ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.

Transcript

1 ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του w είναι η ευθεία (ζ): y 00 = 0. γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του z - w. δ. Αν η ευθεία (ε) του α ερωτήματος είναι πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο, να αποδείξετε ότι f - f lim = - 0

2 ΘΕΜΑ 0 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= -α α -ln+lnα, α>0,>0. i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα λυθεί η εξίσωση - α =α(ln lnα). iii) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. iv) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. v) Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. vi) Aν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α <β, να δείξετε ότι: α-β ln α > β αβ. vii) Για α =, ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f. ) Nα βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης --λ=ln, λ.

3 ΘΕΜΑ 03 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f()= +ln ln(+) και g()=+. A. i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το όριο: lim f. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος ριζών της εξίσωσης f() =0. iii) Να δείξετε ότι η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f και να βρεθεί η θέση της C f σε σχέση με την πλάγια αυτή ασύμπτωτη για. B. i) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία και να βρείτε το όριο: lim g. ii) Να δείξετε ότι η C g έχει την ίδια πλάγια ασύμπτωτη με την C f και να βρεθεί η θέση της C g και της πλάγιας αυτής ασύμπτωτης για. iii) Αν h()=(+)ln(+) - ln, να βρείτε την παράγωγο της h και να βρείτε μια αρχική συνάρτηση της φ()=g() f(). iv) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= 5 ()d. Αν το Ι παριστάνει το εμβαδό ενός χωρίου, να βρείτε από ποιες καμπύλες περικλείεται το χωρίο αυτό.

4 ΘΕΜΑ 04 ο Έστω f, g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο και τέτοιες ώστε να ισχύει: g (0)=0, f(0)=0 και για κάθε g ()<0. Αν f () g ()= 3 ημ () τότε : 6 α) Να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω. β) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο =0. γ) Να δείξετε ότι : f(4 ) +f() < f( ) για κάθε >0. δ) Να λυθεί η εξίσωση f()=0. ε) Aν g(0)=0 να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(λ) που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και τις ευθείες =0, =λ, ( ) λ, λ > 0 και να βρείτε το όριο: lim 0.

5 ΘΕΜΑ 05 ο Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ) με f() = e, f () = e και f() 0 για κάθε. Αν ισχύει f ()f() > f () + f (), για κάθε,τότε : α. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. β. Να δείξετε ότι f() > e, για κάθε >. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. f(t) δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση dt = t στο (,)., έχει μοναδική ρίζα

6 ΘΕΜΑ 06 ο H συνάρτηση f: είναι ζςνεσήρ και για κάθε є, ιζσύει: f() e +f()--=0. A. i) Nα δείξεηε όηι η f ανηιζηπέθεηαι. ii) Nα μελεηήζεηε ηην f ωρ ππορ ηη μονοηονία. iii) Nα λύζεηε ηιρ εξιζώζειρ f- - =0 και f =e. 0 Β. Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη F()= etf(t)dt,. Να μελεηηθεί ωρ ππορ ηην καμπςλόηηηα και ηα ζημεία καμπήρ η ζςνάπηηζη 0 G()= F(t)dt,. Γ. Έζηω ο μιγαδικόρ z є με z = 3 e 0 f d. i) Nα δείξεηε όηι z+ + z-. ii) Aν επιπλέον ιζσύει Im z -z+ =0, να βπεθεί ο z.

7 ΘΕΜΑ 07 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, η οποία είναι τέτοια ώστε: το όριο lim + f() υπάρχει και f() f()+e = (), για κάθε є. Α) i) Να υπολογίσετε το όριο lim + f(). ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +. Β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε την f. ii) Να βρείτε το πρόσημο της f. Αν επιπλέον γνωρίζουμε, ότι η f είναι παραγωγίσιμη. Γ) i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, έστω ε, στο σημείο Α(,f()). ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη ε και την ευθεία με εξίσωση = e +. Δ) i) Να δείξετε ότι: e d. f() ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,e ) τέτοιο ώστε: f( ξ) ln(e ) και στη συνέχεια να υπολογίσετε το ξ.

8 ΘΕΜΑ 08 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f με f()= dt+ f(t) +e 0, є. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Nα βρεθεί η f -. iii) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία = -e. iv) Nα δείξετε ότι = 0 d f() +e -e. 0 3 f f ()+3 - d d. f() +e +e - v) Nα λυθεί η ανίσωση f() -e 0

9 ΘΕΜΑ 09 ο Έστω f :[, ] δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : 0 f για κάθε є[, ] f() = 0, f() =, f () =. Nα δείξετε ότι : i) η f είναι γνησίως μονότονη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. ii) η ευθεία y = εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f. iii) υπάρχει ένα τουλάχιστον o є(, ) με iv) f() -f() - - για κάθε є(, ). v) f() - για κάθε є[, ]. f -. o vi). f()d vii) η ευθεία (ε): + y = τέμνει την γραφική παράσταση της f σε μοναδικό σημείο. viii) υπάρχουν ξ, ξ με ξ < ξ, ώστε : f(ξ )f (ξ )=f (ξ )+. i) Nα γίνει μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

10 - Δίνεται η F()= ΘΕΜΑ 0 ο f(4-t)dt- f(t)dt, όπου f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, με f γνησίως φθίνουσα στο, f () 0 για κάθε και f 5 < 0. i) Να αποδείξετε ότι για την F ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο [, 3]. ii) Αν g()= f 5--f, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. iii) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της F. iv) Να μελετήσετε τα κοίλα της g.

11 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f,f()= +ln- -,0,+ i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f() = 0 καθώς και το σύνολο τιμών της f. ii) Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g,g()= -- - ln-, > 0. iii) Δίνονται οι συναρτήσεις h() = και φ() = ( )(ln ). Nα δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους, έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία. iv) Nα δείξετε ότι : ( )(ln ), για > 0. v) Nα βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης : - - =e, όταν > 0..

12 ΘΕΜΑ ο Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0,+ ) για την οποία ισχύουν : Σας ζητάτε : 3f ()=e, για κάθε > 0, f() = e και f () = 0. i) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι : f()= e. ii) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii) Να δείξετε ότι : e e, για κάθε > 0. iv) Να δείξετε ότι : f(0) + f() > f().

13 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g με ώστε να ισχύουν οι σχέσεις : D =D = και ο μιγαδικός z f g f(0) > g(0) 0 f(t)dt < πg(0)+ g 0, π η g έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο με g 0,, z-00 z-g (00)- e +e = z -g (00)-009 i) Nα δείξετε ότι e +, ii) Nα δείξετε ότι η g είναι κυρτή και να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. iii) Nα δείξετε ότι g() g (0)+g(0), 0, iv) Nα δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ є(0, π) τέτοιο ώστε να ισχύει f(ξ) = g(ξ).,

14 ΘΕΜΑ 4 ο Η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύουν f()-συν lim = 0 f() 0 για κάθε є, τότε : A. Να βρεθούν οι αριθμοί f(0), f (0). Β. Αν για τη συνάρτηση g :, για τυχαίο αλλά σταθερό α є ισχύει g() - α α f(t)dt = f(t)dt, για κάθε є, τότε : i) να λυθεί η εξίσωση g() = 0. ii) να δειχθεί ότι για κάθε >. Γ. Αν για τη συνάρτηση f επιπλέον γνωρίζουμε ότι ισχύουν, f()-f(-)=e - για κάθε є και 3 f()d = e τότε : i) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη o =. ii) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία =.

15 ΘΕΜΑ 5 ο Έστω η συνάρτηση g,g()=e -ln, 0. Nα αποδείξετε ότι : i) η g είναι κυρτή. ii) η g έχει μοναδική ρίζα ξ με 0<ξ<. iii) στο παραπάνω ξ η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. iv) g(ξ) > 0. v) e ln,για κάθε 0.

16 ΘΕΜΑ 6 ο Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύουν : f(0) = 0 και f ()>f () για κάθε > 0. Α. Να αποδείξετε ότι: f () α) η συνάρτηση g()=, > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,. β) η συνάρτηση h(t)= f()t - f(t),t 0 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα 0, με >0. γ) για κάθε >0 υπάρχει ένας τουλάχιστον, ξ 0, τέτοιος ώστε f()= f (ξ) ξ f() Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση φ()= είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (0, ). Γ. Να λύσετε την ανίσωση f()>f( ) στο (0, ).

17 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο (0, + ) για την οποία ισχύει f()= - - f du u u για κάθε > 0. Nα αποδείξετε ότι : A)i) η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) και να βρείτε την f συναρτήσει της f. ii) η συνάρτηση g() = ln + f(), > 0 είναι σταθερή. iii) Nα αποδείξετε ότι f()=ln, > 0. Β) Να βρείτε : i) τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = t, όπου tє(0, ). iii) το όριο lim E(t), όπου Ε(t) το εμβαδόν του (ii) ερωτήματος. t 0 +

18 ΘΕΜΑ 8 ο Α) Να αποδείξετε ότι ένας αριθμός w είναι πραγματικός, αν και μόνον αν ισχύει: w=w. Β) Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z και 4 w = z+ z. i)να αποδείξετε ότι: αν ο αριθμός w είναι πραγματικός, τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, είναι ο κύκλος με εξίσωση z =, εξαιρουμένων δυο σημείων, τα οποία και να προσδιορίσετε. ii) Αν z και z είναι δυο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού z τόπου, τότε να αποδείξετε ότι: = z και =. 4 z 4 z iii) Αν z και z είναι οι μιγαδικοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι: z +z + 4 z z. iv) Αν z, z, z 3 είναι τρεις μιγαδικοί του γεωμετρικού τόπου του i) zz +zz 3 +z3z ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι: =. z +z +z 3

19 ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η συνεχής και - στο (0, + ) συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : f()d= και f()d= 3. i) Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η F. ii) Nα αποδείξετε ότι η F δεν έχει κρίσιμα σημεία. F()= f +t dt, να iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F() = 0 έχει μοναδική ρίζα o є(,3). iv) Nα αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ є(,3) τέτοια ώστε να ισχύει + 3 = - F ξ Fξ. v) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα (3,5).

20 ΘΕΜΑ 0 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= +-ln+, -. i) Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. iii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε α > 0 ισχύει α eα -α ln e +. α+ iv) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ є (-,0) τέτοιο ώστε f e ξ = f(ξ). v) α)να αποδείξετε ότι η παράγουσα της συνάρτησης f,έστω F, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(0, ) είναι η F()= + +-(+)ln(+). β) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = F() f(), είναι γνήσια αύξουσα στο ( -, 0].

21 ΘΕΜΑ ο Έστω z, z οι ρίζες της εξίσωσης z + αz + = 0 με α є(-, ) και w є με w -i.aν ισχύει z w+i +z w-i =0,τότε: A) i) Nα δείξετε ότι α) w+i = και β) w+i = w-i. ii) Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών α) w +-3i β) iw + 03 z B) Aν z u = + z z, να δείξετε ότι u = α. Γ) Aν 4009 v=z wi -, να δείξετε ότι v = - i. Δ) Nα δείξετε ότι w+uv +α.

22 ΘΕΜΑ ο Έστω συνάρτηση f : (0,+ ) παραγωγίσιμη με f συνεχή και f () 0 για κάθε > 0. Δίνεται ακόμα, η συνάρτηση g,g()= f() dt και ότι τα σημεία Α(, ) και Β(,) είναι σημεία - f(t) της γραφικής παράστασης της f. i) Nα βρεθεί η μονοτονία της f και το πεδίο ορισμού της g. ii) Nα μελετηθεί η συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημό της. iii) Aν επιπλέον ισχύει f (f()) =, για κάθε є(0, + ), τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ є (0,) τέτοιο ώστε να ισχύει g ξ=. ξ -

23 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0,+ ) (0,+ ).Yποθέτουμε ότι υπάρχει παράγουσα F της f με την ιδιότητα F()-f() = f () για κάθε є (0,+ ). Nα αποδείξεηε όηι : i) η f είναι γνηζίωρ αύξοςζα. ii) η f είναι κςπηή. iii) lim f()=+. f() lim =. iv)

24 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β є, α >, β > και η συνάρτηση f με τύπο f()= z+i --, 0. Αν για κάθε 0 ισχύει z +β z+i, σας ζητάτε να δείξετε ότι: i) η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση. ii) για τους διάφορους του μηδενός μιγαδικούς α) z z και β) z z-i - z z+i z - z. z = z,z =iz α ισχύει: iii) Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα z, z και υπάρχει μιγαδικός z o τέτοιος ώστε z z +β z z+i. o o

25 ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f -f()=, є και η συνάρτηση F()= f(t)dt - +3 є. Σας ζητάτε : i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν є(0, ) και є(, ) τέτοια ώστε f ( )+f ( )=. ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. iii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = 4 f()d.

26 ΘΕΜΑ 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [0, ] που είναι γνήσια φθίνουσα και ο +if() μιγαδικός w= είναι φανταστικός αριθμός, με την εικόνα Μ(w) +if(0) να ανήκει σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και p =. Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. B) Δείξτε ότι η εξίσωση f() = 3, έχει μοναδική ρίζα στο (0, ). Γ) Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ є(0, ) τέτοιο ώστε 3f(ξ) = 3ξ. Δ) Αν z, z μιγαδικοί που ανήκουν στο σύνολο των εικόνων Μ(z) με z - w = w, να δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του z z είναι το.

27 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [, 8], με συνεχή πρώτη παράγωγο. Για την συνάρτηση f ισχύουν : f() = f(8) + ln6 f - 48 η f δεν παρουσιάζει μέγιστο στο. Να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει μ > τέτοιο ώστε f(μ) > f() και λ> τέτοιο ώστε f 4 λ = - ln. 7 ii) η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο της με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (, 8). iii) υπάρχει o є (, 8) τέτοιο ώστε o iv) υπάρχει ξ є (, 8) τέτοιο ώστε 3f = - 4. o f ξ = - ln. v) υπάρχει ξ є (, 8) τέτοιο ώστε 48f ξ = -ξ.

28 ΘΕΜΑ 8 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύουν : f(0) > -. lim f()= n - f -αf = -α + για κάθε є, με αє. Να αποδείξετε ότι : i) η συνάρτηση g() = f() α διατηρεί πρόσημο στο. ii) f()= ++,. iii) υπάρχει ξ є 7, τέτοιο ώστε f ξ = iv) 0 f + d= -ln -

29 ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,+ ) συνάρτηση f με f(0) = και f (0) = 0 η οποία είναι κυρτή. i) Να δείξετε ότι f() > για κάθε є(0,+ ). ii) Αν g()= f(t)dt -lnf(t)dt με є[0,+ ), να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα [0,+ ). β) e f() > e. f() για κάθε є(0,+ ). γ) f(t)dt lnf(t)dt.

30 ΘΕΜΑ 30 ο Δίνονται δυο μιγαδικοί αριθμοί z, w και η συνάρτηση f με τύπο f = z + - w,. i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι -. iii. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. f = f- έχει μοναδική λύση, τότε: iv. Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση. να υπολογισθεί η διαφορά w - z.. Να αποδειχθεί ότι w+z 4.

31 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση f με τύπο ln ++α, (0,) f = ln, = ln - 5+β, (,) i) Nα βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και να μελετηθεί η f ως προς τη συνέχεια. ii) Nα βρεθεί η παράγωγος της f. iii) Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iv) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της f. v) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη της f. vi) Nα λυθεί η εξίσωση f() = 0. vii) Nα βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f. viii) Nα υπολογίσετε το f()d.

32 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με f: με τύπο: f()= z+w - z-w. z+w 0 και η συνάρτηση A. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f είναι - στο. z-w ii. f -()= + z+w z+w, є. - Β. Αν για κάθε є ισχύει: f()= f (), να δείξετε ότι: iii. zw iv. z w v. zw 3

33 ΘΕΜΑ 33 ο Έστω f, g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα [0, ] τέτοιες ώστε f() > 0, 0< g() <, για κάθε є[0,]. Θεωρούμε τις συναρτήσεις F, G, H με : F()= f(t)dt, G()= g(t)dt και Η()= f(t)g(t)dt, є[0,] α) Να αποδείξετε ότι για κάθε є(0,] ισχύει : H() F()G(). β) Να αποδείξετε ότι για κάθε є(0,) ισχύει : H() H() F() F(). γ) Αν H()+ g(t)f(t)dt =F()+G(), να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ξ є(0,) τέτοιο ώστε : f(ξ) =- -F(ξ) g(ξ) -G(ξ). δ) Να υπολογισθεί το όριο : 0 Η () lim F()G().

34 ΘΕΜΑ 34 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= e, (0,+ ). - α) Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (,f()). γ) Να αποδείξετε ότι f()d. e f() δ) Αν g()= 3 και Ε(t) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g, τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες =, = t, t >, να υπολογισθεί το lim E(t). t+

35 ΘΕΜΑ 35 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει e -- f t+dt 0, για κάθε є. Nα αποδείξετε ότι : 0 α) 0 f(t)dt =. β) η εξίσωση 0 f(t)dt = έχει λύση ξ στο (0, ). γ) η εξίσωση 0 f(t)dt+f()-=0έχει λύση στο (0, ξ).

36 ΘΕΜΑ 36 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = e +. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να υπολογίσετε το f()-+3 lim γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξє(0, ) τέτοιο ώστε f lnξ = f -ξ. δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει f z-i + = e-. ε) Αν οι εικόνες των z, z βρίσκονται στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, τότε να βρείτε το όριο lim z-z -f()+f(-).

37 ΘΕΜΑ 37 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+ ) για την οποία για κάθε >0 ισχύουν f() > 0, f ()+f() = 0 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, ). α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ) και να βρείτε τη συνάρτηση f. - β) Να δείξετε ότι f() < f(t) dt < - t, >. γ) Να βρείτε τη συνάρτηση F() = (+ )f(t)dt, >. t -t δ) Να αποδείξετε ότι e e dt <, για κάθε >.

38 ΘΕΜΑ 38 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f :[α, β] παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο, α β 0, f(α) = β και f () < 0 για κάθε є[α, β]. Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f -. B)Aν η f - είναι συνεχής και ισχύει f(β) β f -(t)dt+ f(t)dt = 0 τότε: f(α) α i) Nα βρείτε το f(β). ii) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ є(α, β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (ξ, f(ξ)) να είναι κάθετη στην ευθεία y =0. Γ) Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει μοναδικό ξ є(α, β) τέτοιο ώστε f(ξ ) = ξ. ii) υπάρχουν κ, λ є(α, β) τέτοια ώστε f (κ). f (λ) =.

39 ΘΕΜΑ 39 ο Δίνεται η συνάρτηση f : συνεχής και γνησίως αύξουσα, με f () 4 για κάθε є και f(0) >. i) Aν g()= -, δείξτε ότι ορίζεται η gof για κάθε є. ii) Mελετήστε ως προς τη μονοτονία την φ()= + - f() e. iii) Δείξτε ότι η εξίσωση e + f() = e f() έχει ακριβώς μια λύση στο. iv) Aν επιπλέον γνωρίζουμε ότι f(g()) = 4 + 9, δείξτε ότι: α) η g αντιστρέφεται. β) η εφαπτόμενη της f στο σημείο της με τετμημένη = 4, είναι παράλληλη της εφαπτομένης της g - στο σημείο της με τετμημένη =.

40 Θεωρούμε τις συναρτήσεις ΘΕΜΑ 40 ο f,g : με συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ++ g = - e + e - + f εφ + για κάθε, τότε : α) Να βρεθεί οι αριθμoί f,f-. f lim = - με. Αν η β) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με -,. τετμημένη 0 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ξ +ξ+ ++ f + ξ - e f ξ + - e για κάθε, -, ώστε να ισχύει.

41 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f = ln+ -,>0. Α. Να αποδείξετε ότι : α) H f αντιστρέφεται. β) Η εξίσωση f = 0 έχει μοναδική λύση. Β. Για το μιγαδικό αριθμό z με z 4+3i ισχύει : ln z - 4-3i = - z - 4-3i. α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων. β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου z - z. γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της εικόνας του μιγαδικού z από το σημείο Ν(-3, -4).

42 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f :[0,+ ) για την οποία ισχύει : f() f()e =, για κάθε є[0,+ ). Να δείξετε ότι: i) 0 f(), για κάθε є[0,+ ). ii) η f είναι συνεχής στο 0. iii) η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. iv) η f είναι γνησίως αύξουσα. v) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+ ) τότε : f() d=e -. +f() 0

43 ΘΕΜΑ 43 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, + ) για την οποία ισχύει f(e) = e και f-f =, 0. α) Να δείξετε ότι f = ln, 0. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες. γ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 0 =e. δ) Αν για το μιγαδικό z ισχύει zzln z =, να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ >.

44 ΘΕΜΑ 44 ο Έστω οι δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το διάστημα [, α], με α є(, + ), για τις οποίες ισχύουν : f() = g() = και f() + g() = α f(t)g(t)dt για κάθε є[, α]. Να αποδείξετε ότι : A. g() = f(). f g =. α- B. υπάρχει o є(, α) τέτοιο ώστε να ισχύει o o Γ. η εξίσωση f()-g() f -g = έχει λύση στο (, α). α- Δ. η εξίσωση f()- = α-3 έχει λύση στο (, α). α- Ε. α 3. α Στ. f()+g() d 4

45 ΘΕΜΑ 45 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει : f() f()+e =+,. i) Nα δείξετε ότι e + για κάθε є. ii) Nα δείξετε ότι f() για κάθε є και lim f()= -. - iii) Nα δείξετε ότι f() ln + για κάθε > - και lim f()=+. iv) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. v) Να βρείτε την f () και το πρόσημό της για κάθε є. vi) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. vii) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(0, f(0)). viii) Nα δείξετε ότι f () f() για κάθε 0. i) Nα αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε την f - καθώς και την τιμή f(e). ) Αν α, β є με α < β, να βρείτε τα όρια lim f +β-f +α, lim f +β-f +α -

46 ΘΕΜΑ 46 ο Έστω f, συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία f()-3 lim = -4 και f 0,για κάθε. - ισχύουν Αν f(3) =, τότε : α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(, f()). β) να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός στο διάστημα (, 3), στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. γ) να δείξετε ότι η εξίσωση f5-4 + στο διάστημα (0, ). = f -f() έχει μοναδική ρίζα

47 ΘΕΜΑ 47 ο Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα (0, + ) ώστε : η συνάρτηση g διατηρεί πρόσημο στο (0, + ). η γραφική παράσταση της g δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη, αλλά έχει κατακόρυφη τον άξονα y y. - g() -, 0. A) Nα αποδείξετε ότι : α) g () = β) η g έχει σύνολο τιμών το. Β) Έστω ακόμα η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύει : f g()+ =e g()-, 0. Nα αποδείξετε ότι : α) f () = 0 και f() = -e. β) lim f()+e - e - = e. γ) η εξίσωση f()+f ()-f ()=0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (, ).

48 ΘΕΜΑ 48 ο Έστω μια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [0, ] με f(0) > 0. Ορίζουμε τις συναρτήσεις : t t F()= f(t)e dt και G()= e dt για κάθε є [0, ]. 0 0 Α) Nα δείξετε ότι : α) F() > 0 για κάθε є (0, ]. F() F() β) f()g() F() και για κάθε G() G() є (0, ). f(ξ γ) υπάρχουν ξ, ξ є (0, ) με )G(ξ ) e F(ξ ) ξ -ξ. δ) αν e + για κάθε є, τότε G()d+ e Β) Αν επιπλέον ισχύει της συνάρτησης f. 4 f -e f d=e-, τότε να βρεθεί ο τύπος

49 ΘΕΜΑ 49 ο Δίνεται η συνάρτηση F() = t+lnt dt, 0 < α < α +t. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F, να αιτιολογήσετε ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την παράγωγό της.. β) Δείξτε ότι η F έχει μοναδική ρίζα ξ με ξ, Βρείτε και το πρόσημο της F στα διαστήματα (0, ξ), (ξ,+ ). γ) Να αποδείξετε ότι F() - F = ln, > 0. δ) Δείξτε ότι η εξίσωση F() = 0 έχει ακριβώς δύο διαφορετικές ρίζες από τις οποίες η μία βρίσκεται στο διάστημα,. ε) Να βρείτε το t+lnt lim (e - ) dt. 0 +t

50 ΘΕΜΑ 50 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f()= + f(t -)dt, για κάθε є. α) Να δείξετε ότι f()=e. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συντεταγμένων. h()= f t dt και τους άξονες + γ) Θεωρούμε και την συνάρτηση g()= f t dt,. ) Να δείξετε ότι η g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα ( -, 0 ). ) Να δείξετε ότι g() > 0 και να βρείτε το όριο δ) Να δείξετε ότι i) - lng() lim. + lim e h() =0 lim h()= - ii) - - ε) Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.