Εφαρµοσµένη Οικονοµετρία

Transcript

1 Εφαρµοσµένη Οικονοµετρία Σπύρος Σκούρας Ύδρας 8, 4ος όροφος Ώρες Γραφείου: Πέµπτη 5:3-6:3 Ύλη: Wooldridge, Inroducory Economerics, nd ediion, Χρονοσειρές:,, (επιλογή από8) Πάνελ: 3,4 Άλλα θέµατα: (επιλογή από 5,6,7) XΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ: Ακολουθία τυχαίων µεταβλητών δείκτης της οποίας T είναι ο χρόνος, y() { } y() τυχαία µεταβλητή y παρατηρούµενη την στιγµή : y() ( ) y. Y y(). y( n) Στοιχεία χρονολογικών σειρών ιαγραµµατική απεικόνιση χρονολογικών σειρών Παράδειγµα : ορυθµός πληθωρισµού των ΗΠΑ Τα στοιχεία χρονολογικών σειρών συλλέγονται για την ίδια παρατηρήσιµη µονάδα, για πολλαπλές χρονικές περιόδους Συνολική Κατανάλωση και ΑΕΠ µιας χώρας (π.χ., τριµηνιαίες παρατηρήσεις για χρόνια 8 παρατηρήσεις). Συναλλαγµατικές ισοτιµίες: Γεν/ ολάριο, Στερλίνα/ ολάριο και Ευρώ/ ολάριο: (ηµερήσια στοιχεία για χρόνο 365 παρατηρήσεις). Κατά κεφαλήν κατανάλωση τσιγάρων σε µία πόλη.

2 Παράδειγµα : το ποσοστό ανεργίας στις ΗΠΑ Γιατί χρησιµοποιούµε στοιχεία χρονολογικών σειρών; Για την ανάπτυξη υποδειγµάτων πρόβλεψης: Ποιος αναµένεταινα είναι ο ρυθµός πληθωρισµού τον επόµενο χρόνο; Για την εκτίµηση δυναµικών αιτιωδών αποτελεσµάτων: Αν η Κεντρική Τράπεζα αυξήσει το επιτόκιο κατατεθειµένων διαθεσίµων σήµερα, πώς θα διαµορφωθούν τα επίπεδα πληθωρισµού και ανεργίας σε 3 µήνες από τώρα; σε µήνες; Ποιο είναι το διαχρονικό αποτέλεσµαστην κατανάλωση τσιγάρων από µια αύξηση της φορολογίας τσιγάρων; Άλλωστε, σε κάποιες περιπτώσεις δεν έχουµε άλλη επιλογή Τα επίπεδα πληθωρισµού και ανεργίας στις ΗΠΑ, µπορούν να παρατηρηθούν µόνο διαχρονικά. Από τα δεδοµέναχρονολογικώνσειρώνπροκύπτουννέα, τεχνικού χαρακτήρα ζητήµατα: Χρονικές υστερήσεις. ιαχρονική συσχέτιση (σειριακή συσχέτιση ή αυτοσυσχέτιση). Υποδείγµατα πρόβλεψης που δεν έχουν καµία αιτιώδη ερµηνεία (αποτελούν εξειδικευµένα εργαλεία για πρόβλεψη): Αυτοπαλίνδροµαυποδείγµατα (σχήµατα) (AR) Αυτοπαλίνδροµα υποδείγµατα κατανεµόµενων υστερήσεων (ADL) Συνθήκεςυπότιςοποίεςµπορούν να εκτιµηθούν τα δυναµικά αποτελέσµατα, καθώς και οι τρόποι µε τουςοποίουςαυτά εκτιµώνται. Υπολογισµός των τυπικών σφαλµάτων, στην περίπτωση που αυτά εµφανίζουν αυτοσυσχέτιση. Χρησιµοποίηση Υποδειγµάτων Παλινδρόµησης για τη ιενέργεια Προβλέψεων Η πρόβλεψη και η εκτίµηση των αιτιωδών αποτελεσµάτων είναι δύο τελείως διαφορετικές εργασίες. Όσον αφορά την πρόβλεψη, οδιορθωµένος συντελεστής προσδιορισµού παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο! η µεροληψία από παραλειπόµενες µεταβλητές δεν αποτελεί πρόβληµα! στα υποδείγµατα πρόβλεψης δεν µας απασχολεί να ερµηνεύσουµε τουςσυντελεστές. η εξωτερική ισχύς κυριαρχεί: το εκτιµηµένο µε τα αρχικά στοιχεία υπόδειγµα πρέπειναισχύειµέχρι το (τουλάχιστον εγγύς) µέλλον.

3 Στοιχεία Χρονολογικών Σειρών και Σειριακή Συσχέτιση: εισαγωγή Θα πρέπει, πρώτα, να εισαγάγουµε κάποια ορολογία, αλλά και κάποιους συµβολισµούς. Συµβολισµοίγιαταστοιχείαχρονολογικώνσειρών Y ητιµήτουy την περίοδο. Σύνολο στοιχείων: Y,,Y T T παρατηρήσεις για την τ.µ. Y Εξετάζουµε µόνο: διαδοχικές, κατανεµηµένες ανά ίσα χρονικά διαστήµατα παρατηρήσεις, πχ κατά µήνα, από το 96 έως το 999, δίχως να παραλείπουµε µήνες (αλλιώς παλινδρόµηση περιπλέκεται). YΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Στατικό υπόδειγµα: y()β()+β()z()+u(),,,..n Xρήση όταν: πιστεύουµε ότι το z() δεν επηρεάζει το y(+) µας ενδιαφέρει η σχέση y() µε z() (και όχι άλλων µεταβλητών / υστερήσεων) Παράδειγµα : Αν u(+)u() y()β z() ( y()y(+)-y()) Ερµηνεία: «Ceeris Paribus» οι µεταβολές στο y οφείλονται στις µεταβολές του z Παράδειγµα : Καµπύλη Phillips: y() πληθωρισµός z() ανεργία Όµοιο µε διαστρωµατικό στατικό υπόδειγµα (crosssecion). Υπόδειγµα µε πεπερασµένο αριθµό υστερήσεων (finie disribued lag): y()β()+β()z()+β()z(-)+β(3)z(-) ~ (FDL oυβαθµού) q y( ) β () + β () z( ) + β ( k + ) z( k) k ~ (FDL q βαθµού) Ερµηνεία παραµέτρων 3

4 Ερµηνεία παραµέτρων (q): i. Συνέπειες προσωρινής µεταβολής z: z() c * z( *) c + y u() y y( *) y( * ) β () ( * + ) y( * ) β ( ) ( ) ( ) ( ) * + y * β 3 > β(k) µετράει το αναµενόµενο αποτέλεσµατης µοναδιαίας προσωρινής µεταβολής του z() στο y(+k-) ii: Συνέπειες µόνιµης µεταβολής z z z() ( *) c u() c < * y + * ( * + l) y( * ) β () + β ( ) + β ( 3 ), l Άρα (β()+β()+β(3)) µετράει τον αναµενόµενο µακροπρόθεσµο αντίκτυπο στο y() ως αποτέλεσµα µιας µοναδιαίας µόνιµης µεταβολής του z() iii. Για β() β(3)... β(q) έχουµε το στατικό υπόδειγµα (υποπερίπτωση) Χρήση όταν πιστεύουµε ότι το z() επηρεάζει το y(+k) Παράδειγµα : y(): Βαθµός τεκνοποίησης Παράδειγµα : y(): ΑΕΠ z(): επιδοτήσεις / φοροαπαλλαγές σε οικογένειες µε παιδιά z(): απάνες επενδύσεων Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Υπόθεση (Υ): ΥΧβ+u (γραµµικότητα) y( ) β () + β () (,) β ( k) (, k) + u( ) π.χ. (,)z() (,)z(-) (FDL()) (,3)z(-) Χ Πίνακας µε Τ σειρές και k στήλες 4

5 Υπόθεση (Υ): Ε(u() X) (αυστηρή εξωγένεια) Ερµηνεία: ( ) Pr( u Ψ) ( ) Pr u Ψ X E u ( ) () ( ) () ( ) Υ Cov u( ), X ( ) ( ) Υ Cov u, s, j, s, j Cov u,, j, j Σύγχρονη εξωγένεια Αληθοφάνεια Υ αµφισβητήσιµηλόγω:. Σφάλµατα µετρήσεων του Χ. Παραληφθείσες µεταβλητές 3. Επιδράσεις του y() στο (+λ) (συνηθισµένες σε κοινωνικά φαινόµενα). π.χ.: Αν y()β()+β()z()+β()z(-)+β(3)z(-)+u(), παραληφθείσα E(u X) υστέρηση και υποθέσουµεότι: π.χ.3: τότε: y()β()+β()z()+β()z(-)+u (), u ()β(3)z(-)+u() > Ε(u () X) για (-),(-) y(): φόνοι z(): αστυνοµία Υπόθεση 3 (Υ3): Όχι πλήρης συγραµµικότητα j :, j a β X ( ) *: X ( j) X ( j) ( j) [ X (), X β*, X ( j) [ (, j),... ( T, j)]' (),..., X ( j ), X ( j + ),..., X ( k)] Θεώρηµα (Θ) (Αµεροληψία Ε.Ε.Τ) : Υ, Υ, Υ3 β ( j) ( ˆ ) β ( j), j, k E,..., βˆ : εκτιµητής ελαχίστων τετραγώνων Wooldridge, κεφ. 3 (απόδειξη-άσκηση) 5

6 Υπόθεση 4 (Υ4): Οµοσκεδαστικότητα: Var(u() X)σ Ερµηνεία: Pr( u() Ψ X ) Pr( u( ) Ψ) Υ4 (όπως και Υ) ( () ) ( ( ) ) Υ4 Var y X Var β X + σ Ανεξάρτητες και εξαρτηµένες µεταβλητές µπορούν να είναι ετερ/στικές Ερµηνεία και αληθοφάνεια Χ πρέπει να συµπεριλαµβάνει όλους τους παράγοντες που επηρεάζουν τη διακύµανση του Υ (παροµοίως µε εξωγένεια Υ) ιακύµανση Υ δεν πρέπει να επηρεάζεται από επίπεδο Χ. π.χ. > µηρεαλιστικό Υ: επιτόκια Χ(): πληθωρισµός Χ(): έλλειµµα (π.χ. γιατί u() συµπεριλαµβάνει κυβερνητική πολιτική ηοποία() έχει έντονο αντίκτυπο στην διακύµανση επιτοκίων, () επηρεάζεται από X) Υπόθεση 5 (Υ5): Έλλειψη αυτοσυσχέτισης: Ερµηνεία/παρατηρήσεις: Υ5 Corr(u(),u(s)) Corr(u(),u(s) Χ) s y(),z() είναι τυχαίο δείγµα (κλασσική υπόθεση σε υποδείγµατα για διαστρωµατικά στοιχεία) Υ5 εν περιορίζει τη συµπεριφορά του Χ 6

7 ( j) Θεώρηµα (Θ) ( ιακυµάνσεις Ε.Ε.Τ) : (Υ-5) n ( ˆ Var β( j) X ) σ ( (, j) ( j) ) ( R ( j) ) n Άθροισµα τετραγώνων ( (, j) ˆ β ( j) j (, )) παλινδρόµησης (j) στα R άλλα (µε σταθερό όρο) n ( j (, ) ( j) ) Άθροισµα τετραγώνων (j) Θεώρηµα 3 (Θ3) (Αµερόληπτη Εκτίµηση ιακύµανσης Σφάλµατος / ιαταρακτικού Όρου) : uˆ (Υ-5) ˆ σ n k n-k-: βαθµοί ελευθερίας (degrees of freedom) n Θεώρηµα 4 (Θ4) (Gauss-Markov) : (Υ-5) E.E.T. είναι Άριστοι Γραµµικοί Αµερόληπτοι δεδοµένου του Χ (BLUE) Υπόθεση 6 (Υ6): u()~n(,σ ) (κανονικότητα) Θεώρηµα 5 (Θ5) (Κανονικές Κατανοµές Ε.Ε.Τ.) : (Υ-6) ˆ β ~ N( β, σ X ) ˆ β ( j) β ~ ˆ σ β β n k ( ΑΤΠΠ ΑΤΠ) / ΑΤΠ /( n k ) q ~ F q, n k (q, n-k-): βαθµοί ελευθερίας ΑΤΠΠ: Άθροισµα τετραγώνων περιορισµένης παλινδρόµησης q: αριθµός περιορισµών Παράδειγµα.: Καµπύλη Phillips Υποθέτουµε Υ-6 για y: πληθωρισµό : ανεργία ΗΠΑ ετήσια στοιχεία ( ) Με Ε.Ε.Τ καταλήγουµε στουπόδειγµα: ΠΛΗΘ() ΑΝ() (.7) (.89) n 49, R.53, R.33 7

8 Θέλουµεναεξετάσουµε αν υπάρχει αντίστροφη σχέση µεταξύ (y, ) Οέλεγχοςµπορεί να γραφεί ως: Η : β() Η : β()< Αλλά β()> β().468/.89.6, που µε (n-k-) 47 β.ε. δίνει µόνο % πιθανότητα ότι β() Τα συµπεράσµατα αυτά ισχύουν µόνο αν ισχύουν οι υποθέσεις Υ-6 Παράδειγµα.: Επιτόκια, Πληθωρισµός και Έλλειµµα ι3: 3µηνιαία επιτόκια T-Bill ι ΠΛΗΘ +.7ΕΛΛΕΙΜΜΑ (.44) (.76) (.8) n 49, R.697, R.683 και τα δύο αυξάνουν τα επιτόκια στατιστικά σηµαντικό οικονοµικά σηµαντικό (% πληθωρισµός.6% επιτόκια) Παράδειγµα.3 log(% Απασχόληση ) -.5 (.77) Μέσος Ελάχιστος Μισθός -.54log %Κάλυψης (.65) Μέσος Μισθός -.log(αεπ US ) (.89) n 38, R.66, R.64, Πόρτο Ρίκο: β ελαστικότητα ˆ β.37 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ (Παράδειγµα.3): Λογαριθµικό log( y ) β + β log( z ) + u dy d log( y ) y % ΑΛΛΑΓΗ Y β d log( z ) dz % ΑΛΛΑΓΗ Z z ελαστικότητα Αν Z X Y - ανεργία X π.χ. Χ : µισθοί, Χ : τιµές, τότε Ζ πραγµατικοί µισθοί β + β log( ) + β log ( ) u log( y ) + β β αλλιώς ονοµαστικές τιµές επηρεάζουν ανεργία 8

9 Λογαριθµικό µε υστερήσεις: log( y ) β + β log( z ) + β log β βραχυπρόθεσµη ελαστικότητα k i β µακροπρόθεσµη i ( z ) β log( z ) ελαστικότητα k k + + u (.4): Dummy Variables (Ψευδοµεταβλητές) - Χρησιµοποιούνται για να αποµονώσουν «σηµαντικές» περιόδους y β + βz + β d + u, αν [, ] d, διαφορετικά Αλλαγή k περιόδους µετά από µια µόνιµηαλλαγή Παράδειγµα.4 Γεννητικότητα Απαλλαγές (3.) (.3) -4.4 ΠΠ -3.59Χάπι (7.46) (4.8) n 7, R.473, R.45 : Παράδειγµα.4 Γεννητικότητα() Aπαλλαγές().58Aπ(-) (3.8) (.6) (.557) n 7, R.499, R Aπ(-) -.3 ΠΠ() 3.3Xάπι() (.6) (.73) (3.98) ΠΠ ος Παγκόσµιος ΠΠ Χάπι για [4,45] διαφορετικά για 63 για 63 H : β() β() β(3) : F-es: p. β(), β(), β(3) µοιάζουν ασήµαντες β()+β()+β(3).? 9

10 Για να εκτιµήσουµετηντυπικήαπόκλισητου µακροπρόθεσµου αποτελέσµατος (β()+β()+β(3)) παλινδροµούµε: Γεννητικότητα() β() + (β()+β()+β(3))απ() + β()(απ(-)-aπ()) + β(3)(απ(-)-aπ()) +... ˆ ( ) ( ) ˆ.3 () + ( ) ( ) ˆ + ˆ β () β β 3 β β + β 3 σ Μακροπρόθεσµο αποτέλεσµα σηµαντικό (.5): Μελέτες Γεγονότων - Όπως οι D.V. αλλά δίνεται µεγαλύτερο βάρος στο τι γίνεται πριν και µετά από το γεγονός Παράδειγµα.5 log(eισαγωγές_κίνα()) log(Παρ._Χηµικών()) (.5) (.48) +.96log(Παρ._Βενζίνης())+.983log($()) (.97) (.4) +.6(Πριν_Κατάθεση()) -.3(Κατάθεση()) (.6) (.64) -.566(Μετά()) (.86) n 3, R.35, R.7 (Φεβ. 78- εκ. 88) Κατάθεση() Πριν_Κατάθεση() για [Oκτ. 83, Μαρ. 84] για [Mαρ. 83, Σεπ. 83] για Μετά() [Οκτ. 84, Μαρ. 85] Κατάθεση() Ασήµαντη Πριν_Κατάθεση() Ασήµαντη Μετά() Στατιστικά σηµαντική. Οικονοµική σηµασία: Μεταβολή κατά [ep(-.566)-] -43.%

11 Παράδειγµα.6 ηµοκρατικό % Εκλεγµένοι +.544Eκλεγµένος (.) (.45) (.34) +.8Eκλεγµένοι Καλά_Νέα (.4) -.77Eκλεγµένοι Πλήθ (.33) n [Tετραετίες 966-9], R.663, R.573 (.6): Συνδυασµός και µε ποσοτικέςµεταβλητές Προβλέψεις Εκλεγµένοι Εκλεγµένος αν ηµοκρατικοί - αν Ρεπουµπλικάνοι αν είναι ο υποψήφιος - αν είναι ο Ρ υποψήφιος Αλλιώς Κλίντον Ντόουλ, 996: Εκλεγµένοι Εκλεγµένος Καλά_Νέα 3 Πληθ. 3.9 ηµ.% 5.% Καλά_Νέα # τριµήνων (από 5) µεανάπτυξη>.9% Πληθωρισµός Μέσος 5 τριµήνων Αποτέλεσµα 54.65%

12 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΤΑΣΕΙΣ { } T y Υποδείγµατα για :. Εκθετική τάση: ( y ) β + β + e,,,... log. Γραµµική Τάση: y a + a + e,,,... Ερµηνεία: a y + a > E y αν e ( y ) a a < >> + a µετοχρόνο µετοχρόνο Ερµηνεία: β ( y ) log y y Ρυθµός αύξησης y 3. ευτεροβάθµια τάση: Αν a, a > y a + a + a y a + a + e,,,... ΧΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΤΑΣΕΙΣ ΣΕ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΕΙΣ: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΕΙΨΗΣ Παράδειγµα Πραγµατικότητα: Υπόδειγµα: y β + β + β + β + u y β + β + β + u ' Κλασικές υποθέσεις παραβιάζονται (ενδογένεια, αυτοσυσχέτιση) Εκτιµητές γίνονται µεροληπτικοί Αν (καιοιδύο) µεταβλητές y και έχουν τάση, η µεροληψία θα είναι ιδιαίτερα έντονη

13 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΑΣΗ ΩΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΜΕΝΗ (ΑΠΟΜΟΝΩΜΕΝΗ) ΤΑΣΗ Αφαίρεση τάσης: && y y aˆ aˆ ' ' && aˆ aˆ Μπορούµεναδείξουµεότιηεκτίµηση οποιασδήποτε από τις δύο παλινδροµήσεις: && y β && + β && + u y β + β + β + β + u δίνει τα ίδια β. 3 Ητάσηπρέπεινασυµπεριλαµβάνεται και όταν εµφανίζεται µόνο στο i (Αλλιώς µπορεί να µην αναγνωριστεί η σηµασία του i ) Παράδειγµα.7: log(επενδύσεις_σπίτια) log(τιµές_σπίτια) (.43) (.38) ΗΠΑ: , n 4, R.8, R.89 log(επενδύσεις_σπίτια).8 (.8) log(τιµές_σπίτια).44 (.4) Υπάρχουν τάσεις Προβληµατικά (Αυτοσυσχέτιση) log(επενδύσεις_σπίτια) log(τιµές_σπίτια) (.36) (.679) n 4, R.34 Τιµές ασήµαντες Επενδύσεις +.98 (.35) %/έτος ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ R ΟΤΑΝ Η ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΧΕΙ ΤΑΣΗ Ητάσησυχνάεξηγείµεγάλο µέρος των µεταβολών Γιανααποµονώσουµετησηµασία άλλων µεταβλητών υπολογίζουµε τοr σε παλινδρόµηση µε αφαιρεµένη τάση: && y + u β + β + β 3

14 log(επενδύσεις_σπίτια) log(τιµές_σπίτια) (.36) (.679) n 4, R (.35) Αν όµως αφαιρέσουµε την τάση πριν την παλινδρόµηση (.): log(επενδύσεις_σπίτια µε ΑΦΑΙΡΕΜΕΝΗ τάση) β+β log(τιµές_σπίτια)+.β R.8 ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Συχνά οι εποχικότητες είναι ήδη αφαιρεµένες Αφαίρεση εποχικοτήτων: π.χ. Μηνιαίες: y εκ + & y β + βφεβ + βμαρ β Χρησιµοποιούµε, & y&, αφού εκτιµήσουµετα β, β, β,.., } { β Ίδια ζητήµατα ερµηνείας µεαφαίρεσητάσης (!) u ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Συχνά οι εποχικότητες είναι ήδη αφαιρεµένες Αφαίρεση εποχικοτήτων: π.χ. Μηνιαίες: y εκ + & y β + βφεβ + βμαρ β Χρησιµοποιούµε, & y&, αφού εκτιµήσουµετα β, β, β,.., } { β Ίδια ζητήµατα ερµηνείας µεαφαίρεσητάσης (!) u ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ -6: ΜΕΛΕΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΕΕΤ Βασικοί Ορισµοί: (Αυστηρά) ΣτάσιµηΣτοχαστικήΑκολουθία/Χρονοσειρά: ΗΣ.Α. {y :,, } είναι αυστηρά στάσιµη αν,,.. m η κατανοµή y, είναι ίδια µετηνκατανοµή D y,... y m D y + h, y + h,... y m + h Ιδιότητα όλης της ακολουθίας και όχι µιας παρατήρησης Μπορεί να είναι δύσκολο να κρίνουµεανµια Σ.Α. είναι στάσιµη Κάποιες χρονοσειρές (π.χ. µε τάσεις) είναι φανερά µη στάσιµες 4

15 Πιο ασθενής µορφή: Στοχαστική Ακολουθία µεστάσιµη Συνδιακύµανση: ΗΣ.Α. {y :,, } µεπεπερασµένη διακύµανση, E y <, έχει στάσιµησυνδιακύµανση αν ( ) ) E ) var ( y ) ( y ) k k 3) cov( y, y Α.Σ. + E Σ.Σ. + h ) f ( ) < y ( h) ( h, ) Σ.Σ. Α.Σ. Στοχαστική Ακολουθία µε ΑσθενήΕξάρτηση: Μια Σ.Α. έχει Ασθενή Εξάρτηση αν y και y +h είναι «σχεδόν ανεξάρτητες» καθώς το h ΠαράδειγµαενόςείδουςΑσθενούςΕξάρτησης: Μια Σ.Α. µε στάσιµησυνδιακύµανση έχει Ασυµπτωτική Έλλειψη Συσχέτισης (ΑΕΣ) αν η συσχέτιση Corr(y,y +h ) µικραίνει «αρκετά γρήγορα» καθώς h : «αρκετά γρήγορα», σηµαίνει για παράδειγµα: ρ ( h) : Corr( y, y ) ρ( h), ρ( h), ρ( h) lim h Corr + h h ( y, y ) + h (ΑΕΣ) < ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΑΣΘΕΝΟΥΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Απαραίτητες για: Θεωρήµατα Κεντρικού Ορίου Νόµους Μεγάλων Αριθµών Μαθησιµότητα σχέσεων από µια παρατήρηση χρονοσειράς ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ. ΥπόδειγµαΚινητούΜέσουΠρώτουΒαθµού, ΜΑ(): y e + e ~ D a e (, σ ),,,... Για α έχουµετουπόδειγµα «Λευκού Θορύβου» Corr ( y, y ) ( y, y ) a ( + a ) όχι f () Corr + Ασθενής Eξάρτηση D ίδια Αυστηρή Στασιµότητα y + Στάσιµη Συνδ. 5

16 . ΑυτοπαλίνδροµοΥπόδειγµα ΠρώτουΒαθµού, ΑR() Y ρ Y + e ~ D (, σ ) e,,,... Παράδειγµα χρονοσειράς που συχνά αντιµετωπίζεται σαν τυχαία διαδροµή (αντιπαράδειγµα στιςυποθέσεις) Μπορούµεναδείξουµε (Wooldridge, σελ.35-): Corr h ( y, y ) ρ + h Αν ρ Υπόδειγµα Τυχαίας ιαδροµής Αν ρ < Αυστηρά ασυσχέτιστο 3. Σ.Α. µε Τάση και Στασιµότητα και Ασθενή Εξάρτηση: Σ.Α. της οποία αν της αφαιρέσουµετηντάσηείναι στάσιµη και έχει ασθενή εξάρτηση. π.χ. Y a + a + e, e ~ D (, σ ),,... Παράδειγµα τυχαίας διαδροµής µε τάση(αντιπαράδειγµα στις υποθέσεις) 6

17 ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (Υ ): Γραµµικότητα (Υ) και Στασιµότητα και Ασθενή Εξάρτηση: y β + β β + u Χ µπορεί να συµπεριλαµβάνει υστερήσεις Εννοούµε ότι εξάρτηση ( y, ),..., } { k k k έχει ασθενή (Υ ): E( u X ) ( E( u X )) (ασθενής) Πολύ πιο ασθενής υπόθεση εξωγένεια (Υ3 ) (Υ3) : Όχι τέλεια συγγραµµικότητα Θεώρηµα: Συνέπεια ΕΕΤ (Υ -3 ) p lim ˆ β j β j, j,,..., k ( ˆ β j β j < ε ) p lim ˆ β β lim Pr j j n Σύγχρονη Παραδείγµατα Υποδειγµάτων Συµβάντων (Υ4 ): Οµοσκεδαστικότητα:. y β + β z z E ( u z, z ) Π.χ. δ + δ y + β z + ν + u z : νοµισµατική πολιτική y : πληθωρισµός Στατικό υπόδειγµα Επιτρέπει ανάδραση var ( u X ) σ (Υ5 ): Όχι Αυτοσυσχέτιση: E ( u u X, X ) s s. y a E + δ z + δ z 3 + δ z ( u z, z, z, z,...) Επιπλέον υστερήσεις άχρηστες Γενικευµένες υποθέσεις ισχύουν + u Υπόδειγµα πεπερασµένων υστερήσεων 7

18 Θεώρηµα: Ασυµπτωτική Κανονικότητα ΕΕΤ Υ -5 lim n Ε.Ε.Τ έχουν κανονική κατανοµή ασυµπτωτικά ( ( ) ) ( ) Pr ˆ ep β β n < πσ / σ A n p lim( X ' X / n) A Μπορούµε ναδείξουµε ότι οι ΕΕΤ είναι Άριστοι ασυµπτωτικά Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν για Σ.Α. µετάσεις όταν συµπεριλάβουµε καιτοχρόνοωςµεταβλητή. Οι στατιστικές και F έχουν τις ίδιες κατανοµές ασυµπτωτικά Ηεκτιµήτρια διακύµανσης ΕΕΤ είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτη Παράδειγµα.4: Αποτελεσµατικότητα Αγορών Αποδόσεις Αποδόσεις - (.8) (.38) n 689, R.35, Eβδοµάδες (Τετάρτη) Ιαν. 76- Μαρ. 89 Η : β (Αποτελεσµατικότητα) εν απορρίπτεται µε βάσητη στατιστική. -AR()- Αποδόσεις Αποδόσεις Αποδόσεις - (.8) (.38) (.38) n 688, R.48 Η : β β (Αποτελεσµατικότητα) ( ΑΤΠΠ ΑΤΠ) / ΑΤΠ/ ( n k ) q R q F(,685).65 p.93 R n k 8

19 Παράδειγµα.5 Καµπύλη Φίλιπς µε προσδοκίες Από π.. έχουµε ΠΛΗΘ() ΑΝ() (.7) (.89) n 49, R.53 ΗΠΑ ετήσια στοιχεία ( ) Αν έχουν σηµασία οι προσδοκίες: ΠΛΗΘ() ΠροσδΠΛΗΘ() β(αν() - µ)+e() µ ~ «φυσική ανεργία» ΠροσδΠΛΗΘ() ΠΛΗΘ(-) (προσαρµόσιµες προσδοκίες) ΠΛΗΘ() ΠΛΗΘ(-) ΑΝ() (.38) (.3) n48, R.88 µ3.3/ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΥΝΑΤΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ y y + e,,,... iid ( σ ) e ~ D, e ανεξάρτητο του e («Τυχαία ιαδροµή») Υποπερίπτωση AR() µε ρ και α Γενικευµένες υποθέσεις επιτρέπουν σχέση ΑΝ() µε ΠΛΗΘ(+j) ή AN() µε ΠΛΗΘ(j) Ιδιότητες Τυχαίας ιαδροµής: y e + e e + y Var y ( ) ( ) ( ) E y E e + E y y σ f () () (στάσιµη;) ( y y ) Var( e ) + Var( e ) + + Var( e ) f E AR + h... (άρα µηστάσιµη) e + e + h e + y (Επανειληµµένη Αντικατάσταση) ( y y ) y h υνατή Εξάρτηση + h + h h (): E( y y ) ρ y ( ασθενής εξάρτηση : ) + h ρ < + Παρατηρήσεις: Είναι δύσκολο να διακρίνουµε µια τυχαία διαδροµή µε το µάτι (παράδειγµα DJIA) Μακροχρόνιος αντίκτυπος οικονοµικής πολιτικής εξαρτάται από τοαν η µεταβλητή έχει δυνατή εξάρτηση 9

20 Γενικεύσεις: e µπορεί να έχει ασθενή εξάρτηση Τυχαία διαδροµή µε τάση (drif): y a + y + e y a + e + e E ( y ) a + y a > αύξηση e + y Μετασχηµατισµός Χρονοσειρών µε υνατήεξάρτηση: ιαφορισµός: y y y,,3,... για Τ..: y e Λογαριθµικός ιαφορισµός: y y log( y ) y (όπως µε αποδόσεις στο π..4) Επιθυµητό αποτέλεσµα Αφαιρεί δυνατή εξάρτηση (αν y είναι Ι() Σ.Α. µε ολοκλήρωση ου βαθµού, το y είναι Ι()), π.χ. Τιµές - Αποδόσεις Αφαιρεί γραµµική τάση αν υπάρχει: y γ + γ + ν y γ + ν Συχνά η διαφορισµένη παλινδρόµηση µας δίνει την πληροφορία / παράµετρο που θέλουµε. Χρήση αυτοσυσχέτισης για αναγνώριση Ι() Παράδειγµα.6: Γεννητικότητα Από π..4 Γεννητικότητα() Aπαλλαγές().58Aπ(-) (3.8) (.6) (.557) +.34Aπ(-) -.3 ΠΠ() 3.3Xάπι() (.6) (.73) (3.98) Όµως: Γεννητικότητα().977Γεννητικότητα(-) Απαλλαγές().964Απαλλαγές(-) Γεννητικότητα() Απαλλαγές() (.5) (.8) n7, R.3 Γενν() Απ() -.4 Απ(-) +. Απ(-) (.468) (.7) (.8) (.7) n69,r.33

21 ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ (.Π.) Το υπόδειγµα: l j k k z y u y , συµπεριλαµβάνει... β β β είναι.π. αν: ( ) ( ) ( ) ( ) y E y E z y z y E z y z u E,...,,...,,,...,, Ερµηνεία έννοιας:. Επιπλέον υστερήσεις είναι άχρηστες. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).Π. δεν Υ5' όµως ισχύει Y5',,,,,,,,,,...,,,,...,,.. < < < < Π s u u E s u u u E E s u u E u E s u u E u u u E z y z u E s s s s s s s s s s s s Παράδειγµα (από κεφάλαιο ),, < + < + + ρ ρ β β β e u u u y y ( ) e y y y y β β ρ β β ~AR() ) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: ) Έλλειψη υναµικής Πληρότητας: ( ) ( ),, u y Cov u y Cov ρ ( ) ( ), y y E y y y E, (προφανώς, αφού έχουµεδείξειότι.π. Υ5 ) Παράδειγµα.8: Γεννητικότητα Από π..6 Γενν() Απ() -.4 Απ(-) +. Απ(-) (.468) (.7) (.8) (.7) n69,r.33 Όµως Γενν() β+β Απ()+β Απ(-)+β3 Απ(-)+.3 Γενν(- ) -sa(η: β4).84 > π..6 δυναµικά ελλιπή > αυτοσυσχέτιση; ικανοποιητικό υπόδειγµα;

22 Ερµηνεία Οµοσκεδαστικότητας σε Υποδείγµατα Χρονοσειρών Στο στατικό υπόδειγµα Υ4 Επιτρέπεται Ενώ στο υπόδειγµα Υ4 Var Var y + u β + βz + β y + β3z, z Var y z, y, z ( u z, y ) ( ) σ β + βz Var y z y + u ( u z ) ( ) σ ( y y ) f ( y ) Var Άρα επιτρέπονται διαφορετικές σχέσεις για µέσο και διακύµανση: E ( y y ) f ( y ) ( y y ) f ( y ) Var Αν συµπεριλαµβάνεται y - αποκλείεται η «υναµική Ετεροσκεδαστικότητα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Κεφ. Κεφ. Κεφ. Υ-5 Υ -5 - Υ4, Υ5 «Κλασικές «Ασθενείς υποθέσεις» εκδοχές (µικρά δείγµατα) κλασσικών Γραµµικότητα: υποθέσεων» y β βk k + u Χ() αντί για Χ σε Υ,4,5 Αυστηρή Εξωγένεια: E( u X ) + Ατελής Συγγραµικότητα: µεγάλα δείγµατα * * l : l a, β : l lβ Στασιµότητα Οµοσκεδαστικότητα: Var( u X ) σ Ασθ. εξάρτηση Έλλειψη Αυτοσυσχ/σης: Corr u, u X ( ) s Τι ξέρουµεήδη; Υ-3 Αµεροληψία Ε.Ε.Τ (κφ. ) Υ -3 Συνέπεια Ε.Ε.Τ (κφ. )

23 3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΕΤ OTAN ΤΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΕΧΟΥΝ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Παράδειγµα: () ( ) ( ),,, ~,,...,, < s e e e Corr D e AR n e u u u y σ ρ ρ β β ( ) ρ j σ j u u E + Ιδιότητες ΕΕΤ, αν (Σ( )): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ n n j j j n n j j j E u u u Var u Var X Var u u y y u y y ρ σ σ β β β β β β β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Var E X Var E k n u X Var ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β σ ρ β σ ρ σ σ β ρ β β β >< < < > π.χ. Θ. Μεροληπτικός Μάλλον Μεροληπτικός Οι στατιστικές, F, LM χρησιµοποιούν τις εκτιµήσεις αυτές, άρα µεροληπτικές εκτιµήσεις προκαλούν και µη αναµενόµενες κατανοµές στατιστικών Αµερόληπτος Ερµηνεία R^ υπό Υ -3 (π.χ. µε αυτοσυσχέτιση): ( ) ˆ ˆ ˆ ~ y u y u R ύ R R σ σ πληθυσµο σ σ Υ -3 (συνέπεια) και µε αυτοσυσχέτιση Όµως, (µεροληψία) υπό όποιες υποθέσεις ˆ lim R R p n LLN ( ) ˆ R R E

24 Στασιµότητα και ερµηνεία R^ Αν υπάρχουν τάσεις η εποχικότητες στις µεταβλητές η / και στο υπόδειγµα, το R^ πρέπει να ερµηνευτεί ανάλογα Αν ηεξαρτηµένη µεταβλητή είναι Ι(), τότε: Var f ( y ) f ( ), > οπότε το Var(y) δεν υπάρχει, οπότε και το R^ που βασίζεται σε αυτό δεν έχει νόηµα E Σηµασία αυτοσυσχέτισης (Υ5) σε υποδείγµατα µε υστερήσεις εξαρτηµένης µεταβλητής Παράδειγµα ( y y ) β + βy y E β < β + β y ( u y ) Υ -3 + u ~ Γραµµικότητα κ Στασιµότητα (Υ ) ~ Ασθενής Εξάρτηση ~ Ατελής Συγγραµµικότητα (Υ3 ) ~ Σύγχρονη Εξωγένεια (Υ ) Συνέπεια ΕΕΤ µε υστερήσεις εξαρτηµένης και µε αυτοσυσχέτιση (χωρίς Υ5 )? Μήπως όµως : Υ -3 + Υστερήσεις Εξαρτηµενης Μεταβλητής Cov Υ5? Όχι. Στο παράδειγµα µας: εν περιορίζεται απότουπόδειγµα ( u u ) Cov( u, y β β y ) β Cov( u y ),, Όχι Υ5 Υστερήσεις Σε κάποια υποδείγµατα Όχι σύγχρονη εξωγένεια (Υ ) (Πρέπει να εξετάσουµε αυτοσυσχέτιση και υπόδειγµα µαζί) E ( u y ) Cov( u, y ) Cov( u, y ) 4

25 Παράδειγµα y β + β y u ρu + e, ρ < + u, β < ) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: Cov( y, u) ρcov ( y, u ) ) Έλλειψη υναµικής Πληρότητας: ( y β y ) e y + β + βy + ρ β ( y y, y ) E( y y ) E, (προφανώς, αφού έχουµε δείξειότι.π. Υ5 ) ~AR() Έστω Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση µε τη στατιστική (Ασυµπτωτικός) y β + β β + u ( u X ) k k, Γραµµ/τητα (Υ) E Αυστηρή Εξωγένεια (Υ) Όχιυστερήσειςτηςy Πρόσθετες υποθέσεις γιατασφάλµατα u ρu ρ < E + e,,,..., n ( e u, u,... ) ( e u ) Var( e ) σ Var e ΑR() Σφάλµατα (ένα είδος) Εξωγένειας (Υ) Οµοσκεδαστικότητα (Υ4) Η : Όχι αυτοσυσχέτιση ρ Η : Αυτοσυσχέτιση ρ (ή ρ > όταν πιστεύουµε ότι ρ ) υσκολία ελέγχου οφείλεται στο ότι τα σφάλµατα δεν παρατηρούνται. Όµως: Ασυµπτωτικά Η : ρ Η : ρ στο υπόδειγµα: uˆ ρ uˆ + ζ Οπότε µπορούµε νακάνουµεένανισοδύναµοέλεγχοσε υπόδειγµαγιατακατάλοιπα(τα οποία παρατηρούνται) ιαδικασία ελέγχου: i. Βρίσκουµε τα κατάλοιπα από παλινδρόµηση: ii. Παλινδροµούµε: uˆ ρ ˆ + ζ, βρίσκοντας ˆ ρ, iii. Κάνουµε τον έλεγχο k k û y β + β β + u u ˆ ρ 5

26 Παρατηρήσεις: Οι πρόσθετες υποθέσεις είναι περιοριστικές Αν Corr(u,u - ) (αλλά π.χ. Corr(u,u - ) ), οέλεγχοςδενθα παρατηρήσει υπαρκτή αυτοσυσχέτιση Ως ασυµπτωτικός έλεγχος, εφαρµογή για «µεγάλο n» σηµαίνει ότι όποιες απορρίψεις µπορεί να µην έχουν οικονοµική σηµασία Παράδειγµα. Στατική καµπύλη Phillips (): Πληθ Ανεργία (.7) (.89) Καµπύλη Phillips µε προσδοκίες(): (Πληθ Πληθ e ) β (Ανεργία µ ) + e n 49 R.53 HΠΑ: Πληθ e Πληθ - Πληθ Ανεργία (.38) (.3) n 48 R.8 Για: (): (): ˆ ρ.573, ˆ 4.93, p,( n 48) Υ5 παραβιάζεται Υ5 ok ρ ˆ ρ.36, ˆ.97, p.775, ( n 47) ρ Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Durbin-Wason (για µικρά δείγµατα) Η στατιστική DW ορίζεται ως: DW n n ( uˆ uˆ ) uˆ καιέχειγνωστήκατανοµή υπόυ-6 (µειονέκτηµασε σχέση µε έλεγχο ) ακόµακαισε µικρά δείγµατα (πλεονέκτηµασεσχέσηµε έλεγχο παραδείγµατος καµπύλης Φίλιπς) 6

27 Μπορούµε ναδείξουµε ότι: ) ˆ ρ DW DW ( ˆ ρ ) ˆ ρ > DW < ) (Περίπλοκη) κατανοµή στατιστικής DW εξαρτάται από: N, k, ύπαρξη σταθερού όρου αλλά και Χ 3) Υπάρχουν όµως διαστήµατα [d L, d U ] ανεξάρτητα του Χ, τέτοια ώστε: DW < d L Απορρίπτουµε Η σε α% επ.σ.σ. d L DW d U ενξέρουµε d U < DW εν απορρίπτουµε Παράδειγµα. (επανάληψη αποτελεσµάτων) Στατική καµπύλη Phillips (): Πληθ Ανεργία (.7) (.89) Καµπύλη Phillips µε προσδοκίες(): (Πληθ Πληθ e ) β (Ανεργία µ ) + e Πληθ e Πληθ - Πληθ Ανεργία (.38) (.3) n 49 R.53 HΠΑ: n 48 R.8 Για: (): ˆ ρ.573, ˆ 4.93, p,( n 48) ρ Υ5 παραβιάζεται Επίσης DW.8 Από πίνακες ξέρουµε ότιανk, n5 και α., τότε d(l).3 >DW > απόρριψη (): ˆ ρ.36, ˆ ρ.97, p.775, ( n 47) Υ5 ok Επίσης DW.77 Από πίνακες ξέρουµε ότιανk, n5 και α., τότε d(u).59 < DW > δεν απορρίπτεται Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης χωρίς ΑΕ (πχ y(-) στο υπόδειγµα) i. Βρίσκουµε τα κατάλοιπα από παλινδρόµηση: y β + u û (µε υστερήσεις όλων των µεταβλητών) ii. Παλινδροµούµε: uˆ γ + ρuˆ + ζ βρίσκοντας ˆ ρ, ˆ ρ Η στατιστική ρˆ έχει ασυµπτωτικά κατανοµή ακόµη και όταν Cov(, ) j u (όχι ΑΕ-Υ) Συµπεριλαµβάνοντας γ λαµβάνουµε υπ όψιν ότι Cov(, ) j u πράγµαπουδεγίνεταιµε τον απλό έλεγχο βάση της στατιστικής Πρέπει όµως να υποθέσουµε ότιvar(u,u - )σ^ 7

28 Παράδειγµα.3 log(% Απασχόληση ) -.5 (.77) Μεσος Ελάχιστος Μισθός -.54log %Κάλυψης (.65) Μέσος Μισθός -.log(αεπ US ) (.89) n 38, R.66, R.64, Πόρτο Ρίκο: β ελαστικότητα ˆ β.37 Παράδειγµα.9 (Π.3 µετάση) log(% Απασχόληση ) -8.7 (.3) Μεσος Ελάχιστος Μισθός -.69log %Κάλυψης (.44) Μέσος Μισθός -.6log(ΑΕΠ US ).3 (.8) (.5) n 38, R.847, R.834, Πόρτο Ρίκο: Επειδή log(αεπ US ).3 το ΑΕΠ γίνεται πολύ σ.σ. > σηµασία έχει επίπεδο ΑΕΠ σε σχέση µε την τάση του Χωρίς να αλλάζουν άλλα συµπεράσµατα Π.χ.. (.3,.9) ~ ΑΕΠ PR, ΑΕΠUS, µεταβλητή ελάχιστου µισθού uˆ β + β ˆ ρ.89 n 37 p ˆ u Απορρίπτουµε Η : ρ Προηγούµενες επαγωγές λάθος Εκτιµήσεις συνεπείς Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης υψηλότερου βαθµού Προσέγγιση: Γενίκευση ελέγχων πρώτου βαθµού Υποθέσεις: u ρ u Σρ < E ι ( e u, u,... ) ( e u ) Var( e ) Var Var ( u, u,..., u ) σ + ρ u +... ρ u q Η : Όχι αυτοσυσχέτιση ρ ρ ρ q Η : Αυτοσυσχέτιση ρ i (για κάποιο i) q q σ e u + e,,,..., n 8

29 ιαδικασία ελέγχου i. Βρίσκουµε τα κατάλοιπα από παλινδρόµηση: ii. Παλινδροµούµε: uˆ + ρ uˆ + ρ uˆ ρquˆ q γ + ζ Υπολογίζοντας στατιστική F για από κοινού σ.σ. ρ i Η στατιστική θα έχει την επιθυµητή κατανοµή ασυµπτωτικά ακόµηκαιχωρίς ΑΕ-Υ û y β + u (µεεπιθυµητές υστερήσεις µεταβλητών) Αν ισχύει ΑΕ-Υ µπορούµεναµην συµπεριλάβουµε γ Εναλλακτικά, χρησιµοποιούµε ότιασυµπτωτικά: LM (n-q) R u ~ χ q Έλεγχος Breusch - Godfrey Π.χ..3(.5) Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση 3ου βαθµού log(eισαγωγές_κίνα()) log(Παραγωγή()) n 3, R.35, R.7 (.5) (.48) +.96log(Παρ._Βενζίνης())+.983log($()) (.97) (.4) +.6(Πριν_Κατάθεση()) -.3(Kατάθεση()) (Φεβ. 78- εκ. 88) (.6) (.64) -.566(Μετά()) (.86) Παλινδροµούµε: uˆ + ρ uˆ + ρ uˆ + ρ uˆ 3 3 γ + ζ F 5., β.ε.(3,8) > p.3 > Απορρίπτουµε Η ιορθώσεις αυτοσυσχέτισης µε Αυστηρή Εξωγένεια Αν στόχος είναι ένα δυναµικά πλήρες υπόδειγµα, πρέπει να επαναπροσδιοριστεί συνολικά Αν στόχος είναι επαγωγή για παραµέτρους υποδείγµατος µε αυστηρή εξωγένεια, υπάρχουν πιο απλές λύσεις BLUE Εκτιµήσεις µε AR() σφάλµατα Υ-4 Αντί για Υ5: u ρu - +e y -ρ y - (-ρ)β +β ( ρ - )+e y* (-ρ)β +β * +e, > y*, y, - ρ y -,,* - ρ -,, ηµιδιαφορισµένες παρατηρήσεις (quasi-differenced daa) y β +β +u Cov(u, e ) Όµως Var(u ) σ^/(-ρ^) > σ^var(e ) Οπότε ορίζουµε y* (-ρ^)^.5 y, * (-ρ^)^.5, u* (-ρ^)^.5 u, 9

30 Slide 6 SS ΒΛΘΕ ασψασ Spyros Skouras, 6/3/7

31 Χρησιµοποιώντας: y* (-ρ)β +β * +e, > Έχουµε: ΕΕΤ σε αυτή την παλινδρόµηση Γενικευµένο Εκτιµητή Ελαχίστων Τετραγώνων στην αρχική (GLS) Υ-5 για την νέα παλινδρόµηση Επαγωγή µπορεί να γίνει ΓΕΕΤ είναι BLUE (µετασχηµατισµός διατηρεί γραµµικότητα) Εφικτός ΓΕΕΤ Το ρ γενικά δεν είναι γνωστό Μπορεί όµως να αντικατασταθεί στον ΓΕΕΤ από µια συνεπή εκτίµηση ιαδικασία Εφικτής ΓΕΕΤ ) Παλινδρόµηση µε ΕΕΤ για προσδιορισµό καταλοίπων ) Παλινδρόµηση σε κατάλοιπα για εκτίµηση ρ 3) Εκτίµηση ΓΕΕΤ βασισµένη σε εκτίµηση για ρ Ως αποτέλεσµα των σφαλµάτων εκτίµησης του ρ Ο Εφικτός ΓΕΕΤ µπορεί να είναι µεροληπτικός Ασυµπτωτικά επαγωγή γίνεται κανονικά Εφικτός ΓΕΕΤ ασυµπτωτικά αποτελεσµατικότερος από OLS Παραλλαγές διαδικασίας Επέκταση: 4) Επιστρέφουµε στο βήµα όπου χρησιµοποιούµε τώρα τα κατάλοιπα από ΕΓΕΕΤ Οι επιπτώσεις αυτής της επέκτασης δεν είναι γνωστές Cochrane-Orcu (χωρίς την πρώτη παρατήρηση) Prais-Winsen (µε) Παράδειγµα.4 (Παράδειγµα.5) log(eισαγωγές_κίνα()) log(Παραγωγή()) (.5) (.48) (3.33).95 (.65) (Φεβ. 78- εκ. 88) n 3, +.96log(Παρ._Βενζίνης())+.983log($()) (.97) (.4) R.35,.5 (.99).4 (.5) CO: ρ^.93 (.84) +.6(Πριν_Κατάθεση()) -.3(Kατάθεση()) n3 (.6) (.64) R.93 (?) -.6 (.3) -.33 (.33) -.565(Μετά()) Παρόµοιες (.86) εκτιµήσεις Ψηλότερες Τ.Α (.343) 3

32 Σύγκριση ΕΕΤ και ΕΓΕΕΤ ΕΓΕΕΤ απαιτεί Υ -4 και ότι Cov( - + +, u ) Πχ ρ γνωστό, εκτίµηση Cochrane-Orcu απαιτεί σύγχρονη εξωγένεια µετασχηµατισµένων δεδοµένων Παράδειγµα.5 (Παράδειγµα.): Καµπύλη Phillips y: πληθωρισµός : ανεργία ΗΠΑ ετήσια στοιχεία ( ) Με Ε.Ε.Τ καταλήγουµε στουπόδειγµα: Σύγχρονη εξωγένεια στην µετασχηµατισνένη παλινδρ. Ε[( -ρ - )(u ρu - )] -ρ[e( - u )+ E( u - )] E [( ) u ] Η επιπλέον υπόθεση µπορεί να παραβιάζεται Οπότε και οι ΕΕΤ µπορεί να είναι προτιµητέες ΠΛΗΘ() ΑΝ() (.7) (.89) CO (.38) (.3) n 49, R.53, R.33 n 48, R.86, ρ^.774 (.9) Αποτελέσµατα πολύ πιο θεωρητικά βάσιµα ιαφόριση και Αυτοσυσχέτιση Π.χ..6 (.) Π.χ. Συχνά η διαφόριση µειώνει δραστικά την αυτοσυσχέτιση y β + β + u,,,... u ρu + e, ρ y β + u u ( ρ ) u + e,( ρ ) 3ΜΕπιτόκια Πληθ +.7Ελλειµµα (.44) (.76) (.8) n 49 R.697 Όµως: uˆ.53uˆ (.3) Άρα παλινδροµούµε: 3ΜΕπιτόκια β + β Πληθ + β Ελλειµµα uˆ.68 uˆ (.45)... και συγχρόνως απαλλασσόµαστε από πιθανώς µη στάσιµες µεταβλητές 3

33 ΕΕΤ και επαγωγή εύρωστη ως προς αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα Μπορεί να εφαρµοστεί όταν Παραβίαση αυστηρής εξωγένειας (πχ αυτοπαλίνδροµα) Παραβίαση οµοσκεδαστικότητας Άγνωστη µορφή αυτοσυσχέτισης (όχι AR()) Λογική: Στο υπόδειγµα: y β +β + + β k k +u,,,n Ορίζοντας: δ +δ + + δ k k +r,,,n, E(r,,, k ) Προκύπτει ότι: n n A var ( βˆ ) E ( r ) Var r u ιαδικασία (i) Παλινδρόµηση και υπολογισµός (ii), σˆ, Βοηθητική παλινδρόµηση και υπολογισµός rˆ :,..., n, aˆ rˆ uˆ :,..., n (iii) Υπολογισµός vˆ ˆ { u :,..., n} σ ˆ β { }{ } n g n aˆ + [ h / ( g + )] aˆ aˆ h h h + Για κάποιο g το οποίο να αυξάνει µε n, πχ 4(n/)^(/9) Οπότε «αρκεί» να εκτιµήσουµε Αvar(β^) (iv) Εκτίµηση Αvar(β^) εύρωστη προς αυτοσυσχέτιση σˆ β ˆ νˆ σˆ (v) Μπορεί να χρησιµοποιηθεί σε στατιστικές κλπ Ιδιότητες Συνήθωςεύρωστεςτυπικέςαποκλίσεις> κανονικές Προβληµατική συµπεριφορά σε µικρά δείγµατα (n<) Απαιτείται επιλογή g ΕΕΤ είναι συχνά πολύ αναποτελεσµατικοί όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (υπάρχουν καλύτεροι εκτιµητές) 3

34 Π.χ..7 (.,.3,.9) ~ ΑΕΠ PR, ΑΕΠUS, µεταβλητή ελάχιστου µισθού uˆ n 37, p.7 ˆ ρ ˆ β.3, σˆ g νˆ σˆ ˆ β.89 * ˆ CO β.46,., σˆ uˆ + β β ˆ * ˆ β β.4, σˆ CO ˆ β.446 Παραβιάζεται ΑΕ ή αποτέλεσµα µικρού δείγµατος; ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΕΙΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ (Υ4 : Var(u ) σ ) Στο υπόδειγµα: y β ' + u Υ -3, Υ5 (Ε(u ) ) µε u δ ' + ν Έλεγχος οµοσκεδαστικότητας (Υ4) Breusch-Pagan µπορεί να γίνει ως: H : δ δ... δk βάσει uˆ ˆ δ ' + ν και χρησιµοποιώντας τη στατιστική F ασυµπτωτικά. Παράδειγµα.8 (.4): Αποτελεσµατικότητα Αγορών Αποδόσεις Αποδόσεις - (.8) (.38) n 689, R.35, Eβδοµάδες (Τετάρτη) Ιαν. 76- Μαρ. 89 Η : β (Αποτελεσµατικότητα) ιακύµανση : εν απορρίπτεται µε βάση-sa. uˆ 4.66 όσεις.4αποδ + ˆ ν (.43) (.) n 689, R εξαρτάται από παλαιότερες αποδόσεις αυξάνει όταν αγορές πέφτουν υναµική Ετεροσκεδαστικότητα Ορισµός: E( u u, u,...) f ( u, u,...) Παρατήρηση: Είναι συµβατή µε τις υποθέσεις Gauss- Markov (Y -5 ) σε στατικά υποδείγµατα π.χ. ARCH (συµβατό µευ4 ): E u u, u,..., E u u a + au ( ) ( ) ν ( ν ) u a + au +, E u, u,..., ( ν, u έχουν εξάρτηση αφού πρέπει να ισχύει ν a au ) 33

35 Σηµασία: Θεωρήµατα (π.χ. Βέλτιστοι αµερόληπτοι γραµµικοί εκτιµητές) ισχύουν. Υπάρχουν όµως εκτιµήτριες περισσότερο αποδοτικές ασυµπτωτικά (µεροληπτικέςαλλάσυνεπείς) Συµπεριφορά διακύµανσης έχει οικονοµική σηµασία ARCH σε δυναµικά υποδείγµατα > ασύµβατο µεκλασικήοµοσκεδαστικότητα (Υ4) E ( y z, y, z, y,... ) ( y z, y, z, y,...) Var Σηµασία: β + β z Var( u α + a u + β y z, y εν επηρεάζει αµεροληψία/συνέπεια + β z, z 3, y Επηρεάζει συµπεριφορά: - Στατιστικών ελέγχου - ιακύµανσης Ε.Ε.Τ - Εκτιµητών διακύµανσης,...) Π.χ..9 (.8,.4) uˆ uˆ ˆ β uˆ + νˆ n 688 (.44) (.36) R. 4 9 ARCH () ρ.4uˆ, ˆ.38 Καλύτερο υπόδειγµαγιατην διακύµανση από το πχ.8 Συσχέτιση «Συσχέτιση ιακύµανσης» Ετεροσκεδαστικότητα και αυτοσυσχέτιση µαζί Λύσεις: ) Μπορούµε να ελέγξουµε για ετεροσκεδαστικότητα σε ηµιδιαφορισµένο υπόδειγµα όπου έχει αφαιρεθεί η αυτοσυσχέτιση (ΕΓΕΕΤ): y* (-ρ)β +β * +e, > y*, y -ρ y -,,* -ρ -,, Και να χρησιµοποιήσουµε εκτιµήσεις για τυπικές αποκλίσεις παραµέτρων εύρωστες προς ετεροσκεδαστικότητα 34

36 ) Ανάπτυξη υποδείγµατος για αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα Παράδειγµα: y β + β β + u u v Ε ( e h Var ρ v Var ( Χ ) u h ( u h v + f ( ) e,, Var ) Var ρ < ( e σ e ) h, ρ ( v k k ) σ e σ e ) ρ, Ε ( e e ) Οπότε η µετασχηµατισµένη παλινδρόµηση: y β k u + h h h + β βk h h Θα έχει οµοσκεδαστικά σφάλµατα AR() αρκεί να ξέρουµεηναµπορούµε ναεκτιµήσουµε h (την µορφή της ετεροσκεδαστικότητας) Εφαρµόζουµεπροηγούµενες λύσεις για αυτοσυσχέτιση Εφικτός ΓΕΕΤ µε ετεροσκεδασικότητα και αυτοσυσχέτιση ιαδικασία Εφικτής ΓΕΕΤ ) Παλινδρόµηση µε ΕΕΤ για προσδιορισµό καταλοίπων ) Παλινδρόµηση log(κατάλοιπα) σε, - για εκτίµηση καταλοίπων g 3) Προσδιορισµός f ως fep(g) 4) Εκτίµηση µετασχηµατισµένης παλινδρόµησης µε ΕΓΕΕΤ υπο αυτοσυσχέτιση (Cochrane-Orcu / Prais- Winsen) Οι ιδιότητες του ΕΓΕΕΤ υπό αυτοσυσχέτιση ισχύουν Κεφάλαιο8 Προχωρηµένα θέµατα στα υποδείγµατα χρονοσειρών 35

37 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ, Ι() Στο υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης ου βαθµού: y a + ρy E + e,,,... ( e y, y,..., y ) () π.χ. ~ D, ανεξάρτητο του y e iid ~ Maringale difference sequence (ως προς y, y,...}) { I() ρ α (Τυχαία ιαδροµή) α (Τ.. µε τάση) Η : ρ Η : ρ < Ι() (αν ρ < ) ρ >, µη ρεαλιστικό Συνήθως περίπτωση < ρ < έχει ενδιαφέρον (όχι ρ < ) y a + θy + e, υσκολία: θˆ Έλεγχος Dickey - Fuller H : θ H : θ < δεν έχει κατανοµή έχει ασυµπτωτική κατανοµή Dickey-Fuller Παράδειγµα 8. Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) n 3 R.48 ˆ θ.9/ Κατανοµή; ~ Από ασυµπτωτική κατανοµή Dickey-Fuller Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή

38 εν απορρίπτουµε Η : θ σε Ε.Σ. % ρ εν απορρίπτουµεκαιρ.9 Συµπεριφορά επιτοκίων πολύ διαφορετική: Επιπτώσεις Ολοκλήρωσης Παραβιάζεται αδύναµηεξάρτηση Στατιστική σηµασία: Ασυνέπεια Ε.Ε.Τ Οικονοµική σηµασία: Αντίκτυπος µεταβολών είναι µόνιµος ρ.9 : Corr( ΕΠ ρ : Corr( ΕΠ + +, ΕΠ ).35, ΕΠ ) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ, Ι() Στο υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης βαθµού k για y: Έλεγχος Augmened Dickey Fuller (ADF): Η : θ Η : θ < H : Ι () y a + y + + y + e ρ... ρk k y β + θy + γ y γ p y ρ H : θ p θˆ γˆ ~ κατανοµή D-F, αρκεί να έχουµε αρκετές υστερήσεις ~ κατανοµή όπως συνήθως: Μπορούµε νακάνουµεέλεγχοf για αρκετές υστερήσεις Ώστε νααποφύγουµε υπερβολικά πολλές ή υπερβολικά λίγες υστερήσεις 37

39 Παράδειγµα 8.3 Παλινδρόµηση ADF: Πληθ Πληθ Πληθ - (.57) (.3) (.6) n47 R^.7 θˆ Πληθ -.335Πληθ Απόρριψη ενισχύεται Είναι αναµενόµενη η ενίσχυση;.3 /.3 3. Απόρριψη σε Ε.Σ. 5% θˆ. εν απορρίπτουµε Η : γ γˆ Προτιµούµετηνπαλινδρόµηση D.F. Σε αυτοπαλινδρόµηση µετάση: y + e a + δ + ρy + e y a + δ + θy H H : θ y a E( y )~ θ : δ + δ + e ο βάθµιο πολυώνυµο στο (Ασυνήθιστο) Στατιστική F αυτούτουελέγχουέχειπερίεργη ασυµπτωτική συµπεριφορά οπότε απλοποιούµε κάνοντας τον απλούστερο έλεγχο: H : θ Όµως η χρονικήτάσηαλλάζειτιςκριτικέςτιµές (πιο δύσκολο να απορρίψουµε τηνηο) Ασυµπτωτική κατανοµή Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή θˆ σε υπόδειγµα µετάση

40 Παράδειγµα 8.4 ggdp loggdp gGDP - (.67) (.7) (.87) (.65) n 35 R.68 Η.Π.Α: ˆ θ εν απορρίπτουµε Όµως ρ^.79 <<. /.87.4 Πιθανώς λόγω µικρού δείγµατος Άλλες παρατηρήσεις Η κατανοµή τηςεκτίµησης για το δ είναι ιδιάζουσα (Αν παραλείψουµε την τάση τα αποτελέσµατα δεν αλλάζουν) ιάφοροι άλλοι έλεγχοι πού µπορούν να γίνουν δίνουν παρόµοια αποτελέσµατα Συµπέρασµα εν έχουµε αρκετές παρατηρήσεις για να έχουµε έντονη άποψη για την συµπεριφορά του GDP Είδη Φ.Σ.:. «Κλασική»: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Χ,Υ) σχετίζονται έµµεσα λόγω σχέσης µε Ζ (π.χ. τάση). Σε χρονοσειρές: Z, X, Y : Corr ( X, Y ) Corr( X Z, Y Z) >> Αν Χ,Υ~Ι() αλλά τις αντιµετωπίσουµε ωςι(), τότε µοιάζουν συσχετισµένες ακόµα και αν είναι ανεξάρτητες Π.χ. y y y + a, a + e, e ~ D ~ D (, σ a ) '(, σ ) { a },{ e } ανεξάρτητες Σ.Α. Αν παλινδροµήσουµε y β + β : + u iid iid Παραβιάζεται η Στασιµότητα / Ασθ. Εξάρτηση β u e k ~ k plimβ^? e Τυχαία ιαδροµή (και β ) 39

41 ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ βˆ. Η στατιστική δεν έχει αναµενόµενη κατανοµή. Ακόµη και ασυµπτωτικά, p lim n ( ˆ ) 3. Έλεγχος σηµαντικότητας οδηγεί σε λάθος συµπεράσµατα 4. σ Παροµοίως για R : p lim u n R >> σ ( ) n k (Άρα και για F, αφού: F R ) q Ο ίδιος συλλογισµός ισχύει και για παλινδροµήσεις µεπολλές µεταβλητές β y Ορισµός: { y },{ } ~ I () * * β : y β ~ I () «Παράµετρος συνολοκλήρωσης»: β * Οικονοµική Ερµηνεία ( ) ( ) * * y β διακυµαίνεται γύρω από E y β * E( y β ) είναι το «µακροπρόθεσµοσηµείο ισορροπίας», π.χ. ιαφορά µηνιαίων/εξαµηνιαίων επιτοκίων. Παράδειγµα 8. (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) n 3 R ˆ.9/ θ Ολοκλήρωση Αντίστοιχα και για 6Μ_ Όµως βρίσκουµεότι: (6Μ_- 3Μ_) α -.67 (6Μ_- 3Μ_) _sa-7.7 (µε κατανοµή D-F) Στασιµότητα I() υπάρχει σηµείο ισορροπίας (µακροπρόθεσµα) Παράδειγµα: χρονοσειρές τιµών µετοχών και χαρτοφυλακίων 4

42 Ερµηνεία έννοιας «µακροπρόθεσµου σηµείου ισορροπίας» Ορίζουµε µ Ε(6Μ_ - 3M_) 6M_ 3M_ + µ + e_ Ε(e_) e_ ~ Ι() Τότε το ΜΣΙ επιτυγχάνεται όταν e_ Όποιες αποκλίσεις αναµένεται να αντιστραφούν Έλεγχοι Συνολοκλήρωσης. Με συγκεκριµένη παράµετρο (από οικονοµική θεωρία): ( ) * Έλεγχος στασιµότητας y β µε D-F Augmened D.F.. Με άγνωστη παράµετρο: i. Παλινδροµούµε Υπό γενικές συνθήκες ˆ ˆ yˆ β + β + p lim n uˆ ˆ * β β Πρόβληµα: Υπό Ηο ηπαλινδρόµηση µας εµφανίζει φαινοµενική συσχέτιση > Κλασσικές υποθέσεις δεν ισχύουν Όµως έλεγχοι τύπου D-F µπορούν παρ όλα αυτά να γίνουν στα κατάλοιπα 4

43 ii. ΚάνουµεέλεγχοτύπουD-F στα κατάλοιπα: Όµως θˆ u ˆ a + θuˆ + e θˆ ~ Dickey - Fuller; ~Engle/Granger ασυµπτωτικά θˆ Απαιτεί µεγαλύτερο για απόρριψη, δηλ.: < ˆ Όχι ˆ Κριτ.Τιµή θ u ~ I () θ Συνολ/ση 3. Με άγνωστη παράµετρο και πιθανή τάση: i. Εκτιµούµε ii. Βρίσκουµε στο θˆ ˆ ˆ yˆ β + β + β + θˆ έχει άλλη αλλά γνωστή κατανοµήασυµπτωτικά ˆ uˆ u ˆ a + θuˆ + e Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή Παράδειγµα 8.5 (.8,.6,.4) Γεννητικότητα() β_ +.87Απαλλαγές() + β_ R^.5 (.35) Γεννητικότητα() β_ -.43 Απαλλαγές() R^.3 (.8) Γιατί τόσο διαφορετικά αποτελέσµατα; ADF ( υστέρηση και τάση) Γεννητικότητα > Ι() ADF ( υστέρηση και τάση) Απαλλαγές > Ι() Μήπως υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης; Στα κατάλοιπα από την πρώτη παλινδρόµηση ADF µε υστέρηση > _sa -.43 (ΚΤ 3.5 σε ΕΣ %) εν µπορούµε να απορρίψουµε έλλειψη συνολοκλήρωσης Εξήγηση προηγούµενων αποτελεσµάτων; Σχέση επιπέδου: φαινοµενική συσχέτιση Σχέση διαφορών: χρειάζεται 4

44 Πως µπορούµε να έχουµε εκτιµητές µε κανονικέςκατανοµές; Νέα παλινδρόµηση µε «περίπου» κλασσικές υποθέσεις: y z u y, ειναι Ι() E( u ) β+ β + δ' + s είδος εξωγένειας Ικανοποιείται µε εκτιµητή lead-lags, για τον οποίο: z()[ (), (+), (+),, (-), (-) ] Παράδειγµα 8.6 (8., κλπ) Από προηγούµενη παλινδρόµηση Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) έχουµε απορρίψει έλλειψη ολοκλήρωσης. Από την παλινδρόµηση: (6Μ_- 3Μ_) α -.67 (6Μ_- 3Μ_) έχουµε απορρίψει έλλειψη συνολοκλήρωσης (µε βάση οικονοµικό συλλογισµό υπόθεση προσδοκιών) Επιτόκια6Μ a +.6Επιτόκια3Μ - (.77) (αλλά στατιστική ίσως δεν ισχύει) µε lead-lag εκτιµητή (µε δύο lead-lags) δίνει Επιτόκια6Μ a +.38Επιτόκια3Μ - +δ z (.8) Χωρίς Συνολοκλήρωση { y },{ } Εφικτά υποδείγµατα y β + β Σχέση µε αλλαγές εξαρτηµένης, όχι επιπέδου z [ 3Μ, 3Μ +, 3Μ +, 3Μ -, 3Μ - ] (.38-)/ > στατιστικά διαφορετικό από το το οποίο θα περιµέναµε από θεωρία Είναι όµως οικονοµικά διαφορετικό; Με Συνολοκλήρωση y β + β * + ( y β ) Σχέση µε αλλαγές και επίπεδο εξαρτηµένης (Υ Λ) 43

45 Υποδείγµατα ιόρθωσης Λαθών ( y ) u y a + + a y + γ + γ + δ β Ερµηνεία «όρου διόρθωσης λαθών»: Εκφράζει πώς κινείται το y για να επανέλθει στη µακροχρόνια ισορροπία. Π.χ. δ <, y > β y µεγαλύτερο από ότι προβλέπει η σχέση του µε το - και θα µικρύνει υσκολία: Ηπαράµετρος β είναι άγνωστη Παράδειγµα 8.7 (8.6, 8., κλπ) Από προηγούµενη παλινδρόµηση Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) έχουµε απορρίψει έλλειψη ολοκλήρωσης. Αν δεχτούµε υπόθεση προσδοκιών, τότε το κατάλληλο Υ Λ είναι: 6Μ α + γ 3Μ - +δ (6Μ - -3Μ - ) +u Εκτίµηση δίνει: 6Μ Μ (6Μ - -3Μ - ) (.43) (.64) (.44) n (τρίµηνα) R^.79 δ^ δεν διαφέρει από > όληηδιόρθωση γίνεται σε ένα τρίµηνο Εκτίµηση β: «ιαδικασία βηµάτων Engle-Granger». Εκτιµούµε βˆ (πχ µε κλασσική παλινδρόµηση) ( ) ˆ. Εκτιµούµεχρησιµοποιώντας y β ως µεταβλητή Ηασυµπτωτική κατανοµήτων aˆ, ˆ γ : εν επηρεάζεται από το πρώτο βήµα Είναιαποτελεσµατική 44

46 Κεφάλαιο8 Προχωρηµένα θέµατα στα υποδείγµατα χρονοσειρών ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ, Ι() Στο υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης ου βαθµού: y a + ρy E + e,,,... ( e y, y,..., y ) () π.χ. ~ D, ανεξάρτητο του y e iid ~ Maringale difference sequence (ως προς y, y,...}) { I() ρ Έλεγχος Dickey - Fuller α (Τυχαία ιαδροµή) α (Τ.. µε τάση) y a + θy + e, H : θ H : θ < Η : ρ Η : ρ < Ι() (αν ρ < ) ρ >, µη ρεαλιστικό Συνήθως περίπτωση < ρ < έχει ενδιαφέρον (όχι ρ < ) υσκολία: θˆ δεν έχει κατανοµή έχει ασυµπτωτική κατανοµή Dickey-Fuller 45

47 Παράδειγµα 8. Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) n 3 R.48 ˆ θ.9/ Κατανοµή; ~ Από ασυµπτωτική κατανοµή Dickey-Fuller Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή εν απορρίπτουµε Η : θ σε Ε.Σ. % ρ εν απορρίπτουµεκαιρ.9 Συµπεριφορά επιτοκίων πολύ διαφορετική: ρ.9 : Corr( ΕΠ ρ : Corr( ΕΠ + +, ΕΠ ).35, ΕΠ ) Επιπτώσεις Ολοκλήρωσης Παραβιάζεται αδύναµηεξάρτηση Στατιστική σηµασία: Ασυνέπεια Ε.Ε.Τ Οικονοµική σηµασία: Αντίκτυπος µεταβολών είναι µόνιµος ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ, Ι() Στο υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης βαθµού k για y: y a + y + + y + e ρ... ρk k H : Ι () y ρ β + θy + γ y H : θ γ y p p 46

48 Έλεγχος Augmened Dickey Fuller (ADF): θˆ γˆ Η : θ Η : θ < ~ κατανοµή D-F, αρκεί να έχουµε αρκετές υστερήσεις ~ κατανοµή όπως συνήθως: Μπορούµε νακάνουµεέλεγχοf για αρκετές υστερήσεις Ώστε νααποφύγουµε υπερβολικά πολλές ή υπερβολικά λίγες υστερήσεις Παράδειγµα 8.3 Παλινδρόµηση ADF: Πληθ Πληθ Πληθ - (.57) (.3) (.6).3 /.3 3. Απόρριψη σε Ε.Σ. 5% θˆ. εν απορρίπτουµε Η : γ γˆ Προτιµούµετηνπαλινδρόµηση D.F n47 R^.7 Σε αυτοπαλινδρόµηση µετάση: θˆ Πληθ -.335Πληθ Απόρριψη ενισχύεται Είναι αναµενόµενη η ενίσχυση; y + e a + δ + ρy + e y a + δ + θy H H : θ y a E( y )~ θ : δ + δ + e ο βάθµιο πολυώνυµο στο (Ασυνήθιστο) Στατιστική F αυτούτουελέγχουέχειπερίεργη ασυµπτωτική συµπεριφορά 47

49 οπότε απλοποιούµε κάνοντας τον απλούστερο έλεγχο: H : θ Όµως η χρονικήτάσηαλλάζειτιςκριτικέςτιµές (πιο δύσκολο να απορρίψουµε τηνηο) Παράδειγµα 8.4 ggdp loggdp gGDP - (.67) (.7) (.87) (.65) n 35 R.68 Η.Π.Α: Ασυµπτωτική κατανοµή θˆ σε υπόδειγµα µετάση ˆ θ. /.87.4 Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή εν απορρίπτουµε Όµως ρ^.79 << Πιθανώς λόγω µικρού δείγµατος Άλλες παρατηρήσεις Η κατανοµή τηςεκτίµησης για το δ είναι ιδιάζουσα (Αν παραλείψουµε την τάση τα αποτελέσµατα δεν αλλάζουν) ιάφοροι άλλοι έλεγχοι πού µπορούν να γίνουν δίνουν παρόµοια αποτελέσµατα Συµπέρασµα εν έχουµε αρκετές παρατηρήσεις για να έχουµε έντονη άποψη για την συµπεριφορά του GDP Είδη Φ.Σ.:. «Κλασική»: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Χ,Υ) σχετίζονται έµµεσα λόγω σχέσης µε Ζ (π.χ. τάση). Σε χρονοσειρές: Z, X, Y : Corr ( X, Y ) Corr( X Z, Y Z) >> Αν Χ,Υ~Ι() αλλά τις αντιµετωπίσουµε ωςι(), τότε µοιάζουν συσχετισµένες ακόµα και αν είναι ανεξάρτητες 48

50 Π.χ. y y y + a, a + e, e ~ D ~ D (, σ a ) '(, σ ) { a },{ e } ανεξάρτητες Σ.Α. Αν παλινδροµήσουµε y β + β : + u iid iid Παραβιάζεται η Στασιµότητα / Ασθ. Εξάρτηση e βˆ. Η στατιστική δεν έχει αναµενόµενη κατανοµή. Ακόµη και ασυµπτωτικά, p lim n ( ˆ ) 3. Έλεγχος σηµαντικότητας οδηγεί σε λάθος συµπεράσµατα 4. σ Παροµοίως για R : p lim u n R >> σ β y β u e k ~ k plimβ^? Τυχαία ιαδροµή (και β ) ( ) n k (Άρα και για F, αφού: F R ) q Ο ίδιος συλλογισµός ισχύει και για παλινδροµήσεις µεπολλές µεταβλητές ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Ορισµός: { y },{ } ~ I () * * β : y β ~ I () «Παράµετρος συνολοκλήρωσης»: β * Οικονοµική Ερµηνεία ( ) ( ) * * y β διακυµαίνεται γύρω από E y β * E( y β ) είναι το «µακροπρόθεσµοσηµείο ισορροπίας», π.χ. ιαφορά µηνιαίων/εξαµηνιαίων επιτοκίων. Παράδειγµα 8. (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) n 3 R ˆ.9/ θ Ολοκλήρωση Αντίστοιχα και για 6Μ_ Όµως βρίσκουµεότι: (6Μ_- 3Μ_) α -.67 (6Μ_- 3Μ_) _sa-7.7 (µε κατανοµή D-F) Στασιµότητα I() υπάρχει σηµείο ισορροπίας (µακροπρόθεσµα) 49

51 Παράδειγµα: χρονοσειρές τιµών µετοχών και χαρτοφυλακίων Ερµηνεία έννοιας «µακροπρόθεσµου σηµείου ισορροπίας» Ορίζουµε µ Ε(6Μ_ - 3M_) 6M_ 3M_ + µ + e_ Ε(e_) e_ ~ Ι() Έλεγχοι Συνολοκλήρωσης. Με συγκεκριµένη παράµετρο (από οικονοµική θεωρία): ( ) * Έλεγχος στασιµότητας y β µε D-F Augmened D.F. Τότε το ΜΣΙ επιτυγχάνεται όταν e_ Όποιες αποκλίσεις αναµένεται να αντιστραφούν 5

52 . Με άγνωστη παράµετρο: i. Παλινδροµούµε Υπό γενικές συνθήκες ˆ ˆ yˆ β + β + p lim n Πρόβληµα: Υπό Ηο ηπαλινδρόµηση µας εµφανίζει φαινοµενική συσχέτιση > Κλασσικές υποθέσεις δεν ισχύουν uˆ ˆ * β β Όµως έλεγχοι τύπου D-F µπορούν παρ όλα αυτά να γίνουν στα κατάλοιπα ii. ΚάνουµεέλεγχοτύπουD-F στα κατάλοιπα: Όµως θˆ u ˆ a + θuˆ + e θˆ ~ Dickey - Fuller; ~Engle/Granger ασυµπτωτικά θˆ Απαιτεί µεγαλύτερο για απόρριψη, δηλ.: < ˆ Όχι ˆ Κριτ.Τιµή θ u ~ I () θ Συνολ/ση Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή Με άγνωστη παράµετρο και πιθανή τάση: i. Εκτιµούµε ii. Βρίσκουµε στο θˆ ˆ ˆ yˆ β + β + β + θˆ έχει άλλη αλλά γνωστή κατανοµήασυµπτωτικά ˆ uˆ u ˆ a + θuˆ + e Παράδειγµα 8.5 (.8,.6,.4) Γεννητικότητα() β_ +.87Απαλλαγές() + β_ R^.5 (.35) Γεννητικότητα() β_ -.43 Απαλλαγές() R^.3 (.8) Επίπεδο Σηµασίας (Ε.Σ.) % Κριτική Τιµή Γιατί τόσο διαφορετικά αποτελέσµατα; ADF ( υστέρηση και τάση) Γεννητικότητα > Ι() ADF ( υστέρηση και τάση) Απαλλαγές > Ι() Μήπως υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης; 5

53 Στα κατάλοιπα από την πρώτη παλινδρόµηση ADF µε υστέρηση > _sa -.43 (ΚΤ 3.5 σε ΕΣ %) εν µπορούµε να απορρίψουµε έλλειψη συνολοκλήρωσης Εξήγηση προηγούµενων αποτελεσµάτων; Σχέση επιπέδου: φαινοµενική συσχέτιση Σχέση διαφορών: χρειάζεται Πως µπορούµε να έχουµε εκτιµητές µε κανονικέςκατανοµές; Νέα παλινδρόµηση µε «περίπου» κλασσικές υποθέσεις: y z u y, ειναι Ι() E( u ) β+ β + δ' + s είδος εξωγένειας Ικανοποιείται µε εκτιµητή lead-lags, για τον οποίο: z()[ (), (+), (+),, (-), (-) ] Παράδειγµα 8.6 (8., κλπ) Από προηγούµενη παλινδρόµηση Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) έχουµε απορρίψει έλλειψη ολοκλήρωσης. Από την παλινδρόµηση: (6Μ_- 3Μ_) α -.67 (6Μ_- 3Μ_) έχουµε απορρίψει έλλειψη συνολοκλήρωσης (µε βάση οικονοµικό συλλογισµό υπόθεση προσδοκιών) Επιτόκια6Μ a +.6Επιτόκια3Μ - (.77) (αλλά στατιστική ίσως δεν ισχύει) µε lead-lag εκτιµητή (µε δύο lead-lags) δίνει Επιτόκια6Μ a +.38Επιτόκια3Μ - +δ z (.8) z [ 3Μ, 3Μ +, 3Μ +, 3Μ -, 3Μ - ] (.38-)/ > στατιστικά διαφορετικό από το το οποίο θα περιµέναµε από θεωρία Είναι όµως οικονοµικά διαφορετικό; 5

54 Χωρίς Συνολοκλήρωση { y },{ } Με Συνολοκλήρωση Εφικτά υποδείγµατα y y β + β β + β Σχέση µε αλλαγές εξαρτηµένης, όχι επιπέδου * + ( y β ) Σχέση µε αλλαγές και επίπεδο εξαρτηµένης (Υ Λ) Υποδείγµατα ιόρθωσης Λαθών ( y ) u y a + + a y + γ + γ + δ β Ερµηνεία «όρου διόρθωσης λαθών»: Εκφράζει πώς κινείται το y για να επανέλθει στη µακροχρόνια ισορροπία. Π.χ. δ <, y > β y µεγαλύτερο από ότι προβλέπει η σχέση του µε το - και θα µικρύνει υσκολία: Ηπαράµετρος β είναι άγνωστη Παράδειγµα 8.7 (8.6, 8., κλπ) Από προηγούµενη παλινδρόµηση Επιτόκια3Μ Επιτόκια3Μ - (.6) (.37) έχουµε απορρίψει έλλειψη ολοκλήρωσης. Αν δεχτούµε υπόθεση προσδοκιών, τότε το κατάλληλο Υ Λ είναι: 6Μ α + γ 3Μ - +δ (6Μ - -3Μ - ) +u Εκτίµηση δίνει: 6Μ Μ (6Μ - -3Μ - ) (.43) (.64) (.44) n (τρίµηνα) R^.79 δ^ δεν διαφέρει από > όληηδιόρθωση γίνεται σε ένα τρίµηνο 53

55 Εκτίµηση β: «ιαδικασία βηµάτων Engle-Granger». Εκτιµούµε βˆ (πχ µε κλασσική παλινδρόµηση) ( ) ˆ. Εκτιµούµεχρησιµοποιώντας y β ως µεταβλητή Οικονοµετρική ανάλυση δεδοµένων πάνελ Wooldridge, Κεφ. 3 Ηασυµπτωτική κατανοµήτων aˆ, ˆ γ : εν επηρεάζεται από το πρώτο βήµα Είναιαποτελεσµατική Είδη δεδοµένων: Οµαδοποιηµένα διαστρωµατικά Πάνελ Υπόδειγµα γιαοµαδοποιηµένα διαστρωµατικά στοιχεία από πολλά έτη Μεταβολές στην απόδοση της µόρφωσης και χάσµα µεταξύ φύλων Εξαρτηµένη: Ωριαίοι µισθοί εδοµένα: 78 και 85 δ µετράει την µεταβολή στον αντίκτυπο µόρφωσης Γονιµότητα 7,74,,84 Εξαρτηµένη: Αριθµός παιδιών Πως αλλάζει διαχρονικά (ελέγχοντας για παρατηρούµενους παράγοντες); 54

56 Αποτεφρωτήρας απορριµάτων και τιµές κατοικιών Εξαρτηµένη: Πραγµατικές τιµές εδοµένα: 78 (πριν φήµες), 8 (αρχή κατασκευής) εδοµένα: µόνο 78 Πλήρες σύνολο συµπεριλαµβάνει απόσταση απο αυτοκινητόδροµο, εµβαδό κατοικίας, οικοπέδου, # δωµατίων, # λουτρών ΦΥΣΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑ Αντίκτυπος ορίου µέγιστης αποζηµίωσης σε διάρκεια Υποδείγµατα πάνελ Απλή προσέγγιση Εγκληµατικότητα και ανεργία στις πόλεις Φυσικό πείραµα µε µονάδα ελέγχου Α και αντιµετώπισης Β Ψευδοµεταβλητές αντιµετώπισης: d - περιόδου, dβ - µονάδας i, πόλεις (46), έτη ( 98 και 987) a_i απαρατήρητη / σταθερή επίδραση πόλης δ_ ψευδοµεταβλητή έτους Προσέγγιση χρησιµοποιόντας παρατηρήσιµες µεταβλητές και οµαδοποιηµένα στοιχεία 55

57 Εκτίµηση παρατηρήσιµων παραµέτρων από εξίσωση πρώτων διαφορών: Εναλλακτική Ερµηνεία: Αντίκτυπος µεταβολών Υποθέσεις: E( u ) [συνεπάγεται απο ΑΕ στο αρχικό υπόδειγµα] δεν είναι στα8ερό Απαιτεί: δυσεύρετα δεδοµένα Σηµαντική µεταβλητικότητα στο Ύπνος και εργασία: Λεπτά ύπνου/εβδοµάδα Εγκληµατικότητα και ποσοστά εκκαθάρισης 97, 78 ιαφορισµός αφαιρεί απαρατήρητα ατοµικά χαρακτηρηστικά όπως επίπεδα ενέργειας > Εγκληµατικότητα µπορεί να µειωθεί 56

58 Ανάλυση πολιτικής (αντίστοιχα µε φυσικόπείραµα) Γενικότερα: Ποσοστό ελλατωµατικών προϊόντων 987,88 Ψευδοµεταβλητή επιδότησης επαγγελµατικής εκπαίδευσης Ερµηνεία β_: Η µεταβολή στη µέση τιµήτουλόγοσυµµετοχής στο πρόγραµµα Αν η συµµετοχή συµβαίνει µόνο στην ηπερίοδο> εκτιµητής διαφορών Νοµοθεσία και θανατηφόρα ατυχήµατα Θάνατοι / εκ µίλια οδήγησης Ανοιχτές συσκευασίες Ευκολότερες καταδίκες 5 πολιτείες + D.C., 985; 99 Βιοµηχανικές ζώνες και επιδόµατα ανεργίας πόλεις της Indiana 98-8 Αριθµός αιτήσεων επιδοµάτων Ψευδοµεταβλητή βιοµηχανικής ζώνης n*876 β.8 (.78) Υποθέσεις: Αυστηρή εξωγένεια [στην αρχική σχέση]: Cov(_ij,u_is), all,s,j Έλλειψη αυτοσυσχέτισης [στην σχέση διαφορών]: Cov( u_i, u_i-) Οµοσκεδαστικότητα [στην σχέση διαφορών] 57

59 Εγκληµατικότητα στην Βόρεια Καρολίνα 9 κοµητείες, 98,8,,87 Εγκλήµατα/κάτοικος Πιθανότητα σύλληψης, καταδίκης, φυλάκισης Έτη φυλάκισης Αστυνόµοι/κάτοικοι Προηγµένες µέθοδοι εδοµένων Πάνελ Wooldridge, Κεφ 4 Εναλλακτικές µέθοδοι (από τον διαφορισµό) για εξάλειψη σταθερής επίδρασης Μετασχηµατισµός σταθερών επιδράσεων Μετασχηµατισµός σταθερών επιδράσεων Μετασχηµατισµός τυχαίων επιδράσεων Έχει διαχρονικό µέσο: Οπότε αφαιρόντας: Και γενικότερα: Εκτίµηση σταθερών επιδράσεων / εντός 58

60 Υποθέσεις Ε(u_i _jsk) για όλα τα j,s,k Επιτρέπεται Corr(a_i, _isk)~ _jsk δεν µπορεί να είναι χρονικά σταθερό Οµοσκεδαστικότητα Έλλειψη αυτοσυσχέτισης Επίδραση επαγγελµατικής εκπαίδευσης σε ελαττώµατα σε προϊόντα 54 εταιρείες 987: επιδοτήσεις 988: 9 επιδοτήσεις 999: επιδοτήσεις Ιδιότητες Συνηθισµένες OLS Βαθµοί ελευθερίας: Ν(Τ-)-k λόγω αφαίρεσης διαχρονικού µέσου R^ µετράει εξηγησιµότητα διαχρονικών διακυµάνσεων εντός στρώµατος Εκτιµάται εντός Παρουσιάζεται κλασσικά Αν συµπεριλάβουµε τιςµεταβλητές: log(sales), log(employ) 3 εταιρείες δεν έχουν τέτοια δεδοµένα 5 παρατηρήσεις χάνονται γιατί λείπουν τα δεδοµένα για κάποιες εταιρείες σε κάποια χρόνια n48, µη ισορροπηµένο πάνελ Επίδραση µεγαλώνει: β_gran -.97, -,89 β_gran , -,39 Εταιρείες µε παρατήρηση δεν έχουν επίδραση σε αποτελέσµατα Πιθανότητα να µην υπάρχει η παρατήρηση µπορεί να συσχετίζεται µε επίδρασηa_i Απόδοση στην µόρφωση διαχρονικά 545 άνδρες 98-7 log(educ_i) β_educ^+β_dmarried+β_dsynd+β_3d8+ +β_9d87+ β_*d8*educ+ + β_6*d87*educ β^_6.3 (-sa.48) > Απόδοση 3% µεγαλύτερη από το 98 Απόδοση 98 είναι µέρος του a_i Ιδιαίτερος τρόπος χρήσης στατικής πληροφορίας για το στρώµα 59

61 Εκτίµηση σταθερών επιδράσεων [παραληφθείσες µεταβλητές]: Αµερόληπτη, συνεπής Τ, όχι Ν Ίδια αποτελέσµατα µε παλινδρόµηση ψευδοµεταβλητών d_i για κάθε i ύσκολο αν N µεγάλο, ανακριβές αν Τ µικρό R^ τώρα συµπεριλαµβάνει ερµηνευτικότητα ψευδοµεταβλητών Σύγκριση εκτιµήσεων από µετασχηµατισµούς σταθερών επιδράσεων και διαφορισµού Τ: Μη εφαρµόσιµος, ΣΕ όλες µεταβλητές Τ: Ίδια αποτελέσµατα Τ>3: Αµερόληπτοι και συνεπής (για Ν) Αποτελεσµατικότητα: Εξαρτάται από την αυτοσυσέτιση του u_i [µη παρατηρήσιµο] σε σχέση µε του u_i [παρατηρήσιµο] Καλό να χρησιµοποιούνται και οι δύο µετασχηµατισµοί Αν Τ>> χάρη σε ασυµπτωτική θεωρία χρονοσειρών: προτιµότερος αν κάποιες µεταβλητές είναι Ι() ΣΕ προτιµότερες αν δεν ισχύει η ΑΕ Μετασχηµατισµός τυχαίων επιδράσεων Αν Αφαιρόντας την αυτοσυσχέτιση µε διαδικασία αντίστοιχη µε ηµιδιαφορισµό: δεν αποµακρύνουµε απαρατήρητη σταθερή επίδραση στο υπόδειγµα: ή Γιατί χάνουµε βαθµούς ελευθερίας (αποτελεσµατικότητα) Τότε όµως έχουµε αυτοσυσχέτιση: Χρησιµοποιείται εκτίµηση για το λ Επιτρέπονται µεταβλητές σταθερές στον χρόνο [αρκεί να είναι ασυσχέτιστες µε ΣΕ] 6

62 Παρατηρόντας ότι: Απόδοση στην µόρφωση διαχρονικά (ξανά) 545 άνδρες ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ 98-7 λ^.643 Αν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ a, Για λ-> ασήµαντη [ΣΕ] Για λ-> σηµαντική [οµαδοποιηµένα στοιχεία] Σύγκρισηαποτελεσµάτων από µετασχηµατισµόυς ΤΕ και ΣΕ δίνει έλεγχο για έλλειψη συσχέτισης Συµπεριλαµβάνονται και ψευδοµεταβλητές έτους Αλλες χρήσεις µετασχηµατισµών πάνελ Όταν σε συστάδες [οχι βασισµένες στον χρόνο] του δείγµατος αναµένονται απαρατήρητες επιδράσεις: π.χ. Εισόδηµα κόρης σε οικογένειες µε τουλάχιστον δύο κόρες Π.χ.: 49 οµοζυγωτικά δίδυµα age, gender, race είναι ίδια οπότε παλινδρόµηση: log(earn)b_ educ β_.9, 3.83 Μπορούν να χρησιµοποιηθούν και µετασχητατισµοί Τ.Ε. n9, 98, β^-.33, πολύ σ.σ. n9, 98, β^-.8, όχι σ.σ. 6

63 Προηγµένες µέθοδοι εδοµένων Πάνελ Εναλλακτικές µέθοδοι (από τον διαφορισµό) για εξάλειψη σταθερής επίδρασης Μετασχηµατισµός σταθερών επιδράσεων Μετασχηµατισµός τυχαίων επιδράσεων Wooldridge, Κεφ 4 Έχει διαχρονικό µέσο: Οπότε αφαιρόντας: Και γενικότερα: Μετασχηµατισµός σταθερών επιδράσεων Υποθέσεις Ε(u_i _jsk) για όλα τα j,s,k Επιτρέπεται Corr(a_i, _isk)~ _jsk δεν µπορεί να είναι χρονικά σταθερό Οµοσκεδαστικότητα Έλλειψη αυτοσυσχέτισης Ιδιότητες Συνηθισµένες OLS Βαθµοί ελευθερίας: Ν(Τ-)-k λόγω αφαίρεσης διαχρονικού µέσου R^ µετράει εξηγησιµότητα διαχρονικών διακυµάνσεων εντός στρώµατος Εκτίµηση σταθερών επιδράσεων / εντός 6

64 Επίδραση επαγγελµατικής εκπαίδευσης σε ελαττώµατα σε προϊόντα 54 εταιρείες 987: επιδοτήσεις 988: 9 επιδοτήσεις 999: επιδοτήσεις Εκτιµάται εντός Παρουσιάζεται κλασσικά Αν συµπεριλάβουµε τιςµεταβλητές: log(sales), log(employ) 3 εταιρείες δεν έχουν τέτοια δεδοµένα 5 παρατηρήσεις χάνονται γιατί λείπουν τα δεδοµένα για κάποιες εταιρείες σε κάποια χρόνια n48, µη ισορροπηµένο πάνελ Επίδραση µεγαλώνει: β_gran -.97, -,89 β_gran , -,39 Εταιρείες µε παρατήρηση δεν έχουν επίδραση σε αποτελέσµατα Πιθανότητα να µην υπάρχει η παρατήρηση µπορεί να συσχετίζεται µε επίδρασηa_i Απόδοση στην µόρφωση διαχρονικά 545 άνδρες 98-7 log(educ_i) β_educ^+β_dmarried+β_dsynd+β_3d8+ +β_9d87+ β_*d8*educ+ + β_6*d87*educ Εκτίµηση σταθερών επιδράσεων [παραληφθείσες µεταβλητές]: Αµερόληπτη, συνεπής Τ, όχι Ν β^_6.3 (-sa.48) > Απόδοση 3% µεγαλύτερη από το 98 Απόδοση 98 είναι µέρος του a_i Ιδιαίτερος τρόπος χρήσης στατικής πληροφορίας για το στρώµα Ίδια αποτελέσµατα µε παλινδρόµηση ψευδοµεταβλητών d_i για κάθε i ύσκολο αν N µεγάλο, ανακριβές αν Τ µικρό R^ τώρα συµπεριλαµβάνει ερµηνευτικότητα ψευδοµεταβλητών 63

65 Σύγκριση εκτιµήσεων από µετασχηµατισµούς σταθερών επιδράσεων και διαφορισµού Τ: Μη εφαρµόσιµος, ΣΕ όλες µεταβλητές Τ: Ίδια αποτελέσµατα Τ>3: Αµερόληπτοι και συνεπής (για Ν) Αποτελεσµατικότητα: Εξαρτάται από την αυτοσυσέτιση του u_i [µη παρατηρήσιµο] σε σχέση µε του u_i [παρατηρήσιµο] Καλό να χρησιµοποιούνται και οι δύο µετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµός τυχαίων επιδράσεων Αν δεν αποµακρύνουµε απαρατήρητη σταθερή επίδραση στο υπόδειγµα: ή Αν Τ>> χάρη σε ασυµπτωτική θεωρία χρονοσειρών: προτιµότερος αν κάποιες µεταβλητές είναι Ι() ΣΕ προτιµότερες αν δεν ισχύει η ΑΕ Γιατί χάνουµε βαθµούς ελευθερίας (αποτελεσµατικότητα) Τότε όµως έχουµε αυτοσυσχέτιση: Αφαιρόντας την αυτοσυσχέτιση µε διαδικασία αντίστοιχη µε ηµιδιαφορισµό: Παρατηρόντας ότι: Αν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ a, Για λ-> ασήµαντη [ΣΕ] Για λ-> σηµαντική [οµαδοποιηµένα στοιχεία] Χρησιµοποιείται εκτίµηση για το λ Επιτρέπονται µεταβλητές σταθερές στον χρόνο [αρκεί να είναι ασυσχέτιστες µε ΣΕ] Σύγκρισηαποτελεσµάτων από µετασχηµατισµόυς ΤΕ και ΣΕ δίνει έλεγχο για έλλειψη συσχέτισης 64

66 Απόδοση στην µόρφωση διαχρονικά (ξανά) 545 άνδρες ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ 98-7 λ^.643 Αλλες χρήσεις µετασχηµατισµών πάνελ Όταν σε συστάδες [οχι βασισµένες στον χρόνο] του δείγµατος αναµένονται απαρατήρητες επιδράσεις: π.χ. Εισόδηµα κόρης σε οικογένειες µε τουλάχιστον δύο κόρες n9, 98, β^-.33, πολύ σ.σ. Συµπεριλαµβάνονται και ψευδοµεταβλητές έτους n9, 98, β^-.8, όχι σ.σ. Π.χ.: 49 οµοζυγωτικά δίδυµα age, gender, race είναι ίδια οπότε παλινδρόµηση: Μοντέλα περιορισµένων εξαρτηµένων µεταβλητών και διορθώσεις επιλογής δείγµατος Wooldridge, κεφ7 log(earn)b_ educ β_.9, 3.83 Μπορούν να χρησιµοποιηθούν και µετασχητατισµοί Τ.Ε. 65

67 Υποδείγµατα logi / probi Περιµπτώσεις: G(z) z Γραµµικό υπόδειγµα πιθανότητας logi probi Ερµηνεία logi / probi Επίδραση ερµηνευτικών σε πιθανότητες Υπόδειγµα µη παρατηρούµενης µεταβλητής E(e ) e~ L, N(,) > g>> β καθορίζει πρόσηµο επίδρασης Σχετική σηµασία επιδράσεων β_k/β_i ανεξάρτητη του g Επίδραση µεγιστοποιείται για ώστε β_ + β Probi g().4 Logi g().5 66

68 Για διακρίτες ερµηνευτικές, επίδραση µεταβολής c -> c+ είναι: Εκτίµηση µέγιστης πιθανοφάνειας Για συναρτήσεις ερµηνευτικών: π.χ. > Αύξηση % z_> P(y) αλλάζει κατά % Μεγιστοποίηση υπολογιστικά περίπλοκη, όµως: Συνεπής, ασυµπτωτικά κανονικές, ασ. αποτελεσµατικές Έλεγχος πολλαπλών υποθέσεων µε στατιστική λόγου πιθανοφάνειας: Μέτρηση ποιότητας προσαρµογής: % σωστής πρόβλεψης για κάθε y McFadden Pseudo-R^ : Όπου περιορίζουµε β Corr(y,y^)^ 67

69 Εκτίµηση επιδράσεων: Παράδειγµα: Συµµετοχή έγγαµων γυναικών στο εργατικό δυναµικό Σε δίαφορες τιµές του : Μέση τιµή Τεταρτηµόρια Τιµές ψευδοµεταβλητής N Σy48 Kids# nwifeinc εισόδηµα συζ$k Σηµαντικότερη διαφορά ΓΜΠ, logi, probi Επίδραση στο ΓΜΠ είναι ανεξάρτητη του Σε logi, probi µείωνεται π.χ. Για µέσες τιµές του : Nwifeinc.3 Educ.3 Eper.6 Age4.5 Επίδραση πρώτου µικρού παιδιόυ: (logi) Επίδραση δεύτερου µικρού παιδιόυ: -.56 (logi) Probi παρόµοιο ΓΜΠ ενδιάµεσα (εκφράζοντας µέση επίδραση) 68

70 Υπόδειγµα obi Όπως και στο log/prob-i: Άρα για τυχαίο δείγµα π.χ. % εισοδήµατος σε δαπάνη για οινοπνευµατώδη Ώρες εργασίας Παρουσίες στα µαθήµατα ωρεές Πλεονεκτήµατα σε σχέση µε ΓΜΠ: Προβλέψεις πάντα θετικές Επίδραση στην εξαρτηµένη εξαρτάται από επίπεδο ανεξάρτητης Πιθανή έλλειψη οµοσκεδαστικότητας Σίγουρη έλλειψη κανονικότητας Με συνάρτηση λογαριθµικής πιθανοφάνειας: Έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας παραµένει εφαρµόσιµος για πολλαπλούς περιορισµούς Ερµηνεία εκτιµήσεων obi: Ερµηνεία εκτιµήσεων obi (συνέχεια): β µετράνε επίδραση σε y* ενώ συνήθως το ενδιαφέρον εστιάζεται στο y: πχ ευαισθησία εργασίας στην φορολογία σλ> και συσχετισµένο µε β+σλ > σλ> και συσχετισµένο µε > > 69

71 Ερµηνεία εκτιµήσεων obi (συνέχεια): Πχ7. Ώρες εργασίας παντρεµένων γυναικών n753, 35 δούλεψαν ώρες, 48 δούλεψαν από ως 4,95 ώρες Ελαστικότητα: Για διακριτές µεταβλητές παρόµοια λογική Παράγοντας προσαρµογής µερικών επιδράσεων.645 Ποιότητα προσδιορισµού υποδείγµατος Tobi Σε αντίθεση µε ΓΜ αν δεν ισχύουν υποθέσεις τα µεγάλα δείγµατα δεν εξασφαλίζουν καλές ιδιότητες εκτιµήσεων Συχνό πρόβληµα προσδιορισµού: Ίδιο πρόσηµο σε: πρόβληµα πχ αν Pr(ασφάλισης) αρνητικά µε ηλικία αλλά ποσότητα ασφάλισης θετικά (επειδή αξία ζωής µεγαλύτερη) 7

72 Έλεγχος προσδιορισµού µέσω σύγκρισης µε probi Εξαρτηµένη w[y>] Επειδή: w θα ακολουθεί probi µε παραµέτρους β/σ Οπότε αν αποκλίνουν στατιστικά σηµαντικά εκτιµήσεις και πρόσηµα τότε υπάρχει πρόβληµα προσδιορισµού Υπόδειγµα poisson Για εξαρτηµένη διακριτή θετική µεταβλητή καταµέτρησης» y,,,3, πχ Αριθµός παιδιών σε µια οικογένεια Αριθµόςσυλλήψεωνανάέτοςγιαέναάτοµο Αριθµός αιτήσεων για πατέντα µιας επιχείρησης > > Κατανοµή Poisson για µεταβλητή καταµέτρησης Προσδιορισµός: Οπότε συνάρτηση λογαριθµικής πιθανοφάνειας για τυχαίο δείγµα: Τυπικές αποκλίσεις εκτιµήσεων µέγιστης πιθανοφάνειας, έλεγχοι περιορισµών λόγου πιθανοφάνειας κλπ υπολογίζονται από στατιστικά πακέτα Συχνά υπερβολικά περιοριστικό ότι στην κατανοµή Poisson: Var(y )E(y ) Όµως ακόµα και αν η κατανοµή δεν είναι σωστή οι εκτιµητές παραµένουν συνεπείς και ασυµπτωτικά κανονικοί αλλά η τυπική τους απόκλιση απαιτεί ειδικό υπολογισµό Υπολογισµός διευκολύνεται αν υποθέσουµε: Μερική επίδραση: Όπου σ>< 7

73 Πχ. 7.3 Αριθµός συλλήψεων ανδρών µε προηγούµενες καταδίκες n 75, #(narr86)97, #(narr86>5)8 Υπόδειγµα παλινδρόµησης µε censoring Παροµοίως µε log/prob/ob-i: Όπου: u ανεξάρτητο του c c µπορεί να διαφέρει ανα άτοµο το ενδιαφέρον µας εστιάζεται στην y αλλά παρατηρούµε τηνw πχ Οικογενειακός πλούτος (σε ερωτηµατολόγια µε ερωτήσειςόπως>$5k) Οριακή παραγωγικότητα όπως αντανακλάται µέσω µισθών µε ελάχιστο όριο ιάρκειες εώς γεγονός, πχ επόµενη σύλληψη Όπως στο obi ΕΕΤ µπορείναοδηγήσεισεασυνεπείςεκτιµήσεις Εδώ λόγω τρόπου συλλογής δεδοµένων όχι λόγω συµπεριφοράς ατόµων Ηπιθανότηταµια παρατήρηση να υποστεί censoring (περικοµµένη τιµή) είναι: Για τις υπόλοιπες η πυκνότητα του w είναι ίση µε του y οπότε: Συνάρτηση λογαριθµικής πιθανοφάνειας προκύπτει άµεσα Ερµηνεία παραµέτρων όπως και στο κλάσσικό υπόδειγµα - δεν χρειάζονται προσαρµογή όπως στο obi < Πχ 7.4 ιάρκεια υποτροπής dura: διάρκεια σε µήνες για έγκλειστους σε φυλακή Βόρειας Καρολίνας n δεν επανασυνελήφθησαν [6%] c 7-8 ανάλογα µε περίοδο παρακολούθησης του κάθε φυλακισµένου priors # καταδικών served # µηνών felon ψευδοµεταβλητή εγκληµατία alcohol ψευδοµεταβλητή αλκοολικού drugs ψευδοµεταβλητή ναρκοµανή ΕΕΤ -.59 (.9) -.6 (.6) 7

74 ΕΕΤ δίνουν πολύ διαφορετικές εκτιµήσεις (υποεκτιµούν επιδράσεις) Αν δεν ισχύει η κανονικότητα η προσέγγιση µας οδηγεί επίσης σε προβληµατικές εκτιµήσεις > Σηµαντικό να αποφεύγεται η περικοπή δεδοµένων Υπόδειγµα παλινδρόµησης µε runcaion Παροµοίως µε censoring: Όπου δείγµα δεν είναι τυχαίο γιατί παρατηρούµε µόνο y_i<c_i: censoring µπορεί να είναι και µεγαλύτερο απλά δεν περικόβεται η τιµή του Truncaion περικόβεται η παρατήρηση πχ είγµατα φτωχών οικογενειών Κατανοµή y_i δεδοµένου ότι y_i<c_i ιορθώσεις επιλογής δείγµατος Μεγιστοποιόντας πιθανοφάνεια παίρνουµε συνεπείς και ασυµπτωτικά κανονικές εκτιµήσεις Απαιτεί κανονικότητα και οµοσκεδαστικότητα Αν περικόψουµε παρατηρήσεις σε δείγµατα µε περικοµένες τιµές χάνουµε πληροφορία [υπήρχαν άτοµα µε υψηλές τιµές και συγκεκριµένα χαρακτηριστικά] ΕΕΤ σε δείγµα µε περικοµένες παρατηρήσεις υποεκτιµά επιδράσεις Γενίκευση παλινδρόµησης µε runcaion σε παλινδρόµήσεις µε µη τυχαίαδείγµατα Πχ Λόγω τρόπου συλλογής δεδοµένων / µορφής ερωτηµατολογίων Ελλείψεις σε κάποια στοιχεία (ανεξάρτητη η εξαρτηµένη) Ελλείψεις σε y ως συνάρτηση άλλης µεταβλητής (incidenal runcaion) π.χ. Εξίσωση προσφοράς µισθού που παρατηρείται µόνο για όσους συµβαίνει να εργάζονται Σε µη ισοροπηµένα πάνελ π.χ. όταν άτοµα αποχορούναπότοδείγµα 73

75 s_i µεταβλητή που καθορίζει άν το i συµπεριλαµβάνεται στο δείγµα {,} ή Incidenal runcaion π.χ. Εξίσωση προσφοράς εισοδήµατος ylog(wage) όπου s καθορίζεται από το αν εργάζεται ο i Συνεπής και αµερόληπτη εκτίµηση µε ΕΕΤ απαιτεί: Συµβατές περιπτώσεις για εξίσωση προσφοράς µισθού:. s συνάρτηση του [εξωγενής επολογή δείγµατος] πχ s εξαρτάται από φύλο, εµπειρία κλπ. s ανεξάρτητο του,u 3. s εξαρτάται από και άλλους τυχαίους παράγοντες ανεξάρτητους του u πχ s αν IQ<v όπου ν ανεξάρτητο του > > > αυστηρό υποσύνολο του z ν~n(,) και u ανεξάρτητο του z Παράδειγµα ασυνέπειας: Παλινδρόµηση µε runcaion: s_i y_i>c_i u_i>c_i-_iβ> συσχέτιση > Αν ρ~ Εκτίµηση Hecki:. Εκτιµούµε γµε probi χρησιµοποιόντας ότι και δεδοµένα για s_i,z_i. Υπολογίζουµε λ^_iλ(z_iγ^) 3. Για παρατηρούµενα i (s_i) παλινροµούµε y σε,λ^ Παράδειγµα: Προσφορά µισθού παντρεµένων γυναικών n743 Σs_i48 εργαζόµενες Στατιστική _λ δίνει έλεγχο για ρ [τυχαίο δείγµα] Τυπικά σφάλµατα παλινδρόµησης απαιτούν (µικρή) διόρθωση 74