Εισαγωγή στον Αυτόματο Ελεγχο( )

Transcript

1 Εισαγωγή στον Αυτόματο Ελεγχο( ) Παραδόσεις Μαθήματος Παράδοση 1: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας ΕΜΠ/Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών 1 Νοεμβρίου 29 Παράδοση 1: 1/11/9 1/

2 Απόκριση Συχνότητας Περιεχόμενα Εισαγωγή Απόκριση συχνότητας Διαγράμματα Bode Διαγράμματα Bode βασικών παραγόντων Κανόνες χάραξης διαγραμμάτων Bode Βιβλιογραφία Παράδοση 1: 1/11/9 2/

3 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Απόκριση συχνότητας(frequency Response): απόκριση μόνιμης κατάστασης συστήματος, με ημιτονοειδή είσοδο σταθερού πλάτους, με μεταβαλλόμενη συχνότητα Πλεονεκτήματα: Επιτρέπει διερεύνηση απόλυτης και σχετικής ευστάθειας γραμμικών συστημάτων κλειστού βρόχου με γνώση χαρακτηριστικών απόκρισης συχνότητας ανοιχτού βρόχου Κατά τη χρήση κριτηρίου ευστάθειας, δεν απαιτείται προσδιορισμός ριζών χαρακτηριστικής εξίσωσης Συχνά η συνάρτηση μεταφοράς σύνθετων συστημάτων βρίσκεται πειραματικά με μέτρηση απόκρισης συχνότητας Παράδοση 1: 1/11/9 3/

4 Απόκριση Συχνότητας G = 2 1.5s+1,u = sin(3 t) 1.8 Sinusoid input Response Παράδοση 1: 1/11/9 4/

5 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Κατά τη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου με απόκριση συχνότητας, η αποδεκτή συμπεριφορά χρονικής απόκρισης επιτυγχάνεται με κριτήρια σχεδίασης στο πεδίο συχνότητας Η ανάλυση συστημάτων ελέγχου με απόκριση συχνότητας χαρακτηρίζεται από γραφικές τεχνικές, με τις οποίες διερευνώνται οι απαραίτητες τροποποιήσεις της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου, εξασφαλίζοντας επιθυμητή απόκριση του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου Παράδοση 1: 1/11/9 5/

6 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Θεωρούμε την είσοδο x(t), την έξοδο y(t) και τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) Σαν είσοδο θεωρούμε ημιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι x(t) = Xsinωt (1) G(s) = P(s) q(s) = P(s) (s + p 1 )(s + p 2 )...(s + p n ) (2) Ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου είναι Y (s) = G(s)X(s) = P(s) q(s) X(s) Y (s) = P(s) q(s) ωx s 2 + ω 2 (3) Παράδοση 1: 1/11/9 6/

7 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Με αντίστροφο Laplace έχουμε y(t) = αe jωt + α e jωt + β 1 e s 1t + β 2 e s 2t β n e snt (4) Σεευσταθέςσύστημα,οι s 1,s 2,...s n έχουναρνητικόπραγματικό μέροςκαιγια t οιόροι e s 1t,e s 2t,...,e snt τείνουνστομηδέν Επομένως η απόκριση μόνιμης κατάστασης γίνεται y(t) = αe jωt + α e jωt (5) Παράδοση 1: 1/11/9 7/

8 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Τελικά η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται G(jω) = G(jω) e jφ (6) Η συνάρτηση μεταφοράς Γ παριστάνεται από το μέτρο και τη γωνία φάσης, με παράμετρο τη συχνότητα ω G είναιτομέτροκαι φείναιηγωνίατης G φ = tan 1 { Im(G(jω)) Re(G(jω)) } (7) αρνητική γωνία φάσης λέγεται υπολειπόμενη φάση(lag), θετική γωνία φάσης λέγεται προπορευόμενη φάση(lead) Παράδοση 1: 1/11/9 8/

9 Απόκριση Συχνότητας Ορισμοί Προκύπτει έτσι για την απόκριση y(t) = X G(jω) sin(ωt + φ) = Y sin(ωt + φ) (8) Δηλαδή όταν ένα ευσταθές γραμμικό σύστημα δεχθεί ημιτονοειδή είσοδο, η έξοδος στην μόνιμη κατάσταση θα είναι ημιτονοειδής, με την ίδια συχνότητα της εισόδου και διαφορετικό εύρος Παράδοση 1: 1/11/9 9/

10 Απόκριση Συχνότητας Παράδειγμα Εχουμε συνάρτηση μεταφοράς το σύστημα πρώτης τάξης G(jω) = K 1 + Ts (9) Σαν είσοδο θεωρούμε ημιτονοειδή συνάρτηση Σαν έξοδο θα έχουμε G = K 1 + jωt x(t) = Xsinωt (1) = K(1 jωt) 1 + T 2 ω 2 = K 1 + T 2 ω 2 j KTω 1 + T 2 ω 2 (11) Παράδοση 1: 1/11/9 1/

11 Απόκριση Συχνότητας Παράδειγμα Ολόγοςεύρουςεξόδουπροςτοεύροςεισόδουθαείναι G = K 1 + ω 2 T 2 (12) Ηγωνίαφάσηςθαείναι φ = arctan(tω) (13) Σημείωση: για μιγαδικούς ισχύουν: p G = a 2 + b 2, tan(φ) = b/a (14) Παράδοση 1: 1/11/9 11/

12 Απόκριση Συχνότητας Διαγράμματα Bode Μία ημιτονοειδής συνάρτηση μεταφοράς G(s) παριστάνεται με το διάγραμμα Bode Διαγράμματα Bode: δύο διαγράμματα, με το λογάριθμο του μέτρουκαιτηγωνίαφάσης,σεσυνάρτησημετησυχνότηταστον οριζόντιο άξονα Λογάριθμοςτουμέτρου,μεβάσητο1: 2log G(jω) Η μονάδα παράστασης του μέτρου λέγεται decibel (db) Κλίμακες στα διαγράμματα Bode: λογαριθμική για μέτρο και συχνότητα και γραμμική για φάση H. Bode ( ), engineer. Among his several important contributions to circuit theory and control theory, while working at Bell Labs in USA in the 193s, devised a simple but accurate method for graphing gain and phase-shift plots Παράδοση 1: 1/11/9 12/

13 Απόκριση Συχνότητας k = 1; tau = 2; zeta =.2; G = tf (k, [tau tau 2 zeta tau 1]); bode(g) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 13/

14 Απόκριση Συχνότητας Πλεονέκτημα διαγραμμάτων Bode Το γινόμενο των μέτρων γίνεται άθροιση Με χρήση ευθύγραμμων ασυμπτότων, προσεγγίζονται οι καμπύλες του μέτρου Η λογαριθμική παράσταση επιτρέπει απεικόνηση συμπεριφοράς της συνάρτησης μεταφοράς σε χαμηλές και υψηλές συχνότητες Είναι εύκολη η απεικόνηση πειραματικού προσδιορισμού μιας συνάρτησης μεταφοράς, αρκεί να παρασταθούν τα δεδομένα σε λογαριθμικό διάγραμμα Παράδοση 1: 1/11/9 14/

15 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Βασικοί Παράγοντες Παράγοντας Κέρδους K ΠαράγονταςΟλοκλήρωσης (1/jω) n ΠαράγονταςΠαραγώγισης (jω) n ΠαράγονταςΠρώτηςτάξης (1 + jωt) ±1 ΠαράγονταςΔεύτερηςτάξης ((jω) 2 + 2ζjω + ω 2 )/ωn 2 Παράδοση 1: 1/11/9 15/

16 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγοντας κέρδους Κ Η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου Κ είναι οριζόντια ευθεία, με τιμή 2 logk, (db) (15) Γιατιμέςτου K > 1,προκύπτουνθετικέςτιμές decibels,γιατιμές του K < 1, προκύπτουν αρνητικές τιμές decibels Η μεταβολή του κέρδους προκαλεί μετατόπιση(πάνω/κάτω) της λογαριθμικής καμπύλης, ενώ δεν έχει καμμία επίδραση στη γωνία φάσης Παράδοση 1: 1/11/9 16/

17 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγοντας κέρδους Κ K = 1;dB = 2 log1(k); bode(k) 4 35 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 17/

18 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςολοκλήρωσης (1/jω) n Ηλογαριθμικήκαμπύλητουμέτρουτου (1/jω) n είναιευθεία γραμμή, με κλίση 1 2log = n 2 logω,(db) (16) (jω) n Ηγωνίαφάσηςείναισταθερήκαιίσημε 9 n Οι λόγοι συχνότητας εκφράζονται σε δεκάδες (ω 1ω) και οκτάβες (ω 2ω) Λογαριθμικό μέτρο: ευθεία κλίσης 2n db/δεκάδα Παράδοση 1: 1/11/9 18/

19 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςολοκλήρωσης (1/jω), (1/jω) 2 G = tf (1,[1 ]); G = tf (1,[1 ]); bode(g) 4 Bode Diagram 3 1/s 2 Magnitude (db) /s Phase (deg) 135 1/s 1/s Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 19/

20 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπαραγώγισης (jω) n Ηλογαριθμικήκαμπύλητουμέτρουτου (jω) n είναι 2log jω n = n 2 logω,(db) (17) Ηγωνίαφάσηςείναισταθερήκαιίσημε 9 n Λογαριθμικό μέτρο: ευθεία κλίσης 2n db/δεκάδα Παράδοση 1: 1/11/9 2/

21 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγοντας παραγώγισης (jω) G = tf ([1 ],1) bode(g) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 21/

22 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπρώτηςτάξης (1 + jωt) ±1 Η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου του 1 1+jωT είναι 1 2log 1 + jωt = 2log 1 + ω 2 T 2 (db) (18) Για χαμηλές συχνότητες, ω << 1/T, η καμπύλη λογαριθμικού μέτρουείναιηοριζόντιαγραμμήdb Για υψηλές συχνότητες, ω >> 1/T, η καμπύλη λογαριθμικού μέτρου προσεγγίζεται από ευθεία κλίσης 2log ωt δηλ. 2dB/δεκάδα Η τομή των δύο ευθειών γίνεται στη συχνότητα θλάσης(corner frequency) 1/T Η συχνότητα θλάσης χωρίζει την καμπύλη απόκρισης σε περιοχή χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων Παράδοση 1: 1/11/9 22/

23 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπρώτηςτάξης (1 + jωt) 1 G = tf (1,[1 1]); bode(g) 1 Bode Diagram Magnitude (db) asymptote db corner frequency =1/T asymptote 2 db/dec Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 23/

24 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπρώτηςτάξης (1 + jωt) ±1 Το μέγιστο σφάλμα μεταξύ ασυμπτότων και ακριβούς καμπύλης είναι-3 db Η γωνία φάσης είναι φ = tan 1 ωt (19) Για ω =,ηγωνίαφάσηςείναι,για ω = 1/T,ηγωνίαφάσης είναι 45 καιγια ω =,ηγωνίαφάσηςείναι 9 Η συνάρτηση μεταφοράς 1/(1 + jωt) έχει χαρακτηριστικά βαθυπερατού φίλτρου( low-pass filter) Δηλ. για συχνότητες > 1/T, το λογαριθμικό μέτρο μειώνεται ταχύτατα και τείνει στο Ετσι η έξοδος ακολουθεί πιστά είσοδο χαμηλής συχνότητας, ενώ στις υψηλές συχνότητες, το εύρος εξόδου πλησιάζει το μηδέν και η γωνίαφάσηςγίνεται 9 Παράδοση 1: 1/11/9 24/

25 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπρώτηςτάξης (1 + jωt) Το διάγραμμα Bode προκύπτει με αλλαγή προσήμου του μέτρου και της γωνίας φάσης Ηγωνίαθλάσηςείναιηίδια Παράδοση 1: 1/11/9 25/

26 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςπρώτηςτάξης (1 + jωt) 4 Bode Diagram 3 Magnitude (db) asymptote db 3 db asymptote 2 db/dec corner frequency Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 26/

27 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςδεύτερηςτάξης [( jω ω n ) 2 + 2ζ( jω ω n ) + 1] ±1 Η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι G(jω) = 1 (1 u 2 ) 2 + (2ζu) 2, u = ω/ω n (2) Γιαχαμηλέςσυχνότητες, ω << ω n,ηκαμπύληλογαριθμικού μέτρουείναιηοριζόντιαγραμμήdb Γιαυψηλέςσυχνότητες, ω >> ω n,ηκαμπύληλογαριθμικούμέτρου προσεγγίζεται από ευθεία κλίσης 4 db/δεκάδα Ητομήτωνδύοευθειώνγίνεταιστησυχνότητα ω n (ω n =φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση) Η γωνία φάσης είναι φ = tan 1 {(2ζu)/(1 u 2 )} (21) Παράδοση 1: 1/11/9 27/

28 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςδεύτερηςτάξης [( jω ω n ) 2 + 2ζ( jω ω n ) + 1] 1 Στηνπερίπτωσηπουτομέτροεμφανίζειμέγιστοστησυχνότητα ω r, αυτή λέγεται συχνότητα συντονισμού Ισχύει ω r = ω n 1 2ζ 2 Ησυχνότητα ω r είναιπραγματικήποσότητα,άραισχύειμόνογια ζ.77 Ανισχύει ζ >.77,τότεείναι ω r = και δεν υπάρχει μέγιστο συντονισμού στην καμπύλη μέτρου ΗτιμήΜέτρουσυντονισμού M r,για ζ.77είναι M r = 1 2ζ 1 ζ 2 Για ζ >.77προκύπτειότι M r = 1 Το M r είναισυνάρτησητου ζ,ενώηω r εξαρτάταιαπότα ζ,ω n Οταντο ζ,το M r Παράδοση 1: 1/11/9 28/

29 Διάγραμμα Bode Βασικών Παραγόντων Παράγονταςδεύτερηςτάξης [( jω ω n ) 2 + 2ζ( jω ω n ) + 1] 1 G = tf (1,[1 2 zeta 1 1]); bode(g) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 29/

30 Διάγραμμα Bode Κανόνες χάραξης διαγραμμάτων Bode Η συνάρτηση μεταφοράς G(s)H(s) πρέπει να έχει τη μορφή G(s)H(s) = K(1 + T 1s)...(1 + T m s) s p (1 + T a s)...(1 + T n s) (22) Βρίσκουμε τα σημεία θλάσης κάθε βασικού παράγοντα Χαράζουμε τις ασύμπτωτες του λογαριθμικού μέτρου μεταξύ των σημείων θλάσης με την κατάλληλη κλίση Αν απαιτείται χαράζουμε τις ακριβείς καμπύλες, με τις διορθώσεις στα σημεία θλάσης Ητελικήκαμπύλητουμέτρουκαιτηςγωνίαςπροκύπτειαπότο αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους καμπυλών Μας ενδιαφέρει η γενική μορφή του διαγράμματος, με ελάχιστο ποσό υπολογισμών Παράδοση 1: 1/11/9 3/

31 Διάγραμμα Bode, Παράδειγμα Magnitude (db) r/s Bode Diagram 5 r/s G 5 1/s 1/.5s+1 1/(.4s s+1) Συνάρτηση μεταφοράς G(s) = = 1 s(s + 2)(4s s + 1) (23) 5 s(.5s + 1)(.4s s + 1) (24) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Σημεία θλάσης 1/.5 = 2rad/s και 1/ω 2 n =.4 ω2 n = 5rad/s Παράδοση 1: 1/11/9 31/

32 Διάγραμμα Bode, Παράδειγμα Magnitude (db) r/s Bode Diagram 5 r/s G 5 1/s 1/.5s+1 1/(.4s s+1) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 32/

33 MATLAB για το Παράδειγμα % plots bode diagram for example page 11-28, krikelis % 25/11/28, g. papalambrou % filename: krikelis_p11-28_bode.m % % double-click graph axes to open property editor, then change magnitude units to db, % limits from +2 to -5 db, and frequency from 1 to 1 r/s % plot bode for G transfer function g=tf([ 1],[conv([ 1 ],conv([ 1 2 ],[ ]) )] ) bode(g); hold on % bode for gain 5 bode(tf([5],[1])); hold on % bode for 1/s bode(tf([ 1],[1 ])); hold on % bode for 1/(.5s+1) bode(tf([ 1],[.5 1])); hold on % bode for 1/(.4s^2+.12s+1) bode(tf([ 1],[ ])); hold on legend( G, 5, 1/s, 1/.5s+1, 1/(.4s^2+.12s+1) ) Παράδοση 1: 1/11/9 33/

34 Συστήματα Ελάχιστης/Μη Ελάχιστης Φάσης Συστήματα Ελάχιστης Φάσης(mimimum phase): χωρίς μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο ή νεκρούς χρόνους(time delays) Συστήματα Μη-Ελάχιστης Φάσης(Non-mimimum phase): έχουν μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο ή νεκρούς χρόνους Εχουν ίδια χαρακτηριστικά μέτρου, διαφέρουν στη γωνία φάσης Magnitude (abs) Bode Diagram s 1/s+1 s+1/s+1 18 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 34/

35 Συστήματα Ελάχιστης/Μη Ελάχιστης Φάσης Για τα συστήματα Μη-Ελάχιστης Φάσης, υπάρχει καθυστέρηση στη απόκριση λόγω ελλατωματικής συμπεριφοράς κατά την έναρξη ή έναρξη στην μεταβατική απόκριση με φορά αντίθετη προς την είσοδο, που ενδεχόμενα επανέρχεται σε ορθή Κατά το σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου, διατάξεις Μη-Ελάχιστης Φάσης πρέπει να αποφεύγονται σχολαστικά Step Response s/1+.5s 1+s/1+.5s 1.5 Amplitude Time (sec) Παράδοση 1: 1/11/9 35/

36 Συστήματα με Νεκρό Χρόνο ΣυστήματαμεΝεκρόΧρόνο:περιλαμβάνουνπαράγοντα G = e sτ Λέγονται επίσης και Συστήματα με καθυστέρηση διακίνησης (transportation delay) Τομέτροτουπαράγοντααυτούείναιίσομετηνμονάδα( db) Η φάση μεταβάλεται γραμμικά με την συχνότητα s = tf ( s ); P = 5 exp( 3.4 s); bode(p) Bode Diagram 3 25 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 36/

37 Περιθώρια Κέρδους, Φάσης Δύο όροι που περιγράφουν το περιθώριο ευστάθειας ενός συστήματος G(s)H(s) είναι το περιθώριο κέρδους και το περιθώρριο φάσης Χρησιμοποιούμε το λογαριθμικό διάγραμμα(bode) της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου L=G(s)H(s) Παράδοση 1: 1/11/9 37/

38 Περιθώριο Κέρδους Περιθώριοκέρδους- Gain Margin (GM) GM = 1 G(s)H(s), ω 18 (25) δηλαδή ο παράγοντας που πολλαπλασιάζεται με το κέρδος G(jω 1 )H(jω 1 ) γιαναδώσειγινόμενοίσομε1,με ω 1 τησυχνότηταπου αντιστοιχείσεγωνίαφάσηςφ= 18 5 Bode Diagram Gm = 32.5 db (at 3.16 rad/sec), Pm = 86.5 deg (at.999 rad/sec) Magnitude (db) 5 1 1/GM 15 9 PM Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 38/

39 Περιθώριο Κέρδους-2 Για θετικό περιθώριο κέρδους, το σύστημα είναι ευσταθές Για αρνητικό περιθώριο κέρδους, το σύστημα είναι ασταθές Σε ευσταθή συστήματα, δείχνει πόσο μπορεί να αυξηθεί το κέρδος πρωτού το σύστημα γίνει ασταθές Σε ασταθή συστήματα, δείχνει πόσο πρέπει να μειωθεί το κέρδος για να γίνει το σύστημα ευσταθές Επαρκές περιθώριο κέρδους: GM > 2 db Παράδοση 1: 1/11/9 39/

40 Περιθώριο Φάσης Περιθώριο φάσης- Phase Margin (PM) PM = L(jω) + 18 (26) δηλαδή η καθυστέρηση φάσης που όταν εισαχθεί στη συχνότητα όπου είναι G(jω 1 )H(jω 1 ) = 1,οδηγείτοσύστημαστηνευστάθεια 5 Bode Diagram Gm = 32.5 db (at 3.16 rad/sec), Pm = 86.5 deg (at.999 rad/sec) Magnitude (db) 5 1 1/GM 15 9 PM Phase (deg) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 4/

41 Περιθώριο Φάσης-2 Για θετικό περιθώριο φάσης, το σύστημα είναι ευσταθές Για αρνητικό περιθώριο φάσης, το σύστημα είναι ασταθές Σε ευσταθή συστήματα, δείχνει πόσο μπορεί να αυξηθεί η καθυστέρηση φάσης πρωτού το σύστημα γίνει ασταθές Σε ασταθή συστήματα, δείχνει πόσο πρέπει να μειωθεί η καθυστέρηση φάσης για να γίνει το σύστημα ευσταθές Επαρκέςπεριθώριοφάσης: PM > 3 Παράδοση 1: 1/11/9 41/

42 Παρατηρήσεις για τα GM,PM Η γνώση μόνο τους ενός περιθωρίου, δεν επαρκεί για το καθορισμό της σχετικής ευστάθειας Για να είναι σύστημα ελάχιστης φάσης ευσταθές, πρέπει και τα δύο περιθώρια νά είναι θετικά Μετιμές GM > 2 db, PM > 3,τασυστήματαελάχιστηςφάσης παρουσιάζουν ανοχή στη μεταβολή κέρδους ανοιχτού βρόχου ή χρονικών σταθερών των παραγόντων του συστήματος Στο MATLAB χρησιμοποιούμε τις εντολές bode(sys) για το λογαριθμικό διάγραμμα και margin(sys) για τον υπολογισμό και απεικόνιση των GM,PM Παράδοση 1: 1/11/9 42/

43 Εύρος Ζώνης Εύρος Ζώνης(Bandwidth-BW): η συχνότητα στην οποία το μέτρο της G(s)μειώνεταικατά3dBή7.7%,σεσχέσημετηντιμήτου μέτρου στη συχνότητα μηδέν Εύρος ζώνης(bw): ένδειξη ταχύτητας απόκρισης ενός συστήματος ελέγχου Bode Diagram Magnitude (db) System: ss_ol Frequency (rad/sec): 1 Magnitude (db): 3.1 G(s) = 1 (27) s + 1 bw = bandwidth(sys) (28) = 9.98rad/s (29) Frequency (rad/sec) Παράδοση 1: 1/11/9 43/

44 Εύρος Ζώνης Η συχνότητα αυτή λέγεται συχνότητα αποκοπής(cut off frequency) ω c Μεγάλο BW αντιστοιχεί σε μικρό χρόνο ανύψωσης Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) 1 1/s+1 1/1s Frequency (rad/sec) Step Response 1 Amplitude /s+1 1/1s Time (sec) Παράδοση 1: 1/11/9 44/

45 Συναρτήσεις Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου Συνάρτησημεταφοράςβρόχου-loop transfer function Συνάρτηση ευαισθησίας-sensitivity function L(s) = G K (3) S(s) = (1 + L) 1 (31) Συνάρτηση συμπληρωματικής ευαισθησίας-complementary sensitivity function Ισχύει ότι T(s) = (1 + L) 1 L (32) S + T = 1 (33) Παράδοση 1: 1/11/9 45/

46 MATLAB για τις συναρτήσεις μεταφοράς κλειστού βρόχου G=tf([4],[ ]); % Plant K = tf([ ],[1.5 ]); % PI-controller L = G*K; % Loop Gain S = 1/(1+L); % Sensitivity T = 1-S; % Complementary Sensitivity Παράδοση 1: 1/11/9 46/

47 Συναρτήσεις Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου-Bode της G Magnitude T S L Phase PhaseT PhaseS PhaseL Frequency Παράδοση 1: 1/11/9 47/

48 Βιβλιογραφία Κρικέλης Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Ελεγχο, Παπασωτηρίου, Κεφ. 11: Απόκριση Συχνότητας Παράδοση 1: 1/11/9 /