ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΥΡΑΣ ΜΕ START-UP/CLOSE DOWN ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΕΣ ΑΦΙΞΕΙΣ ΠΕΛΑΤΩΝ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 0 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (007, σελ 55-6 ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΥΡΑΣ ΜΕ START-UP/CLOSE DOWN ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΕΣ ΑΦΙΞΕΙΣ ΠΕΛΑΤΩΝ Ιωάννης Δημητρίου και Χρήστος Λάγκαρης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τομέας Πιθανοτήτων, Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας dimitriougiannis@yahoo.gr clagar@cc.uoi.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θεωρού ένα σύστημα εξυπηρέτησης Poisson αφίξεις και χρόνους εξυπηρέτησης, διακοπές, start-up και close down χρόνους να ακολουθούν γενική κατανομή. Στο μοντέλο καταφθάνουν δυο κατηγορίες πελατών την μια να έχει προτεραιότητα έναντι της άλλης. Οι πελάτες της μικρότερης προτεραιότητας συμπεριφέρονται ως πελάτες επαναλαμβανόνες αφίξεις. Κάθε φορά που ο υπάλληλος ελευθερώνεται, εγκαταλείπει το σύστημα για τυχαίο χρονικό διάστημα. Για ένα τέτοιο σύστημα βρίσκονται η συνθήκη στατιστικής ισορροπίας, οι πιθανότητες των καταστάσεων και οι μέσοι αριθμοί πελατών.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μοντέλα ουρών περιόδους διακοπών και start-up/close-down χρόνους (χρόνοι προθέρμανσης/αποφόρτισης έχουν αποδειχθεί χρήσιμα στην μοντελοποίηση συστημάτων των οποίων ο μηχανολογικός εξοπλισμός χρειάζεται ένα χρόνο προετοιμασίας πριν από την χρήση του και ένα χρόνο αποφόρτισης τά την χρήση του. Εφαρμογές τέτοιων μοντέλων σε τοπικά δίκτυα (LAN περιγράφονται στις [], []. Στα παραπάνω μοντέλα, όλοι οι πελάτες που καταφθάνουν στο σύστημα, τοποθετούνται στην ουρά και περιμένουν να εξυπηρετηθούν. Είναι εύκολα αντιληπτό ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν πελάτες που όταν φτάνουν στο σύστημα και βρουν απασχολημένο τον υπάλληλο αναχωρούν και επαναλαμβάνουν την άφιξη τους αργότερα. Για παράδειγμα ας θεωρήσου ένα διαγνωστικό κέντρο στο οποίο λειτουργεί ένας μαγνητικός τομογράφος, που χρειάζεται ένα χρόνο ζεστάματος πριν από την χρήση του και ένα χρόνο αποφόρτισης όταν δεν υπάρχουν ασθενείς στον χώρο αναμονής. Ένα τέτοιο κέντρο όμως, δέχεται και τηλεφωνικές κλήσεις από ασθενείς που ζητούν τον ιατρό για να συζητήσουν τα αποτελέσματα των εξετάσεων τους. Μοντέλα επαναλαμβανόνες αφίξεις πελατών (retrial queues χρησιμοποιούνται ευρέως στη μοντελοποίηση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και μια πλήρη ανασκόπηση αυτών δίνεται στις [3], [4], [5]. Στην εν λόγω εργασία το χαρακτηριστικό των επαναλαμβανόνων αφίξεων (retrials και το χαρακτηριστικό

2 των διακοπών start-up/close-down χρόνους εμφανίζεται για πρώτη φορά στην βιβλιογραφία. Η παρούσα εργασία οργανώνεται ως εξής. Στην παράγραφο δίνεται μια πλήρη περιγραφή του συστήματος ενώ στην 3 δίνονται κάποια σημαντικά αποτελέσματα για την τέπειτα ανάλυση. Στη παράγραφο 4, ερευνάται η συνθήκη στατιστικής ισορροπίας την βοήθεια της οποίας λετά το σύστημα στην παράγραφο 5. Τέλος στην παράγραφο 6 δίνονται ορισμένα χαρακτηριστικά γέθη του συστήματος.. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Θεωρού ένα σύστημα το οποίο δέχεται δυο κατηγορίες πελατών. Οι P πελάτες φτάνουν σύμφωνα την κατανομή Poisson παραμέτρου λ και τοποθετούνται σε μια ουρά περιμένοντας να εξυπηρετηθούν. Οι P πελάτες (retrial φτάνουν σύμφωνα την Poisson παραμέτρου λ και αν βρουν μη διαθέσιμο τον υπάλληλο αναχωρούν προσωρινά από το σύστημα επαναλαμβάνοντας την άφιξη τους τά από εκθετικό χρόνο παραμέτρου α. Για να ξεκινήσει να εξυπηρετεί ο υπάλληλος έναν P πελάτη ή κάποιον P πελάτη, που τον βρήκε διαθέσιμο πρέπει πρώτα να ενεργοποιήσει έναν start-up χρόνο Si, i =, (διαφορετικό για κάθε κατηγορία Pi, i=, που ακολουθεί γενική S x, συνάρτηση κατανομή αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ. i ( πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π i ( i s x και πεπερασμένη μέση τιμή s, i=,. Μόλις ο υπάλληλος εξυπηρετήσει όλους τους πελάτες που περίναν στην ουρά και στον χώρο εξυπηρέτησης, ενεργοποιεί μια close-down περίοδο που ακολουθεί γενική c x, και πεπερασμένη μέση τιμή c. Κατά τη κατανομή α.σ.κ C( x, σ.π.π. ( διάρκεια της παραπάνω περιόδου, πελάτες από το retrial box (κουτί των επαναλαμβανόνων αφίξεων δεν έχουν πρόσβαση στον υπάλληλο, ενώ αν κάποιος P πελάτης φτάσει στο σύστημα την εν λόγω χρονική περίοδο θέτει τον υπάλληλο σε κατάσταση λειτουργίας, αφού πρώτα θα ενεργοποιήσει ένα νέο special start-up χρόνο S ( S ( x, s ( x, s Όταν μια close-down περίοδος ολοκληρωθεί επιτυχώς ο υπάλληλός αναχωρεί για διακοπές V που ακολουθούν γενική κατανομή ( V( x, v( x, v. Επιστρέφοντας ο υπάλληλος από τις διακοπές αν βρει πελάτες να περιμένουν στην ουρά, ενεργοποιεί έναν start-up χρόνο κ.ο.κ.. Αν δεν βρει πελάτες στην ουρά παραμένει άεργος περιμένοντας την πρώτη άφιξη που θα ζητήσει εξυπηρέτηση (είτε από έξω, είτε από το retrial box. Οι P πελάτες έχουν ένα είδος προτεραιότητας έναντι των P πελατών την έννοια ότι αν κάποιος P πελάτης φτάσει κατά την διάρκεια του start-up ενός P πελάτη τότε τον διακόπτει και ένας χρόνος S ακολουθούνος από έναν χρόνο συνεχούς απασχόλησης P πελατών και μιας close-down περιόδου αρχίζει. Ο διακοπτόνος πελάτης δεν επιστρέφει στο retrial box αλλά ξαναρχίζει το start-up

3 του από την αρχή όταν η παραπάνω close-down περίοδος τερματιστεί επιτυχώς. Αντιθέτως η έλευση ενός P πελάτη κατά την διάρκεια της εξυπηρέτησης ενός P πελάτη δεν τον επηρεάζει. Οι εξυπηρετήσεις των πελατών και των δυο κατηγοριών ακολουθούν γενική κατανομή ( Bi( x, bi( x, bi, i =, ενώ όλες οι προαναφερθείσες τυχαίες ταβλητές (τ.μ. είναι ανεξάρτητες. 3. ΑΡΧΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στην παρούσα παράγραφο θα δοθούν ορισμένα αποτελέσματα, που μας βοηθούν στην απόδειξη βασικών θεωρημάτων που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια. Για την πλήρη απόδειξη αυτών βλέπε [6]. Τα παρακάτω αποτελούν Laplace τασχηματισμούς των πιθανογεννητριών που αντιστοιχούν στον αριθμό των πελατών του retrial bοx σε διάφορες χρονικές περιόδους. Για τη χρονική περίοδο από την στιγμή που ξεκινάνε οι διακοπές του υπαλλήλου μέχρι αυτός να ίνει άεργος για πρώτη φορά έχου, esxsz (, (,, z q (, s z = r (, s z d q z z v b = P ρv = (0, = ρ /( λ dz Για τη χρονική περίοδο από τη στιγμή που ένας πελάτης βρει διαθέσιμο τον υπάλληλο μέχρι τη στιγμή που αυτός αναχωρεί για διακοπές έχου, Lsxsz (, (,, z r(, sz w (, s z = Ksxsz (, (,, z r( sz, d w z ρc b z= ρc = (0, = /( λ dz Για τη χρονική περίοδο από τη στιγμή που ένας P πελάτης βρει διαθέσιμο τον υπάλληλο μέχρι τη στιγμή που αυτός μένει άεργος για πρώτη φορά (γενικευμένος χρόνος συμπλήρωσης απασχόλησης πελάτη έχου, P = w s z q s z w (, s z (, (, d w z z v c b = ρw = (0, = ( ρ + ρ /( λ dz

4 Τέλος για τη χρονική περίοδο από τη στιγμή που ένας P πελάτης βρει άεργο τον υπάλληλο μέχρι τη στιγμή που αυτός μένει πάλι άεργος για πρώτη φορά (γενικευμένη περίοδος συνεχούς απασχόλησης πελατών έχου, P d sz xsz s asxsz z r sz q sz (, = (, ( (, (,, (, (, d d z z d b = ρd = (0, = ρ /( λ dz όπου όλες οι ποσότητες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι κατάλληλα ορισμένες. Επιπλέον ορίζου, ρ = λb + ρc + ρv 4. ΣΥΝΘΗΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Η συνθήκη στατιστικής ισορροπίας μας εξασφαλίζει την ύπαρξη των οριακών πιθανοτήτων της στοχαστικής διαδικασίας που περιγράφει το σύστημα μας. Για την εύρεση της εν λόγω συνθήκης θα χρησιμοποιήσου την θεωρία των Markov Renewal (Μαρκοβιανή Ανανεωτική Διαδικασία και semi-regenerative διαδικασιών (Ημιαναγεννητική Διαδικασία. Έστω οι τ.μ. Ni (, t i =, που παριστούν τον αριθμό των P i πελατών στο σύστημα τη χρονική στιγμή (χ.σ. t και έστω, bi αν εξυπηρετείται ο Pi πελάτης την χ.σ. t, i=, si αν γίνεται start-up στον Pi πελάτη την χ.σ. t, i=, s3 αν γίνεται special start-up στον P πελάτη την χ.σ. t ξt = c αν ο υπάλληλος είναι σε close-down την χ.σ. t v αν ο υπάλληλος είναι σε διακοπές την χ.σ. t id αν ο υπάλληλος είναι άεργος την χ.σ. t Οι τιμές της N ( t σε χ.σ. είτε τέλους μιας γενικευμένης περιόδου συνεχούς απασχόλησης P πελατών είτε τέλους ενός γενικευμένου χρόνου συμπλήρωσης εξυπηρέτησης ενός P πελάτη αποτελούν μια απεριοδική μη διαχωρίσιμη Μαρκοβιανή αλυσίδα. Τότε τη βοήθεια του κριτηρίου του Pakes αποδεικνύεται εύκολα (βλέπε [6] ότι η εν λόγω Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι θετικώς επαναληπτική αν ρ <. Επομένως οι οριακές της πιθανότητες υπάρχουν και ορίζουν κατανομή. Επιπλέον η στοχαστική διαδικασία Z = { N(, t N(, t ξt} που περιγράφει το σύστημα μας είναι μια semi-regenerative υπεισερχόνη Markov renewal διαδικασία την Μαρκοβιανή αλυσίδα που ορίσα παραπάνω. Τότε αποδεικνύεται

5 (βλέπε [6] ότι η στοχαστική διαδικασία Z είναι ευσταθής (δηλαδή οι οριακές της πιθανότητες υπάρχουν και ορίζουν κατανομή αν-ν ρ <. 5. ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ας υποθέσου ότι ρ <. Ορίζου, αν υπάρχει διακοπτόνος P πελάτης που περιμένει την χ.σ. t ut = 0 αν δεν υπάρχει διακοπτόνος P πελάτης να περιμένει την χ.σ. t Έστω επίσης X ( t, το κομμάτι του χρόνου που έχει ήδη παρέλθει για οποιαδήποτε τ.μ. X. Ορίζου, ( bk p ( x, t dx = P[ N ( t = i, N ( t = j, ξ = b, x < Bk ( t x+ dx], k =, t k ( sk ξt k ( c ξt ( v (, = [ ( = ξt ( id j ( = [ ( = 0, ( =, ξt = ] p ( x, t dx = P[ N ( t = i, N ( t = j, = s, x < S k ( t x+ dx], k =,,3 p ( x, t dx = P[ N ( t = i, N ( t = j, = c, x < C( t x+ dx] p x t dx P N t i, N ( t = j, = v, x < V( t x+ dx] q t P N t N t j id και ( ξt p ( xt, οι αντίστοιχες ποσότητες όταν u t = ενώ ( ξt p ( x Επιπλέον όταν p ( x = lim p ( x, t, ξ = b, s, c, v, i=,,3 ( ξt ( ξt t t i i q = lim q ( t ( id ( id j t j u =. t ( ξt ( ξt i j = ξt = i i i= 0 j= 0 P ( z, z, x p ( x z z, b, s, c, v, i=,,3 ( id j ( = j ( j= 0 Q z q t z ( ξt P ( z, z, x στην περίπτωση που u =. t Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συμπληρωματικής ταβλητής, συνδέοντας τις χρονικές στιγμές t και t+ dt, και σχηματίζοντας τους Laplace τασχηματισμούς (L.T. των πιθανογεννητριών που αντιστοιχούν στον αριθμό των πελατών των ουρών καταλήγου τά από αρκετές πράξεις ([6] αφού πρώτα θέσου t στην εξής βασική διαφορική εξίσωση

6 d az ( D(0, z Q( z + F(0, z Q( z = 0 dz όπου D, F κατάλληλα ορισμένες συναρτήσεις ενώ Q είναι ο L.Τ. (στο σηίο s = 0 της πιθανογεννήτριας που αντιστοιχεί στον αριθμό των πελατών του retrial box όταν ο υπάλληλος είναι άεργος. Αποδεικνύεται (βλέπε [6] ότι όλοι οι υπόλοιποι L.Τ. των πιθανογεννητριών του αριθμού των πελατών των ουρών γράφονται συναρτήσει του Q και επομένως επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση βρίσκου τα πάντα σχετικά μ αυτό. Το παρακάτω γενικό θεώρημα (βλέπε [7] αποτελεί γενίκευση του κριτηρίου του Takacs και μας δίνει απαντήσεις σχετικά την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης. Θεώρημα Για ( i Re( s > 0, w, ( ii Re( s 0, w <, ( iii Re( s > 0, w < και ρ = λb + ρ + ρ >, η εξίσωση c v z wd(, s z = 0 Έχει μοναδική ρίζα z = ϕ(, s w για z <. Ειδικότερα για s= 0, w= η ϕ (0, είναι η μικρότερη θετική πραγματική ρίζα ϕ (0, < αν ρ > και ϕ (0, = αν ρ <. Εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι D(0, z = w (0, z, δηλαδή ότι η D(0, z είναι L.Τ. και επομένως ικανοποιούνται οι υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος. Επιπλέον χρήση του παραπάνω θεωρήματος είναι αντιληπτό ότι η βασική μας διαφορική εξίσωση επιλύεται όταν ρ < εντός του μοναδιαίου κύκλου. Τότε για z <, όπου λ = α z Gu ( Q ( z Q (exp{ du} w (0, u u Gz ( λ = λ + λ λd z + λw z = (0, (0, λ Επομένως αντικαθιστώντας την Q, οι L.Τ. των πιθανογεννητριών που αντιστοιχούν στον αριθμό των πελατών των ουρών είναι γνωστοί ενώ θέτοντας σ αυτές z =, z = και ζητώντας η ολική πιθανότητα να αθροίζει στην μονάδα έχου,

7 Q ( = ρ λ λb + ρd λ 6. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην παρούσα παράγραφο θα παρουσιάσου ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Θέτοντας z =, z = στους L.Τ. που ορίσα παραπάνω μπορού εύκολα να βρού τις πιθανότητες των καταστάσεων του υπαλλήλου: ρ = = Q P(ο υπάλληλος άεργος ( λ λb + ρ d λ P(ο υπάλληλος εξυπηρετεί έναν P πελάτη = λb P(ο υπάλληλος εξυπηρετεί έναν P πελάτη = λ b P(ο υπάλληλος σε start-up ενός P λ + λq ( P(ο υπάλληλος σε διακοπές = v v ( λ λ πελάτη = s( λ λ s ( λ c ( λ λ ( s ( λ λ + λ Q ( P(ο υπάλληλος σε close-down = [ + ] λ λ λ λ c ( s( v ( P(ο υπάλληλος σε special start-up = λ s 3P(ο υπάλληλος σε close-down Q ( ( s( P(ο υπάλληλος σε start-up P πελάτη s[ λ + λ b( λ = λ λ + λ ] v ( λ s ( λ Επιπλέον παραγωγίζοντας τους L.Τ. ως προς z και θέτοντας z =, z = παίρνου τον μέσο αριθμό πελατών στην κανονική ουρά ενώ παραγωγίζοντας τις ως προς z και θέτοντας z =, z = παίρνου τον μέσο αριθμό πελατών στην ουρά των επαναλαμβανόνων αφίξεων. Οι εν λόγω ποσότητες έχουν υπολογιστεί αναλυτικά στην [6] και λόγω οικονομίας του χώρου παραλείπονται. ABSTRACT We consider a queueing system with Poisson arrivals and arbitrarily distributed service times, vacation times, start up and close down times. The model accepts two types of customers, the ordinary and the retrial customers and the server takes a single vacation each time he becomes free. For such a model the stability conditions are investigated and the system state - 6 -

8 probabilities are obtained in steady state and used to derive some important measures of the system performance. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] Y. Sakai, Y. Takahashi, Y. Takahashi, T. Hasegawa, A composite queue with vacation/set-up/close-down times for SVCC in IP over ATM networks, J. Oper. Res. Soc. Japan 4 ( [] Z. Niu, Y. Takahashi, A finite-capacity queue with exhaustive vacation/closedown/set-up times and Markovian arrival processes, Queueing Systems 3 ( [3] G.I. Falin, J.G.C. Templeton, Retrial Queues (Chapman and Hall, London, 997. [4] V.G. Kullkarni, H.M. Liang, Retrial Queues Revisited, in J.H. Dshalalow (ed, Frontiers in Queueing 9-34 (CRP Press, 997. [5] J.R. Artalejo, A classified Bibliography of research on retrial queues: Progress in , Top 7 ( ( [6] I. Dimitriou, C. Langaris, A queueing model with start-up/close-down times and retrial customers. Technical Report No 6 June 007, University of Ioannina [7] C. Langaris, A. Katsaros, Time-depended analysis of a queue with batch arrivals and N-levels of non-preemptive priority, Queueing Systems 9 ( [8] G.I. Falin, C. Fricker, On the virtual waiting time in an M/G/ retrial queue, J. Appl. Probab. 8 ( [9] A.G. Pakes, Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains, Oper. Res. 7 ( [0] E. Cinlar, Introduction to Stochastic Processes (Prentice-Hall,