ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ» ΛΥΡΑΚΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΟΖΑΝΗ 2008

2 Copyright Λυράκος Θεμιστοκλής, 2008 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Η έγκριση της μεταπτυχιακής εργασίας από το Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα εκ μέρους του Τμήματος. 2

3 Ευχαριστίες Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους φίλους, για την ηθική συμπαράσταση που μου προσέφεραν, ο καθένας με το δικό του τρόπο. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου Παναγιώτη και Ελευθερία και την αρραβωνιαστικιά μου Αθανασία για την υπομονή και την στήριξή τους καθ όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Τέλος ένα μεγάλο ευχαριστώ, για την καθοδήγηση του κατά την πορεία της εργασίας αυτής, στον επιβλέποντα της πτυχιακής μου εργασίας, Πετράκη Ανδρέα, του οποίου ο ρόλος για την ολοκλήρωσή της υπήρξε καθοριστικός. Κοζάνη, Φεβρουάριος 2008 Λυράκος Θεμιστοκλής 3

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη των παραγόντων που επηρεάζουν την κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας (Κ.Η.Ε.) στην Ελλάδα με τη βοήθεια ενός Γραμμικού Στοχαστικού Υποδείγματος Πολλαπλής Παλινδρόμησης. Πιο συγκεκριμένα θα μελετηθεί κατά το έτος 2005 η επίδραση της κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας στις δεκατρείς περιφέρειες της Ελλάδος ως συνάρτηση της γεωγραφικής έκτασης, τις μετεωρολογικές συνθήκες και το πληθυσμό της κάθε περιοχής Η μελέτη αυτή θα πραγματοποιηθεί με τη χρήση στατιστικών μοντέλων κατάλληλης μορφής τα οποία θα δημιουργηθούν με χρήση του λογισμικού MATHEMETICA. Πιο συγκεκριμένα με τη βοήθεια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων: Θα βρεθεί το μοντέλο που προσαρμόζεται στα δεδομένα, με εξαρτημένη μεταβλητή την y και προβλέπουσες μεταβλητές τις x1, x2, x3. Θα κατασκευαστεί ο πίνακας ANOVA του μοντέλου και θα ελεγχθεί αν το μοντέλο είναι σταθερό, σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05, θα υπολογιστεί ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 και ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού σχολιαστούν τα αποτελέσματα, 2 R και θα Θα βρεθεί η διασπορά και η τυπική απόκλιση του μοντέλου, καθώς και των συντελεστών και θα βρεθεί, σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 ποιοι από τους συντελεστές των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι μηδέν, θα εκτιµηθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης κάθε συντελεστή, 4

5 θα γίνει έλεγχος πολυσυγραμμικότητας του αρχικού πλήρους μοντέλου, θα βρεθούν τα κατάλοιπα, τα τυποποιημένα κατάλοιπα, τα R- student, να γίνουν τα σχετικά γραφήματα και να γίνει έλεγχος αυτοσυσχέτισης και ετεροσκεδαστικότητας των καταλοίπων, 5

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ...6 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Κ.Η.Ε.)...7 ΜΟΡΦΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (MULTIVARIATE REGRESSION)...10 ΠΙΝΑΚΑΣ ANOVA ΈΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΓΙΑ ΝΑ ΙΕΡΕΥΝΗΘΕΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟ...16 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ R 2 ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΙΟΡΘΩΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ...21 ΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ...23 ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ «Τ» ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ...25 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (COEFFICIENT INTERVAL)...28 ΠΟΛΥΣΥΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ...30 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTO CORRLATION) ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ...33 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ DURBIN WATSON...34 ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ...36 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...42 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ...44 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

7 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Κ.Η.Ε.) Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται στοιχεία για την κατανάλωση της ηλεκτρικής ενέργειας στις 13 περιφέρειες της χώρας μας κατά το έτος Περιφέρεια Σύνολο Κ.Η.Ε. (ΩΧΒ) Μέση τιμή Θερμοκρασίας ( o C) Πληθυσμός (Σε εκατοντάδες χιλιάδες) Έκταση (km 2 ) Ανατολική Μακεδονία- Θράκη , Κεντρική Μακεδονία , Δυτική Μακεδονία , Θεσσαλία , Ήπειρος , Ιόνιοι Νήσοι , Δυτική Ελλάς , Στερεά Ελλάς , Πελοπόννησος , Αττική , Βόρειο Αιγαίο , Νότιο Αιγαίο , Κρήτη ,

8 Για να απλουστεύσουμε την διαδικασία των πράξεων, διαιρούμε όλα τα κελιά με τον αριθμό Περιφέρεια Σύνολο Κ.Η.Ε. (ΩΧΒ) Μέση τιμή Θερμοκρασίας ( o C) Πληθυσμός (Σε εκατοντάδες χιλιάδες) Έκταση (km 2 ) Ανατολική Μακεδονία- Θράκη 2.323,342 0, ,757 14,517 Κεντρική Μακεδονία 8.330,147 0, ,761 18,811 Δυτική Μακεδονία 882,751 0, ,644 9,451 Θεσσαλία 4.126,383 0, ,912 14,037 Ήπειρος 1.231,461 0, ,497 9,203 Ιόνιοι Νήσοι 799,818 0, ,490 2,307 Δυτική Ελλάς 2.409,610 0, ,312 11,350 Στερεά Ελλάς 6.990,864 0, ,205 15,549 Πελοπόννησος 2.393,010 0, ,166 15,490 Αττική ,465 0, ,724 3,808 Βόρειο Αιγαίο 567,663 0, ,400 3,836 Νότιο Αιγαίο 1.622,567 0, ,251 5,286 Κρήτη 2.412,457 0, ,601 8,336 8

9 Απομονώνοντας τα στοιχεία που θα επεξεργαστούμε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας όπου : Υ = Σύνολο Κατανάλωσης Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΩΧΒ) x1 = Μέση τιμή Θερμοκρασίας ( ο C) x2 = Πληθυσμός (Σε εκατοντάδες χιλιάδες) x3 = Έκταση (km 2 ) α/α Υ Χ1 Χ2 Χ ,342 0, ,757 14, ,147 0, ,761 18, ,751 0, ,644 9, ,383 0, ,912 14, ,461 0, ,497 9, ,818 0, ,490 2, ,610 0, ,312 11, ,864 0, ,205 15, ,010 0, ,166 15, ,465 0, ,724 3, ,663 0, ,400 3, ,567 0, ,251 5, ,457 0, ,601 8,336 9

10 ΜΟΡΦΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (MULTIVARIATE REGRESSION) Κατά τη διάρκεια μελέτης διαφόρων επιστημονικών φαινομένων ένας ενδιαφέρον τομέας είναι να μπορούμε να μελετήσουμε την τιμή μιας μεταβλητής (η οποία ονομάζεται εξαρτημένη) με βάση τις τιμές κάποιων άλλων παραγόντων (ανεξάρτητων μεταβλητών). y: το αποτέλεσμα (ή εξαρτημένη μεταβλητή) π.χ. πίεση, τριγλυκερίδια x: ανεξάρτητη μεταβλητή π.χ. ηλικία, φύλλο Ο συντελεστής συσχέτισης κοιτά το πόσο μεταβάλλεται το y σε σχέση με το x. π.χ. Όσο πιο ψηλός τόσο πιο βαρύς. Όσο πιο χαμηλό το βιοτικό επίπεδο, τόσο πιο υψηλή η παιδική θνησιμότητα. Όσο πιο πολύ το x τόσο πιο πολύ /λίγο το y. Δύο σημαντικές έννοιες είναι οι έννοιες της συσχέτισης και της παλινδρόμησης Συσχέτιση: Πόσο έντονα μία αλλαγή στο ένα μέγεθος επηρεάζει το άλλο μέγεθος; Παλινδρόμηση: Αν ξέρουμε την τιμή του x μπορούμε να προβλέψουμε το y; Είναι δηλαδή πολύ σημαντικό σε πάρα πολλά προβλήματα να προβλέψουμε την τιμή μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών κάτω από 10

11 ορισμένες συνθήκες. Οι συνθήκες περιγράφονται και αυτές από μεταβλητές, που λέγονται προβλέπουσες μεταβλητές ή «ανεξάρτητες μεταβλητές» (predictor variables ή independent variables). Η μεταβλητή της οποίας «προβλέπουμε» τις τιμές λέγεται «εξαρτημένη μεταβλητή» (dependent variable) ή απόκριση (response). Για παράδειγμα η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας, αλλά πολλών μεταβλητών (π.χ. έστω ότι έχουμε ένα αποτέλεσμα όπως είναι ο πληθωρισμός και m παράγοντες που τον επηρεάζουν). x,..., y= f( x1, x2,..., x m ) δηλαδή η y είναι συνάρτηση των m ερμηνευτικών μεταβλητών 1, x2 x m. Το ζητούμενο είναι η εύρεση της καλύτερης συνάρτησης που προσαρμόζεται στα δεδομένα. Εάν η σχέση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή με την εξαρτημένη μεταβλητή είναι γραμμική τότε η συνάρτηση θα είναι της μορφής: y i = α +βx i + εi όπου: α: Αρχή (origin) β: Κλίση (slope) ε i: Τα σφάλματα και yˆείναι i η εκτιμημένη τιμή της συνάρτησης Η παραπάνω σχέση αποτελεί το υπόδειγμα της απλής γραμμικής παλινδρόμησης 11

12 Εικόνα 1: Ο συντελεστής β δείχνει πόσο απότομη είναι η παλινδρόμηση. Εικόνα 2: Διαφορά του εκτιμημένου μοντέλου από το πραγματικό Εάν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι περισσότερες από μία, τότε η συνάρτηση για ένα δείγμα από m παρατηρήσεις θα είναι της μορφής: y = b + b x + b x + + b x + ε t o 1 1t 2 2 t... m mt Η παραπάνω σχέση αποτελεί το υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης όπου: y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή 12

13 x, x2,..., xm 1 είναι οι m προβλέπουσες μεταβλητές ή ανεξάρτητες μεταβλητές. b0, b1, b2, bm είναι οι συντελεστές του μοντέλου οι οποίοι λέγονται συντελεστές παλινδρόμησης και πρέπει να εκτιμηθούν (υπολογιστούν). ε είναι το σφάλμα του μοντέλου. Ονομάζεται και διαταρρακτικός όρος (disturbance term), επειδή διαταράζει την προσδιοριστική σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις μεταβλητές y και x και συμβολίζεται με u. Ο διαταρρακτικός όρος u παριστάνει την επίδραση όλων των άλλων μεταβλητών που έχουν παραληφθεί. Η παρουσία του διαταρρακτικού όρου μπορεί επίσης να αποδοθεί στο γεγονός ότι η ανθρώπινη συμπεριφορά είναι αστάθμητη και επομένως ο διαταρρακτικός όρος παριστάνει τον αστάθμητο ή απρόβλεπτο παράγοντα. Ο τρίτος λόγος για την ύπαρξη του διαταρρακτικού όρου αναφέρεται στο σφάλμα μέτρησης των μεταβλητών. (Τα σφάλματα μέτρησης είναι αναπόφευκτα και επομένως και αν ακόμη η θεωρητική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές είναι ακριβής, πάλι θα υπάρχουν αποκλίσεις από τη θεωρητική σχέση, που θα οφείλονται στην ύπαρξη λαθών στη μέτρηση των τιμών των μεταβλητών). Τα δεδομένα του προβλήματος της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης συνήθως ταξινομούνται με τη μορφή πίνακα ως εξής: x11 x21 x31... xm 1 y1 x12 x22 x32... x m2 y2 x13 x23 x33... xm3 y x n x n x n xmn yn 13

14 Η i στήλη του παραπάνω πίνακα παριστάνει τις τιμές της μεταβλητής xi δηλαδή η κάθε στήλη είναι ένας παράγοντας που εκτιμούμε ότι επηρεάζει τη μεταβλητή y. H j στήλη του παραπάνω πίνακα παριστάνει τα δεδομένα της j εκτέλεσης του πειράματός μας με x,..., 1 j, x2 j xmj είναι οι τιμές των προβλεπουσών μεταβλητών x x,..., x 1, 2 mαντίστοιχα και j y η προκύτπουσα τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y. Σύμφωνα με τα παραπάνω το μοντέλο που θα μελετήσουμε είναι της μορφής : y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ε Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Least Squares Method) θα μελετήσουμε τις παραμέτρους του υποδείγματος. Το σύστημά μας θα έχει είναι της μορφής : y 1 = b 0 + b1x 11 + b2x 21 + b3x 31 + ε1 y 2 = b 0 + b1x 12 + b2x 22 + b3x 32 + ε2...(σ1) y 13 = b 0 + b1x b2x b3x ε13 Αν συμβολίσουμε τώρα με b ) 1, i=0,1.. m τις τιμές που μας δίνει η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων τότε το μοντέλο παίρνει τη μορφή: y ) = b ) 0 + b ) 1x1 + b ) 2x2+ b ) 3x3 Η $ y είναι η εκτίμηση της πραγματικής τιμής y και διαφέρει από την y κατά ένα σφάλμα και αν θέσουμε yi - $i y = εi περιμέβνουμε να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα n 2 εi. i= 1 Οι διαφορές yi - $ y i= εi λέγονται υπόλοιπα (residuals). Πιο συνοπτικά : 14

15 Y= [y1, y2,, y13] T 1 x11 x 21 x31 1 x12 x 22 x32 X = x x x B = [b0, b1, b2, b3] T (διάνυσμα συντελεστών), B = XpY, όπου Xp ο ψευδοαντίστροφος κατά Moore του Χ. Έτσι λοιπόν με τη βοήθεια του Mathematica παρουσιάζουμε παρακάτω τους πίνακες Χ και Υ Χ = Υ = Προκύπτει επίσης ότι το διάνυσμα των συντελεστών Β = Χp Υ είναι: B= και οπότε το εκτιμημένο μοντέλο παλινδρόμησης : y ) ) ) ) ) = b 0+ b 1 x1+ b2x2 + b3x3 = x x x3 15

16 ΠΙΝΑΚΑΣ ANOVA ΈΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΘΕΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟ Με τη βοήθεια του Mathematica παρουσιάζουμε του ακόλουθους υπολογισμούς. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (SUM SQUARES) I. Το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων (Sum Square Residuals) το οποίο είναι η διασπορά που οφείλεται στα σφάλματα και θέλουμε να τείνει στο μηδέν. SSE = Y T (In-X Xp)Y = x 10 7 II. Τη συνολική διασπορά γύρω από το μέσο όρο (Sum Square Total), η οποία είναι μία ποσότητα που μπορεί να υπολογιστεί χωρίς τη γνώση του μοντέλου. SST = Y T Y 1 n (YΤ Jn Y) = x 10 8 όπου Jn o nxn πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι μονάδες. III. Τη διασπορά γύρω από το μέσο όρο που οφείλεται στην παλινδρόμηση (Sum Square Regression). SSR = SST SSE = x x 10 7 = x 10 8 ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (DEGREES OF FREEDOM) I. O Βαθμός ελευθερίας της παλινδρόμησης R (Regression) ισούται με το πλήθος m των ανεξάρτητων μεταβλητών του μοντέλου (x1, x2, x3 ). dfr = m = 3 16

17 II. O Bαθμός ελευθερίας της συνολικής διασποράς Τ (Total) ισούται με n 1, όπου n το πλήθος των παρατηρήσεων. dft = n 1 = 13 1=12 III. O Bαθμός ελευθερίας των σφαλμάτων Ε (Εrrors) είναι ίσος με τη διαφορά dft dfr = (n 1) m = n m 1. dfe = n m 1 = = 9 ΜΕΣΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ (MEAN SQUARES) Τα μέσα τετράγωνα προκύπτουν από τη διαίρεση των αθροισμάτων τετραγώνων με τους βαθμούς ελευθερίας. I. Μέσα Τετράγωνα Παλινδρόμησης (MEAN SQUARE OF REGRESSION) MSR = SSR df R = SSR 8 m = = x 10 7 II. Μέσα τετράγωνα σφαλμάτων (MEAN SQUARE ΟF RESIDUALS) MSE = SSE df E = 8 SSE n m 1 = = x 10 6 MSE = S 2 (S 2 η διακύμανση και s η τυπική απόκλιση) S = MSE= III. Τα Μέσα τετράγωνα της συνολικής διασποράς (TOTAL MEAN SQUARE) είναι η διασπορά της εξαρτημένης μεταβλητής Υ MST= SST df T = Var(Y). ΜST= = 0.19 X 10 8 = Var(Y) 17

18 ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (F-STATISTIC) MSR F = = MSE = Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο πίνακας ανάλυσης της διακύμανσης του μοντέλου (ANalysis Of VAriance). ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΟVA MONTEΛΟΥ ΠΗΓΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΒΑΘΜΟΙ ΜΕΣΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ F SS DF MS ΠΑΛΙΝΔΡΌΜΗΣΗ R ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ E ΣΥΝΟΛΟ T SSR= X MSR= X 10 7 SSE= X MSE= X 10 6 SST= X F= ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 0.05) Θα μελετήσουμε τώρα αν το μοντέλο μας είναι σταθερό σε επίπεδο σημαντικότητας a=0.05. Από τον πίνακα ANOVA η μεταβλητή MSR ακολουθεί την κατανομή Χ 2 με 3 βαθμούς ελευθερίας και η MSE ακολουθεί την κατανομή Χ 2 με 13 βαθμούς ελευθερίας, οπότε ο λόγος τους F προκύπτει ότι ακολουθεί την κατανομή F3,13.Η κρίσιμη τιμή, από τον πίνακα της κατανομής F, είναι f = Fm, n-m-1, a = F3, 13, 0.05 =

19 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Η0 ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗΣ Η1 Η μηδενική υπόθεση είναι η: Η0: b ) 1= b ) 2= b ) 3 = b ) 4= 0, ενώ η εναλλακτική η: δηλαδή ότι το μοντέλο είναι σταθερό, Η1: b ) 1 0 ή b ) 2 0 ή b ) 3 0 ή b ) 4 0, δηλαδή ότι το μοντέλο δεν είναι σταθερό. Το διάστημα αποδοχής της Η0 είναι (0, f )=(0, 3.863) ενώ το διάστημα απόρριψης όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα είναι το (f, + ) = (3.863, + ). Συμπέρασμα Το στατιστικό F= (3.863, + ), επομένως αποδεχόμαστε την υπόθεση Η1 δηλαδή ότι μοντέλο μας δεν είναι σταθερό, που σημαίνει ότι η μεταβλητή y εξαρτάται από τις προβλέπουσες μεταβλητές x1, x2,x3). 19

20 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R 2 ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ. Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1] και συγκεκριμένα 0 < R 2 1 R 2 = SSR 8 SST = = Όσο πιο κοντά στη μονάδα είναι ο συντελεστής προσδιορισμού, τόσο πιο καλή είναι η προσαρμογή της ευθείας παλινδρόμησης. Συμπέρασμα Εφόσον το 2 R είναι πολύ κοντά στη μονάδα αυτό σημαίνει ότι το 92,15% της μεταβλητότητας εξηγείται από την παλινδρόμηση δηλαδή το 92,15% οφείλεται στη σχέση που υπάρχει μεταξύ της κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας και των ανεξάρτητων μεταβλητών. Κατά συνέπεια μόνο το 7,85% της μεταβολής της κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας οφείλεται σε άλλες αιτίες που είναι διαφορετικές από τις μεταβολές των ανεξάρτητων μεταβλητών Επομένως το μοντέλο απορροφά το 92,15% της συνολικής διασποράς δηλαδή αντιπροσωπεύει το συνολικό πληθυσμό κατά 92,15%. Άρα το μοντέλο είναι καλό 20

21 ΔΙΟΡΘΩΜΕΝΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ Στην απλή παλινδρόμηση ο συντελεστής προσδιορισμού (R 2 ) μετρά το ποσοστό της μεταβλητότητα της Y που οφείλεται στις επιδράσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής X. Στην πολλαπλή παλινδρόμηση χρησιμοποιούμε επίσης τον ανάλογο συντελεστή για να μετρήσουμε το ποσοστό της μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής Y που οφείλεται στις επιδράσεις όλων μαζί των ανεξάρτητων μεταβλητών. Επειδή στο υπόδειγμα της πολλαπλής παλινδρόμησης περιλαμβάνονται περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές, ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού μετράει τη συνολική επίδραση που δέχεται η Y από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Από τον ορισμό τόσο του απλού όσο και του πολλαπλού συντελεστή προσδιορισμού, προκύπτει ότι η προσθήκη μιας νέας ανεξάρτητης μεταβλητής στο υπόδειγμα θα οδηγήσει σε μείωση της ανερμήνευτης συνιστώσας (αποκλίσεις μεταξύ Y και Ŷ ) και επομένως σε αύξηση της τιμής του συντελεστή R 2. Επομένως η προσθήκη νέων ανεξάρτητων μεταβλητών στο υπόδειγμα θα οδηγήσει πάντα σε αύξηση της τιμής του R 2. Όμως, κάθε νέα ανεξάρτητη μεταβλητή «στοιχίζει» και ένα βαθμό ελευθερίας. Το ερώτημα είναι αν η αύξηση αυτή του R 2 είναι τόσο σημαντική, ώστε να αξίζει την απώλεια ενός βαθμού ελευθερίας. Η προσθήκη πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών μπορεί να οδηγήσει σε «τεχνητή» αύξηση της τιμής του R 2 που δε θα έχει καμία αξία, όταν μάλιστα ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών (k) είναι υψηλός σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με το «διορθωμένο» (adjusted) συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού που λαμβάνει υπόψη του την 21

22 απώλεια των βαθμών ελευθερίας. Έτσι λοιπόν ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού θεωρείται πιο αξιόπιστος και για το μοντέλο μας είναι: R n = 1 (1 R ) = 1 ( ) = n m Συμπέρασμα Εφόσον το 2 R είναι και πάλι πολύ κοντά στη μονάδα αυτό σημαίνει ότι το 89,53% οφείλεται στη σχέση που υπάρχει μεταξύ της κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας και των ανεξάρτητων μεταβλητών. 22

23 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Επειδή δεν γνωρίζουμε την διασπορά σ 2 του μοντέλου (δηλαδή των residuals), θα την προσεγγίσουμε με την s 2 = MSE = x 10 6 που αποτελεί αμερόληπτη εκτίμηση της διασποράς των σφαλμάτων σ 2. Η s 2 είναι η διακύμανση και s η τυπική απόκλιση του δείγματος των παρατηρήσεων. Η τυπική απόκλιση (standard deviation) είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο μέτρο διασποράς που δείχνει την ενδεχόμενη διαφορά μιας συγκεκριμένης τιμής από το μέσο όρο όλων των τιμών. Έχουμε s = 2 S = MSE= Συμπέρασμα Εφόσον η διασπορά είναι μεγάλη μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η προσαρμογή των δεδομένων μας δεν είναι καλή. `ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Σε αυτό το σημείο θα ελέγξουμε κατά πόσο τα πρόσημα των συντελεστών παλινδρόμησης συμφωνούν με τους a priori περιορισμούς. Όπως αναφέραμε παραπάνω τόσο η ιδιωτική και δημόσια κατανάλωση όσο και οι επενδύσεις με τις εξαγωγές πρέπει να βρίσκονται σε θετική εξάρτηση με τη ζήτηση για εισαγωγές. Οι συντελεστές b1, b2, b3, πράγματι συμφωνούν με τους a priori περιορισμούς καθώς τα πρόσημά τους είναι θετικά. 23

24 Ο σταθερός όρος bo όμως παρουσιάζει αρνητικό πρόσημο γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με τους a priori περιορισμούς. Παρόλα αυτά δεν θα μας επηρεάσει κατά την μελέτη του μοντέλου μας, 24

25 ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ «Τ» ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ bi To στατιστικό Τ=, (i=1, 2 ) ακολουθεί την κατανομή t με s ( b ) i n-m-1=9 βαθμούς ελευθερίας. Η κρίσιμη τιμή, από τον πίνακα της κατανομής t, είναι t = tn-m-1, a/2 = t9, = Θα εξετάσουμε τη σημαντικότητα των συντελεστών του μοντέλου ελέγχοντας την υπόθεση Η0 και εναλλακτικά την Η1 (όπως τις είδαμε και πιο πάνω). Το διάστημα αποδοχής της υπόθεσης Η0 είναι το (-2.262, 2.262). Το διάστημα αποδοχής της Η1, και άρα απόρριψης της Η0 είναι το (, t) (t, + ) = (, 2.262) (2.262, + ) Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο πίνακας ανάλυσης της διακύμανσης του μοντέλου (ANalysis Of VAriance). 25

26 Συντελεστής b0 b0 = και s(b0) = Ισχύουν 2 υποθέσεις. Η μηδενική υπόθεση είναι Η0: b0 = 0 και η εναλλακτική Η1: b0 0 b0 Το στατιστικό Τ= s( b ) , 0 άρα Τ(b0)ε(-2.262,2,262) οπότε ισχύει η Η1 και έτσι b0 = 0. Συντελεστής b1 b1 = και s(b1) = Ισχύουν 2 υποθέσεις. Η μηδενική υπόθεση είναι Η0: b1 = 0 και η Η1: b1 0 b1 Το στατιστικό Τ= s( b ) , 1 άρα Τ(b1)ε (-2.262,2,262) οπότε ισχύει η Η1 και έτσι b1 = 0. Συντελεστής b2 b2 = και s(b2) = Ισχύουν 2 υποθέσεις. Η μηδενική υπόθεση είναι Η0: b1 = 0 και η Η1: b1 0 b2 Το στατιστικό Τ= s( b ) , 2 άρα Τ(b2)ε( 2.262, + ) οπότε ισχύει η Η0 και έτσι b

27 Συντελεστής b3 Ισχύουν 2 υποθέσεις. b3 = και s(b3) = Η μηδενική υπόθεση είναι Η0: b1 = 0 και η Η1: b1 0 b3 Το στατιστικό Τ= s( b ) , άρα Τ(b2)ε( 2.262, + ) οπότε ισχύει η Η0 και έτσι b3 0. Συμπέρασμα Επειδή b1 = 0 η μεταβλητή x1 (θερμοκρασία) δεν είναι στατιστικά σημαντική. 27

28 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (COEFFICIENT INTERVAL) Αν θ η πραγματική τιμή (στο συνολικό πληθυσμό) του εκτιμημένου συντελεστή bi, τότε θ bi s( b ) i tn-m-1 της σχέσης Το διάστημα εμπιστοσύνης του συντελεστή προσδιορίζεται βάσει tn-m-1, a/2 < θ b i s( b ) i < tn-m-1, a/2 s(bi) tn-m-1, a/2 < θ bi < s(bi) tn-m-1, a/2 bi s(bi) tn-m-1, a/2 < θ < bi + s(bi) tn-m-1, a/2 Tο διάστημα bi ± s(bi) tn-m-1, a/2 είναι, σε επίπεδο σημαντικότητας a=0.05 ή 5% (με σιγουριά 95%) το διάστημα εμπιστοσύνης του συντελεστή. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα 95%, η πραγματική τιμή του συντελεστή να βρίσκεται στο διάστημα από bi s(bi) tn-m-1, a/2 έως bi + s(bi) tn-m-1, a/2 Η πραγματική τιμή του συντελεστή δεν είναι τυχαία μεταβλητή του δείγματος αλλά παράμετρος του πληθυσμού, οπότε ή θα βρίσκεται στο εν λόγω διάστημα.ή δεν θα βρίσκεται. Η έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι ότι, αν ληφθούν 100 δείγματα από τον πληθυσμό, τότε για τα 95 θα ισχύει ότι η τιμή του συντελεστή περιέχεται στο διάστημα αυτό. Δηλαδή, η πρόταση η πραγματική τιμή του συντελεστή βρίσκεται μεταξύ bi s(bi) tn-m-1, a/2 και bi + s(bi) tn-m-1, a/2 έχει 95% πιθανότητα να είναι αληθής. Η κρίσιμη τιμή, από τον πίνακα της κατανομής t, είναι : t = tn-m-1, a/2 = t45, 0.025=

29 Για τον συντελεστή b0 Από b0 s(b0) tn-m-1, a/2 έως b0 + s(b0) tn-m-1, a/2 δηλαδή από ( ) έως ( ) οπότε, με σιγουριά 95%, τα όρια του διαστήματος ( , ) περικλείουν τον πραγματικό συντελεστή b0. Για τον συντελεστή b1 Με όμοιο τρόπο C.I.=( , ) με b1 = άρα τα όρια του διαστήματος περικλείουν τον πραγματικό συντελεστή b2. Για τον συντελεστή b2 Με όμοιο τρόπο C. I. = ( , ) με b2 = άρα τα όρια του διαστήματος περικλείουν τον πραγματικό συντελεστή b2. Για τον συντελεστή b3 Με όμοιο τρόπο C. I. = ( , ) με b2 = άρα τα όρια του διαστήματος περικλείουν τον πραγματικό συντελεστή b2. Συμπέρασμα Όπως διαπιστώσαμε, η μεταβλητή x2, μπορεί να διαγραφεί, εφ όσον δεν είναι σημαντική στην πρόβλεψη των τιμών της y. Δεν θα διαγραφεί όμως και θα συνεχίσουμε τον έλεγχο του μοντέλου μας και με τις τρεις μεταβλητές x1, x2, x3. 29

30 ΠΟΛΥΣΥΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ H ύπαρξη γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των ανεξάρτητων (προβλεπουσών) μεταβλητών του μοντέλου, δημιουργεί πολλά προβλήματα, καθώς συνδέεται με ψηλές διακυμάνσεις (τυπικά σφάλματα) των συντελεστών και κατ επέκταση, μεγάλα διαστήματα εμπιστοσύνης. Θεωρούμε την εκτίμηση του αρχικού υποδείγματος των 2 μεταβλητών : y ) ) ) ) ) = b 0+ bx1+ 1 b2x2 + b3x3 = x x x3 Θα ελέγξουμε την ενδεχόμενη ύπαρξη γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών x1, x2, x3.. Υπολογίζουμε τον μέσο αριθμητικό και τη τυπική απόκλιση για κάθε προβλέπουσα μεταβλητή του μοντέλου. ΜEΤΑΒΛΗΤΗ x j ΜΕΣΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ x j ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ s j x x x

31 Αντικαθιστώντας στον τύπο του πίνακα X * έχουμε: Χ = O πίνακας R γραμμικής συσχέτισης των συντελεστών (correlation symmetric matrix) R=(rij, όπου rij=r(bi,bj) ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearson, είναι: R= Ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearson δείχνει το βαθμό συσχέτισης των ερμηνευτικών μεταβλητών του μοντέλου. Ο συντελεστής του Pearson επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές, οπότε υπάρχει θέμα αξιοπιστίας του, όταν έχουμε μεγάλες διαφορές τιμών στα δεδομένα μας. Θα ελέγξουμε την ύπαρξη πολυσυγραμικότητας (γραμμικής εξάρτησης) μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών, με 3 τρόπους. Εξετάζοντας τον πίνακα R, παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει τιμή rij, δηλαδή συντελεστής γραμμικής συσχέτισης που προσεγγίζει τους αριθμούς 1 και +1, όλοι βρίσκονται κοντά στο 0, άρα δεν υπάρχει (ούτε αρνητική ούτε θετική) γραμμική εξάρτηση μεταξύ των 31

32 μεταβλητών xi (i=1,2,3). Εξετάζουμε τις ιδιοτιμές λi για i=1,2,3 του πίνακα R λ1= λ2= λ3= Δεν υπάρχει ιδιοτιμή λi 0, άρα δεν υπάρχει γραμμική εξάρτηση μεταξύ των μεταβλητών xi. Λαμβάνουμε τον αντίστροφο του πίνακα R, S=R S= Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα S είναι οι συντελεστές VIF (Variance Inflation Factors: συντελεστές διόγκωσης της διακύμανσης) των μεταβλητών xi. Ένας συντελεστής διόγκωσης της διακύμανσης VIF είναι ένα αριθμός που δείχνει την ταχύτητα με την οποία αυξάνεται η διακύμανση του αντίστοιχου συντελεστή (εκτιμητή) του μοντέλου, σε περίπτωση πολυσυγραμμικότας Συμπέρασμα Εδώ, όλοι οι συντελεστές VIF(xi) (για i=1,2,3), βρίσκονται κοντά στο 1, άρα δεν υπάρχει γραμμική εξάρτηση μεταξύ των μεταβλητών x1, x2 x3 του μοντέλου. 32

33 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTO CORRLATION) ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Δυο από τις υποθέσεις της γραμμικής παλινδρόμησης είναι ότι για τα κατάλοιπα ή διαταρακτικούς όρους ui ή εi ισχύει η μέση τιμή ισούται με 0, Ε(ui)= 0, η διακύμανσή τους παραμένει σταθερή Var(εi)= σ 2 και η συνδιακύμανσή τους είναι ίση με 0, για όλες τις χρονικές περιόδους i =1,2, n, Ε(εi,εj)= 0, για i j, δηλαδή ότι ο διαταρακτικός όρος της περιόδου i δεν συσχετίζεται με το διαταρακτικό όρο οποιασδήποτε άλλης περιόδου j. Aν Ε(εi,εj) 0, τα κατάλοιπα αυτοσυσχετίζονται. Το φαινόμενο καλείται αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) ή αυτοπαλινδρόμηση (autoregression) και συνήθως παρατηρείται σε στοιχεία χρονολογικών σειρών και σπανιότερα σε διαστρωματικά στοιχεία. Αν η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου i εξαρτάται από την τιμή του στην περιόδο i-1, δηλαδή εi = εi-1 + εt όπου εt τυχαία μεταβλητή και ρ μια παράμετρος, τότε έχουμε αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξεως (firstorder autocorrelation) AR(1). Ο συντελεστής ρ καλείται συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξεως. Αν η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου i εξαρτάται από την τιμή του στην περιόδο i-1 αλλά και από την τιμή του στην περίοδο i-2 έχουμε αυτοσυσχέτιση δεύτερης τάξεως κ.ο.κ Σε περίπτωση αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων, οι εκτιμητές που προκύπτουν είναι γραμμικοί αμερόληπτοι και συνεπείς, αλλά υπάρχει πρόβλημα στην εκτίμηση των διακυμάνσεών τους (είναι μεροληπτικές) και στην αποτελεσματικότητα των εκτιμητών. Τα συμπεράσματα για τις παραμέτρους του πληθυσμού, με βάση το εκτιμημένο μοντέλο, θα είναι αναξιόπιστα και οι προβλέψεις αναποτελεσματικές. 33

34 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ DURBIN WATSON d = n i= 2 ( ε ε ) i n i= 1 ε 2 i i 1 2 Η μηδενική υπόθεση Η0: ρ= 0 μας λέει ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων ενώ η εναλλακτική υπόθεση Η1: ρ 0 μας λέει ότι υπάρχει αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων Το διάστημα αποδοχής της υπόθεσης Η0 είναι το (du, 4 du). Το διάστημα απόρριψης της Η0 είναι το (0, dl) (4 dl, 4). Στην περιοχή [0, dl] υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων. Στην περιοχή [4-dL, 4] υπάρχει αρνητική αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων. Σημείωση Τα διαστήματα (dl, du) και (4 du, 4 dl) χαρακτηρίζονται σαν αβέβαιες περιοχές. Αν το στατιστικό d βρίσκεται σε αβέβαιη περιοχή, δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν υπάρχει ή όχι αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων. Για το εκτιμημένο πλήρες μοντέλο μας y ) ) ) ) ) = b 0+ bx1+ 1 b2x2 + b3x3 = x x x3 το στατιστικό Durbin Watson είναι d =

35 Από τον πίνακα, για n=13, Κ= 3, α=0.05 οι κρίσιμες τιμές είναι : dl = 0.71 du = 1.61 δηλαδή έχουμε du<d Παρατήρηση Το d βρίσκεται στην περιοχή αποδοχής (4 - du, 4 - dl) της Η0, οπότε υπάρχει αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων. 35

36 ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ Μια από τις υποθέσεις της γραμμικής παλινδρόμησης είναι ότι η μέση τιμή του διαταρακτικού όρου ui ή εi ισούται με 0, Ε(ui)= 0 και ότι η διακύμανσή του παραμένει σταθερή για όλες τις τιμές του i (χρονικές περιόδους), Var(εi)= σ 2 για i =1,2,,n (τα κατάλοιπα είναι ομοσκεδαστικά). Αυτό σημαίνει ότι η διασπορά των τιμών του διαταρακτικού όρου γύρω από τον μέσο δεν εξαρτάται από τιμές της ερμηνευτικής μεταβλητής X. Aν αυτό δεν ισχύει και τα κατάλοιπα είναι ετεροσκεδαστικά, τότε όπως και στην περίπτωση αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων, είναι αναποτελεσματικοί οι εκτιμημένοι συντελεστές παλινδρόμησης και μεροληπτικές οι εκτιμημένες διακυμάνσεις τους. Τα συμπεράσματα για τις παραμέτρους του πληθυσμού, με βάση το εκτιμημένο μοντέλο, θα είναι αναξιόπιστα και οι προβλέψεις αναποτελεσματικές Υπολογίζουμε τις ποσότητες κατάλοιπα (standardized residuals), τις ποσότητες ri = ε i s που καλούνται τυποποιημένα ε s 1 h ii που καλούνται studentized residuals, όπου hii τα διαγώνια στοιχεία του i πίνακα HAT H=Χ (Χ Τ Χ) -1 Χ Τ και τις ποσότητες ti = s i ε i 1 h ii Τα ti καλούνται externally studentized residuals ή R-student και ακολουθούν την κατανομή student με n-m-1 βαθμούς ελευθερίας. Έλεγχος ετεροσκεδαστικότητας των καταλοίπων γίνεται με τα ti (externally studentized residuals ή R-student), ορίζοντας τις υποθέσεις: Η υπόθεση Η0: Ε(εi)=0 και Var(εi)= σ 2 τα κατάλοιπα είναι ομοσκεδαστικά. Η υπόθεση Η1: Ε(εi) 0 και Var(εi) = σ 2 + σi 2 τα κατάλοιπα είναι 36

37 ετεροσκεδαστικά όπου i =1,2,,n Tο 5% διάστημα αποδοχής της H0 για τα R-students είναι το (-t, t) με t = tn-m-1,a/2 Aν κάποιο ti δεν βρίσκεται στο διάστημα αυτό, τότε το συγκεκριμένο i -σημείο καλείται σημείο παρεκτροπής της μέσης τιμής ή της διασποράς του μοντέλου. Στο σημείο αυτό, έχουμε «σπάσιμο» του μοντέλου και η διασπορά υπερβαίνει τη διασπορά σε άλλα σημεία. Μπορούμε να διαγράψουμε την συγκεκριμένη παρατήρηση και να μελετήσουμε το νέο μοντέλο με μια παρατήρηση λιγότερο. Για το μοντέλο μας των 13 παρατηρήσεων, έχουμε: yi y ) i εi εi s hii ri ti

38 Οι γραφικές παράστασεις των καταλοίπων εi, των τυποποιημένων καταλοίπων (standardized residuals) ε i, των studentized s residuals ri και των externally studentized residuals ή R-student ti είναι: Ελέγχουμε την υπόθεση Η0: Ε(εi)=0 και Var(εi)= σ 2 τα κατάλοιπα είναι ομοσκεδαστικά. t 1 = t 8 = t 2 = t 9 = t 3 = t 10 = t 4 = t 11 = t 5 = t 12 = t 6 = t 13 = t 7 =

39 Tο 5% διάστημα αποδοχής της H0 για τα R-students είναι το (-2.262, ) με t = tn-m-1,a/2 = t13, = Διαπιστώνουμε ότι ti (-2.262, ) για όλα τα ti εκτός από το t8 = To σημείο t8, καλείται σημείο παρεκτροπής της μέσης τιμής ή της διασποράς του μοντέλου. Στο σημείο αυτό, έχουμε «σπάσιμο» του μοντέλου και η διασπορά υπερβαίνει τις διασπορά σε άλλα σημεία. Μπορούμε να διαγράψουμε τις τιμές με α/α 8 που σχετίζονται με την περιφέρεια της Στερεάς Ελλάδας, οπότε λαμβάνουμε μοντέλο με 12 παρατηρήσεις (12 περιφέρειες), για το οποίο κάνοντας τους σχετικούς υπολογισμούς, λαμβάνουμε: t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = t 5 = t 6 = t 7 = t 8 = t 9 = t 10 = t 11 = t 12 = Tο 5% διάστημα αποδοχής της H0 για τα R-students είναι το (-2.306, 2.306). Διαπιστώνουμε ότι ti (-2.306, 2.306) για όλα τα ti εκτός από το t 4 =

40 Θα διαγράψουμε τα δεδομένα στο α/α 4 που σχετίζονται με την περιφέρεια της Θεσσαλίας, οπότε προκύπτει μοντέλο με 11 παρατηρήσεις και κάνοντας τους σχετικούς υπολογισμούς, λαμβάνουμε: t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = t 5 = t 6 = t 7 = t 8 = t 9 = t 10 = t 11 = ). Tο 5% διάστημα αποδοχής της H0 για τα R-students είναι το (-2.365, Διαπιστώνουμε ότι ti (-2365, ) για όλα τα ti, άρα δεν υπάρχουν σημεία παρεκτροπής, για το μοντέλο των 11 παρατηρήσεων που προέκυψε. Τα γραφήματα των καταλοίπων εi, των τυποποιημένων καταλοίπων (standardized residuals) ε i, των studentized residuals ri και s των externally studentized residuals ή R-student ti είναι: 40

41 Τα στοιχεία του μοντέλου των 11 παρατηρήσεων είναι τα εξής: i b ) i s( b ) i ) T( b ) i )

42 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην συγκεκριμένη εργασία έγινε προσπάθεια εκτίμησης της συνάρτησης της κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας (Κ.Η.Ε.) στις δεκατρείς περιφέρειες της χώρας μας κατά το έτος Οι μεταβλητές που εξετάστηκαν είναι η θερμοκρασία, ο πληθυσμός και η γεωγραφική έκταση της κάθε περιφέρειας. Στη αρχή προσπαθώντας να απλοποιήσουμε τις τιμές του πίνακα με τα δεδομένα που εξετάσαμε και να έχουμε τιμές χωρίς μεγάλες αποκλίσεις μεταξύ τους, χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο την κανονικοποίησης και την μέθοδο της διαίρεσης των τιμών με μία σταθερά (το χίλια 1.000). Τα αποτελέσματα όμως και οι παρατηρήσεις που προέκυψαν και με τις δύο μεθόδους είναι ακριβώς τα ίδια. Στη συνέχεια εκτιμήσαμε το υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όπου προέκυψε ότι η μέση τιμή της θερμοκρασίας σε κάθε περιφέρεια είναι μία μη στατιστικά σημαντική για τον προσδιορισμό της συνάρτησης της κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας. Παρόλα αυτά όμως προσδιορίσαμε την συνάρτηση κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας ως συνάρτηση και των τριών μεταβλητών που ορίσαμε εξ αρχής. Ελέγχθηκαν τα πρόσημα των εκτιμητών των συντελεστών παλινδρόμησης και οι συντελεστές του μοντέλου βρέθηκαν να είναι στατιστικά σημαντικοί. Επίσης με τον έλεγχο της F κατανομής συμπεράναμε πως η σχέση μεταξύ της εξαρτημένης και ανεξάρτητων μεταβλητών είναι γραμμική. Επιπρόσθετα το 2 R υπολογίσθηκε πολύ υψηλό, επομένως έχουμε καλή γραμμική προσαρμογή ενώ διαπιστώθηκε πως την σημαντικότερη επίδραση στην κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας την ασκεί ο πληθυσμός. 42

43 Στον έλεγχο πολυσυγγραμμικότητας που έγινε δεν διαπιστώθηκε συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών που υποδηλώνει τη σωστή επιλογή του μοντέλου. 43

44 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ 1. Πετράκη, Α., (2004), Γραμμικά Στοχαστικά Υποδείγματα, Σημειώσεις ΠΜΣ Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Εξειδίκευση Συστημάτων Υπολογιστών, Κοζάνη. 2. Δριτσάκης, Ν., (2004), Στατιστική με εντατική χρήση Η/Υ, Σημειώσεις ΠΜΣ Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Εξειδίκευση Συστημάτων Υπολογιστών, Κοζάνη

45 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Ακολουθεί ο κώδικας με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων που δημιουργήσαμε για την μελέτη του μοντέλου μας, με τη βοήθεια του λογισμικού MATHEMETICA. 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 62

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Α.Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ : «Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. Απλή Παλινδρόμηση. (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης. α= εκτίμηση της τεταγμένης για χ=0

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. Απλή Παλινδρόμηση. (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης. α= εκτίμηση της τεταγμένης για χ=0 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΧΕΣΗ Απλή Παλινδρόμηση Y = a + bx + e (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμισης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης Y = a + bx (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 9: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 7.1 Πολυσυγγραμμικότητα: Εισαγωγή Παραβίαση υπόθεσης Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 12: Σφάλματα μέτρησης στις μεταβλητές Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Τα υποδείγματα του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης (simple linear regression

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 11: Αυτοσυσχέτιση Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Περιεχόμενο ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3ο Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (3 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation Σταμάτης Πουλακιδάκος Μερικά εισαγωγικά λόγια Οι έλεγχοι των ερευνητικών υποθέσεων πραγματοποιούνται με διάφορους στατιστικούς ελέγχους,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (ΝΠΣ) & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (ΠΠΣ) (6o Εξάμηνο Μαθηματικών) Ιανουάριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (ΝΠΣ) & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (ΠΠΣ) (6o Εξάμηνο Μαθηματικών) Ιανουάριος 2008 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (ΝΠΣ) & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (ΠΠΣ) (6o Εξάμηνο Μαθηματικών) Ιανουάριος 008 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Βαθμός ΝΠΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Το Γενικευμένο Γραμμικό Υπόδειγμα (Α) ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Χρήσιμες Οδηγίες Με την βοήθεια του λογισμικού E-views να απαντήσετε στα ερωτήματα των επόμενων σελίδων, (οι απαντήσεις πρέπει να περαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα. One-Way Anova. 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς

Στατιστική. Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα. One-Way Anova. 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς Στατιστική Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα One-Way Anova Χατζόπουλος Σταύρος Κεφάλαιο 8ο. Ανάλυση ιασποράς 8.1 Εισαγωγή 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς 8.3 Ανάλυση ιασποράς με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 7: Επεκτάσεις του γραμμικού υποδείγματος σε μη γραμμικές μορφές Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Συχνά στην πράξη το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι ανεπαρκές για την περιγραφή της μεταβλητότητας που υπάρχει στην εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μονοδιάστατη) One-Way ANOVA

Ανάλυση διακύμανσης (Μονοδιάστατη) One-Way ANOVA Ανάλυση διακύμανσης (Μονοδιάστατη) One-Way ANOVA Ανάλυση διακύμανσης Η μονοδιάστατη ανάλυση διακύμανσης εξετάζει εάν δύο ή περισσότεροι ανεξάρτητοι πληθυσμοί έχουν τον ίδιο ή διαφορετικό μέσο όρο. Στην

Διαβάστε περισσότερα