ln x e οπότε lim x x lim lim = + lim = 0 1 x = 0. x 1 ) = = 1 (ln x) (x)

Transcript

1 983 ΘΕΜΑΤΑ. Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στο µε f() + ( + ). Πρέπει >, άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το (, ) εποµένως έχει νόηµα η αναζήτηση του ορίου της στο. Για >, έχουµε + + ln e οπότε + + ln e ln e +, ( + ln) + ln (+ ). Άρα + ln e + Ακόµη ( + ) Έτσι οδηγούµαστε σε απροσδιόριστη µορφή ( ). ( + + ) Εργαζόµαστε λοιπόν ως εξής: + +, > και έχουµε f() [ ( + )] [ ( + )] ln e ( ) ln e ( + + ) e, αφού ln (ln ) ().. Η συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β], είναι παραγωγίσιµη στο ανοιχτό διάστηµα (α, β) και f(α) f(β). Να αποδειχτεί: α. για τη συνάρτηση F() f(), όπου c [α, β], ότι υπάρχει c c o (α, β) τέτοιο ώστε F (c ).

2 β. αν c [α, β], ότι υπάρχει c (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο (c, f(c )) της γραµµής µε εξίσωση y f() διέρχεται από το σηµείο (c, ). α. Επειδή c [α, β] η F ορίζεται στο [α, β]. Η F είναι συνεχής στο [α, β] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η F είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) ως πηλίκο παραγωγίσιµων f ()( c) f()( c) συναρτήσεων µε F () ( c) Ακόµη F(α) f(α), F(β) f(β) α c β c. f ()( c) f(). ( c) Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Rolle για την F υπάρχει c (α, β) τέτοιο ώστε F (c ). β. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραµµής µε εξίσωση y f() στο σηµείο (c o, f(c o )) είναι: y f(c o ) f (c o )( c o ), όπου c o είναι αυτό του α. Ερωτήµατος, έχουµε ότι: F (c o ) f (c )(c c) f(c ) f (c )(c c) f(c ) (). α. o o o (co c) Επειδή «Η εφαπτοµένη της γραµµής µε εξίσωση y f() διέρχεται από το σηµείο (c, )» επαληθεύεται από αυτό άρα f(c ) f (c )(c c ) f (c)(c c) f(c ), που είναι αληθής λόγω της (). 3. α. Να αποδειχθεί ότι για κάθε > ισχύει η σχέση: ln. β. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα [, ) µε ln, < f(),. Να αποδειχθεί ότι:, i) η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της, ii) είναι φθίνουσα στο διάστηµα (, ) και iii) f () -. α. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() ln +, > και έχουµε g () (ln) () + (), >, g () και

3 g () > < <, g () < >. Στη θέση η g παρουσιάζει ολικό µέγιστο το g() ln +. Έτσι για κάθε > θα είναι g() g() ln + οπότε ln. β. i) Έχουµε Η f είναι συνεχής στο (, ) (, ) (πηλίκο συνεχών συναρτήσεων). + f() + + ln + ln (ln ) + ( ) + + (- ) f(), άρα η f είναι συνεχής στο. ln f() ( ln) ( ) ln + (- ln ) - ln - f(), άρα η f είναι συνεχής στο. ii) Οπότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ). Για κάθε (, ) έχουµε ( ln ) ( ) ln ( ) f () ( ) (ln+ )( ) + ln ( ) iii) ln + <, αφού από α. ερώτηµα για κάθε > ισχύει ( ) ln ln + µε το ίσον να ισχύει µόνο για. Άρα για κάθε (, ): ln + <, εποµένως f () <. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ). Απο τον ορισµό της παραγώγου, έχουµε: f() f() ln ( ) ln+ ( ) ( ln + ) ( ( ) ) ln + ( )( ) ln ( ) (ln ) ( ( )) -. Άρα f () -.

4 . Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις µε τύπους: α. f() 9 +, { }, στη θέση. 7, β. g() α. f(),, στη θέση., < 9 + άρα η f είναι συνεχής στη θέση. β. g() ( )( ) ( ) 7 f(), -, άρα η g δεν είναι συνεχής στη θέση. 5. ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(). Να γίνει µελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της f. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το συνεχών συναρτήσεων). και είναι συνεχής σε αυτό (άθροισµα Για τον τύπο της f έχουµε: f(),. + <, Για > έχουµε f () και f (), f (), δεκτή. Για < f () + και f (), f () + -, δεκτή. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, δεν είναι απαραίτητο να είναι παραγωγίσιµη στο. - - f () + + f () f() τ.ε. τ.µ. τ.ε

5 Εποµένως Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (-, - ], [, ], Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [-, ], [, ), στη θέση - παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(- ) - 9, στη θέση παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το f() - και στη θέση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f( ) - 9. Τα τοπικά ελάχιστα είναι και ολικά ενώ δεν συµβαίνει το ίδιο µε το τοπικό µέγιστο, αφού f() ( ) και f() ( + ). Η f είναι κοίλη στα διαστήµατα (-,], [, ) και δεν έχει σηµεία καµπής. Επειδή η f είναι συνεχής στο, η Cf δεν έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες. Επίσης η C f δεν έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύµπτωτες αφού: f() f() Για y έχουµε f() + - και. - (απορρίπτεται) ή ή -. Οπότε η C f τέµνει τον στα σηµεία (, ) και (-, ). Για έχουµε y f() -. Οπότε η C f τέµνει τον y y στο (, - ). Σύµφωνα µε τα παραπάνω σχεδιάζουµε την C f : - - 9