6. RANŽIRNA VRSTA, RANG, KVANTILNI RANG IN KVANTILI

Transcript

1 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6- RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI 6. RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI 6.. RAŽIRA VRSTA, RAG I VATILI RAG RAŽIRA VRSTA so po vrednosti številse spremenljive veliosti (od najmanjše do največje) urejeni podati proučevane populacije. RAG R enote pove mesto (zaporedno število glede na urejenost), i pripada enoti v oviru celotne populacije. Rang poaže mesto enote v populaciji šele, če ga primerjamo z obsegom populacije. Rang je lastnost enote spremenljiva. PRIMER: Če smučar v smuu doseže tretji čas med tremi temovalci, je na zadnjem mestu, če pa doseže tretji čas med tridesetimi temovalci, je njegov čas v primerjavi z ostalimi temovalci zelo dober, saj ga uvrsti v prvo desetino temovalcev. adar ima več enot isto vrednost spremenljive, uporabimo namesto ranga vezani (povprečni) rang R, s čimer se izognemo problemu vrstnega reda zapisa enot enae veliosti in stopničasti slii rang grafiona.

2 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-2 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI PRIMER: Imamo danih devet vrednosti nee številse spremenljive 2, 2.5, 3, 3, 5.5, 6, 6, 6, 7.. Razvrstimo jih v ranžirno vrsto in jim določimo rang in vezani rang. y R R 2 2, , , 5 5, , 9 9

3 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-3 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI Vpliv veliosti populacije izločimo iz izračuna ranga tao, da namesto ranga R računamo VATILI RAG P. vantilni rang pove, na aterem delu celotnega ranžirnega razmia leži določena enota oziroma olii del celote ima manjše, večjemu enae vrednosti aor je dana vrednost. Pri izračunavanju rangov spremenimo disretni (celoštevilsi) rang R v zveznega, i ga označimo z R P, tao, da celoštevilsi vrednosti pripišemo enotin razmi. ajmanjša vrednost ranga R P je tao 0,5, največja pa +0,5. Vrednost vantilnega ranga je pri najmanjši vrednosti ranga (0,5) enaa 0, pri največji vrednosti ranga (+0,5) pa. ZAČETA (AJIŽJA) VREDOST OČA (AJVIŠJA) VREDOST RAG R (disretna številsa spremenljiva) RAG R P (zvezna številsa spremenljiva) 0,5 + 0,5 VATILI RAG P (zvezna številsa spremenljiva) 0 Povezava med rangom in vantilnim rangom: R P P + 0,5 in P R 0,5 P Prednost vantilnega ranga pred rangom je, da že sam zase (ne da bi navajali obseg populacije) priaže mesto določene enote v populaciji.

4 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-4 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI PRIMER: Ranžirna vrsta desetih evropsih držav po številu študentov na prebivalcev v letu 997 (vir: Slovenija v številah 999, str. 68-7, podati neolio prirejeni): DRŽAVA ŠT. ŠTUDETOV A PREB. RAG R P VATILI RAG P 0,5 0 Hrvaša 92 0,05 Madžarsa ,5 Slovenija ,25 emčija ,35 Švedsa ,45 Italija 34 Velia Britanija ,65 Grčija 34 Irsa ,85 Španija ,95 0,5 R P P 0,5 R P 0,5 0

5 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-5 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI 6... GRAFIČO PRIAZOVAJE RAŽIRIH VRST Ranžirno vrsto priažemo s prirejenim linijsim grafionom, i ga imenujemo RAG GRAFIO: na abscisno os nanesemo vrednosti spremenljive, za ordinato pa uporabimo dve mersi lestvici, eno za vrednosti ranga, drugo pa za vrednosti vantilnega ranga (začete 0 sale vantilnega ranga je pri vrednosti ranga 0,5, onec pa pri vrednosti ranga +0,5). Možna odčitavanja iz rang grafiona: atera po rangu oziroma olišen del enot populacije ima vrednost spremenljive manjšo, večjemu enao nei dani vrednosti. (Za dani y iščemo P y ) a podlagi sale za vrednosti vantilnih rangov laho razberemo, atera je tista vrednost (označimo to vrednost z y P ) spremenljive, od atere ima določeni delež populacije (označimo ta delež s P, npr. polovica enot) manjšo, večjemu enao vrednost spremenljive od vrednosti y P. (Za dani P iščemo y P ) V obeh primerih predpostavimo linearno spreminjanje vrednosti in zveznega ranga med danimi zaporednimi točami (i jih dobimo iz ranžirne vrste).

6 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-6 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI IZRAČUAVAJE VATILOV I VATILIH RAGOV IZ POSAMEZIH PODATOV A. Podan je y, iščemo njemu ustrezen rang R y in vantilni rang P y Dano imamo vrednost spremenljive y (med najmanjšo in največjo vrednostjo med vrednostmi v ranžirni vrsti) in iščemo njej ustrezno vrednost ranga R y in vantilnega ranga P y. Rang in vantilni rang torej odražata značilnost posamezne enote, zato sta statistični spremenljivi. Zopet predpostavimo linearno spreminjanje vrednosti ranga med danimi zaporednimi točami. Glede na dano vrednost y poiščemo v rang grafionu dve zaporedni toči, med aterima leži isana vrednost ranga in ju označimo s T - (y -,R - ) in T 0 (y 0,R 0 ). Isano vrednost dobimo iz enačbe premice sozi ti dve toči (y y ) R y R + (R 0 R ) y y 0 adar imajo vse enote različne vrednosti, upoštevamo, da je razlia med zaporednima rangoma in zato se nam obrazec neolio poenostavi v R y R + y y y y 0 avadno izračunamo tudi vantilni rang P y R y 0,5

7 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-7 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI PRIMER: Izračunajmo na osnovi podatov o številu študentov na prebivalcev v 0 evropsih državah na atero mesto bi se uvrstila Portugalsa, če je v letu 997 imela 306 študentov na prebivalcev. Postope računanja:. V ranžirni vrsti poiščemo, med ateri vrednosti bi padla Portugalsa: y < y y 0 med Švedso: y in Italijo: y Poiščemo državama ustrezna ranga: R - 5 in R Izračunamo rang za Portugalso iz obrazca, i smo ga dobili z linearno interpolacijo: R y R - + (R 0 - R - ) (y - y - )/(y 0 - y - ) 5 + (7 5) ( ) / (34 297) 6,06 4. Iz ranga izračunamo še ustrezni vantilni rang: P y (R y 0,5) / (6,06 0,5) / 0 0,556. Iz vantilnega ranga P y vidimo, da ima 55,6 % izbranih držav manjše, večjemu enao število študentov na prebivalcev ot Portugalsa. er je rang vrednosti za Portugalso ena 6,06, ima 6,06 držav v populaciji manjše, večjemu enae vrednosti ot Portugalsa in +- R P -6,06 4,94 držav ima vrednosti večje ot Portugalsa.

8 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-8 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI B. vantilni rang P je podan, iščemo njemu ustrezno vrednost y P Dano imamo vrednost vantilnega ranga P, iščemo pa vrednost spremenljive, i mu ustreza, torej y P. Vrednost spremenljive, i ustreza danemu vantilnemu rangu, imenujemo VATIL. er vantil odraža značilnost celotne populacije (npr. vrednost y 0,5 je tista vrednost, od atere je polovica enot v populaciji manjša, polovica pa večja to vrednost imenujemo mediana), predstavlja statistični parameter. Predpostavimo linearno spreminjanje vrednosti spremenljive med danimi zaporednimi točami. Glede na dano vrednost P izračunamo njemu ustrezen rang R P in poiščemo v rang grafionu dve zaporedni toči, med aterima leži isana vrednost spremenljive, torej R < R P R 0 Označimo ju s T - (y -,R - ) in T 0 (y 0,R 0 ). Isano vrednost dobimo iz enačbe premice sozi ti dve toči (R P R ) y P y + (y 0 y ) R R 0 adar imamo podan rang R P (pri vezanih rangih to ne velja!), upoštevamo, da je razlia med zaporednima rangoma vedno in zato se nam obrazec neolio poenostavi v y P y + (y 0 y ) (R P R )

9 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-9 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI Vsa vantil y P nam razdeli populacijo na dva dela: v prvem je delež enot populacije ena P, v drugem pa je preostali delež enot populacije, i je ena -P. (er predpostavljamo zveznost spremenljive y, je vseeno, v ateri del štejemo enote s temi vrednostmi.) eateri vantili imajo celo posebna imena. Med njimi so najpomembnejši: MEDIAA M e ali SREDIŠČICA ali RAZPOLOVIŠČICA je vantil, i ustreza vantilnemu rangu P 0,5. Mediana je torej tista vrednost spremenljive, i razdeli populacijo glede na število enot na dva enaa dela. VARTILI Q so vantili, i razdelijo populacijo glede na število enot na štiri enae dele: Q y P0,25, Q 2 y P0,5 in Q 3 y P0,75 DECILI D so vantili, i razdelijo populacijo glede na število enot na deset enaih delov: D y P0,, D 2 y P0,2,..., D 9 y P0,9 CETILI C so vantili, i razdelijo populacijo glede na število enot na sto enaih delov: C y P0,0, C 2 y P0,02,..., C 99 y P0,99 Veljajo enaosti: M e Q 2 D 5 C 50

10 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-0 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI PRIMER: Izračunajmo vantil, i pripada vantilnemu rangu 0,5 (mediano) za podate o številu študentov na prebivalcev iz prejšnjega primera. Postope računanja:. Podate uredimo v ranžirno vrsto. 2. er imamo v ranžirni vrsti podane range, izračunamo vantilnemu rangu 0,5 (ateremu ustreza mediana) ustrezen rang: R P + 0,5 0 0,5 + 0,5 5,5 3. Poiščemo, med aterima rangoma v ranžirni vrsti leži izračunani rang R: R < R R 0 R - 5 in R Poiščemo v ranžirni vrsti rangoma ustrezni vrednosti: y (Švedsa) in y 0 34 (Italija, Velia Britanija in Grčija) 5. Izračunamo mediano iz obrazca, i smo ga dobili z linearno interpolacijo: Me y 0,5 y - + (y 0 y - ) (R R - ) /( R 0 R - ) (34 297) (5,5 5)/(7 5) 30,25 Polovica izbranih držav ima torej število študentov na prebivalcev manjše od 30,25, preostala polovica držav pa ima večje število študentov na prebivalcev.

11 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6- RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI OPOMBA: Če gledamo na podate ot na disretna števila, pa izračunamo iz posameznih podatov mediano glede na sodost ali lihost veliosti populacije: če je sodo število, vzamemo za mediano aritmetično sredino med podatoma na mestu /2 in (/2) + ; če pa je liho število, pa vzamemo za mediano srednji podate glede na urejenost. V našem primeru bi bila mediana aritmetična sredina med podatoma 297 in 34, torej 305,5. Po istem postopu bi laho izračunali vrednosti vseh treh vartilov y y (R R 3) 23 Q 0, Q 2 Me 30,25 y y (R 8) 338, Q3 0,75 0 devetih decilov (0): P y - Y 0 D 0*P y P 0, ,5 0, , , , ,25 0, ,75 0, , , in sploh aterioli vantil.

12 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-2 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI 6.2. IZRAČUAVAJE VATILOV I VATILIH RAGOV IZ FREVEČIH PORAZDELITEV Ranžirne vrste so primerne za priaz majhnih populacij. Za velie populacije pa je urejanje prezamudno in v taih primerih uporabimo za priaz podatov frevenčne porazdelitve. Tudi v frevenčni porazdelitvi so vrednosti urejene po veliosti, le da je ranžiranje izvedeno med razredi, ne pa znotraj njih. Bistvena razlia med ranžirno vrsto in frevenčno porazdelitvijo je, da pri frevenčni porazdelitvi ne poznamo dejansih vrednosti, zato predpostavljamo, da so vrednosti znotraj vsaega razreda enaomerno porazdeljene. er ne poznamo dejansih vrednosti, so vse iz porazdelitve izračunane vrednosti le približi. Povezava med rangom enote in umulativno frevenco (poznamo rang zgornje meje -tega razreda): F R y,z vantilni rang izračunamo po obrazcu P y,z R y,z 0,5 F 0,5 F o 0,5 F o Pri velii populaciji ( veli), je zadnji člen zanemarljivo majhen in zato ne igra pomembne vloge v rezultatu.

13 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-3 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI A. Podan je y, iščemo njemu ustrezen rang R y in vantilni rang P y Poznamo vrednost spremenljive y in iščemo njej ustrezen rang R y in vantilni rang P y. Denimo, da leži isana vrednost med zaporednima točama T 0 (y 0,R 0 ) in T (y,r ). Upoštevamo y 0 y -,z y 0,s, y y 0,z in y 0,s - y 0,z i 0 R 0 F -, R F 0 in R R 0 F 0 F - f 0 F < R P F0 Razred s frevenco f 0 imenujemo vantilni razred. Rang in vantilni rang izračunamo po obrazcih R y F + f i 0 0 (y y 0, s ) in P y R y 0,5 Pogosto izražamo vantilni rang v odstotih in v tem primeru nam P y pove odstote enot, i imajo manjše, večjemu enae vrednosti od izbrane vrednosti y.

14 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-4 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI B. vantilni rang P je podan, iščemo njemu ustrezno vrednost y P Za dano vrednost vantilnega ranga P iščemo vantil, t.j. ustrezno vrednost spremenljive y P. ot pri frevenčnih porazdelitveh predpostavljamo enaomerno porazdelitev enot znotraj razredov, tudi pri isanju ustreznih vrednosti in vantilov predpostavljamo linearno spreminjanje vrednosti. Denimo, da leži isana vrednost med zaporednima točama T 0 (y 0,R 0 ) in T (y,r ). Upoštevamo y 0 y -,z y 0,s, y y 0,z in y 0,s - y 0,z i 0 R 0 F -, R F 0 in R R 0 F 0 F - f 0 F < R P F0 Razred s frevenco f0 imenujemo vantilni razred. in dobimo obrazec za izračun vantila i0 yp y0,s + (R P F ) f 0

15 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-5 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI UIVERZA V LJUBLJAI EOOMSA FAULTETA Vsa vantil vedno razdeli populacijo glede na število enot na dva dela. g o Manj ali večjemu tolio; ajveč tolio; e več ot tolio ; Več ot tolio ; P - P y P Manj ot tolio ; Statistia Ranžirna vrsta, rang Lovrenc Pfajfar vantilni rang, vantili Tolio ali več ; Vsaj tolio ; ajmanj tolio ; Stran 30 AZALO y AZAJ OČAJ

16 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-6 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI PRIMER : Porazdelitev zaposlenih v RS in zaposlenih v izobraževanju v RS po višini bruto plače (BP) septembra 200 (vir: Statistične informacije št. 22, ) ZAPOSLEI V VSI ZAPOSLEI V RS IZOBRAŽEVAJU V RS BP f F F % f F F % v 000 SIT nad 60 do , ,2 nad 0 do , ,4 nad 70 do , ,7 nad 260 do , ,7 nad 400 do , ,5 nad 650 do a) olišen del vseh zaposlenih v RS je imalo septembra 200 BP večjemu SIT? b) olišen del vseh zaposlenih in zaposlenih v izobraževanju v RS je imelo septembra 200 BP višjo od SIT? c) Izračunajte in razložite mediano BP vseh zaposlenih in zaposlenih v izobraževanju v RS septembra 200! d) Vsaj olišno BP je imalo septembra 200 tri četrtine vseh zaposlenih v RS?

17 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-7 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI Poligon zaposlenih in zap. v izobraževanju v RS po BP sept Frevence Vsi zaposleni Zap. V izobraževanju BP v tisoč SIT Poligon zaposlenih in zap. v izobraževanju v RS po BP sept Relat. gostote Vsi zaposleni Zap. V izobraževanju BP v tisoč SIT

18 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 6-8 RAŽIRA VRSTA, RAG, VATILI RAG I VATILI Ogiva zaposlenih in zap. v izobraževanju v RS po BP sept umulative relativnih frevenc BP v tisoč SIT Vsi zaposleni Zap. V izobraževanju

19 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7- SREDJE VREDOSTI 7. SREDJE VREDOSTI Vrednosti spremenljive homogene populacije se v splošnem goste orog neega središča srednje vrednosti (mere centralne tendence), i jo zaradi tega opredelimo ot značilnost populacije (statistični parameter). a gibanje posameznih vrednosti spremenljive ooli taega središča vplivajo posamezni vplivi, i niso bili vljučeni med opredeljujoče pogoje populacije. Ogledali si bomo naslednje srednje vrednosti:. SREDISI VREDOSTI (določeni z lego vrednosti v populaciji) MEDIAA Me ali SREDIŠČICA MODUS Mo ali GOSTIŠČICA 2. POVPREČJA (izračunana iz vrednosti številsih spremenljiv) ARITMETIČA SREDIA Y ali POVPREČJE HARMOIČA SREDIA Hy (uporaba: izračunavanje povprečij relativnih števil) GEOMETRIJSA SREDIA Gy (uporaba: izračunavanje povprečnih vrednosti azalcev dinamie pojavov)

20 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-2 SREDJE VREDOSTI 7.. MEDIAA Me ali SREDIŠČICA ali RAZPOLOVIŠČICA Mediana je vrednost (vantil), i ustreza vantilnemu rangu P 0,5: Me y P 0,5 Mediana je tista vrednost spremenljive, od atere ima polovica enot v populaciji manjše vrednosti in polovica večje. DISRETE VREDOSTI a osnovi ranžirne vrste izračunamo mediano po obrazcih (predpostavimo, da imamo vrednosti označene po veliostnem redu, torej y y ): 2 y 2 i 2 i + y y Me i + i + Me y 2 i + ZVEZE VREDOSTI er pa navadno tudi disretne spremenljive za potrebe računanja spremenimo v zvezne, pogosteje računamo mediano ot vantil, i pripada vantilnemu rangu 0,5.

21 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-3 SREDJE VREDOSTI PRIMERI: Izračunaj mediano iz dane ranžirne vrste: a) (VREDOSTI SO UREJEE PO VELIOSTI!) 5 > i 2 > Me 53 (2 enoti imata manjše vrednosti od mediane, 2 enoti pa imata večje vrednosti od mediane) b) > i 2 > Me 53 (2 enoti imata manjše ali enae vrednosti od mediane, 2 enoti pa imata večje vrednosti od mediane) c) > i 2 > Me 53 (2 enoti imata manjše vrednosti od mediane, 2 enoti pa imata večje ali enae vrednosti od mediane) d) > i 3 > Me 49 2 (3 enote imajo manjše in 3 večje vrednosti ot mediana) e) > i 3 > Me 53 2 (3 enote imajo manjše ali enae in 3 večje ali enae vrednosti ot mediana mediana razdeli populacijo glede na število enot in ne glede na vrednosti!)

22 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-4 SREDJE VREDOSTI PREDOSTI MEDIAE: - laho razumljiva srednja vrednost - za določanje mediane ni potrebno poznati vseh vrednosti (posebej ugodno, če sta prvi in zadnji razred odprta), pač pa zadošča poznati vrednosti za tiste enote, i ležijo ooli sredine v ranžirni vrsti - y c min i i pri c Me POMAJLJIVOSTI: - preveč neobčutljiva za spremembe vrednosti (vrednost mediane se spremeni le, če so spremembe vrednosti spremenljiv tae, da vrednosti preidejo iz ene polovice v drugo) - za asimetrične ali polimodalne porazdelitve je mediana vrednost, i je različna od večine vrednosti v populaciji

23 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-5 SREDJE VREDOSTI 7.2. MODUS Mo ali GOSTIŠČICA Modus je najpogostejša vrednost spremenljive y oziroma vrednost, orog atere se goste vrednosti spremenljive. Smiselno jo je ugotavljati le, če se določena vrednost pojavi pogosto ali pa za obsežne populacije. Obsežne populacije predstavimo s frevenčnimi porazdelitvami in opazimo laho, da modus leži v modusnem razredu. PREDOSTI MODUSA: - modus laho določamo za številse in imense spremenljive - modus dobimo iz osnovnih podatov s preštevanjem (računanje ni potrebno) - je neobčutljiv za spremembe vrednosti posameznih enot vse doler gostitev na neem drugem mestu ne preorači stopnje gostitve v modusu (ni odvisen od vrednosti, i za populacijo niso tipične) POMAJLJIVOSTI: - premalo občutljiv za spreminjanje posameznih vrednosti (neobčutljivost na spremninjanje vrednosti je torej dobra, laho pa tudi slaba lastnost modusa) - pri bimodalnih in polimodalnih populacijah imamo več loalnih modusov in v tem primeru ni vedno najbolj primerno vzeti največjega med njimi za (edino) mero gostitve populacije. Določanje modusa je laho vprašljivo tudi pri zaoroževanju vrednosti.

24 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-6 SREDJE VREDOSTI DOLOČAJE MODUSA A PODLAGI FREVEČIH PORAZDELITEV Frevenčne porazdelitve navadno priazujemo s histogrami. Iz histograma dobimo oceno za modus tao, da pri izračunu upoštevamo frevenco f 0 v modusnem razredu in tudi frevenci v sosednjih razdredih f - in f +. Pri tem morajo imeti razredi enao širino, da frevenčna porazdelitev izraža zaonitost gostitve pojava. Pri izračunu predpostavimo, da ima frevenčna rivulja v oolici modusa oblio parabole druge stopnje, i doseže svojo največjo točo prav v modusu. Parabola, i gre sozi toče T - (y -, f - ), T 0 (y 0, f 0 ) in T (y +, f + ), ima masimum v toči z absciso Mo y 0,s + i 0 2f 0 f 0 f f f + Z i 0 smo označili širino modusnega razreda in z y 0,s njegovo spodnjo mejo. Grafično dobimo absciso s presečiščem daljic med točama T(y 0,s, f - ) in T(y 0,z, f 0 ) ter točama T(y 0,s, f 0 ) in T(y 0,z, f + ). adar širine razredov niso enae, zamenjamo v obrazcu frevence z gostotami: Mo y 0,s + i 0 2g 0 g 0 g g g +

25 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-7 SREDJE VREDOSTI PRIMER: V neem ošarašem lubu so dobili naslednjo frevenčno porazdelitev višin njihovih igralcev: Višina v cm f od 90 do pod 95 3 od 95 do pod od 200 do pod od 205 do pod 20 2 a podlagi te porazdelitve izračunajte modus! Modusni razred je 3. razred, zato je: y 0,s 200 y 0,z 205 f - 3 f 0 20 f + 2 Mo y 0,s + i 2f 200 +,4 20,4 0 0 f0 f f f

26 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-8 SREDJE VREDOSTI POLIGO FREVEČE PORAZDELITVE VIŠI OŠARAŠEV Frevenca ,5 97,2 202,5 207,5 20 Višina v cm Iz poligona bi laho dobili prvi približe za modus sredino modusnega razreda. Ta vrednost pa je modus le, če je porazdelitev simetrična. er je v našem primeru porazdelitev asimetrična v levo, slepamo, da se enote gostijo neolio bolj levo od sredine. To vrednost pa izračunamo na osnovi histograma.

27 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-9 SREDJE VREDOSTI 7.3. ARITMETIČA SREDIA Je najpogosteje uporabljena srednja vrednost, i pa jo laho izračunamo samo za številse spremenljive. Aritmetična sredina ali povprečje Y (označena tudi z M ali µ) pove, ašno vrednost bi imela posamezna enota, če bi vsoto vrednosti enot Y enaomerno razdelili po enotah v populaciji LASTOSTI ARITMETIČE SREDIE. Vrednost spremenljive pri posamezni enoti y i laho razdelimo na dva dela: na vrednost Y (pojasnjena sestavina), i je enaa pri vseh enotah in je rezultat splošnih vplivov, i izhajajo iz opredeljujočih pogojev populacije, in na del ε i (nepojasnjena sestavina), i je rezultat posameznih vplivov na enoto. yi Y + εi V splošnem je laho vsota posameznih vplivov pozitivna, negativna ali 0, pri določitvi povprečne vrednosti pa postavimo zahtevo, da je ta vsota enaa 0. Pri tej predpostavi je torej ε i 0 i yi i Y.

28 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-0 SREDJE VREDOSTI 2. Vsota odlonov za spremenljivo y od aritmetične sredine je enaa nič. (yi Y) 0. i 3. Aritmetična sredina za linearno ombinacijo številsih spremenljiv y j s onstantami a 0 in a j, j,...p, je enaa linearni ombinaciji njihovih aritmetičnih sredin. y Y a a p 0 + a j y j j p 0 + a j Yj j 4. Vsota vadriranih odlonov vrednosti za spremenljivo y od onstante A je najmanjša, če je onstanta enaa aritmetični sredini. 2 (y i c) min če je c i Y Ta lastnost je zelo pomembna, saj je iz vadratov odlonov od aritmetične sredine izpeljan poseben parameter VARIACA.

29 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7- SREDJE VREDOSTI IZRAČUAVAJE ARITMETIČE SREDIE Aritmetična sredina iz posamičnih podatov Y y i i Aritmetična sredina iz podatov, urejenih v neštevilse statistične vrste (supine so narejene za poljubno spremenljivo, imamo pa podano informacijo za številso spremenljivo, za atero računamo aritmetično sredino) 2.a) Poleg števila enot imamo pri vsai supini podano tudi vsoto vrednosti številse spremenljive, atere povprečje računamo: Total supine za številso sprem. - Supina Število enot f Y f Y 2 f 2 Y f Y Y Y Y f

30 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-2 SREDJE VREDOSTI 2.b) Poleg števila enot imamo pri vsai supini podano tudi povprečno vrednost (glede na enote v vsai posamezni supini) številse spremenljive, atere povprečje računamo: Supina Število enot f Povprečje supine za številso sprem. - Y f Y 2 f 2 Y f Y Sumarno ali supno aritmetično sredino izračunamo po obrazcu Y f Y f er smo povprečjem supin dodali določene uteži ali ponderje, imenujemo tao dobljeno aritmetično sredino tudi TEHTAA ali URAVOTEŽEA ali PODERIRAA aritmetična sredina. adar imamo namesto frevenc podane relativne frevence, uporabimo obrazec Y o f Y, pri podanih struturnih odstotih pa izračunamo povprečje ot Y f % Y 00

31 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-3 SREDJE VREDOSTI Aritmetična sredina iz frevenčnih porazdelitev (razredi so narejeni za številso spremenljivo, za atero računamo aritmetično sredino) a podlagi frevenčne porazdelitve v splošnem ne moremo izračunati dejanse aritmetične sredine, er za posamezen razred ne poznamo dejanse povprečne vrednosti. Zato v tem primeru dobimo le približe za aritmetično sredino. V izračunu vzamemo za približe povprečne vrednosti spremenljive za vsa razred ar sredino razreda, saj je le-ta vzeta ot predstavni enot v razredu. Upoštevamo torej približe f y Y, v aterem smo z y (ot vedno v frevenčnih porazdelitvah) označili sredino -tega razreda. Pri tej predpostavi dobimo naslednji obrazec za izračun aritmetične sredine Y f Y f y f f f y adar nastopajo v porazdelitvi odprti razredi, laho izračunamo približe za aritmetično sredino le, če imamo za odprte razrede podane supne vsote vrednosti v teh razredih. Prednost aritmetične sredine pred mediano in modusom je, da jo laho izračunamo iz delnih aritmetičnih sredin (za mediano in modus moramo delne populacije združiti v celoto in iz te izračunati mediano ali modus).

32 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-4 SREDJE VREDOSTI adar le ena ali neaj vrednosti spremenljive bistveno odstopa od ostalih vrednosti, smemo predpostaviti, da so odstopajoče vrednosti netipične za populacijo in jih zato ne upoštevamo pri izračunu povprečja v tem primeru govorimo o MODIFICIRAI ARITMETIČI SREDII. ODOS MED MEDIAO, MODUSOM I ARITMETIČO SREDIO ZA UIMODALE PORAZDELITVE Za simetrične porazdelitve velja: Me Mo Y Za porazdelitve, asimetrične v desno, veljajo neenaosti: Mo < Me < Y Za porazdelitve, asimetrične v levo (negativna asimetrija), veljajo neenaosti: Y < Me < Mo Za unimodalne in ne preveč asimetrične porazdelitve velja zveza: Y Mo 3 (Y Me)

33 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-5 SREDJE VREDOSTI 7.4. HARMOIČA SREDIA HARMOIČA SREDIA je definirana ot recipročna vrednost aritmetične sredine reciproov posameznih osnovnih podatov (smiselno jo je računati le, če nobena od vrednosti ni nič): H y i y i Y y adar imamo podate razvrščene v supinah in poznamo harmonične sredine supin in število enot v supinah, izračunamo harmonično sredino za številso spremenljivo y ot tehtano (uravnoteženo, ponderirano) harmonično sredino harmoničnih sredin supin H, v ateri so uteži števila enot v supinah f : H y f f H VELJA: in H y Y H y Y y i y i, j,, j

34 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-6 SREDJE VREDOSTI UPORABA: a) Harmonično sredino uporabimo tarat, adar se vrednosti populacije porazdeljujejo asimetrično, porazdelitev recipročnih vrednosti pa je simetrična. b) Včasih s harmonično sredino računamo povprečja iz relativnih števil (predvsem oeficientov in strutur). POVPREČJA IZ RELATIVIH ŠTEVIL (sestav in statističnih oeficientov) Relativna števila so v splošnem vocienti primerjanih oličin. Če z R označimo razmerje dveh absolutnih podatov Y in X, potem laho obrazec Y R X pišemo tudi v oblii (če poznamo relativno število R in primerjalni podate X ) Y R X ali pa (če poznamo relativno število R in primerjani podate Y ) Y X R Glede na te zveze računamo povprečna (supna, sumarna) relativna števila R na tri načine, odvisno od tega, s aterimi podati razpolagamo:

35 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-7 SREDJE VREDOSTI A. Če poznamo v supinah delni vsoti vrednosti (subtotala) Y in X za obe spremenljivi, izračunamo povprečno (supno, sumarno) relativno število R z obrazcem R Y X PRIMER: Število ativnega prebivalstva in registrirane brezposelne osebe v R Sloveniji na dan po spolu (vir: Statistične informacije, št. 53, 4. marec 2000): Spol Ativno prebivalstvo X Brezposelne osebe Y Žense Moši Supaj Izračunati želimo stopnjo registrirane nezaposlenosti, i je po definiciji razmerje med številom registrirano brezposlenih oseb in številom ativnih prebivalcev, izraženo v odstotih. R Y X ,986%

36 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-8 SREDJE VREDOSTI B. Če poznamo v supinah delne vsote vrednosti za spremenljivo x in relativna števila supin R, izračunamo (sumarno) relativno število za populacijo z obrazcem za tehtano aritmetično sredino (TAS) R X X R adar so uteži X po vseh supinah,,, enae, se R izraža ot navadna aritmetična sredina relativnih števil R po supinah. Glede na način, ao so podane sestave uteži X po supinah, osnovni obrazec preobliujemo v: R X % R 00 če so uteži X izražene relativno v struturnih odstotih X %, oziroma v R o X R če so uteži X izražene relativno v struturnih deležih.

37 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-9 SREDJE VREDOSTI PRIMER: Število ativnega prebivalstva in stopnje registrirane nezaposlenosti v R Sloveniji na dan po spolu (vir: Statistične informacije, št. 53, 4. marec 2000): Spol Stopnja registrirane nezaposlenosti R Ativno prebivalstvo X Žense 4, Moši 2, Supaj (Opozorilo: supna stopnja registrirane nezaposlenosti ni enaa vsoti niti aritmetični sredini stopenj po supinah.) Izračunati želimo stopnjo registrirane nezaposlenosti, i je po definiciji razmerje med številom registrirano brezposlenih oseb in številom ativnih prebivalcev, izraženo v odstotih. R X X R 4, , ,99%

38 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-20 SREDJE VREDOSTI D. Če poznamo v supinah vsote vrednosti za spremenljivo y in relativna števila supin R, izračunamo (sumarno) relativno število za populacijo z obrazcem za tehtano harmonično sredino (THS) R Y Y R Če so uteži Y izražene v struturnih odstotih Y % ali struturnih deležih, obrazec preobliujemo v R 00 Y % R oziroma R Y R o

39 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-2 SREDJE VREDOSTI PRIMER: Stopnje registrirane nezaposlenosti in odstote brezposlenih v R Sloveniji na dan po spolu (vir: Statistične informacije, št. 53, 4. marec 2000): Spol Stopnja registrirane nezaposlenosti R Odstote brezposelnih Y % Žense 4,4 50,64 Moši 2,8 49,36 Supaj 00,00 Izračunati želimo stopnjo registrirane nezaposlenosti, i je po definiciji razmerje med številom registrirano brezposlenih oseb in številom ativnih prebivalcev, izraženo v odstotih. R 00 Y % R 00 50,64 49,36 + 4,4,8 2,987%

40 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-22 SREDJE VREDOSTI STADARDIZIRAA POVPREČJA Bistvena pomanjljivost sumarnih povprečij, i jih izračunamo iz povprečij po supinah, je, da niso odvisna samo od teh števil, pač pa so odvisna tudi od sestave ustreznih uteži (struturnih deležev). Posledica te odvisnosti je, da je neposredna primerjava sumarnih srednjih vrednosti in sumarnih relativnih števil med različnimi populacijami ali med isto populacijo v različnih časovnih obdobjih zelo vprašljiva. Za tašno primerjavo moramo izločiti vpliv različne sestave uteži. To naredimo tao, da izračunamo sumarno srednjo vrednost ali sumarno relativno število za več populacij pri enai sestavi uteži. Standardna sestava, i jo vzamemo za osnovo za izračunavanje sumarnih relativnih števil, mora biti taa, da čim bolje ustreza pravim sestavam za posamezne populacije, i jih med seboj primerjamo. Standardna sestava je zato včasih povprečna sestava iz vseh populacij, i jih primerjamo, včasih pa idealna sestava, i je pogojena z analizo pojava, včasih pa za standardno sestavo vzamemo ar sestavo ene od populacij, i jih primerjamo.

41 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-23 SREDJE VREDOSTI 7.5. GEOMETRIJSA SREDIA GEOMETRIJSA SREDIA iz vrednosti y, y 2,, y je -ti oren produta vseh vrednosti (smiselno jo je računati le, adar so vse vrednosti za strogo pozitivne) G y y 2Ly Tehtano geometrijso sredino izračunamo po obrazcu G L w w w 2 w y y y 2 er je geometrijse sredine težo računati, si pomagamo z logaritmiranjem log G log(y i ) i in log G w w i log(y i ) VELJAJO EEAOSTI: H y G y Y

42 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-24 SREDJE VREDOSTI UPORABA:. Izračunavanje povprečnih (supnih) vrednosti indesov. PRIMER: Povečanju cen za 00% (indes je 200) smiselno ne ustreza znižanje cen za 00%, er bi bila v tem primeru cena nič, pač pa znižanje za 50% (indes 50). Izravnava raznosmernih učinov se poaže pri geometrijsi sredini, saj je geometrijsa sredina indesov 200 in e poaže pa se pri aritmetični sredini, saj je aritmetična sredina med 200 in 50 enaa 25. Zato je za izračunavanje časovnih sredin iz posameznih indesov bolj upravičena geometrijsa ot aritmetična sredina. 2. Izračunavanje povprečnih vrednosti azalcev časovne dinamie pojavov (povprečni oeficient dinamie, povprečni verižni indes, povprečna stopnja rasti). Predpostava pri isanju povprečnega oeficienta dinamie je, da le-ta zagotavlja enaomerno gibanje pojava od časovne enote do časovne enote, i pripelje pojav od vrednosti v prvem členu do vrednosti v zadnjem členu časovne vrste, zato velja Y Y Y 2 L 3 Y L Y

43 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-25 SREDJE VREDOSTI Iz teh enaosti izpeljemo obrazce za izračun POVPREČEGA OEFICIETA DIAMIE glede na dane podate: A. Poznamo posamezne vrednosti oeficienta dinamie: 2 3 L PRIMER: Ugotovi povprečni letni oeficient dinamie BDP R Slovenije v razdobju na podlagi letnih oeficientov dinamie v tem razdobju. oeficienti dinamie BDP R Slovenije v letih (izračunani iz podatov po cenah iz leta v Mrd SIT) Leto t t - 0,953 0,99 0,946,03,050 Vir: Pfajfar in Arh: STATISTIA, str ,953 0,99 0,946,03, ,975 BDP R Slovenije se je v razdobju spreminjal z različnimi oeficienti dinamie, v povprečju pa je oeficient dinamie v tem razdobju znašal 0,975 letno. Če bi bilo spreminjanje vrednosti enaomerno, bi se v tem razdobju BDP vsao leto zmanjšal za 2,5 % (povprečna stopnja rasti je 00 rat povprečni oeficient dinamie minus 00, ar znese 2,5%). Povprečni verižni indes za obravnavano razdobje 989/994 znaša 97,5.

44 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-26 SREDJE VREDOSTI B. Poznamo posamezne vrednosti pojava ali vsaj začetno in ončno vrednost pojava za željeno razdobje: Y Y ali log() 0 log( ) (log(y ) log(y )) PRIMER: Ugotovi povprečni letni oeficient dinamie BDP R Slovenije v razdobju na podlagi podatov o vrednosti BDP v Mrd SIT. Vrednost BDP R Slovenije v letih po cenah iz leta 990 (v Mrd SIT) Leto t BDP v Mrd SIT 206,4 96,8 80,8 7, 73,3 82,0 Vir: Pfajfar in Arh: STATISTIA,str.34 log() 0 log() (log(82) 5 0 0,0 log(206,4)) 0,975 ( 5 0,055) 0,0

45 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-27 SREDJE VREDOSTI C. Poznamo indese s stalno osnovo o za željeno razdobje: I I / o / o ali log() 0 log( ) (log(i / o ) log(i / o )) PRIMER: Ugotovi povprečni letni oeficient dinamie BDP R Slovenije v razdobju na podlagi indesov s stalno osnovo v letu 989. Indes BDP R Slovenije v letih (98900) Leto t I t/ ,3 87,6 82,9 84,0 88,2 Vir: Pfajfar in Arh: STATISTIA,str.34 Povprečni letni oeficient dinamie BDP R Slovenije je v razdobju znašal 0,975.

46 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-28 SREDJE VREDOSTI D. Če poznamo verižne indese za željeno obdobje, poiščemo povprečni verižni indes in povprečno stopnjo rasti po postopu:. Iz V t izračunamo povprečni verižni indes: V V2 V3 L V 2. Iz povprečnega verižnega indesa izrazimo povprečno stopnjo rasti: S V 00 PRIMER: Ugotovi povprečni letni oeficient dinamie, povprečni verižni indes in povprečno letno stopnjo rasti BDP R Slovenije v razdobju na podlagi verižnih indesov BDP. Verižni indesi za BDP R Slovenije v letih Leto t V t - 95,3 9,9 94,6 0,3 05,0 Vir: Pfajfar in Arh: STATISTIA,str.34 V 5 95,3 9,9 94,6 0,3 05,0 97,5 Povprečni verižni indes BDP R Slovenije v razdobju znaša 97,5.

47 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-29 SREDJE VREDOSTI S 97,5 00 2,5 Stopnje rasti BDP RS so bile v razdobju vsao leto različne. Iz začetne ravni v letu 989 na ončno raven v letu 994 pa bi prišli tudi, če bi se BDP RS vsao leto zmanjšal za 2,5% glede na tao izračunano raven v predhodnem letu. E. Če poznamo stopnje rasti za željeno obdobje, poiščemo povprečni verižni indes in povprečno stopnjo rasti po postopu:. Iz S t izračunamo t : t S t Iz oeficientov rasti izračunamo povprečni oeficient rasti: 2 3 L 3. Iz povprečnega oeficienta rasti izrazimo povprečno stopnjo rasti S in povprečni verižni indes

48 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-30 SREDJE VREDOSTI V S + 00 PRIMER: Izračunaj povprečno letno stopnjo rasti BDP R Slovenije za razdobje 989/994 na podlagi danih letnih stopenj rasti. Stopnje rasti BDP R Slovenije v letih Leto t S t - - 4,7-8, - 5,4,3 5,0 Vir: Pfajfar in Arh: STATISTIA,str.34 t + St ,953, 3 0,99, 4 0,946, 5,03, 6, ,953 0,99 0,946,03,05 S 0, ,5 0,975 Povprečna letna stopnja rasti BDP R Slovenije v razdobju znaša 2,5%. Letne stopnje rasti BDP v Sloveniji so bile v razdobju 989/994 različne, iz ravni BDP v letu 989 pa bi prišli na raven v letu 994 tudi, če bi se v tem razdobju BDP vsao leto zmanjšal za 2,5% glede na tao izračunano raven v prejšnjem letu.

49 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-3 SREDJE VREDOSTI F. Izračun začetne ravni pojava, če poznamo ončno raven pojava in povprečno vrednost oeficienta dinamie: Y Y PRIMER: Izračunaj BDP R Slovenije v letu 989, če vemo, da je bila njegova vrednost v letu 994 enaa 82 Mrd SIT (po cenah iz leta 990) in je bila povprečna letna stopnja rasti za obdobje od leta 989 do 994 enaa 2,5! S ,975 Y 82 0,975 Y 5 206,6 Vrednost BDP R Slovenije je v letu 989 znašala 206,6 Mrd SIT (po cenah iz leta 990).

50 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-32 SREDJE VREDOSTI G. Izračun potrebnih časovnih enota, da dosežemo željeno vrednost, če poznamo začetno raven in povprečno vrednost oeficienta dinamie: log Y Y log() log(y ) log(y log() ) PRIMER : Ocenimo, aterega leta bi izvoz R Slovenije dosegel 7 Mrd USD,če je vrednost izvoza leta 992 znašala 482 Mio USD in predpostavljamo, da je v naslednjih letih izvoz naraščal po povprečni letni stopnji rasti 8 odstotov. 6,69 log(y 6,69let ) log(y log() ,69 998, ,69 25,85 ) log(7000) log(482) log(,08) er so podati o vrednosti izvoza intervalni in se nanašajo na časovno enoto enega leta, na podlagi privzete stopnje rasti izvoza od leta 992 ocenjujemo, da bi vrednost izvoza dosegla 7 Mrd USD v letu s oncem v 252 dnevu leta 999, torej v letu, i se je ončalo 9.septembra 999, torej v letu od 0. septembra 998 do 9. septembra 999.

51 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-33 SREDJE VREDOSTI Preizus: Leto t Y t v Mio SIT *,08 456, ,56*, , , , , , ,2

52 S. orenja-černe: STATISTIČE METODE Prosojnica 7-34 SREDJE VREDOSTI GRAFIČI PRIAZ Grafično priažemo spreminjanje pojava Y z esponentno rivuljo, i potea sozi toči za začetno (,Y ) in ončno raven (,Y ): Y Y Če z Y t označimo vrednost, i jo dobimo po obrazcu Y t Y t, potem se dobljene vrednosti v prvi T(,Y ) (t) in zadnji toči T(,Y ) (t) ujemata z zečetno in ončno ravnjo pojava Y.