύει f()= - - f du u u για κάθε > 0. Nα αποδείξετε ότι : A)i) η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) και να βρείτε την f συναρτήσει της f. ii) η συνάρτηση g() = ln + f(), > 0 είναι σταθερή. iii) Nα αποδείξετε ότι f()=ln, > 0. Β) Να βρείτε : i) τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = t, όπου tє(0, ). iii) το όριο lim E(t), όπου Ε(t) το εμβαδόν του (ii) ερωτήματος. t 0 +
18 ΘΕΜΑ 8 ο Α) Να αποδείξετε ότι ένας αριθμός w είναι πραγματικός, αν και μόνον αν ισχύει: w=w. Β) Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z και 4 w = z+ z. i)να αποδείξετε ότι: αν ο αριθμός w είναι πραγματικός, τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, είναι ο κύκλος με εξίσωση z =, εξαιρουμένων δυο σημείων, τα οποία και να προσδιορίσετε. ii) Αν z και z είναι δυο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού z τόπου, τότε να αποδείξετε ότι: = z και =. 4 z 4 z iii) Αν z και z είναι οι μιγαδικοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι: z +z + 4 z z. iv) Αν z, z, z 3 είναι τρεις μιγαδικοί του γεωμετρικού τόπου του i) zz +zz 3 +z3z ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι: =. z +z +z 3
19 ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η συνεχής και - στο (0, + ) συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f()d= και f()d= 3. i) Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η F. ii) Nα αποδείξετε ότι η F δεν έχει κρίσιμα σημεία. F()= f +t dt, να iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F() = 0 έχει μοναδική ρίζα o є(,3). iv) Nα αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ є(,3) τέτοια ώστε να ισχύει + 3 = - F ξ Fξ. v) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα (3,5).
20 ΘΕΜΑ 0 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= +-ln+, -. i) Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. iii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε α > 0 ισχύει α eα -α ln e +. α+ iv) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ є (-,0) τέτοιο ώστε f e ξ = f(ξ). v) α)να αποδείξετε ότι η παράγουσα της συνάρτησης f,έστω F, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(0, ) είναι η F()= + +-(+)ln(+). β) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = F() f(), είναι γνήσια αύξουσα στο ( -, 0].
21 ΘΕΜΑ ο Έστω z, z οι ρίζες της εξίσωσης z + αz + = 0 με α є(-, ) και w є με w -i.aν ισχύει z w+i +z w-i =0,τότε: A) i) Nα δείξετε ότι α) w+i = και β) w+i = w-i. ii) Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών α) w +-3i β) iw + 03 z B) Aν z u = + z z, να δείξετε ότι u = α. Γ) Aν 4009 v=z wi -, να δείξετε ότι v = - i. Δ) Nα δείξετε ότι w+uv +α.
22 ΘΕΜΑ ο Έστω συνάρτηση f : (0,+ ) παραγωγίσιμη με f συνεχή και f () 0 για κάθε > 0. Δίνεται ακόμα, η συνάρτηση g,g()= f() dt και ότι τα σημεία Α(, ) και Β(,) είναι σημεία - f(t) της γραφικής παράστασης της f. i) Nα βρεθεί η μονοτονία της f και το πεδίο ορισμού της g. ii) Nα μελετηθεί η συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημό της. iii) Aν επιπλέον ισχύει f (f()) =, για κάθε є(0, + ), τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ є (0,) τέτοιο ώστε να ισχύει g ξ=. ξ -
23 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0,+ ) (0,+ ).Yποθέτουμε ότι υπάρχει παράγουσα F της f με την ιδιότητα F()-f() = f () για κάθε є (0,+ ). Nα αποδείξεηε όηι : i) η f είναι γνηζίωρ αύξοςζα. ii) η f είναι κςπηή. iii) lim f()=+. f() lim =. iv)
24 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β є, α >, β > και η συνάρτηση f με τύπο f()= z+i --, 0. Αν για κάθε 0 ισχύει z +β z+i, σας ζητάτε να δείξετε ότι: i) η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση. ii) για τους διάφορους του μηδενός μιγαδικούς α) z z και β) z z-i - z z+i z - z. z = z,z =iz α ισχύει: iii) Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα z, z και υπάρχει μιγαδικός z o τέτοιος ώστε z z +β z z+i. o o
25 ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f -f()=, є και η συνάρτηση F()= f(t)dt - +3 є. Σας ζητάτε : i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν є(0, ) και є(, ) τέτοια ώστε f ( )+f ( )=. ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. iii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = 4 f()d.
26 ΘΕΜΑ 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [0, ] που είναι γνήσια φθίνουσα και ο +if() μιγαδικός w= είναι φανταστικός αριθμός, με την εικόνα Μ(w) +if(0) να ανήκει σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και p =. Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. B) Δείξτε ότι η εξίσωση f() = 3, έχει μοναδική ρίζα στο (0, ). Γ) Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ є(0, ) τέτοιο ώστε 3f(ξ) = 3ξ. Δ) Αν z, z μιγαδικοί που ανήκουν στο σύνολο των εικόνων Μ(z) με z - w = w, να δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του z z είναι το.
27 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [, 8], με συνεχή πρώτη παράγωγο. Για την συνάρτηση f ισχύουν : f() = f(8) + ln6 f - 48 η f δεν παρουσιάζει μέγιστο στο. Να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει μ > τέτοιο ώστε f(μ) > f() και λ> τέτοιο ώστε f 4 λ = - ln. 7 ii) η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο της με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (, 8). iii) υπάρχει o є (, 8) τέτοιο ώστε o iv) υπάρχει ξ є (, 8) τέτοιο ώστε 3f = - 4. o f ξ = - ln. v) υπάρχει ξ є (, 8) τέτοιο ώστε 48f ξ = -ξ.
28 ΘΕΜΑ 8 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύουν : f(0) > -. lim f()= n - f -αf = -α + για κάθε є, με αє. Να αποδείξετε ότι : i) η συνάρτηση g() = f() α διατηρεί πρόσημο στο. ii) f()= ++,. iii) υπάρχει ξ є 7, τέτοιο ώστε f ξ = iv) 0 f + d= -ln -
29 ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,+ ) συνάρτηση f με f(0) = και f (0) = 0 η οποία είναι κυρτή. i) Να δείξετε ότι f() > για κάθε є(0,+ ). ii) Αν g()= f(t)dt -lnf(t)dt με є[0,+ ), να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα [0,+ ). β) e f() > e. f() για κάθε є(0,+ ). γ) f(t)dt lnf(t)dt.
30 ΘΕΜΑ 30 ο Δίνονται δυο μιγαδικοί αριθμοί z, w και η συνάρτηση f με τύπο f = z + - w,. i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι -. iii. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. f = f- έχει μοναδική λύση, τότε: iv. Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση. να υπολογισθεί η διαφορά w - z.. Να αποδειχθεί ότι w+z 4.
31 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση f με τύπο ln ++α, (0,) f = ln, = ln - 5+β, (,) i) Nα βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και να μελετηθεί η f ως προς τη συνέχεια. ii) Nα βρεθεί η παράγωγος της f. iii) Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iv) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της f. v) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη της f. vi) Nα λυθεί η εξίσωση f() = 0. vii) Nα βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f. viii) Nα υπολογίσετε το f()d.
32 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με f: με τύπο: f()= z+w - z-w. z+w 0 και η συνάρτηση A. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f είναι - στο. z-w ii. f -()= + z+w z+w, є. - Β. Αν για κάθε є ισχύει: f()= f (), να δείξετε ότι: iii. zw iv. z w v. zw 3
33 ΘΕΜΑ 33 ο Έστω f, g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα [0, ] τέτοιες ώστε f() > 0, 0< g() <, για κάθε є[0,]. Θεωρούμε τις συναρτήσεις F, G, H με : F()= f(t)dt, G()= g(t)dt και Η()= f(t)g(t)dt, є[0,] α) Να αποδείξετε ότι για κάθε є(0,] ισχύει : H() F()G(). β) Να αποδείξετε ότι για κάθε є(0,) ισχύει : H() H() F() F(). γ) Αν H()+ g(t)f(t)dt =F()+G(), να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ξ є(0,) τέτοιο ώστε : f(ξ) =- -F(ξ) g(ξ) -G(ξ). δ) Να υπολογισθεί το όριο : 0 Η () lim F()G().
34 ΘΕΜΑ 34 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= e, (0,+ ). - α) Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (,f()). γ) Να αποδείξετε ότι f()d. e f() δ) Αν g()= 3 και Ε(t) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g, τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες =, = t, t >, να υπολογισθεί το lim E(t). t+
35 ΘΕΜΑ 35 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει e -- f t+dt 0, για κάθε є. Nα αποδείξετε ότι : 0 α) 0 f(t)dt =. β) η εξίσωση 0 f(t)dt = έχει λύση ξ στο (0, ). γ) η εξίσωση 0 f(t)dt+f()-=0έχει λύση στο (0, ξ).
36 ΘΕΜΑ 36 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = e +. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να υπολογίσετε το f()-+3 lim γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξє(0, ) τέτοιο ώστε f lnξ = f -ξ. δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει f z-i + = e-. ε) Αν οι εικόνες των z, z βρίσκονται στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, τότε να βρείτε το όριο lim z-z -f()+f(-).
37 ΘΕΜΑ 37 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+ ) για την οποία για κάθε >0 ισχύουν f() > 0, f ()+f() = 0 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, ). α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ) και να βρείτε τη συνάρτηση f. - β) Να δείξετε ότι f() < f(t) dt < - t, >. γ) Να βρείτε τη συνάρτηση F() = (+ )f(t)dt, >. t -t δ) Να αποδείξετε ότι e e dt <, για κάθε >.
38 ΘΕΜΑ 38 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f :[α, β] παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο, α β 0, f(α) = β και f () < 0 για κάθε є[α, β]. Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f -. B)Aν η f - είναι συνεχής και ισχύει f(β) β f -(t)dt+ f(t)dt = 0 τότε: f(α) α i) Nα βρείτε το f(β). ii) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ є(α, β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (ξ, f(ξ)) να είναι κάθετη στην ευθεία y =0. Γ) Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει μοναδικό ξ є(α, β) τέτοιο ώστε f(ξ ) = ξ. ii) υπάρχουν κ, λ є(α, β) τέτοια ώστε f (κ). f (λ) =.
39 ΘΕΜΑ 39 ο Δίνεται η συνάρτηση f : συνεχής και γνησίως αύξουσα, με f () 4 για κάθε є και f(0) >. i) Aν g()= -, δείξτε ότι ορίζεται η gof για κάθε є. ii) Mελετήστε ως προς τη μονοτονία την φ()= + - f() e. iii) Δείξτε ότι η εξίσωση e + f() = e f() έχει ακριβώς μια λύση στο. iv) Aν επιπλέον γνωρίζουμε ότι f(g()) = 4 + 9, δείξτε ότι: α) η g αντιστρέφεται. β) η εφαπτόμενη της f στο σημείο της με τετμημένη = 4, είναι παράλληλη της εφαπτομένης της g - στο σημείο της με τετμημένη =.
40 Θεωρούμε τις συναρτήσεις ΘΕΜΑ 40 ο f,g : με συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ++ g = - e + e - + f εφ + για κάθε, τότε : α) Να βρεθεί οι αριθμoί f,f-. f lim = - με. Αν η β) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με -,. τετμημένη 0 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ξ +ξ+ ++ f + ξ - e f ξ + - e για κάθε, -, ώστε να ισχύει.
41 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f = ln+ -,>0. Α. Να αποδείξετε ότι : α) H f αντιστρέφεται. β) Η εξίσωση f = 0 έχει μοναδική λύση. Β. Για το μιγαδικό αριθμό z με z 4+3i ισχύει : ln z - 4-3i = - z - 4-3i. α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων. β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου z - z. γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της εικόνας του μιγαδικού z από το σημείο Ν(-3, -4).
42 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f :[0,+ ) για την οποία ισχύει : f() f()e =, για κάθε є[0,+ ). Να δείξετε ότι: i) 0 f(), για κάθε є[0,+ ). ii) η f είναι συνεχής στο 0. iii) η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. iv) η f είναι γνησίως αύξουσα. v) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+ ) τότε : f() d=e -. +f() 0
43 ΘΕΜΑ 43 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, + ) για την οποία ισχύει f(e) = e και f-f =, 0. α) Να δείξετε ότι f = ln, 0. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες. γ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 0 =e. δ) Αν για το μιγαδικό z ισχύει zzln z =, να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ >.
44 ΘΕΜΑ 44 ο Έστω οι δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το διάστημα [, α], με α є(, + ), για τις οποίες ισχύουν : f() = g() = και f() + g() = α f(t)g(t)dt για κάθε є[, α]. Να αποδείξετε ότι : A. g() = f(). f g =. α- B. υπάρχει o є(, α) τέτοιο ώστε να ισχύει o o Γ. η εξίσωση f()-g() f -g = έχει λύση στο (, α). α- Δ. η εξίσωση f()- = α-3 έχει λύση στο (, α). α- Ε. α 3. α Στ. f()+g() d 4
45 ΘΕΜΑ 45 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει : f() f()+e =+,. i) Nα δείξετε ότι e + για κάθε є. ii) Nα δείξετε ότι f() για κάθε є και lim f()= -. - iii) Nα δείξετε ότι f() ln + για κάθε > - και lim f()=+. iv) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. v) Να βρείτε την f () και το πρόσημό της για κάθε є. vi) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. vii) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(0, f(0)). viii) Nα δείξετε ότι f () f() για κάθε 0. i) Nα αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε την f - καθώς και την τιμή f(e). ) Αν α, β є με α < β, να βρείτε τα όρια lim f +β-f +α, lim f +β-f +α -
46 ΘΕΜΑ 46 ο Έστω f, συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία f()-3 lim = -4 και f 0,για κάθε. - ισχύουν Αν f(3) =, τότε : α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(, f()). β) να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός στο διάστημα (, 3), στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. γ) να δείξετε ότι η εξίσωση f5-4 + στο διάστημα (0, ). = f -f() έχει μοναδική ρίζα
47 ΘΕΜΑ 47 ο Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα (0, + ) ώστε : η συνάρτηση g διατηρεί πρόσημο στο (0, + ). η γραφική παράσταση της g δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη, αλλά έχει κατακόρυφη τον άξονα y y. - g() -, 0. A) Nα αποδείξετε ότι : α) g () = β) η g έχει σύνολο τιμών το. Β) Έστω ακόμα η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύει : f g()+ =e g()-, 0. Nα αποδείξετε ότι : α) f () = 0 και f() = -e. β) lim f()+e - e - = e. γ) η εξίσωση f()+f ()-f ()=0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (, ).
48 ΘΕΜΑ 48 ο Έστω μια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [0, ] με f(0) > 0. Ορίζουμε τις συναρτήσεις : t t F()= f(t)e dt και G()= e dt για κάθε є [0, ]. 0 0 Α) Nα δείξετε ότι : α) F() > 0 για κάθε є (0, ]. F() F() β) f()g() F() και για κάθε G() G() є (0, ). f(ξ γ) υπάρχουν ξ, ξ є (0, ) με )G(ξ ) e F(ξ ) ξ -ξ. δ) αν e + για κάθε є, τότε G()d+ e Β) Αν επιπλέον ισχύει της συνάρτησης f. 4 f -e f d=e-, τότε να βρεθεί ο τύπος
49 ΘΕΜΑ 49 ο Δίνεται η συνάρτηση F() = t+lnt dt, 0 < α < α +t. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F, να αιτιολογήσετε ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την παράγωγό της.. β) Δείξτε ότι η F έχει μοναδική ρίζα ξ με ξ, Βρείτε και το πρόσημο της F στα διαστήματα (0, ξ), (ξ,+ ). γ) Να αποδείξετε ότι F() - F = ln, > 0. δ) Δείξτε ότι η εξίσωση F() = 0 έχει ακριβώς δύο διαφορετικές ρίζες από τις οποίες η μία βρίσκεται στο διάστημα,. ε) Να βρείτε το t+lnt lim (e - ) dt. 0 +t
50 ΘΕΜΑ 50 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f()= + f(t -)dt, για κάθε є. α) Να δείξετε ότι f()=e. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συντεταγμένων. h()= f t dt και τους άξονες + γ) Θεωρούμε και την συνάρτηση g()= f t dt,. ) Να δείξετε ότι η g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα ( -, 0 ). ) Να δείξετε ότι g() > 0 και να βρείτε το όριο δ) Να δείξετε ότι i) - lng() lim. + lim e h() =0 lim h()= - ii) - - ε) Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν
Διαβάστε περισσότεραe 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΘ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΘ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότερα2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη
Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 6 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]
Διαβάστε περισσότεραΑ ΕΚΔΟΣΗ:31/01/2012. R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 5 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:3// ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Περικλή Παντούλα) Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
stergiu@otenet.gr Σελίδα από 45 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότερα( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 6 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:// ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση :, με ( ) α. Να δείξετε ότι ( )
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και
Διαβάστε περισσότεραΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )
ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓια παραγγελίες των βιβλίων 2310610920
Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερα1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης
4 o Γενικό Λύκειο Χανίων 008-009 Γ τάξη Τμήμα. Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης γ Ασκήσεις για λύση Μ.. Παπαγρηγοράκης 4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότερα40 επαναληπτικά θέματα
4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
Διαβάστε περισσότερα23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί
Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότερα1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)
9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 15 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΓ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:. 1 Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια
Διαβάστε περισσότερα= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα