Περιεχόμενα Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς. με ολοκληρωτική συμπεριφορά... 37

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς. με ολοκληρωτική συμπεριφορά... 37"

Transcript

1 Περιεχόμενα 3 Διερεύνηση της Ευστάθειας Γραμμικών Συστημάτων 3. Γενικά περί ευστάθειας συστημάτων Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz-Routh Τόπος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου Διερεύνηση χαρακτηριστικής εξίσωσης Κανόνες για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών Σχεδιασμός τόπου ριζών Επίδραση των χαρακτηριστικών του ρυθμιστή στον τόπο ριζών Λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode) Γενικά Λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς Στοιχεία μεταφοράς με καθυστέρηση Λογαριθμική συχνοτική απόκριση στοιχείου μεταφοράς με ολοκληρωτική συμπεριφορά Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με διαφορική συμπεριφορά χωρίς καθυστέρηση Λογαριθμική συχνοτική απόκριση της ανατροφοδότησης με απόσβεση (υποχωρητική ανατροφοδότηση) Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του διαφορικού στοιχείου με καθυστέρηση ης τάξης Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με ταλάντωση Λογαριθμική συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με νεκρό χρόνο Το διάγραμμα Nichols Εφαρμογή των λογαριθμικών συχνοτικών αποκρίσεων για τη διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων αυτόματης ρύθμισης Γενικά i

2 Επέκταση του κριτηρίου Nyquist Εφαρμογή του κριτηρίου Nyquist για τις λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις Παραδείγματα σε Matlab Ασκήσεις κεφαλαίου Βιβλιογραφία Κεφαλαίου ii

3 Διερεύνηση της Ευστάθειας Γραμμικών Συστημάτων 3 3. Γενικά περί ευστάθειας συστημάτων Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε ένα από τα βασικά προβλήματα της ανατροφοδότησης, το πρόβλημα της ευστάθειας. Είναι γνωστό ότι μια φυσική διεργασία που παρουσιάζεται ως ευσταθής χωρίς ρύθμιση, είναι ενδεχόμενο να δώσει ένα ασταθές σύστημα αν δεν επιλεγεί το κατάλληλο σύστημα ρύθμισης. Αρχικά θα πρέπει να διευκρινίσουμε τι εννοούμε με τον όρο «ευσταθές σύστημα». Ένα σύστημα λέγεται ευσταθές όταν μετά την επιβολή μιας παροδικής διαταραχής (π.χ. παλμικής) η έξοδος επανέρχεται με την πάροδο του χρόνου στην αρχική της τιμή. Χαρακτηριστική μορφή απόκρισης συστημάτων δίνεται στο σχήμα 3.i και 3.ii. Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές πρέπει όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (πόλοι του συστήματος) να βρίσκονται αριστερά από τον άξονα των φανταστικών αριθμών στο πεδίο s, να έχουν δηλαδή αρνητικό πραγματικό μέρος. Αυτό ισχύει για τις καμπύλες 3.i και 3.ii του σχήματος 3., όπου η μεν καμπύλη 3.i είναι χαρακτηριστική του συστήματος με πραγματικές ρίζες, ενώ η καμπύλη 3.ii είναι χαρακτηριστική του συστήματος που περιλαμβάνει και μιγαδικές ρίζες (σύστημα με υποαπόσβεση). Η καμπύλη 3.iii είναι χαρακτηριστική συστήματος που περιλαμβάνει ένα πόλο στην αρχή των αξόνων (σημείο s = 0), οπότε μετά από μια αιφνίδια και στιγμιαία (παλμική) διαταραχή η ισορροπία αποκαθίσταται σε μια νέα τιμή. Το σχήμα 3.iv είναι χαρακτηριστικό συστήματος που περιλαμβάνει και πόλους στον άξονα των

4 Ενότητα 3. 2 φανταστικών αριθμών (σημείο s = ±jω). Τα συστήματα των σχημάτων 3.iii και 3.iv λέγονται οριακά ευσταθή (marginally stable). Ένα σύστημα είναι ασταθές όταν έστω και ένας πόλος βρίσκεται στο δεξί μισό του πεδίου s. Ο πόλος αυτός δίνει έναν εκθετικό όρο (e at ), ο οποίος όσο μικρό συντελεστή και αν έχει αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο, με τελική τιμή της x(t) το άπειρο. Σχήμα 3.: Χαρακτηριστικές καμπύλες απόκρισης σε παλμική διαταραχή διαφόρων συστημάτων. x(t) x(t) t t x(t) (i) x(t) (ii) t t x(t) (iii) x(t) (iv) t t (v) (vi) 3.i & 3.ii ευσταθή συστήματα-ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος. 3.iii & 3.iv οριακά ευσταθή συστήματα-ρίζες με μηδενικό πραγματικό μέρος. 3.v & 3.vi ασταθή συστήματα-ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος.

5 Ενότητα 3. 3 Το σχήμα 3.v παριστάνει σύστημα με πραγματική θετική ρίζα (ή ρίζες) ενώ το σχήμα 3.vi παριστάνει σύστημα με συζυγείς μιγαδικές ρίζες με πραγματικό θετικό μέρος. Συνοψίζοντας σχετικά με την ευστάθεια και γενικότερα τη μεταβατική συμπεριφορά των συστημάτων μπορούμε να αναφέρουμε ότι: Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν δεν υπάρχει καμία ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης με θετικό πραγματικό μέρος. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες έχουν σαν αποτέλεσμα την εμφάνιση ταλάντωσης που αποσβένεται τόσο πιο γρήγορα όσο μεγαλύτερο, κατ απόλυτη τιμή, είναι το πραγματικό μέρος των ριζών. Η συχνότητα των ταλαντώσεων καθορίζεται από το φανταστικό μέρος των ριζών. Όταν το πραγματικό μέρος των ριζών γίνεται μηδέν, όταν δηλαδή οι ρίζες βρίσκονται πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών τότε το σύστημα παρουσιάζει ταλαντώσεις σταθερού εύρους χωρίς απόσβεση. Το σύστημα στην περίπτωση αυτή λέγεται οριακά ευσταθές. Όταν το φανταστικό μέρος δύο συζυγών μιγαδικών ριζών γίνει μηδέν, όταν δηλαδή το σύστημα έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες, δεν παρουσιάζει πλέον ταλαντώσεις. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση. Για απόσβεση μεγαλύτερη από την κρίσιμη το σύστημα έχει ρίζες πραγματικές, αρνητικές και άνισες. Το σύστημα είναι τότε υπεραποσβενούμενο, δεν παρουσιάζει δηλαδή ταλαντώσεις αλλά αποκρίνεται βραδύτερα στις διαταραχές από ότι το αντίστοιχο σύστημα με υποαπόσβεση. Σ ένα σύστημα ρύθμισης οι τιμές που παίρνουν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης εξαρτώνται από τις παραμέτρους του ρυθμιστή. Για ένα σύστημα π.χ. που αποτελείται από τρεις βαθμίδες A τάξης σε σειρά με αναλογικό ρυθμιστή η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή: K + (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) = 0 (3.) Όπου K παριστάνει την ολική ενίσχυση του σήματος όταν αυτό διέρχεται από τον ρυθμιστικό βρόχο την οποία και μπορούμε να μεταβάλλουμε εκλέγοντας την κατάλληλη τιμή του συντελεστή αναλογικότητας K c.

6 Ενότητα 3. 4 Για μικρές τιμές του K το σύστημα έχει τρεις πραγματικές ρίζες και παρουσιάζει υπεραπόσβεση, δηλαδή μετά την επιβολή μιας παλμικής διαταραχής επανέρχεται στην ισορροπία χωρίς ταλαντώσεις. Για μεγαλύτερες τιμές του K το σύστημα αρχίζει να παρουσιάζει ταλαντώσεις, που σημαίνει ότι υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Όσο αυξάνει το K, οι ταλαντώσεις γίνονται εντονότερες δηλαδή μικραίνει ο λόγος του πραγματικού μέρους προς το φανταστικό μέρος των ριζών. Η κρίσιμη τιμή του K, δηλαδή η τιμή πάνω από την οποία το σύστημα γίνεται ασταθές, αντιστοιχεί σε ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών, οπότε το σύστημα βρίσκεται στο όριο ευστάθειας και παρουσιάζει ταλαντώσεις σταθερού εύρους. Η κρίσιμη τιμή μπορεί να υπολογιστεί αν γράψουμε την εξίσωση (3.) στη μορφή: K + (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) = (T s + ) [ (s + α) 2 + ω 2] όπου α παριστάνει το πραγματικό και ω το φανταστικό μέρος των ριζών. Στη συνέχεια υπολογίζεται το α ως συνάρτηση των K, T, T 2, T 3 και εξισώνεται με μηδέν. Αν είναι γνωστά τα T, T 2, T 3, από την τελευταία αυτή εξίσωση υπολογίζεται η κρίσιμη τιμή του K. Για το σύστημα που εξετάζουμε είναι: K max = 2 + T T 2 + T 2 T + T T 3 + T 3 T + T 3 T 2 + T 2 T 3 (3.2) To K max είναι μεγαλύτερο όταν οι σταθερές χρόνου είναι διάφορες μεταξύ τους. Όταν οι σταθερές χρόνου είναι ίσες, τότε το K max γίνεται ίσο με 8. Για συστήματα A, B ή και Γ τάξης οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορούν να βρεθούν εύκολα και να προσδιοριστεί έτσι αν το σύστημα είναι ευσταθές. Για συστήματα όμως ανώτερης τάξης η εύρεση των ριζών δεν είναι απλή. Επιπλέον οι τιμές των ριζών δεν δίνουν πληροφορίες για την επίδραση που θα έχει στο σύστημα η μεταβολή των παραμέτρων του, για τα όρια δηλαδή μέσα στα οποία μπορούν να μεταβάλλονται οι παράμετροι, όπως π.χ. η ενίσχυση, χωρίς το σύστημα να γίνεται ασταθές. Για το λόγο αυτό, για τη μελέτη της ευστάθειας των συστημάτων ρύθμισης χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι ανάλυσης.

7 Ενότητα 3. 5 Τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται συνήθως στη ρύθμιση είναι δύο τύπων. Στον πρώτο τύπο ζητείται να προσδιοριστεί αν ένα δεδομένο σύστημα με προσδιορισμένες όλες τις παραμέτρους είναι ευσταθές. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί ένα από τα κριτήρια ευστάθειας που θα αναπτύξουμε παρακάτω. Στη δεύτερη περίπτωση ζητείται να προσδιοριστεί η περιοχή, μέσα στην οποία μπορεί να μεταβληθεί μία ή και περισσότερες παράμετροι του συστήματος, ώστε αυτό να παραμένει ευσταθές, πρέπει δηλαδή στην περίπτωση αυτή να προσδιοριστεί η περιοχή ευστάθειας του συστήματος. Θα πρέπει και πάλι να τονιστεί ότι η ανάλυση που ακολουθεί αναφέρεται μόνο σε γραμμικά μοντέλα των συστημάτων ρύθμισης. Συνήθως τα πραγματικά συστήματα μπορούν να προσομοιωθούν με γραμμικά μοντέλα μόνο για μικρές αλλαγές των μεταβλητών. Η ευστάθεια του γραμμικού μοντέλου δεν συνεπάγεται επομένως απαραίτητα ευστάθεια και για το πραγματικό σύστημα. Ωστόσο με την ανάλυση αυτή μπορούμε να πάρουμε χρήσιμες πληροφορίες για την περιοχή μέσα στην οποία μπορούν να μεταβάλλονται οι παράμετροι του συστήματος ή σε περίπτωση που το γραμμικό μοντέλο παρουσιάζει αστάθεια δομής να μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να διορθωθεί η αστάθεια του συστήματος. Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμο να εισάγουμε εν συντομία τους γραμμικούς ρυθμιστές αναλογικού (proportional), αναλογικού - ολοκληρωτικού (proportional-integral), αναλογικού - διαφορικού (proportional derivative) και αναλογικού - ολοκληρωτικού - διαφορικού (proportional-integral-derivative) τύπου. Η αναφορά στην δομή αυτών των γραμμικών ρυθμιστών θα βοηθήσει στην κατανόηση των εννοιών που παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο ενώ εκτενέστερη περιγραφή και ανάλυση των ιδιοτήτων τους γίνεται στο κεφάλαιο 4. Αναλογικοί Ρυθμιστές (P-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών (P) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: y (t) = K C E (t) (3.3) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή. Η συνάρτηση

8 Ενότητα 3. 6 μεταφοράς του ιδανικού P-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) E (s) = K C (3.4) Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί Ρυθμιστές (PI-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών - ολοκληρωτικών (PΙ) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: y (t) = K C E (t) + T i t 0 E (t) (3.5) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή και T i είναι ο ολοκληρωτικός χρόνος (ή χρόνος μετενεργοποίησης). Και οι δύο αυτές παράμετροι είναι παράμετροι προς βαθμονόμηση. Παρατηρείστε ότι ο αναλογικόςολοκληρωτικός ρυθμιστής δρα λόγου του ολοκληρωτικού όρου μέχρι να μηδενιστεί το σφάλμα E (t). Η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού PΙ-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) ( E (s) = K C + ) T i s (3.6) Αναλογικοί-ΔιαφορικοίΡυθμιστές (PD-controllers) Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) αναλογικών-διαφορικών (PD) ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: ( ) de (t) y (t) = K C E (t) + T d dt (3.7) όπου y (t) είναι το σήμα εξόδου του ρυθμιστή (η τιμή της μεταβλητής εκ χειρισμού στον χρόνο t), E (t) είναι το σφάλμα της εξόδου του συστήματος από την τιμή ή τροχιά αναφοράς (set point/trajectory). K C είναι η ενίσχυση του ρυθμιστή και T d είναι ο διαφορικός χρόνος (ή χρόνος προπορείας). Και οι δύο αυτές παράμετροι είναι παράμετροι προς βαθμονόμηση. Παρατηρείστε ότι ο αναλογικός-διαφορικός ρυθμιστής δρα από την παρατήρηση στην μεταβολή του σφάλματος λόγου του διαφορικού όρου. Για αυτό το λόγο είναι ευάλωτος σε συστήματα με θόρυβο όπου μπορούν να παρουσιασθούν απότομες-μη συνεχείς μεταβολές στο σήμα εξόδου του

9 Ενότητα συστήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού PD-ρυθμιστή είναι συνεπώς: G (s) = Y (s) E (s) = K C ( + T d s) (3.8) Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί Ρυθμιστές (PΙD-controllers) Οι PID-ρυθμιστές συνδυάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των παραπάνω ρυθμιστών. Η δυναμική συμπεριφορά των ιδανικών (χωρίς καθυστέρηση) PΙD ρυθμιστών περιγράφεται από την κάτωθι σχέση: ( de (t) y (t) = K C E (t) + T d + ) t E (t) dt T i 0 (3.9) και η συνάρτηση μεταφοράς είναι: G (s) = Y (s) ( E (s) = K C + T d s + ) T i s (3.0) 3.2 Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz-Routh Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος έχει εν γένει τη μορφή πολυωνύμου: α 0 s n + α s n α n = 0 (3.) Το πολυώνυμο αυτό μπορεί να γραφεί σε μορφή παραγόντων: α 0 s n + α s n α n = α 0 (s s )(s s 2 )... (s s n ) (3.2) όπου s, s 2,... s n είναι οι ρίζες της (3.). Όταν το σύστημα είναι ευσταθές, τότε όλες οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος και επομένως ο κάθε παράγοντας (s s ) είναι θετικός, πράγμα που συνεπάγεται ότι οι συντελεστές α 0, α,..., α n πρέπει να είναι όλοι θετικοί. Άρα απαραίτητη συνθήκη για να είναι ένα σύστημα ευσταθές είναι όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν το ίδιο πρόσημο. Οι συζυγείς μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται στη μορφή: (s a + jω)(s a jω) και για a < 0 μπορούν να γραφτούν: (s + a ) 2 + ω 2.

10 Ενότητα Ακόμη όμως και συστήματα με ομόσημους όλους τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι δυνατόν να είναι ασταθή. Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz Το κριτήριο ευστάθειας Hurwitz [] είναι ένας τρόπος ελέγχου της ευστάθειας ενός συστήματος από τις τιμές των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.) σχηματίζεται η ορίζουσα Hurwitz n τάξης που έχει τη μορφή: a a 3 a a 0 a 2 a a n = a a 0 a a n Από την ορίζουσα αυτή προκύπτουν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες Hurwitz i όπου i = l, 2,..., n l: = α α α 3 2 = = α α 2 α 0 α 3 α 0 α 2 α α 3 α 5 3 = α 0 α 2 α 4 = α α 2 α 3 + α 0 α α 5 α 0 α3 2 α 4 α 2 0 α α 3 κ.λπ. Η συνθήκη ευστάθειας Hurwitz διατυπώνεται ως εξής: για να είναι ένα σύστημα με θετικούς συντελεστές χαρακτηριστικής εξίσωσης ευσταθές, πρέπει όλες οι ορίζουσες Hurwitz να είναι μεγαλύτερες του μηδενός. i > 0 για i =, 2,..., n (3.3)

11 Ενότητα Παράδειγμα Έστω ότι ένα σύστημα έχει χαρακτηριστική εξίσωση: 20s s 2 + 4s + = 0 Να βρεθεί αν το σύστημα είναι ευσταθές. Λύση: Οι ορίζουσες Hurwitz είναι: = 42 > = = > = Επειδή και η 3 = α 3 2 > 0 το σύστημα είναι ευσταθές. Γενικά για ένα σύστημα 3 ης τάξης επειδή η = α είναι πάντα θετική και η 3 = α 3 2 έχει το ίδιο πρόσημο με τη 2, η σχέση που προσδιορίζει την ευστάθεια του συστήματος είναι η ακόλουθη: 2 = α α 2 α 0 α 3 > 0 Το όριο ευστάθειας βρίσκεται αν θέσουμε 2 = 0. Κριτήριο ευστάθειας Routh Για συστήματα ανώτερης τάξης ο υπολογισμός των οριζουσών Hurwitz γίνεται επίπονος γι αυτό, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, μπορούμε να φέρουμε την ορίζουσα n σε διαγώνια μορφή δηλαδή μορφή όπου όλα τα στοιχεία αριστερά της διαγωνίου α + α n να είναι μηδέν. Η τιμή της ορίζουσας αυτής είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων ενώ η τιμή κάθε ελάσσονας ορίζουσας i είναι ίση με το γινόμενο των διαγωνίων στοιχείων μέχρι τη σειρά i.

12 Ενότητα Για απλοποίηση των υπολογισμών ο Routh [2] πρότεινε τη χρήση του παρακάτω πίνακα: Στήλες Σειρές (s n ) α 0 α 2 α 4 α (s n ) α α 3 α 5 α (s n 2 ) α 3 α 32 α 33 α α 4 α 42 α α n (s 0 )... Πίνακας 3.: Πίνακας Routh Όπου οι τιμές των α ij υπολογίζονται από τις σχέσεις : α 3 = α α 2 α 0 α 3 α α 32 = α α 4 α 0 α 5 α α 33 = α α 6 α 0 α 7 α α 4 = α 3α 3 α α 32 α 3 α 42 = α 3α 5 α α 33 α 3... κ.λπ. Το κριτήριο ευστάθειας Routh διατυπώνεται ως εξής: οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξισώσης έχουν όλες αρνητικό πραγματικό μέρος όταν όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά (α 0, α, α 3, α 4, α 5,... > 0). To σύστημα έχει τόσες ρίζες στο δεξιό ημιεπίπεδο s όσες φορές παρουσιάζεται αλλαγή σημείου στην πρώτη στήλη. Παράδειγμα Να προσδιορισθούν οι συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι συντελεστές χαρακτηριστικής εξίσωσης 4 ης τάξης ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση 4 ης τάξης έχει τη μορφή: α 0 s 4 + α s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 = 0 Από αυτή κατασκευάζουμε τον πίνακα Routh:

13 Ενότητα 3.2 s 4 α 0 α 2 α 4 s 3 α α 3 0 s 2 α 3 α 32 s α 4 0 όπου: α 3 = α α 2 α 0 α 3 α, α 32 = α 4 α 4 = α 3α 3 α α 32 α 3 = (α α 2 α 0 α 3 )α 3 α 2 α 4 α α 2 α 0 α 3 Οι συνθήκες για να είναι το σύστημα ευσταθές είναι:. α α 2 α 0 α 3 > 0 2. (α α 2 α 0 α 3 )α 3 > α 2 α 4 Παράδειγμα Να προσδιορισθεί η ευστάθεια συστήματος με χαρακτηριστική εξίσωση: s 4 + 6s 3 + s 2 + 6s + 30 = 0 Λύση: Ό πίνακας Routh είναι: s 4 30 s s s -2 s 0 30 Εξετάζοντας τα στοιχεία της πρώτης στήλης:, 6, 0, -2, 30, παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο αλλαγές σημείου, άρα δύο ρίζες βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο s και το σύστημα είναι ασταθές. Αν στον πίνακα Routh οι τιμές των στοιχείων γίνουν πολύ μεγάλες, μπορούμε να διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία μιας σειράς με οποιονδήποτε θετικό αριθμό χωρίς να μεταβληθούν τα αποτελέσματα.

14 Ενότητα Από το κριτήριο Routh μπορούν να προσδιοριστούν επίσης τα όρια μέσα στα οποία επιτρέπεται η μεταβολή μιας παραμέτρου ώστε το σύστημα να παραμένει ευσταθές. Οι συντελεστές a ij υπολογίζονται ως συνάρτηση της υπό μελέτη παραμέτρου και γράφονται οι ανισότητες που εξασφαλίζουν ότι τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά: α 3, α 4, α 5... > 0 Παράδειγμα Να βρεθούν τα όρια μεταβολής του K ώστε να είναι ευσταθές το σύστημα που έχει χαρακτηριστική εξίσωση: s 4 + 6s 3 + s 2 + 6s + K = 0 Λύση: Ο πίνακας Routh για το σύστημα είναι: K K 60 6K 0 0 K Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: K > 0 (ισχύει πάντα για φυσικά συστήματα) 60 6K > 0 ή K < 0 Το όριο ευστάθειας είναι στο k = 0 όποτε το σύστημα έχει δύο ρίζες φανταστικές.

15 Ενότητα Τόπος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου 3.3. Διερεύνηση χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν παραστήσουμε το γινόμενο όλων των συναρτήσεων μεταφοράς του βρόχου με G(s), τότε η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ρύθμισης είναι: + G(s) = 0 (3.4) Η συνάρτηση G(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου, και το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των στοιχείων του βρόχου που μπορεί να γραφεί υπό μορφή παραγόντων με τη γενική μορφή: G(s) = C (s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) (3.5) όπου z i είναι οι μηδενικές θέσεις και s i οι πόλοι όλων των συναρτήσεων μεταφοράς του βρόχου. Αν οι συναρτήσεις μεταφοράς των στοιχείων του βρόχου δίνονται με τη μορφή: T i s + ή T i s + τότε οι ρίζες s i και z i αντιστοιχούν με /T i και η σταθερά C συνδέεται με την ενίσχυση του σήματος στον βρόχο (ενίσχυση σε μόνιμη κατάσταση) από τη σχέση: m ( z i ) K = C n ( s i ) Είναι δηλαδή η σταθερά C όπως και η K ανάλογη προς τον συντελεστή αναλογίας του ρυθμιστή K C : C K C Αν συμβολίσουμε τον αριθμητή με: N = (s z i ), και τον παρανομαστή με: D = (s si ), τότε η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου (3.4)

16 Ενότητα μπορεί να γραφεί στη μορφή: CN + D = 0 (3.6) Για K C = 0 (σύστημα ανοικτού βρόχου) η σταθερά C = 0 και οι ρίζες της (3.6) συμπίπτουν με τις ρίζες του παρονομαστή D δηλαδή με τους πόλους της G(s). Για K C οι ρίζες της (3.6) τείνουν προς τις ρίζες του αριθμητή (CN >> D), δηλαδή προς τις μηδενικές θέσεις του συστήματος ανοικτού βρόχου. Για να βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης για ενδιάμεσες τιμές του K C, θα πρέπει να επιλυθεί η (3.6) για κάθε συγκεκριμένη τιμή K C. Η επίλυση της (3.6) δεν είναι εύκολη αναλυτικά, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση είναι συνήθως ανώτερη του 3 ου βαθμού. Για την εύρεση του γεωμετρικού τόπου των ριζών τής (3.4) για διάφορες τιμές χρησιμοποιείται η εξής μέθοδος [3]: Η εξίσωση (3.4) γράφεται στη μορφή: C (s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) = (3.7) Για να ισχύει η εξίσωση (3.7) πρέπει το αριστερό σκέλος να παριστάνει διάνυσμα με μέτρο και γωνία (2k + )π. Μπορεί δηλαδή η (3.7) να αναλυθεί στις εξισώσεις: C s z s z 2... s z m s s s s 2... s s n = (3.8) και (s z ) + (s z 2 ) + (s z m ) (s s ) (s s 2 )... (s s n ) = (2κ + )π (3.9) όπου k τυχόν ακέραιος (θετικός ή αρνητικός) ή μηδέν. Η θέση των ριζών βρίσκεται από τις εξισώσεις (3.8) και (3.9) με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων.

17 Ενότητα Η εξίσωση (3.9) λέγεται κριτήριο γωνιών, είναι ανεξάρτητη του K C και χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των ριζών. Για να ανήκει δηλαδή ένα σημείο στον τόπο θα πρέπει να ικανοποιεί το κριτήριο γωνιών. Αφού κατασκευασθεί ο τόπος, η συγκεκριμένη θέση των ριζών για κάθε τιμή K C βρίσκεται στη συνέχεια με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.8). Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε ένα σύστημα ρύθμισης με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: όπου C = K T d T T 2 T 3. G(s) = G(s) = K(T d s + ) (T s + )(T 2 s + )(T 3 s + ) C(s + /T d ) (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T 3 ) (3.20) Οι ρίζες της συνάρτησης G(s) είναι: s = /T, s 2 = /T 2, s 3 = /T 3 και η μηδενική θέση z = /T d. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ρύθμισης G(s) + = 0 είναι τρίτου βαθμού, υπάρχουν επομένως για κάθε τιμή K C εξίσωσης. τρεις ρίζες της χαρακτηριστικής Στο σχήμα 3.2 έχουν σημειωθεί οι πόλοι και η μηδενική θέση της G(s). Για να αποτελεί το σημείο s 0 (σχήμα 3.2) σημείο του τόπου ριζών, θα πρέπει να ικανοποιεί την (3.9), δηλαδή: ψ ϕ ϕ 2 ϕ 3 = (2κ + )π (3.2) Μετατοπίζοντας το σημείο s 0 μπορούμε να επιτύχουμε τη θέση όπου ικανοποιείται το κριτήριο γωνιών (εξίσωση (3.9)) δηλαδή να προσδιορίσουμε ένα σημείο του τόπου. Για να βρούμε για ποια τιμή K C ή C έχουμε ρίζα στο σημείο s 0, χρησιμοποιούμε την (3.8), δηλαδή: β C α α 2 α 3 = C = α α 2 α 3 β (3.22) όπου α, α 2, α 3 είναι τα διανύσματα από τους πόλους της G(s) και β το διάνυσμα από τη μηδενική θέση προς το σημείο s 0.

18 Ενότητα Σχήμα 3.2: Χρήση του κριτηρίου γωνιών για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών. Im S T 3 - T d - T 2 - T Re Περιοχές του τόπου Η εργασία του προσδιορισμού του τόπου ριζών απλοποιείται πολύ αν χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι κανόνες που προκύπτουν από διερεύνηση των (3.7) (3.8) και (3.9) [3, 4] Κανόνες για τον προσδιορισμό του τόπου ριζών. Ο αριθμός των γεωμετρικών τόπων ή κλάδων ισούται με τον αριθμό των πόλων της G(s). 2. Κάθε κλάδος ξεκινάει από ένα πόλο της G(s) και καταλήγει σε μια μηδενική θέση της G(s). Για όλα τα φυσικά συστήματα ο αριθμός των μηδενικών θέσεων είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των πόλων δηλαδή m < n. Όταν m < n, τότε n m κλάδοι του τόπου καταλήγουν στο άπειρο. 3. Οι τόποι είναι συμμετρικοί ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών εφόσον οι μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται πάντα σαν ζεύγος συζυγών μιγαδικών αριθμών. 4. Σημεία τού άξονα των πραγματικών αριθμών ανήκουν στον τόπο όταν ο αριθμός των μηδενικών θέσεων και πόλων δεξιά του υπόψη σημείου είναι περιττός. Στο παράδειγμα του σχήματος 3.2 ο τόπος πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μεταξύ των δύο πόλων στο /T και /T 2 (αριστερά μιας ρίζας: του πόλου στο /T ) και μεταξύ της μηδενικής θέσης στο /T d και του πόλου στο /T 3 (αριστερά τριών σημείων: δύο πόλων και μιας μηδενικής θέσης).

19 Ενότητα Οι κλάδοι απομακρύνονται ή πλησιάζουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών σχηματίζοντας μαζί του ορθή γωνία. Το σημείο εξόδου ή εισόδου στον άξονα, s 0, υπολογίζεται από τη σχέση: n s 0 s i = m s 0 z i (3.23) όπου s 0 το σημείο εξόδου. 6. Ασύμπτωτοι: οι (n m) κλάδοι που καταλήγουν στο άπειρο ακολουθούν ασυμπτωτικά ευθείες που ξεκινούν ακτινικά ακτινωτά από το «κέντρο βάρους» των μηδενικών θέσεων και πόλων της G(s). Οι ασύμπτωτες αυτές σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες με τιμή 2π/n m, ενώ τέμνουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών υπό γωνία (2κ + )π/(n m). Η σχετική θέση των ασύμπτωτων για n m =, 2, 3 και 4 δίνεται στο σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3: Σχετική θέση ασύμπτωτων 80 o Re n-m= (i) ασύμπτωτος 80 o 90 o Re n-m=2 (ii) 2 ασύμπτωτοι 90 o 45 o Re n-m=4 n-m=3 20 o 60 o Re (iii) 3 ασύμπτωτοι (iv) 4 ασύμπτωτοι Η θέση στον άξονα των πραγματικών αριθμών απ όπου ξεκινούν οι ασύμπτωτοι υπολογίζεται από τη σχέση: [ n S α = s i ] m z i /(n m) (3.24)

20 Ενότητα Γωνία απομάκρυνσης από πόλο ή προσέλευσης σε μηδενική θέση: η γωνία από την οποία ο τόπος εγκαταλείπει τον πόλο στο s k υπολογίζεται από τη σχέση: ψ = (s k z i ) (s k s i ) + π (3.25) i k Η σχέση (3.24) χρησιμοποιείται κυρίως για πόλους που δεν βρίσκονται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Για πόλους πάνω στον άξονα είναι ευκολότερη η χρησιμοποίηση του 4 ου κανόνα. Αν ο πόλος s k είναι q τάξης ξεκινάνε απ αυτόν q κλάδοι του τόπου σχηματίζοντας γωνίες: ϕ = (2κ + )π + (s k z i ) (s k s i ) (3.26) q i k για κ = 0,, 2..., q. Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν για τον προσδιορισμό της γωνίας υπό την οποία ο τόπος πλησιάζει μια μηδενική θέση z k που είναι q τάξης: ϕ = (2κ + )π + (z k z i ) (z k z i ) (3.27) q i k Μια ιδιότητα του τόπου ριζών που βοηθά πολύ στο σχεδιασμό του, είναι η αντιστοιχία που υπάρχει μεταξύ του τόπου και της τροχιάς που ακολουθεί ένα σωματίδιο θετικά φορτισμένο ξεκινώντας από κάθε πόλο και ευρισκόμενο σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο που δημιουργείται από θετικά φορτία στους πόλους και αρνητικά φορτία στις μηδενικές θέσεις. Δηλαδή ο τόπος «απωθείται» από τους πόλους και «έλκεται» από τις μηδενικές θέσεις της G(s) Σχεδιασμός τόπου ριζών Έστω το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 3.4, που αποτελείται από διεργασία δύο βαθμίδων πρώτης τάξης σε σειρά, μετρητικό όργανο σταθερός χρόνου T m, αναλογικό ρυθμιστή και βαλβίδα χωρίς χρονική υστέρηση.

21 Ενότητα Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου είναι: G(s) = K c K v K p K m (T s + )(T 2 s + )(T m s + ) = C (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T m ) όπου ( ) KV K p K m C = K c T T 2 T m Σχήμα 3.4: Βρόχος τριών βαθμίδων. θ i + - K c K Kp v Ts T 2 s + + θ Km T m s+ G(s) = C (s + /T )(s + /T 2 )(s + /T m ) Έστω ότι T =, T 2 = 0.5 και T m = 0.2. Για τον σχεδιασμό του τόπου ριζών ακολουθείται η εξής σειρά: α) Σημειώνουμε στο πεδίο s τις μηδενικές θέσεις και τους πόλους της G(s). Στο παράδειγμά μας υπάρχουν 3 πόλοι οι s =, s 2 = 2 και s 3 = 5 και καμιά μηδενική θέση (σχήμα 3.5i). Ο τόπος επομένως θα έχει τρεις κλάδους που ξεκινούν από τους πόλους και καταλήγουν όλοι στο άπειρο (κανόνες και 2) β) Ο τόπος ριζών στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι αριστερά από περιττό αριθμό ριζών (πόλων + μηδενικών θέσεων) δηλαδή για το παράδειγμά μας μεταξύ και 2 και μεταξύ 5 και (κανόνας 4). Επομένως, ο ένας κλάδος του τόπου έχει ήδη προσδιορισθεί. Ξεκινάει από το 5 και ακολουθεί τον άξονα των πραγματικών αριθμών μέχρι το. Οι άλλοι δύο κλάδοι ξεκινούν από το 2 και και πλησιάζουν προς ένα κοινό σημείο (σημείο κρίσιμης απόσβεσης του συστήματος). γ) Αφού n = 3 και m = 0, υπάρχουν 3 ασύμπτωτοι που είναι τοποθετημένες όπως στο (σχήμα 3.3i). Το σημείο τομής των ασυμπτώτων με τον άξονα των πραγματικών αριθμών βρίσκεται από την εξίσωση (3.24) (κανόνας 6): s α = ( ) + ( 2) + ( 5) 3 = 2.66

22 Ενότητα Σχήμα 3.5: Τόπος ριζών της (s + )(s + 2)(s + 5) + C = 0). Im Re (i) Im C = C = 26 (ii) Re Οι ασύμπτωτοι έχουν σχεδιασθεί στο (σχήμα 3.5). δ) Το σημείο εξόδου από τον οριζόντιο άξονα (R), το σημείο δηλαδή όπου οι κλάδοι που ξεκινούν από το 2 και το συναντώνται και στη συνέχεια εγκαταλείπουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών, βρίσκεται εφαρμόζοντας τον κανόνα 5 με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.23):

23 Ενότητα s s s = 0 Συνήθως η (3.23) επιλύεται με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Για να προσδιορίσουμε μια ικανοποιητική πρώτη προσέγγιση, χρησιμοποιούμε την αρχή της απώθησης του τόπου από τους πόλους (και έλξης του από τις μηδενικές θέσεις). Αν δεν υπήρχε ο πόλος στο s = 5, τότε η θέση εξόδου θα ήταν στο μέσο των πόλων στο και 2, δηλαδή στη θέση s =.5. Ο πόλος στη θέση s = 5 έχει σαν αποτέλεσμα την απώθηση του s 0 προς τα δεξιά στη θέση s 0 =.46. Αν ο τρίτος πόλος βρισκόταν πλησιέστερα στους δύο άλλους πόλους π.χ. στη θέση s = 3, τότε η επίδραση του θα ήταν εντονότερη και θα απωθούσε το σημείο s 0 ακόμη δεξιότερα, στη θέση s 0 =.4. Οι δύο κλάδοι εγκαταλείπουν τον άξονα σχηματίζοντας γωνία π/2 (κανόνας 5). ϵ) Προσδιορίζονται μερικά ακόμη σημεία του τόπου και κυρίως τα σημεία τομής των δύο κλάδων με τον άξονα των φανταστικών αριθμών χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.9). Η εργασία αυτή της δοκιμαστικής άθροισης των γωνιών μέχρι να επιτύχουμε το σημείο που πληρεί το κριτήριο γωνιών, απλουστεύεται με τη χρήση ειδικού γωνιομέτρου (spirule). Για το παράδειγμά μας βρέθηκε ότι το κριτήριο γωνιών ικανοποιείται στη θέση s = ±4.j. Με τα παραπάνω δεδομένα κατασκευάζεται ήδη ο τόπος ριζών όπως στο σχήμα 3.5ii ζ) Υπολογίζονται με τη βοήθεια της (3.8) οι τιμές C που αντιστοιχούν σε ορισμένα χαρακτηριστικά σημεία του τόπου π.χ. στο σημείο κρίσιμης απόσβεσης (s = ±.46): C = = 0.88 (3.28) Στο σημείο τομής με τον άξονα των φανταστικών αριθμών (s = ±4.j): C max = 4.j + 4.j j + 5 = 26 (3.29) Επομένως για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει το C να είναι μικρότερο του 26 ή ο συντελεστής ενίσχυσης του ρυθμιστή να είναι: K C < 26 T T 2 T m K V K p K m

24 Ενότητα Συνήθως το σημείο τομής του τόπου με τον άξονα των φανταστικών αριθμών και η αντίστοιχη τιμή του K Cmax υπολογίζεται ακριβέστερα και απλούστερα με τη βοήθεια του πίνακα Routh. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, από τη χαρακτηριστική εξίσωση: προκύπτει ο πίνακας Routh: (s + )(s + 2)(s + 5) + C = 0 ή s 3 + 8s 2 + 7s C = 0 s 3 7 s C s 8 7 (0+C) 8 0 s 0 0+C Η μέγιστη τιμή του C (και η αντίστοιχη του K c ) υπολογίζεται ως το όριο ευστάθειας του συστήματος θέτοντας το συντελεστή της s ίσο με μηδέν (βλ. παράδειγμα 3.2.4) 8 7 (0 + C) = 0 από όπου προκύπτει: C = 36 0 = 26. Η αντίστοιχη τιμή του s για την οποία ο τόπος τέμνει τον άξονα των φανταστικών αριθμών υπολογίζεται από την εξίσωση της σειράς του s 2, αντικαθιστώντας την τιμή του C που βρέθηκε προηγουμένως: 8s C = s = ±j 8 = 4.2j Επίδραση των χαρακτηριστικών του ρυθμιστή στον τόπο ριζών A.Βρόχος δυο βαθμίδων-αναλογική ρύθμιση

25 Ενότητα Η συνάρτηση ανοικτού βρόχου G(s) για σύστημα δεύτερης τάξης με αναλογική ρύθμιση έχει την ακόλουθη μορφή: G(s) = K (T s + )(T 2 s + ) = C (s + /T )(s + /T 2 ) Όπως φαίνεται από το σχήμα 3.6, ο τόπος των ριζών δεν περνάει στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s για οποιαδήποτε τιμή του C. Για μικρές τιμές C (ή K C ) υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες, η έξοδος δηλαδή του συστήματος θα είναι υπεραποσβενόμενη. Για μεγαλύτερες τιμές του C ο τόπος εγκαταλείπει τον άξονα των πραγματικών αριθμών, εμφανίζονται δηλαδή δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και η έξοδος αρχίζει να ταλαντώνεται. Η συχνότητα των ταλαντώσεων αυξάνει καθώς αυξάνει το K C. Σχήμα 3.6: Τόπος ριζών συστήματος Β τάξης με αναλογική ρύθμιση. Im - - T T 2 Re Αναλογική και ολοκληρωτική ρύθμιση Η συνάρτηση ανοικτού βρόχου στην περίπτωση αυτή είναι: G(s) = K( + /T is) (T s + )(T 2 s + ) = C( + /(T i s)) s(s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s = 0 και ένα μηδέν στη θέση /T i. Επομένως η μορφή που θα πάρει ο τόπος εξαρτάται από την τιμή του T i. Στο σχήμα 8.7 δίδονται χαρακτηριστικές μορφές του τόπου για τρεις διαφορετικές περιπτώσεις:

26 Ενότητα α) Όταν T i < T < T 2 ή T i > T > T 2 β) Όταν T < T i < T 2 ή T > T i > T 2 γ) Όταν T < T 2 < T i ή T > T 2 > T i Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7i, για μεγάλες τιμές του T i το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες της τιμές του K C. Παρατηρούμε επομένως ότι ο τόπος των μιγαδικών ριζών έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά του μέσου των πόλων στο /T και /T 2, δηλαδή η απόσβεση των ταλαντώσεων είναι ασθενέστερη (μικρότερο πραγματικό μέρος ριζών) σε σύγκριση με την απόσβεση συστήματος με αναλογική ρύθμιση (σχήμα 3.6). Στην περίπτωση που T 2 < T i < T, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7ii, ο τόπος έχει μετατεθεί δεξιά μεταξύ των πόλων στο μηδέν και /T επομένως αν και το σύστημα παραμένει ευσταθές για όλες τις τιμές του K C, η απόκριση ταλαντώνεται εντονότερα. Στην τρίτη περίπτωση μικρών τιμών T i οι ασύμπτωτοι έχουν μετατεθεί στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s δηλαδή το σύστημα για K C μεγαλύτερο από μια ορισμένη τιμή γίνεται ασταθές (σχήμα 3.7iii). Σχήμα 3.7: Τόπος ριζών συστήματος Β τάξης με αναλογική + ολοκληρωτική ρύθμιση. Im Im Im - T 2 - T - Ti Re - T 2 - T - T i Re - T i - T2 - T Re (i) T i > T > T 2 (ii) T > T i > T 2 (iii) T > T 2 > T i Αναλογική και διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου στην περίπτωση αυτή είναι: G(s) = K( + T d s) (T s + )(T 2 s + ) = C(s + /T d ) (s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή μια μηδενική θέση στο s = /T d. Η μορφή του τόπου εξαρτάται και πάλι από τη σχετική θέση των T, T 2 και T d. Οι τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις έχουν σχεδιασθεί στο σχήμα 3.8.

27 Ενότητα Σχήμα 3.8: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T T d T Re - T 2 - T d - T Re - - T 2 T - T d Re (i) T d < T 2 < T (ii) T 2 < T d < T (iii) T 2 < T < T d Όπως φαίνεται από το σχήμα 3.8i, έστω και για μικρές τιμές T d το σύστημα παρουσιάζεται «περισσότερο» ευσταθές σχετικά με την περίπτωση της αναλογικής ρύθμισης, αφού ο τόπος ριζών κάμπτεται και επιστρέφει στον άξονα των πραγματικών αριθμών για μεγάλες τιμές του K C. Όπως φαίνεται από τους τόπους 3.8ii και 3.8iii, για μεγαλύτερες τιμές T d το σύστημα είναι υπεραποσβενόμενο για όλες τις τιμές του K C. Αναλογική + Ολοκληρωτική + Διαφορική ρύθμιση Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου δίδεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση: G(s) = K( + T ds + /T i s) (T s + )(T 2 s + ) = C(s2 + /T d s + /T i T d ) s(s + /T )(s + /T 2 ) Προστίθεται δηλαδή ένας πόλος στη θέση s = 0 και δύο μηδενικές θέσεις, που μπορεί να έχουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές, ανάλογα με τη σχετική τιμή των T i και T d, (για 4T d > T i οι ρίζες είναι μιγαδικές). Σχήμα 3.9: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική + Ολοκληρωτική + Διαφορική ρύθμιση. Im Im Re Re (i) Δύο συζυγείς μιγαδικές μηδενικές θέσεις (4T d > T i ) (ii) Δύο άνισες πραγματικές μηδενικές θέσεις (4T d < T i )

28 Ενότητα Επειδή υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί των τιμών T, T 2, T i και T d. που δίνουν διαφορετικούς τόπους ριζών έχουν σχεδιασθεί ενδεικτικά στο σχήμα 3.9 δύο περιπτώσεις: στην πρώτη περίπτωση υπάρχουν δύο συζυγείς μιγαδικές και στη δεύτερη δύο πραγματικές μηδενικές θέσεις. Γενικά στην περίπτωση του συνδυασμού των τριών τύπων ρύθμισης θα μπορούσαμε να πούμε ότι συνδυάζονται τα πλεονεκτήματα της ολοκληρωτικής ρύθμισης δηλαδή ο μηδενισμός της μόνιμης απόκλισης με τα πλεονεκτήματα της διαφορικής ρύθμισης δηλαδή μεγαλύτερη ευστάθεια του συστήματος. Β. Βρόχος τριών βαθμίδων Αναλογική ρύθμιση O τόπος ριζών συστήματος τριών βαθμίδων με αναλογική ρύθμιση έχει ήδη αναλυθεί και σχεδιαστεί (σχήμα 3.5ii). Το σύστημα γίνεται ασταθές όταν το C αυξηθεί πέρα από μια ορισμένη τιμή που εξαρτάται από τις τιμές των σταθερών χρόνου του συστήματος T, T 2 και T 3. Αναλογική και ολοκληρωτική ρύθμιση Με την εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης προστίθενται στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) μια μηδενική θέση για s = /T i και ένας πόλος στη θέση s = 0. Στο σχήμα 3.0 έχει σχεδιαστεί ο τόπος για τρεις χαρακτηριστικές τιμές της μηδενική θέσης /T i : α) Για T i > T > T 2 > T 3 β) Για T > T 2 > T i > T 3 γ) Για T > T 2 > T 3 > T i Για μεγάλες τιμές του T i (σχήμα 3.0i) η εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης δεν επηρεάζει πολύ τον τόπο ριζών, με δοσμένο ότι ο πόλος πού προστίθεται στο s = 0 είναι κοντά στη μηδενική θέση στο s = /T i. Για μικρότερες όμως τιμές του (σχήμα 3.0ii και 3.0iii) ο τόπος μετατοπίζεται προς τα δεξιά και επομένως το σύστημα γίνεται πιο ασταθές. Αναλογική + διαφορική ρύθμιση

29 Ενότητα Σχήμα 3.0: Σύστημα Β τάξης - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T i Re - T i Re Re (i) T i > T > T 2 > T 3 (ii) T > T 2 > T i > T 3 (iii) T > T 2 > T 3 > T i Η εισαγωγή της διαφορικής ρύθμισης έχει ως αποτέλεσμα την προσθήκη στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) μιας μηδενικής θέσης στο s = /T d. Τρεις χαρακτηριστικές μορφές του τόπου για διάφορες τιμές T d δίδονται στο σχήμα 3.. Σχήμα 3.: Βρόχος τριών βαθμίδων - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T d Re - T d Re - T d Re (i) T d < T 3 < T 2 < T (ii) T 3 < T d < T 2 < T (iii) T 3 < T 2 < T d < T Όπως φαίνεται από το σχήμα 3., η ευστάθεια του συστήματος βελτιώνεται όσο αυξάνεται η τιμή του T d. Η μηδενική θέση στο /T d προχωρεί προς τα δεξιά με την αύξηση του T d, πράγμα που συνεπάγεται τη μετατόπιση των ασύμπτωτων προς τα αριστερά. Στα σχήματα 3.ii καί 3.iii οι ασύμπτωτοι έχουν περάσει στο αριστερό ήμισυ του πεδίου s και το σύστημα εμφανίζεται ευσταθές για όλες τις τιμές του K C. Αναλογική + ολοκληρωτική + διαφορική ρύθμιση Στη περίπτωση αυτή προστίθενται στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) δυο μηδενικές θέσεις στο s = ± 2T d 2 Td 2 4 T i T d και ένας πόλος στο s = 0. Τρεις χαρακτηριστικές μορφές του τόπου ριζών δίδονται στο σχήμα 3.2 και συγκεκριμένα:

30 Ενότητα α) Για 4T d < T i β) Για 4T d = T i γ) Για 4T d > T i Όπως και στην περίπτωση του συστήματος των δύο βαθμίδων, ο συνδυασμός των τριών τύπων ρύθμισης έχει ως αποτέλεσμα την επίτευξη αφενός μεν του μηδενισμού της μόνιμης απόκλισης με την εισαγωγή της ολοκληρωτικής ρύθμισης αφετέρου δε της σταθεροποίησης του συστήματος με τη βοήθεια της διαφορικής ρύθμισης. Σχήμα 3.2: Βρόχος τριών βαθμίδων - Αναλογική διαφορική ρύθμιση. Im Im Im - T T 2 T Re Re Re (i) 4T d < T i (ii) 4T d = T i (iii) 4T d > T i Ανακεφαλαιώνοντας θα μπορούσαμε να πούμε ότι με τη βοήθεια του τόπου ριζών μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος ρύθμισης και να κατανοήσουμε την επίδραση που έχουν οι διάφοροι τρόποι ρύθμισης, αναλογικός, ολοκληρωτικός, διαφορικός, και η τιμή των παραμέτρων K C, και T i και T d Τα φυσικά συστήματα έχουν συνήθως πραγματικές αρνητικές ρίζες (πλην των συστημάτων κινουμένων μαζών που παρουσιάζουν πολλές φορές συζυγείς μιγαδικές ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος) και επομένως για μικρές τιμές τού K C, το σύστημα ρύθμισης έχει τις ρίζες του στον άξονα των πραγματικών αριθμών και εμφανίζει υπεραποσβενόμενη απόκριση (χωρίς ταλάντωση). Όσο αυξάνει το K C οι ρίζες εγκαταλείπουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών, με αποτέλεσμα το σύστημα να παρουσιάζει υπεραποσβενόμενη ταλάντωση. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις, ορισμένοι κλάδοι του τόπου ριζών περνούν στο δεξιό ήμισυ του πεδίου s, για μεγαλύτερες τιμές K C το σύστημα γίνεται ασταθές. Η ολοκληρωτική ρύθμιση έχει ως αποτέλεσμα την προσθήκη ενός πόλου στο s = 0 και μιας μηδενικής θέσης στο s = /T i. Η ολοκληρωτική ρύθμιση εισάγεται για να μηδενίσει τη μόνιμη απόκλιση (offset), αλλά ο πόλος που παρουσιάζεται στο s = 0 μεταθέτει εν γένει τον τόπο ριζών προς τα δεξιά με αποτέλεσμα το σύστημα να γίνεται λιγότερο ευσταθές, ιδίως για μικρές τιμές του T i. Αντίθετα, η διαφορική

31 Ενότητα ρύθμιση με την προσθήκη μιας μηδενικής θέσης το s = /T d γενικά συμβάλλει στη σταθεροποίηση του συστήματος. 3.4 Λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode) 3.4. Γενικά Εξετάζοντας τα συστήματα ρύθμισης με τη μέθοδο της χαρακτηριστικής εύρουςφάσης (κριτήριο ευστάθειας Nyquist [5]) έγινε η διερεύνηση ευστάθειας του κλειστού βρόχου του συστήματος από την χαρακτηριστική του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης. Με την μέθοδο της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης - λογαριθμική παράσταση της χαρακτηριστικής εύρους-φάσης - η διαπίστωση της ευστάθειας ή αστάθειας του συστήματος είναι σχετικά πολύ πιο εύκολη. Η μέθοδος της λογαριθμικής παράστασης της χαρακτηριστικής εύρους-φάσης παρουσιάζει πλεονεκτήματα ιδιαίτερα κατά την σύνθεση διορθωτικών δικτύων συστημάτων αυτόματης ρύθμισης. Η μέθοδος της λογαριθμικής παράστασης της χαρακτηριστικής συχνότητας (απόκριση συχνότητας) κατά την εξέταση συστημάτων αυτομάτου ρύθμισης και ιδιαίτερα όταν πρόκειται να γίνει αριθμητική αξιολόγηση αυτών προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα: Ο πολλαπλασιασμός δύο συχνοτικών αποκρίσεων εκφράζεται με το άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων. Οι αντίστροφες καμπύλες προκύπτουν από την απλή απεικόνιση του εύρους και της φάσης της συχνοτικής απόκρισης προς την τετμημένη του ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Στις περισσότερες περιπτώσεις των πρακτικών εφαρμογών, οι χαρακτηριστικές συχνότητας των συστημάτων αυτομάτου ρύθμισης μπορούν να προσεγγιστούν με ευθύγραμμα τμήματα, των οποίων τα σημεία θλάσης και οι γωνίες βρίσκονται σε άμεση σχέση με τους συντελεστές των συστημάτων.

32 Ενότητα Για πρακτικές εφαρμογές συνήθως επαρκεί, μόνο, η εξέταση της καμπύλης του εύρους. Ως μειονεκτήματα της μεθόδου αυτής, για την εξέταση συστημάτων ρύθμισης, μπορούν να θεωρηθούν τα ακόλουθα: Η μέθοδος της λογαριθμικής συχνοτικής απόκρισης (διάγραμμα Bode [6]), δεν παρέχει ευκολία για τον προσδιορισμό του μέτρου και της φάσης του κλειστού βρόχου από το μέτρο και την φάση του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης. Με την μέθοδο Bode παρίστανται ξεχωριστά οι καμπύλες του μέτρου και της φάσης του συστήματος και ως εκ τούτου δεν προσφέρεται καλή εικόνα του ολικού διαγράμματος της συνάρτησης μεταφοράς. Είναι γνωστό, ότι η συχνοτική απόκριση G(jω) είναι μία μιγαδική συνάρτηση και συνεπώς για την παράσταση αυτής υφίστανται οι ακόλουθοι δύο τρόποι: I Διαχωρισμός της συχνοτικής απόκρισης σε απόλυτη τιμή (μέτρο) και φάση: G(jω) = H(ω)e jθ(ω) (3.30) όπου: H(ω) = Εύρος της συχνοτικής απόκρισης, στη συγκεκριμένη περίπτωση χρησιμοποιείται ο όρος χαρακτηριστική συχνότητα. Θ(ω) = Φάση της συχνοτικής απόκρισης ή φάση της χαρακτηριστικής συχνότητας. II Διαχωρισμός σε πραγματικό και φανταστικό μέρος: G(jω) = P (ω) + jq(ω) (3.3) όπου: P (ω) = Πραγματικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης ή αλλιώς πραγματικό μέρος της χαρακτηριστικής συχνότητας. Q(ω) = Φανταστικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης ή αλλιώς φανταστικό μέρος της χαρακτηριστικής συχνότητας.

33 Ενότητα Στην συνέχεια θα εξετασθεί η περίπτωση Ι, ενώ η περίπτωση ΙΙ θα εξετασθεί σε σχέση με τις πραγματικές και φανταστικές χαρακτηριστικές συχνότητες. Για την συχνοτική απόκριση ενός στοιχείου μεταφοράς ισχύει: G(jω) = H(ω)e jθ(ω) µϵ H(ω) = G(jω), Θ(ω) = argg(jω) Σχηματίζοντας τον φυσικό λογάριθμο της συχνοτικής απόκρισης προκύπτει: lng(jω) = lnh(ω) + jθ(ω) (3.32) για την περίπτωση που γίνει η παράσταση των συναρτήσεων lnh(ω) και Θ(ω) σε σχέση με τον φυσικό λογάριθμο lnh(ω), παράγονται οι καμπύλες των φυσικών λογαριθμικών χαρακτηριστικών συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς. Ως διάσταση θα χρησιμοποιηθεί κατ αρχήν το Neper, το οποίο είναι γνωστό από τα συστήματα τηλεπικοινωνίας ως μέτρο για την απόσβεση. Το Neper ορίζεται από την ακόλουθο σχέση: Neper = lne. Για την περίπτωση που h είναι η τιμή ενός αριθμού H σε Neper, τότε ισχύει: h = lnh (3.33) Οι συντεταγμένες επομένως της φυσικής λογαριθμικής χαρακτηριστικής του εύρους συχνότητας μπορούν να δοθούν σε Neper. Στην πράξη όμως, χρησιμοποιείται ευρύτατα ως διάσταση το Decibel [db]. Για την περίπτωση που L είναι η τιμή σε Decibel ενός αριθμού H, τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: L = 20 log H (3.34) Η χάραξη της σχέσεως, L(ω) = 20 log H(ω) (3.35) γίνεται σε Decibel σε σχέση με τον δεκαδικό λογάριθμο της συχνότητας (log(ω)). Η καμπύλη που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου αυτής ονομάζεται λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας ή χαρακτηριστική απόσβεσης.

34 Ενότητα Για την χάραξη της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις αναγωγής: Neper = 8.686dB και db = 0.5Neper. Σχετικά με την λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης διευκρινίζεται ότι για την συχνοτική απόκριση ισχύει επίσης ότι: G(jω) = x α(jω) x i (jω) = x α0 x i0 e jϕ Το μέτρο H(ω) της συχνοτικής απόκρισης G(jω) είναι ο λόγος τους εύρους των σημάτων εξόδου και εισόδου του συστήματος. Στην αυτόματη ρύθμιση λοιπόν, εκφράζονται μεγέθη σε Decibel, τα οποία προκύπτουν από τον λόγο των μεγεθών με διαφορετικές διαστάσεις. Η φάση Θ(ω), σε μοίρες, χαράσσεται επίσης σχετικά με τον δεκαδικό λογάριθμο της συχνότητας (log(ω)) και η καμπύλη ονομάζεται λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας. Για την ανάπτυξη της μεθόδου της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης συνέβαλε κατά κύριο λόγο ο Η.W.Bode με την εργασία του Network analysis and feedback amplifier design [7]. Για τη λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης χρήσιμοι είναι και οι ακόλουθοι όροι: Η συχνότητα αυξάνεται κατά μία οκτάδα όταν διπλασιάζεται. Η συχνότητα αυξάνεται κατά μία δεκάδα όταν δεκαπλασιάζεται. Για τη λογαριθμική παράσταση της συχνοτικής απόκρισης γίνεται ο ακόλουθος συλλογισμός. Η συχνοτική απόκριση G(jω) προκύπτει από την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος F (s) με αντικατάσταση του s = jω. Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση μεταφοράς F (s) προκύπτει από το λόγο δύο πολυωνύμων του s. Κάθε πολυώνυμο μπορεί να αναλυθεί ως γινόμενο παραγόντων (s si) όπου si είναι οι ρίζες του πολυωνύμου, F (s) = K (s s )(s s 2 )...(s s m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) (3.36)

35 Ενότητα όπου K = B 0 /A 0. Από την προηγούμενη σχέση για την συχνοτική απόκριση εξάγεται ότι: F (jω) = K (jω s )(jω s 2 )...(jω s m ) (jω p )(jω p 2 )...(jω p n ) (3.37) Οι παράγοντες που δίνονται στις παρενθέσεις αντιστοιχούν στις μιγαδικές ρίζες και για αυτό η συχνοτική απόκριση μπορεί να εκφρασθεί με τους παράγοντες G j (jω), οι οποίοι αποτελούν συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και επομένως το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μία εν σειρά συνδεσμολογία περισσοτέρων στοιχείων μεταφοράς. Τέτοια χαρακτηριστικά στοιχεία μεταφοράς είναι τα ακόλουθα: Στοιχεία με καθυστέρηση. Στοιχεία με ολοκληρωτική συμπεριφορά. Στοιχεία με διαφορική συμπεριφορά. Στοιχεία με ταλάντωση. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι: G(jω) = G (jω)g 2 (jω)...g n (jω) όπου G i (jω) = H i (ω)e jθ i(jω), i =, 2,..., n. Οι σχέσεις G i (jω) είναι συχνοτικές απόκρισης χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και συνεπώς προκύπτει: G(jω) = H (ω)h 2 (ω)...h n (ω)e j[θ (ω)+θ 2 (ω)+...+θ n (ω)] Επομένως για τη λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας ισχύει: L(ω) = 20 log [H (ω)h 2 (ω)...h n (ω)] = 20 [log H (ω) log H n (ω)] (3.38)

36 Ενότητα και για την χαρακτηριστική φάσης-εύρους, Θ(ω) = Θ (ω) + Θ 2 (ω) Θ n (ω) (3.39) Από τις σχέσεις (3.38) και (3.39), εξάγεται το συμπέρασμα ότι τόσο η χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας όσο και η χαρακτηριστική φάσεως-συχνότητας, προσδιορίζονται από την άθροιση των λογαριθμικών συχνοτικών αποκρίσεων χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς και συνεπώς αρκεί, μόνο, η επίδειξη της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης χαρακτηριστικών στοιχείων που θα γίνει στην συνέχεια Λογαριθμικές συχνοτικές αποκρίσεις χαρακτηριστικών στοιχείων μεταφοράς Στοιχεία μεταφοράς με καθυστέρηση Η συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: G(jω) = + jωt = + (ωt ) 2 e j arctan(ωt ) (3.40) από την οποία προκύπτουν οι σχέσεις για την χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας και φάσεως-συχνότητας της λογαριθμικής απόκρισης: µϵ G(jω) = + (ωt ) 2 και Θ(ω) = arctan(ωt ) και άρα για την λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας προκύπτει: ) L(ω) = 20 log ( + (ωt ) 2 (3.4) Το μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόδου της λογαριθμικής παράστασης της συχνοτικής απόκρισης βρίσκεται στο γεγονός ότι είναι δυνατή μια απλή προσέγγιση των

37 Ενότητα καμπυλών χωρίς την δημιουργία σοβαρού σφάλματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι δυνατό για: ωt << να γίνει παράλειψη του παράγοντα ωt και για τιμές: ωt >> να γίνει η παράλειψη της μονάδας που βρίσκεται μέσα στην ρίζα. Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ισχύουν οι ακόλουθες προσεγγιστικές σχέσεις: για ωt << : L(ω) = 0 για ωt >> : L(ω) = 20 log(ωt ) = 20 log(ω) 20 log(t ) Για τιμές ω < /T η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα 0dB, ενώ για τιμές ω > /T η ευθεία παρουσιάζει κλίση 20dB και αυτό ισχύει διότι: L(0ω) L(ω) = 20 log(0ω/ω) = 20dB. Το σημείο τομής των δύο ευθειών βρίσκεται στη θέση: ωt = ω = /T και ονομάζεται συχνότητα θλάσεως ή συχνότητα γωνίας. Η πραγματική καμπύλη της σχέσεως L(ω) μπορεί να δοθεί αφού πρώτα προσδιορισθεί η μέγιστη απόκλιση αυτής που βρίσκεται στο σημείο της συχνότητας θλάσεως: ω = /T. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η μέγιστη απόκλιση της πραγματικής καμπύλης κυμαίνεται στα: 20 log( 2) 3dB, στα σημεία: ω = 0.5/T, ω = 2/T η απόκλιση ελαττώνεται στο db. Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας της συχνοτικής απόκρισης δίνεται στο σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3: Λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης και T = sec. L(ω) [db] ω [s-] Λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας:

38 Ενότητα Η φάση του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης δίνεται από τη σχέση: Θ(ω) = arctan(ωt ) (3.42) και χαράσσεται σε σχέση με τη λογαριθμική παράσταση της κυκλικής συχνότητας ω. Η λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας δίνεται στο σχήμα 3.4. Σχήμα 3.4: Λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας του στοιχείου μεταφοράς με καθυστέρηση ης τάξης και T = sec. Θ(ω) [deg] ω [s-] Η εξέταση της λογαριθμικής χαρακτηριστικής συχνότητας μπορεί να γενικευτεί, όταν αντί της κυκλικής συχνότητας ω ληφθεί υπόψη η συχνότητα: ω = ω/ω = ωt H χάραξη της λογαριθμικής χαρακτηριστικής συχνότητας γίνεται επομένως ανεξάρτητη από την επιλογή του T και ισχύει: G(jω) = /( + jω) και συνεπώς το σημείο θλάσης βρίσκεται, για όλες τις τιμές του T, στην θέση ω =. Στον πίνακα 3.2 δίνονται οι τιμές του μέτρου G σε db και της φάσης Θ(ω) σε μοίρες, καθώς επίσης και οι αποκλίσεις της πραγματικής καμπύλης δ σε G /db από τις ασύμπτωτες ευθείες που αποτελούν την προσέγγιση με τη μέθοδο Bode. Όπως προκύπτει και από τον πίνακα, οι αποκλίσεις είναι συμμετρικές ως προς την συχνότητα θλάσης, δηλαδή ισχύει για ω/ω = α και ω/ω = /α η αυτή απόκλιση.

39 Ενότητα ω/ω G /db Θ( 0 ) δ/db Πίνακας Λογαριθμική συχνοτική απόκριση στοιχείου μεταφοράς με ολοκληρωτική συμπεριφορά Η συνάρτηση μεταφοράς του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά δίνεται από την ακόλουθη σχέση: F (s) = st Με αντικατάσταση όπου s = jω προκύπτει η συχνοτική απόκριση του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά: G(jω) = jωt = ωt e jπ/2 (3.43) και στη συνέχεια λαμβάνουμε: G(jω) = ωt και Θ(ω) = 90 o Για την λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας του στοιχείου με ολοκληρωτική συμπεριφορά ισχύει: L(ω) = 20 log(ωt ) (3.44) Ο σχεδιασμός της χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας για να γίνει ανεξάρτητος από την επιλεγόμενη σταθερά χρόνου, χαράσσεται η σχέση L(ω) σε σχέση με την γενική λογαριθμική έκφραση log(ω/ω ). Επομένως προκύπτει μία ευθεία, η οποία για την τιμή ω/ω = διέρχεται από τον άξονα db και η κλίση της είναι ίση με:

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34

συστημάτων αυτόματης ρύθμισης... 34 Περιεχόμενα 5 Πειραματικοί Μέθοδοι Προσδιορισμού Μεγεθών Γραμμικών Συστημάτων Ρύθμισης 5. Γενικά..................................... 5.2 Αναλυτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Κριτήριο Nyquist Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #7: Αρμονικά κριτήρια ευστάθειας κατά Nyquist και BODE 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

3. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3. 3. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3. Εισαγγή Στην μελέτη τν συστημάτν, μία από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται είναι η απόκριση κατά συχνότητα ή η συχνοτική απόκριση. Η μέθοδος αυτή μελετά την συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Φάσμα συχνοτήτων. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής MATLAB Εισαγωγή στο SIMULINK Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Εισαγωγή στο Simulink - Βιβλιοθήκες - Παραδείγματα Εκκίνηση BLOCKS click ή Βιβλιοθήκες Νέο αρχείο click ή Προσθήκη block σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου Αρμονική απόκριση συστημάτων

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου Αρμονική απόκριση συστημάτων ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Θεωρούμε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s διεγείρεται από το σήμα με μετασχηματισμό Laplace έξοδος του συστήματος θα είναι με δύο συζυγείς φανταστικούς πόλους jω

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο 1.1. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο Ένα από τα βασικά πρακτικά προβλήματα της επιστήμης των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι η σχεδίαση ενός συστήματος τέτοιου ώστε η έξοδος του να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις

Άσκηση 3. Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις Άσκηση 3 Ποιοτική Μελέτη των νόμων ελέγχου δύο και τριών όρων (συσκευή: Προσομοιωτής ελέγχου PCS327: Σχ.1) Απαραίτητες γνώσεις 1) Αυτόματος έλεγχος δύο και τριών όρων 2) Εμπειρικαί μέθοδοι εκλογής των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα