ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΥΡΑΣ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΑΦΙΞΕΩΝ ΜΕ ΤΡΕΙΣ ΦΑΣΕΙΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΟΠΕΣ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (8, σελ ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΥΡΑΣ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΑΦΙΞΕΩΝ ΜΕ ΤΡΕΙΣ ΦΑΣΕΙΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΟΠΕΣ Ιωάννης Χ. Δημητρίου και Χρήστος Λάγκαρης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τομέας Πιθανοτήτων, Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θεωρούμε ένα σύστημα εξυπηρέτησης με Posson αφίξεις και ένα υπάλληλο, ο οποίος παρέχει εξυπηρέτηση τριών φάσεων σε σειρά. Οι πελάτες φθάνοντας στο σύστημα, τοποθετούνται σε μια κανονική ουρά και περιμένουν την σειρά τους για να εξυπηρετηθούν. Όλοι οι πελάτες λαμβάνουν εξυπηρέτηση και στις τρεις φάσεις. Όταν κάποιος πελάτης ολοκληρώσει την εξυπηρέτηση του στην οστή φάση, υπάρχουν δυο δυνατότητες για την μετέπειτα πορεία του. Είτε θα συνεχίσει άμεσα στην επόμενη φάση εξυπηρέτησης, είτε θα εισέλθει στην αντίστοιχη K (, ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων (retral box, απ όπου επαναλαμβάνει την άφιξή του αργότερα (retral, με σκοπό να λάβει εξυπηρέτηση στην ( οστή φάση. Οι εξυπηρετήσεις που παρέχει ο υπάλληλος ακολουθούν γενική κατανομή διαφορετική για κάθε φάση και κάθε φορά που ελευθερώνεται, αναχωρεί για διακοπές τυχαίου μήκους. Για ένα τέτοιο σύστημα μελετώνται, οι πιθανότητες των καταστάσεων του υπαλλήλου και οι μέσοι α- ριθμοί πελατών τόσο στη κανονική ουρά όσο και σε κάθε retral box ξεχωριστά.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Συστήματα ουρών στα οποία ένας υπάλληλος παρέχει σε κάθε πελάτη ένα αριθμό φάσεων εξυπηρέτησης σε σειρά, μπορούν να αποδειχθούν χρήσιμα στην μοντελοποίηση δικτύων Η/Υ, γραμμών παραγωγής στην βιομηχανία και τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Τέτοιου είδους συστήματα, με δύο φάσεις εξυπηρέτησης μελετήθηκαν αρχικά στις εργασίες [6], [], ενώ αργότερα εμφανίστηκαν διάφορες γενικεύσεις αυτών στις [], [4], []. Στα παραπάνω μοντέλα, όλοι οι πελάτες που φθάνουν στο σύστημα, τοποθετούνται στην ουρά και περιμένουν να εξυπηρετηθούν. Πρόσφατα εμφανίστηκαν στην βιβλιογραφία ([], [5], [9] γενικεύσεις αυτών όπου παρουσιάζουν το χαρακτηριστικό των επαναλαμβανόμενων αφίξεων των πελατών (retral queues. Δηλαδή αν με την άφιξη τους οι πελάτες δεν βρουν διαθέσιμο τον υπάλληλο αναχωρούν προσωρινά από το σύστημα και επαναλαμβάνουν την άφιξη τους αργότερα με σκοπό να λάβουν την εξυπηρέτηση που τους αναλογεί. Μοντέλα με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών χρησιμοποιούνται ευρέως στη μοντελοποίηση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και μια λεπτομερή ανασκόπηση αυτών δίνεται στις [], [7], []. Στην παρούσα εργασία

2 γενικεύουμε τα αποτελέσματα των [], [5], [9], επιτρέποντας την ύπαρξη κανονικής ουράς, τριών φάσεων εξυπηρέτησης και δυο retral box. Θεωρούμε, λοιπόν ένα σύστημα ουράς επαναλαμβανόμενων αφίξεων με τρεις φάσεις εξυπηρέτησης σε σειρά, δύο retral box και διακοπές υπαλλήλου. Οι πελάτες φθάνοντας στο σύστημα τοποθετούνται σε μια κανονική ουρά και περιμένουν να ε- ξυπηρετηθούν. Όταν κάποιος πελάτης ολοκληρώσει την εξυπηρέτηση του στην οστή φάση, υπάρχουν δυο δυνατότητες για την μετέπειτα πορεία του. Είτε με πιθανότητα θα συνεχίσει άμεσα στην επόμενη φάση εξυπηρέτησης, είτε με πιθανότητα θα εισέλθει στην αντίστοιχη K (, ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων (retral box, απ όπου επαναλαμβάνει την άφιξή του αργότερα (retral, ώστε να λάβει εξυπηρέτηση στην ( οστή φάση. Οι πελάτες σε κάθε retral box επαναλαμβάνουν την άφιξη τους μετά από τυχαίο χρονικό διάστημα με σκοπό να βρουν διαθέσιμο τον υπάλληλο και να προωθηθούν στην επόμενη φάση εξυπηρέτησης. Είναι προφανές ότι κάθε πελάτης μπορεί, είτε να μην εισέλθει σε κάποιο retral box είτε να εισέλθει σε περισσότερα από ένα retral box, στην διάρκεια της διαδικασίας εξυπηρέτησης του. Επιπλέον μόλις ο υπάλληλος εξυπηρετήσει όλους τους πελάτες που περιμένουν στην ουρά αναχωρεί για διακοπές τυχαίου μήκους. Το μοντέλο είναι κατάλληλο για να περιγράψει συστήματα με φάσεις εξυπηρέτησης, όπου σε κάθε φάση γίνεται έλεγχος των εξυπηρετούμενων μονάδων (πελάτες, εργασίες. Αν μια μονάδα ικανοποιεί κάποια ποιοτικά κριτήρια προωθείται άμεσα στην επόμενη φάση. Αν η ποιότητα της μονάδας είναι χαμηλή τότε αποσύρεται προσωρινά από το σύστημα και επαναλαμβάνει την προσπάθεια της, ώστε να ολοκληρώσει την διαδικασία εξυπηρέτησης της, όταν ο υπάλληλος θα είναι ελεύθερος από μονάδες υψηλής ποιότητας. Η παρούσα εργασία οργανώνεται ως εξής. Στην παράγραφο δίνεται μια πλήρη περιγραφή του συστήματος ενώ στην δίνονται κάποια σημαντικά αποτελέσματα για την μετέπειτα ανάλυση. Στη παράγραφο 4, μελετάτε το σύστημα σε στατιστική ισορροπία και στην παράγραφο 5 υπολογίζονται ορισμένα χαρακτηριστικά μεγέθη του μοντέλου.. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Θεωρούμε ένα σύστημα με ένα υπάλληλο ο οποίος παρέχει εξυπηρέτηση τριών φάσεων σε σειρά. Οι πελάτες φτάνουν στο σύστημα σύμφωνα με την κατανομή Posson, παραμέτρου και τοποθετούνται σε μια ουρά περιμένοντας να εξυπηρετηθούν. Όταν κάποιος πελάτης ολοκληρώσει την εξυπηρέτηση του στην οστή φάση, υ- πάρχουν δυο δυνατότητες για την μετέπειτα πορεία του. Είτε με πιθανότητα θα συνεχίσει άμεσα στην επόμενη φάση εξυπηρέτησης, είτε με πιθανότητα θα εισέλθει στο K -retral box (, απ όπου επαναλαμβάνει την άφιξή του (retral μετά από εκθετικό χρονικό διάστημα παραμέτρου, με σκοπό να λάβει εξυπηρέτηση στην ( οστή φάση. Στην περίπτωση που ο πελάτης εισέλθει σε κάποιο re

3 tral box, ο υπάλληλος επιστρέφει στην ουρά για να εξυπηρετήσει τον επόμενο πελάτη (αν υπάρχει. Κάθε φορά που ο υπάλληλος μένει άδειος, (δεν υπάρχουν πελάτες στην ουρά αναχωρεί για διακοπές B που ακολουθούν γενική κατανομή ( B x, b ( x, b. Επιστρέφοντας ο υπάλληλος από τις διακοπές αν βρει πελάτες να περιμένουν στην ουρά, αρχίζει αμέσως να τους εξυπηρετεί. Αν δεν βρει, παραμένει άεργος περιμένοντας την πρώτη άφιξη που θα ζητήσει εξυπηρέτηση (είτε από έ- ξω, είτε από κάποιο retral box. Ας ορίσουμε με P, τους πελάτες που τοποθετούνται στην κανονική ουρά και με P, P, αυτούς που ανήκουν στο K retral box αντίστοιχα. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι κάθε πελάτης μπορεί να εισέλθει σε περισσότερα από ένα retral box στη, K διάρκεια της διαδικασίας εξυπηρέτησης του. Επομένως ένας P πελάτης καλείτε P, για όσο συνεχίζει την διαδικασία εξυπηρέτησης χωρίς να εισέλθει σε κάποιο άλλο retral box. Αν ένας P πελάτης κατά την διάρκεια της διαδικασίας εξυπηρέτησης εισέλθει στο K j retral box j, τότε γίνεται P j πελάτης. Επιπλέον ο χρόνος εξυπηρέτησης B j ενός P πελάτη στην j φάση ακολουθεί γενική κατανομή ( B j x, b j ( x, bj,,,, j,,, ενώ όλες οι προαναφερθείσες τυχαίες μεταβλητές (τ.μ. είναι ανεξάρτητες.. ΑΡΧΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στην παρούσα παράγραφο θα δοθούν ορισμένα αποτελέσματα, που μας βοηθούν στην απόδειξη βασικών θεωρημάτων που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια. Από εδώ τον Lalace μετασχηματισμό μιας οποιασδήποτε συ- και στο εξής ορίζουμε με a (. νάρτησης a(.. Αν ορίσουμε με R, τον συνολικό χρόνο που απασχολεί τον υπάλληλο ένας πελάτης μέχρις ότου αναχωρήσει από το σύστημα, τότε, B B B, με πιθανότητα (- (- B V B B, με πιθανότητα (- R B V B V B, με πιθανότητα B B V B, με πιθανότητα (-, όπου V, είναι το χρονικό διάστημα που οφείλεται στην απουσία του υπαλλήλου (σε διακοπές και προηγείται πάντα της εξυπηρέτησης ενός retral πελάτη. Τότε ο μέσος αριθμός πελατών που φτάνουν στο σύστημα στην διάρκεια R είναι, - 5 -

4 όπου, ER (, / j j b (, j,, [ j b b j jj j j m j ( m ], j,,,. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι το σύστημα μας σε στατιστική ισορροπία, δηλαδή οι οριακές του πιθανότητες υπάρχουν και ορίζουν κατανομή, είναι η. Οι παρακάτω σχέσεις αποτελούν Lalace μετασχηματισμούς των πιθανογεννητριών που αντιστοιχούν στους αριθμούς των νέων πελατών που φτάνουν στο σύστημα στο χρονικό διάστημα από την στιγμή που κάποιος P,,, πελάτης αρχίζει να εξυπηρετείται μέχρι την στιγμή που, είτε ολοκλήρωσε την διαδικασία εξυπηρέτησης, είτε εισήλθε σε κάποιο retral box, a (,,, ( { ( ( [ ( ( ]}, a (,, ( [ ( ( ], a (, (, ενώ με εφαρμογή του κριτηρίου του Taacs [5], υπάρχει μια και μόνο μια ρίζα, x(, της εξίσωσης a (,,, εντός του μοναδιαίου κύκλου. Ακολουθούν Lalace μετασχηματισμοί των πιθανογεννητριών που αντιστοιχούν στον αριθμό των πελατών των retral bοx σε διάφορες χρονικές περιόδους. Για τη χρονική περίοδο από την στιγμή που ξεκινάνε οι διακοπές του υπαλλήλου μέχρι την στιγμή που αυτός να μείνει άεργος για πρώτη φορά έχουμε, ( v (,,. ( ( x (, Για τη χρονική περίοδο από τη στιγμή που ένας P,, πελάτης βρει διαθέσιμο τον υπάλληλο μέχρι τη στιγμή που αυτός αναχωρεί για διακοπές έχουμε, c (,, (, (,,,, (,, (, (,. a x c a x Για τη χρονική περίοδο από τη στιγμή που ένας P,, πελάτης βρει διαθέσιμο τον υπάλληλο μέχρι τη στιγμή που αυτός μένει άεργος για πρώτη φορά (γενικευμένος χρόνος συμπλήρωσης απασχόλησης P,, πελάτη έχουμε, - 5 -

5 w (,, (,, (,,. c v Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα: Για οποιαδήποτε μετάθεση (, του (, έχουμε: (α Για, ( ή ( και ή ( η εξίσωση, w (,,, ( έχει μια και μόνο μια ρίζα, x ( εντός του μοναδιαίου κύκλου. Επιπλέον για, και, η x ( είναι η μικρότερη θετική πραγματική ρίζα της ( με x ( αν και x ( αν. (β Για, ( ή ( η εξίσωση, w (, x (,, ( έχει μια και μόνο μια ρίζα x εντός του μοναδιαίου κύκλου. Επιπλέον για, η x είναι η μικρότερη θετική πραγματική ρίζα της ( με x αν και x αν. Επιπροσθέτως, όλες οι ποσότητες παραπάνω είναι κατάλληλα ορισμένες. 4. ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ας υποθέσουμε ότι. Ορίζουμε με N,,, τις τ.μ., που παριστούν τον α- ριθμό των P πελατών στο σύστημα και έστω,, ο υπάλληλος είναι σε διακοπές, (, j, ο υπάλληλος απασχολημενος με P πελάτης στην j φάση, d, ο υπάλληλος είναι άεργος. Έστω επιπλέον X, το κομμάτι του χρόνου που έχει ήδη παρέλθει για οποιαδήποτε τ.μ. X. Ορίζουμε, - 5 -

6 P (,,, x dx P( N, N, N, x B x dx,, P (,,, x dx P( N, N, N, x B, (,, j x dx j j q (, PN (, N, N, d. Οι βασικές σχέσεις που περιγράφουν το μοντέλο σχηματίζονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συμπληρωματικής μεταβλητής, συνδέοντας τις παραπάνω πιθανότητες και δημιουργώντας τις παρακάτω γεννήτριες, Q (, (,,, q (,,, (,,, P x,, P x,,,, j,,, j j (,,, (,,, P x,, P x. Σκοπός μας είναι η εύρεση των μέσων αριθμών πελατών στην ουρά και στο κάθε retral box χωριστά. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί είναι παρόμοια με αυτή των [8], [4]. Τονίζουμε πως το πρόβλημα που εμφανίζεται είναι ότι δεν μπορούμε να βρούμε αναλυτικές εκφράσεις των, Q (,, P (,,, x. j 5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για και θέτοντας,, στις γεννήτριες που ορίσαμε παραπάνω μπορούμε εύκολα να βρούμε τις πιθανότητες των καταστάσεων του υπαλλήλου: ( Q(,, P (,,,,, ( / jj j bjj j b ( j,,, P j (,, bj m ( m,, P (,, b, j,,, P (,, ( / b ( [ Q(,]. Παραγωγίζοντας τις εν λόγω γεννήτριες ως προς θέτοντας,, υπολογίζουμε τον μέσο αριθμό πελατών στην ουρά, EN ( [ / ( ]{( / ( [ (,] b Q j j }. Για την εύρεση του μέσου αριθμού πελατών σε κάθε retral box χωριστά απαιτείται ο υπολογισμός των παραγώγων δεύτερης τάξης ως προς, στο σημείο (, της

7 γεννήτριας Q(.,. η οποία όπως είπαμε παραπάνω, δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά. Για την εύρεση αυτών των παραγώγων κατασκευάζουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους, τις εν λόγω παραγώγους. Αυτό επιτυγχάνεται φτάνοντας με κατάλληλο συνδυασμό των βασικών εξισώσεων του μοντέλου, σε μια σχέση γεννήτορα. Παραγωγίζοντας την ως προς, στο σημείο (, κατασκευάζουμε το παρακάτω σύστημα για l,,, ( D ( l l D l m ( m l { l } D l { } ( l ( j j j D j ( ( [ ] m m l m m j s ( j ( [ ( /( ( ], m j D s m j j j lj j l όπου D D,, l, l l οι παράγωγοι δεύτερης τάξης ως προς, στο σημείο l (, της γεννήτριας Q. Τότε αποδεικνύεται ότι οι μέσοι αριθμοί των P πελατών, όπου,, στο K retral box είναι, m ( m m ( ( EN ( ur D m [ bh / ( ] m m m m m ( ( +( b / ( [( h / ] / s /, με όλες τις ποσότητες που χρησιμοποιούνται παραπάνω να είναι κατάλληλα ορισμένες. ABSTRACT Α queueng system wth a sngle server rovdng three hases of servce n successon s consdered. Every customer receves servce n all hases. When a customer comletes hs servce n -th hase he decdes ether to roceed to the next hase of servce or to jon the K retral box,, from where he reeats the demand for the ( -th hase of servce after a random amount of tme and ndeendently to the other customers n the system. When there are no more customers watng n the ordnary queue the server dearts for a sngle vacaton of arbtrarly dstrbuted length. The arrval rocess s assumed to be Posson and all servce tmes are arbtrarly dstrbuted. For such a system, the mean numbers of customers n the ordnary queue and n each retral box searately are obtaned

8 ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] J.R. Artalejo, A classfed Bblograhy of research on retral queues: Progress n , To 7 ( ( [] D.I. Cho, T. Km, Analyss of a two hase queueng system wth vacatons and Bernoul feedbac, Stoch. Anal. Al. (5 ( 9-9. [] G. Choudhoury, Steady state analyss of a M/G/ queue wth lnear retral olcy and a two hase servce under Bernoull vacaton schedule, Al. Math. Model (7 In Press. [4] G. Choudhoury, K.C. Madan, A two stage batch arrval queueng system wth a modfed Bernoul schedule vacaton under N-olcy, Math. Com. Model. 4 ( [5] I. Dmtrou, C. Langars, Analyss of a retral queue wth two hase servce and server vacatons. Techncal Reort No 7 December 7, Unversty of Ioannna. [6] B.D. Dosh, Analyss of a two hase queueng system wth general servce tmes, Oeraton Research Letters ( [7] G.I. Faln, J.G.C. Temleton, Retral Queues (Chaman and Hall, London, 997. [8] G.I. Faln, On multclass batch arrval retral queue, Advances n Aled Probablty ( [9] B. Krshnaumar, A. Vjayaumar, D. Arvudanamb, An M/G/ retral queueng system wth a two hase servce and reemtve resume, Annals of Oeraton Research ( [] J.-C. Ke, An M (X /G/ system wth startu server and J addtonal otons for servce, Al. Math. Modellng (4 ( [] C.M. Krshna, Y.H. Lee, A study of a two hase servce, Oeraton Research Letters 9 ( [] V.G. Kullarn, H.M. Lang, Retral Queues Revsted, n J.H. Dshalalow (ed, Fronters n Queueng 9-4 (CRP Press, 997. [] C. Langars, A. Katsaros, Tme-deended analyss of a queue wth batch arrvals and N-levels of non-reemtve rorty, Queueng Systems 9 ( [4] E. Moutous, C. Langars, Non reemtve rortes and vacatons n a multclass retral queueng system, Stoch. Models ( ( [5] L. Taacs, Introducton to the Theory of Queues, Oxford Unv. Press, New Yor (