Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Transcript

1

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 1979 και από το 197 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN set ISBN T Copyright 005 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH Ανατύπωση διορθωμένη 009 Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: 90 7 (5 γραμ.) - Fax: info@ziti.gr EKΔOΣEIΣ ZHTH Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fax sales@ziti.gr

3 Συνήθως όμως διερευνούν τις αιτίες της μεταβολής των όντων ως εξής: εξετάζουν τί έρχεται μετά από τί, ποιά είναι η πρώτη ενέργεια που κάτι έκανε ή έπαθε, και συνεχίζουν με τον ίδιο τρόπο στα επόμενα. Οι αρχές όμως που προκαλούν τη φυσική κίνηση είναι δύο, και η δεύτερη από αυτές δεν είναι φυσική γιατί δεν έχει μέσα της αρχή κίνησης. Τέτοια αρχή είναι, ό,τι κινεί χωρίς να κινείται, όπως αυτό που είναι εντελώς ακίνητο και προηγείται των πάντων, και ακόμη το «τί είναι κάτι» και η μορφή των όντων γιατί α- ποτελούν ένα τέλος και έναν σκοπό. Συνεπώς επειδή η φύση έχει σκοπό, θα πρέπει ο φυσικός να γνωρίζει και αυτό το είδος της αιτίας, και να δίνει την πλήρη αιτιολογία απαντώντας στο ερώτημα γιατί : πώς από αυτό γίνεται κατ ανάγκην εκείνο. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ (84- π.χ.) Περί Φύσεως (Ενότητα 7) (Το δεύτερο βιβλίο των Φυσικών)

4 Αφιερώνεται στη μνήμη των γιαγιάδων μου Ευθυμίας και Σοφίας

5 Πρόλογος Η σειρά με τον τίτλο «Ανώτερα Μαθηματικά», που αποτελείται από τρεις τόμους, γράφηκε για να προσφέρει σε Μαθηματικούς και μη Μαθηματικούς, μια αξιόπιστη και σχετικά συνοπτική παρουσίαση βασικών θεμάτων των Μαθηματικών, και κυρίως της Μαθηματικής Ανάλυσης. Τα θέματα που αναπτύσσονται αφορούν την Άλγεβρα, την Αναλυτική Γεωμετρία, τις Ακολουθίες και Σειρές πραγματικών αριθμών, το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, τη Διανυσματική Ανάλυση, τις Σειρές Fourier, τις Μιγαδικές Συναρτήσεις, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις Εξισώσεις Διαφορών. Η παρουσίαση αυτών των θεμάτων γίνεται με απλό, κατανοητό και πρακτικό τρόπο, χωρίς όμως να βλάπτεται η μαθηματική αυστηρότητα. Βέβαια ο απαιτητικός αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει σε άλλα πιο ειδικά βιβλία πάνω στα θέματα αυτά, όπου υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες και άλλη επί πλέον ύλη. Ο τρίτος τόμος αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Στο ένατο κεφάλαιο περιέχονται στοιχεία της διανυσματικής ανάλυσης όπως ο διανυσματικός λογισμός, τα διανυσματικά πεδία, οι τελεστές (κλίση, απόκλιση, στροφή), το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και ο τύπος του Green, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα και τα θεωρήματα του Gauss και του Stokes, καθώς επίσης και στοιχεία από τις σειρές Fourier. Στο δέκατο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα βασικά θέματα των μιγαδικών συναρτήσεων όπως οι μιγαδικοί αριθμοί, το όριο, η συνέχεια, η παράγωγος, οι αναλυτικές συναρτήσεις, οι σύμμορφες απεικονίσεις, οι ομογραφικοί μετασχηματισμοί, η μιγαδική ολοκλήρωση, οι σειρές του Τaylor και του Laurent, τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και οι αρμονικές συναρτήσεις. Στο ενδέκατο κεφάλαιο περιέχονται οι διαφορικές εξισώσεις που αναφέρονται σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης και ανώτερης τάξης, σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n, σε σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων, στα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, και στις μεθόδους επίλυσής τους (απαλοιφής, πινάκων), στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης και στους μετασχηματισμούς Laplace.

6 vi Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Τρίτος Στο δωδέκατο κεφάλαιο αναφέρονται θέματα εξισώσεων διαφορών όπως οι γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης και ανώτερης τάξης, η ευστάθεια των λύσεων, τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών, η πρώτη γραμμική προσέγγιση και οι περιοδικές λύσεις. Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχουν ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Θεσσαλονίκη, 004 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

7 Περιεχόμενα ΤΟΜΟΣ ΤΡΙΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ι. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Ορισμοί Ιδιότητες.... Διανυσματικά πεδία Τελεστές.1 Αριθμητικά και διανυσματικά πεδία Τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή) Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Τύπος του Green Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα Θεωρήματα του Gauss (απόκλισης) και του Stokes Ασκήσεις ΙΙ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 1. Σειρές Fourier Σειρές Fourier και συντελεστές Fourier στο διάστημα [π, π] ή [0, π] Σειρές Fourier και συντελεστές Fourier σε τυχαίο διάστημα [ p, p] ή [0, p] Σειρές ημιτόνων και σειρές συνημιτόνων Σύγκλιση της σειράς Fourier Άρτιες και περιττές επεκτάσεις συναρτήσεων Παραγώγιση και ολοκλήρωση της σειράς Fourier Ασκήσεις... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Μιγαδικοί αριθμοί Αλγεβρικές ιδιότητες Το μιγαδικό επίπεδο Μέτρο και όρισμα Δυνάμεις και ρίζες μιγαδικού αριθμού... 90

8 viii Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Τρίτος 1.4 Τοπολογική δομή των μιγαδικών αριθμών Â Σφαίρα του Riemann Mιγαδικές συναρτήσεις Όριο Συνέχεια Παράγωγος.1 Μιγαδικές συναρτήσεις Όριο Συνέχεια Παράγωγος Αναλυτικές συναρτήσεις Σύμμορφες απεικονίσεις Ομογραφικοί μετασχηματισμοί Μιγαδική ολοκλήρωση Μιγαδικό ολοκλήρωμα Ολοκληρωτικό Θεώρημα και Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy Αποτελέσματα των Θεωρημάτων Cauchy Σειρές του Taylor και του Laurent 7.1 Σειρές του Ταylor Σειρές του Laurent Είδη μεμονωμένων ανωμαλιών Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές τους Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων Θεωρήματα του ορίσματος και του Rouché Aρμονικές συναρτήσεις Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 1.1 Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών Ομογενείς Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Bernoulli Riccati Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Ολοκληρωτικοί παράγοντες.1 Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Ολοκληρωτικοί παράγοντες Διαφορικές εξισώσεις των Clairaut και Lagrange Iσογώνιες τροχιές Διαδοχικές προσεγγίσεις.1 Διαφορικές εξισώσεις των Clairaut και Lagrange Iσογώνιες τροχιές Διαδοχικές προσεγγίσεις (Μέθοδος του Picard)... 9 AΣΚΗΣΕΙΣ...96

9 Περιεχόμενα ix 4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών Μέθοδος της μεταβολής των σταθερών 4.1 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης Εύρεση μερικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler Yποβιβασμός της τάξης διαφορικής εξίσωσης 5.1 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler Yποβιβασμός της τάξης διαφορικής εξίσωσης Σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων AΣΚΗΣΕΙΣ Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Μέθοδος της απαλοιφής Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων Μέθοδος των πινάκων 8.1 Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων Μέθοδος των πινάκων... 1 Παράρτημα: Επίλυση τριτοβάθμιας εξίσωσης... 9 AΣΚΗΣΕΙΣ Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης 9.1 Πρώτα ολοκληρώματα Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης Το πρόβλημα του Cauchy Eξισώσεις ολικών διαφορικών Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης Μέθοδος του Charpit Μέθοδος του Jacobi Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης... 8 AΣΚΗΣΕΙΣ Μετασχηματισμός Laplace Αντίστροφος μετασχηματισμός Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις 10.1 Ορισμοί Βασικές ιδιότητες Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις... 94

10 x Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Τρίτος AΣΚΗΣΕΙΣ Εφαρμογές των Διαφορικών Εξισώσεων 1. Νόμος της ραδιενέργειας Χρονολογήσεις Ρίψη σώματος προς τα άνω Ηλεκτρικό κύκλωμα Νόμος δράσης των μαζών στη χημεία Αλυσοειδής καμπύλη Εκκρεμές Απλή αρμονική κίνηση Συμπεριφορά κτιρίου σε σεισμό Μικρές εγκάρσιες ταλαντώσεις Ροή σωματιδίου σε ποταμό Εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 1. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης και δεύτερης τάξης Κριτήριο ευστάθειας Γραμμικές εξισώσεις διαφορών τάξης n Συμπεριφορά των λύσεων Ευστάθεια Γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών Πρώτη γραμμική προσέγγιση Περιοδικές λύσεις Ασκήσεις ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

11 ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ [Συνοπτική παρουσίαση διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.] ΤΟΜΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

12 Βιβλία του συγγραφέα ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ Α. Διακριτά Μαθηματικά 1. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 55, 001).. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 164, 001). Β. Διαφορικές Εξισώσεις 1. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 1987).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος, (σελ. 400, 1988).. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 1991), (Ποιοτική Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 1998). 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 51, 007). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 18, 199). 7. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 0, 1994). 8. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 84, 009). Γ. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός 1. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Τεύχος Πρώτο, σελ. 640, 001 Τεύχος Δεύτερο, σελ. 1, 001).. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (σελ. 64, 005).. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, (σελ. 40, 007). Δ. Σειρά Μαθηματικών 1. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Πρώτος, (σελ. 68, 005). (Άλγεβρα, Αναλυτική Γεωμετρία, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός). ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Δεύτερος, (σελ. 616, 006). (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών). ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Τρίτος, (σελ. 504, 005). (Διανυσματική Ανάλυση, Σειρές Fourier, Μιγαδικές Συναρτήσεις, Διαφορικές Εξισώσεις, Εξισώσεις Διαφορών). Ε. Τοπολογία 1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (Ασκήσεις), (σελ. 400, 1977).. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ (σελ. 6, 009).

13 Περιεχόμενα xiii ΠΙΝΑΚΑΣ Ειδικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων θ ημθ 0 1 ± 1 συνθ ± 1 ± ± 1 ± 0 εφθ 0 ± ± 1 ± ± σφθ ± ± ± 1 ± 0 Το άνω πρόσημο αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή των τιμών της γωνίας θ και το κάτω πρόσημο στη δεύτερη γραμμή των τιμών της γωνίας θ. Η αντιστοιχία των μοιρών της γωνίας θ σε ακτίνια είναι: και π 6 π π 5π 6 π 4 π π π π

14 xiv Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Τρίτος Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ημ( θ1 + θ ) = ημθ1συνθ + συνθ1ημθ, ημ( θ1 - θ ) = ημθ1συνθ - συνθ1ημθ συν( θ1 + θ ) = συνθ1συνθ - ημθ1ημθ, συν( θ1 - θ ) = συνθ1συνθ + ημθ1ημθ ημθ = ημθ συνθ, συνθ = συν θ - ημ θ = συν θ - 1 = 1 - ημ θ θ + θ θ -θ συνθ συνθ συν συν =, θ + θ θ -θ συνθ1 - συνθ = - ημ ημ 1 1 θ + θ θ -θ ημθ ημθ ημ συν =, θ - θ θ + θ ημθ1 - ημθ = ημ συν 1 1 εφ( θ θ ) εφθ + εφθ εφθ - εφθ =, εφ( θ1 - θ ) = 1 - εφθ1εφθ 1 + εφθ1εφθ 1 συνθ1συνθ = [ συν( θ1 + θ ) + συν( θ1 - θ )] 1 ημθ1ημθ = [ συν( θ1 -θ ) - συν( θ1 + θ )] 1 ημθ1συνθ = [ ημ( θ1 + θ ) + ημ( θ1 - θ )] ημθ = ημθ - 4ημ θ, συνθ = 4συν θ - συνθ

15 9 I. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Παραθέτουμε εδώ μια συνοπτική παρουσίαση των βασικών θεμάτων της διανυσματικής ανάλυσης. 1. Ορισμοί Ιδιότητες Σ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τη διανυσματική συνάρτηση a(t) = a(t)x a (t)y0 + a (t)z 0, όπου α 1 (t), α (t), α (t), tœi ÃÑ, οι συντεταγμένες του σημείου Ρ, που λέγονται συντεταγμένες συναρτήσεις της a(t ) και x 0, y 0, z 0 είναι οι διανυσματικές μονάδες των αξόνων Ox, Oy, Oz, αντίστοιχα. z a (t) P(a 1 (t), a (t), a (t)) a 1 (t) x x 0 z 0 O a(t) y 0 a (t) y Το διάνυσμα a(t ) είναι μια διανυσματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής tœi ÃÑ και αυτή καθορίζεται από τις τρεις συντεταγμένες αριθμητικές συναρτήσεις α 1 (t), α (t), α (t), με tœi ÃÑ (I κοινό σύνολο ορισμού τους).

16 4 Κεφάλαιο 9 Εσωτερικό γινόμενο Αν έχουμε τις διανυσματικές συναρτήσεις a(t) = a(t)x a (t)y0 + a (t)z 0, β(t) = β (t)x + β (t)y + β (t)z, tœiãñ τότε το εσωτερικό γινόμενό τους είναι a(t) β(t) = a(t)β(t) a (t)β (t) + a (t)β (t), tœi και είναι ένας πραγματικός αριθμός. Γνωρίζουμε ότι ισχύει a(t) β(t) = 0 a(t),β(t) κάθετα μεταξύ τους 1 και a(t) α(t) = a (t) + a (t) + a (t) είναι το μήκος του διανύσματος a(t ) (με ευκλείδεια απόσταση) στο τετράγωνο. Μήκος του διανύσματος a(t ) (με ευκλείδεια απόσταση) είναι και το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως όπου 1 a(t) = a (t) + a (t) + a (t), tœi. a(t) β(t) = a(t) β(t) συν(a(t),β(t)), (a(t),β(t)) η γωνία των δύο ημιευθειών OP, OP όπου P( a 1( t ), a ( t ), a ( t )), P(β 1(t),β (t),β (t)). Ο β(t) θ α(t) P P θ = (a(t), β(t)) Ιδιότητες i) α β = β α (αντιμεταθετική ιδιότητα) ii) (λα) β = λ(α β), λœñ (πραγματικοί αριθμοί) iii) (α + β) γ = α γ + β γ

17 I. Διανυσματική Ανάλυση 5 iv) α α 0 και α α = 0 α = 0, α β = 0 α,β κάθετα ή α = 0 ή β = 0. Συνημίτονα κατεύθυνσης z P θ a(t) x θ 1 O θ y Αν θέσουμε θ = (a,x ), θ = (a,y ), θ = (a,z ) τότε έχουμε a1 = a x 0 = a x 0 συνθ 1 = α συνθ 1, a = a y 0 = a y 0 συνθ = α συνθ, a = a z 0 = a z 0 συνθ = α συνθ. Άρα, είναι a = ( a x 0 )x 0 + ( a y 0 )y 0 + ( a z 0 )z0 = = a (συνθ1x0+ συνθy0+ συνθz 0) fi a συνθ1x0 + συνθy0 + συνθz0 = a, δηλαδή το διάνυσμα συνθ1x0 + συνθy0 + συνθz 0 είναι παράλληλο προς το a και μοναδιαίο. Επομένως, έχουμε (ευκλείδεια απόσταση) Οι αριθμοί 1 συν θ + συν θ + συν θ = 1. λ1= συνθ 1, λ = συνθ, λ = συνθ λέγονται συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a.

18 6 Κεφάλαιο 9 Εξωτερικό γινόμενο Αν έχουμε τις διανυσματικές συναρτήσεις a(t) = α 1(t)x0 + α (t)y0 + α (t)z0 β(t) = β (t)x + β (t)y + β (t)z, tœi τότε το εξωτερικό γινόμενό τους a(t ) β(t ) είναι διάνυσμα και έχει: α) μέτρο a(t) β(t) = a(t) β(t) ημ(α,β ) β) είναι κάθετο στο επίπεδο των a(t ), β(t ). z ε 0 Ο a(t) β(t) β(t) υ Ε a(t) Προφανώς, μπορούμε να γράψουμε a β = α β ημ(α,β ) ε 0 όπου ε 0 μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη φορά του διανύσματος a β. Επειδή το υ = β ημ(α,β ) είναι το ύψος του παραλληλογράμμου (με πλευρές τα διανύσματα a(t ), β(t ), τότε το εμβαδόν του Ε δίνεται από τον τύπο E = a υ = α β ημ(α,β ) = α β. Άρα, το μέτρο του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α,β είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει ως διαδοχικές πλευρές τις α και β. Συμβολικά, το εξωτερικό γινόμενο γράφεται x0 y0 z0 α β = α1 a a = (αβ - αβ )x 0 + (β1α - βα 1)y 0 + (aβ1 -α1β )z 0. β β β 1

19 I. Διανυσματική Ανάλυση 7 Προφανώς, ισχύει α β = 0 a = 0 ή β = 0 ή α,β είναι συγγραμμικά (δηλ. α = λβ, λ ŒÑ ). Ιδιότητες i) α β = -(β α ), ii) (α + β) γ = α γ + β γ, iii) α (β + γ ) = α β + α γ, iv) (λα) β = α (λβ) = λ(α β), λ ŒÑ. Μικτό γινόμενο Αν έχουμε τους διανυσματικές συναρτήσεις α(t) = a(t)x a (t)y0 + a (t)z 0, β(t) = β 1(t)x0 + β (t)y0 + β (t)z 0, γ(t) = γ(t)x γ (t)y0 + γ (t)z 0, tœi τότε το μικτό γινόμενό τους είναι ο αριθμός [ a(t),β(t),γ(t) ]= α(t) (β(t) γ(t)), tœi. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις του εσωτερικού και εξωτερικού γινομένου παίρνουμε τον τύπο α1 α α [ α,β,γ]= β1 β β. γ γ γ 1 Η απόλυτη τιμή του μικτού γινομένου είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου με ακμές τα διανύσματα α,β,γ a γ V O δηλαδή ο όγκος V = [ α,β,γ ]. β

20 8 Κεφάλαιο 9 Ιδιότητες i) [ α,β,γ] = 0 α = 0 ή β = 0 ή γ = 0 ή α ^ β γ ή δύο είναι μεταξύ τους συγγραμμικά. ii) [ α,β,γ] = [ γ,a,β] = [ β,γ,α ] (κυκλική εναλλαγή). iii) [ α,β,γ] =- [ β,α,γ] =- [ γ,β,α] =-[ α,γ,β ]. Ιδιότητες διανυσματικών συναρτήσεων Όριο lim a( t ) = lim a ( t )x + lim a ( t )y + lim a ( t )z tæt0 tæt0 tæt0 tæt0 οπότε όταν υπάρχουν τα αριθμητικά όρια lima (t), lima (t), lima (t) 1 tæt0 tæt0 tæt0 τότε υπάρχει και το όριο lim a( t ), και αντίστροφα. tæt 0 Όταν υπάρχουν τα όρια lim a( t ), tæt 0 lim β( t ) και t Æt 0 lim γ( t ) τότε ισχύουν: tæt 0 i) ii) iii) iv) v) lim[a(t ) + β(t )] = lim a(t ) + lim β(t ), tæt tæt tæt lim[λ(t)a(t)] = limλ(t)limα(t), tæt0 tæt0 tæt0 lim a( t ) Èα(t ) tæt Í = 0 lim, αν lim λ( t ) π 0, tæt0îλ( t ) lim λ( t ) tæt0 tæt0 limè Îa(t) β(t) = lima(t) lim β(t), " " εσωτερικό γινόμενο, tæt0 tæt0 tæt0 limî Èa(t) β(t) = lima(t) lim β(t), tæt0 tæt0 tæt0 vi) αν t = λ(s) και sæs0 sæs0 sæs0 lim λ( s ) = t, lim a(t ) = a(t ) 0 0 sæs0 tæt0 lim a( t ) = lim a( λ( s )) = a( lim λ( s )).

21 I. Διανυσματική Ανάλυση 9 Συνέχεια I εί- Η διανυσματική συνάρτηση a(t) = a(t)x a (t)y0 + a (t)z 0, tœ ναι συνεχής στο ŒI, όταν οι συναρτήσεις t 0 είναι συνεχείς στο t 0 a(t), 1 a (t), a (t), tœi ŒI, και αντίστροφα. Για τη συνέχεια των διανυσματικών συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι το ά- θροισμα, το εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο συνεχών διανυσματικών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις, και ακόμη η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Παράγωγος Μια διανυσματική συνάρτηση a(t) = a(t)x a (t)y0 + a (t)z 0, tœiãñ είναι παραγωγίσιμη στο t 0 ŒI, όταν οι συντεταγμένες συναρτήσεις a(t), 1 a(t), a(t), tœi είναι παραγωγίσιμες στο t 0 ŒI, και αντίστροφα. Τότε, έχουμε a(t) = a(t)x + a (t)y + a (t)z Εύκολα, αποδεικνύεται ότι αν η a(t ) είναι παραγωγίσιμη στο t 0 τότε είναι συνεχής στο t 0. Αν οι συναρτήσεις a(t), β(t), γ(t) και λ( t ) είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Ι Ã Ñ τότε ισχύουν: 1) [ a(t) + β(t) ] = a(t) + β(t), ) [ λ(t)a(t) ] = λ(t)a(t) + λ(t)a(t), ) [ a(t) β(t) ] = a(t) β(t) + a(t) β(t),"" εσωτερικό γινόμενο, 4) [ a(t) β(t) ] = a(t) β(t) + a(t) β(t), 5) [ a(t),β(t),γ(t) ] = a(t) ( β(t) γ(t) ) + a(t) ( β(t) γ(t) ) + a(t) ( β(t) γ(t) ), 6) a(t) ( β(t) γ(t) ) = a(t) ( β(t) γ(t) ) + a(t) ( β(t) γ(t) ) + a(t) ( β(t) γ(t) ),

22 10 Κεφάλαιο 9 7) Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης t = φ(s), φ παραγωγίσιμη. da da dt = ds dt ds, 8) αν a(t ) = σταθερό διάνυσμα fi a(t) = 0, 9) αν a(t )δεν είναι σταθερό διάνυσμα αλλά έχει σταθερό μέτρο, a(t ) = σταθερό, τότε έχουμε α(t) α(t) = α(t) = σταθερό, οπότε ισχύει [ α(t) α(t) ] = 0 fiα(t) α(t) = 0, άρα τα a(t ), α (t ) είναι κάθετα μεταξύ τους. Παραδείγματα 1. Αν είναι a(t ) = t x0 + y0 + tz 0, β(t ) = ημtx0 -συνt y 0, t ŒÑ να υπολογισθούν οι παράγωγοι: d d [ a( t ) β( t )] = [ t ημt - συνt] = tημt + t συνt + ημt = ( t + 1)ημt + t συνt, dt dt x0 y0 z0 d d [ a(t ) β(t )] = t 1 t = dt dt ημt - συνt 0 d = [ συνt x 0 + ημt y 0 + ( - t συνt - ημt )z 0] = dt =- ημx + ( ημt + tσυνt )y + ( - tσυνt + t ημt - συνt )z, d [ a(t ) a(t ) 4 ] = (t t ) = 4t + t. dt. Να αποδειχθεί ότι d Êda(t ) d a(t ) ˆ Êda(t ) d a(t ) ˆ [ a(t ) Á ] = a(t ) Á Ë Ë. dt dt dt dt dt

23 I. Διανυσματική Ανάλυση 11 Έχουμε da(t) Êda(t) d a(t) ˆ Êd a(t) d a(t) ˆ Á + a(t ) Á dt Ë dt dt Ë dt dt Êda(t) d a(t) ˆ + a(t ) Á = Ë dt dt Êda(t) d a(t) ˆ = a(t) Á. Ë dt dt. Διανυσματικά πεδία Τελεστές.1. Αριθμητικά και διανυσματικά πεδία Αριθμητικό (ή βαθμωτό) πεδίο λέγεται μια συνάρτηση f:d Æ Ñ, όπου D Ã Ñ, δηλαδή το σύνολο ορισμού της είναι υποσύνολο του πραγματικούς αριθμούς Ñ. Π.χ. τα σημεία του χώρου Ñ και οι τιμές της στους Ñ που έχουν την ίδια τιμή θερμοκρασίας αποτελούν τη λεγόμενη ισοθερμική επιφάνεια. Ακόμη, το δυναμικό οποιουδήποτε πεδίου είναι αριθμητικό πεδίο. Διανυσματικό πεδίο λέγεται μια διανυσματική συνάρτηση F:D Æ Ñ, όπου D Ã Ñ, οπότε οι τρεις συντεταγμένες συναρτήσεις απαιτούνται για να περιγράψουν ένα διανυσματικό πεδίο. Δηλαδή, σε κάθε σημείο Μ(x, y, z) αντιστοιχεί το διάνυσμα F( x, y, z ) = f 1( x, y, z )x0 + f ( x, y, z )y0 + f ( x, y, z )z 0. Βέβαια, μπορεί να ορισθεί διανυσματικό πεδίο με σύνολο ορισμού υποσύνολο του Ñ (τέσσερις μεταβλητές) που είναι: x, y, z οι συντεταγμένες του 4 χώρου Ñ και t η μεταβλητή του χρόνου και τιμές στο χώρο Ñ. Δηλαδή, σε κάθε σημείο P(x, y, z, t) αντιστοιχεί το διάνυσμα του Ñ

24 1 Κεφάλαιο 9 F( x,y, z,t ) = f 1( x, y, z,t )x0 + f ( x, y, z,t )y0 + f ( x, y, z,t )z 0. Σημειώνουμε ότι οι συντεταγμένες συναρτήσεις f 1, f, f στις διανυσματικές συναρτήσεις είναι βαθμωτές (ή αριθμητικές) συναρτήσεις. Οι μερικές παράγωγοι των διανυσματικών συναρτήσεων ανάγονται στις μερικές παραγώγους των συντεταγμένων συναρτήσεων που είναι βαθμωτές (ή α- ριθμητικές) συναρτήσεις. Για τα διαφορικά πρώτης τάξης έχουμε όπου Επομένως, όταν F = df = df1x0 + dfy0 + dfz 0, f1 f1 f1 f1 df1 = dx + dy + dz + dt, x y z t f f f f df = dx + dy + dz + dt, x y z t f f f f df = dx + dy + dz + dt. x y z t F(x,y,z,t) έχουμε F f1 f f = x0 + y0 + z 0, x x x x F f1 f f = x0 + y0 + z 0, y y y y F f1 f f = x0 + y0 + z 0, z z z z F f1 f f = x0 + y0 + z 0. t t t t Για τις μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης έχουμε F Ê Fˆ F Ê Fˆ F Ê Fˆ = Á, = Á, = Ë Á Ë x x x y yë y z z z F Ê Fˆ F Ê Fˆ = Á, = t të t x y x Á Ë y κ.τ.λ. Όταν οι μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε μπορούμε να γράψουμε

25 I. Διανυσματική Ανάλυση 1 F = F, x y y x δηλαδή δεν ενδιαφέρει η σειρά με την οποία έγιναν οι παραγωγίσεις. Διαφορετικά, μπορούν να διαφέρουν. Οι κανόνες παραγώγισης για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων βαθμωτών (ή αριθμητικών) συναρτήσεων πολλών μεταβλητών ισχύουν και για τις διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αν F 1 (x, y, z, t), F (x, y, z, t) διανυσματικές συναρτήσεις και f(x, y, z, t) αριθμητική συνάρτηση, τότε ισχύουν: F + = 1 F (F + 1 F ), x x x F = 1 F (F + 1 F ) F F 1, x x x F = 1 F (F + 1 F ) F F 1, x x x f F (ff) = F+ f, x x x È (F1 F ) = Í (F1 F ) = y x yî x È F1 F = Í F + F1 = yî x x κ.ο.κ. = F F + F F + F F + F1 F y x x y y x y x Παραδείγματα Αν είναι f ( x, y,z ) = x yz, F = xzx - xy y + yz z, να υπολογισθεί η μερική παράγωγος Έχουμε (ff) x z στο σημείο (1, 1, 1) f F = x yz[ xzx - xy y + yz z ] = x yz x - x y zy + x y z z,

26 14 Κεφάλαιο 9 οπότε παίρνουμε (ff) = x yzx - x y y + x y z z z και Ê ˆ = Á - + ( f F ) 6 x yzx0 x y y0 6 xy z z 0, xë z È Ê ˆ Í Á ( f F ) = 1xyzx0-6 xy y0 + 6 y z z 0. xî xë z Άρα, στο σημείο (1, 1, 1) έχουμε x z (ff) = 1 1( -1)1x -6 1( -1) 1y + 6( - 1)1 z = =- 1x + 6 y + 6 z Αν είναι F = x yzx - xz y + xz z, F = xx + yy - x z, να βρεθεί η παράγωγος Έχουμε (F1 F ) x y στο σημείο (1, 0, ) F F = x yz - xz xz = 1 x y z x y -x = ( x z - xyz )x + ( x yz + x z )y + ( x y z + x z )z, οπότε παίρνουμε 4 (F1 F ) =- xz x0 + x xzy0 + x yzz 0, y È (F1 F ) = Í (F1 F ) = - z x0 + 4x zy0 + 4xyzz 0. x y xî y Άρα, στο σημείο (1, 0, ) έχουμε (F1 F ) =- x y z0 =- 4x0 + 8y 0. x y