ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΛΥΣΗ DOPPLER LASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΛΥΣΗ DOPPER ASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Το κλιδί σ αυτό το πρόβλημα ίναι το φαινόμνο Doppler (για την ακρίβια, το διαμήκς φαινόμνο Doppler): Η κυκλική συχνότητα μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας η οποία ανιχνύται από ένα παρατηρητή ξαρτάται τη σχτική του κίνηση ως προς τον κπομπό, η παρατηρούμνη συχνότητα ίναι 1± v / c ω = ω 1m v / c v ω 1 ± c όπου v ίναι η σχτική ταχύτητα του κπομπού και του παρατηρητή και ω η κυκλική συχνότητα του κπομπού. Τα πάνω και κάτω πρόσημα ανταποκρίνονται, αντίστοιχα, στην πρίπτωση που πηγή και παρατηρητής πλησιάζουν ή απομακρύνονται. Η δύτρη ισότητα ισχύι για χαμηλές ταχύτητς (μη σχτικιστικό όριο). Η κυκλική συχνότητα του laser στο ργαστήριο ίναι ω, ω 0 ίναι η κυκλική συχνότητα μτάβασης του ατόμου; το άτομο κινίται μ ταχύτητα v κατά τη διύθυνση του laser: Είναι σημαντικό να τονίσουμ ότι τα αποτλέσματα θα πρέπι να δοθούν σ ανάπτυγμα πρώτης τάξως για τα v /c ή hq / mv. ΜΕΡΟΣ I: ΒΑΣΙΚΑ ΤΗΣ ΨΥΞΗΣ ΜΕ ASER 1. Απορρόφηση. 1a Καταγράφουμ τη συνθήκη συντονισμού για την απορρόφηση του φωτονίου. v ω 0 ω 1 c 1b Καταγράφουμ την ορμή p του ατόμου μτά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου hω p = p hq mv c 1c Καταγράφουμ την νέργια του ατόμου μτά την απορρόφηση, στο σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου p mv = h ω0 hω m

2 . Αυθόρμητη κπομπή φωτονίου στην κατύθυνση x. Πρώτα υπολογίζουμ την νέργια του κπμπόμνου φωτονίου, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. Θα πρέπι να ίμαστ προσκτικοί για να κρατήσουμ τη σωστή σιρά. Αυτό διότι η ταχύτητα του ατόμου αλλάζι μτά την απορρόφηση, ωστόσο, αυτή ίναι διόρθωση δυτέρας τάξως για την κπμπόμνη συχνότητα: v hq ω ω v 0 1 μ v c m έτσι, v hq ω ω01 c mc v v q ω h 1 1 c c mc q ω h 1 mc hq v ω1 mv c ω a Καταγράφουμ την νέργια του κπμπόμνου φωτονίου,, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατέυθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. h ω b Καταγράφουμ την ορμή του κπμπόμνου φωτονίου p, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. p hω c / Από τη διατήρηση της ορμής (δς 1b): p p p hq c Καταγράφουμ την ορμή του ατόμου p, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. p p = mv 0. d Καταγράφουμ την νέργια του ατόμου, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. 0.

3 p m = mv 3. Αυθόρμητη κπομπή φωτονίου στην κατύθυνση x Το ίδιο μ το προηγούμνο, κρατώντας τη σωστή τάξη. 3a Καταγράφουμ την νέργια του κπμπόμνου φωτονίου,, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. v v v v h ω01 hω1 1 hω1 c c c c 3b Καταγράφουμ την ορμή του κπμπόμνου φωτονίου p, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. hω v p 1 c c c Καταγράφουμ την ορμή του ατόμου p, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. hω v hω p = p hq p p hq 1 mv c c c 0. 3d Καταγράφουμ την νέργια του ατόμου, μτά τη διαδικασία κπομπής στην κατύθυνση x, ως προς το σύστημα αναφοράς του ργαστηρίου. p = mv hq 1 m mv Μέση Εκπομπή μτά την Απορρόφηση. Η διαδικασία αυθόρμητης κπομπής προκύπτι μ ίσς πιθανότητς για τις δύο κατυθύνσις. 4a Καταγράφουμ τη μέση νέργια νός κπμπόμνου φωτονίου,, μτά τη διαδικασία κπομπής 1 = 1 v h ω1 c 0.

4 4b Καταγράφουμ τη μέση ορμή νός κπμπόμνου φωτονίου p, μτά τη διαδικασία κπομπής 1 1 hω v hq v p = p p = mv 0 δύτρη τάξη c c mv c 4c Καταγράφουμ τη μέση νέργια του ατόμου, μτά τη διαδικασία κπομπής. 1 = 1 mv hq 1 mv 4d Καταγράφουμ τη μέση ορμή του ατόμου p, μτά τη διαδικασία κπομπής. 1 1 hω p = p p p c Μταφορά Ενέργιας και Ορμής. Υποθέτωντας μια μόνο πλήρη διαδικασία απορρόφησης και κπομπής νλός φωτονίου, όπως πριγράφηκ παραπάνω, υπάρχι μια συνολική μέση ορμή και νέργια η οποία μταφέρται μταξύ του laser και του ατόμου. 5a Καταγράφουμ τη μέση νργιακή μταβολή Δ του ατόμου μτά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και κπομπής νός φωτονίου. after before 1 1 v Δ = hqv = hω c 5b Καταγράφουμ τη μέση μταβολή ορμής Δp του ατόμου μτά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και κπομπής νός φωτονίου. after before hω Δ p = p p hq = c Energy and momentum transfer by a laser beam along the x direction. 6a Καταγράφουμ τη μέση νργιακή μταβολή Δ του ατόμου μτά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και κπομπής νός φωτονίου. after before 1 1 v Δ = hqv = hω c 6b Καταγράφουμ τη μέση μταβολή ορμής Δp του ατόμου μτά μια πλήρη διαδικασία απορρόφησης και κπομπής νός φωτονίου. after before hω Δp = p p h q = c

5 ΜΕΡΟΣ II: ΣΚΕΔΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΜΕΛΑΣΣΩΝ Δύο δέσμς laser που διαδίδονται σ αντίθτς κατυθύνσις μ την ίδια αλλά αυθαίρτη συχνότητα ω προσπίπτουν σ δέσμη μ N άτομα τα οποία κινούνται στην κατύθυνση x μ μέση ταχύτητα v. 7. Δύναμη στη δέσμη ατόμων από τις δέσμς lasers. Κατά μέσο όρο, το κλάσμα των ατόμων που βρίσκονται στη διγρμένη κατάσταση ίναι P exc = N exc N = Ω R ( ω 0 ω ) Γ 4 Ω R όπυ ω 0 η κυκλική συχνότητα συντονισμού των ατόμων και Ω R η καλούμνη συχνότητα Rabi frequency. Η Ω R ίναι ανάλογη της έντασης της δέσμης laser. Η χρόνος ζωής της διγρμένης νργιακής στάθμης του ατόμου ίναι Γ 1. Η δύναμη υπολογίζται ως ο αριθμός των κύκλων απορρόφησης-κπομπής, πί τη μταφορά ορμής σ κάθ γγονός (κύκλο), διά τη χρονική διάρκια του κάθ γγονότος. ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα πρέπι να ληφθί υπόψη η μτατόπιση Doppler για κάθ laser, όπως αυτή μτριέται από τα άτομα: 7a Έτσι βρίσκουμ η δύναμη που ασκούν τα lasers στην ατομική δέσμη υποθέτοντας ότι mv >> hq. F = NΔp P exc Γ NΔp ΩR = v ω0 ω ω c P exc Γ 4 Γ Ω R ΩR v ω0 ω ω c Γ 4 Ω R NΓhq Κατώτατο όριο ταχύτητας. Υποθέτουμ τώρα ότι η ταχύτητα ίναι τόσο μικρή ώστ να μπορούμ να αναπτύξουμ την ξίσωση για τη δύναμη μέχρι την πρώτη τάξη μγέθους για την ταχύτητα v. 8a Προκύπτι μια έκφραση για τη δύναμη που βρήκαμ στο ρώτημα (7a), στο όριο αυτό. 4Nhq ΩR Γ F ( ω0 ω) v Γ ( ω0 ω ) ΩR 4 1.5

6 8b Καταγράφουμ τη συνθήκη για την άσκηση μιας θτικής δύναμης (η οποία θα αύξαν την ταχύτητα των ατόμων). ω 0 < ω 0.5 8c Καταγράφουμ τη συνθήκη για μηδνική δύναμη. ω 0 = ω 0.5 8d Καταγράφουμ τη συνθήκη για την άσκηση μιας αρνητικής δύναμης (η οποία θα μίων την ταχύτητα των ατόμων ω 0 > ω 0.5 8e Θωρούμ τώρα ότι τα άτομα κινούνται μ ταχύτητα v (στην κατύθυνση x ). Καταγράφουμ τη συνθήκη για την άσκηση δύναμης η οποία μιώνι την ταχύτητα των ατόμων. ω 0 > ω ανξάρτητη της κατύθυνσης κίνησης των ατόμων Οπτικές μλάσσς Στην πρίπτωση αρνητικής δύναμης, μπορί κάποιος να θωρήσι δύναμη τριβής που απάγι νέργια. Υποθέστ αρχικές συνθήκς, Τη χρονική στιγμή t = 0 τα άτομα του αρίου έχουν ταχύτητα v 0. 9a Στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων, βρίσκουμ την ταχύτητα των ατόμων μτά που οι δέσμς laser προσπίπτουν για χρόνοτ. F = βv m dv dt βv β βρίσκται από την (8a) v = v 0 e βt / m 1.5 9b Υποθέτουμ τώρα ότι τα άτομα του αρίου ίναι σ θρμική ισορροπία θρμοκρασίας T 0. Προσδιορίστ τη θρμοκρασία T, μτά που οι δέσμς laser προσπίπτουν για χρόνοτ. Βρίσκουμ τη θρμοκρασίαt μτά που οι δέσμς laser προσπίπτουν για χρόνοτ Επιδή 1 mv = 1 kt σ μία διάσταση, και χρησιμοποιώντας την v ως τη μέση θρμική ταχύτητα στην ξίσωση (9a), μπορούμ να γράψουμ T = T 0 e βt / m 0.5