H I P E R P O V R Š I

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Mlea Soovć H I P E R P O V R Š I -mae ad- Meo: Doce d Saa Ko Nov Sad.

2 SADRŽAJ PREDGOVOR... KRIVE U R.... FRENET-OVE KRIVE U R.... FUNDAMENTALNA TEOREMA LOKALNE TEORIJE KRIVIH KRIVE U RAVNI I PROSTORU KRIVINA... 5 DIFERENCIJABILNE MNOGOSTRUKOSTI APSTRAKTNE MNOGOSTRUKOSTI PODMNOGOSTRUKOSTI U R....3 DIFERENCIRANJE. TANGENTNI PROSTOR TANGENTNO RASLOJENJE. VEKTORSKA POLJA....5 TENZORI DIFERENCIJALNE FORME INTEGRALI. STOKES-OVA TEOREMA... 4 HIPERPOVRŠI KRIVINA HIPERPOVRŠI KOVARIJANTNI IZVOD GEODEZIJSKE LINIJE ZAKLJUČAK... 7 LITERATURA... 7 BIOGRAFIJA... 73

3 PREDGOVOR Razvo alulua u 7. veu velm delom odal u oblem u geome vh. Dfeecae e azvlo od meoda za oucu age do e egaca azvla uled oušaa odeñvaa ovša duže lua. Dfeecala geomea e maemača dcla u oo e oučavau oblem u geome uavo dfeecalm egalm ačuom. Teoa vh u av oou ao ovš u odmezoalom Euldom oou bla e oova za azvo dfeecale geomee a ae e zučavau e vega geomee uue a dfeecablm mogouoma. Jeda od avažh omova u dfeecalo geome e va. Iuvo va e mea oduaa geomeog obea od av l ave u lučau ve al e u zavo od oea defše a azlče ače. Razvo ove dee od vh do ovš a oom a všedmezoale ooe malo e začaa uca a azašee ao maemačog ao fzčog začea ooa vemea gavace. Počea ove eoe bav e odeñvaem ve vh u av do e za ve u oou moa uze u obz oza. Zam možemo defa vu ovš S u ač u odmezoalom oou oa će b zažea vama vh u av omaauć ee ovš S a avma oe adže omalu u ač. Na a ač možemo dob azlče ve a azlčm vama al ćemo a ma edu vu a mamalom vom edu vu a mmalom vom κ κ. Meñum Gau e oazao da e va ovš može oded a uuaš ač odoo meema oa e odvau amo a ovš. Došao e do eveovaog oća: da e ozvod κ κ o e o emu azva Gauova va može defa ao uuaše vovo. Bo e veoma ooa a vo ezula eoemu azvao Theoema Egegum ou ćemo u ovom adu doaza. Pedme zučavaa ovog ada u heovš veza zmeñu Gau-ovog Wegaeovog elavaa geodeze le. Cl e da uošmo oam ovš u R 3. U vo glav bavmo e vama u R. Defaćemo aamezovae ve aamezacu dužom lua vu ve ozu da fomulacu eoeme loale eoe vh. U dugo glav ceal oam e aaa mogouo. Pvo ćemo zučava odmogouo u R a oom da defce glaog elavaa a mogouoma ageog ooa ageog aloea veoh ola ezoa dfeecalh fom fomula Soe-ovu eoemu. Teća glava ovećea e heovšma. Pomov oe mo defal u ve dve glave u eohod za hovo oučavae. Odedćemo vu heovš defa Gau-ovo Wegae-ovo elavae geodeze le ovaa zvod.

4 Ovom lom e zahvaluem vom odelma Olve Slobodau o u m bl aveća odša u žvou. Zahvaluem e ededu ome of. d Neve Pušć člau ome of. d Duša Pešć al aveću zahvalo duguem vom meou doceu d Sa Ko oa e uve mala vemea azumevaa za mee uo m omogla e amo u ou aa ovog ada već u ou udaa zbog oe am zavolela dfeecalu geomeu. Ča m e šo e ova mae ad aao od em meovom. v

5 Glava KRIVE U R U zavo od cleva meoda zučavaa azlčh maemačh dcla oam ve e defše a azlče ače. Jeda od defca e ledeća: Kva e oološ oo o e loalo homeomofa a avom. U vaodevom ezu ovo zač da e va u ačaa aav da u ool vae voe ače odeća a avu. Svaa defca ve adž eoave o eo egulao. Kada e ve oučavau aalč ao fuce c z eog evala I R u R eedo e uvše laba eoava e oo me ve oa e eeda oa u ouo eva edč vada u R Peao-ova va. N dfeecablo e dovola ulov e e može de da e zvod fuce c eda. Sa geomee ače gledša odo e zaheva da u vao ač ve oo age veo. Pvo ćemo defa egulae aamezovae ve aamezacu dužom lua Fee-ove ve fomula fudamealu eoemu loale eoe vh a oom ćemo oučava ve u av oou. Teoeme ćemo da bez doaza a za vše deala ogleda [] [5] [9]. Podemo e ada eh važh defca oe će am eba za dal ad. Needa fuca f: Y zmeñu oološh ooa T YT Y e homeomofzam ao e beca ao e veza fuca f - eeda. Ao u M N dve mogouo bevo elavae f: M N e azva dfeomofzam ao u f f - glae fuce.. FRENET-OVE KRIVE U R.. Defca. Regulaa aamezovaa va e C -elavae c: I R defao a eom evalu I R avo da e dc c& I d Ao c oue fzčo eae čece a eeamo ao veme oda defca aže da e bza c& od c vuda azlča od ule odoo čeca e alo eće. Veo c& azva e age veo fuce c u a ava a c + c& e agea a

6 gaf fuce c u c. Pema Taylo-ovo eoem agea e aomaca fuce c u vog eda: c + c + c& + ο Geome omaao ama aamezaca ve e olo začaa olo e obl ve c... Defca. Regulaa va e laa evvalece egulah aamezovah vh u odou a ledeću elacu evvalece: ea u c : I R c : I R egulae aamezovae ve. Kva c e evvalea vo c ao oo dfeomofzam : I I aav da važ c c >. Tada e azva dfeomofzam o očuvava oeacu. Nea e c : [ab] R egulaa va. Duža ve c e defše ao b L c : c& d a. edavla Euldu omu a R : Duža lua ve c e dobo defaa. e zav od aamezace. Ao eoavmo da e : [αβ] [ab] C dfeomofzam ao u defc... mamo:..3 Defca. β o d c& d α β c c& d α Paamezaca ve c e azva aamezaca dužom lua ao e c& za ve. Ova defca am govo da va aamezovaa dužom lua ma edču bzu. Tada e L b a b a c b a. b a

7 Može e oaza da e vaa egulaa va c može aamezova dužom lua. Pozvola aamea ve c e občo ozačava a a odgovaauć age veo a c& do e za aamezacu dužom lua oe ozae za aamee ve c za age veo...4 Pme. Za avu c ab mamo da e c & a b. Ouda e c aamezovao dužom lua ao amo ao a + b. Pmemo oš da. aamezaca a a 3 b 3 ao oue u geomeu vu e egulaa u. c : co oue užcu olueča. Kao e c co led da e c a e c aamezovaa dužom lua. c : acoαaαb α a b R oue už hel. Tada e c& αa α αa co α b ma oau bzu da e & + c α a + Geome už hel e la ače alace: b. Odale led da c α a b aamezaca dužom lua. a od devom oace co α y a α z α co α y + z b oaca u y-av alaca v Nel-ova aabola e va 3 c. Tada e c & 3 c&. Odale led da c e egulaa aamezaca u ao e c glaa a celom R. 3

8 Vdmo da u šcu c ema age veo. Koeć Taylo-ovu eazu možemo aoma vu c aamezovau dužom lua a ledeć ač: 3 3 c c + c' + c' ' + c' '' + o 6 Koeć eazu do vog eda dobamo ageu c + c' do dugog eda dobamo oulao ou c + c' + c' ' o ma oa dugog eda a c. Kažemo da dve ve mau oa -og eda u ao amo ao e hov zvod do eda u olaau. Na oovu ovoga zalučuemo da veo c ' c' ' c'' '... mau azlče uloge u ovau ve c. Ao u ov veo leao ezav u vao ač ve oda o fomau oda ooda em o oue vu c. U aavu ćemo ooomau bazu Euldog ooa zva -ov eg. -fame...5 Defca. Nea e c: I R egulaa va lae C aamezovaa dužom lua. c e azva Fee-ova va ao u veo c' c' '... c leao ezav za vao. Odgovaauć Fee-ov ov e ada edveo defa ledećm ulovma: e... e u oooma ozvo oea I {... } a e... e a c'... c c e > {... } I I Iz ehode defce led da e u av R vaa egulaa va Fee-ova c do u oou R 3 vaa egulaa va za ou važ da e c e Fee-ova šo led z čece da e c c.. FUNDAMENTALNA TEOREMA LOKALNE TEORIJE KRIVIH U ovom oglavlu vdećemo ao zgledau Fee-ove edače za ve u R fomula fudamealu eoemu loale eoe vh. Nea e c Fee-ova va u R a dužem -ovom e...e. 4

9 .. Teoema. Pooe edveo odeñee fuce... Fee-ove ve ve c a oobama... > C I ave da važe Fee-ove edače: e e M M e e M O L O O L O O O L O O O M M e e M M e e.. Teoema. Fudameala eoema loale eoe vh Nea u... : a b R dae fuce ave da e C a b... >. Nea a b q R ea e da u ozvo oeah ooomah veoa e... e. Tada oo edvea Fee-ova va c : a b R ava da e c q { e... e } e Fee-ov ov ve c u q... u Fee-ove ve ve c. Secal lučaev vh u R eu ve u av oou oe ćemo zučava u ledećem oglavlu. Vdećemo da Fee-ove edače za ve u av zave lučvo od ve a za ve u oou zave od ve oze..3 KRIVE U RAVNI I PROSTORU KRIVINA.3. Kve u av Peoavmo da e c egulaa ema ome Fee-ova va u R. Tada e π e c' age veo a c a e o e ouše oaem e za ugao a levo e veo omale a c. Paćemo e e. 5

10 Kao e c ' c' ' c' c' ' e c' ' led da u c '' e olea a oo fuca a oobom c '' e. e azva oeaa va ve c. Za fuce oazue avac u oem c eevo c eće: ao e > agea e oa u levo a ao e < u deo. Ao e agea e e oa. Tave ače azvau e evoe ače. Fee-ove edače za ve u av u ledeće: e e ' e e Oe omogućavau da e zvede elca fomula za vu ve c y u zavo od c ' c ''. Važ: e e c'' e de c' c'' ' ' y' y'' ' ' de y' '' y'' Ao omaamo ve oae ve avm e odo očeva da u o l ave za l užce za. Tače važ da egulaa va u R ma oau vu ao amo ao e deo ave za l deo užce olueča za..3. Kve u oou Vdel mo da e egulaa va u R 3 Fee-ova ao e c '' za ve. Pduže 3- ov e ada da a: e c' age veo c' ' e c' ' veo glave omale e veo bomale 3 e e 6

11 Kva ve c e defaa ao : c. Fuca τ : e e e azva oza ve c. Fee-ove edače za oou vu u: 3 e e e 3 τ e τ e e 3 Pmemo da ada vu u av c y omaamo ao oou vu c y oa ma ozu e e e 3 oao. Obuo ao e τ za oou vu c led da e e 3 co a c lež u e e -av. Dale oza me bzu aušaa ve c od av e e. Koo e aalza oašae ve omaauć ee oece a odeñee av geeae oduovma dužeog 3-ova. To u oulaoa ava geeaa a e e omala ava geeaa a e e 3 efacoa ava geeaa a e e 3. Košćeem Taylo-ovog azvoa fuce c u Fee-ovh edača dobamo ledeće ezulae: Poeca u oulaoo e e av e do eda aabola c + e + e + o. U omalo e - av dobamo Nel-ovu aabolu do eda 3 e ' τ c + + e + e3 + o 6 6 Poeca a efacou e - ava ma obl ube aabole do eda 3 e τ c + e + e3 + o

12 Glava DIFERENCIJABILNE MNOGOSTRUKOSTI Jeda od avažh omova modee maemae e oam dfeecable mogouo. Nee od mea mogouo u u aalz dfeecalo geome oolog eo Le-ovh gua ODJ PDJ ao u bom gaama fze. u mehac l ošo elavo. U ovo glav uozaćemo e a oovm defcama eoemama z obla aah mogouo odmogouo u R ageh aloea ezoa dfeecalh fom egalea a mogouoma. Kao u ehodo glav eoeme daemo bez doaza. Za vše deala ogleda [] [3] [6] [7].. APSTRAKTNE MNOGOSTRUKOSTI.. Defca. Nea e M u. Kaa ψ V od M e beca ψ z V M a ovoe odu U R ψ : V U. Dve ae ψ ψ u C - omable ao u ψ V V V V V V ψ V ovoe u R omea a ψ o ψ : ψ V ψ e C - V V dfeomofzam. C -ala od M e famla A {ψ α V α α A} o aovma omablh a ava da e M U α A Vα. Dva alaa A A u evvalea ao e hova ua oovo ala od M. ve ae z A A u omable. Aaa mogouo e u M zaedo a laom evvalece alaa. Tava uua azva e dfeecabla uua a M... Pme. Nea e S { y + y } R. Defšemo: V :{co < < π} ψ : V π co a 8

13 V :{co -π < < π} ψ : V -ππ co a Tada u ψ V ψ V ae od S S V V. Poazaćemo da u ψ ψ omable. Pvo ψ V V π ππ ψ V V -π π. Dale mamo ψ o ψ π π π a ψ o ψ a -π Sled da e omea a ψ o ψ : ψ V V ψ V V dfeomofzam. Dale A :{ ψ ψ } e ala od S. V V Nea e M R defa ao ua V V gde u V :{ -< < } V :{ -< } { < < } Defšmo ψ : V - ψ ψ : V - ψ ψ 9

14 ψ ψ u bece ouda ae ψ o ψ a. Ia ao e ψ V V -] a -] e ovoe u u R led da ψ ψ u omable. Nea e M { R} mogouo fgua oam. Nea e V M ψ : V π ψ. Tada eψ aa a A :{ ψ V } ala o defše C -uuu a M. Sa duge ae ea e: V M ψ : V -ππ ψ. Tada e A :{ ψ V } ala. Pa a A A u evvale: ψ o ψ : π -ππ < < π goa ela a π π ooda očea π π < < π doa ela Dale ψ o ψ e ča eedo elavae. Možemo zaluč da M može b abdeveo a azlčm C -uuama. Sa vaom od h uua M e me C -mogouo.

15 v Može e oaza da za 4 oo ačo eda C -uua a R do a dfeomofzam. Na R 4 oo eebovo mogo C -uua oe u meñuobo evvalee. Ala mogouo e azva mamala ao e adža u eom većem alau. Za C -mogouo M a alaom A oo edve mamala ala o adž A. Nea e A {ψ α V α α A} mamala ala glae mogouo M. Tada e B:{V α α A} baza oologe oa e azva oda l oologa mogouo M. S obzom a oologu mogouo od M vaa aa ψ V e homeomofzam ovoeog odua V od M a ovoe odu ψv od R. U dalem adu odazumevaćemo da e oologa mogouo Haudoff-ova da zadovolava dugu aomu ebovo...3 Defca. Nea u M N C -mogouo f: M N elavae. f e azva glao ao e eedo za vao M ooe aa od M oo aa ψ od N oo f ave da e ψ f - glao. f e azva dfeomofzam ao e beca f f - u glaa elavaa. Defca e zav od zboa a. Taode lao e može oaza da e omozca glah elavaa glaa. Secala luča aah mogouo u odmogouo u R.. PODMNOGOSTRUKOSTI U R.. Defca. Nea e U R ovoe : U R C. Pelavae e azva egulao elavae ao e za ve U ag Jacoba-a D mamala. eda m{}. Tada za ag D od D aoñe e azva ag elavaa mamo: D dm ImD dmr - dme D. Ouda ao e oda e e D{} D e evo za ve. U om lučau e azva meza. Za D e evo za ve e azva ubmeza... Defca. Podu M od R e azva -dmezoala odmogouo od R ao:

16 P Za vao M ooe ovoea oola W od u R ovoe odu U od R meza : U R av da e : U U homeomofzam U M W. Pelavae e azva loala aamezaca od M. Dale e egulao elavae oe defue U U M W oološ U M W ma duovau oologu od R...3 Pme. Jedča užca S Nea e : θ a coθ θ. Tada za vao y coθ θ : θ -π θ +π R e aamezaca od S oo y. Za W e može uze ecmo R \{- -y }. Dale S e -dmezoala odmogouo od R. Pmemo da e oo eda aamezaca za celu užcu S e oo homeomofzam ovoeog odua od R a S ošo e S omaa u.

17 Jedča fea S u R 3. Nea e τθ coτ coθ τ coθ θ. Tada e τ coθ D coτ coθ coτ θ τ θ coθ e aamezaca od S π π. a π. Na vom domeu e π π eva D ošo e coθ a. Poovo oebo e vše od ede aamezace da b e ela fea S. Mogouo fgua oam Nea e M: { π}. Pelavae : a e eva meza. Zaa D ' coco a π. 3

18 Ia M e odmogouo od R! Peoavmo da oo aamezaca Ψ : -εε B ½ od M oo ava da e Ψ : -εε B ½ M homeomofzam. Tada ao -εε\{} ma ovezae omoee a M B ½ \ 4 dolazmo do oadce. Podmogouo od R mogu e oa a oš ača šo oazue ledeće vñee...4 Teoema. Nea e M R. Sledeća vñea u evvalea: P loala aamezaca M e -dmezoala odmogouo od R. Z loalo ula u Za vao M ooe ovoea oola W od u R egulao elavae f: W R -. Dfq q W ao da važ M W f - { W f} G loalo gaf Za vao M ooe ao eumeaa oodaa ao e oebo ovoea oola U' R od :... ovoea oola U R - od : +... oo C -elavae g : U U avo da e: M U U { U U '' g'} gahg T loala valzaca Za vao M ooe ovoea oola W od u R ovoe u W' u R R R - dfeomofzam Ψ : W W' ao da važ..5 Pme. Ψ M W W' R {} R {} R Kužca u R Nula u loalo: W : R \ {} f : W R fy + y R S W f - Gaf loalo: S U' U'' gahg g a : R 4

19 lčo važ za g ~ : y R y a Loala valzaca: Ψ: y coa -R. Tada mamo loalo ψ : Ψ W R co R a W e odgovaauća oola. S Sfea u R 3 Nula u loalo: + y + z R Gaf loalo: y a R y Loala valzaca: veze fee oodae a fam oluečom Nea e U R ovoe u. Tada e U odmogouo od R a loalom aamezacom d: U U. Sada uvodmo defcu glaog elavaa a mogouoma...6 Defca. Nea u M R m N R odmogouo. Pelavae f : M N e azva glao l C ao za vao M ooe ovoea oola U od u R m glao elavae ~ f : U R za oe važ ~ f f. M U M U Ao e f beca a f f - glaa elavaa ada e f azva dfeomofzam. Ne ešo ove da e omozca glah elavaa glao elavae. Kae -dmezoalh odmogouo M od R e defšu a ledeć ač: Kaa ψ V od M e dfeomofzam ψ : V U gde e V M ovoe u U ovoe odu od R. Kae u veza elavaa loalh aamezaca. Ao e Ψ valzaca z..4 T ada e ψ : Ψ M W aa od M. Ao e M -dmezoala odmogouo od R ψ V aa ada za V možemo a: ψ ψ... ψ.... 5

20 Glae fuce ψ ψ e azvau loale oodae fuce a loale oodae od. Nea u M m N odmogouo f: M N M aa od M oo ψ aa od N oo f. Tada e ψ f - azva loala eezeaca fuce f. Imamo ψ f - :... m a ψ f -... ψ f - : f... f f u oodae fuce od f u odou a ae ψ. Košćeem a glao elavaa zmeñu odmogouo može b aaeaa bez ošćea Eucld-og ooa u oem e odmogouo alaz a ledeć ač: Nea u M m R N R odmogouo f: M N. Tada važ: f e glaa fuca ao amo ao M aa U od M oo aa ψ V od N oo f ao da e dome U f - V loale eezeace ψ f - ovoe ψ f - : U f - V ψ V e glao ao amo ao f e eedo M au U od M oo ψ V au od N oo f loala eezeaca ψ f - : U f - V ψ V e glaa. Sledeća eoema će am aza odo zmeñu odmogouo od R aah mogouo...7 Teoema. Nea e M m-dmezoala odmogouo od R. Tada e M m-dmezoala C - mogouo u mlu defce... Toologa mogouo od M e olaa a duovaom oologom od R a M. 6

21 .3 DIFERENCIRANJE. TANGENTNI PROSTOR U ehodom oglavlu defal mo glaa elavaa zmeñu mogouo. Meñum mo dal defcu zvoda glaog elavaa. U R zvod elavaa e egova abola leaa aomaca šo ma mla amo u veom ooma. Al mogouo emau uuu veoog ooa u ošem lučau. Zbog oga ćemo dfeecae a mogouoma omaa ao oce aomace u dva oaa: vo u blo oo ač mogouo e aoma veom ooom agem ooom o odgovaa ageo av a ovš. Zam e zvod defše ao leao elavae a m agem ooma. Pe oše ocedue omaaćemo ecala luča odmogouo od R..3. Teoema. Nea e M odmogouo od R M. Tada e ledeć oduov od R olaau: md gde e loala aamezaca od M. {c' c: I M C I R eval c } v edf gde e loalo oo M ula u egulaog elavaa f: R R - dmm. gahdg' gde e loalo oo M gaf glae fuce g ' g'..3. Defca. Nea e M odmogouo od R M. Leaa ooo od R aaea u.3. azva e age oo od M u ozačava a T M dmt MdmM. Eleme ooa T M e azvau age veo od M u. Ao e N odmogouo od R f: M N glao elavae ada ea e T f : T M T f N c a f o c T f e azva ageo elavae elavaa f u ač. Kao e f glao elavae loalo oo oo glaa fuca ~ f : U R U R ~ ~ ovoe ao da važ: f f. Tada e T f c Df c a e f leao elavae. U M U M Pomaamo ada odmogouo M N P elavaa f: M N g: N P C ea e M. Tada važ: T 7

22 T g f T o f g o T Sada ćemo oš oam ageog ooa a aae mogouo. Pmemo da za aau mogouo M c: I M glau vu a M zvod c' euo ema mla zbog edoaa Eucld-og ooa o oužue M. Zao omaamo ae:.3.3 Defca. Nea e M mogouo M ψ V aa oo. Dve glae ve c c : I M oe olaze oz. c c azvau e agee u obzom a au ψ ao e ψ c ' ψ c ' Ova defca e doba. ageo vh u ač e zav od zboa ae ψ. Na oou vh oe olaze oz defšemo elacu evvalece: c c : c e ageo a c u obzom a edu a oda vau au oo. Za vu c : I M c ozačmo a [c] lau evvalece oo ada c obzom a elacu evvalece. Tada e [c] azva age veo u..3.4 Defca. Tage oo mogouo M u M e T M {[c] c: I M C I R eval c }. Pmemo vo da e za odmogouo od R ova defca vod a.3. e u om lučau elavae c [c] e beca zmeñu aog ovog ageog ooa. Zaavo f [c ] [c ] ψ 443 o c 443 o ψ c Dψ c Dψ c c. c a e elavae c [c] -. Očgledo e a..3.5 Defca. Nea u M N mogouo f : M N glaa fuca. Pelavae T f : T M T f N [c] a [ f o c] f 8

23 e azva ageo elavae fuce f u ač. U lučau ada u M N odmogouo od R m R T f e uavo elavae z.3. u mlu goe deface c [c]. c' b f o c' b [ c] [ f o c] f.3.6 Poozca. Nea u M N P mogouo f: M N g: N P glae fuce M. Tada e T g f T g o T f o f Ša vše ao e T d d za dfeomofzam f: M N e T f beca T f - T f f -. M T M P Sada želmo da oo T M abdemo uuom veoog ooa. Pvo ćemo aalza loalu uacu. Pomaamo elavae : T U R [ c] a c gde e U R ovoe u. Nea e U. Pelavae e dobo defao: za au ψ d U mamo: c ] [ c ] d o c d o c c [ c c c ψ o ψ o c [ c] [ c e evo e: c ]. Taoñe e evo: ea v R defšmo c : a + v. Tada e c v. Nea e ada f: U V glao omaamo dagam: T U R T f Df T f R m V Dagam omua e e: o T f [ c] [ f o c] f f o c Df c Df o [ c] Ovm mo doazal ledeću lemu:.3.7 Lema. Nea e U R ovoe u U. Tada e elavae dao a : T U R [ c] a c 9

24 beca a e T U može defova a R. U emma ove deface za glao elavae f: U V V R m mamo T f Df. Nea e M mogouo M ψ V aa oo. Suua veoog ooa e duovaa a T M becom T ψ: T M T ψ ψ V R. Na ova ač T M e abdeve uuašom uuom veoog ooa. Ša vše ao e elavae f: M N glao ada e T f: T M T f N leao obzom a odgovaauće uue veoog ooa a T M T f N. Pozvola aa od M geeše bazu ooa T M: ea e ψv aa od M oo ea e ψ... e azvau oodae fuce od ψ. Ozačmo a e - edč veo u R. Nea e ψ. Tada defšemo Pecze u mlu.3.7 mamo : T ψ e T M Dale T ψ [ a e ] [ aψ e ] e doba ao ezula eošea ageog veoa oodae le e a mogouo omoću ae ψ. Kao e T ψ lea zomofzam led da... foma bazu ooa T M. Ao e ecmo M odmogouo od R loala aamezaca oo a ada e ψ - aa oo a mamo T e e D o e Ouda e -a oloa Jacoba-a od. Ozaa ugeše dugu eeacu ageh veoa ao zvoda u avcu. Zaavo va age veo može da e omaa ao zvod u avcu u ledećem mlu: ea e v [c] T M. Nea f C M R l C M aće oo glah fuca z M u R. Defšemo Koeć defacu z.3.7 mamo v : C M R R v f: T fv R

25 v f T fv T f [c] [ f o c] f f o c'.3. šo odgovaa dfeecau u avcu v. Koeo za v mamo aćemo v umeo v f f o ψ a e D f oψ ψ.3. a odgovaa acalom dfeecau u a ψ. Izvod u ač M e leao elavae : C M R oe zadovolava Lebzovo avlo: f + α g f + α g leao f g f g + f g za ve f g C M ve α R. Veo oo vh zvoda u e ozačava a De C M R. Može e oaza da e elavae A: T M a De C M R v a v lea zomofzam. Zahvaluuć ovom ezulau možemo da defuemo T M De C M R. Zaavo u leau e uobčaeo da e T M defše ao De C M R. Jeda od azloga za a laz e a šo ad oae edoav: ea De C M R f C M. Tada e v za eo v T M. Ouda T f T f v.3. f f v a dobamo T f f..3.3 Pomaamo ada fucu f C MN. Tada e ageo elavae fuce f omaao ao zvod T f : De C M R a De f C N R a g a g o f

26 Zaavo z.3.3 led da e T f g.3.3 T f g T f T go f.3.3 go f.3.8 Poozca. Nea u M m N C -mogouo f C MN M... m aa od M oo ψ y... y aa od N oo f. Tada e mača eezeaca leaog elavaa T f : T M T f N obzom a baze BT M... m BT f... N f f baš Jacoba loale eezeace f ψ : ψ o f o y y fuce f. Ouda T f D ψ o f o f y f ψ y.3.9 Poledca. Nea e M m mogouo M... m ψ y... y ae oo. Tada e y ψ o.3.4 y D y.4 TANGENTNO RASLOJENJE. VEKTORSKA POLJA Veoo ole a mogouo M e elavae oe vao ač mogouo M dužue age veo z T M. Al ao oedač age oo oš uve u oveza u mogouo edoae am oam glao avh elavaa. Zbog oga uvodmo oam ageog aloea oe edavla ecala luča veoog aloea..4. Defca. Nea e M glaa mogouo. Tageo aloee l age oo od M defa e ao dua ua veoh ooa T M M:

27 CT M U{ } TM : : M M T M Pelavae π M : TM M v azva e aoča oeca. Ao e f: M N glaa fuca ada e ageo elavae Tf fuce f defao a Tf v f T f v. Za glae fuce f: M N g: N P važ T go f Tgo Tf. Ša vše Td M d TM a za dfeomofzam f: M N mamo Tf - T f -. Ao e M glaa mogouo a alaom A {ψ α V α α A} ada e ~ A : { Tψ α T M α A} C -ala za TM. V.4. Naomee. α Ao e f: M m N glao ada e Tf: TM TN glao. π M : TM M e glao. To led z čece da e π M loala oeca: Nea e ψv aa od M ada ψ o π w ψ o π ψ T ψ w ψ ψ w M o Tψ M Dealm vaem može e oaza da TM ma bogau uuu od če mogouo: le a Tψ α TV α ψ α V α R u ozvod ovoeh oduova od R a veom ooma. Pomea a očuvava ovu uuu a u oe obla w w gde e leaa fuca za vao. Ouda e TM v me veoog aloea u mlu ledeće defce..4.3 Defca. Loala veoa aloea: Nea u E F oačo dmezoal eal veo oo U E ovoe. Tada e U F 3

28 azva loalo veoo aloee a bazom U. U e defue a U {}. Za u U {u} F e azva vlao ad u. Vlao e abdeveo uuom veoog ooa od F. Pelavae π : U F U u f a u e azva oeca od U F. Tada e vlao ad u baš π - u. Pelavae : U F U' F' loalh veoh aloea e azva homomofzam loalh veoh aloea e. zomofzam LVR ao e glao e. dfeomofzam ma obl u f u u f gde e u leao e. lea zomofzam z F u e. a F' za vao u U. Veoa aloea: Nea e E u. Loala aa veoog aloea aćeo VR-aa od E e a ΨW gde e W E Ψ: W W' F' e beca a loalo VR W' F' W' F' zave od Ψ. Ala VR e famla A {Ψ α W α α A} loalh VR-a avh da W α evau E da u vae dve VR-ae Ψ α W α Ψ β W β z A a W α W β omable u mlu da e Ψ β o Ψ α : Ψ α W α W β Ψ β W α W loal VR-zomofzam da u Ψ W W Ψ W W loala VR. α α β β β α β 4

29 Dva VR-alaa A A u evvalea ao e A A oovo VR-ala. VR-uua ν e laa evvalece VR-alaa. Veoo aloee VR e u E zaedo a VRuuom. Kao e va VR-ala ovemeo C -ala E e auoma C - mogouo. Poovo zahevaćemo da e oologa mogouo od E Haudoffova da zadovolava dugu aomu ebovo. U vaom veoom aloeu E oo odu B o e azva baza od E: B : { e E VR aa Ψ W ava da ee Ψ w' za eo w' W '} Poo dobo defaa oeca π: E B: ea e E Ψ α VR-aa oo e Ψ α ew'f'ψ α :W W' F'. Tada ea e πe:ψ α - w'. Može e oaza da e π glao elavae. Za b B π - b e azva vlao ad b. Oo ma uuu veoog ooa duovau VR-aama. Za ovoe u U B ea e U U : b U { b} E E gde e E b : π - b vlao ad b. Veoa aloea mogu da e ošu a dug ač o e čeo o ao defca: Veoo aloee e oa EBπ oa e ao z dve C - mogouo E B a π : E B e glaa eca ava da za vao b B važ: vlao π - b :E b e veo oo oo ovoea oola V od b u B dfeomofzam Ψ : W : π - ν V F o e leaa u vlama. Ψ π - b e leao b V aav da ledeć dagam omua b 5

30 u ašem lučau e Ψ ~ : Ψ B - d F o Ψ. Iz ehodog ozlaz da e ageo aloee TM M π M veoo aloee a bazom M. Nao ovog azašea uue od TM vaćamo e ašem olazom zadau defaa veoh ola a mogouoma. Dale ažmo elavaa oa glao dužuu vaom M elemea z T M..4.4 Defca. Nea e EBπ veoo aloee. Pelavae : B E e azva ečee od E ecze od π : E B ao e π o d B. Su vh glah ečea od E e ozačava a ΓBE l ΓE. Dale veoo ole e ečee od TM π M. Ao e Ψ V Ψ... aa od M ada e za vao V veo fomau bazu od T M. Kao T M led da za vao oo edveo defa R av da e šo e azva loalom eezeacom a V..4.5 Poozca. Nea e veoo ole mogouo M. Tada u ledeć ulov evvale: : M TM e glao. ΓTM za vao f C M a f : M R e glao za vau au Ψ V od M Ψ... u loalo eezeac ćemo ma 6

31 C VR za ve... Poo glah veoh ola a M e ozačava e a M..4.6 Pme. Veoa ola a R Nea e U R ovoe. Zamo: veoo ole e C fuca : U R... e. Kao e o ulaa u defce oe mo uavo dal za mogouo? U e mogouo a edom aom Ψ d U odgovaaućm alaom A {d U U}. Iz.3.7 led da e T Ψ DΨ d a e Kao zvod delue a ledeć ač: T Ψ - e e. f D f o d d D f f Ouda e e. odgovaa veoom olu omaaom ao veo e. ao dfeecal oeao zvod u avcu.... Nea e M S {y R +y }. V {co π} ψ : V π co V { co ~ ~ ~ -π π } ψ : V -ππ co ~ ~ ~ 7

32 8 Veoo ole e obzom a au ψ u co dao a ψ ψ ψ co D T e T Aalogo obzom a au ψ dobamo u co ~ ~ ~ co ~ ~ Sled da a V V mamo e e π π π π ψ ψ a o Dale ~ a V V a zalučuemo da e ~ : V ad V ad dobo defao veoo ole a S. Čeo ćemo a amo. Nea e f : S R glaa fuca. Iz.3. led co ψ ψ f f D f f o + co co co y f f ~ D ψ ψ ψ o ~ ~

33 + co f. y Sled da e R. - + co y eezeaca u baz { y } {e e } od Kao oledcu mamo da e zvod u ledećem mlu: R - leao elavae D : C M C M e azva zvod algebe C M ao zadovolava D f g f D g + g D f. Poo vh zvoda a C M e ozačava a DeC M. Izvod a C M u uavo glaa veoa ola a M. DeC M M. Pecze vao glao veoo ole e zvod a C M obuo va zvod a C M e da ao devo glaog veoog ola. Naomea: Nea e M -dmezoala odmogouo od R. Tada e M { : M R e lae C T M M }.4.7 Defca. Nea e Y M. Le-eva zagada veoh ola Y e defaa ao [ Y ] f : Yf Y f f C M Sled da e [Y] : C M C M leao zadovolava Lebz-ovo avlo a e [Y] M. Oobe Le-eve yagade u ledeće: Nea YZ M f g C M. Tada Y [Y] e R -bleao [Y] - [Y]. [] e a-mečo [[YZ]] + [Y[Z]] + [Z[Y]] Jacob-ev dee v [f gy] f g [Y] + fgy gyf. v [] e loala : Ao e V ovoe u u M ada e [Y] V [ V Y V ] v loala eezeaca : Ao e ΨV aa Ψ... V Y V Y ada e 9

34 [ Y ] V Y. Y.5 TENZORI Poam ezoa e veoma začaa u maemac fzc. Uvede e ao b ošo oam alaa veoa maca. Poo eolo azlčh ua za defae ezoa. M ćemo o uč uem mulleah elavaa. U aavu će E... E E F ozačava oačo-dmezoale veoe ooe. Ozačmo a L E... E F oo mulleah elavaa z E... E u F. Važa ecala luča e : LE; R E* dual ooa E. veo oo leah fucoela a E. Ao e B E {e... e } baza od E ada fucoele defae a α e δ fomau bazu od E * dualu bazu od B E. Za vao e E mamo eezeacu e Bdual oo E ** E * * e aoč zomofa a E. Pelavae : E E ** e leaa zomofzam..5. Defca. Nea e E veo oo. Tada e α e e za vao α E * α e { α a α e E* e α α + T E : L E*... E *... ; E E R azva oo ua oa ua ovaah ezoa l aće -ezoa. Eleme z T E e azvau ezo a. Za T E T E ezo ozvod T + + E e defa a 3

35 β... β γ... γ f... f g... g β... β f... f γ... γ g... g : gde e β γ E* f g E. Jao e da e aocavo bleao..5. Pme. Po defc e o T E LE R E * o T E LE * R E ** E a u eleme veo z E - ezo a eleme l oveo z E * - ezo. Nea e E veo oo a alam ozvodom g e f < e f >. Tada e bleao elavae g : E E R. g e - ezo. Peoavmo ada da e dme. Tada e dm T E +. Ao e {e... e } baza od E a {α... α } baza dualog ooa E * ada e baza od T E. { e... e α... } β : α Za vao leao elavae : E F oo adugovao elavae * LF * E * : za β F * e E avmo * β e:β e. Ao e A maca elavaa obzom a baze od E e. F ada e A maca od * obzom a odgovaauće duale baze od F * e. E *. Oše želmo da vaom leaom elavau LEF dužmo leao elavae L T E T F. Ao e lea zomofzam avo elavae e doba ombacom *..5.3 Defca. Nea e LEF beca. Tada e T L T E T F defao a β... β f... f : * β... * β f... f 3

36 gde e T E β... β F * f... f F..5.4 Pme. * : E T E T F F e β e β e a e β može defova a. * * * : E T E T F F α f α f α f a e može defova a - *. Dale T e ovemeo odužee fuca - * a uošee ezoe ooe. Sledeć zadaa e da e ove ouce oše a agee veoe. a elemee veoh aloea. Pvo omaamo luča loalh veoh aloea..5.5 Defca. Nea e : U F U' F' uf u u f loal VR-zomofzam. Defšemo : U T F U ' T F' a ledeć ač u u u T F Pmemo da e u zomofzam za vao u a e dobo defao. u Pelavae : U T F U ' T F' defao u.5.5 e loal VR-zomofzam. Nao ovh ema možemo vaom veoom aloeu E duž odgovaauće ezoo aloee ča u vlaa baš E b..5.6 Defca. Nea e EBπ veoo aloee a vlama E b π - b. Defšemo C b B b U b B { b} E T E : T E ezoo aloee TR a E. Nea T π : E B π e b za e T Eb ozačava aoču oecu. Ao e A B defšemo T E A : CT Eb. b b A 3

37 Sledeć zadaa e da oažemo da T E ma uuu veoog aloea a bazom B. Koeć ledeću defcu defaćemo VR-ae za T E od VR-a od E..5.7 Defca. Nea u E E' veoa aloea f: E E'. f e azva VR homomofzam ao e E VR-aa ΨW oo e VR-aa Ψ'W' oo fe ao da e fw W' f Ψ'Ψ : Ψ'o fo Ψ - e LVR homomofzam. Ao e f dfeomofzam f E E' lea E : b b f b zomofzam b B ada e f azva VR zomofzam. U om lučau defšemo f f : T E T E T Eb : f b B Eb Može e oaza da e glaa fuca f: E E' VR homomofzam ao amo ao e f leao u vlama. ao amo ao e f E E' leao za b B..5.8 Pme. E : b b f b Nea u M N mogouo f: M N glao. Tada e Tf: TM TN VRhomomofzam mamo Tψo Tfo T - wtψo fo - wψo fo - Dψo fo - w. Ao e f dfeomofzam ada e Tf VR zomofzam. Nea e E VR ΨW VR-aa. Tada e Ψ: W U R VR zomofzam. Dale ao e ETM mamo da e Ψ Tψ VR zomofzam gde e ψ ozvola aa od M. Nea e EBπ veoo aloee a VR-alaom A {Ψ α W α α A}. Tada e T E B π veoo aloee a VR-alaom A { Ψα T E α A}. T E B π e azva ezoo aloee a ad E..5.9 Defca. Nea e M mogouo. T M : T TM e azva aloee -ua oa -ua ovaah ezoa a M e. ezo a. * : T M T M e azva oageo aloee od M. Wα B 33

38 .5. Defca. Glaa ečea ooa T M.glae fuce : M T M e -ezo e. -ezoa ola a M. Poo ΓM ola e ozačava a τ M. Name π o d M azvau T M -ezoh τ M. Slčo ćemo umeo τ a M Ω M. Eleme Ω M e azvau dfeecale fome eda l -fome oveoa ola. Ao M f C M ada e f : a f T ezoo ole a M. To τ zač da e τ M a oeacama + f C M-modul. Kao u lučau τ M hoćemo da añemo loalu eezeacu ezoh ola u aama. Pomaamo vo oš eda ecala luča Ω M τ M Γ M T M gde e VR-ae od M M M T C U{ } * * M TM TM M M * T M T M u obla Tψ : T M V ψ V R ψ V R * gde e ψv ozvola aa od M. Kao u lučau TM T M hoćemo da omo VRae da bmo defal bazu od T M *. Podemo e da e a a ač dobea baza... od T M gde u T ψ e. a Tψ ψ e. U lučau T M ozačmo a {α } dualu bazu od {e } u R *. Za V famla d : [ Tψ ] ψ α defše bazu ooa T M *. Imamo d [ ] α * T ψ α [ Tψ ] ψ α T ψ * Tψ α.5. 34

39 Kao e d T M * a T M možemo me d a : d T * ψ α Tψ e α Tψ Tψ e α e δ a e {d } baš duala baza za u T M *. Dug ač omaaa d ozlaz z ledeće defce..5. Defca. Nea f C M. Tada e azva olaš zvod fuce f..5. Naomee. df : M T a T f * M df τ M. Ao f C M M ada za M T M df T M * elavae df : a df : M R e dobo defao važ df T f f Dale df f. Taoñe df C M. Nea e ψv aa ψ.... Tada e d baš goe defao d. Ao e ψv aa od M ψ... ada e za vao M baza od T M a {d } odgovaauća baza od T M *. Ouda za ozvolo M.. d.... d 35

40 e baza ooa T. Pema ome ao e ečee od T M M edveo odeñee fuce a V ave da e ada ooe V d d ogleda ecala luča veoh ola: V. Kao od veoh ola oo aaezaca glao ezoh ola u loalm oodaama..5.3 Poozca. Nea e ečee od T M. Tada u ledeć ulov evvale: e glao. τ M U vao loalo eezeac v oefce u glae fuce. α... α Ω M... M elavae α... α... C M..6 DIFERENCIJALNE FORME U ovom oglavlu želmo da oučavamo aleauće mulleae fome vo u veom ooma a oom a veom aloema..6. Defca. L E R e azva aleauće ao važ f... f... f... f - f... f... f... f. Nea e E oačo dmezoal veo oo. Λ E * : L al E R e oo vh mulleah aleaućh fuca z E E... E u R. 36

41 .6. Naomee. Nea e S : { : {... } {... } e beca} gua emuaca eda. Tada za σ S Λ E* važ f σ... f σ g σ f... f Za σ τ S važ g σ oτ g σ g τ. Kao e S gua led da e za vao τ S elavae τ a τ o τ : S S beca. Po defc uzmamo da e Λ E* R. Ša vše Λ E* L al E R E* Λ E* e ooo od E ooa vh mulleah elavaa E... E R. T Pelavae Al f... f : Al : T E E T! g σ f σ S σ... f σ e azva aleao..6.3 Defca. Nea α T E β T l E. Solaš eg. eeo l wedge ozvod α β e defše ao + l α β : Al α β! l! * Za α T E Λ R avmo α β β α α β. E Oobe olašeg ozvoda u ledeće:.6.4 Poozca. Nea α T E β T l E γ T m E. Tada: 37

42 α β Al α β α Al β e bleao l α β β α v e aocavo α β γ α β γ ΛE * : Λ E * a oeacama + λ azva e olaša algeba l Gamaova algeba od E. Taoñe važ Λ E * { } za > a e Ao e ada dme mamo da e Λ E * { }. Pema ome E E * * Λ Λ. dm Λ E * dm ΛE * za. Za > Ao e {e... e } baza od E {α... α } odgovaauća duala baza ada e B { α }... α < < :.... baza od * Λ E. Nea e dme LEE. Tada oo edve bo de R deemaa od ao da za ullbac elavae * * * : Λ E Λ E * ω f... f : ω f... f * važ ω de ω za ve ω Λ E *..6.5 Defca. Nea e LEF α T F. Pullbac od α od devom ullbac od e fuca * : T F T E α e... e : α e... e e... e * Ao e φ beca ada e uh-fowad * : T E T F E 38

43 a e * * : α f... f α f... f f... f E. * Tada e..6.6 Defca. * Nea e : U F U ' F' loal VR-zomofzam φufφ uφ u f. Pelavae φ * e defao a : U F U F uω φ uφ u * ω Λ ' Λ ' Kao e led da e * LVR-zomofzam. *.6.7 Defca. Nea e EBπ veoo aloee E b π - b vlao ad b B. Tada * π : Λ E B π e Λ E * : C b B Nea e EBπ VR a alaom A Ψ W ~ alaom A Ψ α * Ψ Eb * α Eb * Ψ Λ. α Λ E * b U{ b} b B Λ * b za e Λ * Eb. Za A B avmo Λ E A C Λ E Λ E Wα B Poovo a avše zama luča E TM..6.8 Defca. Nea e M mogouo. α E * b b A * { A}. Tada e E B π α α A α * b Λ VR a Ψ. gde e. α Ψ * α * * Λ T M : Λ TM e azva veoo aloee olašh * -fom a TM. Poo glah ečea od Λ T M e ozačava a Ω M egov eleme e azvau dfeecale fome eda l olaše -fome a M. Pmemo da e Ω MC M Ω M oo -fom. 39

44 .6.9 Teoema. Nea e M mogouo. Za va ovoe u famla elavaa d U : Ω ou ćemo ozač a d ava da e U Ω + U M oo edveo defaa U l d e R -leao za α Ω U β Ω U važ d α β dα β + α dβ. Za f Ω U C M df e olaš zvod z.5.. d o d. v Ao u U V ovoe U V M α Ω V ada e d α U dα U. dagam omua. Ω Ω V + V U U Ω Ω V + V d e azva olaš zvod..6. Pme. Nea e ω Pyd+Qydy -foma a R. Tada e P P Q Q Q P dω dp d + dq dy d + dy d + d + dy dy d dy y y y Ao e ω P y z dy dz + Q y z dz d + R y z d dy ada e P Q R dω + + d dy dz y z.6. Defca. Nea u M N mogouo F: M N glao elavae. Za ω τ N ullbac od ω od devom F e defao a 4

45 * * F ω : T F ω F Ouda za... T M mamo * F ω... ω F T F... T F. Za f C NΩ N mamo F * f f o F. Nea u fuce F: M N G: N P glae. Tada: * * F : τ N τ M F : Ω N Ω M * * * Go F F o G * d M d e. d Ω M τ M v Ao e F dfeomofzam oda e F * leaa zomofzam * * F F..6. Teoema. Nea e fuca F: M N glaa. Tada važ: * F : ΩN ΩM e algeba homomofzam. * * * F α β F α F β. * * Za vao ω Ω N F dω d F ω..6.3 Poozca. * F e leao Nea e M mogouo y. Tada: M φu ψv ae oo φ... ψ y... d d D... d ψ ψ o de D o ψ dy ψ dy y dy... dy Ao M ω Ω ω ω α... α ψ ω ω α... α adada baza od R * ada e * * ψ α...α ω y ω o ψ ψ y de D oψ y y ψ V 4

46 .7 INTEGRALI. STOKES-OVA TEOREMA Cl ovog oglavla e da e azve eoa egalea dfeecalh fom a mogouoma. To omogućue Soe-ova eoema oa uošava ve lače eoeme egalog ačua Gau-ovu Soe-ovu Gee-ovu. M ćemo da amo fomulacu eoeme. Kao oovo edvo oćemo avlo o me omelvh za egale..7. Teoema. Nea u U V R ovoe Φ: U V dfeomofzam f CV ao da e uf omaa. Tada e Φ de DΦ d U f f y d Saega za defae ω za ω Ω c V gde e M oačem a V aa od M će b da avmo da e ω : ω d. M V V y Ω c oo -fom a omam Da b ovo bo dobo defa zaz oebo e da e zav od zboa ae. Meñum oašae ω φ uled afomace a u ladu a.6.3. e azlue od.7. e ema aolue vedo od de D oψ. Zbog oga ćemo omaa amo mogouo a oebm alama..7. Defca. Mogouo M e azva oeabla ao oedue oea ala A ψ V α A aav da e { } α α β α α α β de D ψ o ψ > ψ V V α β. Kao u lučau glah mogouo za oeae mogouo e defše C - uua. Kae z oeaog alaa e azvau ozvo oeae. Mogouo M zaedo a oeam alaom e azva oeaa mogouo. Ne vaa mogouo oeabla. Naoza me eoeable mogouo e Möbu-ova aa. 4

47 Nea e M oeaa mogouo ω Ω c M φu ψv ozvo oeae ae ave da e u ω U V. Tada e: a možemo a amo ω..7.3 Defca. Nea e oluoo H... ω ψ { R } abdeve duovaom oologom od R. V H e ovoe ao amo ao U R ovoe aav da e U H V. Nea e V H ovoe. Pelavae f: V R m e azva glao a V ao oo ovoe odu V U od R glao odužee ~ f od f a U. Za ozvolo V ~ uzmamo Df : Df. ω.7.4 Defca. Mogouo a ubom e u M zaedo a alaom A { ψ V α A} V V H ψ α : α ψ α α bece a α α U α A Vα M za ve α β a V V važ α ψ o ψ β α β : ψ V α gde u α α ψ V elavo ovoe uov u α V β ψ V β α V β H ao da e glaa fuca u mlu.7.3. Kao za mogouo bez uba ažmo da e oda oologa od M duovaa aama Haudoff-ova zadovolava dugu aomu ebovo. 43

48 Tača M e azva uba ača od M ao oo aa ψ... V ava da e šo ozačavamo a M. Tada za vau au φy... y U oo važ y..7.5 Poozca. Nea e M -dmezoala mogouo a ubom. Tada e M --dmezoala mogouo bez uba. Ao e M oeaa ada oeaca od M duue oeacu od M..7.6 Teoema. Soe-ova eoema Nea e M oeaa mogouo a ubom ω Ω M : M M. Tada e * ω M M ω c.7.7 Pme. Pmeuuć.7.6 a ω z.6. dobamo Gee-ovu eoemu u av M Pd + Qdy M Q P ddy y Iz zvod e Gau-ova eoema o dvegec u R 3 : M P Q R + + ddydz y z M Pdy dz + Qdz d + Rd dy 44

49 Glava 3 HIPERPOVRŠI Heovš u R edavlau uošee oma ovš u R 3. Pelavaa oa ćemo defa u ovo glav oučavau e a ovšma al omov oe mo do ada uvel am omogućavau da admo a heovšma. Pvo ćemo defa Gau-ovo Wegae-ovo elavae a oom oded vu heovš. Poleda dva oglavla u ovećea ovaaom zvodu geodezm lama. Za vše deala o omeum omovma ogleda [3] [6]. 3. KRIVINA HIPERPOVRŠI 3.. Defca. Heovš od R e - dmezoala odmogouo od R. Loalo heovš e daa edom od evvaleh defca u..4 ecmo ao ula u egulaog elavaa f: R R. Kao u R mamo adad uuaš ozvod v w v w va age oo T M adž -dmezoal oogoal omleme. Tao dobamo dva edča veoa omale a M. Peoavćemo da e M oeaa mogouo ao bmo bl u mogućo da odabeemo eda od h. 3.. Lema. Nea e M m oeaa mogouo M. Baza {v... v m } ageog ooa T M e azva ozvo oeaa ao u ozvolo ozvo oeao a... m od M oo mamo: d Ova oam e zav od zboa ae.... d m v... v m > 45

50 Doaz. Nea e ψ y... y m duga ozvo oeaa aa. Na oovu.6.3 m m dy... dy de D ψ o d... d > odale led vñee Defca. Nea e M oeaa heovš u R. Gau-ovo elavae a ν dodelue vao ač M edč veo omale vau ozvo oeau bazu { e... e } ooa T M Naomee. ν za o važ de ν e... e > za ν e dobo defao: Nea e { f... f } ozvola ozvo oeaa baza od T M ea e ψ... ozvo oeaa aa mogouo M. Nea e e : Tada g f a e. d... d f... f g a a d d e e g... Dale de ν f... f g... a... a de... ν e e > zbog

51 Gau-ovo elavae a ν e glao. Nea e ψ... V ozvo oeaa aa. Tada e... ozvo oeaa baza od T M e e... d d... V. Loalo oo ozvole ače V a oovu M e ula u egulae fuce f za gade gad f Df dobamo gad f v Df v v T M. Dale gad f T M za ve dovolo blzu. Bez umaea ošo možemo eoav da e de gad f... > u uoom zamemo f a f. Zbog eedo de gad f... > za z oole a oovu čega zalučuemo da e loalo oo Gauova fuca daa a ν gad gad f f šo e očgledo glao. Da bmo defal vu heovš M u ač M omaaćemo vu vh defah u glav. Nea e w T M w. Pomaamo vu c oa e alaz u eeu heovš M av odeñeo veoma w ν. 47

52 Ova ava e daa a: a + ν + w. Kvu ve c ćemo zva omala va heovš M u avcu w. Nea e M loalo daa ao ula u egulae fuce f odemo e da mo eoavl da e M oeaa. Tada e va c mlco daa a: ν f + + w. Na oovu 3..4 gad f ν. gad f Dale f + ν + w Df ν gad f ν. Pema ome loalo možemo eš za oe e fuca od. Dobamo vu c : a + ν + w. Tada e c : c { + w{ w. 443 ν T M T M Bez umaea ošo možemo eoav da e aamezovaa dužom lua. Da bmo začual vu ve c moamo oded e ov. Kao e { ν w} ozvo T M oeao e c w e ν. c ν c e e c Tc M oga d c ν o c c ν + c { Tν c d { omala va w heovš M u avcu w e daa a: w w. Zbog 48

53 w c e c ν w T ν w 3.. c 3..5 Defca. Wegae-ova fuca L e defaa a ledeć ač: L : T ν : T M T ν S ν T M L w e fezmala omea veoa omale ν u avcu w. Sledeće vñee oue veoa ola a mogouoma maće važu ulogu u aavu Lema. Nea e M -dmezoala odmogouo od R. Tada: Za ozvolo M ~ C U R ao da M ~ oo oola U od u R fuca U M U M Ao Y M ~ Y ~ u glaa ošea ao u ada: ~ ~ [ Y ] DY D Y M ~ ~ Doaz. Zamo da C MR. Zbog..6 vaa od omoe od e može glao oš a oolu ače u R. Tao dobamo ažeo ošee ~ memo da ošee e edveo defao. Nea e ~ f C R ~ R f : f M dale f C ~ M R. Tada T f Df T M. Pema ome a e ~ ~ f T f Df a % % q % Y f D q Df q Y % % % + % % % D f Y Df D Y 49

54 aalogo za Y f ~ Za :. Kao e f [ ] D ~ [ ] mečo zalučuemo: Df% Y Y f Y f Y f Df% DY% % D% Y% f R a R led da e D f ~ ouda. [ Y ] DY D Y ~ ~ ~ ~ Poozca. Wegae-ovo elavae L : T M T M e mečo. L u w u L w u w T M Doaz. Izabemo Y M ao da u Y w glaa ošea ao u Da bmo ošl ν a oolu ače u R memo da e ν loalo dao a: gad f ν gad f gde e f loala eezeaca M egulam elavaem. Dale ν e C - elavae a M a R oe e loalo može oš a oolu ače u R a oovu..6. Ozačmo omeuo ošee a ~ ν. Tada e T ν D ~ν. Kao e q ν a led T qa ν q q q q a ν a % ν T q Y D q % Y% q q q q D% Y% % ν + % D% ν Y% 3 { { L Y T M aalogo za qa ν. Dale dobamo: Y q q 5

55 LY L Y DY% % D% Y% ν { 3..6 [ Y ] T M T M 3..8 Defca. Nea e M oeaa heovš u R. Rema-ova mea g l va fudameala foma I e - ezoo ole T M T M v w a g v w : v w I v w Duga fudameala foma II e - ezoo ole T M T M v w a II v w : v L w 3..9 Naomee. g e ečee aloea T M e e vao g bleao elavae z T M TM a R. g T TM za ve M. Ša vše a oovu.5.3 g e glao. Zaa ea u Y M. Y: M R C Y T M. Tada e Y a Y g glao. g e uavo eca adadog uuašeg ozvoda u R T M TM. Omogućava am da začuamo aoaa uglove u T M. Ao e loala aamezaca od M oo... g obla: a ada e loalo g g d d 3.. gde e g g 5

56 D D Kao e g mečo g g. Za vao M duga fudameala foma II e mečo bleao elavae T M T M R dale II e ečee od T M. Na oovu.5.3 ovo elavae e glao. U lačo dfeecalo geome ovš u R 3 važa ecala luča od e ledeć: a : 3 Nea e: E : F : G : gde u acal zvod od. Tada e g dao macom: u odou a bazu { } E F F G [ I ] od T M. Ao u v v + v w w + w veo u T M oda: φ 3.. Pme. g v w Ed d + Fd d + Fd d + Gd d v + v w + w Ev w + Fv w + Fv w E F w v v F G w + Gv w Nea e M S R clda ad edčm ugom. Paamezaca od M e daa a φ: π R R 3 φ co 5

57 Tada e Dale co E F G. [ ] I Sada e vaćamo oblemu odeñvaa ve heovš. Želmo da añemo avce u oma omala va ma eeme vedo. Iz 3.. led da ažmo če ače elavaa w w L w w w S. 3.. Teoema. Rodguez a za Kče ače omale ve u M u uavo ove veo mečog leaog elavaa L. Ao e w ove veo ada e odgovaauća ovea vedo λ daa a w. Doaz. Nea e w T M w. w e ča ača elavaa ao amo ao elavae v a v : S R ma ču aču u w. Ovo ćemo doaza oeć Lagažov meod mullaoa. Nea e : v v v. g. g a Naš oblem e vod a ažee eema od a { } Dale D w λdg w moa b zadovoleo za e Lagažov mullao λ a g. Na oovu { } D w v v L w + w Lv v L Dg w v v w w Sled da edača v L w λ v w moa važ za ve v. w L λw g w w 53

58 Pema ome w S - e ča ača elavaa ao amo ao e w ove veo od L. Ša vše λ λ w w w L w w 3.. Defca. Nea e M heovš u R M. Sovee vedo od L e azvau glave ve a odgovaauć ove veo e azvau avc glavh va. Kao e L mečo ve glave ve u eale oo ooomaa baza od T M w oa e ao od avaca glavh va. Kvu c zovemo lom { } ve ao e c avac glave ve za vao. Gau-ova va K od M e defaa ao ozvod glavh va. K K Seda va heovš M u e ameča eda glavh va. L gde e L ag elavaa L. Tača e azva umblča ao e ve glave ve olaau u. ao e L λ o d TM Umblča ača e azva laaa ača ao e λ. L Pme. Nea e M ν heovš u R. Tada e ν ν za ve L T ν za ve. Dale ve glave ve e aulau vaa ača heovš M e laaa ača. Nea e M S. Za ozvolo M e veo omale a M a e ν d L d. Dale ve ače M u umblče v age veo u avc TM glave ve. Ceal edme oučavaa oš od očea dfeecale geomee ee azla zmeñu uuašh voava oa u u ouo odeñea amom mogouošću M olašh voava za oa u am oebe dodae fomace. Po avlu vova oa e mogu defa za aae mogouo u uuaša do e olaša vova odoe a oo o h oužue ecmo Gau-ovo elavae a ν. Iao mo Rema-ovu meu a heovš od R defal oeć ala ozvod u R o oužue heovš možemo defa Rema-ovu meu za aae mogouo. 54

59 3..4 Defca. - ezoo ole g T M Nea e M aaa mogouo. Glao e azva Rema-ova mea a M ao e g T M T M R ozvo defa ala : ozvod za ve M M g e azva Rema-ova mogouo. Ao e f : M g N h loal dfeomofzam Rema-ovh mogouo ao da e f * h g ada f zovemo loala zomea. Za dve Rema-ove mogouo ažemo da u loalo zomeče ao oo loala zomea f : M N.. Na oovu.6. loal dfeomofzam f e loala zomea ao amo ao za ve M : h T f v T f w g v w v w T M 3..4 f Dale ao eeemo agee veoe v w omoću f ače T f a M a N ada hov eze ugao o zalaau oau eomee. Za ozvolu Remaovu meu vova ao šo u eze veoa uglov u uuaša vova. Sada e amo: oa od va edavleh do ada e uuaša? Pmemo da uuaš omov moau oa eomee od devom loalh zomea Pme. Nea e M clda ao u 3.. φ: π R R 3 φ co. Pomaamo U:π R R ao Rema-ovu mogouo a adadm alam ozvodom g a R M ao Rema-ovu mogouo a h I ao u 3... Tada a oovu : U g M I e loala zomea: 55

60 I T v T 3 w I v + v w + w v v v v g w w v w Dale M U u loalo zomeče mogouo. Ao e M S R ada w w ν M v T { v }. Soga e Gau-ovo elavae u dao a ν ouda e d. Dale eda glava d S R va e a duga. Kao u a U ve ve edae e e ν co ema ome L co led da omala eda va u uuaše. Peoae am amo da e možda Gau-ova va K oa e aula a obe mogouo uuaša. Gau-ova Izvaeda eoema e odo a Gau-ovu vu govo am da oa zaavo ee uuaša. Da bmo doazal eoemu zvešćemo fomulu za K u lučau M R 3 oa zav od E F G hovh zvoda Lema. Nea e V veo oo a bazom B { g... } g L uuaš ozvod a V ea e T: V V leao elavae. Ozačćemo a G macu č u eleme a [T] macu od T u odou a B a A macu a elemema Tg g [T]AG -. m Doaz. Pvo ćemo oaza da e maca G vebla. Nea e B { g... g } g g. Tada e * duala baza od B Φ: V V * lea zomofzam v a v. Tada e Φ g g g g : g odoo Φ g mečo maca od Φ u odou a B B *. Iz Tg T g led g A Tg g T g g T g T G g zbog oga e G oe e 56

61 Pema ome A T G šo dale mlca da e [ T ] AG Poozca. Nea e φ loala aamezaca heovš M u R 3. Nea e d. Savmo da e E F G e : ν φ f : ν g : ν. Tada važe ledeće mače eezeace u odou a bazu { } od T M : E F F G [ I ] e II f f g eg ff fg gf fe ef ge ff [ ] L Gau-ova va od M e daa a EG F K eg f EG F Doaz. Macu za I mo već zvel u Šo e če L za ozvolu heovš u R mamo: ν o L + ν o L ν o 3..5 Kao e LL z 3..6 led: 57

62 58 [ ] L ν o 3..6 U ašem lučau 3 z 3..5 led da e L e L f L g. Pema ome ao u v v v + M T w w w + oda: w w g f f e v v L w v L w v L w v L w v w Lv w v II [ ] g f f e II Na oovu 3..6 zalučuemo: [ ] ff ge gf fg ef fe ff eg F EG g f f e E F F G F EG G F F E g f f e L a e de F EG f eg F EG F EG f eg L K. U lučau 3 oeć veo ozvod ν možemo začua deo: ν. Tada e F EG z čega dobamo: F EG F EG e ν de. Aalogo

63 f g EG F EG F de de Savmo D : F EG. Tada K D D eg f ed gd fd de de de de de de de E F E F F G F G de de E F E F de F G de F G Sada: E E F F G G E F + + E F E + G 59

64 6 + de de 4 G E G G F E F E G E F E F E G G F G F F E KD Ouda K e fuca od E F G hovh zvoda do eda. Na oovu ovoga možemo doaza ledeću eoemu: 3..8 Teoema. Teoema Egegum Gau 87 Gauova va K e uuaše vovo heovš. Loalo zomeče heovš u R 3 mau u Gau-ovu vu u odgovaaućm ačama. Doaz. Na oovu ehodog azmaaa K e uuaše vovo. Nea e A: M N loala zomea heovš M N u R 3 M φ loala aamezaca od M oo. Tada e ψ o A : loala aamezaca od N oo A. Kao e A loala zomea M T w v w v w A T v A T Secalo ea e T e v T e w. Tada: T A T e T A T e T A T Av T Av T v v ψ ψ ψ o o o a e E E ψ ψ aalogo za F G. Ouda zbog 3..7 A K K. 3. KOVARIJANTNI IZVOD Koz ovo oglavle odazumevaćemo da e M oeaa heovš u R. Izvod u avcu veoa v R glaog elavaa U f : R U R ovoe bza omee fuce f u avcu v e:

65 Dv f lm d d f + v f f + v Df v Nea e M mogouo f C M v T M. Tada aalogo: Poebo ao e M odmogouo od R f C M možemo začua glao ošee f ~ od f a oolu ače u R. Tada: ~ f T f 3.. v Df v : D f v Poovo zvaćemo D v f zvod fuce f u avcu v. Aalogo želmo da oučmo bzu omee veoog ola u avcu ageog veoa. Nea e M odmogouo u R Y M v T M. Tada e Y : M R glao zbog 3..6 oo glao ošee Y ~ od Y a oolu u R ozvole ače od M. Defšemo: D Y : T Y v lm v ~ ~ d Y + v Y Y ~ v v + d 3.. ~ ~ ~ D v Y zovemo zvod u avcu v od Y. Ao e Y Y... Y ada D Y ~ ~ ~ DY... DY a zbog.3. TY v TY v % % % DvY DY v DY v... DY v v Y... v Y D v Y e bza omee veoog ola Y u avcu v. Ia memo da u ošem lučau D Y T M. v Ao M ada ea e zvod od Y u avcu. Zbog 3..3 mamo D Y : a D Y 3..4 ~ D Y DY a Y C M R. U ošem lučau D Y T M e D Y T M u ošem D lučau. f v f T f v v 6

66 3.. Pme. Nea e φ loala aamezaca od M avlauć : ψ... odgovaauća aa. Tada D. Ao e Φ vezo elavae od Ψ z eoeme..4 T elavae : q D Φ Φ q ~ a e glao ošee od a oolu ače u R. Pozvauć e a D D Φ e dobamo: D d d D D D D D Φ Φ + D Φ DΦ DΦ Φ e D Φ e Da bmo oazal da e D Y uuaše vovo oeuemo ga oogoalo a T M. 3.. Defca. Nea e M oeaa heovš u R ea Y M. Kovaa zvod od Y u avcu e defa ao age deo od D Y: a g D Y D Y D Y ν ν Y :. Za f C M defšemo f : D f. U ledeća dva vñea dae u oobe ovaaog zvoda Poozca. Nea e M oeaa heovš u R ea Y M. Tada: Y M o Nomal deo od Y D Y D Y ν ν II Y D Y Y II Y ν D e ν Gau-ova edača 6

67 Doaz. Kao u D Y ν glaa elavaa led da e Y : M R glao. Očgledo Y T M za ve a led da Y M. Nea e φ loala aamezaca od M : f : Y 443 o ν 443 o T M T M Nea e v T M. Tada zbog.3. oo eo v D w φ. Ouda w R - avo da e o ν o o ν o Df w D Y w + Y D w DY% D w ν + Y D% ν D w D Y ν + Y L v v Poebo za v dobamo: Dea oledca 3... v L v Y D Y ν Y L II 3..4 Lema. Nea Y Y M. Nea e M oeaa heovš u R f C M α R. Tada: D Y fd Y D + + Y f Y + f f + Y Y D α Y + Y αd Y + D Y α Y + Y α Y + Y D fy fy fd f Y + D Y + f Y f Y 63

68 v D Y Y D Y Y Y D Y + Doaz. Pošo e Y Y Y Y Y + Y D Y ~ DY D f Df ~ oobe -v za D lede a oovu uobčaeh avla dfeecaa. Zbog 3.. oobe - za lede a oovu odgovaaućh ooba od D. Koačo Y 3.. ν Y Y Y D Y Y DY Y + Y DY Y Y + Y Y Le-va zagada može e zaz eo ovaaog zvoda šo oazue ledeće vñee Poozca. Nea e M heovš Y M. Tada Doaz. [ Y ] D Y D Y [ Y ] D Y D Y lede z Ša vše Y Y Y Y DY DY DY ν ν + DY ν ν ema 3..3 Da bmo oazal da e ovaa zvod uuaše vovo heovš dovolo e doaza da e može a edve ač aza eo ve fudameale fome. Rema-ove mee. Pvo ćemo zve ee loale fomule. Nea e φ loala aamezaca od M ψ φ V odgovaauća aa. Tada za φ - D zbog 3..3 mamo: g D D Nea u Y M a loalm eezeacama D Y Y D 64

69 65 Pema Y Y Y Y Y Y e edveo odeñeo alam ozvodma Y ogleda Dale dovolo e oaza da u v + Y g Y Y uuaš. da zave lučvo od g. U ovom zazu Γ : 3..5 e azvau Choffel-ov mbol ve ve. Kao e oeć 3..5 dobamo a e Γ Γ. Pošo e V ooe glae fuce Γ ao da: Γ 3..6 Γ e azvau Choffel-ov mbol duge ve. O u aoñe meč o zbog : Γ Γ. Na oovu led: Γ Γ m m m g 3..7 Oae da e oaže da u Γ uuaša vova. da zave amo od g. Imamo:

70 g D g g 3..4 v Γ + Γ Clčm emuacama dobamo: g g Γ Γ + Γ + Γ od oh dodavauć eevo oduzmauć dobamo: Γ g + g + g Ova zaz zav lučvo od g. Ovm e oazao ledeće vñee Teoema. Kovaa zvod e uuaše vovo Naomea. Zadžavauć doadašu oacu ea e II : h. Tada ao e φ dobamo: 3.. D D h ν h ν Γ 66

71 3.3 GEODEZIJSKE LINIJE Veoo ole Y a R e oao ao amo ao e DY ao amo ao D Y za va veoa ola a R. Kao e Y T R R ovo e dale evvaleo a čecom da u v Y aalel edah duža. Za heovš aalogo defšemo oam aalelog veoog ola Defca. Nea e M heovš u R Y za ve M. Y M. Veoo ole Y e azva aalelo ao e Geodeze le u R. ave le mau oobu da u hov age veo uve aalel duž ave le. Da bmo ovo geealzoval oeba am e ledeća defca Defca. Nea e M R heovš c: I M. Glao elavae : I R e azva veoo ole duž ve c ao T c M za ve I. Poo vh veoh ola duž ve c ozačavamo a c Pme. Nea e c: I M C. Tada c& : I R c c& T c M. Nea Y M M Y ~ glao ošee od Y a eu oolu oo u R. Nea ~ v T M. Tada a oovu 3.. D v Y DY v. Ao e c: I M va ava da e c c' v ada: d d Y c d d ~ ~ Y c DY c c& { DvY 3 v Da bmo ašl D v Y dovolo e za Y duž vae ave ve c. To e ačo za Y v. Ao Y M c: I M glao ada d D c & Y Y o c d Ao Y c aalogo defšemo: d Y Y d D c &

72 68 : a c c Y D Y D Y D Y c c g c c ν ν & & & & Lema. Nea e loala aamezaca u c o glaa va a M a loalom eezeacom a u. Nea Y c c Y Y. Tada: c c c d du Y d dy Y Γ + & Doaz. Kao e 443 u c D Y Y a oovu 3.3. mamo: v u d du Y d dy d du u D Y u D d dy Y D c c c + Γ o & Dale vñee led z Defca. Kva c: I M oa e oaa azva e geodeza la ao e c c & & za vao. Ovo zač da e c& aalelo omea duž c. va de oolo avo olo o o mogouo dozvolava. Sa ače gledša fze 3.3. c c d d c D c & & & & & e ubzae čece oa e eće duž c. c c & & e agea omoea ubzaa. Ovao omaao geodza la e va a M oa e oeća ubzae a heovš. Nomala omoea od c& & odgovaa l c m F & & oa e oeba da e čeca odž uua M. Dale c e geodeza la ao amo ao e M T c c & & za ve.