Kunci, jabolka in zlatnina

Transcript

1 Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum Najbolj pa ga znanstveni svet pozna po znamenitem Fibonaccijevem zaporedju V delu Liber Abaci je namreč Leonardo postavil znamenito nalogo: Nekdo da par kuncev v ograjen prostor Narava teh kuncev je taka, da vsak par na mesec skoti nov par kuncev, ki je ploden od konca drugega meseca

2 svojega življenja naprej Koliko parov kuncev bo tam živelo po enem letu, če noben ne pogine Število parov kuncev v omenjenem prostoru v n-tem mesecu je znamenito n-to Fibonaccijevo število F n Ta števila za n =, 2, 3, skupaj z F 0 = 0 sestavljajo znamenito Fibonaccijevo zaporedje: F 0, F, F 2, F 3, F 4, Prikaz razmnoževanja Fibonaccijevih kuncev mesec 2 mesec 3 mesec 4 mesec 5 mesec 6 mesec = = = = = = = = = = = = F = F 2 = F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8 Očitno velja pravilo: pri začetnih pogojih F n+2 = F n+ + F n, n = 0,, 2, 3, 4,, (A) F 0 = 0, F = Z vztrajnim računanjem ugotovimo, da bo na koncu leta F 2 = 44 parov Fibonaccijevih kuncev Ali obstaja formula za F n? Da To je inetova formula: F n = (( ) n ( ) n ) 5 () 2

3 inetovo formulo () lahko izpeljemo tako, da rešimo rekurzijo (A) z nastavkom F n = λ n Za λ dobimo kvadratno enačbo ki ima korena λ 2 = λ +, λ = + 5, λ 2 = Splošna rešitev rekurzije (A) je zato F n = c λ n + c 2 λ n 2 Iz začetnih pogojev takoj izpeljemo inetovo formulo () Ker je λ 2 <, gre potenca λ n 2 z naraščajočim n proti 0, bolj učeno in zato lahko zapišemo F n = lim n λn 2 = 0, { ( ) n } + 5 5, (C) 2 kjer oznaka {x} pomeni številu x najbližje celo število Število v zavitem oklepaju formule (C) je iracionalno, zato je število F n z njo točno določeno Zanimivo je tudi zaporedje količnikov zaporednih Fibonaccijevih števil F 2 F, F 3 F 2, F 4 F 3, F 5 F 4,, to se pravi zaporedje, 2, 3 2, 5 3, Če označimo f n = F n+, n =, 2, 3,, F n potem iz inetove formule () hitro odkrijemo: lim f n = λ = + 5 n 2 3

4 To število imenujemo zlato razmerje in ga označimo s τ Torej τ = Osnovna lastnost tega znamenitega števila je: τ 2 = τ + Približno je: τ = Kam stremi zaporedje količnikov F n+ /F n, lahko odkrijemo tudi brez inetove formule Iz rekurzije (A) imamo namreč novo rekurzijo, in sicer f n+ = + f n, n =, 2, 3,, z začetnim pogojem f = Obnašanje zaporedja f, f 2, f 3 si lahko lepo razložimo na grafu funkcije ϕ(x) = + x, x > 0 Njen graf je ena veja hiperbole Prejšnja rekurzija je potem oblike: f n+ = ϕ(f n ), n =, 2, 3,, pri istem pogoju f = x y y = ϕ(x) y = x 0 τ f f 2 f 3 f 4 3 4

5 Jabolka 5

6 Če prerežemo po sredini lepo jabolko, pravokotno na os pecelj muha, nas prerezane peške spominjajo na pravilni petkotnik ali pentagon Zanimivo je pogledati, kolikokrat je njegova diagonala d daljša od stranice a C a M d A D E a = A = C = CD = DE = EA = AM = DM, d = AD = AC = D Iz podobnih trikotnikov MC in MDA dobimo: C M = AD AM oziroma a d a = d a Po preureditvi pridemo do kvadratne enačbe za neznanko d/a: ( ) 2 d = d a a +, ki ima edino smiselno rešitev d/a = τ V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a: 6

7 d = τa Rezultat omogoča natančen zapis: sin 54 = cos 36 = τ 2 Ker je 3 = , lahko trigonometrične funkcije celih mnogokratnikov kota 3 izrazimo samo s kvadratnimi koreni z uporabo ustreznih formul (J Vega) Zlatnina Zlati pravokotnik a b b b a b a b = b a b = τ, a b = τ, a = b, b = a b A C D E F M N Konstrukcija zlatega pravokotnika Točka deli stranico AM v zlatem rezu: A = AD, AE = E, A M = AM A = τ Sami zlati pravokotniki 7

8 D A F E C A E D F C 8

9 E 2 A 2 D 2 C 2 F 2 2 D 4 C 4 A 4 4 9

10 Zlata točka D A F E C Zlata spirala A A 2 A 0 A 3 0

11 A A 0 A 3 A 2

12 Zlate točke Zlata trikotnika D F C D C A A E D E 36 S C A Zlata trikotnika sta v pravilnem petkotniku na primer enakokraka trikotnika AD in ADE Razmerje kraka proti osnovnici je pri prvem zlato število τ, pri drugem pa /τ = τ Zlato razmerje iz samih enk Prvi () na olimpijadi prejme zlato medaljo Ker je za zlato razmerje τ značilna zveza τ 2 = τ +, velja: τ = + τ (D) 2

13 Če vstavimo (D) samo vase, dobimo: τ = + + τ Z nadaljevanjem pridemo do verižnega ulomka: Njegovi zaporedni približki so ulomki: τ = =, + = 2, + 2 = 3 2, = 5 3, V njih prepoznamo količnike Fibonaccijevih števil: F 2 F, F 3 F 2, F 4 F 3, F 5 F 4, τ Drugi (2) na olimpijadi prejme srebrno medaljo Po analogiji bi vpeljali srebrno število ki je: φ = φ = Tretji (3) na olimpijadi prejme bronasto medaljo Po analogiji bi vpeljali bronasto število ki je: Pravilni ikozaeder χ = χ = Včrtani so mu trije skladni zlati pravokotniki, ki se sekajo paroma pravokotno,, 3

14 O A x x C x D x A y y C y D y A z z C z D z x y z O A x x C x D x A y y C y D y A z z C z D z a 4