Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43"

Αποστόλης Σπανός
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji zadaci Parcijalna integracija Kombiniranje gornjih tehnika Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

2 Sadržaj: Sadržaj Tablično integriranje Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Supstitucija Supstitucija u odredenom integralu 3 Parcijalna integracija Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Parcijalna integracija u odredjenom integralu Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Tablično integriranje f(x) x f(x)dx ln x +c x a x ;a a+ a+ + c sinx cosx+ c cosx sinx+ c tgx+ c cos x ctgx+ c sin x b x bx lnb + c e x e x + c a x arcsin( x a ) f(x) f(x)dx a +x a arctg( x a )+c a x a ln a+x a x +c x +a ln(x+ x + a )+c x a shx chx sh x ch x ln(x+ x a )+c chx+ c shx+ c cthx+ c thx+ c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

3 Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: Rj. (a) ( x x x )dx (b) ( x /3 + x) 5 dx (c) xdx. Zadatak. Odredite sljedeće integrale: (a) ( ) cosx 3 dx cos x (b) 5sin 3 x+4dx (c) π sin x 3 sinxdx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 3. Odredite sljedeće integrale: (a) ( ) + 3 dx 4 +x 7 x (b) ( ) + 3 dx 5 x (c) 4x dx (d) dx x +. 4+x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

4 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 4. Odredite sljedeće integrale: (a) ( 3 x + 3 x) dx (b) 5e 3x dx (c) x dx (d)odredite površinu na slici desno. e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 5. Odredite sljedeće integrale: (a) π ( 3x + sinx e x) dx (b) ( ) 3 x+ dx x (c)odredite površinu na slici desno. sin x π cos x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

5 Tablično integriranje Zadaci Rješenje : Zad. (a) x4 x 4 x+ c. (b) 3 5 x5/3 + 5ln x +c. (c) 4 3. Rješenje : (a) sinx 3tgx+ c. (b) 5cosx 4ctgx+ c. (c) 3. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 3: (a) 3 arctg( x 3 )+ 7 ln 7+x 7 x +c. (b) arcsin( x 5 )+3ln(x+ x + 4)+c. ) (c) (x+ ln x 4 + c. (d) π 4. Rješenje 4: (a) ln3 3x + ln3 3x + c. (b) 5 3 e3x + c. (c) ln. (d) e e. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

6 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 5: (a) π e π. (b) π. (c) P = π 4 (cosx sinx)=. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Očigledna supstitucija Ako je u = u(x) onda je PRIMJER. x x dx =? f(u(x)) du dx dx = f(u)du Rješenje: x xdx = = 3 (x ) 3 + c. u=x du dx =x = u du dx dx = udu = 3 u3/ + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

7 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Primjer. sin x cosxdx =? Rješenje: sin x cosxdx = u=sinx du dx =cosx = u du dx dx = u du = u3 3 + c = sin3 3 + c. Standardnija procedura: sin x cosxdx = u=sinx du=cosxdx = u du = u3 3 + c = sin3 3 + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Zadatak 6. Izračunajte sljedeće integrale: (a) cos x sinxdx (b) e x +e x dx (c) e x +e x dx (d) x 3 x 4 + dx (e) x cos(x 3 )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

8 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 6: (a) cos x sinxdx = t=cosx dt= sinxdx dt=sinxdx (b) ln(+e x )+c (t = +e x ) (c) arctg(e x )+c (t = e x ) (d) 4 ln(x4 + )+c (t = x 4 + ) (e) 3 sin(x3 )+c (t = x 3 ) = t dt = t3 3 + c = cos3 3 + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Zadatak 7. Ako je f(x)dx = F(x)+c, koliko je: (a) f(x)dx (b) f(x 4)dx (c) f(3x+ )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

9 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 7: (a) F(x) + c (b) F(x 4)+c (c) F(3x+) 3 + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Sljedeći zadaci se često koristi u primjenama. Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin xdx (b) cos xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

10 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 8: (a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom sin xdx = x sin(x) 4 + c (b) Koristimo se identitetom cos xdx = = x + sin(x) 4 + c sin x = cos(x) cos(x)dx = ( cos(x))dx = (+cos(x))dx = dx cos x = +cos(x) dx+ cos(x)dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija SUPSTITUCIJA Integral h(x)dx, pomoću supstitucije, izračunavamo sljedećim koracima: (a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz du = g (x)dx): (b)iz h(x) g (x) funkciju od u tj. h(x)dx = h(x) du g (x) pokušamo eliminirati x tako da h(x) h(x) g (x) = f(u). Dakle, h(x) du g (x) = g (x) f(u)du prepoznamo kao (c) f(u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon izračunavanja, zamjenimo nazad u = g(x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

11 Integriranje supstitucijom Supstitucija Primjer 3. x 3 +3 (x 4 +x) dx =? Rješenje: (a) Stavimo u = x 4 + x. Dakle du =(4x 3 + )dx: x x 3 (x 4 + x) dx = + 3 du u (4x 3 + ) (b) U integralu kraćenjem se eliminira x x u du 4(x 3 + 3) = 4 u du (c) 4 du = u u 4 + c = (x 4 +x) 4 + c = 4(x 4 +x) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija Zadatak 9. Izračunajte sljedeće integrale: (a) x+ x +x+ dx (b) e x x dx Zadatak. (a) lnx+ x dx (b) cosϕ +sinϕ dϕ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

12 Integriranje supstitucijom Supstitucija Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin(lnt) t dt (b) e y +e y dy (c) x +x 4 dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija Rješenje 9: (a) x+ x dx = +x+ = x + x+ +c (b) e x + c (t = x ) Rješenje : (a) 3 (lnx+ ) 3 + c (t = lnx+ ) (b) ln +sinϕ +c Rješenje : (a) cos(lnt)+c t=x +x+ dt=(x+)dx dx= (x+) dt = x+ dt t (x+) = t (t = +sinϕ) (u = lnt) (b) ln(+ey ) (u = +e y ) (c) arctg(x ) (u = x ) dt = t + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

13 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU Ako integral h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral f(u)du onda vrijedi: b a h(x)dx = g(b) g(a) Veza medu granicama integrala je dana sa x a b u g(a) g(b) f(u)du Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Primjer 4. Izračunajte integral e x e x + dx Rješenje: e x e x + dx = u=ex + du=e x dx x = +e u du =(lnu) +e = ln ( ) +e u +e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

14 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) π 8 cos(4x)dx (b) t t + dt (c) e x +e x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Rješenje : π 8 (a) cos(4x)dx = (b) t t + dt = e (c) x dx == +e x t=4x dt=4dx x π 8 t π u=t + du=tdt t u u=e x du=e x dx x u e π = = u du = e ) cost dt 4 = 4 (sint π = 4. = 3 (u3/ )= 3 ( 8 ) +u du = arctgu e = arctge π 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

15 Parcijalna integracija PARCIJALNA INTEGRACIJA Stavimo u = f(x), v = g(x) v Sa površina sa slike desno iščitavamo vezu: udv+ vdu = uv ud v vdu u Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Parcijalna integracija Integral f(x)g (x)dx računamo na sljedeći način: f(x)g (x)dxdx = u=f(x) du=f (x)dx dv=g (x)dx v=g(x) = f(x)g(x) g(x)f (x)dx. =uv vdu = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43

16 Parcijalna integracija Primjer 5. Izračunajte integral x cosxdx. Rješenje: }{{} x cos }{{ xdx } = u=x du=dx u dv = x sinx+ cosx+ c. dv=cosxdx v=sinx =uv vdu = x sinx sinxdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Parcijalna integracija Primjer 6. Izračunajte integral lnxdx. Rješenje: }{{} lnx }{{} dx = u dv u=lnx du= x dx dv=dx v=x = x lnx dx = x lnx x+ c. =uv vdu =(lnx)x x xdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43

17 Parcijalna integracija Zadatak 3. Izračunajte sljedeće integrale: (a) xe x dx (b) x cosxdx Zadatak 4. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (x+ )sinxdx (b) (x )e 3x dx (c) x lnxdx (d) x e 3x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 33 / 43 Parcijalna integracija Rješenje 3: (a) xe x dx = u=x du=dx dv=e x dx v=e x = xe x e x dx = xe x e x + c (b) x cosx dx = u=x du=xdx dv=cosxdx v=sinx = x sinx x sinxdx = = u=x du=dx =x sinx (x( cosx)+ cosxdx)= dv=sindx v= cosx = x sinx+ x cosx cosxdx = x sinx+ x cosx sinx+ c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 34 / 43

18 Parcijalna integracija Rješenje 4: (a) (x+ )cosx+ sinx+ c (b) e 3x( 3 (x ) 9) + c (c) x3 x3 3 ln x 3 + c (d) e 3x ( x 3 x ) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 35 / 43 Parcijalna integracija Zadatak 5. Supstitucijom i parcijalnom integracijom izračunajte sljedeće integrale: (a) x 3 cos(x ) dx (b) e x sinx dx (c) arcsinx dx (d) xarctg x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 36 / 43

19 Parcijalna integracija Rješenje 5: (a) x 3 cos(x )dx = t=x = t cost dt = u=t du=dt dt=xdx dv=costdt v=sint = = t sint sint dt = t sint+ cost+ c = x sin(x )+cos(x )+c (b) e x sinx dx = u=e x du=e x dx dv=sinxdx v= cosx = cosx e x + e x cosx dx = u=e x du=e x dx dv=cosx dx v=sinx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx e x sinx dx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx = ex ( cosx+ sinx)+c (c) arcsinx dx = u=arcsinx du= x dx = x arcsinx x dx = dv=dx v=x x t= x = dt= x = x arcsinx+ dt = x arcsinx+ t+ c = x = x arcsinx+ x + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 37 / 43 Parcijalna integracija Rješenje 5: (d) xarctg x dx = = x arctg x u=arctg x du= +x dx dv=xdx v= x ( +x ) dx = = x arctg x = x arctg x x (+x ) dx = (x arctg x)+c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 38 / 43

20 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU b a b u dv = uv b a v du a Zadatak 6. Izračunajte integral: e lnx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 39 / 43 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Zadatak 7. Izračunajte površinu sa slike: y f (x)= x sin x x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

21 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Rješenje 6: e lnx dx = Rješenje 7: 3π π x sinx dx = u=lnx du= x dx dv=dx v=x =xlnx e e u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx x x dx =. = x cosx 3π π + 3π π cosx dx = 5π. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) 3 7 x 3 dx (b) dx x x+3 (c) x x +7 dx (d) tgx dx (e) π π 4 ctgx dx (f) 6x x sinx x 3 x +cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

22 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Rješenje 8: (a) 7 ln3 (b) arcctg( x )+c (c) ln(x + 7)+c (d) ln cosx +c (e) ln( ) (f) ln x 3 x + cosx +c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 43 / 43

Σχετικά έγγραφα

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)