ΘΕΜΑΤΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ"

ŌΓώγ Γαλάνη
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΤ ΥΛΙΙΣ ΩΤΡΙΣ Παραθέτ κάποια παλιά θέματα εισαγγικών εξετάσεν υκλείδειας εμετρίας. υστυώς σήμερα κάποιοι «σοφοί» έουν εξοστρακίσει το πανέμορφο αυτό μάθημα που προάγει την μαθηματική σκέψη από τις Πανελλήνιες ξετάσεις, αντικαθιστώντας το με την νάλυση που διδάσκεται με τελείς στρεβλό τρόπο (και φυσικά αραμίζουν και αυτό το μάθημα). Οι προτεινόμενες λύσεις είναι δικές μου (ελπίζ να μην υπάρει λάθος). Τα σήματα έγιναν με το Geometer s Sketchpad. 1. πί τν πλευρών τετραπλεύρου και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγνα, Ι, ΗΘ, Λ. ν Σ και Τ τα μέσα τν Λ, ΙΘ αντίστοια, να αποδειθεί ότι το τετράπλευρο ΤΣ είναι τετράγνο. (ισαγγικές ξετάσεις ριτεκτόνν Θεσσαλονίκης, 1961) ν, Η τα κέντρα τν τετραγώνν, Λ αντίστοια, τότε έουμε // 2 // 2 Η Σ Θ 9 9 Λ T P Η Έτσι τα τρίγνα ΗΣ, Σ είναι ίσα (Π--Π). Οπότε Σ = Σ. Όμς είναι και Σ Σ διότι 18 O 18 (9 ) 9 Ι οπότε : 36 ( ) 36 ( 9 ) 36 (18 9 ) 9 ντελώς ανάλογα αποδεικνύουμε ότι Τ = Τ και Τ Τ. (από ισότητα τν τριγώνν ΟΤ, ΡΤ)

2 Τότε όμς τα τρίγνα Σ και Τ είναι ίσα, διότι έουν κοινή την και τις προσκείμενες γνίες ίσες με 45 την κάθε μία, αφού καθένα από τα Σ και Τ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Άρα Σ = Σ = Τ = Τ δηλαδή ΣΤ ρόμβος και με μια γνία ορθή θα είναι τετράγνο. 2. Σε τετράπλευρο είναι 6 και Ν τυαίο εστερικό σημείο της γνίας. ν Ν, Ν, ΝΙ οι αποστάσεις του Ν από τις ευθείες,, αντίστοια, αποδείξτε ότι Ν + Ν = ΝΙ. (Πολυτενείο θηνών, λλοδ. Τοπογρ. 1957) A Ι 6 6 B 3 Ν Ρ 3 Προεκτείνουμε την Ν μέρι να τέμνει τις προεκτάσεις τν πλευρών,, έστ στα σημεία Ρ,. Τότε το τρίγνο Ρ είναι ισοσκελές και μέσο Ρ. πό την γνστή ιδιότητα καθέτου πλευράς ορθογνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γνία 3, έουμε : Ν = ΝΡ Ρ = 2ΝΙ = 2ΝΙ (Ν + Ν) = 2ΝΙ Ν 2Ν 2Ν + 2Ν = 2ΝΙ Ν + Ν = ΝΙ.

3 3. πί τν πλευρών, τριγώνου κατασκευάζουμε εκτός αυτού τα τετράγνα Η,. Να αποδειθεί ότι : a) Η διάμεσος από την κορυφή του τριγώνου είναι κάθετη στην Η b) Το από την κορυφή ύψος του τριγώνου διέρεται από την κορυφή Ι του παραλληλογράμμου ΗΙ c) Τα τμήματα, είναι ίσα και κάθετα με τα τμήματα Ι, Ι αντίστοια και μάλιστα τέμνονται επί του ύψους του τριγώνου που άγεται από την κορυφή. Ι (επονική θηνών 1948 υελπίδν 1955 ριτεκτόνν θηνών 1962) Η Σ Ρ 9 - y 9 - x Π y x m n Τ 1 S θ φ y a) Προεκτείνοντας την κατά τμήμα Ν = δημιουργούμε το παραλληλόγραμμο Ν και έστ ότι η προέκταση της τέμνει την Η στο Ρ. ν x, y, τότε τρίγνο Ν, έουμε 9 x, 9 y. Στο x y ( x y),άρα. N

4 Έτσι τα τρίγνα Ν, Η είναι ίσα,(π--π) οπότε (9 x) x 9, άρα 9. x. Έτσι b) ατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΗΙ και έστ ότι η προέκταση της Ι τέμνει την στο. Έστ Σ το μέσο της Η. πό την προηγούμενη ισότητα τν τριγώνν του ερτήματος a) προκύπτει ότι Ν = Η, άρα = ΣΗ. Έτσι τα τρίγνα ΣΗ, είναι ίσα, (Π--Π) οπότε. Τότε έουμε 9, άρα και 9. c) Παρατηρούμε ότι, =, T SB 9. νάλογα για τις, Ι. 18 και έτσι τα τρίγνα Ι, είναι ίσα διότι έουν Ι = 45 45, άρα B1 m. λλά m n 9. Έτσι ίναι πλέον φανερό ότι οι,, Ι είναι φορείς τν υψών στο τρίγνο Ι, άρα συντρέουν.

5 4. ίνεται οξυγώνιο τρίγνο στο οποίο είναι 2. Φέρνουμε το ύψος και προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. ποδείξτε ότι : a) Τα τρίγνα και έουν τις γνίες τους μία προς μία ίσες b) ν το σημείο τομής τν και, αποδείξτε ότι το ισαπέει από τα,,. c) = (Πολυτενείο θηνών, Χημικοί 196) a) φού = θα είναι, τότε 2 ς εξτερική στο τρίγνο. λλά 2 και (κατακ) οπότε. Έτσι τα τρίγνα, έουν κοινή,, b) 9 9, άρα =, ενώ ήδη γνρίζαμε ότι =. P c) ρίσκουμε το συμμετρικό του ς προς το, έστ Ρ. Τότε του τρίγνο Ρ είναι ισοσκελές, οπότε 2. Όμς, δηλαδή 2 Έτσι, = Ρ = Ρ = Ρ =.

6 5. Έστ Ο τυαίο εστερικό σημείο του τριγώνου και Ο 1, Ο 2, Ο 3, τα συμμετρικά του Ο ς προς τα μέσα τν πλευρών,, αντίστοια. ποδείξτε ότι : a) Οι ευθείες Ο 1, Ο 2, Ο 3 διέρονται από το ίδιο σημείο, έστ. b) Οι άπειρες ευθείες Ο διέρονται από σταθερό σημείο του τριγώνου. (Σολή Υπομηανικών 196) Ο 3 A Ο 2 G B O Ο 1 a) πειδή το σημείο είναι κοινό μέσο τν τμημάτν, ΟΟ 1, το τετράπλευρο ΟΟ 1 θα είναι παραλληλόγραμμο, άρα τα τμήματα Ο 1, Ο θα είναι ίσα και παράλληλα. νάλογα, έουμε ότι Ο 2, Ο ίσα και παράλληλα. Έτσι, το Ο 2 Ο 1 θα είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιές του Ο 1, Ο 2 θα διοτομούνται. ντελώς ανάλογα δείνουμε ότι διοτομούνται τα τμήματα Ο 3, Ο 1 αφού Ο 3 Ο 1 είναι παραλληλόγραμμο, λόγ τν παραλληλογράμμν Ο 3 Ο, ΟΟ 1. Ώστε το σημείο είναι κοινό μέσο τν Ο 1, Ο 2, Ο 3.

7 b) Παρατηρούμε ότι στο τρίγνο ΟΟ 3 οι Ο, είναι διάμεσοι άρα για το σημείο στο οποίο τέμνονται έστ G 1, θα έουμε Ο = 3G 1 M, ενώ στο τρίγνο ΟΟ 1 οι Ο, είναι επίσης διάμεσοι άρα για το σημείο στο οποίο τέμνονται θα έουμε Ο = 3G 1 M, άρα τα σημεία G 1, G 2 ταυτίζονται. υτό σημαίνει ότι τα τρίγνα, ΟΟ 3, ΟΟ 1, ΟΟ 2 έουν κοινό βαρύκεντρο, από το οποίο και διέρονται όλες οι άπειρες ευθείες Ο. 6. ίνεται ρόμβος και τυαίο σημείο εστερικό της κατακορυφήν γνίας του ρόμβου. ποδείξτε ότι το άθροισμα τν αποστάσεν του από τις πλευρές και ισούται με το άθροισμα τν αποστάσεν του από τις πλευρές και. (οκίμν, 1949) Πρέπει να δείξουμε ότι + = Θ + Σ. Παρατηρούμε ότι Θ = Σ ( τα ύψη του ρόμβου είναι ίσα) διότι () = Θ = Σ, αλλά =. Έτσι, + = + (Θ + Θ) = Θ + ( + Θ) = Θ = Θ + ( + Σ) = Θ + Σ. B Σ

8 7. Έστ και Λ οι προβολές της κορυφής τριγώνου επί της εστερικής και εξτερικής διοτόμου της γνίας αντίστοια, ενώ και Ν οι προβολές του επί της εστερικής και εξτερικής διοτόμου της γνίας αντίστοια. ποδείξτε ότι τα σημεία, Λ,, Ν είναι συνευθειακά και μάλιστα η ευθεία πάν στην οποία βρίσκονται είναι παράλληλη προς τη. (Σολή μποροπλοιάρν ηανικών 1958) Λ F θ θ φ φ φ K U Ν Σ νρίζουμε ότι οι διοτόμοι εφεξής και παραπληρματικών γνιών είναι κάθετες, άρα το Λ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού έει 3 ορθές γνίες. Έτσι οι διαγώνιες του διοτομούνται στο F και είναι και ίσες, άρα FB = FK, δηλαδή F KB F BK. λλά ( εστερική διοτόμος), άρα F FK / /, δηλαδή η ευθεία ΛF είναι παράλληλη στην. ντελώς ανάλογα προκύπτει ότι η ευθεία UN είναι παράλληλη στην, ενώ πρόσθετα και FU //.

9 8. άν δύο απέναντι πλευρές τετραπλεύρου είναι ίσες και μη παράλληλες, αποδείξτε ότι η ευθεία που ενώνει τα μέσα τν δύο άλλν πλευρών είναι παράλληλη προς την διοτόμο της γνίας που σηματίζουν οι δύο ίσες πλευρές. Προτεινόμενη λύση (θνικό ετσόβιο Πολυτενείο, Χημικό 196, Σολή Ικάρν 196) Η Ο Λ Ρ S θ Ν Π Έστ S το μέσο της διαγνίου. Τότε / / / / AB SK S SK S x 2 2 Άρα KS x K PS x ( x PS ) 2x S Όμς είναι και KS 2 S Ώστε 2x 2 x / /

Σχετικά έγγραφα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου